Спектральный анализ в весовых пространствах Соболева и вырождающиеся эллиптические уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

----------------------------------СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 517.518.23+517.956.223

^^^ Белова Наталья Олеговна

СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

СОБОЛЕВА И ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск-1994

Работа выполнена в Новосибирском государственном ущшерситете

о

С

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С. К. Водопьянов Официальные 'оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Д. Степанов, кандидат физико-математических наук Н. С. Даирбеков. Ведущая организация: Волгоградский государственный университет.

Защита диссертации состоится " " 199^Пг.

в " час. на заседании специализированного совета К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических па>*< в Институте математики СО РАН по адресу: (630090) л Новосибирск, Университетский пр.,4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан ** " ¿У Ученый секретарь

специализированного совета при I Институте математики СО РАН

199X7.

кандидат )изико-математических наук

В. В. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1°. Исследование вопроса об аппроксимации данной функции финитными функциями в некоторой интегральной метрике, берет начало от работ С. Л. Соболева и 'трает важную роль в ряде вопросов уравнений с частными производными и теории вложения функциональных пространств.

П ............... . ., .. Г",-..*"..-.-.--- -------------------------

и А М^и^^иил VV I т V —— ¡ : "'—•А д - ■ ■ • - --—; -- '- - — ......... .....

тематиками изучались дв з различные задачи аппроксимации гладкими финитными функциями, исторически названные "спектральным синтезом" и "стабильностью".

Впервые задача спектрального синтеза была сформулирована С. Л. Соболевым в 1950 г. в виде теоремы единственности решения задачи Дири- че для полигармонического уравнения на ограниченной области (7, ограниченной конечным объединением гладких многообразий, на которых заданы допустимые граничные значения.

При более общих предположениях отпосител! то области <3 в 1968 г. В. Фугледе показал, что если и решение полигармонического уравнения

д~и= у>1Г ,т| , ■ - = о

|а|=м 1 "

¿1 (х и Баи = 0 (т - |а|,2)-квазивсюду на С, то функция и тождественно равна пулю в С? тогда и только тогда, когда каждая <1>упк

ция и € И/2т(Нл') такал, что О"и — 0 (т— |а(, 2)-квазивг~оду па С7С, о

приладлежи~ И^д^СУ), определения и обозначения см. в главе 0. Итак, если замыкание пространства Со°(С?) в "") состоит из

фу: кг И и е Ж^СИ1*) таких, что Ваи = 0 (т - |а|,р)-квазивсюду

на Gc для всех а, 0 < |а| < тп — 1, то говорят, что Gc допускает (т,р)-спектральный сш!тез. Таким образом, В. Фугдеде \гстапо-вил, что тонкал задача Лирихле для полигармонического уравнения в области G имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда G" допускает (го,2)-спектральный синтез.

Первые результаты в решении задачи (т,р)-спектралыюго синтеза при mp > N были получены Д. Р. Полкингом и В. И Бу-репковьш. В дальнейшем, вопросы, связанные с этой задачей аппроксимации в пространствах ^/^"(R^), изучались в работах А. Бёрлинга и Дж. Деии, В. П. Хавица, Т. Бегби. В серии известных работ JÍ. И. Хедберг установил, что любое компактное подмножество из 11N допускает (т,р)-спектральный синтез.

Решение этой задачи состояло в детальном изучении поведения функции из вблизи ее нулей. Это исследование зависит от свойств (т,р)-емкостей и соответствующих нелинейных потенциалов (ири р ф 2), которые изучались в работах В. Фугле-де, Ю. Г. Решетняка, Д. Р. Адамса и Н. Г. Мейерса, В. Г. Мазьи и В. П. Хавина, Л.И.Хедберга.

Вторая задача аппроксимации в простралствах Соболева, тесно связанная с проблемой спектрального синтеза, возникает в задаче Ьд-апироксимации па компактных множествах решениями эллиптических уравнений. Эта задача берет начало от фундаментальной работы 1941 г. М. В. Келдыша но исследованию устойчивости задачи Дирихле и равномерной аппроксимации гармоническим " функциями.

Пусть К С Кл — компакт. М. В. Келдыш установил, что если чдача Дирихле разрешима в К", и внешнее решение задачи Ди-

рихле совпадает с внутренним при всех непрерывных граничных

данных, то задача Дирихле устойчива и А" отпс "ительно верна-----------

ции границы компакта К.

В 1961 г. И. Бабушка вновь обратился к проблеме аппроксимации в Li решениями эллиптичг ких уравнений в связи с изучением стабильности задачи .Дирихле для полигармонического уравыеиил Дт" — 0 о области G, равной внутренности своего замыкания ((? = (<?)°).

И. Бабушка доказал, что замыкание G (гп,2)-стабильно, если каждая функция / G W2m(RA'), зануляющаяся вне G, может быть аппроксимирована в ly^R") функциями из C£°(G).

Будем говорить, что компакт К из Rw — (т,р)-стабильвый, если пространство

W?(K) лё f| W?(G) = {/ € Wpm(R*) : /(*) 0 на Кс).

KCG

О

совпадает с пространством W™(Ka).

В случае т = 1 при рассмотрении оператора Кош и — Рима-на задача аппроксимации в Lq решениями изучалась в работах С. О. Синаыьяна, Л. Берса, В. П. Хавина, Т. Вегбии Л. И. Хед-берга. Дальнейшие исследования в теории аппроксимации решениями систем дифференциальных уравнений см. работу Н. Н. Т Арканов а.

В 1972 г. Д. С. Полкипг установил, что задача апнроксим.- im в ЬЧ{К) решениями эллиптических уравнений эквивалентна проблеме (т, р)-стабилыюсти компакта К. Р работа Д. С. Полкинг и Л. И. Хедберга приведены необходимые й достаточные услоь.л! стабильности компакта К.

2°. Цель настоящей работы заключается в исследовании задачи спектрального синтеза и проблемы стабильности в весовых

/

пространствах Соболева с весами Лр-класса Махенхаупта и выявлении связи между задачей аппроксимации в Ьв решениями вырождающихся эллиптических уравнений и (т, р, ^-стабильностью в весовых пространствах

3°. В дисертационной работе используются методы теории вложения функциональных пространств и весовой нелинейной те-, оритт потенциала.

4°. Все результаты, представленные в диссертации являются новыми. Отметим, что в случае весов степенного роста задача, близкая к проблеме спектрального синтеза, рассматривалась в работах О. В. Бесова, Л. Л. Кудрявцева, П. И. Лизоркина. Однако, с более общими весами Лр-класса Макенхаупта такие задачи рассматриваются впервые. В работе получены следующие результаты.

Теорема о спектральном синтезе, устанавливающая, что всякое компактное подмножество из И'" допускает (т,р, ш)-спектральный синтез в весовых пространствах Соболева И^СЛ.",«;). Весовые интегральные оценки типа неравенства Пуанкаре. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося полигармонического уравнения. Эквивалентность задачи аппроксимации в ¿2 решениями вырождающегося полигармонического уравнения и поблемы (ш, 2, ш)-стабилт ности. Необходимые и до-статоч ые условия (ш, р, «^-стабильности компакта К в весовых пространствах Соболева В диссертации также рас-

смотрены вопросы, связанные с граничным поведением функций

из \УрП(С,и)), с привлечением понятий тонкого предела и квазипредела. —

5°. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в ряде вопросов вырождающихся эллиптических уравнений с частными пр вводными и теории весовых пространств Соболева.

6°. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры, на Сибирской г.оиферсггг"": гто гтргтклалной и иялу-стриальной математике памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994) и на семинаре по геометрии и анализу ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.

7°. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2], указанных в копце автореферата.

8°. Диссертация состоит из введения, трех гл\\в и списка литературы, занимает 72 страницы печатного текста, обработанного издательской системой Лд^-Т^Х. Библиография включает 45 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности исследуемой проблемы и общая целевтл установка работы. Приводится крат .ая характеристика основных результатов, изложенных в диссертант!, а также методов, используемых в работе.

Глава 0 содержит необходимые сведения из теории весовых пространств Соболева и весовой нелииег'ой тео; ш потенциала.

В главе 1 доказана теорема о спектральном синтезе, устанавливающая, что любое компактное подмножество из И" допуска-

ет (m,p, и^-спектральный синтез в весовых простратствах Соболева.

Теорема 1.1.1. Пусть f принадлежит Wp(RNtw), где 1 <

р < оо u w б Ар. Пусть К С R" — произвольное замкнутое

множество uD"/\k — 0 для всех а, 0 < |аг| < го—1. Тогда функция

о

f принадлежит пространству W^(KC,из).

В первой параграфе этой главы приветна схема доказательства теоремы 1.1.1, основанная на весовом свойстве Келлога и опенках типа неравенства Пуанкаре. В качестве непосредственного следствия теоремы 1.1.1 установлена единственность слабого решения задачи Дирихле для вырождающегося полигармонич ского уравнения следующего вида (1.1.4)

Е. nm ml Qm ( дти

ail...aK!0*S" .„daff \W(X,dx?...Qx%'<

Функция u € Wam(Rw,u>) есть слабое решение уравнения (1.1.4) в облает» G, если

т! Г Э"7 , ч, _п

о

для любой / € W?(G> w).

Теорема 1.1.8. Пусть G С — ограниченная область, w € Aj. Пусть функция и из пространства iVam(R",ty) есть слабое решение уравнения (1.1.4) в G, и Dau\oo = 0,0 < |aj < m - 1. Тогда и равна нулю в области G.

К : и и по весовом случае доказательство теоремы 1.1.1 состоит в детальном иесдсдованш! поведения функции вблизи компакта ча котором она зануляется, и опирается на весовую нелинейную

теорию потенциала, развитую в недавних работах R. P. Ajr мса и С. К. Водопьянова.

Во второй параграфе, с использованием интегрального представления функций по Соболеву получен весовой аналог теоремы вложения.

Пусть и> £ Ар, тогда вес принадлежит Ар,-классу Макенхау-¡Uü Miiioro р* С ipi), J?}, Где Vr »»»»ПРП ввг.п to ОППвЛвЛЯ-ется однозначно.

Теорема 1.2.3. Пусть ро < р, < р и к = > 1.

Тогда существует постоянная с = с(п,р,Ар,р») > 0 такая, что для всех функций f € Ст(В) выполнена оценка

в в

(1.2.4) +(diam5r(_J_ J\Vmf\^dxYy

в

Кале ми отмечали ранее, в решении проблемы спектрального синтеза важную роль играют оценки типа неравен :ва Пуанкаре п окрестности компа та е с G для фупкций из up л-рапств и>)( обращающихся в нуль на е вместе со свсми производными порядка меньшего т. В не весовом случае указанные неравенства получены в работа.. Л. И. Хед^рга и В. Г. Мазьи.

Следствие 1.2.8. Пусть е — замкнутое подмножеаиво куба Qd, 1 < р < со, to £ Ар и к из теоремы P.S. Тогда для всех функций / 6 обращающихся в пуль на е вместе со своими

производными до порядка I - 1 включительно, I < гп, имеет м<"то

неравенство

Ял Ял

Как видно, эти оценки зависят от относительной емкости компакта е и представляют самостоятельный интерес.

В третьем параграфе установлено, что (т,р, ш)-спектральный синтез имеет место на компактных всюду (1,р, ш)-плотных множествах.

Тесремь 1.9.1. Пусть К С В," — компакт, (1,р,ш)-ш»откыЙ в каждой своей точке, / € где 1<р<оо«ш€ Ар.

Предположим, чтоРв|к = 0 для всех а, 0 < |а| < т-1. Для любых окрестности V, компакта К и некоторого числа 6 > 0 найдется ¡Пункция и £ такая, что 0 <и<1, и = 1в окрестности

компакта К и \\и>Д УГ^В.1*, <8.

Доказательство этой теоремы использует оценку предыдущего параграфа при к = 1.

В четвертом параграфе доказана теорема о спектральном синтезе на компактах К с нулевой емкостью. Л ля построения аппроксимирующей функции, на компактах нулевой (1,р,и/)-емкости используется идея В. И. Буренкова построения усредняющих функций с переменным радиусом усреднения, ассоциированным с разбиение..! Уитни относительно компакта К.

В заключт гельноь: параграфе первой главы рассмотрены построения, использующие резул" таты § 3 и § 4 и позволяющие уста-

повить аппроксимационные свойства па произвольных замкн, тых множествах.

Вторая глава посвящена применениям теоремы о спектральном синтезе в ряде смежных вопросов анализа.

В первом параграфе исследовало граничное поведение функций из .,и>), получены необходимые и достаточные условия

о

на &\гтстпп / С И/т(0 «и) л»«-гегс, тг^б"" * ~~-тг-'^гл "'ГГГП.иЛ,

- - - р ! , ' I ----0 —I" '----* V • *

гле П область из И".

Рассмотрю! функцию / € ш) Положим

Функция д, определенная (т,р,ю)-квазивсюду в П, имеет ква-Э1шредел поль па 30, если для любого е > 0, существует открытое множество и> с С^М < е и такое, что для любой точки у € д(х) стремится к нулю при х -+ у, х 6 П \ ш, т. е.

Функция д называется (т,р, ш)-тонпо непрерывной в точке х, если для произвольного е > О множество

(т,р,«/)-разрежепно в точке х. В этой топологии функция д 1шсе

конечный предел Л в точке £

(m,p,w)-fine lim д(х) = А,

если множество {я : \д{х) - А| > е) (т,р,ю)-разрешш10 в точке £ для любого е > 0.

/(®) для ж е П О для х G Пе.

(m,p,u>)-quaailim д = 0 на Oft.

В работе С. К. Водопьянова было установлено, что (т,р, «/;)-квазинепрерывные функции являются (m,p, iu)-тонко непрерывными (т,р, ш)-квазивсюду, а также, что в силу справедливости свойства Шоке, верно и обратное утверждение. Таким образом имеет место следующая

Теорема 2.1.*. Пусть / € W&(fi,ti)), 1 < р < оо и вес и» € Тогда следующие утверждения эквивалентны: (4х (m—|a|,p,«;)-fine limDaf — 0 квазивсюду на díl, для всех муль-тииндексов а, 0 < |а| < т — 1;

(5) (т- |a|,p,w)-quasí limDe/ = 0 на díl для всехмулътииндексов а, 0 < |а| < т - 1;

(6) fe W?CLn,w) и Daf = {Daf)~ для всех мулътииндексов а, О < |а| < т;

'7) /€ W7(ft,w).

Приведенные результаты позволяют обобщить теорему 1.1.8 следующим образом

Теорема 2.1.4. Пусть G С Rw — ограниченная область, w € Аз. Пусть функция и из пространства W™(G,w) есть гпабое решение уравнения (1.1.4) в G, и (ш — jaj,p,u>)-qua8Í limD"/ = 0 ко dG для всех мулътииндексов а, 0 < |а| < т— 1. Тогда и равна нулю в области G.

Во втором параграфе главы 2 установлено, что множество Af(K,w) решений вырождающегося полигармонического уравнения Дтц = 0 в окрестности компакта К плотно в множествeAfi^K", t решенкл этого уравнения в Xе, принадлежащие Zj, тогда и только тогда, когд- компакт К — (гп, 2, t )-стабильный.

Теорема 2.".1. Пусть P(l,D) — вырождающийся аллипти-

ческий оператор порядка 2т, определенный соотношепиел% {2Л1) о области Г1. Тогда, если К С П • — компакт, то слсдуящис. утвср-ждения завииалситпи:

1) плотно о ЩК°,п>У,

2) плотно о

3) С^{ПН\ К) плотно а IV"'(К1* \ К", и);

4) («,/) = 0 дляассхи й »функций/ е I

С "'»"япишчииявы нш ДС а^ ¿«¡«¿^¿С

жества, которые являются (т,р, ад)-стабильными, и приведены необходимые и достаточные условия (т,р, ш)-стабилы. сти множеств с непустой внутренностью.

Теорема 2.3.1. Компакт К — (тп,р,ш)-стабильний, тогда и только тогда, когда каждая функция / € равная

нулю на Кс, удовлетворяет соотношениям Оа/\дК = 0 для всю а,

О < Н < - ' •

Теорема 2.3.2. Компакт К —(т,р,и>)-стабилъпий, ее. : множество Кс (к,р,т)-мотно (к,р,и))-коазилсюду на аК для к — 1,2,... у»..

Теории:а 2.3.2. Компакт К — {т,р,ю)-ста6мьни<^ если су-щееншуал постслк:;" ~ > О, ггг.гг." "г*"1

Ок,р{и \ К) > \ К")

дмг к = 1,2 ... ,т и всех открытых множеств V.

1.5 .чнклтчепие антор »ыражнч благодирпосп, своему "пуч-ноь.у руководителю л.ф.-м.п., профессору С, К, Подонь; .»ну л а постановку ладони, иосгодшюе вшшаиие и ом^ць в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Белова Н. О. Спектральный синтез в весовых пространствах Собо^ва// Матем. заметки. 1994. Т.5ц № 2, С. 136-139.

2. Белова Н. О. Спектральный синтез в весовых пространствах Соболева// Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние, -1995. Т. 31: Пространства Соболева и смежные вопросы анализа. 32 с.

Подписанох печати 15.12.94

Формат бумаги 60 х 84 1/16. Объем п.л. 1.0 уч.-изд.^ Заказ В 621 Тиггж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Н1 У,. 630090, Новосиоирск, 90. ул. Пирогова, 2.