Ветвление и устойчивость решений системы дифференциальных уравнений для определения свободной поверхности магнитной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

5 / mu.

ША

1Л J К ГЕСШ'БДШШ j ¡ЗБШ1СТАН

Институт математики имени D.И.Гошнопокого

ЕЕТВЛЕШ1Е И УСТОЙЧИВОСТЬ ШЙШЫ СИСШ.1Ы ДИМШа^ЩДЫЬХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ 011РВДЗ/ТЕНИЯ СВОБОДНО»! ПОВЕРХНОСТИ МАШИНОЙ ВДДКОСТЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЗ^йГАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Ташкент - I9J3

работа выполнена j; Институте цатеыцтцни им.Ъ.И.Романовског AM Республики Узбекистан.

Научный руководитель ; доктор $изиио-ыатеыатачоских наук,

npojeccop Б.В.ЛОГИНОВ

Официальные оппонент : доктор физико-математических наук,

профессор U.U.¿АПАШ

кандидет физико-математических нау! гтофессог. Ы.Ы.АРИПОБ

Ведущая организация - Московский институт Стали и Сплава!

, со

Защита состоится " ." ^ЛМХЛ^ idj'd г. а ^ час на заседании специализированного совета Д OIö. 17.21 в Институте математики им.В.И.Романовского АН Узбекистана по адресу : .. 700143 г.Ташкент, ул.ФДодкаваа, 2У. ' •

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Института математики им.В.И.Романовского AB Узбекистана.

Автореферат разослан "ffi" ^, 1ааЗ г.

Учений секретарь специализированного совета ,

доктор <f из.-мат. наук T^U1'^ Ы.А'.ХАШШОЬ

- а -

OHM ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Д;;т.уальпорть, Основы теории ветвления нелинейных урав-

нений были залохснч в начале Х5С Еека в работах A.U.Ляпунова п Э.Шмидта. Они показали, что задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений с аналитичо ,:ми операторами мой;ет бить сведена к исследованию эквивалентного уравнения разветвления ('Л') - конечномерной системы неявных ^ушяшЯ.

3 одномерном случае метод диаграммы Ньютона позволяет построить все решения УР в виде рядов по степеням малого числового параметра. Более интересен случай многомерно*\ ветвл?тшя, до :<ониа не изученный до сих пор. Здесь ^.¿ект^но сочетание аналитических, топологических и теоротяко-групповнх методов.

Прикладные задачи, основанные на описании действия зякспор ¡охранен.', облндачт групповой инвариантностью (теорема Нчтер). 'еоретико-грулпоше методы поззоляют супг.^твенно упростить об-1ую задачу построения многопараметрячесмо: семейств решений елинейпого уравнения при п< !ске инвариантных радений. Первнэ езультаты т) этом ■правлении были получены В.И.Дцовичем (о поз-икновениа конвекции. - И1.Г.1, 1966-, т.30, вып.6, с.1000-1005; победная конвекция и ветвление. - Ш.2Д, 1У07, т.31, вип,1, .101-111) при исследовании свободной конвеккии в яидкости. 'дальнейшем теория ветвления решений нелинейных уразнелиЛ в слоеиях групповой симметрии развивалась в работах Б.В.Логинова В.А.Треногшш. ¿алее она применялось в ряде прикладных эаднч .З.Духнячевыи, Г.К.Тер-Грчгорьянцем, В.Г.&збским и др.Среди эрубекных авторов, ряботегялх в это:.: направлении, отметим K.Sattingor, А.Vtind'.'.rbauv.wbcds, 3.;;.Cancer, 1 .Доске, U.Qolu-tel;y, D.Schnexier i; др.

3 данной работе исследуется задача определения ^ормы сводной повкрхноста раздела ферромагнитной «;дкоети и вакуума д воздействием магнитного поля. Б-зависимости ст физических оЛств жидкости рельеф поверхности мскет образовывать редетчо-е структуры различного типа. Наиболее полная постановка этой • дачи была'осуществлена в" работе n.D.oowley и ■R.h.Ronr.nc-nr!ii,-1С interracial stability of a ferromagnetic fluid.- ,T.71uid !h., 1967, l.'o 30, part 4, pp.671-680}; Позднее задача решалось

радон авторов (Д.Гайлитис, Е.А.Кузнецов и ¡Л.Д.Спектор, В.Ы.Зайцев И Ы.И.ШЛИОМНС, З.л.ТюомЫу и .Т.Ь'.ТЬоя&а ), КОТОрЫе В НОЯВ-ном шде предполагали неизменность формы рельефа при переходе от одной ячейки к другой. Снятае ограничения на повторяемость рельефа для соседних ячеек приводит к исследованию задачи определения кпатясстц точка бифуркации (размерности подпространства нудеЯ линеаризованного оператора), что в применении к рассматриваемой задаче дс сих пор не проводилась.

3 настоящей работе определен!! возможные порядки выроадешя линеаризованного оператора на основе исследования дисперсионного соотношения, построены уравнения разветвления для всех возмокшх ячеек периодичности, наблццаешх на поверхности, построена асимптотика валиковых, прямоугольных к гексагональных решений и решения с взаимодействием двух решеток - двух валиков и двойного гексагона. Полученные решения исследована на устойчивость.

Пол.1» ряботч. Определить возможные порядки вырождения линеаризованного оператора и существование свободной поверхности маг-нитноЛ кидкости; построить асимптотику милглс'периодических разветвлявшихся решений и исследовать их н,а устойчивость.

Ндучквя новизна, и практическая ценность. В диссертации впервые исследована задача определения.свободной поверхности слоя уерромагнитной жидкости в точной постановке. Определены возглозныо случаи порядка выровдения задачи и доказано, что для симметричной форма поверхность' размерность подпространства ну-лоЯ линеаризованного оператора не может превышать 12. Показано существование двойного гексагона. Построена асимптотика решений для некоторых типов решетчатых струь.ур и исследована их устойчивость. Результаты работы могут найти применение в гидродинамике, {ерроглдродинашке, теории задач со свободной границей.

^.ргччбэтат гяД|?Тн- Основные результаты диссертации докладывались на конференции "Моделирование и исследование устойяивос-та процессов" (Киев, май г.), ва научных семинарах: Инсти-• тута математики иы.В.П.Роыаирвского АН Узбекистана (декабрь

г.), кафедры высшей математики Московского института стали и сплавов под руководством про^.Ь.А.Треногйна (январь 1эЭЗг.), факультета вычислительной ынтематики и кибернетики Московского гсоудэротаекного университета под руководством лра| .Ы.М.Чапаева Сднвг.ръ г.), не конференции молодых учета Института натеца-

- о -

ти ки АН РУ.

ек^ЛШЗШй.- ;1а ^бме диссертации опублинованн 3 печатные работа.

Структур? .и объог.: работы. Диссертация изложена на 82 страницах ма^шнот:«ного текста.и состоит из введения, трех глав и списка литературы,- содержащего 71 наимоновпнле.

СОДЕРйЛЕЩ aIKJCEFTAIVSI

Во введении дается обзор работ, относящихся к темэ диссертации, и сформулированы ее основное результата.

В диссертации испсльзувтся терминология и обозначения книги М.Ц.Зайнберга и В.А.Треногииа "Теория ветвления реаоний неллнеЛ-ких уравнения". Ы.: Наука, 1У63.

Пусть Et -^Е^ ограниченна.! линейный оператор,дей-

ствуютай кз банахова пространства Е в банахово пространство . Оператор предполагается <$редгольмовым с нетривиальным подпространством нулей !\!(Ь)- Е^. Пусть [ }, 1 = 1,...,П - базис в N(b) , j*i,,..,ri- бнзис з К|*(Ь) . Тогда биортогональные к кл:л слоте;.-.:; i ¡fi 1 4 £ Е

е l",- г— rs ri l Н 1

и [г^ t^ с помощью проекторов р= ¡Г)^

Q. = 2 С' порскают разложения пространств Ei

а Ед в прямые cyv.-.ni • - Е*» Е" ^ и Е -- Е + Р

Рассмотрим нелинейное уравнение

(Л - числовой параметр), удовлетворяющее условию

Р(ОДо) =0 г.'где Ь5-РХ(0Л)

V

- (^редтольмов оператор. Задача < п:скаш:я решений нелинейного уравнения .,-..-

bx-RW), RKU.),. Ях(о,Аг)-о, .. ел

где R (М) = F ( Л) - Fx (ОД с) х

- вналитлчвсккЯ оператор, методом ¿шупОва-£:лотп сводятся к исследованию уравнения разветвлен;:«

¿-1.....П-.

11 двииоЯ работе предполагается групповая инвариантность уравнения (I) относительно непрерывной группы 0- . В этом случае, основываясь на лемма о редукции УР по числу неизвестных (Логинов Б.В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии. Ташкент: Фан, Коб), удается выделить точку на орбита произвольного элементе ^е N(5) » с

помощью которой строится малое рёаение при многомерном ветвлении. Для построения уравнения разветвления, допускающего заданную группу преобразований, использовали методы группового анализа дифференциальных ур пений.

Исследование устойчивости разветвляющихся решений сводится ¡<- определению знака собственных значений .производной Фреше ¡.. рассматриваема.« решении. Если действительные части всех собственных значений отрицательны, то решение устойчиво, если хотя бы одно из них положительно, реаение неустойчиво. Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие мезду малыми решениями система (I) и малыма решениями УГ (2), то об устойчивости того или иного решения мокло оудить по главным частям асимптотик собственных значений соответствующей матрицы Якоби, определяемой и8 уравнения

«1е£ н5 С1 (Л) ,Л) -.4 4 -о .

Ь первой глаьо (15 1-4) рассматривается слой ферромагнитноЗ ьшдкосте, ограниченный снизу фиксированной'границей, сверху -вакуумом, на которую действует достаточно сальное магнитное поле. При достнвенжи критического значения напрякеннооти «агнятного поля не свободная поверхности раздела феррокидкоста я вовууыа возникает некоторый рвльв$. Состояние поверхности раздела списывается сдедувдеЗ стсгмюб уравнений б безразмерных &ераи<шшх:

. n^aSl^; ■

o O?, i ?.»- i

-rf - i HipijiUíji^iWC-f -Vlz)l'-)4'|| -j'iU)»

г

J X "J

jU(jU-l) VV ,

......* J2 o)

о I

OJ V Ü* J ^ J ' -

ф-f < ÍJi-í) H¿ -(J , Z -Hl,j|) • - 0 ;

;есь Ф и l? - muss-nm »степям »л, Г{X, <1 ) свободно*' граница раздала, блазкзя к го:-.'лонл-лл Z * и , 1 - «агнятияя прпн|н>31т-:сот;>, У - fr рс 'i/'/v , о3 -разность плотноот&л д?;/:: ср^д, tj ^ oso'íwncrn

деш:л, fu - тслИи-'не с;.ci v^c>¿;,kocí3, - ксо-П^сщ

верхнсстного ucttîch;m.

Спстсмо (о) :;Hrari::i!rri^¡ (¡"гаок^.г.т ст^-линь!

S* : й - :!• , Ф(1,3.г) - Фк'ц.о .

а такхв двуцареметрической группы сдвигов

В условиях групповой инвариантности разыскивается асимптотика периодических решений системы (3) с периодами

Aï- л Хт б

Q. ^ и — -- ^ J по осям координат. Для распрямления свободной граязцы произведем замену • '

Если j: С С (Па) , - то ijyHÄir' и Ф ( 1 ,IJ , ) " V ( а\ lJ , I) . будут принадлежать С ^ ( [ 0 i } * ft )

соответственно.( - прямо-

угольник со сторонами Q1 ï по осям координат). Третье

уравнение системы (2) являете.-! нелинейным уравнением для

нс^т,

Fc-UfiMü диаваразованиоЗ сисуеш (3) за исключением третьего уравнен«.-* прадстивлонс в вздо ряда сурьо.

- а -

¿¿и существовании нетривиального подпространства нуле:! линеаризованного оператора необходимо выполнена дисперсионного.соотношения

Kll-Jl1 По - f + о 1 ■ • (4)

- и't1 f yi > связывавшего числа >Tl , )v

Atf _¿JL ,, Y"

и периоды ~ , ? с караиетрсмз ni- и ft

' L i' ч)

В сл уча о, когда условие ¡.О выполняется лаль дм одной нары чисел ( tU , ív ), оператор

в».:

- cx(to,iiMif) f счко^и-с-чя.),

определяемой лииеаризсванпоЛ слстк/оГ;, кчеот четырехмерное подпространство нудеЛ. В качестве ко^плекснозначного базиса выбираются элементы

с i -1(то ». ► ii Ч!

i» < ч< - —

z

о I i ? A4 ' » JJ

L(ir,<vx --и''«)

i¡p;i некоторых соотнес лчпях ::o '-ггста ít , !¡ Ct, ¿ paDHcp:¡ocTi. nojpzocry-nczi-i пулу.* :>;ь 6, Ь, 10 и L:

Соотрегстзишп Г;1Гпт:,:-чг; с ;<"■];?., .. у v:'.-::

íí!ti, "О , Í-ÍJ./Í

дичностл. hc.v; тооо'ав.••■:•!".:;; -¡y;: >'■:) :

- а и -

" ^'Ч + п1^ , Одним ¡13 результатов гл^ьа X 1$;

является хоияэьтоисхьо того,- что не ыоает существовать тр<зх ра: личиик нар чисел Ш;. , И1) , ^ £ , для

которых выгшшлссл йи соотношении (о).

ТЕОРЕМА I. Аял линеаризованного оператора зьдачи Ц) справедливо

тасе. ¿ип Н (Ь„1а) Ц

1й-краи:оо ьироздепие воэыочно при ьзаимодь-йотваа четырем роло-ток периодичности и выборе соответству.'ощк* им ,пар часеи ( МI , п ;) шагани, что 5 } 5,, -- ¿1 - я .

Группа сдвигов ^ при действии в инвариантно!! подпространстве М(Ьп1а) индуцирует группу вращений

<—( >1

век-

( ^ - в п -мерном иоостранстве

торов '5- , относительно которой иннаршжпю соотвсх-стьудлдее УР • ■ •

Равсистьо (о) означает, что многообоа-зие • I - { / £ ) - П

• 1 I п. , , I , ' у V ~ и

ь простг.пнстз« векторов / г > 1 , \

. ' 'Ь..., 5 п , И , ... I н ) лйЛчагй-» инвариьнтшы ыногооорьгвем.

.тобой линейной комбинат;:: нулей, прин^.чдо.у.пь&х о д.ч о Г) униотко, грусла Дйот коз:,; о.;; носи; подбери значений Иа?а-

»¡о-тров грунпи С Ц0.1ьИ ьыделокил Э.'и-исНМ-!, ПОрСЭДШАЧНХ Ср>'!!ТИ

- п; -

М ( Ь„.(п) . откоз от остильних '."¡ь-нйБ лпнеГшой комбинации

,.1.Ь(|Д№ ¡! РУС'УР 1)0 ЧИ^чу НСиЬ№СЧ'Ш1Х. В ГфОСТЫХ СЛуЧаЯХ Ш1;,о-иинил это иу11Еид!гг одновременно и к редукции УР не числу урип-

11 сиотие-гочиьи с укиишьиЯ грулйпЗ ирг.щвшп'!, базис алгебры Ли 1: . Ш: одной ршо'х^'о о/ц.п' состоять из элементов:

I , -а . э . 7 , 3

I 2- ♦ - I Я- )

(7)

н

4

¡ииш'ч.-: опохсг.и ^уикц.нпшл^жз незяьислилх инвариантов определяется УРНВЧ':5,ВЧГЧ1 ХЛ = 0 , ЗСг[ - О Я СОСТОИТ пз 5 - Я гг -7 элементов ( ХЬ - ранг матрицы из координат

: ... -им) •

:1о теореме .а.Ь.ивс/Шщкопа и ниоообш инвариантном многообразии миоглоор^-зиё ' I -[('?) 0 можно представить И КЙЛ" '

ФЧи, ...и-о . 1 ^ п.

1ервио ¡1 ш^ьриаитов удоЗно вибр^ь тешам

I' -- 1 - ■ ; /

'I > - 1_____П . Обда;! г.<гд 'Л лишился следуй

- 1С -

В § 3 гакяе осуществлс;' переход к вещественным переменным 1 к ироведена редушшя слстш разветвления с помощью группы сдвигав и^ь

В £ 4 приведены асимптотики решений для следующих случаев:

Т КОРЕ и Л 2. В окрестности точки бифуркации ~

двукратного собственного значения линеаризованного оператора задача (3) гыеет с точностью до сдвига X •-*■ - X 0Д1,р однопараметричоское семейство решений:

{ФЛГ} = ["А/Ь-(Н-Но)У/а[

- О Он-ИеУ'*) , .5^а(Н-Но) = 9итЬ.

Эти решения соответствует валикам.

Т КОРЕ М А 3. Задача (3) в окрестности точки бифуркации Н(; - четырехкратного собственного значения, определиомого уст ни ем (4), кыеет с точностью до преобразования ^ - у ' и сдвигов -по X две двупараметрачвеких семейства решения:

«сЦта(эг а) ~п!Ы))' ^ о (|Н-\и'/4), ^^(Н-Й^ьиЬ, * со* п I а (х. л) сса л в (у. ]>) о (IИ И с\'к),

ралхма о::;счскт ячойк»: л& поверхности.

ТЕОРЕМА 4. Задача (3) в окрестности точки бифуркации Н0 - четырехкратного собственного -значишь! лпнеар1завашюго зратора, имеет с точностью до сдвига X - X одно одно-замотрическоа семейство решений

Ф/?Л}. [кЫсь\'к{\\-\\о) (ф).а1Л >

'СО 5 та(х>1) ♦ [-А/ьКН-ЮЦф.^Ы.М > > со* Ятц (ом!) *о(|\ми).

решения соответствуют образованию на поверхности сложих о ьвТ|£», когда один валик накладывается на другой.

• Во второй главо 5,6) рассмотрены случаи высокого вырои-;:я оператора Ьшп. ' задачи (3). С-лдуя схеме построения изложенной в С 3, дан обвдй вид уравнение разветвления для с возможных порядков шрсхдения (6, 8, 10, 12 - кратные вн-Хвния). Для ячеек с гексагональной симметрией - гексагонов а 5:-шх гексагонов, соответствующих взаимодействию двух решеток заго.чальной формы, вложенных друг в друга, - осуществлен пе->д К действительному баиису, проведена редукция си ;тен развит-шя с поиощьы группы сдвигов у ^ и выписана асимптп-I реаепиЯ.

Т Е О Р и И А '5. Задача (3) в окреотиостп точней бифуркации , - шестикратного собственного значения линеаризованного оие~ |ра, определяемого условием (4), аиеет с точнасяыэ до проаб-вания и -г - и одно двупзраыотрцческое семейства решении;

* Sni ню (x ij.j sin uij (jj 'j>) Mb lil-i!,)" - j u\(s)f ioJ$), u'jjcos 2ma(jо(lИ .

T S О Г ß M A G. Задача (3) в есрестностя точки Öij-Xypr?'-ш:и Но - двенадцати кратного собственного значения

оператора ftmn ' тесть семейств двунераметрцчееких

Ранений.

Б ов-пу громоздкости но лученной асимптотики в этой случчо, р автореферате она не приведена.

Р'.1';ения ио теорем: 6 отвечает случай снятия ограничения я) повторяемость рельса соседних лчепк ришеткп периодичности. Б отлрчке от известных одчотппчгп: ячеек Бенара, в формировании ячеи с. той структура' поверхности у этом случае будет участвовать ко менее трех различных тслов ячг.ск.

И третьей главе палуччннко решения исследуются на устойчивость. Устойчивость развотвчкюг.егосм рпшшя определяется знаками собст-понных значений матрицы Яко'и системы разветвления, вычисленной не рассматриваемом решении. Роиеппе устойчиво, если все собст-ренпые значения отрицательно. ücли хотя бы одно из них полокитель-чс - pf. ленке неустсйчгпо. исровшв результаты по устойчивости, получениях реуонг." след;.'тете:

- }:S';.;cir:n уолот~ на к-и^иаяентн уравнений разветвления, при гаюлксяаи которых устоймши решения, отвечайте валикам, товнуочэЗсотг» д?ух- валиков и пряиэутольшм ячейкам на поверх-иостн;

i-Hof, сздмстриеЯ (простой и двойной гекса-

voK'O всугд^ иеустойчпьи.

Результаты по усто'чгаос;'.: 1;р-;:.;оугол* них и Гексагональных дчеи< согласуйся с результат«:*.! нрчтыдуэдх авторов. Д^я решений fc':/iii;;oi'oro то.рг* у-:ст коисч::сй срод приводит к- отличиям

от результате!). Усгойчплссть роз опий, отвзчадах

v л^ дл ■ дзу:; ü;:':;:.;cb i: дпой;;а.7 гексогону, ранее кэ нсслс—

Выражаю искреннюю празнагельность своему научному руководителю профессору Б.В.Логинову за постановку задача и постоянное внимание к рабств, а такгв кандидату физико-математических наук А.О.Куан^псву за полезные советы и консультации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Абдуллаева &.Д., Кузнецов А.О., Логинов Б.В. Ветвление решении задачи о свободнее поверхности (¿еррояидкости. Тезисы докладов конференции: Моделирование и исследование устойчивости процессов. 26-28 мая 1932, Киев, с.1.

2. Абдуллаева Ф.Д., Кузнецов А.О. Структура периодических решений задача о форме свободной поверхности феррожидкости. В сб.: "Вопросы вычислительной и прикладной математики. Аналитические и численные методы решения задач прикладной математики". . Таакент, НИСО ДИ ИГ, 1993. Вап.95. С.172-178.

3. Абдуллаева й.Д. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности ферромагнитной кидкости. Препринт. Ташкент. ТашГУ. 1933. 18 с.

АШГТАЦШ

Диссертагияда доимий магнит майдонидаги феррсмагнитли суотут нинг б$ш чегараси .-^ак.идаги масела курилгпн.

Тядщикптда асримизнинг 20 йилларида А.М.Ляпунов, Э.Шмидт, Л.Я.Некрасов,- кейинчалик Ы.А.Красносельский, В.А.Треногим, Ы.Ы.Вп бг.рглар тгммшдан асос солииган чизиг.сиэ тснглама счичларчнинг тармо^ланиш назарипси усуллари (тармоцланиш тенглзмаси т{уриш уеул Ляпунов-Шмидт усули деГп"р>ди), ^амда'Л.В.Овспнников еэ Н.Х.Ибрчги мовлар том "ни дан июлаб чиьлрилган дифференгаал тенглямпларнинг •руппаяий анализи усуллоридан фойдаланилган. Групнавий симметрилл; тармоцланишнинг умумий пззприяси В.Л .Треногим, ,Б.В.Лг>гин"влар том< нидан киритилган.

Курсатилган масала чЛзицсиз, ^усусий ^осилали дифференшэп тенглэмалар системаси ор^али тавсифланади. Бунда систеыанинг чнзш ли ци'сми фредгольм оператерши ани^лэйди. Бу пшда' цушма оператор .топилган, чиэицланган масаланинг ечилига шартлари ёзилган. Тармо1[-ланиш теш "надари цурилиб, шулар асосида даврий ечимларнииг асимг тотикаси ёзилган. Масалага мое чизицланган сператорнинг бузилиш та] тлби 2, 4, 6, 8, 10, 12 цийматларни рбул цилиши мумкинлиги исбот-ланаг-.л. "Иккитали гвксьгон"га мое ечимлари мумкинлиги курсатилга!

Диссерташя натижалари феррогидродинамика, гидродинамика ва

<

буш чегарали масалалар на'.ариясида цулл^нигаи мумкин.

- 1,' -A].i (J'j'Ai'lOi.

Tlit proujei.i ub.ml the lYee surface or t eri-ol'luid in constant .¿»stic i'ifci-i xa ccnuiuered. Vhe motfioaa' of branching theory ' ¡¡olutiona of nonlinear equations and the metiioda of group aiyuia of differential. equations are used. Wig oase of first

wore ioi uded ut tne Le^inin/} of the XX century by A.M.Lya-iiiov and E.SciJuidt (afterwards they are naj.ied aa Lyapunov -;iuraat inetiiods) and developed later by A.I .tiekrasov, U.A.Kraa-iselsky, V.A.'i'reiio, in, U.U.Vuinberg. The second ones were ¡■/eloped in the vorha of 1. V.Ovaytuaakov und h.H.Ibra^iiiiov . :i.Oiral Liai.cJui^, theoiy in conditions of a group aynmetry ».'as ujetited by V. I. xi'.dovicu, B. V.Logiuov ar.d V.A.i'renogin.

'i'he prol.lcir. in deociibed by the 3y;itein of nonlinear partial fferentiui equations, Jinear part of which defines Fredgolw ioralor. 'iiie adjoint cperutor ia constructed and the solvability •dittos of linearised problem are finded. The brandling iiationa are construdtcd and the asyjnpthotica of periodical iutioi-.a are written out. it ia proved tliat the order of de^eno-.tion. (dimension of huilapace of the linearized operator) may .!:<3 f«1 lowing value»s 2, -1, 6, 0, 10, 12. The existance of ouble hexuijon" in oiiowri.

itesiiltu of the diati tuLion a^t applicable in the ferroliydro-hamicu, hyurodyn.uiiics and the free boundary value problems ,oury.