Периодические автоморфизмы и антиавтоморфизмы инъективных факторов типа II1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи РАХИМОВ Абдугафур Абдумаджидович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АВТОМОРФИЗМЫ И АНТИАВТОМОРФИЗМЫ ИНЪЕКТИВНЫХ ФАКТОРОВ ТИПА И,

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1991

Работа выполнена в отделе алгебры и анализа Института математики им< ни В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Научный руководитель:

член-корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор фнзико-математическн наук, профессор Ш. А. АЮПОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. С. ХОЛЕВО,

кандидат физико-математических наук, доцент В. И. ЧИЛИН

Ведущая организация — Московский государственный уннверсите имени М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 190Я г. в

часов на заседании специализированного совета К 015.17.01 н Институте мат1 матики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700141 г. Ташкент, 143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математик имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан

» 199-2 г.

Ученый секретарь //У/

специализированного совета ¿^¿¿-Рлу .

кандидат физ.-мат. наук

—- А. Н. СТАРЦЕ

i^L ¿'.ж-/

- Э -

ртлций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Теория алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространство, возникла а 30-э года о появлензш серия статей фон Неймана я Мюррат ~ iïoh Неймана. Главзшз «отпвпровкзмп этих авторов бшш примо-нения к теории унитарных продстпвлош::! група п аняллз иоко-торых аспектов квантовомехэнического формализма. Они подробна изучили структуру семейства алгебр, которые теперь называют алгебрами фон Неймана, пли W - алгебрашь Посло-доватольноо развитие теории этих алгебр привело к открыта» факторов.

Первичная классификация факторов по типом (lé II I ( ît ^ , Не ) и ЕГ , данная в статьях фон Поймана, определила на некоторое время очередность и характер иссло-даваний. Факторц типа Г^ былп полностью расклассифицированы с самого начала: это алгебра всех операторов в гильбертовом пространстве размерности И , 1 ,<х> ; для факторой типа Ц был построен континуум попарно ноизоморфпих факторов. Однако доказано, что и классе гиперфшщтннх факторов существует единственной фактор типа li Л ц 1Г „ ; фокторч

* Су "

типа И долгое врамч казались слитакс.ч слоиным обьепточ. Несмотря на это, q последние годы была получена клосо^акп-ция многих ванных. спешкльных случаев. Например, было доказана и любая лпа> тъекъюыю факчари тпп Нд , изомор^них

Одним-. из значительны:: результатов теории алгебр фон Неймана является результат А.Копия о внутренней структура

\\f- $aKTODOB ТППа Шд , (Cormes Л. Une cloBBi-

ficatlou des facteurs de type Щ . Ann. Ecole Horm, Sup., 1973» 6, No г, 133-252 ).0ц ввел понятие скрещенного произведения W* - алгебры на ее * - автоморфизм и подучил дискретное разложение б" - конечных факторов типа Ид , Л # { , с помощью которого классификация этих факторов свелась к классификации W* - алгебр типа JT^, и классификации их - автоморфизмов с точностью до солряненно-сти. Аналог этого результата для вещественного фактора типа

Ц . , ЛФ { был получен Ш,М.Усыановым ц П.Стаей (Усыанов * _

ilifU, Вещественные W - факторы типа Жд , .

Функ, анализ и его прил. 1985, T.I9, Вцп.З, С.94-95., sta-осу P.J. Real structure in & - finite fас tore of type Лд I where 0< Л < i , Prop, London. Math. Soc, 1903. 47. Ко 2. 275-284),

В связи о этим теория $ - автоморфизмов комплексных и вещественных W* - алгебр получила в последние года значительное развитие. А.Конном получена полная классификация всех периодичоских Ж - автоморфизмов (комплексного) ГИПерфиНИТНОГО фактора типа Ж^ (Connes A, teriodic Automorphisms of the It/perfiriito Factor of type jj^ // Acta Sei. lîatl», 39. 1977. P.39-66 ). кроме того, он исследовал £ - автоморфизмы W*- факторов, определил и изучил их основные инварианты.

Теория - автоморфизмов вещественных W*- факторов пока еще слабо развита. Поэтому представляется актуальным построение классификации £ - автоморфизмов вещественных W*-факторов, в частности, классификации периодических * - автоморфизмов вещественных W*-4bk-

торов.

С другой стороны, в работах Ш.А.Аюиова и Т.Штермера было показано» что всякая вещественная алгебра фон Неймана единственным образом порождается некоторым инволютивным * -антиавтоморфизмом обортывакцеЯ алгебры фон Неймана (Аюпов Ш.А.

JW - факторы и антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана.// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т.49. Я I; C.2II-220; H.Hanche - 01веп and B.Storrcer. "Jordan Operator Alcebrae". Pitman , Kev/ York / bond on. 1984 ). Поэтому при изучения во-

X

щественных W - алгебр необходимо изучать и % - антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. В последние года получены результаты Т.Джиордано и Е.Штормера, относящиеся к периодическим * - антиавтоморфизмам с периодом 2 (инволютивным )

(Giordr.no Т. Antiautomoi-phiciv.es involutifc dco facteurs de von Ь'ешпапп injectife. I // J.Operator theory. 1983. Vol.10, iio 2. Г. 252-287, II // J. Funct. Aral. Tgtn. Vol. 51. По 3. P.32G-360; Storr.cr 2. "Real в truc ture in the liyperfinite factor. Duke Path. J. 1980. Vol. 47. No 1. P.145-153 ). В них дана полная классификация инволютивных * - антиавтоморфизмов иньективного фактора типа Í и Ж^ , D?, 1] . В неиньективном случае известно, что для любого натурального числа а существует Фактор типа с ft массами сопряженности инводвтивных t - антиавтоморфизмов.

Поэтому возникает вопрос об обобщении этих результатов на периодические * - антиавтоморфизмы иньективных факторов.

Результата, представленные в диссертации, продолзавт исследования :в указанных направлениях. .

Цель работы- получить классификацию периодических * - Антиавтоморфизмов иньактивного фактора типа , а такие получить классификацию периодических * - автоморфизмов а * - антиавтоморфизмов вещественного иньективно-го фактора типа .

Общая методика исследований.

Дря изучении * - автоморфизмов и * - антиавтоморфизмов - алгебр и вещэсгвекных - алгебр используются метода теории операторных алгебр. В частности, систематически применяются иетоды А.Конна и Т.Дгшордано из вышеуказанных статей, в такае ьштод перехода к обертывающей алгебре фон Неймана.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, В работе палучещ следующие основные результаты;

- доказана единственность класса сопряженности чисто периодических * - антиавтоморфизмов факторов Мак Дуй типа , Пар и I

- получена необходимые и достаточные условия соаряаен-иости периодических # - антиавтоморфизмов иньектавного фактора типа ;

- доказана единственность класса сопряженности чисто периодических * - автоморфизмов вещественного иньектив-

ног0 фактора типа И^ ;

_ получены необходимые и достаточные условия сопряженности периодически* * - автоморфизмов, а также * -антиавтоморфизмов вещественного иньективного фактора типа

Л, ;

- получена классификация периодически йордавовнх aàèè морфнзмов наьективного JW - фактора тгта L ,

Теоретическая «практический значимость. Результаты и метода диссертации могут бить использованы при исследовании операторных алгебр а пр* решения ряда задач, квантовое статистической мехааак*.

Апробация работы. Основвде результаты диссертации докладывались иа городском сешларе щт авфед-рв функционального анализа о ТааГУ ямЛ).ИЛсаиаа (2968 - . 1991 гг.), на семинаре "Операторные алгебр* ■ tôt пдимм нвя" в Институте математики АН Республика Уядяаетм (1ЯЮ 1991 гг.), вакон$ереяших мол одах учеякх TmfT (ХДОг.). ив ехегодимх кся}еревд*ях поддан учеякх Rwuvjw гаи« АН Республика /збехаста« (I987-IW0 ЯГ.), m mol ним »миияре "Пава яеям" (СЛОИ, та 1990 г.).

Ц у 6 л я к a ц я ■• Осяоимм рмухмиктишщ оаубмковаш • работ [I - 4] . Работ» В)|Ц|Ш1 «еяв » fi) . В работе (s| KMJommmr доказательстве; диссертантом аодучаяв аа В рабом (4] г«шпесям мим о мияйш W* торах, «соольэагааю of> довааяммям ntanwtat Усиаявну В Л.} диссертантом.

С тру »тура« о б » а ■ р а * « * «• iMccepxatm cocràs яа ■а аяияюхдать naparpajca. и ■евовгша. Обзага объем работ - ПБ текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается з!ёма исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы и приводится обзор ее содержания.

Первая глава посвящена классификации периодических

* - антиавтоморфизмов иньективных - факторов.

В § 1.1 приведены необходимые сведения из теории комплексных и вещественных алгебр фон Неймана, теории йордано-вых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве ( -алгебр).

В § 1,2 для иньективного фактора типа строится

пример периодического * - антиавтоморфизма с произвольным четным периодом - тан называемого канонического чисто периодического Ж - антиавтоморфизма, Рассматривается некоторые свойства периодичеоких ¥ - антиавтоморфизмов >ЛГ * - алгебр.

Пусть М - непрерывный фактор', V - периодический

♦ - антиавтоморфизм М с периодом р . Легко видеть, что существуют наименьшее натуральное число Д в Д Ы )

и унитарный алемевТ: Ц. из М такие, что «¿^ (*) = X ихц* * Ас1ц.(*-) г для любого ас ИЗ м . Периодически? Ж - антиавтоморфизм называется ч и о т о периодическим, если р

Предложение 1.2,1. * > антиавтоморфизм чисто периодический тогда и только тогда,.когда алгебра

является чисто вещественным - фактором.

Следствие 1.2.2. Пусть а[ - чисто периодический $ - антиавтоморфизм М с периодом р и Ц. -унитарный элемент из М . Для существования унитарного Ь- из М такого, что и. = (необходимо и достаточно, чтобы ЦоС{ и* } ({¿5 1И о^'^Ц*)*!^ этом

случае * -антиавтоморфизмы с/ и Ас1и.*с1 сопряжены.

Напомним, что два $ - антиавтоморфизма (соответственно * - автоморфизма ) и ^ сопряжен ы, если существует некоторый * - автоморфизм в та/

кой, что оС - 0-уЗ • в . * - антиавтоморфизм1? (соответственно £ - автоморфизмы ) о^ и у& внешне сопряжены, если р сопряжен с Ас1и.*о1 для некоторого унитарного и. пз алгебры.

В § 1.3 рассматриваются периодические • * - антиавтоморфизмы факторов Мак Дуфф (фактор М называется фактором Мак Дуфф, если он изоморфен тензорному произведению М® й , где Й - иньективньШ фактор типа ; например: все иньективные факторы являются факторами Мак Дуфф ). Доказано, что если периодические * - антиавто-мор}измы и фактора Мак Дуфф внешне сопрявеаа,

тогда они сопряжены (предложение 1.3.5).

В § 1.4 доказан один из основных результатов главы. Это следствие 1.4.9, которое утверждает, что если М является фактором Мак Дуфф типа II^ , или ПГ^ ,

тогда класс сопряженности чисто периодических * - анти-

автоморфизмов единственности, Отметим, что этот результат дезависнмо доказан Т.Дгаорцано ,(не опубликовано), о чем он oooflqE» в письме,

В 8 1.5 получена классификация периодических * - ан-яшвтоыорфваыов иньектаенаго фактора таца Я^ . В даль-вейзем черва R будем обозначать единственный с точностью до ваонорфяака «ньектявный W*- фактор типа ,

Пусть o¿ - произвольный периодический $ - антаавтомор-фаэм 12 о neja одам р , Как известно, существуют наименьшее натуральное число и унитарный элемент ц иа ft тают, что

Пусть

- рдаедиескиЯ внутренний f - авто-цДОвж Я с плодом П. , где W - некоторые уад-твряыа адапяткаС , Твк рак • { , Л f £>

|Д I * i f то W* к .

• '

где - кодов «. - ой степени и? , - срек*р-

адыдо проектора, соответртвувдио { (Х^ } - Пусть % -кшишичесвжЯ сяед ва Й т рбозначиц через £ ($ )

■ К :

вероатвоотяуп меру £1 ) » одроделен-

вувва Т* [í & С : i ] . где

иере, сосредоточвднаа ва | } .

Определение 1.5 Л. Вероятностная мера /

' <* (<¿ J называется рву тревнм ни-

вариантом с/ и обозначается через .

Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 1,5.2. Пусть С - иньективный фактор типа Я^ , о1 и р - периодические * - антиавтоморфизмы о периодом р . Тогда следующие условия эквивалентны:

1) $ - антиавтоморфизмы ^ и ^ сопряжены;

2) Ре^Ь гг/).'

Замечание 1.5,3. Аналогично теореме 1,5,2, используя методы А.Конна, можно получить классификации периодических * - антиавтоморфизмов иньективного фактора типа Ид^ а Ш

Вторая глава поовящена изучению периодических * -автоморфизмов и * - антиавтоморфизмов вещественных факторов. Получена классификации периодических * - автоморфизмов и * - антиавтоморфизмов вещественного иныда-тивного фактора типа , Кроме того, в качеотве след-

ствия получена классификация перибдических йорцаношх автоморфизмов иньективного ЛУ - фактора типа , Напомним, что вещественный МГ*- фактор Й (ооотв, •

- Фактор Д ) называется иньективный, если его обертывающий - фактор (соотв. И(А) )

является иньёктивным. Построены примеры, показывающие существенное отличие $ - антиавтоморфизмов веществеаних факторов от случая $ - антиавтоморфизмов кошиексных \у* -факторов.

В § 2.1 рассматриваются чиста периодические ■ * -

автоморфизмы вещественного иньективного фактора типа .

мат-

Пусть рр - алгебра р * р матриц над Ц , с ричными единицами | (С^ . ) ) 1 6 I , ^ £ р ] ; г»

. л ь Гй - бесконечное тензорное произведение

г

алгебр , которое является вещественным иньективным

тг Г10 п<1>

фактором типа .Рассмотрим отображение « г^ —* г^ ,

заданное следующим образом:

(О

О*-

Г

* V 1 * рн,ри ■

00 .(I)

Полоким ^ - ® а1 . Легко видеть, что отобра-

г и{ *

кушш Зр является периодическим * - автоморфизмом Й с периодом р . Пусть о/ - периодический - автоморфизм с периодом р . Существуют наименьшее натуральное число Ра(<£)*Ц и унитарный элемент и из ./?

ТО.-.им, "ГО

Ре

оС ° ^ Ас1и , = гЫ)и,

где УЫ) = ( или ГЫ) . Если Р% Ре .

тогда # - автоморфизм с/ называется чисто периодическим. Пологам РщС0^) = • если

УЫ)~- i ; РтЫ)- 2- /> (О, если .

Число /ЪМ называется минимальным периодом о1 .Если Р* Р^Ы) . тогда ¥ - автоморфизм оI называется минимально пери о-

дическим.

Приведем един из основных результатов главы. Теорема 2.1.2. Пусть Й - вещественный иньектившШ фактор типа И^ , о1 - чисто периодический £ - автоморфизм ■ 12 с периодом р . Тогда * -автоморфизмы о/ и ¿у» сопряжены.

Следствие 2.1.3. Класс сопряженности чисто периодических * - автоморфизмов вещественного иньектив-ного фактора типа Ж^ единственен.

В § 2.2 доказаны некоторые технические результаты.

В § 2.3 рассматриваются минимально периодические * - автоморфизмы вещественных иньективных факторов.

Предложение 2.3,4. Пусть £ -вещбствен-ный иньективный фактор, а1 - минимально периодический

$ - автоморфизм А? с периодом р . . Тогда # автоморфизмы и ^ фа/ сопряжены.

Следствие 2.3.5, Пусть * - автоморфизмы а/ в минимально периодические с периодом р . Бели * - автоморфизмы 4 и ^ 'внешне сопряиены,тогда они сопряжены,

В § 2.4 получена классификация периодических * -автоморфизмов вещественного иньективного"фактора типа . Пусть К? - вещественный иньективный фактор типа . ЛиЦИ1) - множество всех * - ввтоыорфиз-ыов Л } Д и & - два класса внешней сопряженности в АиНЮ- Через Л * & обозначим кдасс внешней сопряженности всех $ - автоморфизмов вида с1 © ^ £ ГД0 А , . Ддя каждого

пусть Bíp - множество всех классов внешней сопряженности в Aut(R-) с внешним периодом р . Напомним, что чяс-ло ЦЫ), называется внешнямпериодом ¡ft -автоморфизма oL .

Предложение 2.4.1. В множестве &tp зададим умножение сладупцим образом: (А, В )А* о . Тогда множество является абеяевой группой I инвари-

внт f(t¿) является изоморфизмом этой rpynmt во множество

С л ед с т в.и е 2.4.2. Пусть a¿ % Ц f - автоморфизмы Л , такие, что fe (вС), > О. Тогда слслунщие условия эквивалентны;

I) * - автоморфизмы d и Д вяевя» сопрямш;

8) ГЫ)*Нр.

.* • • р • » а 2.4.Э. Oyen Я - амавствемшв ш» тааанй фактор tm Üá , ¿ * f - лщршоттмп * - аасомрЦм* Я .е щшыт р /Слаяумме уеломи

1ИИ НИМ»

а) * • вагащфюм У • f саармвим;

в) ■%амоиорфаэт ^ a * мцояе сопряжем.

__

a f • апамор«пм| « " / социмш.

Дув» оЛппмвяишш МГ# г мгебрв м Я ¿

М, аимимниv■• Hf '- алгебра. аиодадщ* Л • Пуст» X - ем« яа Ш1) | 0*Ы W - верисщичесма # -—мир4и»г & в яармяо» • PsccuoTtam

» ¿ в* - спеирвлвоо раэдоженаеушгт»р-

«1| * Т-

ного IV ь иииушвающем факторе \ . Пусть <£.

¿¡ера, сосредоточенная на Л^ , К^Т^п .. Обозначим чцрез

И-

¿(0) вероятностную меру £ ¿1 опреде-

, Кг{ А 1С.

ленауа на Т- [2 £ С : /г | = 4 / . Пусть сС - периодический $ - автомор|изм £ ,

Определение 2,4.5» Вероятностная мера с, / ^Ы) ч

с ^ы. / называется внутренним инва-

риантом сС Я обозначается через £(о£)

Одним из основшх результатов главы является следу»-П£Я теорема.

Теорема 2*4.6. Пусть - вещественный иньек-тавный фактор типа 11 ^ , ¿ь а у* - периодачеекпе % - автоморфизмы И с одинаковом периодом, Тогда следующие условия эквивалентны:

1) * - автоморфизмы с/ и уЗ сопрянены;

2) РМ^-РАР > -- Щ)' £Ы)

В § 2.5 рассматриваются - антиавтоморфизвд ве- ..

щественных факторов. Получеш классификация периодических

£ - антиавтоморфизмов вещественного иньективного щьлтора типа

Пусть £ - вещественный фактор, а£ - 1 - антиавтоморфизм Й . Тогда очевидно, что отображение <¡¿{3-) - <*■(%?) является у - автоморфизмом в й . При дтом два # -антиавтоморфизма с1 и ^ сопряжены тогда и только тог;;«, когда сопряжены * - автоморфизмы <1 и у» . Следовательно, по теореме 2,4.6 имеем:

-16 -

Теореме 2.5.1. Пусть R - вещественный инье тивный фактор тина Я^ , d я ji - периодические

* - антиавтоморфизмы R с одинаковым периодом. Тогда следующие условия эквивалентны:

I) ^ - антиавтоморфизмы о/ и j> сопряжены;

Кроме того в этом параграфе построены примеры, пока: ваюаде что аналог следствия 1,4.9 не имеет места для веп ствениых Докторов, о также показано, что не все инволютр ные У - антиавтоморфизмы вещественного иньективного (] тора типа ïï^ сопряжены. Заметим, что в комплексном cj чае все инволютивные f ~ антиавтоморфизмы сопряжены.

В 5 2.6 рассматриваются йордановы автоморфизмы инь* тивного JW - фактора типа .

Биективное отображение ol * - алгебры M в себя, обладающие следущими свойствами, называете 8 о р д а но л м автоморфизмом

1) ¿(лх+ру)* лс£(х)+ fct(y) ;

2) о£(х* ) = ¿(X)*;

3) + j{X) <cL(X). ohy) + el(y) ■

для всех Х,уеМ , J^ ; л £ С

Очевидно, что, любой * - автоморфизм или $ - анти автоморфизм ^ - алгебры является йордановым автомор физыом. В W*-факторе верно и обратное:'всякий ¡¡орд

нов азтоморфизм является либо £ - автоморфизмом либо t - антиавтоморфизмом. В силу этого, так как всякий обратимый JW - фактор либо есть эрмитова часть W* -фактора, либо есть эрмитова часть вещественного W* -фактора, то доказанные выше результаты и упомянутые результаты А.Конна позволяют получить классификацию периодических йордановых автоморфизмов иньективного J\V - фактора типа Й^ .

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Шавкату Абдуллаевичу Аюлову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь пра работе над диссертацией. Пользуясь случаем, внракаю искреннюю благодарность канд.физ.-мат.наук Усманову Ш.М. за полезные обсуждения при написании этой работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Рахимов A.A., У с м а н о в Ш.М. Классификация периодических антиавтоморфизмов о нечетным внутренним полупериодом гиперфшштного фактора типа Д^ ВИНИТИ № 7293-В88, 48 с.

2. Рахим аз A.A., У с м а и о в Ш.М. Классификация периодических антиавтоморфизмов с почетным внутренним полупораадом гипорфинитного фактора типа II^ .// Докл. АН УзССР. ШЭЛ 8. С.3-4.

3. Ррхимов A.A. Классификация перасдических f - антиавтоморфизмов гипер|пнатного фактора типа Ц^

// Докл. АН УзССР. 1991. К 10.С.3-1.

4. Рахимов A.A., У с м а и о в И.М. Классификация периодических t - автоморфизмов и # - антиавтоморфизмов вещественного гиперфнлитного фактора типа Й"4 // Докл. АН УзССР. 1991. К И. С.5-6.

11»1ШЬ-Д!|1> я l'C'l ПI. — ^ Sf<

Фприа, в)«.1щ Ы1..8Г ,. ГАm.v,i nin..P|..i.|rp,«» .V» | Нотам. .РОГЛШ'МНГ» ОСы« Тпр.,,. /РО ,м

Типографии Ii<л.1)с 11ч n« n 'l'.tii» \ll PatnCmn« N «<4m.ci im 700170 Тя tu кеч г. г.(). .4 I ирькчг v>. 7<>