Граничные значения весовых пространств Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Тюленев Александр Иванович

ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

СОБОЛЕВА

01.01.01 - вещественный, комплексный н функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 АВГ 2014

Москва - 2014

005551541

Работа выполнена на кафедре высшей математики Федерального государственного автономного образовательного учреждения ВПО «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

БЕСОВ Олег Владимирович - доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор, заведующий отделом теории функций Математического института им. В.А. Стеклова РАН

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ГОЛЬДМАН Михаил Львович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

СКОРИКОВ Александр Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики факультета автоматики и вычислительной техники Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАИ

Защита диссертации состоится «09» октября 2014 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН и на сайте http://www.mi. ras.ru/dis/refl 4Ayulenev_diss.pdf

Автореферат разослан « > ику^я 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01, доктор физико-математических наук

В.А. Ватутин

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению следов весовых функциональных пространств Соболева на границах как регулярных, так и нерегулярных областей, некоторым задачам теории пространств функций переменной гладкости, изучению дифференциальных свойств функций из весовых пространств Соболева вблизи границы области. Эти три задачи тесно связаны между собой.

Начнем с краткого обзора литературы, относящейся к первой задаче, изучаемой в диссертации.

Задача о следах функциональных пространств типа пространств Соболева и Бесова имеет большую историю. Основополагающей здесь является работа Э. Гальярдо 1957 года1, где было дано точное описание следов функций из безвесовых пространств Соболева при 1 < р < со на границе дП липшицевой области П. Отметим, что работе Э. Гальярдо предшествовала статья 2, в которой аналогичная задача решалась для пространств Wj (Q) на области П с гладкой границей.

О. В. Бесовым в 1961 году 3 было дано точное описание следов пространств Wp(Rn) при / е N, р G (1, оо). п > 2 на плоскости размерности d < п - 1 и пространств B^q(Rn) при s > 0 , р, q G [1, оо], п > 2 на плоскости размерности d < п .

Для весовых пространств Соболева характеризация следов была

установлена С. В. Успенским в работе 4, в которой было показано, что

при р 6 (1, оо) следом пространства Соболева Wp(R™, \хп\а), а < lp — 1

¿_i±2

на гиперплоскости является пространство Бесова ВРФ " (Rn_1). Таким

1 Galiardo Е., Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di fiinzioni in n variabili // R.endiconti del Seminario Matemático della Universita di Padova. - 1957. - V. 27. - P. 284-305.

2 N. Aronszajn, Boundary values of functions with finite Dirichlet integral // Conference on partial differential equations. Studies in eigenvalue problems. - 1955. - N 14. Univ of Kansas.

3 Бесов О. В., Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Сборник статей. Посвящается Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидясителетию, Тр. МИАН СССР. - 1961. - Т. 60. - С. 42-81.

4 Успенский С. В., О теоремах вложения для весовых классов // Сборник статей. Посвящается Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидясителетию, Тр. МИАН СССР. - 1961. - Т.60. - С. 195-208.

образом, было обнаружено, что вес влияет на гладкость граничной функции.

В дальнейшем результаты указанных выше работ неоднократно обобщались. Обобщение происходило в нескольких направлениях.

Первое направление связано с обобщением результата С. В. Успенского на случай весовых функций (зависящих от координаты хп), подчиненных минимально возможным ограничениям. Укажем работы Г. Н. Яковлева 5, Г. А. Калябина 6 , Б. В. Тандита 7, которые внесли существенный вклад в развитие этой тематики. Отметим, что в указанных работах вес априори предполагался зависящим лишь от координат векторов, лежащих в ортогональном дополнении к плоскости, на которой рассматривался след. Оказалось, что если вес, зависящий от координаты хп, имеет нестепенной характер поведения вблизи нуля, то след уже невозможно характеризовать в терминах классических пространств Бесова. Характеризация следа была получена в терминах пространств Бесова обобщенной гладкости. Пространства функций обобщенной гладкости типа пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля интенсивно изучались впоследствии в работах М. JI. Гольдмана, Г. А. Калябина, Н. G. Leopold и многих других. В случае, когда вес зависит от всех пространственных переменных, задача о характеризации следов весовых функциональных пространств Соболева 8, Бесова и Лизоркина-Трибеля 9 рассматривалась лишь для модельных весовых функций типа |x|Q при определенных ограничениях на параметр а. Общий случай до сих пор оставался не исследованным.

5 Яковлев Г. Н.,0 следах функций, производные которых суммируемы с некоторым весом // Теоремы вложения и их приложения, Наука, М. 1970. С. 225.

6 Калябин Г. А., Задача о следах для весовых анизотропных пространств лиувил-левского типа // Изв. АН СССР. - 1977. - Т. 41.-N5. - С. 1138-1160.

7 Тандит Б. В., О граничных свойствах функций из пространства // Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 8, Сборник работ, Тр. МИАН СССР. - 1980.- Т. 156. - С. 223 -232.

8 Abels Н., Krbec М. and Schumacher К., On the trace space of a Sobolev space with a radial weight // J. Funct. Spaces Apll. - 2008 - V. 6. - N3. - P. 259-276.

9 H aro яке D., Schmeisser H.-.7., On traces of function spaces with a radial weight: atomic approach 11 Complex Var. Elliptic Equ. - 2010 - N8-10 - P. 875-896.

Второе направление связано с обобщением классических результатов Э. Гальярдо и О. В. Бесова на случай нелипшицевых областей. Не имея возможности перечислить работы всех математиков, внесших вклад в развитие этого направления, отметим лишь работы М. Ю. Васильчика, С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна,В. Г. Мазьи, Ю. В.Нетрусова, С. В. Поборчего, М.И. Пупышева, П. Шварцмана, A. Jonsson, Н. Wallin. В этих работах было обнаружено, что геометрия области, на которой рассматривается то или иное функциональное пространство, существенно влияет на вид нормы в пространстве следов. Следует также отметить статью 10, в которой изучались следы весовых функциональных пространств на фрактале в случае модельного веса, являющегося степенью расстояния до этого фрактала. Отметим, что во всех известных на данный момент работах не изучалась задача о точном описании следа весового пространства Соболева, заданного на нелипшицевой области, на границе этой области в случае общего (немодельного) веса.

Вторая задача, исследуемая в диссертации касается изучения некоторых новых модификаций пространств Бесова переменной гладкости, введенных автором.

Пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля переменной гладкости и их обобщения являются предметом интенсивного изучения в последнее двадцатилетие. Укажем лишь работы О. В. Бесова u, Н. Kempka 12, 13 (см. также многочисленные ссылки в этих работах). В большей части известных к настоящему времени работ эти пространства изучались прежде всего с позиции теории распределений. Были доказаны теоремы об эквивалентных нормировках этих пространств, различные теоремы

10 Piotrowska /., Traces on fractals of function spaces with Muckenhoupt weights // Funct. Approx. Comment. Math. - 2006. - V. 36. - P. 95-117.

11 О. В. Бе.сов, Интерполяция, вложение и продолжение пространств функций переменной гладкости // Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Тр. МИАН. - 2005. - Т. 248. - С. 52 - 63.

12 Kempka Н., Atomic, molecular and wavelet decomposition of 2-microlocaI Besov and Triebel-Lizorkin spaces // Funct. Approx. - 2010. - V. 43. - P. 171-208.

13 Kempka H., Vybiral ,}., Spaces of variable smoothness and integrability: characterizations by local means and ball means of differences // J. Fourier Anal. Appl. - 2012.- V. 18. - N4. - P. 852-891.

вложения, теоремы об атомарном разложении функций из этих пространств. При некоторых ограничениях на переменную гладкость была получена характеризация пространств функций переменной гладкости через разности.

Пространства функций переменной гладкости оказываются тесным образом связанными с весовыми пространствами Соболева. В случае веса из класса Макенхаупта, зависящего от всех пространственных координат, след весового пространства Соболева удается охарактеризовать в терминах некоторых новых модификаций пространств типа пространств Бесова переменной гладкости, элементами которых являются локально интегрируемые функции.

Известные до настоящего времени пространства функций переменной гладкости оказываются неподходящими для описания следов функций из весовых пространств Соболева. Таким образом, потребовалась модификация существующих пространств функций переменной гладкости.

Третьей темой, изученной в диссертации, является проблема Lq

- дифференцируемое™ функций из весовых пространств Соболева ТУр(Г2,7) в граничных точках области Q.

Впервые аналогичная задача рассматривалась в одномерном случае для пространства Соболева, элементами которого являются бана-ховозначные функции, в работе и. В многомерном случае эта задача рассматривалась для пространств Соболева Wlp(Q., 7) в главе 8 монографии 15 для области Г2 = Rn_1 х (0, оо) и весов, являющихся степенью расстояния до гиперплоскости. В диссертации получено обобщение некоторых из этих результатов на случай более общих весов.

Цель работы. Цель диссертации состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на след функции из пространства Соболева с весом, удовлетворяющим условию Макенхаупта, в изучении некоторых пространств функций типа пространств Бесова переменной гладкости

14 Potdsen Е. Т., Boundary values in function spaces // Math. Scand. - 1962. - V. 10.

- P. 45-52.

15 Mizuta Y., Potential theory in Euclidean spaces. GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications, 6, Gakkotosho Co. Ltd., Tokyo, 1996.

и приложении полученных результатов к вырождающимся эллиптическим уравнениям.

Методы работы. В работе применяются методы теории функций (усреднения, интегральные представления через производные и разности), теории весовых функциональных пространств (свойства весов из класса Макенхаупта, теорема Макенхаупта об ограниченности максимального оператора в весовом пространстве Лебега, неравенства Харди и др.), теории аппроксимации (приближения В — сплайнами).

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены лично автором. В диссертации получены следующие основные результаты:

• Получена характеризация следов функций из пространств Соболева с весом из класса Макенхаупта, зависящим от всех пространственных переменных, на плоскостях. Обнаружено, что следами этих пространств являются новые пространства типа пространств Бесова переменной гладкости, не изучавшиеся ранее.

• Построена теория новых пространств Бесова переменной гладкости, основанная на методах сплайн — аппроксимации. Доказана теорема об атомарном разложении функций из этих пространств, получены теоремы вложения, теоремы компактности и теоремы о следах для этих пространств переменной гладкости.

• Получена характеризация следов весовых пространств Соболева с весом из класса Макенхаупта на границах некоторых нелипшице-вых областей. Дано приложение этих результатов к решению вариационным методом некоторых вырождающихся эллиптических уравнений.

• Найдены достаточные условия (неулучшаемые) на вес, при которых любая функция из весового пространства Соболева на области типа куба оказывается равномерно дифференцируемой (в интегральной метрике) на части границы области типа куба в случае, когда вес является функцией расстояния до этой части границы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории весовых функциональных пространств и пространств функций переменной гладкости и могут применяться для изучения различных краевых задач для уравнений эллиптического типа с вырождающимися на границе области коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

• Семинар по теории функций многих действительных переменных и приложениям к задачам математической физики отдела теории функций МИАН под руководством чл.-корр. РАН. О.В. Бесова. (2012, 2013, 2014 годы).

• Всероссийская 53-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, МФТИ(ГУ), ноябрь 2010).

• Международная конференция FSDONA 2011, посвященная 75-летию со дня рождения профессора X. Трибеля (Tabarz, Germany, September 2011).

• Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования."посвященная 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, март 2013).

• Международная Конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений, "посвященная 105-летию со дня рождения академика С. Л. Соболева. (Новосибирск, институт математики им. С. Л. Соболева СО (РАН), август 2013).

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего в себя 55 наименований.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Краткое содержание работы.

Во введении дается литературный обзор, обосновывается актуальность работы, описывается ее структура и дается краткое содержание диссертации. Приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе формулируются основные определения и свойства весов, локально удовлетворяющих условию Макенхаупта, приводятся некоторые известные свойства весовых пространств Соболева.

Символом в дальнейшем будет обозначаться куб в К" с ребрами параллельными координатным осям, символом г(<5") — длина ребра этого куба, символом |<3|™ — его лебегова мера. Пусть I" := (—1,1)™, Вп — единичный шар в К" с центром в начале координат. Весом назовем произвольную измеримую, почти всюду конечную функцию 7 : К" —> (0,+оо). Для измеримого множества Е С К™ полагается 7(Е) ||7|1а(£)||.

Определение 1. Пусть р е [1,оо). Будел1 говорить, что вес 7 Е ЛрС(Кп) в том и только том случае, если

ll7|£i(Q")ll (\h->\LAQn)\\y

sup -р—-— < оо.

Q",r(Q")<l IЧЛР

Если не требовать условия r(Qn) < 1, то мы получим определение классического весового класса Макенхаупта, который будем обозначать символом j4p(Rn).

Пусть 7 — вес. При р € [1,ос] символом Lp(Rn. 7) обозначим множество всех классов эквивалентных измеримых на R™ функций / с конечной нормой ||7/|Lp(R™)||.

Для ip е L[oc{R"), г > 1, I G N, t > 0 положим I

Al(h)tp(x) := ¿(-l)'-fQV(a: + ih) при х, h € Rn, Ar(t)(p{x) :=

г=0

£ f \Al{h)ip(x)\rdh ) при x E R".

ч tin

Определим также усредненную как по шагу так и по пространственной переменной разность функции <р Е Ь1{с(11п) на кубе фп

/

\

с

)

\ <Зп г(<9")7"

В первой главе при р, д € (1,оо), г е [1,р], 5 > 0 вводятся три различных весовых пространства Бесова: В^ДИ", 7). 7) и

.В® 9 Г(Г1П, 7) как множества классов эквивалентных локально интегрируемых на Я" функций (р с нормами

МВ',(К",7)|| == (/

яд

|Д'(Л)^|Хр(Кп17)||

¿к №

+\\<Р\ЬР(В",7)\

4 <й

т I +|||ЫЬГ{.+5П

11^15^(^,7)11 := (/

<и

т1 +

+|||ММ- + «")11|£>>(11",7)||.

Основным результатом этой главы является

Теорема 1. Пусть э > 0, 1 < р, д < оо, 1 < г < р. Пусть вес 7Р € Лг£ос(К"). Тогда при гьг2 € [1 ,г]

г

1) В.",7) = ^^(К",7) и соответствующие нормы эквива-

лентны,

Строится пример, показывающий что вложение пункта 2 теоремы 1 является строгим.

Отметим, что утверждение, аналогичное утверждению пункта 1) теоремы 1 было доказано ранее другими методами в случае 7Р £ Ле(Кп), р е (0, ос), ц £ (0, ос] 1б.

Во второй главе вводятся новые модификации пространств типа пространств Бесова переменной гладкости В1р /] Г(ИГ\ {¿к}) и изучаются различные свойства этих пространств. Перейдем к более точным формулировкам.

Определение 2. Пусть аз > 0, аь^г £ К-, 01,02 6 [1,+оо], а = («1,0:2), о — (оьстг). Символом Х°3а обозначим множество кратных последовательностей положительных чисел {¿а^} — {ífc,m}í:6No,meZ") для которых выполнены следующие условия: 1) существуют числа С\,С2 > 0 такие, что

tk,<

/

Е

mSZn

J,m

< Ci2(*"

■j)a i

(1)

Г1

k.m

У

me Z"

< c2 2{j~k)a2, npuO<k<j,me Z", (2)

/

(с очевидными модификациями выражений (1) или (2) в случае если а\ — со или &2 — оо) 2) для всех к £ N0

О < t-k,m < 2a3tktm, при т, т £ Z™, |тг- — тг| < 1,г = 1,.., гг. (3)

16 Hedberg L. /., Netrusov Y. , An axiomatic approach to function spaces, spectral synthesis, and Luzin approximation // Memoirs of the American Math. Soc. - 2007. -V.188.

Положим := Ш^'1^)' Я1т ■= ГЩ.ЭД при к е N0,

г=1 г=1

ТП в Ъп.

Определение 3. Пусть параметры а = (»1,02), 0 = (01,02) имеют тот же смысл, что и в определении 1. При р е (1,оо) символом обозначим множество весовых последовательностей ( 1к : И" (0,+оо) ) таких, что е Ь1°с(Я.п) при к е N0 и Кт} е где

= ¥к\Ьр(Я1т)\\ при к £ N0,771 € ъп. (4)

При этом кратную последовательность, определяемую по формуле (4), будем в дальнейшем называть кратной последовательностью р -ассоциированной с весовой последовательностью

Определение 4. Пусть /бИ, (1,оо), г € [1,р], {1к} € Х£ар.

Символом Врд ДИ.", обозначим множество всех классов эквивалентных локально суммируемых на И" функций с конечной нормой

+

оо

гпМ19

иь=1

(5)

Пространства близкие пространствам В1рчг(Ип, изучались

во многих работах. Основные отличия введенных нами пространств Вр^г(Ип, {¿к}) °т имеющихся ранее аналогов состоят в следующем:

• Норма в пространстве (К", определяется посредством разностей, усредненных как по шагу так и по пространственной переменной.

• Весовая последовательность задающую переменную гладкость принадлежит весовому классу Х%*ар. Это требование менее ограничительно нежели известные ранее условия, налагаемые на весовую последовательность {¿д.}.

Эти два отличия позволяют существенным образом расширить область применения пространств функций переменной гладкости. В частности с помощью пространств В1 {И™, {¿/с}) удается охарактеризовать след пространства Соболева с весом, локально удовлетворяющим условию Макенхаупта.

Для дальнейшего нам понадобится понятие В - сплайна. Такие сплайны рассматривались впервые в работе Карри и Шенберга.

Символом Л^-1 обозначим В - сплайн степени ¿ — 1с узлами в точках ^ = ¡, ! ё {0,1,.., /}. Точнее

где мы использовали стандартное обозначение разделенной разности.

Для к £ N0, т £ Ъп положим

п

:= П ^"Ч2*^ - Э))> ПРИ * е К"-

¿=1 *

Будем говорить, что функция (р £ Ь1°с(Ип) раскладывается в ряд из сплайнов сходящийся к <р в Л>1°с(Т1п), если

ОС

где

к=О

ь1к(х) = ^ Рк,тЯ1кгП1(х) при X £ И", к £ N0. .

теЪп

Пусть «г £ И, ст, £ [1, ос] при г = 1,2, {¿/ь,т} £ Х£3а. Положим

I, := И ( Е ( Е ] , (6)

где нижняя грань в (6) взята по всем сходящимся к функции в Ь1г0С(Я.п) рядам из сплайнов.

Одним из основных результатов второй главы является

Теорема 2. Пусть I Е N, р, q Е (1, ос), 1 < г < р, т = Е

при Qi > — I > ö2, <7i = гт', а2 = Р, кратная последовательность {tk,m} является р - ассоциированной с весовой последовательностью {tk}. Тогда:

1) Каждая функция р Е Blpg r(~Rn, {t-k}) может быть разложена в ряд из сплайнов Nlkm, сходящийся к ip в Ll°c(Rn),

и справедливо неравенство

N(<p,l,{tk,m}) <

в котором константа С\ > 0 не зависит от функции ip.

2) Если для некоторой кратной последовательности {ßk,m} имеем

(Е (Е £] <°°.

Y fc=0 VmGZ" / У

oo

то ряд ßk,mNlk т сходится в Ll°c(¥Ln) к некоторой функции

fc=Om€Zn

ip Е Blpqr(Rn,{tk}) и справедливо неравенство

MBlmir(Rn,{tk})\\ < C2N{<p,l+l,{tk,m}), в котором константа > 0 не зависит от функции (р.

С помощью теоремы 2 в параграфе 3 главы 2 доказываются различные теоремы вложения и теоремы компактности для пространств Blpqr(Rn, {ifc}). В параграфе 3 доказывается теорема о следе для пространства Bj, (Rn, {tk}) на плоскости, частным случаем которой является теорема о следе весового пространства Бесова Blp q r(R", 7) с весом 7Р Е ^l'Lfc(R") на плоскости. В работе 17 рассматривалась задача о следе

г

пространства Бесова переменной гладкости и переменной интегрируемости, норма в котором определялась с помощью преобразования Фурье. Эта задача была решена при существенно более сильных (чем в нашем

17Moura S., Neves ,/., Schneider С., On trace spaces of 2-microlocal Besov spaces with variable integrability // Math. Xachr. - 2013. - V.286. - N 11-12. - P. 1240-1254.

случае) ограничениях на весовую последовательность определяющую переменную гладкость. Отметим, однако, что в указанной работе (в отличие от нашего случая) допускались значения р, д < 1. Третья глава является центральной в диссертации. В первом параграфе мы даем точное описание следов функций из весовых пространств Соболева на плоскости размерности 1 < <1 < п. При р 6 (1, со) след удается охарактеризовать при достаточно слабых ограничениях на вес.

Пусть Г2 — область в К", 7 — вес. При р € (1, оо) символом 7)

обозначим множество всех классов эквивалентных измеримых на О. функций /, имеющих на П обобщенные по Соболеву производные до порядка I £ N включительно с конечной нормой

Ц/ТОП, 7)11 11^/1^,7)11-

|о|</

Точку пространства Л," будем записывать в виде пары (х, у). х € И'', у € К™_<г. Основное утверждение этого параграфа состоит в следующем.

Теорема 3. Пусть р € (1,оо), г 6 [1,р], 1 < й < п, 7Р € Лг£ос(11п), I > Тогда

Г

Тг|у=01^(К",7) где

7к(х) = 2к1р+Ы £ Хд1т(г) I[ 7V, у') <1х'йу' при х е К", к е

(7)

Во втором параграфе рассматривается задача о следе пространства Соболева 1^(11", 7)

на гиперплоскости. Аналогичная задача в случае 7=1, как отмечалось выше, была решена Гальярдо. Обобщение этого результата на весовой случай ранее изучалось в случае веса, зависящего от одной координаты хп 18. К сожалению, в случае веса, зависящего от

18 Гинзбург А. С. , О следах функций из весовых классов // Изв. вузов. Матем. -1984. - N 4. - С. 61-64.

всех координат решить задачу не удается. Случай р = 1 существенно отличается от случая р £ (1, ос) тем, что даже при 7 = 1 не существует линейного оператора продолжения из пространства следов в пространство Т^1 (R.", -у) 19. Мы рассматриваем задачу о характеризации следа пространства Wj^R", 7) в случае, когда вес 7 £ j4'fJC(R"_1) (вес зависит от переменных х\,.., z„_i).

Теорема 4. Пусть вес 7 £ ^(R""1). Тогда

Tr Un=oWi(R",7) = ii(R"-1,7).

Четвертая глава посвящена описанию следов функций из весовых пространств Соболева на границах некоторых нелипшицевых областей. При этом мы существенно используем методы развитые в главе 3.

Условимся точку х £ R" записывать в виде (х',хп). Пусть G — область в Rn_1. Пусть функции <р\,(р2 '■ Rn_1 —> R (фиксированные на протяжении всего параграфа) удовлетворяют условию Липшица с константой L > 0. Пусть р(х') := ~ > 0 при х' £ G,

<р(х') = 0 при х' £ R"-1 \ G. Далее мы предполагаем, что функция tp ограничена. При г = 1,2 рассмотрим биективные отображения Ф; : Rn —» R", определяемые по формуле Фг(:с) := (х',хп — Pi{x')) при х £ R™. Для веса 7 при г = 1,2 положим

7к(х') •■= J2 Щ»->(х')2[П~1)к%т при х' £ R"_1,fc £ N0, где

те Z"-1

%т := 2pfc7 о фГ1 (q^ х (izg^, Цр)) при к £ N0, т £ Ъп~\

В данной главе определяется пространства Бесова переменной гладкости, заданное на произвольной области G С R"-1. Это определение

19 Peetre ,/., А countrexample connected with Gagliardo's trace theorem // Comment Math. - 1979. - V.2. - P. 277-282.

является простой модификацией соответствующего определения из главы 2.

Определение 5. Пусть Е > 0. Разбиением Уитни области С, построенным по функции <р, называется множество максимальных

--_Д—1

замкнутых двоичных кубов {С}^ } := {Qj (</?, Е)}^ таких, что для любого у £ N

Ф') > г^п-и пРи х' е ЯГ*

Константа Е далее предполагается фиксированной. В этом параграфе доказывается, что при фиксированном Е существует параметр А(п, £,Е) > 0 (который также в дальнейшем фикси-

ос

руется) такой, что (3 = и (1 + А)^-1^, Е) и кратность перекрытия

¿=1

кубов (1 + Л)<3"_1(<£, Е) конечна и не зависит от j.

Рассмотрим область Г2, заключенную между графиками функций ф1,<Р2. Положим

П := {{х\ хп) : ^(х') < хп < у2{х'),х' £ С},с П:=Кп\ Г2;

(8)

р? := {х = {х',хп)\х' £ (1 + 1,х„ £ ЫЛМ*'))}-

В параграфе 2 мы доказываем следующую теорему.

Теорема 5. Пусть р £ (1,оо), 7Р £ А1°с(Ип). Пусть функция / £ 1Ур(Г2,7). Тогда существует след £г =: д и справедливо неравенство

00 'уРГРГ1') 7=1 1з 1

/

У Ых') - д1{х')\<1х'

+

2 оо

+Е Е ы^М1+мг1* ®)ир ^ ^11/1^(^,7)11^ ¿=1 .7=1

в котором константа М\ > 0 не зависит от функции /.

Обратно, если Л^д) < оо для некоторой функции д : сЮ —> П., то существует функция / € ТУр(П, 7) такая, что ¿г \да/ =: д и справедливо неравенство

11/1^(^7)11 <М2Щд), (10)

в котором константа 0 не зависит от функции д.

В третьем параграфе решается задача о следе для пространства И/р(сГ2,7) в предположении, что область С (на которой положительна функция (р) ограничена и имеет липшицеву границу. При этом необходимые и достаточные условия на следы функций отличаются от найденных в теореме 5.

Отметим, что для невесовых пространств Соболева, результаты аналогичные результатам, полученным в параграфах 2 и 3, были известны ранее 20. При этом мы модифицируем некоторые методы, использованные для доказательства соответствующих теорем в невесовом случае.

В четвертом параграфе результаты, полученные в параграфах 2 и 3 используются для решения вариационным методом некоторых граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений.

В пятой главе мы изучаем локальное поведение функций из весовых пространств Соболева И^П, 7) в метрике Ьр вблизи границы 80, области О. Пространства 7) отличаются от пространств 7)

видом нормы. Точнее

||/|И^(П,7)|| := £ \\Оа!\Ьр{В.»)|| + £ ||Д<7|£р(Н.п,7)||-

|а|<г |а|=(

Определение 6. Пусть р е [1,оо], ш € ]М, Г2 — липшицева область

20 Мазъя В. Г., Нетрусов Ю. В., Поборчий С. В. , Граничные значения функций из пространств Соболева в некоторых нелипшицевых областях // Алгебра и анализ. - 1999. - Т.Н. - N1. - С. 141-170.

в R71. Будем говорить, что функция f G Li°c(f2) равномерно т раз дифференцируема на множестве Е С сЮ, если при некотором ¿о > О существует функция е : (О, So) —> (О, +ос) такая, что e(t) —> О при t —+0 и для любой точки х G Е существует такой полином РЦ/}, что

sup II/ - P^[f}\Lp(5Bn(x)f]n)\\ < е(5)5т+р при 5 G (OA). хеЕ '

Положим := {х е Вп : Xi > 0,г = 1, ..,d}, Е С Bn'd — компакт. Точку пространства R™ обозначим символом х := (х,х), х G Rd. х G Rn_<i. Подпространство Rn-d отождествим с плоскостью, задаваемой в Rn уравнением х — 0. Мы предполагаем далее, что вес 7 является функцией расстояния до плоскости размерности п — d (1 < d < п), то есть 7(х) = 7(|s|).

Определение 7. Пусть р G [1,оо]. Будем говорить, что вес 7 является р- допустимым, если

N^V) - < сю.

Основная теорема, установленная в данной главе состоит в следующем.

Теорема 6. Пусть р G [1,оо], вес 7 является р - допустимым. Тогда каждая функция / G Wp(n%, 7) является равномерно I — 1 раз дифференцируемой на Е.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю: член-корреспонденту РАН профессору Бесову Олегу Владимировичу за внимание к работе, ценные замечания и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Тюленев А. И., Характеризация следов весовых пространств Соболева // Труды МФТИ. - 2011. - Т.З. - N1. - С. 141-145.

[2] Тюленев А.И., Задача о следах для пространств Соболева с весами типа Макенхаупта // Математические заметки. - 2013. - Т. 94. -N 5. - С. 720-732.

[3] Тюленев А.И., Точки дифференцируемости функций из весовых пространств Соболева // Труды МИАН. - 2013. - Т. 283. - С. 257266.

[4] Тюленев А.И., Описание следов функций весовых пространств Соболева с весом из класса Макенхаупта // Труды МИАН. - 2014. -Т. 284. - С. 288-303.

[5] Тюленев А.И., Граничные значения функций из пространства Соболева с весом из класса Макенхаупта на некоторых нелипшицевых областях // ДАН. - 2014. - Т. 456. - N 4. - С. 408-412.

Пол писано в печать 29.05.20J4 Тираж 100 :>кз.

Отпечатало в Математическом институте им. В.Л. Сгек.юпа РЛН Москва. Í19991. ул. Губкина, S