Влияние электрического и магнитного полей на электронные свойства графена тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

НОСАЕВА Татьяна Александровна

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ НА ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ГРАФЕНА

Специальность: 01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссер?пации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о АПР 2014

Ростов-на-Дону 2014

005546821

Работа выполнена на кафедре «Общая физика» в ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный социально-педагогический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Крючков Сергей Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кирпиченков Валерий Яковлевич {Южно-Российский государственный

технический университет)

доктор технических наук, доцент Илясов Виктор Васильевич (Донской государственный технический университет)

Ведущая организация Воронежский государственный технический

университет

Защита состоится 25 апреля 2014 года в 16— часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.05 (физико-математические науки) по специальности 01.04.07 - физика конденсированного состояния при Южном федеральном университет в здании НИИ физики ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 194, ауд. 411

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. Ю.А. Жданова ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 21Ж.

Автореферат разослан » 2014 года

Отзывы (2 экз.) на автореферат диссертации, заверенные подписью рецензента и печатью учреждения, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета Д 212.208.05 при ЮФУ по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 194, НИИ физики ЮФУ.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.05 при ЮФУ

Гегузина Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Физические свойства графена, плоского монослоя атомов углерода, в стабильном состоянии плотно упакованных в двумерную гексагональную решетку, привлекает внимание, как специалистов физики конденсированного состояния, так и разработчиков переключательных электронных и оптоэлектронных устройств на основе этого материала. Уникальные свойства графена возникают, благодаря природе его носителей заряда - они ведут себя подобно релятивистским частицам без массы, для которых закон дисперсии в низкоэнергетическом приближении принимает вид £(/>) = 17/», где энергия отсчитывается от так

называемой точки Дирака, в которой валентная зона и зона проводимости соприкасаются. Носители заряда в графене имеют бесщелевой энергетический спектр, но дополнительное влияние подложки, примесей, перпендикулярного к поверхности графена постоянного электрического поля может приводить к появлению запрещенной зоны, и тогда в нем проявляются новые электронные свойства.

Результаты исследования природы физических процессов в графене стимулируют теоретическое исследование влияния внешних электрических полей и электромагнитных волн на электронные свойства его и наноструктур на его основе. Энергетический спектр графена не аддитивен, поэтому воздействие электрического или магнитного поля на систему в одном направлении приводит к возникновению тока в перпендикулярном полю направлении. Для определения особенностей электронных свойств графена необходимо изучить эффекты, подобные ранее обнаруженным в полупроводниковых сверхрешетках и проявляющиеся в квазиклассически сильных полях, для чего необходимо использовать квазиклассическое приближение, но при других диапазонах полей и частот.

На основании вышесказанного тема диссертации, посвященной теоретическому исследованию электронных свойств графена под влиянием

электрического и магнитного полей с использованием квазиклассического метода, является актуальной.

Цель: выявление особенностей электронных свойств щелевой модификации графена при воздействии электрического и магнитного полей.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1) вычислить методом Монте-Карло постоянную составляющую плотности тока, индуцированного в графене эллиптически поляризованной электромагнитной волной и постоянным электрическим полем при учете неупругого механизма рассеяния, рассматривая в монослойном графене два канала рассеяния электронов на фононах: оптических и акустических;

2) вычислить постоянную составляющую плотности тока в монослойном графене с щелевым энергетическим спектром с учетом ионизации короткодействующих примесей в постоянном электрическом поле и определить зависимость вероятности ионизации примесных центров от параметров процесса: глубины залегания примеси и напряженности электрического поля;

3) вычислить постоянную составляющую плотности тока в двухслойном графене под влиянием двух электромагнитных волн разных частот с параллельными плоскостями поляризации в присутствии постоянного магнитного поля.

Методы: квазиклассический метод, основанный на физическом приближении для определенных диапазонов напряженностей и частот электрических и магнитных полей; метод численного моделирования Монте-Карло, решение кинетического уравнения Больцмана, где столкновительный член выбирается в модели с постоянной частотой столкновений, а также метод итерации и другие методы аналитического расчета.

Научная новизна. В данной работе впервые:

1) методом Монте-Карло изучены механизмы рассеяния электронов в монослойном графене и определена постоянная составляющая плотности тока, индуцированного в графене эллиптически поляризованной

электромагнитной волной и постоянным электрическим полем, причем обнаружено, что неупругое рассеяние носителей тока на оптических фононах вносит наибольший вклад в эффект выпрямления тока;

2) вычислена в квазиклассическом приближении вероятность ионизации примесей в монослойном графене с щелевым энергетическим спектром при воздействии электрического поля, а также вычислена постоянная составляющая плотности тока в графене с учетом ионизации примесных центров в постоянном электрическом поле;

3) в квазиклассическом приближении в двухслойном графене вычислена постоянная составляющая плотности тока в направлении, перпендикулярном плоскостям поляризации падающих электромагнитных волн, при воздействии постоянного магнитного поля. Полученная при этом постоянная составляющая плотности тока возникает только при отношении частот падающих волн, равном 2.

Практическая ценность основных полученных результатов и

выводов заключается в том, что установленные зависимости плотности тока от вероятности ионизации примесных центров, от глубины их залегания в графене позволяют дополнить информацию о характерных электронных свойствах графена и развить методы их исследования. Эффект выпрямления переменных токов, индуцированных в графене двумя падающими на его поверхность электромагнитными волнами, проявляющийся только при отношении их частот, равном 2, может быть использован при проектировании детектора второй гармоники излучения. Эффект выпрямления поперечного тока в графене может быть использован для создания прибора, измеряющего сдвиг фаз между плоско поляризованными волнами, являющимися компонентами эллиптически поляризованной волны. Теоретически обнаруженные эффекты перспективны для нанотехнологии, например, для установления характеристик исследуемых образцов графена и воздействующих на него внешних полей.

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается использованием современных, хорошо апробированных методов теоретической физики и компьютерного моделирования: метода мнимого времени и кинетического уравнения Больцмана; квазиклассического моделирования методом Монте-Карло и строгим соблюдением критериев применимости используемых подходов, моделей и приближений. Полученные данные качественно согласуются с известными экспериментальными данными, где такое сравнение возможно и правомерно.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Неупругое рассеяние носителей тока на оптических фононах под действием эллиптически поляризованной электромагнитной волны и постоянного электрического поля приводит к возникновению постоянной составляющей плотности тока в графене, которая зависит от сдвига фаз компонент и частоты эллиптически поляризованной электромагнитной волны.

2. Ионизация примесных центров под влиянием электрического поля приводит к росту постоянной составляющей плотности тока в щелевой модификации графена, а зависимость вероятности ионизации примесных центров в графене качественно соответствует зависимости вероятности ионизации примесей в полупроводниках.

3. Одновременное воздействие на двухслойный графен постоянного магнитного поля и двух нормально падающих электромагнитных волн с параллельными плоскостями поляризации, отношение частот которых равно 2, приводит к возникновению постоянной составляющей плотности тока в перпендикулярном направлении.

Апробация результатов. Результаты исследований представлялись на научных конференциях: XIV и XV Регион, конф. молодых исследователей Волгоградской обл. «Физика и математика» - Волгоград, 2009 и 2010; XIX

Междунар. сов. «Радиационная физика твердого тела» / Севастополь, 2009; 17 Всеросс. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых «Физика конденсированного состояния» - Екатеринбург, 2011; 18 Всеросс. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых «Физика конденсированного состояния» - Красноярск, 2012; 10 Регион, науч. конф. «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование» - Владивосток, 2011; Основные результаты проделанной работы регулярно докладывались и обсуждались на семинарах научно-исследовательской лаборатории «Физика низкоразмерных систем» кафедры общей физики ВГСПУ.

Публикации. Основные научные положения, результаты и выводы диссертации опубликованы в 10 работах: 3 статьи в рецензируемых российских журналах из Перечня ВАК Минобрнауки РФ и 7 тезисов в сборниках тезисов международных, всероссийских и региональных конференций.

Личный вклад автора. Основные положения диссертации сформулированы совместно с научным руководителем, профессором Крючковым C.B. и соавтором совместно опубликованных работ, профессором Завьяловым Д.В. Автор лично с использованием численного моделирования методом Монте-Карло выявила эффект возникновения постоянной составляющей плотности тока в графене и рассчитала ее в однослойном и двухслойном графене при воздействии электрического и магнитного полей, а так же непосредственное участвовала во всех сопровождающих вычислениях, анализе и обсуждении результатов и выводов работы и в подготовке публикаций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 125 наименований, изложенных на 110 страницах, включая 27 рисунков и графиков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, выявлены научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов исследования, сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту. Представлен список всероссийских, международных и региональных конференций, на которых были апробированы основные результаты, полученные в диссертации.

В первом разделе приведен литературный обзор ранее полученных результатов по электронным свойствам графена, рассмотрена его щелевая модификация, имеющая в своем энергетическом спектре запрещенную зону, рассмотрены квазиклассические процессы в полупроводниковых материалах, имеющих запрещенную зону, в частности, в полупроводниковых материалах. Рассмотрены перспективы применения графена.

Во второй разделе описан эффект выпрямления поперечного тока в графене на основе численного моделирования методом Монте-Карло. Эффект выпрямления поперечного тока возникает в графене, когда на образец нормально к его поверхности падает эллиптически поляризованная электромагнитная волна (рис. 1). В работе Марчука Э.В., Завьялова Д.В., Крючкова C.B. (Письма в Журнал технической физики, 2008) [1] с использованием квазиклассического подхода предсказан этот эффект. В данной работе было показано, что величина постоянного тока зависит от разности фаз компонент эллиптической волны вдоль осей координат. Интеграл столкновений уравнения Больцмана был выбран в модели с постоянной частотой столкновений. Возникает естественный вопрос — не является ли данный эффект следствием специфического выбора модели столкновительного члена. Нами предпринята попытка обосновать эффект, полученный в работе [1], без использования модели постоянной частоты столкновений, а используя прямое численное моделирование с помощью

метода Монте-Карло, предложенного в работах Хокни Р., Иствуда Дж. (М.: «Мир», 1987) [2] и Соболя И.М. (М.: «Наука», 1973) [3].

к

->

Рисунок 1 - Пространственная ориентация. Здесь: Е] = Ею cos(&>/), Е2 = Е20 cos(ft* + <р)~ компоненты эллиптически поляризованной электромагнитной волны, Ес - напряженность постоянного электрического поля, к-волновой вектор электромагнитной волны, перпендикулярный плоскости графена

Для моделирования эффекта выпрямления тока в графене использован стандартный прием, предложенный Ризом, описанный в работе Соболя И.М. (М.: «Наука», 1973) [2]. Необходимо первоначально рассчитать вероятности рассеяния электрона на акустических и оптических фононах. Вероятность рассеяния электрона в единицу времени из состояния с импульсом р в состояние р' на акустических фононах дается в работе Vasko F.T., Ryzhii V. {Physical Review Letters, 2008) [4] выражением: 2k l + cos(<t>)i .2

ff 2 I Ip-PI'"!

Здесь ф — угол между векторамиp ир',|С|рр.|/в| — квадрат модуля матричного элемента электрон-фононного взаимодействия. В случае акустических фононов = hqD] ¡(2ps2L2 ), где Da — константа

деформационного потенциала, q — модуль волнового вектора фонона, р —

поверхностная плотность материала, 5 - скорость звука в графене, Ь — линейный размер основной области кристалла, ^р-р^» — функция

распределения фононов Планка. Далее, для нахождения вероятности рассеяния электронов, будем рассматриваться динамику носителей тока при комнатной температуре. В этом случае Ьсоч 1(кТ)«1 и функцию распределения акустических фононов можно взять в виде=кТ1(Тшч). Кроме того, в силу условия 5«V,, рассеяние на акустических фононах можно считать упругим и пренебречь энергией фонона в аргументах 8 -функций в (1). С учетом вышесказанного формула (1) преобразуется к виду

где обозначено v0=(kTDaf l{2ps2h1v2f). При значениях параметров D «18эВ, Г = 300ЛГ, получаем v„ «2,34-10" с"1.

Для расчета вероятности рассеяния носителей тока на оптических фононах так же используется формула (1). Фононы считаем бездисперсионными (а>я =ы0 = const.) с энергией tico0 = 1 бОл/эй. При температуре Т = 300АТ отношение ha>0 /(кТ) я 6 и, соответственно, 'V|p p.|(J « 1.

Следовательно, вторым слагаемым в фигурных скобках в (1) можно пренебречь и заменить множитель в первом слагаемом единицей.

Кроме того, в случае оптических фононов = hD] !(2po\L2), где D0-

константа взаимодействия с оптическими фононами. Таким образом, формула (1) для оптических фононов примет вид:

(2)

/

Я

К

О

~кТ

\

Здесь () = 1ко„ /(кТ), V, = кТО^ /(4у2г рси,/12). При значениях параметров Д, «1,4-10"эВ/см, Г = ЗООЛГ, получаем уо «2,67-10"с1.

Численное моделирование методом Монте-Карло показало [А2], что предсказанный в работе [1] эффект выпрямления поперечного тока имеет место только при учете неупругих столкновений электрона с нерегулярностями кристаллической решетки. Если оптические фононы выключались из рассмотрения, и моделирование проводилось только с использованием в качестве рассеивателей акустических фононов, то средний по времени ток, перпендикулярный постоянному электрическому полю, отсутствовал, что говорит о том, что простейший член столкновений в приближении постоянной частоте столкновений учитывает и неупругие механизмы рассеяния, необходимые для возникновения эффекта:

(л)=./осо8(р+«)> (3)

где <р - сдвиг фаз компонент эллиптически поляризованной электромагнитной волны, а = -агс!1в;^т( А2 - Я^)Л^') зависит от частоты волны и некоторых констант Л,,Л2,Я3, зависящих от параметров среды и частоты электромагнитной волны.

Рисунок 2 - Зависимость среднего значения плотности тока (jx), поперечного к тянущему постоянному электрическому полю, от безразмерной частоты электромагнитной волны при следующих значениях ф: ф = 0 (а); ф= я/4 (Ь); ф= л/2 (с)

Рисунок 3 - Зависимость начального сдвига фазы возникновения тока от частоты электромагнитного поля а(а>)

Поведение среднего значения плотности тока зависит от частоты электромагнитной волны (рис. 2), что отличается от результатов другого аналитического расчета, проведенного в работе [1], где получалось так, что среднее значение плотности тока монотонно падает с ростом частоты. Нами же обнаружено [A4], что начальная фаза возникновения тока «, которая зависит от частоты падающей эллиптически поляризованной электромагнитной волны, монотонно возрастает (рис. 3) с ростом ее частоты. На основании изложенных выше результатов и сформулировано первое научное положение, выносимое на защиту.

В третьем разделе описаны наши результаты исследования влияния ионизации примесных центров на постоянную составляющую плотности тока в графене под действием электрического поля, когда уровень энергии их залегания находится в запрещенной зоне (рис. 4). Прежде всего, необходимо рассчитать вероятность ионизации примесных центров в графене в этом случае, а затем оценить их концентрацию. Известно, из работы Novoselova K.S., Geima А.К., Morozova S.V. с соавторами (Science, 2004) [5], что в графене определенной модификации появляется запрещенная зона, из-за чего его можно рассматривать в качестве аналога полупроводника. Поэтому с использованием квазиклассического подхода возможно теоретически

рассчитать влияние примесей в графене на возникновение и величину постоянной составляющей плотности тока, когда образец помещен в постоянное электрическое поле.

Далее нами рассмотрена вероятность ионизации примесей в графене на подложке карбида кремния при воздействии постоянного или переменного поля с энергетическим спектром щелевой модификации графена, который можно записать как в работе Zhou S.Y., Gweon G.-H., Fedorov A.V. с соавторами (Nature Materials, 2007) [6]:

£ = , (4)

где p= (px,p,) - вектор квазиимпульса, vf «10"смIс- скорость на поверхности Ферми, Д - полуширина запрещённой зоны.

Е(пр) <

Е( в ал) ■

_____V

Рисунок 4 - Энергетическая диаграмма расположения примеси: Е(пр.)- минимальная энергия электрона в зоне проводимости, Е (eai.) - максимальная энергия электрона в валентной зоне, V - энергия примеси

Для нахождения вероятности ионизации примесного центра используем квазиклассический метод описанный в работе Попова B.C. (Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1971) [7]. Вероятность ионизации примесей под действием постоянного поля, определяется полученной в результате аналитического расчета формулой:

Д2 , VA2-(A-|v|)2 (A-|v|)^-(A-H)^

(а-М) +-

W = ех р

,Е\е

(5)

где - глубина примеси, \ ~ 10" см / с - скорость на поверхности Ферми, д - полуширина запрещённой зоны, е - заряд электрона, Е - напряженность

действующего поля. Вероятность ионизации примесей под действием переменного поля также определяется полученной в результате аналитического расчета формулой:

1Г = ехр -2-

——«|Н °

Ееу, V I Д

(Ее^ ^ Дсо

агс

—Л1-Р

Ееу, V I А

1 I

Дсо

Дсо

1+

Ага

Еел>, \

(6)

(О £ет, V I д

С уменьшением глубины залегания примесных центров вероятность их ионизации возрастает. Это связано с тем, что при увеличении напряженности приложенного поля барьер уменьшается, поэтому уменьшается квазиклассическое действие, набираемое частицей при подбарьерном движении, и, следовательно, растет вероятность ионизации примесных центров [А6]. Эффект связан с релятивистским характером неаддитивного спектра графена.

Рисунок 5 - Зависимость вероятности ионизации от напряженности постоянного поля для случаев, когда отношение равно

0,1 (пунктирная кривая); 0,2 (сплошная кривая) и 0,3 (штриховая кривая)

0.9: 0.8

ж

0.7 ■

о.б;

О 0.02 0.04 0.06 0.08 И/Д

Рисунок 6 - Зависимость вероятности ионизации от глубины залегания примесей при значениях постоянного поля 3 505 (пунктирная кривая), 5 ЗОЭ (сплошная кривая) и 7 ЭйЗ (штриховая кривая)

0.35

0.30

0.25

0.20

4.0

4.5

5.0 5.5

Е. ЖГ

6.0

Рисунок 7 - Зависимость вероятности ионизации от напряженности переменного поля для случаев, когда отношение равно

0,1 (пунктирная кривая)', 0,2 (сплошная кривая) и 0,3 (штриховая кривая)

0.6 0.5 1Г 0.4 0.3 0.2

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 1Н/Д

Рисунок 8 - Зависимость вероятности ионизации от глубины залегания примесей при значениях переменного поля 4,5 505 (пунктирная кривая), 4 ВвЗ (сплошная кривая) и 5 ЗвБ (штриховая кривая)

Полученные нами зависимости (рис. 5-8) для графена качественно соответствуют подобным зависимостям для полупроводников. Этот факт еще раз подтверждает, что щелевая модификация графена может быть использована в устройствах наноэлектроники как своеобразный полупроводник.

Далее рассчитана постоянная составляющая плотности тока графена в постоянном электрическом поле с учетом ионизации примесей. При расчете использовался метод кинетического уравнения Больцмана с модельным интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука (БГК), описанный в работе Александрова А.Ф., Богданкевича JI.C., Рухадзе A.A. (М.: «Высшая школа», 1988) [8]. Нами получена зависимость плотности постоянного тока jx от напряженности электрического поля [А7] следующего вида:

(7)

ЛО = Уо— f<ft-exp(/) \q-dq-exp\--Jl + q "о 4, о V Т

1 + {q + Ft)

J\ + (q + Ft)2

Fl

Здесь п - концентрация электронов в зоне проводимости, п0 — равновесная (в отсутствие каких либо внешних воздействий) концентрация

еЕм {

электронов в зоне проводимости, ^ = —— - безразмерная напряженность

1е v

электрического поля, д - безразмерный импульс, у0 =--,

я1

I = |ехр(-—л/1 + х)ск, Е (х) и К(рс)- полные эллиптические интегралы

о ^

соответственно первого и второго рода.

Мы предполагаем [А9], что примесные центры уже находятся в графене, и концентрация носителей тока в графене совпадает с

концентрацией примесей. Вследствие этого величина постоянной составляющей плотности тока в графене увеличивается.

а

0.03 00й

,-6

0.02

0.04

0.1

Е, явг

Рисунок 9 - Зависимость плотности тока от напряженности электрического поля, где плотность тока в отсутствие примесей - (а); с учетом ионизации примесей: при условии равенства концентрации примесей N и равновесной концентрации носителей заряда по - (с!), если концентрация примесей меньше равновесной концентрации носителей заряда в два раза - (Ь), отношение концентрации примесей к равновесной концентрации носителей заряда равно 0,75 - (с)

Зависимость плотности тока от напряженности электрического поля (рис. 9), которая демонстрирует эффект насыщения, объясняется спецификой спектра носителей тока с релятивистским спектром энергии. В случае слабых полей, когда ионизация не очень сильная, происходит рост тока по стандартному линейному закону Ома (см. рис. 9). С ростом поля увеличивается количество ионизированных примесей, что, в свою очередь, приводит к росту тока насыщения. Три из представленных графиков (см. рис. 9, кривые Ь, с, с!) являются зависимостями величинами постоянной составляющей плотности тока от напряженности электрического поля при различных значениях концентрации примесей и демонстрируют пропорциональность плотности тока насыщения сумме равновесной концентрации носителей тока и концентрации примесей [А10]. На основании изложенных выше результатов и сформулировано второе научное положение, выносимое на защиту.

В четвертом разделе рассматривается двухслойный графен со спектром, взятым из работы Nilssona J., Castro Neto A.H. (Physical Review Letters, 2007) [9] в виде:

^q)«A^l-2F2|q|2+lF2|q|4j, (8)

где введены обозначения V = A/tx, q =pv//A, vr«10%см!с- скорость на поверхности Ферми, А - полуширина запрещённой зоны, t± » 0.35 эВ-интеграл перекрытия между слоями графена, р- квазиимпульс электрона. Малость значений импульса означает выполнение условий |q| « 1 / V и V « 1. Достоинством выражения (8) при изучении явлений, связанных с неаддитивностью спектра, является простота вычислений, недостатком -сравнительно узкие границы применимости по значениям температуры (30 .К" <Т <70 К, ограничение снизу связано с использованием классической статистики) и напряженностей полей (Et,E2 ~0.1 ед.СГСЭ).

В той же модификации графена нами рассмотрено [Al] влияние перпендикулярного поверхности образца постоянного магнитного поля напряженностью H на взаимное выпрямление переменных токов (рис. 10), индуцированных падающими на образец электромагнитными волнами, поляризованных в одной плоскости, а векторы напряженности электрических полей при этом сонаправлены.

Рисунок 10 - Геометрия задачи, когда на образец падают две электромагнитные волны, которые поляризованы в одной плоскости, а постоянное магнитное поле перпендикулярно поверхности образца. Здесь Е1 = Еюсоз(су,Е2 = Е2а соъ(со21 + <р) -напряжённости электрических полей падающих волн 18

Определяем постоянную составляющую плотности тока вдоль оси Оу. Для этого неравновесную функцию распределения /(ц,9) находим [АЗ] из решения кинетического уравнения Больцмана в приближении постоянной частоты столкновений V:

+мв^И=-г[/мь/0(Ч)]

дв oq > (9)

где и = —2); , к = |^сов(б0)>^со8(<9 + $»)>о| - безразмерная

напряжённость электрического поля, К = {0,0,/г} - безразмерная напряжённость магнитного поля = еЕЮ20 уЕ/(а>12А},Я = 2еНу/2А/а>2&12, Ч = А), в = со^, Ь = щ/ со2, у = у/ щ. Решение уравнения (9) имеет вид:

/(Ч>0) = у И ехр(-г(0 - 0, ))/,(*■ (О^ъО)), (10)

где компоненты q^{0[^,(\,0) представляют собой решения классических уравнений движения:

^ = ^ сов^,)+у со<0- + ^ + Я?,, (- 2 +|2), ^ = -КЯи (- 2 +1?|2)

с начальными условиями: в,=в, д, = д. Далее рассматриваем случай, когда Р,, Р2«1; Полагая характерные значения д~1, решаем

уравнения движения итерациями по безразмерному магнитному полю Я. Равновесную функцию распределения выбираем в форме функции распределения Больцмана, как в работе [8]. В первом неисчезающем приближении по напряженностям приложенных полей постоянная составляющая плотности тока в направлении, перпендикулярном плоскостям поляризации падающих волн, возникает в графене только в присутствии магнитного поля при двух отношениях частот падающих волн: Ь = 2 и ¿ = 1/2. В результате наших теоретических расчетов [А5] получено следующее выражение для поперечной поверхностной плотности тока:

Л = ]ХСи сов<р+Спвт<р)^2Е2 ЯЗЬ2 + соэ2<р+С22 вт2<р)Р1Р2ЯЗьи2, (11)

19

в котором введены обозначения j0 = evfn^l42Vvl^'2y,IT')irin (l + erf^lV' /Г'))) и T'=T/tL, а громоздкие выражения для Gn, Gn, G2], G22 - величин, полученных в результате интегрирования некоторых исходных выражений (рис. 11), здесь не приводятся, а в диссертации имеются. При значениях ЕьЕ2~0Л SGS, Н~ 102 Э, al,o)1~ 10'2 с1, v~10" с"1, Т = 50К, V = 0.25 плотность тока jy ~ ХО^А/см, что соответствует пространственной плотности тока jrs и 103 А/м2. Известно из работы Ohta Т., Bostwick А.,

Seyller Т. с соавторами (Science, 2006) [10], что такие значения плотности тока достижимы в двухслойном графене при температурах порядка 30 К.

0.2 G22 0.3 ....... U.-1 й.5

-2000 ..--"Gn"

-4000

-600*0

-Э'000 I

Рисунок 11 - Зависимости величин (?,у от безразмерной частоты столкновений у при параметре V = 0.25, связанным с полушириной запрещенной зоны

Коэффициенты ,, Оп растут с увеличением частоты столкновений, а коэффициенты Оп,Ог1 на этом интервале частот уменьшаются (рис. 11). Постоянная составляющая плотности тока из выражения (11) зависит от значений напряженностей электрического и магнитного полей. Нами было обнаружено [А8], что численные значения электрического и магнитного полей влияют качественно на эффект выпрямления постоянной составляющей тока. Если напряженность магнитного поля равна нулю, то эффект выпрямления постоянной составляющей плотности тока пропадает, но сохраняется по выражению (11) зависимость плотности постоянного тока

от напряженностей электрических полей в третьей степени, что обусловлено

20

неаддитивностью энергетического спектра графена. На основании изложенных выше результатов и сформулировано третье научное положение, выносимое на защиту.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы:

1. Выявленный численным моделированием эффект выпрямления поперечного тока в графене позволяет найти значение сдвига фаз между составляющими электромагнитной волны с эллиптической поляризацией.

2. Прямым численным моделированием было обнаружено, что превалирующим каналом рассеяния для возникновения тока, перпендикулярного к постоянному электрическому полю, является канал рассеяния на оптических фононах.

3. Поперечный ток зависит от сдвига фаз <р составляющих эллиптически поляризованной электромагнитной волны и некоторой постоянной - а , являющейся функцией частоты волны, как соз(ф + а), а не со^ф), как показывают расчеты с использованием модельных столкновительных членов кинетических уравнений.

4. Вероятность ионизации примесного центра в щелевой модификации графена как для случая воздействия постоянного, так и для случая переменного электрического поля, в области квазиклассически сильных значений, носит резкий экспоненциальный характер и больше для примесей с меньшей глубиной залегания.

5. Плотность тока насыщения, рассчитанная с учетом процессов ионизации примесных центров, увеличивается пропорционально сумме равновесной концентрации носителей заряда и концентрации примесей.

6. В графене на поверхность которого нормально падают две электромагнитные волны с параллельными плоскостями поляризации и частотами, отношение которых равно двум, под влиянием постоянного магнитного поля, возникает постоянная составляющая тока в направлении перпендикулярном плоскости поляризации волны.

7. Появление продольного тока в условиях воздействия магнитного поля обуславливает возникновение холловского тока в направлении, перпендикулярном плоскостям поляризации падающих волн.

Список цитируемой литературы

1. Завьялов, Д. В. О возможности эффекта выпрямления поперечного тока в графене / Д. В. Завьялов, С. В. Крючков, Э. В. Марчук. // Письма в «Журнал технической физики». - 2008. - Т. 34. - Вып. 21. - С. 21- 26.

2. Хокни, Р. Численное моделирование методом частиц / Р.Хокни, Дж. Иствуд. - М.: Мир, 1987. - 639 с.

3. Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь. - М.: Наука, 1973.-313 с.

4. Vasko, F.T. Photoconductivity of anintrinsic graphene / F.T. Vasko, V. Ryzhii // Physical Review Letters. - 2008. - V. 1. - P. 3476.

5. Novoselov, K.S. Electric field effect in atomically thin carbon films / K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, et al. // Science. - 2004. - V. 306. -P. 666-669.

6. Zhou, S.Y. Substrate-induced band gap opening in epitaxial graphene / S.Y. Zhou, G.-H. Gweon, A.V. Fedorov, P.N. First, W.A. de Heer, D.-H. Lee, F. Guinea, A.H. Castro Neto, A. Lansara // Nature Materials. - 2007. - V. 6. -P. 770-775.

7. Попов, B.C. Рождение пар в переменном внешнем поле (квазиклассическое приближение) / B.C. Попов // ЖЭТФ. — 1971. — Т. 61. — №.4.-С. 1334-1351.

8. Александров, А.Ф. Основы электродинамики плазмы / JI.C. Богданкевич, А.А. Рухадзе. - М.: Высшая школа, 1988. - 424 с.

9. Nilsson, J. Impurities in a biased graphene bilayer / J. Nilsson, A.H. Castro Neto // Physical Review Letters. - 2007. - V. 98. - P. 126801.

10. Ohta, T. Controlling the electronic structure of bilayer grapheme / T. Ohta, A. Bostwick, T. Seyller, et al. // Science. - 2006. - V. 313. - P. 951-954.

Список основных публикаций автора

А1. Завьялов, Д.В. Влияние магнитного поля на взаимное выпрямление переменных токов в графене / Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Т.А. Носаева // Известия ВолгГТУ. -2012.-Т. 6,- №. 6. - С. 25 - 29.

А2. Zav'yalov, D. V. Effect of rectification of current induced by an electromagnetic wave in graphene: A numerical simulation / D.V. Zav'yalov, S.V. Kryuchkov, ТА. Tyulkina* // Semiconductors. - 2010. - Vol. 44. - №. 7. -P. 879- 883.

A3. Konchenkov, V. I. Mutual rectification of alternating currents in graphene in the field of two electromagnetic waves / V.I. Konchenkov, D. V. Zav'yalov, S. V. Kryuchkov, T. A. Nosaeva // Physics of Wave Phenomena. -2013,- V. 21. — № 1,-P. 56-61.

A4. Завьялов, Д.В. Численное моделирование эффекта возбуждения поперечного тока в графене в условиях воздействия эллиптически поляризованной электромагнитной волны / Д.В. Завьялов, С.В. Крючков, Т.А. Тюлькина* // Труды XIX Международного совещания «Радиационная физика твёрдого тела» (Севастополь, 31 августа - 5 сентября 2009 г.) - М.: НИИПМТ.-С. 176- 178.

А5. Носаева, Т.А. Взаимное выпрямление переменных токов в графене под влиянием магнитного поля / Т.А. Носаева, С.В. Крючков // XV Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, 9-12 нояб. 2010 г. - Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2011 - Вып. 5. (Физика и математика.) - С. 15 - 18.

А6. Тюлькнна, Т.А. Ионизация короткодействующих примесей в графене / ТА. Тюлькина*, С.В. Крючков // XIV Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, 11-13 нояб. 2009 г. -Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010. - Вып. 4. (Физика и математика.) -С. 51 -55.

А7. Завьялов, Д.В. Проводимость графена с учетом ионизации примесей / Д.В. Завьялов, C.B. Крючков, Т.А. Носаева // Информационные и математические технологии в образовании, технике, экономике и управлении: сборник научных трудов. - Волгоград: информресурс, 2011. -С. 107- 114.

А8. Носаева, Т.А. Взаимное выпрямление переменных токов в графене под влиянием магнитного поля / Т.А. Носаева, C.B. Крючков // Сборник тезисов, материалы Семнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-17, Екатеринбург): материалы конференции, тезисы докладов. — Екатеринбург: издательство АСФ России, 2011. - С. 138 - 139.

А9. Завьялов, Д.В. Влияние ионизации примесей на проводимость графена / Д.В. Завьялов, C.B. Крючков, Т.А. Носаева // Десятая региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование»: Тезисы докладов. 1-3 ноября 2011 года. Владивосток, 2011. - С. 63 - 64.

А10. Носаева, Т.А. Воздействие ионизации примесей на проводимость графена / Т.А. Носаева, C.B. Крючков // Сборник тезисов, материалы Восемнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-18, Красноярск): материалы конференции, тезисы докладов. - Красноярск: Изд-во АСФ России, 2012. - С. 154 - 156.

Примечание: * Фамилия «Тюлькина», «Tyulkina» - девичья фамилия Носаевой Т.А.

Сдано в набор 21.02.2014. Подписано в печать 21.02.2014. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 0,8. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 2102/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru