Вещественные инъективные алгебры фон Неймана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

академия наук республики узбекистан институт математики имени

Г б ОД в. и. романовского

г. На правах рукописи

УДК 517.98.

БОЙ КАБИЛОВ Баходир Мустафаевн^^^^^"

вещественные инъективные А 1гебры фон неймана

01.01.01—математический анализ

АВТОРЕФ ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ—1996

Работа выполнена в отделе алгебры и анализа Института математики имени В. И. Романовского ЛИ Республики Узбекистан.

Научный руководитель:

академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Ш. А. АЮПОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЧИЛИН В. И., кандидат физико-математических наук, доцент РАХИМОВ А. А.

Ведущая организация — Институт математики АН Украины.

Защита диссертации состоится « . II .» $1996 г.

и . . . ._сов на заседании Объединенного Специализированного Совета Д.015.17.01 в Институте математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Таш-кент-143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.-И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «

1996 г

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических паук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теш. Теория злге^р операторов, действуккк р. гапьбертмгсм пространство, вогшисля р 30-годн б работах Ф?и Неймзнз и Кюррея исходя из потребностей с^кзккк: нао'лтгет?

фИЗ'.ТЧеСКОЙ ^ИСТОМ!! ото^доствляллоь о сгрзшпонл!^: самоеопряяепннмк операторами.. о состояния физической енотечи - о подогвтъяъаыии Еоргяфозгвншз яиейвшк функционал?««

(состояниям;'!) НЗ ЗЛГОбре опорэторов. ÍY;:Í НеЙИЗЧ И Мюррой

подробно изучили структуру семейства алгебр, которне теперь называют алгебрами фок Немана, или W* ~ алгебрами. Значительно тюзхе бил впяснен тот факт, что в физических приложениях' появляются исключительно тэк нззив-земые инъектнвкые алгебры фон Неймана.

Понятие инъективности было введено в 1967 году в работе

Хзй&ды и Токиями (НаКесЗа J. .Tomíyama J. On some extension

prepertles of yon Neumann algebras. Totekii Math. J., 1957. 19.

N3, p.315-323.). Позднее оно неоднократно переформулирошвзлосъ,

и были вредени близкие ' определения: оменяОельность к

г.олудискретзость, позволяющие с рэзлкчглгх сторон исследовать

структуру таких алгебр.

Одним из значительных результатов теории алгебр фон Немана

является результат Кокнз о эквивалентности этих четырех

определения для. алгебр фон Неймана над сепзрабельннм гильбертовым

пространством. (Qomes A. Classification oí Injective factors

санез II.j ,11^.111^,?.^! ). Ann. Hath. ,1976. !04, N1. p.73-115.)

Причем при доказательстве сгя:глт пелудискротлости и

гинерфндитяоети ему пришлось попользовать сложную

технику. Впоследствии доказательство К.оняд 'било упрощено * ,3

Вассермэном (Wassermn S. Infective W* - algebras. Math. Proc.

Caubridge Phll.Soc. 1977,82,N.1, p.25-41) и Хогерупом (Haagerup

U.A.. New Proof oí the Equivalence oí Inactivity and

Hyperiinlteness for Factors on a Separable Hilbert

Space. (Preprint, i 984,Г1 ,Math.Inst.Odense Unlversltet. )

В 1976 году б вышеуказанной работе Кони доказал", что

шьективнай фактор типа П\, 0<А<1 над сепарабедьныи

глльоертовнм пространством единственен и, соответственно

изомоV фактору Пауэрса TZ

В 1939 году Хогерупом (Haaígerup Ü. A.The infective factors

oí type Шл, оа<1. Pacific Journal of Mathematics. vol. 137.

No. 2, 1989. p.265-310) било д-зно другое доказательство

единственности иньектизного фактора типа Ilí^, 0<А.<1 , которое

следует из единственности ияъективных факторов типа II и 11ю и

заменяет использованный Конном анализ классов внешней

сопряженности автоморфизмов на более длинный, но относгйельно

простой механизм, вклотакщий в себя вполне положительные

отображения. Доказательство сводится к доказательству того факта,

что инъектшность эквивалентна гиперфкнитности для факторов тша

IIt ив этом случае следовое состояние заменяется Х-состо.чкием.

(Это точное нормальное состояние ф на факторе типа для

которого =Ш, где t =-2z/lo&). то ' ■

Отсвда возникла необходимость построения вещесгвеннцх (.{акторов Пауэрса н получения аналога теоремы Хогерупа для. вещественных факторов типа XII _ Одновременно, било бы полезно построить конкретно зти Еполне. положительные отображения. Но необходимо ' отметить, что существуют дез класса неизсморфных шцситиешшх ингектиышх факторов тша 0<Х<1. Один из них

гюремыогсн кньолшивнш ^-антиавтоморфизмом с mod(a)=1, а другой инволкггквиым "--эитизетоморфизмом с nod(a)=/7C.

4

(Giordano S. Antiautomorphisrces involutlfs des facteurs de von Neumann Inject lia*. I,II // I J. Operator theory. 1983. V 10. N 2P 252-287// II J.Funct.Anal., 1983. V 51. N 3P 326-360) Для построения вещественного фактора Пзузрса и для доказательство аналога теорема Хогерупа мы будем рассматривать. случай, когда nod(a)=1.

В отличие от теории комплексных ияъективных алгебр фон Неймана, теория вещественных ингектиших алгебр фон Неймана пока еще слабо развита. Поэтому представляется актуальным рассмотрение этих свойств алгебр для Езщественвш алгебр фон Неймана.

Цель работа- подучить аналог теорема Конна о эквивалентности этих свойств (аменабельность, полудискретность,' иньективность. пшерфинитность) для вещественных алгебр фон Неймана, а также построить вещественные факторы Пзузрса над нолем вещественных чисел и над телом кватернионов и построить изоморфизм между инъекгишым фактором типа 0<\<1 и вещественным

фактором Пауэрса.

Общая ыетодпка исследования.

При изучении понятия 'инъективности. аменабельности, полудискретности и гкперфинитности для ЕевдэстЕенннх алгебр фон Неймана и при построения изоморфизма между вещественным иньектквнш фактором типа IIIÄ_.0<A.<1 и вещественным (фактором Пзузрса используются метода теория операторшгх ' алгебр. В частности, систематически применяются методы У. Хогерупа из вшеуказзннпх статей.

Научная новизна. Все результата диссертации являются ношлги. В работе получены следующие оснсвнне результата:

- доказано, что. для любых вещественных алгебр фон Кеймана над селзрабелъкш птльбортовнм пространством имеет место импликации: Kin>eicTîîEHOcTb . +- яос!(сО-1 " <—> аменабельность , <=■=>

5

пол!'дискретность <—> гиперфшитность;

построены вещественные факторы Паузрса над шлем евщественшвс чисел и над телом кватернионов, доказана их изоморфаосгь.

- доказано, что инъективный вещественный фактор типа П1?, для которого тйоШа)=1, изоморфен вещественному фактору Паузрса.

- построены вещественные вполне положительные отображения, которые задают конкретный вид изоморфизма между инъективным фактором типа 1ПЯ с гао<3(а)=1 к вещественным фактором Пауэрса;

Теоретическая и практическая значимость. Результаты к методы диссертации могут быть использованы: при исследовании операторных алгебр и при решении ряда задач квантовой статистической механики.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на городском семинаре при кафедре функционального анализа в ТааГУ (19ЭГ-19Э5 гг.), на семинаре "Операторные алгебра и их приложения" в Институте математики им.В.И.Романовского АН РУ. (1930-1996 гг.), на Республиканской научной конференции молодых ученых в Намангане (1994- г.), на . екегодкьк конференциях молодых ученых Института математики АН РУ (1990-1995 гг.)

Публикации. '

Основные результаты. диссертации опубликованы ,в работах [1-41. Работа [23 подробно изложена в [1]. В работе [4] Ш.М.Усманову принадлежит идея доказательства; диссертантом полупена ее реализация. , '.. . ' .

Структура и о бьем.работы.

Диссертация состбит из введения, двух глав, разбитых на десять параграфов, и списка литературы из 46 наименований. Общий объем ру5оты - 97 страниц машинописного текста. ' ' ' б '■ . '

С0ДЕР34.НИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается тема исследования, формулируются цели задачи диссертационной работа и 'проводится обзор ее содержания.

Первая глава посвящена изучению т-аних- понятий, тсш'' киьектингость. аменабельность, полудискретность и гшерфкнитнсстъ для вещественных алгебр фок Неймана.

В § I.I приведены необходимые сведения из теории комплексных и вещественных алт,ебр Ф^ч НеПмяпэ

В $ 1.2 доказано, что для вещественных алгебр фок Неймана такие понятая как аменабельность и полудискретность эквиваленты.

Пусть Ш и S вещественные алгебры фон Неймана, -» S линейное отображение. Обозначим через М (Я) алгебру п*п матриц с элементами из St. Определи ф :М (Si) —» И CS) следующим образом.

$nUa{J}) « [ф(а„>]

Напомним, что отображение ф назнвазтся тг-полошгелъная, если & положительно, и вполне полошпелыаия, если ф п-положительно

п

ря всех п, а ограниченное линейное отображение ф:51 —> 5 называется 6екцгстВеиная .яорфи&иай, если оно вполне положительно и D(1)=1. " .

Вещественная алгебра фон Неймана И называется полудискряжай, зсли единичное отображение на 9i можно аппроксимировать в слабой* -топологии нормальными морфизмами конечного ранга.'

Определим т] -"-гомоморфизм,- переводящий ЖШ' в зледущим образом:

T](rsa;' )=£г'. eSt' (SV -коммутант Я)

7

Если т) имеет ограниченное продолжение на 51®ЗГ , то алгебра St называется алюнабельной.'

Основным результатом § 1.2 является Teopeua 1.2.13. Пусть 5i - вещественная алгебра фон -Неймана Тогда Я является амекгбельеой тогда ж только тогда, когда Si полудискретна.

В § 1.3 рассмотрены такие понятия, как инъективность г; аменабельность. Напомним, что вещественная алгебра фон Кеймана St в 0(?;ф5 называется иньеогШиой, если существует проекция PrBtffy) 3t С j|P||=1, Р(1)=1.

Основным результатом § 1.3 является теорема Г.3.5, показыващая, что для полуконечной вещественной алгебры фон Неймана из инъектизности следует аменабельность.

Теорема 1.3.5. Пусть 51 - полуконэчнзя иньективная вещественная алгебра фон Неймана. Тогда 91 аменабельна.

Построенная в § 1.4 теория разложения позволяет ео многих случаях сводить задачи о произвольных вещественных алгебрах фон. Неймана к соответствующим задачам для факторов. При этом используется так называемое центральное разложение вещественной алгебры в прямой интеграл факторов в случае, когда вещественная алгебра фон Неймана действует в сепарабельном . гильбертовом пространстве.

Напомним, что вещественная алгебра фон Неймана 51 называется вещестбетош фсояюроа фон Неймана, если в- ее центре ZOR) лекат только элемента вэдз Ш}, где

Оенозша результатом § 1.4 является теорема 1.4.4, иозколящая нам сводить проблемы классификации вещественных алгебр фон 1Ы!мана к проблемам классификации факторов, 'feopeua 1.4.4. Пусть Я и й* разложимы:

Я = , 5Г = /V(Z)4i(Z)

а

Тогда:

(О Щг) и Я'(2) коммутируют почти всюду, (и) Если г(а)-Ц0нтр й (кроме того &'), тогда Щг) и Я' (г) является почта всаду по 2 факторами, которые порождают вещественную алгебру фон Неймана В(Н(г)).

(ш) Обратно, если Я<2) и 51' (я) для почти всех г порождают вещественную алгебру фен Неймана В(Я(2)), то г(Я) является центром Я и Я'.

В § 1.5 рассмотрены свойства полудискретности и гкперфинитяоета для вещественных алгебр фон Неймана. Вещественная алгебра ■ фон Неймана называется гиперфтияясй если существует возрастакщая последовательность {Э^}^ конечномерных подалгебр таких, что 1Ж4 слабо плотно в В этом параграфе сначала конкретно ■ строятся вполне положительные отображения на 31, необходимые для доказательства теоремы 1.5.2.

% Предложение 1.5.1. Пусть ^-вещественная алгебра фон Неймана и. 7 конечномерный вещественный подфзктор с п=йЫ(Т). Пусть Т-вполне [толозеительное отображение из 7 в Л. Тогда существуют п операторов ^,...,^£51 таких; что

п

Т(х)= хе?.

{=1 .

Если ^й собственно бесконечная, тогда существует единственный

оператор аеЯ такой, что

п

Т(х)= У""Уза , хчТ.

{=1

С помощью вполне положительных отображений доказывается, что та полудкскретности следует гиперфинитность. -

Теорема 1.5.2.. Собственно бесконечный полудискрэгный фактор 5? га сепарабельном гильбертовом пространстве является -лперфинитннм.

Основным результатом первой главы является аналог теоремы Коша для вещественных алгебр фон Неймана над вещественным гильбертовым пространством с некоторыми уточнениями. Теорема 1.5.5. Пусть Ж вещественная алгебра фон Неймана над вещественным свпзрабельшш гильбертовым пространством Н . Тогда следующие условия эквивалентны:

1).2* иньективна + той(а)=1; з).а аменабельнз;

3). Я по лудискретна;

4). Я пшерфшштна.

Вторая глава посвящена построению вещественных факторов Паузрса и вещественных вполне положительных отображений, позволяющих нам получить конкретный вид ' изоморфизма между инъективным вещественны!,1 фактором типа с яюё(а)=1 и

вещественным фактором Пауэрса. Доказана изоыорфность вещественных факторов Паузрса над полем действительных чисел и над 'телом кватернионов. ...

В § 2.1 и § 2.2 доказаны некоторые технические результаты, которые необходимы для доказательства основной теоремы.•

В § 2.3 дано определение. '• о^-иявортжиого вполне положительного отображения, 'где оф - группа- модулярных

автоморфизмов, ассоциированная с точным нормальным состоянием <р.

^ 1 -

Пусть Я - вещественная алгебра фон Неймана, -1/(91)--'ей обертывающая алгебра фон Неймана, т';е. наименьшая комплексная алгеора фон Неймана, содержащая Я, . ф - точное нормальное состояние на <р - а-инвариантное продолжение (р на ЩК) {см. 143). Пусть С с 9*'подалгебра 58, для которой .

о*{ЩК))=ЩК)

Определение 2.3.1. Линейное отображение Т:К. —♦ Я называется о'!*-ккьаригшташ, если; V/ ,

т(о£ (Г(2г)), v «г/да,

где Г а-инвариантное продолжение Т на Ц(К).

Основным результатом § 2.3 является

Теорема 2.3.3. Пусть 31 - вещестЕешшй фактор типа Ш^,

ф-точнов нормальное состояние на St, такое что of =id

то

{г0=?л/1о£к). Пусть К конечномерный подфзктор Si, для которого

и пусть Т:Кг-*$1 о^-КЕваркантЕОв вполне положительное отображение, удовлетворяющее условия?,!

г(1)=1 и Ф'Т^!^ Тогда для каждого й>0 существует последовательность операторов на таких что

x = =1 и i=i i=t ' " i=i

€ в||г|| для всех хеК.

Заметим, что условие что аV -Ш означает, что для

о

порокдащего Я шволютшзного *-автиавтоморфизма а имеет место выполнение условия: яа?(а)=1.

В § 2.4 с помощью вполне положительных отображений доказано, . что если вещественный фактор типа III с шой{а)=1 инъективен, то он полудаскретен.

■ . Известно, что полудискретность вещественной алгебры фон Неймааа я эквивалентна , тому, что существует сеть (ета) вещественных чисел и две сети а-слабо вполне положительных отображений

Я,,:» -» М„(Ш), Г.'МГК) Я,

(X га о. тл

такие что 5Д(1)=1, 2"а(1)=1 и Ра-Зд поточечно а-слабо сходятся к единичному отображению на Я. Это следует из того, что композиция вполне положительных отображений дает нам нормальный

морфизм конечного ранга. В § 2.4 показано , что в случае

..■"" и. - ' - ■ ' '

вещественного инъективного фактора типа III можно выбрать аппроксимацию специального вида, которая связана с модулярной группой автоморфизмов по фиксированному состояния на Ж.

Для любого точного состояния ф на вещественной алгебре фон Неймана 31 положим:

Мф = <р(зЛг)1/г,

Основным результатом § 2.4 является

Теорема 2.4.1. Пусть а - вещественный иньективннй фактор типа Ш^, 0<\<1 с сапарабельным преддуалышм пространством и пусть ср - точное нормальное состояние на Ш, для которого о^ =(й

О

ио=-?лиЛо£Л). Пусть (рд_ - состояние на И?(Ш), заданное формулой %[ ^

1 хгг 1

и полозжм (где берется т раз). Тогда для каждого

конечного множества операторов из 2 и е>0 , существуют

число иеМ и вполне положительные отображения Б и Г Я: Я М5т(К), Т: И2«<К) -> И,

такие, что

! 5(1 ) = 1. Г(1)=1,_ фп«5 = ср, <р°Г = фп,

of-.i-S.of. oi.F-r.aJ«

для гек и \

пзм^)-*^ <е, й=1,...,п.

Это означает, что если Ш - вещественный инъективный фактор типа IIIх с пой{а)=1, то он полудискретен.

В § 2.5 построены. вещественные' факторы Пауэрса над полем действительных чисел и над телом кватернионов и доказана их изоморфность.

Предложение 2.5.1 Вещественный фактор Пауэрса изоморфен кватерниовному фактору Пауррсп 7?:;.

Осноешм результатом 2 глави является теорема 2.5.2,

утверждающая, что вещественный иньективный фактор типа III с

mod(a)=1 изоморфен вещественному фактору Пауэрса.

Теорема 2.5.2. Пусть SI - иньективный вещественный фактор

' типа III с сепарабедьнш преддузлыткм и пусть <р - точное

нормальное состояние на Я, для которого af -id. Тогда ?t

'о

изоморфен вещественному фактору Пауэрса И . Более того, изоморфизм а из 31 з R можно выбрать так, что ф=м «а, где ш. -

А т Л Л.

бесконечное тензорное произведение состояний ш = на

Автор выражает глубокую признательность сЕоему научному руководителю Шавкату АбдуллаеЕичу Акпову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность к.ф.-м.н. Ш.М.Усманову за полезные обсуждения при написании этой работп.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1.Б о й. к а б и л о в Б. К, Иньективные вещественные алгебра фон

Неймана. ВИНИТИ.,26.04.94.1014-В94.ДЕП.,стр.1-26.

2.Б о й к а б п л о в Б. Я. Иньективныа вещественные факторы фон

Неймана. Докл. АН РУ, 1995, £ 7-8, с.3-4.

3.Б о й в а б п. л о_ в Б. М. Ияъекгиввыэ вещественные факторы фон

Неймана. Тезисы докладов Республиканской научной конференции "Новые теоремы молодых математиков-94" 1994. с.20.

4.В ой кабилов В. !J., У с иа к о в Ш. М. Вполне положи-

тельные отображения на вещественном факторе типа III., 0<А<1. Докл. А.Н РУ, 1996, № 4. с.6-8.

А

Хрцш^ий: пнъектив фок Нейман алгебралари.

Ушбу диссертацияда зри^ицкй фон Нейман алгебралари учун кнъективлик, аменабеллик, яримдискретлик ва гиперфинитлик тушунчалари киритилиб,' улар орасидаги богоанЕшлар урганилгаз. Комплекс фон Нейман алгебраларида ушбу хоссалар эквивалентдир.

Еиринчи бобда сепарабель Гильберт фззоси уствда к,урилган з^и^в^ий фон Нейман алгебралари учун гаадоидаги тушунчаларнинг эквивалентлик карт лари топилган ез исботланган. ^акдо® фон Нейман факторлэрвда зса умумий х,олда инъективликдан гиперфинитлик келиб чикмаслмгага мпсол келтнрилган вз цуйидаги теорема исботланган.

Теорена. Сепарабель Гильберт фазоси услада ^урилган з^агдаий фон Нейман алгебралари учун ^йиццаги хоссалар эквивалентдир:

1) иньекгивлик + raod(a)=1

2) аменабеллик

3) яримдкскротлпг

4) гиперф'пгит.'.и!'.;

ИккЦнчн '"-б у.-н^ауй сонлар майдонк устада ва квэтернионлар гисми усивд xaKjii;?'J! Пауэре факторлари кдфшяга баришланган з^мда уларнинг изру.орфлиги исбот ^илинган.

Олинганчыухщд натижзлардан бкри ^уйидагича:

Сэиарабел одш^УЕма фазога зга б)Глган 0<Я<1 типлк

^•ацичЕй ингектиз фон Нейман факторлари c/f =íd булганда

о

Пауэре фэкторига изоморф б/лкши .исботланган. Шунингдек бу изоморфликни урнатувчи акслзнтирш ани^ вдрллган.-

Infective real von Meumnn algebras In the dlsoertltlon different properties of real von ■Neumann algebras over a separable Hllbert space are Investigated: such as Irtfectlty, amenability, semldlscretenesa and lijperilniteness. For usual (complex) von Memiann algebras this propertls are taown to he 'equivalent.

In the first chapter the following theorem la proved. Theorem. Let Si be, a real von Neumann algebras over a separable Hllbert apace. Then the following properties are equivalent:

(£) Si is infective and mod(a) = 1; (if) It is amenable; (ill) Si is semldlscrete; {IV) St is hyperflnlte.

In the second chapter we construct of Powers factor over IK (real Towers factor) and the Powers factor over quaternions and prove that they are isomorphic.

The main result of second chapter is

Theorem. If Si is an lnjectl7e real factor of the type ill^, 0<A.<1, such that o'f =id, then Si 13 isomorphic to the real. Power

factor. The construction of this-, isomorphism given.