Влияние андреевских связанных состояний на глубину проникновения магнитного поля и туннельные характеристики сверхпроводников с анизотропным спариванием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

КАЛЕНКОВ Михаил Сергеевич

ВЛИЯНИЕ АНДРЕЕВСКИХ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ НА ГЛУБИНУ ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ТУННЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЕРХПРОВОДНИКОВ С АНИЗОТРОПНЫМ СПАРИВАНИЕМ

(01.04.07 - физика конденсированного состояния)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Юрий Семёнович Бараш.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Валерий Владимирович Рязанов.

кандидат физико-математических наук Михаил Андреевич Скворцов.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной

электродинамики ОИВТ РАН.

Защита состоится « » мая 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 002.100.01 в Институте физики твёрдого тела РАН (142432 Россия, Московская обл., г. Черноголовка, Институтская ул., дом 2)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики твёрдого тела РАН.

Автореферат разослан " " апреля 2004 г. Учёный секретарь

диссертационного совета В. Н. Зверев

д-р физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. В настоящее время практически не осталось сомнений в том, что параметр порядка во многих высокотемпературных сверхпроводящих соединениях, сверхпроводниках с тяжёлыми фермионами и в соединении 8г2Яи04 является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы. Транспортные и термодинамические свойства таких материалов в сверхпроводящем состоянии существенно отличаются от аналогичных характеристик обычных сверхпроводников с изотропным параметром порядка. Это обуславливает широкий интерес к экспериментальному и теоретическому исследованию таких соединений. Так как на сегодняшний день не существует общепризнанного микроскопического объяснения явления сверхпроводимости в высокотемпературных соединениях, то актуальной задачей является описание свойств сверхпроводящего состояния на основе модельных теорий с прямым анизотропным взаимодействием квазичастиц.

Одним из ключевых свойств сверхпроводящего состояния, как с анизотропным, так и с изотропным параметром порядка, является выталкивание внешнего приложенного магнитного поля из образца (эффект Мейсснера). Числовой характеристикой степени экранирования магнитного поля сверхпроводником является глубина проникновения. При этом температурная зависимость глубины проникновения оказывается очень чувствительной к анизотропной структуре параметра порядка. В частности, линейная при низких температурах зависимость глубины проникновения, измеренная в кристаллах и

ГМгБггСаСигОв, является одним из свидетельств в пользу сим-

метрии параметра порядка в этих веществах. Исследование низкотемпературного поведения глубины проникновения — один из чувствительных инструментов изучения низкоэнергетических квазичастичных возбуждений в сверхпроводниках. При этом формирование примесных и поверхностных связанных состояний с малой энергией в сверхпроводниках с анизотропным спариванием приводит к значительно более сложной температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля, по сравнению со случаем изотропного параметра порядка. Кроме того, обращение параметра порядка в ноль для некоторых направле-

ний импульса квазичастиц приводит к тому, что ниже некоторой температуры поведение глубины проникновения определяется нелокальными эффектами даже в сверхпроводниках сильно второго рода. В анизотропных сверхпроводниках также оказывается заметным изменение глубины проникновения при вариации внешнего магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Его величина существенно зависит от ориентации магнитного поля относительно направлений на нули параметра порядка. Несмотря на высокую точность измерения величины нелинейного эффекта Мейсснера и наличие последовательной его теории, согласие между теорией и экспериментом пока отсутствует.

Другим исключительно информативным методом изучения сверхпроводящего состояния является измерение объёмных транспортных свойств и вольт-амперных характеристик контактов, содержащих сверхпроводник. В частности, измерение характеристик туннельного контакта сверхпроводник/нормальный металл позволяет оценить плотность состояний на поверхности сверхпроводника в широком интервале энергий. Вблизи поверхностей и границ раздела сверхпроводников с анизотропным спариванием формируются андреевские связанные состояния, которые вносят существенный вклад в туннельный ток. Поэтому плотность состояний на поверхности может значительно отличаться от своего объёмного значения при той же энергии. В этой связи возникает непростая задача теоретического описания возможных зависимостей поверхностной плотности состояний от энергии и их связь с объёмными свойствами сверхпроводящего состояния. В частности, если параметр порядка меняет свой знак при отражении квазичастицы от гладкой поверхности, то для таких направлений вблизи поверхности формируется связанное состояние с нулевой энергией. Экспериментально наблюдаемый пик при нулевом напряжении в дифференциальном кондактансе туннельных контактов часто связывают с формированием такого состояния вблизи поверхности раздела. Для согласования формы измеренного пика с теоретическими расчётами необходимо учитывать влияние рассеяния квазичастиц на примесях и шероховатостях поверхности, которые значительно меняют туннельные характеристики контактов, содержащих сверхпроводники с анизотропным спариванием.

Таким образом, проведённые в диссертационной работе вычисления

вклада андреевских связанных состояний в глубину проникновения магнитного поля, вычисления низкотемпературной нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном режиме и проведённый анализ влияния квазичастичного рассеяния на примесях на форму пика при нулевом напряжении в дифференциальном кондактансе туннельного контакта являются актуальными при интерпретации экспериментальных данных.

Целью диссертационной работы является исследование влияния андреевских связанных состояний, формирующихся в сверхпроводниках с анизотропным спариванием, на глубину проникновения магнитного поля, вычисление нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном режиме и изучение влияния приповерхностного беспорядка на туннельные характеристики контактов, содержащих сверхпроводники с анизотропным спариванием.

Научная новизна и практическая ценность работы

В работе получены следующие результаты:

♦ Вычислен вклад андреевских поверхностных связанных состояний с нулевой энергией в глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник с типом спаривания.

♦ Найдена нелинейная поправка к глубине проникновения, обусловленная нелинейным откликом андреевских поверхностных состояний на магнитное поле.

♦ Найдено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в сверхпроводник для тех ориен-таций поверхности, при которых она определяется нелокальными эффектами.

♦ Решена задача о формировании связанного состояния на точечной примеси, расположенной около поверхности сверхпроводника, ориентация которого допускает формирование поверхностных состояний с нулевой энергией.

♦ Проведён анализ влияния тонкого неупорядоченного приповерхностного слоя на форму пика при нулевом напряжении в диффе-

ренциальном кондактансе туннельного контакта.

Апробация материалов диссертационной работы. Представленная диссертационная работа выполнена в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН (г. Москва). По теме диссертации опубликовано 3 научные работы [1,2,3]. Изложенные в диссертации результаты обсуждались на семинарах в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН, Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау, Лаборатории низких температур технического университета Хельсинки.

Структура и объём диссертации Диссертация объёмом 125 страниц состоит из введения, четырёх глав, заключения и трёх приложений, 10 рисунков и списка литературы из 96 наименований.

Краткое содержание работы

Введение содержит обзор литературы, обоснование актуальности темы диссертации и краткое изложение содержания диссертации по главам.

Первая глава диссертационной работы посвящена описанию уравнений квазиклассической теории сверхпроводимости, используемых в последующих главах. Приведены выражения для квазиклассической гриновской функции вблизи энергии связанного поверхностного состояния.

Во второй главе проведено исследование влияния андреевских поверхностных состояний, формирующихся вблизи гладкой поверхности, на магнитный отклик сверхпроводника с анизотропным параметром порядка.

В разделе 2.1 выведено интегральное ядро, связывающее распределение векторного потенциала в пространстве с плотностью электрического тока, текущего через андреевское поверхностное состояние. Полученное выражение учитывает возможную нелокальность отклика связанных состояний, существенную в некоторых случаях.

В разделе 2.2 в предположении локальности отклика сверхпроводника выведено простое выражение для низкотемпературного поведения глубины проникновения магнитного поля содержащее локальную плотность состояний в сверхпроводнике

(1)

Здесь Ао - глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник при нулевой температуре и при пренебрежении вклада поверхностных состояний, - фермиевская функция распределения, - ло-

кальная плотность состояний, треугольные скобки означают усреднение по поверхности Ферми. При выводе (1) предполагалось, что сверхпроводник занимает полупространство х > 0, а магнитное поле направлено вдоль оси г. Существенно, что (1) остаётся справедливым и в случае неоднородного сверхпроводящего состояния.

В разделе 2.3 произведён расчёт вклада андреевских поверхностных состояний с нулевой энергией в глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник с симметрией параметра порядка. В случае чистого сверхпроводника, используя соотношение (1), удаётся получить точный аналитический ответ для температурной зависимости глубины проникновения

Здесь Ы} - плотность состояний на поверхности Ферми в нормальном состоянии, приходящаяся на одно направление спина, функция 9(р/) отлична от нуля и равна единице только для тех направлений импульса квазичастиц, при которых существует поверхностный уровень с нулевой энергией. Величина ХШк(Т) равна глубине проникновения магнитного поля при пренебрежении влияния поверхностных состояний. При низких температурах в сверхпроводниках с линиями нулей параметра порядка (в частности 4г2-у2) зависимость ЛЬи1к(Т) является линейной ХЬи1к{Т) = Ао + а^-Хо. Числовой параметр а определяется конкретной угловой зависимостью параметра порядка. Из уравнения (2) следует, что за счёт парамагнитного отклика поверхностных состояний температурная зависимость глубины проникновения становится немонотонной с минимумом при характерной температуре Тто ~ Тсу/£о/Хо <С Тс.

Наличие объёмных примесей приводит к уширению поверхностного связанного состояния с нулевой энергией, которое можно описать заменой множителя 1/е в полюсной части гриновской функции на 1/ (г + ¿7(р/)). В такой модели уширения вместо (2) получаем:

Здесь -ф (х) - дигамма функция и ■ф' (х) - её производная. На основе этой формулы проанализировано как различные типы примесей влияют на положение и выраженность (или даже наличие) минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.

В разделе 2.4 показано, что увеличение парамагнитного отклика связанных поверхностных состояний с понижением температуры может вы-

звать появление спонтанного поверхностного тока. В пределе чистого в.х-г-у1 сверхпроводника температуру появления спонтанного тока мож-

По порядку величины её можно оценить следующим образом Т„ ~ Для высокотемпературных 'сверхпроводников УВагСизОу-г, В12Зг2СаСи208 она оказывается порядка 1 К. Показано, что даже очень небольшое количество примесей понижает температуру появления спонтанного тока или вообще делает переход невозможным при любых температурах. В случай борновских примесей спонтанный ток может возникнуть только при очень больших длинах свободного пробега I >

—Ао ~ ЮОАо, что выглядит нереалистично для высокотемпературных сверхпроводников. Наличие унитарных рассеивателей приводит к более

В разделе 2.5 представлены выводы ко второй главе.

В третьей главе теоретически исследовалось изменение глубины проникновения в зависимости от приложенного магнитного поля в двух различных случаях.

В разделе 3.1 изучался нелинейный по магнитному полю отклик связанных состояний с нулевой энергией, формирующихся на гладкой поверхности сверхпроводника с йх-уг симметрией параметра порядка. В частности, выше температуры появления спонтанного тока, нелинейная поправка от поверхностных уровней оказывается малой и квадратичной по магнитному полю

Здесь Н(0) - величина внешнего приложенного поля. В окрестности температуры перехода в состояние со спонтанным поверхностным током нелинейный вклад андреевских связанных состояний с нулевой энергией в глубину проникновения сравнивается с парамагнитным вкладом в нулевом поле. В этой области магнитный отклик сверхпроводника оказывается существенно нелинейным. Его можно описы-

вать в рамках теории Ландау фазовых переходов второго рода, причём роль параметра порядка играет поверхностная намагниченность

В разделе 3.2 исследуется нелинейная поправка к глубине проникновения при таких взаимных ориентациях магнитного поля, поверхности и кристаллических осей, при которых оказываются важными нелокальные эффекты. Следует отметить, что нелокальные эффекты определяют температурную зависимость глубины проникновения и нелинейную поправку к ней даже в сверхггооволнрках сильно второго рода при достаточно низких температурах Т <ТС—. Оказалось, что для таких ориен-

, Ао

тации сверхпроводника, при которых не происходит подавление

параметра порядка вблизи границы, возможно точное аналитическое решение задачи о нахождении нелинейной поправки к глубине проникновения магнитного поля с учётом влияния нелокальности отклика.

В области температур Т <^ТС нелинейную поправку к глубине проникновения можно представить в виде

Здесь используются следующие обозначения Т* = До^> = Н* = " максимальное значение объёмного параметра поряд-

ка. Численное вычисление функции /3(х) по полученной аналитической формуле в модели сверхпроводника с цилиндрической поверхно-

стью Ферми и параметром порядка Д(р/) = Досоз2у> приводит к зависимости, изображённой на рисунке 1. Магнитное поле предполагается направленным вдоль оси симметрии поверхности Ферми.

Оказалось, что точный учёт пространственной зависимости экранирующего тока существенно меняет результат приближённого расчёта величины нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном режиме, проделанный ранее. В конце раздела обсуждается влияние рассеяния на примесях и нелинейного вклада поверхностных уровней на возможность наблюдения нелинейного эффекта Мейсснера в нелокальном режиме.

В разделе 3.3 представлены выводы к третьей главе.

ш5 = А(Г,Я)Я(0)/(4тг).

(6)

0.08

Т/Т'

Рис. 1. Температурная зависимость коэффициента Р(Т/Т') в нелинейной поправке к глубине проникновения в модели ¿х2_„г сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми. Магнитное поле и ось симметрии поверхности Ферми считаются направленными вдоль оси г. Параметр порядка выбран в виде А(р/) = Досоз2<£, где V? - угол между нормалью к поверхности и направлением импульса. Сплошной линией указана функция 0(х), а пунктирная - зависимость коэффициента при пренебрежении нелокальности отклика квазичастиц

В четвёртой главе рассмотрено влияние примесного рассеяния на формирование поверхностных уровней с малой энергией и туннельный дифференциальный кондактанс контакта сверхпроводник/нормальный металл.

В разделе 4.1 рассмотрена задача о влиянии одиночной примеси, расположенной вблизи гладкой поверхности сверхпроводника с симметрией параметра порядка. Внесение одиночной примеси в сверхпроводник уменьшает количество состояний с нулевой энергией, число которых в чистом сверхпроводнике является макроскопически большим:

7Г

N0 = —Nf (\Vflx(pf)\Q(pf)) № - площадь поверхности сверхпроводника, на которой локализованы андреевские уровни с нулевой энергией). В случае слабого примесного потенциала, вблизи примеси формируется

связанное состояние с энергией Cjmp и со слабым затуханием Г,тр. В случае (НО) ориентированной поверхности сверхпроводника и изотропной точечной примеси, расположенной в непосредственной близости к поверхности найдено

(7)

Здесь й - безразмерная сила примесного потенциала, |Д(р/)| - эффективный поверхностный параметр порядка, Дх — модуль коэффициента наклона объёмного параметра порядка вблизи направления на ноль |Д(р/)| = Д1|у). Энергия примесного состояния уменьшается при удалении примеси от поверхности и отклонении ориентации поверхности от (ПО). В случае примесей промежуточной силы (й ~ 1) и унитарных примесное состояние оказывается плохо определённым из-за значительного затухания.

В рамках квазиклассической теории сверхпроводимости найдено общее выражение для гриновской функции сверхпроводника при наличии одной примеси. На основе этого найдена волновая функция примесного состояния. При этом параметр порядка не предполагался пространственно однородным. В случае ориентации (ПО) на основе уравнений Горькова найдена волновая функция примесного состояния вне квазиклассического приближения. Формирование связанного состояния на примеси с ненулевой энергией может приводить к дополнительному пику в туннельном дифференциальном кондактансе.

В разделе 4.2 исследовано влияние приповерхностного слоя примесей на пик при нулевом напряжении в дифференциальном кондактан-се туннельного контакта сверхпроводника и нормального метал-

ла. В приближении тонкого слоя примесей выведены эффективные граничные условия для квазиклассической гриновской функции. В случае сверхпроводника с ориентацией (110) и (100) или при рассмотрении гри-новской функции при малой энергии эти граничные условия существенно упрощаются.

Показано, что существует значительная пороговая пороговая поверх-

7Г

ностная концентрация д е фгс(а) = {|f/,x(p/)|©(p/)), Р а я зависит от ориентации поверхности относительно кристаллических осей

и разделяет два режима влияния примесей на пик в кондактансе при нулевом напряжении. Эта концентрация не зависит от силы рассеивающего потенциала примесей и равна числу связанных состояний с нулевой энергией, приходящихся на единицу площади на чистой поверхности. Ниже пороговой концентрации рассеяние квазичастиц на примесях не уширяет пик при нулевой энергии в локальной плотности состояний. Вместо этого, подщелевые примесные зоны появляются ниже порога при ненулевых энергиях. В случае малой концентрации примесей со слабым потенциалом была вычислена аналитически плотность состояний в этих зонах

КО = Щр -(с- еШр)2). (8)

симальное значение плотности состояний в примесной зоне. Величина П5 является поверхностной концентрацией примесей нормированной на

7Г

пороговое з н пв = п3пс(а) = ^-ЛГ/ (|и/,х(р/)|8(р/)).' увеличением поверхностной концентрации спектральная плотность в примесной зоне смещается по направлению к нулевой энергии . Вес пика при нулевой энергии уменьшается линейно (с логарифмической точностью) при увеличении концентрации примесей , исчезая на пороге. Эволюция примесных зон с увеличением поверхностной концентрации примесей показана на рисунке 2.

Начиная с порога, пик при нулевой энергии полностью формируется примесными состояниями. С увеличением концентрации примесей выше порога пик при нулевом напряжении в кондактансе быстро уменьшается по высоте в случае сильного примесного рассеяния (й > 1), тогда как в случае слабых рассеивателей постепенно уширяется и

понижается

При надпороговых поверхностных концентрациях примесей наличие линий нулей параметра порядка приводит к характерной неаналитичной форме пика вблизи нулевой энергии в локальной и туннельной плотности состояний: 6и(е),6ио(б) ~ |е|.

Здесь IV ~ т/пЦй - ширина примесной зоны, и,

тах

- мак-

Ке = 0) =

0.0' ■ ■ ------—

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

£/До

Рис. 2. Туннельная плотность состояний на (ПО) поверхности для различных значениях поверхностной концентрации примесей как функция энергии. На рисунке сила примесного потенциала одинакова для всех кривых и равна

На рисунке 3 показано влияние температурного уширения на пик в туннельном кондактансе при нулевом напряжении для разных значений поверхностной концентрации примесей. Видно, что при малых значениях , ширина пика при нулевом напряжении практически не зависит от П5 и определяется температурой. В тоже время высота пика существенно уменьшается с увеличением , как над так и под порогом. На вставке рисунка 3 показано, что конечное значение температуры размы-ваег порог. Поверхностная концентрация примесей существенно влияет на ширину пика только выше порога, тогда как высота пика чувствительна к поверхностному беспорядку при любых п^.

При ориентациях далёких от (110) дальнейшее увеличение поверхностной концентрации примесей приводит к тому, что пик при нулевой энергии пропадает совсем и сменяется провалом. В случае же ориентации в точности равной (НО) пик не пропадает, хотя и становится очень малым, причём его ширина начиная с некоторого значения поверхностной концентрации начинает уменьшаться. При этом сущёству-

Рис. 3. Туннельный кондактанс на (ПО) поверхности как функция приложенного напряжения для разных значений поверхностной концентрации примесей п<; = 0.2, пя = 0.4, % = 0.7, пг = 1.0, пэ = 1.4. Большая высота пика при нулевом напряжении соответствует меньшей концентрации. Температура и сила рассеивающего потенциала примесей одинаковы для всех кривых: Т — 0.04ТС, й = 1. На вставке показана зависимость полуширины пика при нулевом напряжении от поверхностной концентрации примесей при различных значениях температуры.

ет широкий диапазон поверхностных концентраций примесей над порогом в котором ширина пика в туннельной плотности состояний при нулевой энергии меняется в довольно узком интервале. Это обстоятельство может объяснить практически одинаковую ширину пика, измеренную в независимых туннельных экспериментах с (НО) ориентированными кристаллами

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В приложении А приведены уразнения Горькова на неравновесные гриновские функции, общие соотношения симметрии между ними и связь между горьковскими и квазиклассическими гриновскими функ-

циями.

В приложении В приведены свойства решений квазиклассических уравнений сверхпроводимости, используемые при решении задачи о изолированной примеси в сверхпроводнике в рамках квазиклассического формализма.

В приложении С выведены общие выражения для глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник сильно второго рода (£о/Ао 1) учитывающее малые нелокальные эффекты и вклад поверхностных состояний, который не предполагается малым.

Основные результаты работы

1. Найдено ядро отклика связанных состояний, локализованных вблизи поверхности анизотропного сверхпроводника, на внешнее магнитное поле. Этот результат был применён для вычисления глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Было показано, что парамагнитный отклик поверхностных состояний с нулевой энергией может приводить к минимуму в температурной зависимости глубины проникновения. Найдены условия на длину свободного пробега квазичастиц при которых минимум может существовать.

В случае очень чистого сверхпроводника ниже некоторой температуры благодаря поверхностным уровням с нулевой энергией сверхпроводник переходит в состояние со спонтанным поверхностным током. В пределе чистого сверхпроводника температура перехода найдена аналитически.

2. Найдена нелинейная по магнитному полю поправка к глубине проникновения, возникающая благодаря поверхностным состояниям с нулевой энергией. Показано, что вдали от точки появления спонтанного тока она является малой и квадратичной по полю. Вблизи температуры фазового перехода отклик сверхпроводника является существенно нелинейным и описывается в рамках теории фазовых переходов второго рода Ландау.

3. Аналитически найдена нелинейная поправка к глубине проникновения при тех условиях, когда она определяется нелокальными эффектами даже в сверхпроводниках сильно II рода.

4. Проанализировано влияние одиночной точечной примеси на нулевой поверхностный уровень. Найдена зависимость энергии и ширины примесного состояния от силы примесного потенциала, расстояния от примеси до поверхности сверхпроводника и ориентации поверхности. Найдена волновая функция примесного состояния в рамках квазиклассических уравнений сверхпроводимости и уравнений Горькова.

5. Проведён анализ влияния тонкого приповерхностного слоя примесей на пик в кондактансе при нулезой энергии туннельного контакта, содержащего сверхпроводник с d спариванием. Показано, что существует пороговая поверхностная концентрация дефектов, разделяющая существенно различные режимы влияния примесей на пик в кондактансе при нулевом напряжении. Приведены аналитические и численные результаты для туннельной плотности состояний и кондактанса для различных концентраций примесей и силы их потенциала.

Список работ по теме диссертации

[1] Yu. S. Barash, M. S. Kalenkov, and J. Kurkijarvi, „Low-temperature magnetic penetration depth in d-wave superconductors: Zero-energy bound state and impurity effects", Phys. Rev. В 62, 6665-6673 (2000).

[2]M. С. Каленков, „Влияние нелокальности отклика квазичастиц на нелинейный эффект Мейсснера в сверхпроводниках с d спариванием", ЖЭТФ 122, 404-410 (2002).

[3] М. S. Kalenkov, M. Fogelstrora, and Yu. S. Barash, „Two regimes for effects of surface disorder on the zero-bias conductance peak of tunnel junctions involving d-wave superconductors", cond-mat/0404317 (послано в Phys. Rev. B).

¡«- 82 3 8

Подписано в печать <?/// " 2004 г. Формат 60x84/16. Заказ N>2^ «Тираж" экз. П.п.1.25. Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53.Тел. 132 51 28

Введение

1 Основные уравнения

1.1 Квазиклассическая теория сверхпроводимости.

1.2 Поверхностные состояния.

2 Низкотемпературная аномалия в эффекте Мейсснера

2.1 Отклик Андреевских поверхностных состояний на магнитное поле.

2.2 Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике.

2.3 Эффект Мейсснера.

2.3.1 Борновские примеси.

2.3.2 Унитарные примеси.

2.4 Спонтанный ток.

2.5 Заключительные замечания.

3 Нелинейный эффект Мейсснера при низких температурах

3.1 Нелинейный отклик андреевских состояний.

3.2 Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме . 44 3.2.1 Влияние примесей и поверхностных уровней.

3.3 Заключительные замечания.

4 Влияние беспорядка у поверхности на транспортные свойства сверхпроводников

4.1 Примесные состояния. ф 4.1.1 Точечная примесь вблизи (110) поверхности.

4.1.2 Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости.

4.1.3 Волновая функция примесного состояния в рамках уравнений Горъкова.

4.2 Модель приповерхностного грязного слоя

4.2.1 Влияние поверхностных дефектов на нулевой уровень

4.2.2 Случай малой поверхностной концентрации дефектов

4.2.3 Припороговая концентрация дефектов.

4.2.4 Грязный слой произвольной толщины.

4.2.5 Большая концентрация примесей.

Ф 4.3 Заключительные замечания.

Теоретические и экспериментальные исследования транспортных и термодинамических свойств сверхпроводящих соединений являются важными для понимания природы сверхпроводящего состояния в этих веществах. Многие экспериментальные факты, в том числе и фазочувствительные исследования, свидетельствуют в пользу того, что параметр порядка в купратных высокотемпературных сверхпроводниках, сверхпроводниках с тяжёлыми фермиона-ми и в соединении S^RuCU является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы [1,2,3,4] (а также литература указанная в этих обзорах). Наличие в сверхпроводнике параметра порядка с анизотропным спариванием может существенно повлиять на их физические свойства, по сравнению с аналогичными свойствами изотропных s-волновых сверхпроводников. В частности, анизотропный параметр порядка подавляется в окрестностях примесей, границ разделов, поверхностей и других неоднородностей, тогда как в s сверхпроводниках параметр порядка нечувствителен к примесям и границе с вакуумом или диэлектриком. Также, теорема Андерсона о нечувствительности критической температуры к немагнитным примесям оказывается неприменимой к сверхпроводникам с анизотропным спариванием.

Те сверхпроводящие фазы, для которых параметр порядка обращается в ноль вдоль некоторых направлений импульса на поверхности Ферми обладают степенной зависимостью плотности состояний при малых энергиях. Показатель степени зависит от закона обращения в ноль параметра порядка. В случае линий нулей показатель степени равен единице. При низких температурах такое поведение плотности состояний приводит к степенной зависимости объёмных значений глубины проникновения магнитного поля, теплоёмкости, теплопроводности от температуры, в отличие от экспоненциальной зависимости соответствующих величин в сверхпроводниках без нулей параметра порядка [1,2,3,4].

Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от неоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных s-волновых сверхпроводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в s сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.

Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет параметр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в с^.^-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного распределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энергией важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].

Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштабные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]).

Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как УВагСизОг-г, Bi2Sr2CaCu208 и Sr2Ru04 [1,2,3,4] . Часть этих экспериментов основана на исследовании объёмных свойств сверхпроводников. Сюда можно отнести измерения теплоёмкости, теплопроводности и глубины проникновения магнитного поля при ориентациях не допускающих формирование поверхностных андреевских уровней. В экстра чистых образцах УВагСизОу-г при низких температурах наблюдается линейная зависимость глубины проникновения от температуры [32, 33, 34], что согласуется с моделью dxiy2 параметра порядка. Квадратичную зависимость, измеренную в некоторых экспериментах, связывают с влиянием резонансных объёмных примесей [35]. При низких температурах и некоторых ориентациях dxiyi вклад андреевских поверхностных состояний в глубину проникновения может быть существенным [19,94,21]. В отличие от диамагнитного отклика массива сверхпроводника, отклик поверхностных состояний на внешнее магнитное поле является парамагнитным, а в случае нулевых поверхностных уровней усиливается с понижением температуры. Это приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля.

Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверхпроводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36, 37, 95] и геометрии вихревой решётки [38,39].

Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состояний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера). Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значительная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два режима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала.

Основные результаты настоящей диссертации заключаются в следующем

1. Найдено ядро линейного отклика связанных состояний, локализованных вблизи поверхности анизотропного сверхпроводника, на внешнее магнитное поле. Этот результат был применён для вычисления глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Было показано, что парамагнитный отклик поверхностных состояний с нулевой энергией может приводить к минимуму в температурной зависимости глубины проникновения. Найдены условия на длину свободного пробега квазичастиц при которых минимум может существовать.

В случае очень чистого сверхпроводника ниже некоторой температуры благодаря поверхностным уровням с нулевой энергией сверхпроводник переходит в состояние со спонтанным поверхностным током. В пределе чистого сверхпроводника температура перехода найдена аналитически.

2. Найдена нелинейная по магнитному полю поправка к глубине проникновения, возникающая благодаря поверхностным состояниям с нулевой энергией. Показано, что вдали от точки появления спонтанного тока она является малой и квадратичной по полю. Вблизи температуры фазового перехода в состояние со спонтанным поверхностным током отклик сверхпроводника является существенно нелинейным и описывается в рамках теории фазовых переходов второго рода Ландау.

3. Аналитически найдена нелинейная поправка к глубине проникновения при тех условиях, когда она определяется нелокальными эффектами даже в сверхпроводниках сильно II рода.

4. Проанализировано влияние одиночной точечной примеси на нулевой поверхностный уровень. Найдена зависимость энергии и ширины примесного состояния от силы примесного потенциала, расстояния от примеси до поверхности сверхпроводника и ориентации поверхности. Найдена волновая функция примесного состояния в рамках квазиклассических уравнений сверхпроводимости и уравнений Горькова.

5. Проведён анализ влияния тонкого приповерхностного слоя примесей на пик в кондактансе при нулевой энергии туннельного контакта, содержащего сверхпроводник с d спариванием. Показано, что существует пороговая поверхностная концентрация дефектов, разделяющая существенно различные режимы влияния примесей на пик в кондактансе при нулевом напряжении. Приведены аналитические и численные результаты для туннельной плотности состояний и кондактанса для различных концентраций примесей и силы их потенциала.

В заключение, мне приятно выразить благодарность научному руководителю Ю. С. Барашу за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе. Мне также хочется выразить благодарность всем сотрудникам ОТФ ФИ АН за всестороннюю поддержку.

Заключение

1. D. J. Van Harlingen, Rev. Mod. Phys. 67, 515 (1995).

2. С. C. Tsuei and J. R. Kirtley, Rev. Mod. Phys. 72, 969 (2000).

3. Robert Joynt and Louis Taillefer, Rev. Mod. Phys. 74, 235 (2002).

4. Andrew Peter Mackenzie and Yoshiteru Maeno, Rev. Mod. Phys. 75, 657 (2003).

5. H. Shiba, Prog. Theor. Phys., 40, 435 (1968).

6. А. И. Русинов, Письма в ЖЭТФ, 9, 146 (1969).

7. А. V. Balatsky, М. I. Salkola, and A. Rosengren, Phys. Rev. В, 51, 15547,1995).

8. M. I. Salkola, A. V. Balatsky, and D. J. Scalapino, Phys Rev. Lett 77, 18411996).

9. E. V. Thuneberg, J. Kurkijarvi and D. Rainer, J. Phys. C: Solid State Phys 14, 5615 (1981).

10. L. Buchholtz and G. Zwicknagl, Phys. Rev. B, 23, 5788 (1981).

11. C.-R. Hu, Phys. Rev. Lett., 72, 1526 (1984).

12. Y. Tanaka and S. Kashiwaya, Phys. Rev. Lett., 74, 3451 (1995).

13. L. J. Buchholtz, M. Palumbo, D. Rainer and J. A. Sauls, J. Low. Temp. Phys., 101, 1079 (1995).

14. L. J. Buchholtz, M. Palumbo, D. Rainer and J. A. Sauls, J. Low. Temp. Phys., 101, 1099 (1995).

15. M. Fogelstrom, D. Rainer and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 79, 281 (1997).

16. Yu. Barash, H. Burkhardt and A. Svidzinsky, Phys. Rev. B, 55,15282 (1997).

17. Yu. S. Barash, Phys. Rev. В 61, 678 (2000).

18. Yu. S. Barash, H. Burkhardt, and D. Rainer, Phys. Rev. Lett. 77, 4070 (1996).

19. H. Walter, W. Prusseit, R. Semerad, H. Kinder, W. Assmann, H. Huber, H. Burkhardt, D. Rainer and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 80, 3598 (1998).

20. L. Alff, S. Kleefisch, U. Schoop, M. Zittartz, T. Kemen, A. Marx T. Bauch and R. Gross, Eur, Phys. J. B, 5, 423 (1998).

21. A. Carrington, F. Manzano, R. Prozorov, R. W. Giannetta, N. Kameda, and T. Tamegai, Phys. Rev. Lett. 86, 1074 (2001).

22. Jl. Фальковский, ЖЭТФ 58, 1830 (1970).

23. L. Falkovskii, Adv. Phys. 32, 753 (1984).

24. L. J. Buchholtz and D. Rainer, Z. Phys. В 35, 151 (1979).

25. L. J. Buchholtz, Phys. Rev. В 33, 1579 (1986).

26. D. Rainer, Recent Progress in Many-Body Theories, vol. 1, 217 (Plenum Press 1987).

27. L. J. Buchholtz, Phys. Rev. В 44, 4610 (1991).

28. M. Matsumoto and H. Shiba, J. Phys. Soc. Jpn. 64, 1703 (1995); 64, 3384 (1995); 64, 4847 1995.

29. Y. Nagato, S. Higashitani, K. Yamada and K. Nagai, J. Low Temp. Phys. 103, 1 (1996).

30. Е. V. Thuneberg, М. Fogelstrom and J. Kurkijarvi, Physica В 178, 176 (1982).

31. Y. Tanuma, Y. Tanaka, M. Yamashiro, and S. Kashiwaya, Phys. Rev. В 98, 7997 (1998).

32. W. N. Hardy, D. A. Bonn, D. C. Morgan, Ruixing Liang, and Kuan Zhang, Phys. Rev. Lett. 70, 3999 (1993).

33. S. Kamal, Ruixing Liang, A. Hosseini, D. A. Bonn, and W. N. Hardy, Phys. Rev. В 58, R8933 (1998).

34. С. Panagopoulos, J. R. Cooper, and T. Xiang, Phys. Rev. В 57,13422 (1998).

35. P. J. Hirschfeld and N. Goldenfeld, Phys. Rev. B, 48, 4219 (1993).

36. I. Kosztin and A. J. Leggett, Phys. Rev. Lett., 79, 135 (1997),

37. M.-R. Li, P. J. Hirschfeld and P. Wolfle, Phys. Rev. В 61, 648 (2000).

38. M. Franz, I. Affleck and M. H. S. Amin, Phys. Rev. Lett., 79, 1555 (1997).

39. M. H. S. Amin, I. Affleck and M. Franz, Phys. Rev. B, 58, 5848 (1998).

40. А. А. Абрикосов, JI. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, „Физматгиз", (1962).

41. G. Eilenberger, Z. Phys., 214, 195 (1968).

42. А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ, 55, 2262 (1968).

43. J. W. Serene and D. Rainer, Physics Reports, 101, 221 (1983).

44. Nils Schopohl, Kazumi Maki, Phys. Rev. В 52, 490 (1995); N. Schopohl, cond-mat /9804064.

45. Ю. С. Бараш, A. M. Бобков, Письма в ЖЭТФ 73, 470 (2001).

46. А. В. Зайцев, ЖЭТФ, 86, 1742 (1984).

47. М. Eschrig, Phys. Rev. В, 61, 9061 (2000).

48. Shan-Wen Tsai and P. J. Hirschfeldl, Phys. Rev. Lett. 89 , 147004 (2002).

49. J. R. Cooper, Phys. Rev. В 54, R3753 (1996).

50. L. Alff, S. Meyer, S. Kleefisch, U. Schoop, A. Marx, H. Sato, M. Naito, and R. Gross, Phys. Rev. Lett. 83, 2644 (1999).

51. R. Prozorov, R. W. Giannetta, P. Fournier, and R. L. Greene, Phys. Rev. Lett. 61, 3700 (2000).

52. S. Higashitani, J. Phys. Soc. Jpn., 66, 2556 (1997).

53. C. Honerkamp, K. Wakabayashi and M. Sigrist, Physica В 281-282, 888 (2000); cond-mat/9902026.

54. W. K. Neils and D. J. Van Harlingen, Phys. Rev. Lett. 88, 047001 (2002).

55. A. Poenice, Yu. S. Barash, C. Bruder and V. Istyukov, Phys. Rev. B, 59, 7102 (1999).

56. D. A. Bonn, P. Dosanjh, K. Liang and W. N. Hardy, Phys. Rev. Lett., 68, 2390 (1992).

57. D. A. Bonn, S. Kamal, K. Zhang, R. Liang, D. J. Baar, E. Klein and W. N. Hardy, Phys. Rev. B, 50, 4051 (1994).

58. K. Krishana, J. M. Harris and N. P. Ong, Phys. Rev. Lett, 75, 3529 (1995).

59. K. Krishana, N. P. Ong, Y. Zhang, Z. A. Xu, R. Gagnon and L. Taillefer, Phys. Rev. Lett, 82, 5108 (1999).

60. A. Hosseini, R. Harris, Saeid Kamal, P. Dosanjh, J. Preston, Ruixing Liang, W. N. Hardy, and D. A. Bonn, Phys. Rev. В 60, 1349 (1999).

61. A. J. Berlinsky, D. A. Bonn, R. Harris, and C. Kallin, Phys. Rev. В 61, 9088 (2000).

62. A. L. Fauchere, W. Belzig and G. Blatter, Phys. Rev. Lett., 82, 3336 (1999).

63. Y. Ohashi and T. Momoi, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 3254 (1996).

64. S. К. Yip, and J. A. Sauls, Phys. Rev. Lett., 69, 2264 (1992).

65. D. Xu, S. Yip, and J. A. Sauls, Phys. Rev. B, 51, 16223 (1995).

66. T. Dahm and D. J. Scalapino, Phys. Rev. В 60, 13125 (1999).

67. A. Maeda, Y. lino, T. Hanaguri, N. Motohira, K. Kishio, and T. Fukase, Phys. Rev. Lett. 74, 1202 (1995).

68. A. Maeda, T. Hanaguri, Y. lino, S. Masuoka, Y. Kakata, J. Shimoyama, K. Kishio, H. Asaoka, Y. Matsushita, M. Hasegawa, and H. Takei, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 3638 (1996).

69. A. Carrington, R. W. Giannetta, J. T. Kim, and J. Giapintzakis, Phys. Rev. В 59, R14173 (1999).

70. С. P. Bidinosti, W. N. Hardy, D. A. Bonn, and Ruixing Liang, Phys. Rev. Lett. 83, 3277 (1999).

71. K. Halterman, О. T. Vails, and I. Zutic, Phys. Rev. В 63, 014501 (2001).

72. Jl. П. Горьков, П. А. Калугин, Письма в ЖЭТФ 41, 208 (1985).

73. S. Kashiwaya, Y. Tanaka, М. Koyanagi, Н. Takashima and К. Kajumura, Phys. Rev. В 51, 1350 (1995).

74. J. H. Xu, J. H. Miller, Jr., and C. S. Ting, Phys. Rev. В 53, 3604 (1996).

75. M. Covington, R. Scheuerer, K. Bloom, and L. H. Greene, Appl. Phys. Lett. 68, 1717 (1996).

76. L. Alff, H. Takashima, S. Kashiwaya, N. Terada, H. Ihara, Y. Tanaka, M. Koyanagi, and K. Kajimura, Phys. Rev. В 55, R14757 (1997).

77. J. W. Ekin, Y. Xu, S. Mao, T. Venkatesan, D. W. Face, M. Eddy, and S. A. Wolf, Phys. Rev. В 56, 13746 (1997).

78. M. Covington, M. Aprili, E. Paraoanu, L. H. Greene, F. Xu, J. Zhu, and C. A. Mirkin, Phys. Rev. Lett. 79, 277 (1997).

79. M. Aprili, М. Covington, Е. Paraoanu, В. Niedermeier, and L. H. Greene, Phys. Rev. В 57, R8139 (1998).

80. S. Sinha and K.-W. Ng, Phys. Rev. Lett. 80, 1296 (1998).

81. L. Alff, A. Beck, R. Gross, A. Marx, S. Kleefisch, Th. Bauch, H. Sato, M. Naito, and G. Koren, Phys. Rev. В 58, 11197 (1998).

82. J. Y. T. Wei, N.-C. Yeh, D. F. Garrigus, and M. Strasik, Phys. Rev. Lett. 81, 2542 (1998).

83. M. Aprili, E. Badica, and L. H. Green, Phys. Rev. Lett. 83, 4630 (1999).

84. R. Krupke and G. Deutscher, Phys. Rev. Lett. 83, 4634 (1999).

85. M. Covington and L. H. Greene, Phys. Rev. В 62, 12440 (2000).

86. Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ 56, 1590 (1969).

87. F. J. Culetto, G. Kieselmann, and D. Rainer, in Proceedings of the 11th International Conference on Low Temperature Physics, LT-17, edited by U. Eckern, A. Schmid, W. Weber, and H. Wiihl (North-Holland, Amsterdam, 1984), p. 1027.

88. H. Hilgenkamp, J. Mannhart, and B. Mayer, Phys. Rev. В 53, 14586 (1996).

89. A. Golubov, M. Kupriyanov, Письма в ЖЭТФ 69, 242 (1999).

90. N. P. Kopnin, Phys. Rev. В 65, 132503 (2002).

91. M. B. Walker and P. Pairor , Phys. Rev. В 60, 10395 (1999).

92. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1965).

93. J. Rammer and H. Smith, Rev. Mod. Phys. 58, 323 (1986).

94. Публикации автора по теме диссертации

95. Yu. S. Barash, М. S. Kalenkov, and J. Kurkijarvi, „Low-temperature magnetic penetration depth in d-wave superconductors: Zero-energy bound state and impurity effects", Phys. Rev. В 62, 6665-6673 (2000).

96. M. С. Каленков, „Влияние нелокальности отклика квазичастиц на нелинейный эффект Мейсснера в сверхпроводниках с d спариванием", ЖЭТФ 122, 404-410 (2002).

97. М. S. Kalenkov, М. Fogelstrom, and Yu. S. Barash, „Two regimes for effects of surface disorder on the zero-bias conductance peak of tunnel junctions involving d-wave superconductors", cond-mat/0404317 (послано в Phys. Rev. B).