Влияние деформации, нарушающей симметрию исходной решетки, на условие генерации волн смещений атомов неравновесными электронами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение

1 Информация, существенная для постановки задачи

1.1 Основные представления о реконструктивных мартенсит-ных превращениях (на примере у— а превращения в сплавах на основе железа).

1.1.1 Характерные признаки j—a мартенситного превращения

1.1.2 Морфологические признаки j — а мартенситного превращения.

1.1.3 Кинетические признаки.

1.2 Концепции гетерогенного зарождения и волнового роста кристаллов мартенсита

1.2.1 Механизм генерации и характеристики волн смещений, управляющих ростом мартенситного кристалла

1.2.2 Двухволновая схема управления ростом кристалла мартенсита [1].

1.2.3 Синтез концепций волнового роста и гетерогенного зарождения мартенсита.

1.3 Поверхности, разделяющие в пространстве квазиимпульсов состояния электронов с разными знаками неравновесной добавки к равновесной функции распределения

1.4 Физическая постановка задачи исследования.

2 Расчет числа пар электронных состояний, активных в генерации волн, для представительного набора интегралов перекрытия между ближайшими и вторыми соседями в металлах с кубической решеткой

2.1 Формы s - поверхностей при симметричных ориентировках направления пространственной неоднородности для ОЦК и ГЦК кристаллов. 1.

2.2 Вид плотностей состояний для ОЦК и ГЦК решеток

2.2.1 Закон дисперсии Е(к) для стандартных направлений в k-пространстве (случай ОЦК решетки)

2.2.2 Закон дисперсии Е{к) для стандартных направлений в k-пространстве (случай ГЦК решетки)

2.2.3 Плотность электронных состояний (случай ОЦК решетки)

2.2.4 Плотность электронных состояний (случай ГЦК решетки)

2.3 Доля пар инверсно населенных состояний электронов в энергетическом интервале оптимальном для генерации волн

2.3.1 Случай ОЦК решетки.

2.3.2 Случай ГЦК решетки.

2.4 Влияние неоднородности направлений вектора в межфазной области на процесс генерации пары управляющих волн

Актуальность темы. Представления о волнах, управляющих ростом мартенситного кристалла при 7 — а мартенситных превращениях и механизме генерации волн неравновесными электронами, было введено и обосновано ранее на основе качественных оценок. При этом важнейшую роль играет оценка числа пар Ref инверсно населенных электронных состояний активных в генерации волн. В пространстве квазиимпульсов такие пары состояний разделяются s - поверхностями, площадь которых в актуальной области энергий (порядка 0,1 эВ в окрестности уровня Ферми) пропорциональна Ref. Поскольку пороговое значение инверсной разности населенностей обратно пропорционально Ref, существование обширных s - поверхностей является одним из важнейших условий, необходимых для генерации волн неравновесными электронами. Не исследованным, даже качественно, остался вопрос об учете изменения s - поверхностей в искаженной решетке. Поскольку сильно неравновесные электронные состояния локализованы в межфазной области, испытывающей в ходе превращения кардинальную перестройку, необходимо рассмотреть влияние деформации, изменяющей симметрию решетки, на условия генерации волн, управляющих ростом мартенситного кристалла.

Цель работы состоит в том, чтобы для простейших модельных электронных спектров в приближении сильной связи установить возможности поддержки неравновесной электронной подсистемой условий генерации фононов при конечных деформациях, меняющих симметрию исходных кубических (ГЦК и ОЦК) кристаллических решеток в ходе 7 — а мартенситного превращения. Решение данной задачи потребовало:

1. создания программного обеспечения, позволяющего по известной аналитической форме электронного спектра находить следующую совокупность данных:

- формы s - поверхностей и изоэнергетических поверхностей в первой зоне Бриллюэна;

- «развертки» законов дисперсии электронов по любым значимым направлениям пространства квазиимпульсов;

- вид кривой плотности состояний;

- площади изоэнергетических поверхностей и s - поверхностей в любом интервале энергий;

2. расчета указанной в предыдущем пункте совокупности данных для идеальных кубических (ОЦК и ГЦК) решеток при варьировании соотношения интегралов перекрытия между ближайшими и вторыми соседями, позволяющего получить информацию, необходимую при сравнительном анализе поведения Ref,

3. учета влияния однородной деформации на вид электронного спектра, существенной для процесса 7 — а перестройки решетки:

- одноосной деформации растяжения в направлении оси симметрии четвертого порядка исходной ГЦК решетки;

- одноосной деформации сжатия в направлении оси симметрии четвертого и второго порядков исходной ГЦК решетки;

- плоской двуосной деформации типа сжатия - растяжения, сохраняющей инвариантной некоторую плоскость.

Научная новизна. Впервые получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. данные о формах s - поверхностей и их эволюции в ходе деформации;

2. сравнительный анализ зависимости Ref от отношения интегралов перекрытия ближайших и вторых соседей для идеальных ОЦК и ГЦК решеток;

3. зависимости Ref от величины деформации при типах деформаций значимых для мартенситной 7 — а перестройки;

4. интерпретация немонотонной зависимости Ref в случае одноосной деформации растяжения вдоль направления [001] исходной ГЦК решетки;

5. интерпретация немонотонной зависимости Ref в случае плоской деформации, обладающей инвариантной плоскостью;

6. вывод о существенном влиянии конечных деформаций на процесс генерации волн неравновесными электронами.

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты развивают предложенную ранее волновую модель управления ростом мартенситного кристалла, главным образом, в части, касающейся расчета числа пар неравновесных электронов, потенциально активных в генерации волн, в условиях больших деформаций, меняющих симметрию кристаллической решетки. Как показывает анализ, учет такой деформации должен играть существенную роль при всех вариантах протекания реконструктивных мартенситных превращений в сплавах.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на VI международном симпозиуме «Современные проблемы прочности» им. В.А. Лихачева (Старая Русса, 2003), на IV Молодежном семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2003), на III Международной конференции, посвященной памяти академика Курдюмова Г.В. «Фазовые превращения и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2004), наХЫП Международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Витебск, 2004), на Международной конференции ICOMAT ' 05 (Shanghai, 2005), на XLIV Международной конференции «Актуальные проблемы прочности» (Вологда, 2005), на XVI Петербургских чтениях по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 2006).

Публикации. По результатам работы имеется 13 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Она изложена на 129 страницах машинописного текста, включая 73 рисунка, 1 таблицу и список литературы, содержащий 67 наименований.

Заключение

В заключительной части работы вначале сформулируем основные выводы, имеющие, по мнению автора, фундаментальное значение для понимания ряда особенностей протекания реконструктивных мартенситных превращений в переходных металлах и сплавах на их основе, а затем остановимся на перспективах дальнейших исследований. Характеризуя результаты в целом, можно констатировать, что цели работы, сформулированные в пункте 1.4 физической постановки задачи, достигнуты. Перечислим кратко основные выводы.

1. С использованием модельного спектра для электронов в приближении сильной связи впервые продемонстрировано, что в условиях значительных (порядка сотых и даже десятых долей) деформаций число С паР электронных состояний, активных в генерации волн атомных смещений при градиентах химического потенциала, типичных для межфазной области на стадии быстрого роста мартенситного кристалла, может существенно возрастать при увеличении деформации.

2. Возрастание £ в ходе деформации (при условии, что затухание электронов Г существенно не изменяется) должно вести к снижению порогового значения инверсной разности населенностей пар электронных состояний ath (1-12) для процесса генерации фононов неравновесными электронами. Это означает, что область образца, в которой решетка потеряла устойчивость в результате распространения управляющего волнового процесса, несущего пороговую деформацию (порядка 1СГ4 - 10"3) может сохранять свою активность в генерации волн вплоть до развития бейновской деформации (е < 0,2), соответствующей перестройке исходной 7-фазы в конечную а-фазу. В принципе, отсюда следует, что пространственные размеры области активной в генерации волн будут превышать размеры, использовавшиеся (вполне обоснованно) ранее при оценке генерации волн, несущих пороговую деформацию (на уровне предела упругости). Разумеется, аналогичные выводы имеют место и для обратного а — 7 превращения.

3. В связи с проведенным анализом, можно предположить, что наиболее интенсивно процесс реконструктивного мартенситного превращения протекает в сплавах такого состава, для которого характерно снижение значений в области исходной фазы, потерявшей устойчивость и испытывающей нарастающую деформацию.

4. Вывод о возможности существенного снижения порогового значения <7th в ходе деформации играет фундаментальную роль и для интерпретации особенностей стадии зарождения, поскольку дает дополнительные аргументы в пользу механизма жесткого возбуждения начальных колебаний при реконструктивных мартенситных превращениях (снижение ath тем больше, чем больше амплитуда колебаний). Напомним, что ранее [1] именно вывод о жестком режиме начального возбуждения управляющего волнового процесса позволил снять кажущееся противоречие между данными эксперимента о фактической величине степени переохлаждения высокотемпературной фазы и ожидаемыми, согласно термодинамическому рассмотрению, значениями переохлаждения, оказывающегося в разы меньшим наблюдаемого. Совершенно очевидно, что сделанный вывод весьма актуален также и для мартенсита напряжения.

5. Заметим, что и на стадии формирования кристаллов мартенсита деформации снижение ath при росте.е может способствовать процессу возбуждения колебаний в ядре кристона (носителя сдвига супердислокационного типа - см. [49-51]). В результате, процесс, стартовавший как относительно медленный (поддерживаемый, главным образом, за счет внешнего источника энергии), может сменить микрокинетику, резко увеличив скорость роста. 6. В физическом отношении заслуживает внимания вопрос о степени адекватности использованного модельного электронного спектра физической реальности для сплавов с характерным набором особенностей протекания мартенситного превращения. В связи с этим, во-первых, отметим, что проводившийся ранее в [1] сравнительный анализ особенностей закона дисперсии для Ni с ГЦК решеткой (рассчитывавшегося ранее различными методами: от ППВ - «присоединенных плоских волн» до «самосогласованного») выявил возможности конструктивного применения такого модельного спектра. Действительно, рассматривая параметры Е\ и E<i как феноменологические, нетрудно подобрать такие их значения, при которых величина дисперсии модельного электронного спектра в актуальной области энергий вблизи уровня Ферми близка к дисперсии спектров, рассчитанных на основе «первых принципов». Это означает адекватность проведенных численных оценок величин Во-вторых, модельный спектр, обладающий одним пиком плотности состояний, за счет вариации исходных значений /i относительно энергии, соответствующей максимальной плотности состояний, может быть приведен в соответствие с экспериментальными и расчетными данными по переходным металлам и их сплавам (в частности, в сплавах на основе железа), поскольку в реальной ситуации существенными оказываются состояния, локализованные в окрестности энергий единственного пика плотности состояний вблизи потолка d - зоны (остальные пики соответствуют полностью заполненным электронным состояниям под уровнем Ферми).

7. В методическом отношении следует акцентировать внимание на весьма существенной роли учета влияния вторых соседей. Действительно, как показывают выполненные в работе расчеты, учет вторых соседей при отрицательном знаке параметра Е2 приводит к фактической стабилизации положения пика плотности электронных состояний по отношению к энергии потолка зоны, не смотря на значительные величины деформаций. Кроме того, при отрицательных Е2 осуществляется заметное перераспределение состояний внутри зоны на энергетической шкале, находящее отражение в возрастании £ по сравнению со случаем Е2 = 0 (и тем более, по сравнению со случаем Е2 >0).

Касаясь перспектив дальнейших исследований, логика которых диктуется полученными результатами, уместно указать на три направления.

1. Используя тот же простейший модельный спектр, развить модель генерации волн неравновесными электронами и распространения управляющего волнового процесса для случая локализованной в прямом пространстве неравновесности (см., например, распределение направлений пространственной неоднородности е на рис. 2.18). Здесь уместно использовать предложенное в [1] представление о наложении волновых пучков (в форме полуволновых импульсов) для моделирования деформационного поля в локальной межфазной области на фронте растущего кристалла мартенсита. Не трудно убедиться, что представление о полуволновых импульсах [1] эквивалентно представлению о вейвлетах [52].

2. Несомненный интерес представляет также использование спектра в приближении сильной связи [48,53] с использованием в качестве базисного набора реальных d - функций (одна из свежих ссылок на вариант алгоритмизации подобной процедуры - [54]). Наиболее существенен при этом не учет многопиковости плотности состояний (хотя и это, разумеется, важно), а проявление анизотропии самих d - функций, интегралов перекрытия между первыми и вторыми соседями и иной закон зависимости этих интегралов от межатомного расстояния [48] (и, соответственно, от деформации) по сравнению со случаем изотропных s - функций, локализованных на узлах решетки. Этот анализ естественно начать с простейшего случая, полагая деформацию однородной во всем объеме образца и для единственного направления пространственной неоднородности, обусловливающей неравновесность электронной подсистемы. Обобщение предполагает переход к локальному описанию деформационного поля и учету пространственного распределения направлений е.

3. Отметим, наконец, перспективность анализа процесса быстрого распространения локализованной деформации в переходных металлах и их сплавах, опираясь непосредственно на представление о взаимодействующих подсистемах электронов и ионов. Как показывают оценки [1], в локальных областях существуют значительные электрические поля (порядка сотых долей от внутриатомных), и, значит, учет неравновесности электронной подсистемы может играть решающую роль не только при описании особенностей мартенсит-ной реакции, но и пластической деформации без изменения симмет-р'ии решетки (например, при распространении ударных волн, либо при распространении нелинейных волн иной природы со скоростями порядка скорости звука),

4. Перечисленные выше направления перспективных исследований непосредственно соприкасаются с основной концепцией реализации мартенситного превращения, базирующейся на синтезе концепции гетерогенного зарождения и волнового роста кристалла мартенсита. При анализе особенностей предпереходных состояний полезными могут оказаться представления о структуре промежуточных решеточных конфигураций, претендующие на описание траекторий перемещения атомов при полиморфных превращениях [55-58]. Аналитическое рассмотрение этого вопроса оказывается взаимно дополнительным с подходом моделирования атомных смещений методом молекулярной динамики [см., например, [59,60]], популярность которого растет в связи с анализом атомных распределений (в частности, при полиморфизме) в нанокристаллических состояниях [см., например, [61]].

5. Отметим, наконец, что несомненный интерес представляет учет влияния магнитного состояния аустенита и мартенсита на процессы зарождения и роста мартенситных кристаллов. Влиянию этого фактора уделялось внимание в [1]. И сейчас этот вопрос не снимается с повестки дня (см., например, [60,62-64]. Однако какое-либо подробное обсуждение влияния магнитного состояния на особенности протекания мартенситного превращения выходит за рамки данного исследования.

Результаты, полученные в главе 3, опубликованы в [65-67].

1. Кащенко М.П. Волновая модель роста мартенсита при 7 — а превращении в сплавах на основе железа. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993.

2. Кащенко М.П.; Минц Р.И. Механизм мартенситного превращения, обусловленный неравновесностью электрон-фононной системы. Письма в ЖЭТФ, 26(6):433-435, 1977.

3. Кащенко М.П. Лазерная модель мартенситного превращения в сплавах переходных металлов. Мартенситные превращения в металлах и сплавах: Докл. междунар. конф. «1СОМАТ-77». Киев: Наукова думка, pages 137-141, 1979.

4. Кащенко М.П. Сравнение двух источников неравновесности электронной подсистемы при учете затухания электронов. Известия ВУЗов СССР. Сер. Физика, (3):113-114, 1982.

5. Кащенко М.П., Верещагин В.П. Анализ динамических условий устойчивости решетки при реконструктивных мартенситных превращениях в модели фононного мазера. ФММ, 58(3):450—457, 1984.

6. Кащенко М.П.,Минц Р.И. Колебательные аналоги деформации Бей-на и морфология мартенсита в твердых растворах систем 7 (Fe-Ni). ФТТ, 19(2):329—334, 1977.

7. Кащенко М.П. Интерпретация ряда характерных морфологических признаков мартенсита систем Fe-Ni, Fe-C в модели фононного мазера. ФММ, 58(5):862-869, 1984.

8. Верещагин В.П.,Кащенко М.П. Принципы отбора электронных состояний, потенциально активных в генерации фононов. ФММ, 61(2):237-244, 1986.

9. Кащенко М.П.,Минц Р.И. Микроскопический механизм мартенситного превращения в системе Fe-Ni. ЖЭТФ, 75(6(12)):2280-2289, 1978.

10. Кащенко М.П. Условия генерации волн, сопоставляемых деформации Бейна. ФММ, 49(5):937-946, 1980.

11. Верещагин В.П., Кащенко М.П. Марковская форма неравновесного статистического оператора для систем со слабым взаимодействием. ТМФ, 42(1):133—138, 1980.

12. Кащенко М. П. Согласование концентрационной зависимости температур мартенситных превращений в системах Fe-Ni, Fe-Mn с условиями генерации в модели фононного мазера. ФММ, 50(3):671—672, 1980.

13. Кащенко М. П.,Эйшинский Е.Р. Определение оптимальной температуры генерации фононов,неравновесными электронами в бинарных сплавах железа. ФММ, 56(4):681-689, 1983.

14. Кащенко М.П., Верещагин В.П. Движение границы мартенситного кристалла в модели фононного мазера. ФММ, 60(5):855-863, 1985.

15. Кащенко М.П., Верещагин В.П. Скорость движения границы мартенситного кристалла в волновых моделях роста. Всесоюз. науч. конф. «Сверхупругость, эффект памяти формы и их применение в новой технике»: Тез. докл. Томск: Изд-во Том. ун-та, pages 11-12, 1985.

16. Кащенко М.П.,Верещагин В.П. Центры зарождения и волновые схемы роста мартенсита в сплавах железа. Известия ВУЗов СССР. Сер. Физика, (8):16-20, 1989.

17. Верещагин В.П.,Кащенко М.П. Дислокационные центры зарождения а-мартенсита и ориентационные соотношения при 7 — а превращении в сплавах железа. ФТТ, 33(5):1605-1607, 1991.

18. Кащенко М. П., Летучев В.В., Нескоромный С.В., Коновалов С.В. Физическое моделирование процесса зарождения а-мартенсита. ФММ, (1): 146—147, 1992.

19. Kashchenko М.Р. The wave model of martensite growth for the 7 — a: transformation of iron-based alloys. arXiv: cond-mat/ 0601569 v3, 2006.

20. Курдюмов Г.В.,Утевский JI.M., Энтин Р.И. Превращения в железе и стали. М.: Наука, 1977.

21. Капуткина Л.М7Займовский В.А.,Бернштейн М.Л., и др. Термоме-> ханическая обработка стали. М.: Металлургия, 1983.

22. Вейман К.М. Без диффузионные фазовые превращения. Физическое металловедение т.2: Фазовые превращения в металлах и сплавах и сплавы с особыми физическими свойствами. М.: Металлургия, 1987.

23. Лободюк В.А.,Эстрин Э.И. Изотермическое мартенситное превращение. Успехи физических наук, 175(7):745-765, 2005.

24. Локшин Ф. Л. Скорость мартенситного превращения. Научные доклады высшей школы, (2):205-208, 1968.

25. Локшин Ф. Л. Динамическая теория мартенситного превращения, volume 71/85. Тр. Новочеркас. полит, института, 1967.

26. Bunshah R.F. and Mehl R.F. Rate of propagation of martensite. Trans. AIME, 197:1251-1258, 1953.

27. Пустовойт В. И. Взаимодействие электронных потоков с упругими волнами решетки. УФН, 97(5):257-306, 1969.

28. Верещагин В.П., Кащенко М. П., Аристова Н.В. Модельные габи-тусные плоскости в обобщенной волновой модели роста мартенсита. Труды XXV Всесоюзного семинара «Актуальные проблемы прочности», pages 6-9, 1991.

29. Кащенко М. П.,Коновалов С.В.?Летучев В.В., Нескоромный С.В. Волновой механизм роста и новая методика инициирования зарождения а- мартенсита. ФММ, 76(1):90-101, 1993.

30. Максимов Е.Г.,Магницкая М.В., Фортов В.Е. Изотермическое мартенситное превращение. Успехи физических наук, 175(8):793-813, 2005.

31. Лифшиц И.М.;Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М.:Наука, 1971.

32. Верещагин В.П., Кащенко М. П., Аристова Н.В. Дислокационные центры зарождения при обратном а — 7 мартенситном превращении в сплавах железа. ФММ, 75(2):38-43, 1993.

33. Кащенко М. П.;Скорикова Н.А., Чащина В.Г. Условия, необходимые для генерации упругих волн неравновесными электронами в металлах с кубической решеткой. ФММ, 99(5):3-13, 2005.

34. Kashchenko М., Skorikova N., and Chashchina V. Pairs of electronic states supporting the wave process of the martensite crystal growth. ICOMAT- 05, June Ц-17, 2005, Shanghai, China. Conference program and Abstract book, page 27, 2005.

35. Кащенко M. П.,Скорикова H.A., Чащина В.Г. Пары инверсно населенных состояний электронов в оптимальном для генерации волн интервале энергий. Известия вузов. Физика, (5):44—48, 2005.

36. Kashchenko M.P. Interpretation of some characteristic morphological indicators of martensite of systems Fe-Ni, Fe-C using the phonon maser model. Phys.Met. Metall., 58(5):862-869, 1984.

37. Letuchev V.V., Vereshchagin V.P., Alexina I.V., and Kashchenko M.P. Conception of new phase dislocation-based nucleation at reconstructive martensitic transformations. Journal de Physique IV, 5(C8):151-156, 1995.

38. Kashchenko M.P., Letuchev V.V., Alexina I.V., and Nefedov A.B. Reconstruction of martensitic nucleation process from morphological attributes. J.Phys.IV France, Supplement au Journal de Physique III de novembre 1997, 7(C5):89-94, 1997.

39. Letuchev V.V., Konovalov S.V., and Kashchenko M.P. Dynamical lattice state at the initial stage of martensitic transformation and possibilities of its physical realization. Journal de Physique IV, C2(5):53-58, 1995.

40. Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел, volume 1. М.:Мир, 1983.

41. Kashchenko М.Р., Teplyakova L.A., Dzhemilev K.N., and Chashchina V.G. Conditions for the generation of crystons and the interpretation of the о — £ curve for Ni3Fe single crystals. Phys.Met. Metall, 88(3):223-227, 1999.

42. Кащенко M.П.,Семеновых А.Г., Чащина В.Г. Кристонная модель формирования а' мартенсита деформации в сплавах на основе железа. Физическая мезомеханика, б(3):95—122, 2003.

43. Kashchenko М.Р., Chashchina V.G., and Semenovih A.G. Cryston model of strain induced martensite. J. Phys. IV France, 112:147-150, 2003.

44. Дьяконов В.П. От теории к практике. Вейвлеты. М.: C0J10H-P, 2002.

45. Slater J.С. and Koster G.F. Simplified lcao method for the periodic potential problem. Phys. Rev., 94(6): 1498-1524, 1954.

46. Madsen Georg K.H. and Singj David J. Boltz traP. A code for calculating band-structure dependent quantities.'cond-mat, vl(0602203), 2006.

47. Крапошин В.С.,Талис A.JI., Ван Яньцзин. Геометрическая модель полиморфных превращений в титане и цирконии. Металловедение и термическая обработка металлов, (9):18—22, 2005.

48. Крапошин В.С.,Дьяконова Н.Б.,Лясоцкий И.В., Ван Яньцзин. Кластерная модель образования несоразмерной и -фазы в сплавах системы титан-железо. Металловедение и термическая обработка металлов, (6):29—35, 2004.

49. Кондратьев В.В. О термодинамической устойчивости структурных состояний при мартенситных превращениях. ФММ, 47(1):102—109, 1979.

50. Пушин В.Г.?Кондратьев В.В., Хачин В.Н. Предпереходные явления и мартенситные превращения. Екатеринбург УрО РАН, 1998.

51. Entel P., Herper Н.С., Schroter М., Hoffmann Е., Kadau К., and Meyer R. АВ initio description of displacive phase transformations. Contribution submitted to the conference of displacive transformations. Urbana, pages 102-109, 1996.

52. Entel P., Meyer R., and Kadau K. Molecular dynamics simulations of martensitic transformations. Philos. Mag., B80:183-194, 2000.

53. Koji Asaka, Yoshihiko Hirotsu, and Tsugio Tadaki. Martensitic transformation in nanometer-sized particles of Fe-Ni alloys. Materials Science and Engineering, A273-275:262-265, 1999.

54. Uhl M., Sandratskii, and Kiibler J. Spin fluctuations in 7-Fe and in Fe3 Pt invar from local-density-functional calculations. Phys. Rev. В, 50(1):291—301, 1994.

55. Gruner M.E., Sil S., and Entel P. Simulation of magnetovolume effects in Fe65 Ni35 nanoparticles. Prog. Theor. Phys. Suppl., 138:154, 2000.

56. Entel P., Hoffmann E., Herper H.C., Wassermann E.F., Crisan V., Ebert H., and Akai H. Collinear and noncollinear magnetism in transition-metal alloys. J. Phys. Soc. Jpn., 69:112, 2000.

57. Kashchenko М.Р., Skorikova N.A., Chashchina V.G. Influence of the finite deformations changing the symmetry of an initial lattice on a generation of atoms displacements waves by non-equilibrium electrons. cond-mat, vl(0605167), 2006.