Некоторые вопросы теории весовых пространств и приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Теоремы вложения для весовых пространств.».

1.2. О граничных значениях и о "зануленных" классах.

1.3. Про странства Wp' {&) ЛГр&). зб

Глава П. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

2.1. Модельная задача.

2.2. Аналог первой краевой задачи с однородными граничными данными.

2.3. Вопросы существования и единственности обобщенного решения общей первой краевой задачи для вырождающегося уравнения.

Глава Ш. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ.

3.1. Теорема о локальной гладкости.

3.2. Дифференциальные свойства обобщенного решения первой краевой задачи для вырождающегося уравнения с однородными граничными условиями.

3.3. Теорема о гладкости в случае неоднородных краевых условий.

Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам теории весовых пространств дифференцируемых функций многих переменных и приложениям этой теории к исследованию первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. При этом основное внимание уделено указанным приложениям: исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения, вопросы связанные с дифференциальными свойствами этого решения. Попутно получены некоторые результаты дополняющие известные факты теорий весовых пространств; в частности, рассмотрены пространства , которые при р =2 характеризуют класс решений в зависимости от гладкости граничных данных.

Краевые задачи для вырождающихся уравнений, интерес к которым вызван их большим прикладным значением, рассматривались многими авторами. Один из плодотворных подходов к исследованию такого рода задач основан на использовании теории весовых пространств. Первые систематические исследования по теории весовых пространств и приложениям этой теории к вырождающимся уравнениям проведены в монографии Л.Д.Кудрявцева /16/. Там, в частности, было исследовано эллиптическое уравнение 2-го порядка со слабым вырождением. Дальнейшее развитие теория весовых пространств получила в работах С.В.Успенского, П.И.Лизоркина, Г.Н. Яковлева, Я.С.Бугрова, О.В.Бесо-ва, Я.Кадаеца А.Куфнера, В.Р.Портнова и др. С см. библиографию по этому вопросу в книге /I/ и обзоре /15/ ).

Существенный вклад в теорию весовых пространств внесла монография С.М.Никольского /I/, в которой на основании единого метода, разработанного автором (т.н.метода "регулярных мостов"), получены основные факты теории весовых пространств в ограниченных областях.

Приложениям теории весовых пространств к вырождающимся уравнениям посвящены работы А.А.Вашарина, П.Й.Лизоркина, Б^В.Мирошна, И.Г.Матвеевой, М.О.Отелбаева, Ю.В.Рыбалова.

Большое значение в развитии методов исследования вырождающихся уравнений на базе весовых пространств имела работа С.М.Никольского /II/. В этой работе были проведены исследования (начатые в заметке /12/) первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка. Была доказана теорема существования обобщенного решения, изучены дифференциальные свойства этого решения (в случае уравнения 2-го порядка). В последующих совместных работах П.Й.Лизоркина и С.М.Никольского /13/, /14/ эти исследования были продолжены; в частности, была разработана методика позволяющая изучить коэрцитивные свойства решений вырождающихся эллиптических уравнений порядка 2HI (при YY\> 1).

В настоящей диссертации часть посвященная приложениям к вырождающимся уравнениям представляет собой обобщение и дополнение результатов работ /II/ - /14/.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе I содержатся сведения о весовых пространствах дифференцируемых функций, определенных в ограниченной области И - мерного евклидова пространства . Границу Г7 области Q считаем достаточно гладкой. Расстояние точки xeQ до Т7 обозначается символом §Сх) . Через(£ будем обозначать поле комплексных чисел. Пусть Ш - неотрицательное целое число, оС - действительное. Функция 1Л(х) по определению принадлежит классу \f2c< (Q), если 1А(рс) G: » У нее существуют обобщенные (по Соболеву) производные порядка УИ , и конечна норма ftu 1Не Ф=ltW)i)a*[z

1= Си/12з./ии) j Ц\ = ц+1г+.+ ч j 1

В диссертации существенно используются следующие известные утверждения

Утверждение I. Если

-I ОС < 2 (I) a Sq- наименьшее натуральное число такое, что

- i <Со<-Vn + S0< \ (2) то на функциях из (Й) определен оператор следа"

Т: —* (1а|г действующий линейно и непрерывно из в И В, сг) к=о г ^ ;

Доказательство этого факта и определения классов Бесова; В>£ , а также описание других свойств классов W2 ^(Q) можно найти в монографии С.М.Никольского /I/. Отметим, что если ^удовлетворяет условию (I), можно рассматривать класс - подпространство функций из "W^t » -имеющих на Т7 нулевые следы до порядка <S0—i включительно.

Утверждение 2 С см./12/). Пусть оС и 90 определены в (I) и (2), кроме того и* (3) а ^ т (4)

Тогда существуют d: >0 » I ll ^ , такие, что

О L

U€Vlz,*(&) верно я. Q

Далее, пусть £ - целое число, £ - действительное. Введем в рассмотрение классы . По определению

IAGV2. <f> (9) п£и ^ , если для нее конечна норма HUE Я если u о,то (я)]*, т.е. пространство "V*2.;f> (Q) определяется в этом случае как пространство, сопряженное к V^j-j^ С®) • Основные свойства и структура этих классов (в более общей ситуации) изучены в /14/.

Скажем, что ^(Х} является в ограниченной области^ весовой функцией "дистанционного" типа, если

1. CJ (3Z) определена измерима и положительна всюду в .

2. V компакта Ус я существуют положительные константы ACF) . b(F) такие что

Voc^T (6)

3. Существуют положительные числа S и С и функция $ , зависящая только от расстояния до границы, такие что в приграничном слое "толщины" 8 :

Р8 = {v&Q /§(xUS\ выполнены неравенства

О VxePs (7)

При этом естественно назвать £ - "эквивалентом" веса

Совокупность весовых функций "дистанционного" типа обозначим через

Если <^(рО € G » то совокупность функций ИЗ Lp(Q) ср> I) обладающих обобщенными (по Соболеву) производными порядка t с конечной нормой р J

М^^ * t^lD°UCx)0Pc(x]? (8) оС \ ^ ^^ обозначим символом "Vf^

В диссертации получен следующий результат.

Г4 (2)

Теорема I. Пусть в области Ьс* с границей I & рассматриваются классы и Wp (kjC?) , где

CJ(X) и к (ОС) - весовые функции "дистанционного" типа; натуральные числа такие, что Если существует система функций "дистанционного" типа такая что

I. = j cjjm-e+ч =

3. Эквиваленты <р< соответственно функций ^ \ )••• ) Б приграничном слое Р§ связаны мезду собой соотношением к ! 2 I s0% П П ^ ^ (9) o<x<S L 0

Г 1 ^ - \ здесь р+ —, - 1

Тогда имеет место непрерывное вложение

Для классов результат о граничных значениях.

Теорема 2. Пусть VW и натуральные числа

Г-Л "Т7 И (50-М)

А ^ о ^ W\ и пусть в области bat с границей \ рассматривается класс Если существует систеполучен . также следующий ма "дистанционных" весов такая что

3. ^(X^Lptffi)

4. Эквиваленты ;> •••;> соответственно функций

§•1 5^ g ки-s -н в пРигРаничном слое связаны между собой соотношением х }, S ; L#

0<х<о 0 х

То на функциях класса

Wp определен линейный оператор "следа" . . I и I О ^ I \ действующий непрерывно из "Wp ( In ) в

С, — I — !/■— п в: p(d

К-0 V

Для описания решений первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения нами введено следующее пространство.

А ^

Определение I. Пусть \ "Jf, и -некоторые целые неотрицательные числа; t = и^сос yu = 1МЛЛС (Oj^-G') .функция \i(ot)e Vj?,C*№) если существует функция u3 £ (Q) и функция

Ф Сос^ е (ffi) • такие что

ОЛ = СО UI)

Норму в

Wf" (Q) зададим следующим образом » »yp%> <*«} (12) где In-fLwu-kvi берется по всем представлениям функции •Ц (х^) вида (II).

В дальнейшем параметры оС и SQ удовлетворяющие (I) - И) будем для кратности называть регулярными.

Нами доказана следующая теорема.

Теорема 3. Если параметры оС vl S0 - регулярные, то в пространстве норма (12) эквивалентна норме

Т. +

Используя теорию весовых пространств функций и, в частности, упомянутые выше результаты при р =2, в главах П и Ш изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения. В главе П изучаются вопросы существования и единственности обобщенного решения следующей краевой задачи.

Рассмотрим интегродифференциальную форму a^cx^Vcoc^DVcx^x (13) в предположений, что:

I. Коэффициенты Q ij (ос) измеримы в Q и lavjWUMi^ (ос) з xeQ; iu;i]i (14)

Доказывается, что если удовлетворяет условию (I), то форма (13) коэффициенты которой подчинены неравенствам (14), определена и непрерывна.в, W? эт.е.

Задача Г)0 . Пусть о( и £>0- регулярные параметры.

О уу\

В классе \д] (SO ищется функция ЛЛ. (ос}, удовлетворяющая соотношению

О yv\ a = Ve-eVIM(£>) сю где принадлежит пространству

I I Hi I сопряженному к v\i2 с* • Сшлволом 3' > обозначается отношение двойственности.

Iе. vh

Замечание. При регулярных оС и S0 классы W2)0( (52) и V (.52) совпадают с точностью до эквивалентности норм (см. /23/), поэтому в (15) можно считать |€"VZjo< Кроме того, в силу плотности С0 (52) в We*^ (52) можно требовать выполнения (15) на функциях tf (ос^ £

Задача D 0 связана со следующей краевой задачей

Amoc^Z (-if Ъ\а I о*>, ,

Ц|>\5уи J С16) to

Именно, если Ц 1гс и Qij ed^CQ) , yv\ а решение ищется среди функций VZ (Q) , обладающих производными до порядка 2 W\ из LГ? , то задача Dп совпадает с краевой задачей (16), (17). Если же (X l^^d'^C^} ^ CS) » то тогда говорят о краевой задаче, понимая уравнение (16) в смысле соотношения (15). При этом оператор А понимается в обобщенном смысле как оператор, удовлетворяющий равенству

Решение задачи D о называется обобщенным решением задачи (16), (17).

В диссертации получено следующее утверждение относительно решения задачи t}0 .

Теорема 4. Пусть параметры о( и ^о - регулярные и форма (ХСЯ^ЯЯ » коэффициенты которой подчинены оценкам (14), удовлетворяет условию: существует постоянная 96 > О такая, что для любого набора комплексных чисел Ъ 'L (111= и для каждого ОС £ ^ выполнено неравенство

HelciLjCafllJi ^ §сх) I^ <19>

И\=щ=т lj\=m

Кроме того имеет место условие

Е = .эб - 21 Мц (сцс^ >о

20) где dt - константы из неравенств (5), М ц - константы из условий (14), тогда оператор А определяемый соотношением

18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом

Далее рассматривается неоднородная краевая задача. Параметры о( и S о считаются регулярными.

Задача ]l) . В классе W 2 ,о( ) найти функцию 1Л (ос} которая при заданном ^ (52} и заданных граничных функциях ц ; k = or--; S0-4 о<- К - 1^2.

Ц>к€ &2 СГ) удовлетворяет соотношению а(г»,1>) = V О-еСГСй) и краевым условиям iVCcO,.,^ (2D

При рассмотрении этой задачи на коэффициенты формы приходится налагать более жесткие требования: i . и 8:+C*-VH+UI i UU^ JjUm (23) где ) ^i-i -вещественные положительные константы.

Аналогично случаю однородных краевых условий задачу "D можно интерпретировать как первую краевую задачу для уравнения А — -f- с краевыми условиями (21), где А -оператор задаваемый соотношением

W\ (22) а(1л,и) = <> 7(Я)

Определим оператор Р = ( A jT) - оператор задачи Ь . Каждой функции 1л(ос} ^ WJT^) поставим в соответствие "пару" (At* jT'M ) или, учитывая определение оператора Т* (см.утверждение I) вектор-функцию с 60-Н ком

Учитывая линейность и непрерывность операторов Д и Т в соответствующих пространствах, получим линейный непрерывный оператор

I ^

Е'=(А,,Т): W™ (о.) (Q) * П

Справедлив следующий результат.

Теорема 5. Пусть коэффициенты формы (2 удовлетворяют условиям (22), (23); кроме того, пусть выполнены условия

НеL OiiWlJi ^E'^X.ISJ2; Ic£<C! (24) и I v—- . R; — о< - Ил + \i.l .

Е - 2- Сс^сл*lU+ljUlwiH J * llU^o-4

- H Mf, (JL\£\)* >o (25)

Тогда оператор P есть алгебраический и топологический изоморфизм г: VI^CQ) - yjvp

Глава Ш посвящена исследованию коэрцитивных свойств обобщенного решения аналога первой краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения. Вначале доказывается следующая теорема для случая однородных краевых условий.

Теорема 6. Пусть ^ 0 - целое число, а форма a (l/t,t>) удовлетворяет следующим требованиям:

1. коэффициенты её суть измеримые функции для которых верно (14);

2. когда таковы, что \i\-W\ .Ijl^W-'Jf > то

3. при таких что U\-Vvi , a Hi - "Jf-v А £ 1 j | $ Ил и vt : ftUljl-VM+Y выполнено М Lj ) М lj' - некоторые положительные константы)

4. выполнены условия (19), (20).

Тогда оператор Д , определенный соотношением (18) является алгебраическим и топологическим изоморфизмом

А ^ (Q)

В случае неоднородных краевых условий доказана следующая теорема о повышении гладкости.

Теорема 7. Пусть форма 01 C^S^) удовлетворяет условиям

1. коэффициенты fl (j (ос) подчинены оценкам (22),(23).

2. при некотором целом неотрицательном £ выполнены требования: коэффициенты 01 , соответствующие мультииндексам III = ^ » » непрерывно дифференцируемы и справедливы оценки

1тч I > кл1

Шк^Соо!^ (РО • xeS^rV-^) а коэффициенты соответствующие мультииндексам (l^jj Hl^VH ,

Ijl £ Vn непрерывно дифференцируемы S -раз и для любого мультииндекса t : |t\ ^ (jl-M + <} верны неравенства * // 2 (о(- и*) -И il + Ijl- Itl iDaijwUn^ да .

I гчТ I ьл11 ft-+o(-Wi4liMtl .

I D aij c^l ^ Иц

3. Выполнены условия (24), (25)

Тогда оператор Р осуществляет алгебраический и топологический изоморфизм

Р=(А;Т): V* т СП (26) к-о

Перечисленные результаты обобщают и дополняют исследования /II/ - /14/ в следующих направлениях. Во-первых,за счет использования метода билинейных форм удалось освободиться от условия симметричности коэффициентов ft ^ j (ОС.) . Более того, этот метод позволяет рассматривать уравнения с комплекснозначными коэффициентами. При этом несколько конкретизируются требования к форме С см.(19), (,20) ). Во-вторых, на основании локальных оценок из /6/, в теоремах о повышении гладкости ослаблены требования к коэффициентам уравнения. Наконец неоднородная краевая задача изучена для более общих уравнений.

В работах /II/ - /14/ не изучался вопрос о зависимости гладкости решения от гладкости граничных условий. В диссертации введено пространство и доказан изоморфизм ( 26).

Замечание. Мы будем иногда писать а« е> вместо

A 4db. где положительная константа С не зависит от В.

Основные результаты диссертации содержатся в статьях /35/ - /37/. Ути результаты докладывались в МИ АН СССР на семнаре по теории функций под руководством С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева, на семинаре по уравнениям в частных производных под руководством А.В.Бицадзе, в институте Математики и Механики КазССР на семинаре по прикладным методам анализа, в Каз1У на семинаре по функциональному анализу под руководством М.О.Отелбаева, в Казахском политехническом институте на научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук профессору П.И.Лизоркину за постановку задачи и постоянное внимание проявляемое к работе.

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977, 455 с.

2. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

3. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974, 808 с.

4. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980,664 с.

5. Лионе Ж., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложений. М.:Мир, 1971, 371 с.

6. Qcjn/ton S. cCedtute£ cm eilv.pU<L i^undL^ VoJIuul . 2<31p.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

8. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

9. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. Изд.АН СССР, 1959.

10. Лизоркин П.И., Никольский С.М. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задач с сильным вырождением на границе. ДАН СССР, 1964, 159, № 3, с.512- 515.

11. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод. -Труды МИ АН СССР, 1981, 157, с.90-118.

12. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью. Труды МИ АН СССР, 1983, 161, с. 157-183.

13. Бесов О.В., Ильин В.П., Кудрявцев Л.Д., Лизоркин П.И., Никольский С.М. Теория вложения классов дифференцируемых функций многих переменных. В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М., 1970, с.38-63.

14. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений. Труды МИАН СССР, 1959, 55, C.I-I8I.

15. Кудрявцев Л.Д. О полиноминальных следах и о модулях гладкости функций многих переменных . Труды МИ АН СССР, 1972, 117, с.180-211.

16. Мирошгаь; Н.В. Первая краевая задача для эллиптическихоператоров, вырождающихся на границе области. ДАН СССР, 1976, 230, }& 2, с.275-278.

17. Миропшя Н.В. Обобщенная задача Дирихле для одного класса эллиптических дифференциальных операторов, вырождающихся на границе области. Некоторые спектральные свойства. Диф.урав-нения, 1976, 12, & 6.

18. Лизоркин П.И. Граничные значения функций из весовых классов. ДАН СССР, I960, 132, Л 3, с.514-517.

19. Вашарин А«А. Граничные свойства функций класса