Весовые интегральные представления и классы функций обобщенной гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

9 113 2

АКАДЕШИЯ НАУК ЛЗЕРБЛПДЖЛНСКОН РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ Л1АТЕМАТИКИ И Л1ЕХАНИКИ

На правах рукописи ФЕИЗИЕВ САРХАН АСЛАН оглы

ВЕСОВЫЕ /ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ГЛАДКОСТИ

(01.01.01 —Л1атематнческии анализ)

А И Т О Р F. Ф Е Р Л Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку — 1092

Работа выполнена'г. Институте математики и механики АН Азербайджана.

11аучпнп руководитель:

—кандидат физико-математических наук, доцент А. С. Джафаров.

Официальные оппоненты:

—член-корреспондент АН Азербайджана, доктор фнз.-мат.

наук, профессор А. Д. Гаджиев, —доктор фнз.-мат. наук, профессор Д. Д. Джабраилов.

Ведущее учреждение—Институт математики и механики АН Казахстана.

Защита диссертации состоится . (Р./ " /^-¿т'У^/! 992 г-

в „ _" часов на заседании Специализированного1 совета

К 004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при институте математики п механики АН Азербайджана.

Адрес: 370(502, г. Баку, ул. Ф. Агаева, 553 квартал.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке института математики и механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан „ ¿С I' ¿ЧГ/с Л 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор фкзшсо-математических

наук, профессор Л\. X. ИЛЬЯСОВ

'Qcrwr.x ая [ çTj"^ ")

'к-1- ■ ■ >:>сННАЯ чы I

» з **

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ,

Актуальность те«у. Теория вдохешш классом дкффоренци-pyeuux фугещкй иногкх действительных переметах сложилась хак 1Ю800 направление математики s работах С.Л,Соболева в ' связи о решенной р. да. оадт математической физихи. Ео риштою » последующие года определялось как теорией яразвих звдоч, так и собственной ацутроннвй проблематикой, Рассматривая творил пре,оставляет собой, главу теории функций шйгих дойствитольнь« перегонных, пришисоэдую по теиаткко к торкягаяогиа к й'кяцнокальдаиу агллкэу. Эта тоория изу~ чаат важшэ овязи и соотношения диффорзтциаяьных о»ойстп функций а различных метриках. Кроме самостоятельного интереса о точки зрения теории фикций, она имеот няогочислзк-наэ и вффектипнш прккзгегал п теории дифферекцнальшх уравнений о частей прсхзсодиши, в некоторых вопросах приближенных методов анализа.

С.Л.Сободогьак получит ne. виз ({¡ундаиеитальшо резуль-

* ftm

татн дяя вводаннгх ни пространств VVp « Исследования . С. Л. Соболева были про ru хт.ош В.И.КокироЕогш» а затем Б.П.Илыппга.

В дальнзйззн били взедеш и изучоны другие функцхгО)юль-шв пространства, характеризуйте дцф$орощт«алыо-разьоог~ «шл свойотсани <2унхцаЯ а нец&вдш поиазатоллуи гладкости И aKSOOTpOmtifit СПОЙОТЕ&ти Этот вазкцЗ 5*ЙП В TCOp-ДН алого гай содаан о шоком С.Ц.Николье;»го« Ок построил тооряв МОЖЙИЙЯ ЯрОСТрвИйТв H*- , ej), У" .

щгппцки иг которых хлрахг'с¡/лзуптоп, со-перашс, диЭДераицм-пяь>гл<и лспазатоллми кик целого, так и нецелого порядка (условия Гельдорд) и,во-вторых, иадют рпьли'ишз свойства пг раишч поречеиныч. ьиорвне били по луча!« так называв» ыио твореми о продолмяим. Такие 'георамы в дальнейшем получила название обратных тбсрем вложении. Таким образом,очень

с

Баян им сег"стмм пространств Нр оказалось то, «то я е-, ношении теорем влог.сняк и продолжения они обраэупт замкнутую систему, что польз/: сказать относительно соболвпскня целых классов.

Результаты С.м.нккольского позволили уекчить прямив г юреиы сложения С.Л.Соболева и ЮиСондродгаяа, а такжо дпли возможности со точностью до произвольного С-?0 подучить необходимо и достаточнее условия обращения отих £

теории дли классов.

й рано прямые теоремы влечения для классов С.Д.Соболева, долускиго'.о обровняв были получены пр|

, Ароктайном, Я.Н.Слободвцким * В.У.Ьабкчом.

В дальнейшим Д.Н.Сободвцхич была построока полная теория анизотропных пространств С.Л.Соболова

С«) о целыми и дробнами показателями Дйффвронцируомости ФУНКЦИЙ,

Однако, в случае, когда , тооримы вложошя для

:обобп?эини* классов Соболева получош на были. йюршге О.Ь. Босову удалось показать, что прм цзянх положитслыих у , £ и Ъ-' ~ з ~ следа функций и®

на >п - мерной гиперплоскости ¡кг принадлежат пространству а

Wp в олучаа 09 . В случае г.е

о(5ратная теорема о продолжении не верка. Следовательно, .

О.В.Босовым было установлено, что пространство С.Л.Соболе-z

ва (Yf невозможно распрострада'ь на нацелив t так, чтобы для образовавшегося семейства пространств система тоорем влодвния я продолжения имела зимхнутуы форлу. Им был построен класс , j--?**.) , образуе-

ма за-дкцутую систему, а которой наллооь положиталыхо рэ» шание проблемы следов соболевских классов.

Тлорая вложения классов У/ , // , & оказалась 'tuа™ по связанными о сэсовими классами, воэшкн~'Вониа которых является вахте/ отслои развития теории тоороя влопония. Своо начало теория аосоиьи. классов борет в работах Н.З.Нед-» дыша, О.А.ОлеКкли, Ы.И.Бшгкп, С.Г.Мишина и других,

ПаршЗ результат тпла теорем вложения для весов« клал-coa С,Л.Соболева бил получен В.И.Кондрашовым, общая теория вложений весовых классов была создана Л.Д.Кудрявцоаич. Cjsoo дальнейшее развитие ата теория получила в работах O.B.Leco-оа. В,Д.Ильина, П.И.Лизоркииа, С.В.Уопенскою, К.Оталб&ппа, А.Д.Дкабраилова, А.С.Дкафдрова, Ю.С.Никольского, Т.С.Лягол-киной м других.

Цель работы. Введоняе и исследование некоторых взполых классов функций обобцрнной гладкости, устаноглвние для них прямых, а а некоторых случаях обратных морем алогвгая, тоорэм об оквяоааонтнаЯ нормировке, a такав творема о пхот-

- б -

но с ти мшжоотва фиштны;: {ушсций.

Матод иеслздовпшц. Все исследования в диссертации базируйте л на метода есбсупенкых интегральных представлен »«¡и разработагкве^опкр&изь на метода интегрального представления О.В.БосоЕа^дгк вссошх и шассовьсс случаэп как й анизотропном, так и в изотропном случаях, а тшшэ »а . различный итеоградъша неравенства как в классическом, так к в модифицированном нами »идо.

начнем яовиэка. 3 дкссертоцй!» вводятся швы е восогно функциокдльшо пространства, обобщаакцио ковостьй // к $ клаосоа с точки эротш обобфкюй гладкости, еосоеоЯ шуми, а такво и отдольшм случае о точки срошад Ьпродзлляхцсго функционала*

Устаиовлою восоша 5; и;;ессовыо кнхогральшэ иродегг." • лошя как для а1мзотроа:»го, *ск и для ыоогропюго сяучеаг., в когорцх шшшшл взср, и щулйрш, хр.рактсриэузярП глад» кость отргпшы в кюгаы идо.

Получена пряиш», в шздх'орьи случаях обраташо тоораны Ы10Я01ЫД, «ООрСШ Об ОКВХ8(&0№ШХ ГОрИКрОЬОК Я О Ш01'1ЭС">

уи модэозда фавдагк ¡¡угшциИ»

Построош класс« ¿¡ртасциб обобзргаэй гладкое«:, давая» су« 01 опредояязлцого ^уи-арюкляе, иашмав даяыпэ обо б» срюисгл' гвльдорогьаш клаос?^;*. С ионовр>» шггогралыого нрзд-отаглззия уотышзлпеагтея оцата нодуял гяпдяоета оверзу, праподяцал к ь^разэнахоэд изяду взбог&ш травма в р-лзля"» шг кахряказ.

Используя данную оцегау а качестэа основного аппарата, получаются нвразонстаа, в лозой н правой частях которое действует опредеяявдкй функционал,

По/гучоммьго а результате, в терминах опредялгакцего ({ующионала, иесазиз неравенства приводя* к то о ранам вложе~ кмя раэких мотрик обобиркшх гольдорончх классов.

Практическая ценность. Получателе в диссертации результаты могут найти применения в теории краевых задач для дифферемциольних ypaamia.l в частнах производных, в частности для иссяодоватйя поведения росе пил волнового уравно— Ю1Я в зависимости от постановки задачи в различных физических ситуациях, а также для улучшения погрешности различных яу(5атор»мх формул, рассматривает«, в частности, по норме данных классов.

Апробация райоти. Результаты работы доплачивались га семинарах кафодры "катематичосхого анализа" БПУ им.Н.Тусн, кафедра "Шсоей матоцатикк" ЛзКСИ, отдела "¡(атематкческога анализа" Willi АН Азербайджана. на Бгесовзном сиилозиуно по теоремам вложения и юс приложениям (Алх;а-Лта 19-21 сентября 1973г.), на сенинарв-соиешаим по функциональному анализу к ого пряяояонклм, посз. л&чяти ахад.З.И.Халклова, baity, 27-33 ыая 1991г.

Q^fect.f работа. Диссертационная работа состой? из в зеленил, весьма параграфов я спнсна Дитвратури (51 таюшкэзъ-lail), работа аагогяна, на 123 страницах машинного текста, Пубдикмши Озмозпиз результату слубгккоэаж в рабо-«зД/ - £13J . •;

С0;уиРлМ1ЛК ¿¿ССьГГА

¡¡сойдем теперь к изложению содержания диссертации. Огмет«:м, что нихе сохрлнзка .цуг/ерацад, принятая а диссертации.

Ь > I дается опредалоьай 1:лассо2 рлсс/.г.трльпои:« облас-и ьволятсл упатреСлауие а работе необходимые обозначения. Ьусть О- - (»которая область /г--- мерного ов;слидоьа ярострзнатьа л бСк) — С<■•/ ) - поктор-

определенная к наярарнвкая па такая, что.

¡{язсьаи " ^«рогом" £ = ) голо

где -&0* задашыо дойотвхтеяьние числа, «•>■£> ьудем говорить, что область ^ с удовлетворяет условие " ^ -рога"Д1.1), осли для неё суцсстз^ет конэчные покрытие ОТЛриТЫМИ МНОУССТБОМИ И ГЛбОр ьида (1.1) (с коэфЬицагнтачи $¿-<¿¿¡0*-) ) такие, что

К .

К-/

2. Дч* каждого /с из следует, что

¿>4 С- *

3. Ирм нокотор £;>£> множества ~ ¿. у '

\pG-J тахжв образуют покрытие области,

.... с* и'У

11ус'гь ^ ^{¿(¡•■^х.з вещественная функция, опре-

деленная на ^ удоилстгоряот условиям:

1. ЧЧ^ нет-орчанч на ,

2. фх-) > с все л X ( % - фиксированное число). Определим для каждого функцию

и,

Шы

/13 определении очевидно, что ^Щр^-/-

для псох Х+и^С-} /А/ В частном случае, гогда Л"/'"' / >

С/у '■'■/'<) элосто ("удам писать

, , ,,

5 «/* ;-

Легко установить, что

¿/У/,/; л- ^ 1 ^ ил» ^/^/М^/^ ^/у

Пусть такгсо достаточно гладка, конечна для конечного ^ > ^

-- г.-* ОС»

£ /о

Дъ» простоты изложения все условия, наложенные на и «^/Ф обозначим через / V) ,

Пусть функции H^fá) удовлетворяет условиям:

1. шлрорывна tía £ <?° )

2. fie)- О,

3. V úУ>о, £>о и кролю того для некоторых

( с <~с± tj ^¿-¿Р ^^) M-'s/— заданное 'фиксированное, число} выполняйте* условия:

строго возрастает, строго убывает, 'oi.; г строго. возрастает

¿^Г'Ф строго убывает, .

А* ^^ - ^

Ь дальнейшем для краткости записи всо условия, наложенные на фушсцио нязоаеи условиями. ^ ' Определим 61& для целого

¿л-о функцию

Очивкдда, что непрерывна на ю

при и кроме того, из самого вида функции оче-

видно вьгг акает, что если удовлетворяет условиям

& 50 ¡^¿Н удовлетворяет условиям

Б 5 2 даются осювше определения к устакавлхваптся некоторые вспомогательные соотношения.

Под символом Д^ Судей понимать конечную

порядка ( >/-/ - заоаншо фиксированные числа, С с~ // £/ "'/) с шагом п направлении с -ой координатной оси, если эта разность строится по точкам: лринлале-ясаедм £г вместо с соединяющим их отрезком к А* ¿»^ № -г- в противном случае.

ОПР&ШПЗД'Ь. 2.1. Иод будем понимать совокуп-

ность измеримых, функций -^¿У , определенны* на С- о конечной нору о II ..

где - весовая функция о условиями (YJ ,

Под „у/

(2.3)

Суде« понимать частый модуль гладкости с весим Ф^/ , порядка- по норме

МЕ 2,2. Ьудем говорить, что , опрвделеч»

ная на области 6- принадлежит весовое пространству, /ь или соответственно пространству J •

дели имеет на ¡С- £ всс о^оба,онный по С.Л.Соболеву про»

изводныз до порядка ¿¿.Ъ ° ~ *"'^

включительно и конечна полунорма

11л:и

или с;ооткс7С'»'ЕСЧ1но норма

I

Лк&логкчно вводятся с^еяуащкп классы:

¡¡а оаре^йлчгвш^ ^{х] гтулналли/.ит пространству

/? с 5 , Г п ■

{<*-} ИКК соогветстве,,т простраисяау

если величины .

¿1о определения, принадлежат изотропному простран-

схау Ър^ или соответственно пространству

ОСЛИ К01-ОЧ1Ш Е.0ЛКЧИН.Ч -

■ *

По опрэдедеии» . принадлежим пространству Ъп^

л С*/ "Р^

ила соотзотст«в!а» пространству если коночии

величины „ /,/¿¿7/ Р

По определении, /(л/ припилохит изогроткьл' поостри?-оч'ву 5р ¥¿¿^ с00"1'1ют0'гсе1!н0 пространству Р^ если коночш бодичиш ■ ^ „

'«Ч'Ж»*«Ы/р '

0ПРьДО1Ь11|г& Иязошм /у' - функционалом ие отрицательной функционал С <ф] = Ъ С. /е * £¿гГы/ определенный на неотрицательных измер/гшх функциях ^^ЧИ) удовлетворяющей условия«:

2. гГСф^^Цф^прк ср±ф* ,

с (л, Ю^Е

4. ил« вв "Еу-^З*- ^ где

функция С УСЛОВИЯМИ

-г,—^/, /У^ о»

я*.

Но оареаолошю принадлежит пространству А-р^с)

или соответственно пространству ¿¿у если конечны

величины „ 7

и-ЛЬ г) ^а^о^щ/ {2Л2>

где /V •» функционал со свойствами 15-4.).

В далышйлем и (с^ на30в0й обоб^«»-

шшк гельдеровыми классами, а « функционал определяющим (¡(уикционалсм.

Б 5 3 устанавливайся интегральное представление функций через е1- конечные разности и его восовай аналог.

Приведен здесь весовой слумай данного представления:

4 - ? с*; + г^е/ш <Г Г Г/У" ' * л

Л" а <3-8)

Телом представления в (З.Ь) и ) служит " & -рог":

Ш)~и¿и^<П«с »1**1, /V

^ в^.Ь.'-к *

В 5 4 доказываются теоремы о плотности множества функций из Г и л пР°Л°л;,:в11'',я функции данного

' класса оа ¡пределы области -

Toopcuu влозсзгал разных метрях я разных измерений для

af-fS>fJt уетаговлвш в 5 о. Здось го доказывается об-P^jLl^y

ратная теорема а тссречо влолекля рязньм измерзниД. Приведем характерные результаты этого пярзгр-пфэ.^

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть: I0): с

нормой (2.6) ytZJ- вес о условиями ^УУ • т <[уи*цля

с условиях« £(¿¿J JCJ. <9/teSp^tiг/^>рдр ( ¿-f, ) тогда 2°); при —j f&tnst^.

нмеег смысл слад функция -i2^ на , прикааяежаз^й к

ГД° - зектор

фуНХЦХК с коштононтами <?/—С^удовлотпарякцкмн условиям

• •2SC$f.4jSH) ~ че-^численшЯ ЕЭХТСр с кошо га игами Jftj^tf- г Qcf~(<rJ ^¿('tf/j >t имеет UOOTO BXOxOkr.O _ ■_ .

Д.0Ш1А 5.5. Пусть 1°): Z^J &

yiz,) - иго, удовлетворяй^* услогиям ¿V/ , '¿f фугсщкя, удовлетворяацая условиям ß{ Тогда 2°): Пря ^с*^

f nj к0?нэ построить функщт ^¿*J =

~ £ c £n- такув, что

— ^[j/,..., Zm J IL-t„ *

■f (icj <=- bp S-J л имеет место вйодллшо

¡шестой napiirpa^ nocLa, ,«ii лсслеада-'икш изотропного

к-гассз с noj.y)wp.io.l.ii:.B ). .цдп иесяодова-

UP\rj J 1 '

данного класса устанавливай* интегральной предстаалон.и •jûj-уо pAoiioCTH с liL-KTOjin«^ L.ax'0'.t и его ьасоьий. аналог, одно-^вршЗ случае xoaopux сонлядайт с (3.6) и 13.о ). be совой сяуннк имеет вид: ^ .

**>« ¿if ^ '

XЛ"( У ьш](6-91

Устаноакинкас прадстйг.л-зид.ч д»я? позис* ;г:сгь яокяиать roopw-иу зкикзалзктийсти класса с нормой (2.о » классу с нормой (2.6 ) пр.! • £■= ••<> п- Б СИЛУ которой

всг результат«.1, установленное для анизотропного случая пор»-нослтзя на иготроа№& случай без доказательства. Приведем один из них. • f)

1Е0Р&& 6.2. Дусть с bp^jiCtJ с полунормой

12.Б вес ^(xj удовггтаорает условиям L^J, функция у>/IU) условлен & L ot- )

^/Л/У-^^д/ где с - целоо адата, '¿огда 2°): при да , '¡'¿гпцгп- (нтгур,-мыъ."о

чис/1), ^ >■ с , Я (Чвлое ™сло' •

^ ? с''исл след и прлналдожит

Ч^ ^ глз [Pt/l^>^^' ^'Уч^.'я, удорлотеог.тп^чя ус-

ловили Л /1 * 2.] И И^еот '/Ссто ВЛОТТОКИв

¿57 для анизотропного случая устанттягается песовад оценка мопудя гладкости 1кли конечной р.чэностл? на области

^ „С ' ___

сл0.г---------- ----- " -— "

+

Лл

где •УУя с условдя?« ^ М

Одентта (7.Ь/ о0об:\ы7 0,Ь.Ьесо«а, обобсугитун

0Я!»>мврную оцчниу II ../¡.Ульянова.

Вя<ч!">:нап ¡юль оценхи (7.5) а-^-гчлотс;; зассь в той, что с о© гю'/оцчэ уокно вывести для зесозчх лори з

тврмиилх /V* - ^утацизндла, ярязодяпз«е х теоремам глетюния рпэгса "чтрик обобгуппих гельдерогых классов. Прияедоч эту

& '-¡¡^Ijkr'Wlu'? *

¿-i

Iba сомозя (тахха пркмняя творацу «кпимлвнтноЯ

норчхрояжм) легко шаодлтс* теоремы

где ^ тзавкскт от -

Из теорем (8.3),(ä.4),(8.5) как чаотшв случал можно по» jQntKTb теорем влояенил раакяс ыагрик дм шюгш кмевцяхся в »егерятуре классов фуюсций, характеризуемых даф{лрвнцпаль» но-разностимк и шяаотрошаык свойствами. Ди этого лост/*» точно ваять виосто . « функционала ко кг.ротный $зп«ц*ондж.

В захлдовкош пркнгау гхубакуа благодарность А.С.Дмфа-рову за постл.шьку задач* н вихи&шо. Прлюку тахха глубо-кув признательность ид-корр.ДЦ Россия, про$.О.В.Ьвеову »а ценные советы в волозша обсуждения основшх результате а.

По те ив дассертацав оцуйл^коваш схедувдв работы: I, С.А,£ейзиов. О предстаххсиих я ашгрохсяиацл* йгмицшя пространства "SP*,® . ito.lH Амрб.ССР, Ь*р.фа>» .

техн. к махм.мдгг/9 4« 1970.

2. С.А.Ое>вэд&в. Фворм» о продолжи ни ^жецка п класса № Авврб.ССР. «.27, * 3, 1871

О 19 м

3, С.АЛ'зйзизв. О лрздстшшмши; аппроксимация я вложения ФяесциЛ фузициотлысп йэсопих классом. Ндтвриаш рес-цуй'ликаигкой научной Конференции. Изд. " Э»; ,Баку,1971.

4. С.А.Фзйзиэа. Тоорчии вдоявкш к распространим функций о аеоом. Намрпояи рослублнймюхоп тугаЯ кошарою?м по иагештико и мхагата. И2Д."Злн",Бп\:у, 1971.

б. С.Л.йзйзиоп. О вяоавиая щупасрюиллмаос ктоссоз о васо». Трудн сспнратоз AH Ллзрб,ССР, йэд . "3,™",Взл;у r 1973.

6. С.А.Фейаиео. 1С гм-.еш'.ч и продоле гля ксготорых ойрсс ззсогшс классов на области. ДАН Азар<$,ССР, T,20, Я б, 1974»

7, С,Л.<£«й5Кбп. Езсокгэ rsopsuH зяожоюм для некоторых обог» tptnux r3ÄWWpsr:rt пространств <|ующиа зплзгсзде i» обгдс*»

Г!!. Тоэися ДСГ.ЛЭДЭВ X ПГ$ППЭЯ COCCTOÍ, П0С?.ПГ,0»П5ЭД HTOrwí кэ^иа^сетадзезтмьсзто: р*воз роспубг«* гл 1972 год. 1Ьд,г,Э.та"8 E-Tty, 1973. 0. C.A.vb?,31:23, Продогтагш гамтор!!* взсошгх классов ^ршгдяруе-г.к fönrnptil« эпдашшк ка облясти. Известия ЛИ Лз.СС?, с2р,{1!2"тз?сп. и тт.гаук, S Я, 1975. 9. С.А.ФзЯэкзп. Сзооскэ tcopoüu влопогая Д^я гог.отон-^.оЗоб^ иртш голадэрешяг ядвосоа заданиях "л еЗдастп.

Няторнядо Есемететго сяияоэиумл по тэоредпм плогзгм • (Л^гт-Лта, 1973), 'Наук*, 1975. 10. С.Л.&эЛэкоа* Шкегрглыал ирдстазгигм *л чссу-уня atore»

Г?«! ГССО~УХ 5Л5СС0В ÇyiWftft» ОбВДОТЯ, М*Тв"»

риала У1 Гсеа.яэ1*5,мэс.1.'зос ytT.vn œr отметите» я доха*

тхо, посвященном 40-явпш победи (Баху, 6-8 и ад, 1965г.), изд."Эли", 1385г.

11. С.Л.йеЙзиев. Шсосив теороиц мохвкия на обхастм обоб* сонных гильдэровшс классов, зависящих о« опрвдвлюэдэг® функционала. Изв.АН Азерб.ССР, свр.фи»»твхп. и м&геы. наук, 1936, К I.

12. С.Л.Фейэкав. Басовый интегральные представления и штосы функций обобщенной гладкости. Тезисы докладов евьгг-нара-аоввщаиия по фуюс.аи&лкзу в его прилояоюиш, поев, памяти акаДоО.Й.Халклова, Баку 27-30 вал, 1991г. Багу, дли. 1Ш.

13. С.А.&еЯаива, Басовые шггегрлльньи првдотазлетя к кхао» си функций обобцакной гладкости. Представлена к два,

в МШИ, г.Уосхва,