Вертикальный удар по телу вращения, плавающему на поверхности идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

НОРКИН Михаил Викторович

ВЕРТИКАЛЬНЫЙ УДАР ПО ТЕЛУ ВРАЩЕНИЯ, ПЛАВАЮЩЕМУ НА ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1998

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юдович В. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Алешков Ю. 3.

доктор физико-математических наук, профессор Потетюнко Э. Н.

Ведущая организация: Институт проблем механики

Российской Академии Наук

Защита состоится «1( » И/ОНЗС 1998 г. в часов на заседании диссертационного Совета К 063.57. 13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном универстите по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СПбГУ по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан « 30 » 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

К 063.57.13, доктор физ.-мат. наук, профессор

М. А. Нарбут

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Теория гидродинамического удара является классической областью механики жидкости. Одна из ее привлекательных сторон состоит в том, что теоретические результаты очень хорошо согласуются с данными эксперимента. Особенно это относится к присоединенным массам и моментам инерции, которые, наряду с задачами удара, находят себе применение при исследовании вибрации твердых тел в жидкости. Среди практических задач, стимулирующих развитие теории гидродинамического удара, упомянем посадку гидросамолетов на воду, вообще проблемы, связанные с падением на воду твердых или упругих тел, а также с внезапным возникновением движений тел, плавающих или погруженных в жидкость.

Удар может происходить как без отрыва жидкости от смоченной поверхности тела, так и с образованием зон отрыва. С появлением отрыва задача становится нелинейной и чрезвычайно усложняется. Удар с отрывом по существу совсем пе исследован, хотя в плоском случае известен ряд замечательных результатов (Л. И. Седов, 1950 и др.). В данной работе изучается безотрывный удар и определяются точные условия безотрыв-ности. В пространственной задаче такие условия известны лишь для диска, ударяющегося о слой жидкости конечной или бесконечной глубины, а также для эллипсоида, полуиогруженного в жидкое полупространство. Таким образом, исследование условий применимости теории безотрывного удара, равно как и условий возникновения отрыва, для тел иной формы, в частности, неодпосвязпых (тор, кольцо), является актуальной задачей гидродинамики.

Изучение движения твердого тора в жидкости представляет не только теоретический, но и практический интерес. Например, форму тора имеют океанографические буи, размещаемые в океане для регистрации параметров окружающей среды. При их постановке и подъеме возникают ударные нагрузки, которые необходимо учитывать при исследовании прочности буйковых систем.

Задачи гидродинамического удара существенно усложняются, когда необходимо принимать в рассчет влияние дна и стенок. Как правило, получить точные решения оказывается невозможным — исключение составляют классические плоские задачи об ударе отрезка о поверхность жидкости, заключенной в слое или прямоугольнике (М. В. Келдыш, 1935; Л. И. Седов, 1950). В такой ситуации представляется весьма актуальным развитие асимптотических методов, основанных на предположении о малости или, напротив, о большой величине глубины или расстояния от тела до стенки (последний случай рассматривается в диссертации). До сих пор такие методы применялись лишь в частных задачах. Например, в задаче

об ударе диска о слой жидкости (И. И. Ворович и В. И. Юдович, 1957, М. И. Чебаков, 1974).

Заметим, что вообще в гидродинамической теории удара наблюдается определенный дефицит общих качественных результатов, а большинство работ посвящены решению частных задач. Это относится и к проблеме отрыва и условиям безотрывности, и к вопросам о влиянии различных геометрических параметров на характеристики удара. Цель работы состоит в получении общих качественных результатов о начале отрыва жидкости от тела, которые дают условия применимости теории безотрывного удара; в развитии асимптотических методов, основанных па предположении, что дно и стспки сосудов удалены от тела на большие расстояния; в расчете течений, вызванных ударом но плавающему тору и па основе этого определении импульсивных давлений на смо-чепной поверхности тора, коэффициентов присоединенных масс и точных условий безотрывности удара. Последнее заключается в нахождении круга. расположенного в плоскости свободной поверхности жидкости, причем такого, что если точка приложения ударного импульса лежит внутри этого круга, то вертикальный удар по тору к отрыву жидкости от тела не приводит. В противном случае возникает отрыв.

Научная новизна. Доказан общий признак начала отрыва жидкости от тела при ударе и дано его применение для ряда конкретных тел (поверхности вращения веретенообразной формы, эллипсоид вращения, тор, кольцо, параболоид, шар).

Впервые рассмотрена задача о вертикальном ударе по тору, иолупогру-женному в жидкое полупространство. Изучена задача для вырожденного тора — твердого тела, полученного вращением окружности вокруг своей касательной и построены логарифмические асимптотики тонкого тора. Для потенциала скоростей жидкости на смоченной поверхности тора в явном виде найдены первые семь членов асимптотики. Даны оценки остатков. Указан алгоритм нахождения следующих членов асимптотического разложения.

На основе этой асимптотики определены присоединенная масса и присоединенный момент инерции. Выведено условие безотрывности удара. Полученные асимптотики вместе с результатами для вырожденного тора позволяют во всем диапазоне изменения характерного параметра задачи (отношение радиусов тора) производить расчет основных характеристик удара. Ранее задача о движении тонкого тора в жидкости была исследована лишь в главном приближении (Т. Y. Wu, G. Yates, 1976).

Изложен алгоритм построения степенного асимптотического разложения для больших глубин при вертикальном ударе по телу, плавающему на поверхности слоя жидкости конечной глубины. Характерной чертой этой асимптотики является то, что в формулах для присоединенных масс

коэффициенты при главных членах явно выражаются через основные характеристики удара по твердому телу, погруженному в жидкое полупространство л, следовательно, для их определения не требуется решения новых краевых задач. Аналогичные асимптотики получены для других границ (вертикальная плоская стенка, полубесконечиая цилиндрическая стенка).

Изучен ряд новых конкретных задач с учетом влияния дна и стенок (вертикальный удар по вырожденному тору, наполовипу погруженному в слой жидкости конечпой глубины; центральный удар по круглому диску и вырождеппому тору при наличии вертикальной плоской стенки).

Научная и практическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Найдены условия безотрывности удара для различных тел вращепия.

В задаче о вертикальном ударе по тору, полупогружепному в жидкость бесконечной глубины, асимптотика тонкого тора оказывается эффективной в широком диапазоне изменения характерного параметра задачи. Используя ее имеете с результатами для вырожденного тора, можно сделать выводы для любых торов.

Асимптотические разложения, позволяющие исследовать задачи удара в условиях конечной глубины и при наличии стенок удобны для количественного и качественного анализа задачи. Главные члены асимптотики присоединенной массы и присоединенных моментов инерции явно выражаются через осповные характеристики удара но телу, погруженному в жидкое полупространство. Для их определения необходимо вычислить поверхностные интегралы от потенциалов поступательного и вращательных движений в случае бесконечно глубокой жидкости.

На основе этих асимптотик изучены новые гидромеханические задачи: вертикальный удар по вырожденному тору, наполовину погруженному в слой жидкости конечной глубины; центральный удар по круглому диску и вырожденному тору при наличии вертикальной плоской стенки.

Изложенный прн учете влияния дна и стенок метод может быть применен для решения некоторых других смешанных задач математической физики. К ним относятся задачи электростатики и теплопроводности.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгими доказательствами, решением задач разными методами и сравнением, где это возможно, с результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докладывались на международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1995 г., 1997 г.), на семипаре кафедры теории упругости РГУ, неоднократно на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики РГУ.

Публикации. Результаты исследований, изложенных в диссертации, опубликованы в шести печатных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем 116 листов. Библиография — 63 наименования.

Во введении обоснована актуальность тематики, сделан обзор литературы но данной теме, описана структура работы, сформулированы цели диссертации, приведены сведения об апробации работы.

В первой главе рассматривается задача о вертикальном ударе по телу вращения, плавающему на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной снизу дном в форме поверхности вращения. Потенциал скоростей Ф, приобретенных частицами жидкости в результате удара, определяется решением смешанной задачи в области I), занятой жидкостью,

Здесь п = (пх,пу,п2) — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела; Vn — нормальная компонента скоростей точек границы тела; V0 и О — векторы поступательной и вращательной скорости, приобретенные телом в результате удара, vq и uj — их модули; R — радиус-вектор точек границы; S\, S2, S3 — соответственно смоченная поверхность тела, дно, имеющее форму поверхности вращения и свободная поверхность жидкости; Pt — импульсивное давление, р — плотность жидкости. Считаем, что ось х проходит через точку xq < 0, в которой наносится удар.

Область, занятая жидкостью, может быть неограниченной. В этом случае ставится равномерное убывание решения па бесконечности. Для слоя жидкости конечной глубины, как известно из теории эллиптических уравнений, решение убывает на бесконечности экспопеициальпо. В задаче удара этот вопрос был подробно изучен JI. С. Ворович (1973).

Граница dD области D, запятой жидкостью, предполагается достаточно гладкой, за исключением, быть может, точек, которые лежат на пересечении поверхностей Si и S2 со свободной границей жидкости, а также

Содержание работы

ДФ = 0;

V„ = (Vo + Q A R,n) = v0nz + w(znx - xn2),

Pt = -рФ.

с осыо вращения л. В этих точках граница может иметь ребра и вершины, но во всяком случае предполагается достаточно регулярной, чтобы существовало непрерывное решение.

Это позволяет включить в рассмотрение, например, поверхности вращения веретепообразной формы, которые получаются вращением дуги окружпости вокруг прямой, проходящей через ее крайние точки.

Условие безотрывности удара состоит в неотрицательности импульсивного давления в области 2?, что в силу принципа максимума равносильно неотрицательности Р( па границе и

Представим область Б в виде

£>+ = {(г, у, г) е О : 0 < <р < т}, = {(г, (р, г) £ И : тг < < 2тг}.

Здесь г,!/?,л — цилиндрические координаты. Через 5+ (£7) обозначим часть поверхности 5,- (г — 1,2), которая расположепа в Пусть

По — единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора П, а Г — дуга, полученная в результате пересечения поверхности £1 с меридиональной полуплоскостью 9 = 0. Определим на Г функцию I — /(я) равенством

1= (П0АД,п) |г.

Будем предполагать, что функция I не обращается тождественно в ноль. Случай / = 0 соответствует шару, погруженному в жидкость па-половину. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема. Пусть выполнено одно из двух неравенств:

/(.?) < 0 либо /(в) > 0

для любых в € Г. Тогда для точек поверхностей 5] и £2, лежащих на пересечении со свободной границей жидкости и меридиональпой плоскостью <р — 0,7Г, в которой расположен ударный импульс, производная (9Р(/(9</5 = 0. Для остальных точек поверхностей 51 и £2 имеют место строгие неравенства: в случае / < 0

Щ > 0 (г,<р,г) 6 # и 5+, Щ < 0 (г,<р,г) е 5Г и й,",

в случае / > 0

г)Р дР

~ < 0 {г, у, г) СБ? 1> > 0 £ и

Предположим теперь, что форма тела такова, что центральный удар пе приводит к отрыву. Тогда можно доказать, что при сделанных допущениях из неотрицательности импульсивного давления Рг па смоченной поверхности тела следует его неотрицательность и па дне.

Таким образом, если выполнено условие I < О (I > 0), то из неотрицательности импульсивного давления Р( на правой дальней (левой ближней) от точки приложения импульса дуге, полученной в результате пересечения смоченной поверхности тела с меридиональной полуплоскостью (р = 0 (<р — 7г), следует ехо неотрицательность на 5\ и ¿>2, а в силу классического принципа максимума и во всем объеме, занятом жидкостью.

Отсюда можно сделать вывод, что при I < 0 отрыв жидкости начинается на правой дуге, а при I > 0 на левой.

Даны применения доказанного признака для ряда конкретных тел (поверхности вращения веретенообразной формы, эллипсоид вращения, тор, кольцо, параболоид, шар). Например, для эллипсоида вращения с горизонтальной и вертикальной полуосями а и Ь, полупогруженного в жидкость функция I имеет вид

Следовательно, при а > Ь (а < Ь) отрыв жидкости от смоченной поверхности эллипсоида начинается на правой (левой) дуге. В задаче о вертикальном ударе по эллипсоиду, полупогруженному в жидкое полупространство, известно строгое условие безотрывности удара (В. И. Юдович, 1993). Анализ этого условия показывает, что отрыв жидкости может происходить как в дальней (при а > Ь), так и в ближней (при а < Ь) от точки приложения импульса точке границы смоченной поверхности эллипсоида. Аналогичный вывод сделан для поверхностей вращения веретенообразной формы на основании численных расчетов. Приведен пример, показывающий, что отрыв жидкости от тела может начинаться также и под водой.

В заключении первой главы рассмотрена задача о центральном ударе по шару, частично погруженному в идеальную несжимаемую жидкость бесконечной глубины. Найдена формула для импульсивных давлений на смоченной поверхности шара. Задача сведена к вычислению интегралов от элементарных функций. Показано, что центральный удар по шару, погруженному в жидкость бесконечной глубины больше, чем паполовину, всегда приводит к отрыву. В рассмотренной ранее задаче обтекания сферической луночки (Е. Т. Коковин, Э. Е. Либин, 1982) была изучена зависимость присоединенной массы жидкости от параметров задачи.

Во второй главе исследуется задача о вертикальном ударе по тору, наполовину погруженному в идеальную несжимаемую жидкость бесконечной глубины. Задача имеет один существенный параметр е — а/Ъ

I-

гг

Ь2 — а2

(О < £ < 1), где а — радиус круга поперечного сечения тора, Ъ — расстояние от оси вращения до центра указанного круга. После нечетного продолжения потенциала скоростей сквозь свободную поверхность задача разбивается на две. Первая соответствует поступательному движению тора в неограниченной жидкости вдоль оси симметрии, вторая его вращению.

Следует отметить, что осесимметричная задача о поступательном движении тора в неограниченной идеальной несжимаемой жидкости допускает явное решение методом разделения переменных в тороидальных координатах в виде рядов по функциям Лежандра. По-видимому, впервые его получил W. М. Hicks (1881).

В первой части второй хдавы изучается задача о вертикальном ударе по вырожденному тору (е = 1). Для ее решепия применяется метод разделения переменных в вырожденных биполярных координатах. Осесимметричная задача о поступательном движении вырожденного тора в идеальной несжимаемой жидкости решена в квадратурах. Найдено явное выражение для присоединенной массы жидкости при ударе: т — цра5, где постоянная /i расчитанапо первой формуле (9), которая приводится ниже, ц « 10.157. В случае вращения задача сводится к решению интегрального уравнения второго рода. Найдено численное значение присоединенного момента инерции при ударе: J = jpa5 , где 7 и 2.728. Также выведено условие безотрывности удара. Установлено, что при вертикальном ударе не происходит отрыва вырожденного тора от жидкости, если точка приложения импульса лежит в круге радиуса к а на плоскости переменных ху, где к и 0.36. В противпом случае возникает отрыв жидкости от тела.

Во второй части второй главы, в задаче о движении топкого тора в жидкости, на основании классического метода граничных интегральных уравнепий строится асимптотика при малых е. Решение внешней задачи Неймана представляется в виде потенциала простого слоя с неизвестным значением плотпости на границе тора. Для плотности возникает граничное интегральное уравнение. Дальше отдельно рассматриваются задачи о вращении и поступательном движении тора в жидкости. Вводятся в рассмотрение тороидальные координаты а, ß, ip, которые связаны с цилиндрическими формулами

csha с sin в

Y ~ ...... ._ — -

cha — cos ß' cha — cos ß'

где с — масштабный множитель, 0 < а < оо, —ж < ß < я, — ж < <р < 7Г. Координатные поверхности а = а о = const представляют собой торы, а поверхности ß — const суть сферические сегменты с общим основанием в виде окружпости радиуса с. Величины с и oq выражаются через параметры задачи а и Ь по формулам: с = ashao, Ь — achao-

После перехода в граничном интегральном уравнении к тороидальным координатам, получаем, в случае вращения тора, интегральное уравнение Фредгольма второго рода на отрезке [—7Г, 7г]:

(I-G)u = С, (1)

С = (1 -ey/2sm,e0(l-ecosp0)-5'2,

(Gu){ А,) = ]g (cos2 cos fa, е) v(p)df3,

G( cos2|,cos/?0,£) = (2TT)-1(l-r

\ , 2/3 X 5i(cos —,e) +

£ cos ß0J 2

+ (2тг)-152( cos2^,e);

2e2 sin2 f (1 - - E(k)) - 2E(k) + К (к)

9l{C0S 2'S) - (1 -£2C0S2 1)1/2 5

. 2ß . 2e2sin2 1(1 - е2)~1(К{к) - E(k)) - E(k) 92{C0S Г£) = -(l-eWf)Vi-;

к2 = (l-^Xi-e'cos2^)-1.

Через A'(fc) и Е(к) обозначены полные эллиптические интегралы первого п второго рода. Полный эллиптический интеграл первого рода К (к) имеет логарифмическую особенность при к — 1. Следовательно, интегральное уравнение (1) имеет логарифмическую особенность в ядре при ß = Д). Введем пространство непрерывных нечетных функций

Со — {v £ 7Г,7г] : !/(-/?) = -v(ß)} , Н\ = тахК/?)|.

Лемма 1. Оператор G оставляет инвариантным пространство Со, справедлива оценка для нормы оператора

1|С||с0-»Со < В(е), В(е) = Вг(е) + В2(е),

2е */2

= - / |fli(cos2ß,e)-hie-l\dß, 77 и ? Ф

B2(£) = - j \g2(cos2ß,e) + l-£2\dß

n о

и асимптотическая формула при малых е: В(е) = О(е) при е —> 0.

Функция В(е) исследовалась численно. Численные расчеты показали, что норма оператора С? меньше единицы не только при малых £, но и для любых 0 < е < 1 (таблица).

и

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99

0.076 0.162 0.252 0.345 0.442 0.545 0.655 0.771 0.893 0.994

Таким образом, решение интегрального уравнения (1) представимо в виде ряда Неймана:

КАО

Е(сЧ)(А>)-

к=0

(2)

Для построения асимптотики интегрального уравнения (1) при малых е используется ряд (2). Подставляя в формулы для и известные асимптотики полных эллиптических интегралов, получим асимптотическое разложение ядра. Затем члепы ряда (2) раскладываются в ряды по

функциям вида е"[1п

--11т

пит

натуральные числа. Причем к-й член

ряда имеет порядок 0(ек) при е —> 0. Более сложные, логарифмические функции появляются в младших членах разложения Суммируя первые три члена ряда (2), выделяя члены до порядка О (с1*11п £~]) при € —► 0 и вычисляя интегралы от элементарных функций, получим асимптотику решения интегрального уравнения (1).

Лемма 2. Справедлива асимптотическая формула:

3

= 8Ш[3 + вш 2/Зе - - БШ /Зе11п е"1 +

+ +

23 91п2\ . 0 27 . 0. 16 8 /51П 32 31П 35 91п2\ . пя 5 . ■ 64 + ~16~ ) 5т ( + 8 ЯШ :|г|| = 0(ИЬе-1) ори е 0.

£2 + — 5т2/?£31п£-1 + 16

е3 + ^8ш/?£4[1пе-1]2;

Апалопгшо строится асимптотика интегрального уравнения осесимме-тричной задачи. Асимптотики потенциалов поступательного и вращательного движений на поверхности тора имеют вид

Фх(а0,Р) = -о(зт^ + ^т2/3£+ ^¡п^Ьг1 +

+

Г/31п2

+ —Г~

IV 4

25 91п2

128 32

5 \ 1

— 1 8ш/? + -бшЗ р

е2 - —нт2р£3]пв * +

^ - «п2Р + ¿8ш4/?] е3 + + п(/М)),

Ф2(а0,/?,<?) - а2 cos ^е-1 (sin/3 + ¿sin2/3e - | sin/?е2 In е-1 + (4) '19 91n2\ . л 1 . 1 ,16 "^j SU1 8 S1U

+

9

e2 + — вшг^Ьг1 +

+ sin2/? + ¿siH£3 + ¿^M^-1]2 + ЫМ),

, ||r2|| = 0(£4Ье-1), прие-»0.

+

Для присоединенной массы т и присоединенного момента инерции J получены следующие разложения

т — ра5ж2

(е-1 + \еЫе~* + - s + ¿^[Ье-1]2 + (5)

/ЗЬ2 _ 4314 ^ , _ (2Ш2 _ 9(1Д2£ _ 25 4

V 16 256/ \ 64 32 512J v >h

5ТГ2, _з 3 /9In2 17\

-fl-etlne-^ + OCebe-1)), e 0.

о A

Асимптотики потенциалов (3) и (4) дают первые четыре члена асимптотик т и J. В формуле для т приведены еще два члена асимптотики.

Сравнение результатов для присоединенной массы тора, полученных но формуле (5), с численными результатами работы Т. Miloh, G. Waisman, D. Weils (1978 г.), а также с присоединенной массой вырожденного тора показывает, что погрешность в определении присоединенной массы тора по асимптотической формуле (5) не превосходит одного процента.

Получено необходимое и достаточное условие безотрывности удара: \x,q\ < г, где г = ае~1д(е). Здесь xq — точка приложения имнульса, г — радиус круга на плоскости переменных ху, ограничивающего область безотрывного удара. Асимптотика функции д(е) при малых е имеет вид

, Ч 1 5 41 -1 /15In2 17\ з 4,

На основании последней формулы и приближенного результата для радиуса круга безотрывного удара вырожденного тора сделан вывод, что для любых торов (0 < е < 1) функция д(е) удовлетворяет оценкам:

д(1) < д(е) < д(0), д( 1) ю 0.36, д(0) = 0.5.

В третьей части второй главы рассматривается задача о поступательном движении тора перпендикулярно оси симметрии. В четвертой части

исследуется задача о вертикальном ударе по твердому телу веретенообразной формы, полученному вращением дуги окружности вокруг прямой, проходящей через ее крайпие точки.

В третьей главе на основании известного решепия задачи о вертикальном ударе по телу, погруженному в жидкое полупространство, строится приближенное решение задачи об ударе но тому же телу, погруженному 1» слой жидкости конечной глубины Н. Предполагается, что смоченная поверхность тела имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии хг и у г. Оси х ж у лежат в плоскости свободной поверхности, ось я направлена вглубь жидкости.

Асимптотика для больших /г строится при помощи метода последовательных приближений. При этом поочередно рассматриваются случай !г = оо (полупространство с твердым телом) и задача для слоя при отсутствии тела. Каждый раз ликвидируются невязки, возникающие на дне и, соответственно, на смоченной поверхности твердого тела. Найденные для потенциала скоростей Ф приближения раскладываются в ряды по степеням /г-1, сходящиеся равномерно в окрестности смоченной поверхности тела. При этом приближения, начиная с шестого, добавляют члены порядка 0(1Г7) при /г —> оо.

Для присоединенной массы и присоединенных моментов инерции получены явные асимптотические формулы с ошибкой О (/г-7) при к —> оо. Для присоединенной массы при сделанных предположениях пайдеп второй член, а для тел вращения также третий и четвертый. Искомые асимптотики имеют вид (р = 1):

+ 3К° + У)2С(3) + 45(т00+У)9С(5) +

00 167Г /г3 647Г Л5

где

--ЙГ + СЧЛ (6)

л = Лоо + ^Щг+°(л-7)>/г - (?)

= + +°(/г?)'н - ^ (8)

= /(г2 - х2) ¿V - ] (г2 - х2)пгФх ¿в + 2 У хгпхФх сЬ; V дП1 д01

Сх = / (гпу + упг)Ф\ с/в - |{у2 - х2) (IV; а«! V

Су = I (гпх + хпг)Ф31 г1ч - - х2) й\г. 3«! V

Здесь rrioo, Jxoo, Jyoo — присоединенные масса и моменты инерции, Ф1; Ф*1, Ф| — потенциалы поступательного и вращательного вокруг осей х и у движений в случае бесконечно глубокой жидкости, V — обьем погруженной части тела, ((s) — дзета-функция Римана:

оо 1

С(*)=£т7, Re s > 1. к= 1 к

Отметим здесь, что второй член асимптотики в формуле (6) верен для тел произвольной формы, без предположений симметрии. При этом третий член асимптотики присоединенной массы имеет порядок 0(h~4) при h —оо. При наличии же двух плоскостей симметрии третий член асимптотики присоединенной массы есть величина порядка О (/г-5) при h —» оо. Третий и четвертый члены асимптотики в формуле (6) найдены только для тел вращения.

Для кусочно гладких поверхностей вращения проводится обоснование первых трех членов асимптотики присоединенной массы жидкости.

В качестве конкретных примеров на применение формул (6)-(8) рассмотрены задачи о вертикальном ударе по вырожденному тору и шару, полупогружепных в слой жидкости конечной глубины. Для присоединенной массы и присоединенного момента инерции вырожденного тора выполняются разложения:

m = ^+3(/fYJc(3W - 15(/^iC(5W+

+ 9(M^C2(3W + 0((a/hy)), h/a - оо; g , «JA *Kx{X)d\ _ °?\AKi(\) dX

J = pa57(l+7i(a//i)5 + 0((a/ft)7)), h/a-* oo,

где h(s) и K\(s) — модифицированные функции Бесселя. Постоянные 7 и 7i определяются численно на основании решения интегрального уравнения второго рода; 7 « 2.728, 71 « 4.626. Также выведено условие безот-рывности удара. Для определения круга на плоскости переменных х и у, ограничивающего область безотрывного удара, получена асимптотическая формула:

|zo| < г, г = ка( 1 + kx(a/hf + 0((a//i)5)), h/a 00,

где к « 0.36, ki и 0.45.

Как показывает последняя формула, наличие плоского дна увеличивает радиус круга безотрывного удара вырожденного тора. Полученный результат интересно сравнить с результатами работ, посвященных удару

круглого диска (И. И. Ворович, В. И. Юдович, 1957; М.И. Чебаков, 1974), в которых был сделан вывод об уменьшении круга безотрывного удара при уменьшении глубины жидкости.

В задаче о вертикальном ударе по шару радиуса а, полупогруженному в жидкость конечной глубины, процесс последовательных приближений был продолжен, и пайдены еще несколько членов асимптотики. Для присоединенной массы получена асимптотическая формула

3 г я* ЗтгС(З), ..,3 97гС2(3), 27тгС3(3),

Здесь проведено сравнение с численными результатами, приведенными в работе Л. С. Ворович (1966). Так, например, когда к в 1.5 раз больше радиуса шара а, величина т/тс0 ~ 1.215981, а по формуле (10) т/т« 1.215827. При /г = 2а имеем соответственно 1.087038 и 1.087035. При к = 2.5а: 1.04-3915 и 1.043914 и т.д.

В аналогичной постановке исследуется задача о вертикальном ударе по телу, плавающему па поверхности жидкости, заключенной в полубсс-конечпом круговом цилиндре, а также центральный удар по телу при наличии вертикальной плоской стенки. При этом, если найдены коэффициенты асимптотик при учете влияния дна, то легко делается пересчет и на случай стенок. Конкретные расчетные формулы получены для круглого диска и вырожденного тора.

В заключении диссертации перечислены основные результаты работы.

Основные результаты и выводы

1. Для вращательно-симметричных тел доказан общий признак начала отрыва жидкости от тела при ударе, который дает условия применимости теории безотрывного удара. Даны примепения доказанного признака для ряда конкретных тел (поверхности вращения веретенообразной формы, эллипсоид вращения, тор, кольцо, параболоид, шар).

2. Сделан вывод, что отрыв жидкости от тела, для различных тел, может начинаться как в дальней, гак и в ближней от точки приложения импульса точке границы смоченной поверхности тела. Приведен пример, показывающий, что отрыв жидкости возможен также и под водой.

3. Рассмотрена задача о вертикальном ударе по тору, полупогруженпо-му в жидкое полупространство. Отдельно изучены задачи для вырожденного и тонкого тора. Для потенциала скоростей жидкости на смоченной поверхности тора в явном виде пайдены первые семь членов асимптотики

тонкого тора. Даны оценки остатков. Указан алгоритм нахождения следующих членов асимптотического разложения. На основе этой асимптотики определены присоединенная масса и присоединенный момент инерции. Выведено условие безотрывности удара. Получеппые асимптотики эффективны в широком диапазоне изменения характерного параметра задачи и вместе с результатами для вырожденного тора позволяют сделать выводы для любых торов.

4. Предложен алгоритм построения асимптотики для больших глубин при вертикальном ударе по твердому телу, плавающему на поверхности слоя идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Характерной чертой этой асимптотики является то, что в формулах для присоединенных масс коэффициенты при главных членах явно выражаются через основные характеристики удара по твердому телу, погруженному в жидкое полупространство и, следовательно, для их определения не требуется решения новых краевых задач. Аналогичные асимптотики получены для других границ (вертикальная плоская степка, полубесконечная цилиндрическая стенка). Решен ряд конкретных задач с учетом влияния дна и стенок (вырожденный тор, шар, круглый диск).

Публикации по теме диссертации

1. Норкин М.В. Удар тела вращения о поверхность идеальной жидкости бесконечной глубины // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды I Международной конференции. Тезисы докладов, г. Ростов-на-Дону, 19-21 июня 1995 г. С. 37-38.

2. Норкин М.В. Удар вырожденного тора о жидкость бесконечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №. 5. С. 161-165.

3. Норкин М.В. Удар по твердому телу веретенообразной формы, погруженному в жидкость бесконечной глубины // ПМТФ. 1996. Т. 37, вып. 1. С. 36-41.

4. Норкин М.В. О начале отрыва при гидродинамическом ударе по плавающему телу // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №. 6. С. 99-104.

5. Норкин М.В. Удар тонкого тора о поверхность идеальной жидкости бесконечной глубины // Журнал Вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. №. 10. С. 1263-1268.

6. Норкин М.В. Вертикальный удар по твердому телу, плавающему на поверхности слоя идеальной песжнмаемой жидкости конечной глубины // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды III Международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 7-9 октября 1997 г. С. 69-72.