Влияние флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивных антенных решёток тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Влияние флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивных антенных решёток с градиентными алгоритмами настройки.

1.1. Постановка задачи пространственной обработки сигналов в адаптивной антенной решётке с ограничениями.

1.2. Использование методов теории возмущений для статистического анализа характеристик ААР.

1.3. Корреляционные характеристики выходного сигнала ААР с учётом флуктуаций весового вектора.

1.4. Нахождение корреляционной функции флуктуаций весового вектора. Теоретическое и модельное исследование одномоментных статистических характеристик ААР.

1.5. Теоретическое и модельное исследование спектральных характеристик выходного сигнала ААР.

1.6. Анализ влияния флуктуаций весового вектора на диаграмму направленности адаптивной антенной решётки.

1.7. Флуктуации весовых коэффициентов в ААР с непрерывными градиентными алгоритмами.

1.8. Выводы.

Глава 2. Анализ статистических характеристик адаптивных антенных решёток с быстрыми алгоритмами настройки на основе обращения выборочной оценки корреляционной матрицы входных сигналов.

2.1. Вывод итеративного алгоритма обращения выборочной оценки корреляционной матрицы для ААР с многократными линейными ограничениями.

2.2. Статистический анализ характеристик ААР с быстрым итеративным алгоритмом настройки.

2.3. Корреляционные характеристики выходного сигнала ААР.

2.4. Теоретическое и модельное исследование одномоментных статистических характеристик ААР.

2.5. Анализ спектральных характеристик ААР.

2.6. Теоретическое и экспериментальное исследование диаграммы направленности ААР.

2.7. Исследование ААР, использующей алгоритм прямого обращения выборочной корреляционной матрицы.

2.8. Выводы.

Глава 3. Сравнительный анализ сходимости и флуктуаций в градиентном и быстром алгоритмах настройки адаптивных антенных решёток. 3.1. Сравнительный анализ скорости сходимости весового вектора в градиентном и быстром рекуррентном алгоритмах.

3.2. Анализ сходимости выходной мощности ААР. «Кривые обучения».

3.3. Сравнение флуктуаций весового вектора в быстром рекуррентном и градиентном алгоритмах в стационарном состоянии.

3.4. Выводы.

В современной статистической радиофизике активно развивается научное направление, связанное со статистическим анализом адаптивных антенных решёток (ААР) - адаптивных систем, используемых для пространственной фильтрации сигналов в изменяющейся помеховой обстановке. Отличительная особенность адаптивных антенн по сравнению с обычной (неадаптивной) антенной системой [1,2] состоит в том, что в процессе работы они могут автоматически изменять свои параметры (или даже структуру)?"приспосабливаясь" к априори неизвестным или изменяющимся условиям функционирования [3,4]. Среди самых первых работ, посвященных статистическому анализу ААР, можно отметить статьи [5,6], ставшие уже классикой данного научного направления. В них описана наиболее общая схема адаптивной антенной решётки, а именно, ААР с многократными линейными ограничениями, и изложены некоторые методы статистического анализа таких систем. Основополагающие результаты по общей теории адаптивных антенн были изложены в ряде монографий [7-18]. Наиболее полное изложение методов расчёта стационарных режимов работы ААР дано в работах А. А. Пистолькорса и О. С. Литвинова [19-25].

Под статистическим анализом ААР в данной работе мы будем понимать нахождение их характеристик с учётом флуктуаций адаптируемых (автоматически настраиваемых) параметров. Флуктуации адаптируемых параметров вызываются как внешними, так и внутренними случайными возмущениями и их величина зависит от алгоритма настройки антенной решётки. Статистический анализ ААР позволяет корректно определять предельную точность настройки адаптивных систем, степень подавления помех, количественно оценивать искажения полезного сигнала, возникающие из-за флуктуаций адаптируемых параметров.

Повышение скорости и точности настройки адаптивных систем являются задачами, имеющими большое практическое значение, поскольку высокая скорость адаптации и достигаемая при этом высокая точность характеризуют успешность применения таких систем. Однако, увеличение скорости настройки приводит к большим флуктуациям весовых коэффициентов и, следовательно, снижает точность настройки в стационарном режиме работы. Поэтому изучение флуктуаций весового вектора даёт разработчикам возможность реализовывать антенные решётки с наилучшим балансом характеристик скорость - точность настройки.

Несмотря на очевидную актуальность решения такого типа задач, статистическая теория ААР в настоящее время далека от своего завершения. Это связано с тем, что процесс настройки адаптируемых весовых коэффициентов описывается стохастическими дифференциальными (или разностными для дискретных алгоритмов) уравнениями, которые в качестве коэффициентов содержат некоторые функции от входных сигналов, помех и внутренних шумов системы. Сложность анализа таких систем уравнений с сильно флуктуирующими случайными коэффициентами общеизвестна [26-28]. Общепринятые приближения «белого шума» (некоррелированности входного сигнала) и гауссовости флуктуаций оказываются слишком грубыми и приводят в ряде случаев даже к появлению качественно противоположных эффектов.

Кратко остановимся на основных работах, посвященных исследуемому в диссертации вопросу. В начале 70-х годов появились первые работы, в которых проводился анализ ААР с градиентными алгоритмами. Одной из первых работ, посвященных статистическому анализу аналоговых адаптивных систем с учётом флуктуаций весового вектора является статья [29]. В ней методами теории возмущений было впервые проведено статистическое исследование ААР, максимизирующей отношение сигнал/шум (ААР МОСШ). Однако, в работе было использовано предположение о статистической независимости флуктуаций весовых коэффициентов и входных сигналов и несмотря на корректное применение борновского приближения к расчёту самих флуктуаций весовых коэффициентов, это привело к пренебрежению членами одного порядка малости с оставленными, и авторы сделали неверный вывод об увеличении мощности помех на выходе ААР из-за флуктуаций весового вектора.

Аналогичного типа ошибки неоднократно повторялись и в последующих работах. Так в статье [30] анализ многоканальной адаптивной системы с корреляционными обратными связями проводился автором для непрерывного алгоритма настройки в предположении статистической независимости флуктуаций весового вектора с вектором входных сигналов. Было получено, что учёт флуктуаций весовых коэффициентов в этом приближении приводит к появлению дополнительной ошибки и увеличению остаточной мощности на выходе системы.

В ряде работ предлагали другие методы статистического анализа адаптивных систем с непрерывными алгоритмами настройки. Например, интересная и поучительная попытка была сделана в работе [31]. Для нахождения статистических характеристик выходного сигнала автор использовал хорошо развитую технику гауссов-ской аппроксимации по марковской совокупности переменных: вектор весовых коэффициентов - входные сигналы (с учётом их статистической зависимости). Однако, результаты этой работы показали, что этот метод не только не позволил найти нужные статистические характеристики, но даже не дал возможности оценить дисперсии флуктуации весовых коэффициентов (в данном приближении в стационарном режиме работы они оказались стремящимися к нулю). Это наглядно продемонстрировало, что если при статистическом анализе данного класса адаптивных систем использовать предположение о совместном гауссовском вероятностном распределении, то корректно учесть флуктуации весового вектора невозможно. Такое предположение является слишком сильным упрощением для анализа данной задачи.

В статье [32] для ААР МОСШ с непрерывным градиентным алгоритмом первого порядка был получен точный качественный результат, который показал, что в этой системе флуктуации коэффициентов могут привести только к уменьшению остаточной мощности помех на выходе ААР. Однако, автору не удалось получить количественных оценок эффекта "перекомпенсации". (Эффект уменьшения мощности выходного сигнала адаптивной системы при учёте флуктуаций весового вектора по сравнению с мощностью выходного сигнала при постоянных оптимальных весовых коэффициентах мы сейчас и далее будем называть эффектом "перекомпенсации").

Первой работой, в которой впервые корректно было количественно учтено влияние флуктуаций в одноканальном компенсаторе помех, стала статья [33]. Использованный в ней для анализа аппарат вариационных производных позволил рассмотреть "не белые" входные воздействия и учесть тем самым корреляцию помех и управляющих напряжений (весовых коэффициентов).

В дальнейших работах о влиянии флуктуаций весовых коэффициентов на статистические характеристики аналоговых адаптивных систем были выявлены те причины, из-за которых эффект "перекомпенсации" имеет место, а именно: наличие статистической зависимости между вектором флуктуаций весовых коэффициентов и вектором входных сигналов (предположение о неравенстве нулю кумулянтной функции третьего порядка) и конечное время корреляции входных сигналов [34-43].

Так в работе [41] было показано, что корректный статистический анализ данной задачи связан с учётом негауссовской статистической зависимости вектора весовых коэффициентов и вектора входных сигналов. На основании этих выводов было обнаружено, например, что в ААР с непрерывными градиентными алгоритмами настройки флуктуации весовых коэффициентов приводят к уменьшению суммарной мощности на выходе, т.е. к появлению эффекта "перекомпенсации".

Отдельно стоит работа [44], в которой рассматривается влияние на характеристики адаптивной антенной решётки быстрых флуктуаций параметров входных нерегулируемых элементов системы (случайного движения элементарных приёмников, изменения коэффициента усиления антенно-фидерного тракта), которые не были вызваны флуктуациями адаптируемых параметров. Было показано, что ААР более чувствительны к таким флуктуациям, чем обычные неадаптивные решётки.

Среди работ, посвященных исследованию влияния флуктуаций весового вектора на характеристики адаптивных систем с различными алгоритмами настройки, особое место занимают диссертационные работы [45-48]. Так в кандидатской диссертации О. В. Музычука [45] проводился статистический анализ стохастических систем с сильными флуктуациями параметров, а в работе Позументова И. Е. [46] были найдены статистические характеристики адаптивных антенных решёток с ограничениями, настраивающихся по непрерывным градиентным алгоритмам: среднее значение и матрица ковариации вектора весовых коэффициентов, суммарная мощность выходного сигнала ААР и выходное отношение сигнал/помеха. Анализ проводился с учётом конечного времени корреляции полезного сигнала, помехи и собственных шумов элементов решётки. Автором было показано, что дисперсия флуктуаций компонент вектора весовых коэффициентов уменьшается по сравнению с ААР без ограничений в соответствии с числом наложенных линейно - независимых ограничений, обеспечивающих нужную частотную характеристику ААР в заданном направлении.

В докторской диссертации А. А. Мальцева [47] были разработаны точные и приближённые методы статистического анализа адаптивных систем с непрерывными градиентными алгоритмами настройки, позволяющие корректно рассчитывать флуктуации весовых коэффициентов и учитывать их влияние на статистические характеристики таких систем. В отличие от известных методов при этом не делается предположений о статистической независимости или гауссовости совместного распределения вектора весовых коэффициентов и вектора входных сигналов.

В докторской диссертации О. В. Музычука [48] были разработаны методы анализа линейных и нелинейных стохастических систем. Так, например, в данной работе представлен кумулянтный подход к вероятностному описанию линейных стохастических систем, а также метод матричных цепных дробей для нахождения статистических моментов выходного сигнала квазилинейных непрерывных стохастических систем, находящихся под воздействием интенсивных случайных сил. Приведённые в диссертации методы позволяют проводить статистический анализ не только линейных, но и нелинейных стохастических систем, подверженных интенсивным случайным воздействиям.

Внедрение в практику научных исследований электронно-вычислительных машин и сигнальных процессоров, реализующих различные адаптивные алгоритмы обработки цифровых сигналов, привело к тому, что появился ряд работ, посвященных статистическому анализу адаптивных систем с различными дискретными алгоритмами настройки. В одной из первых подобных работ [49] при рассмотрении антенной решётки с дискретным градиентным алгоритмом настройки, минимизирующей средний квадрат ошибки (ААР МСКО), был сделан вывод об увеличении мощности выходного сигнала ААР из - за флуктуаций весовых коэффициентов, названный автором эффектом «недорегулированности» системы (misadjustment). Именно из-за этого результата аналогичные выводы в работах других авторов о влиянии флуктуаций весового вектора на характеристики выходного сигнала адаптивных систем воспринимались как правильные и "физически понятные".

Аналогично и в целом ряде других работ был сделан тот же вывод об увеличении мощности сигнала на выходе ААР из - за флуктуаций весового вектора [17, 50-55]. Во всех этих работах при статистическом анализе характеристик ААР подразумевается статистическая независимость вектора входных сигналов и текущих значений весового вектора. Это основное предположение строго доказывается, если последовательные во времени выборочные значения входных сигналов независимы и поэтому может быть обосновано только для дискретных адаптивных систем, в которых настройка осуществляется по достаточно редким выборочным значениям входных сигналов.

Однако предположение о статистической независимости отсчётов входных сигналов заведомо не выполняется, когда на адаптивную систему воздействуют мощные узкополосные (по сравнению с полосой полезного информационного сигнала) помехи, поскольку их близкие отсчёты будут заведомо сильно коррелированы. Заметим, что учёт даже "удобной" модельной статистической зависимости выборочных значений входных процессов существенно усложняет задачу анализа адаптивных систем с дискретными алгоритмами, в силу чего ранее делались только асимптотические оценки их простейших статистических характеристик [56].

Постепенно в рамках исследования вопроса о влиянии флуктуаций адаптируемых параметров на статистические характеристики адаптивных систем стали появляться экспериментальные и теоретические результаты, в которых наряду с избыточным шумом на выходе, был обнаружен эффект подавления полезного сигнала на выходе адаптивной системы в присутствии внешних мощных квазигармонических помех и для ААР с дискретными градиентными алгоритмами настройки [57-60].

Дальнейшее развитие адаптивных систем связано с использованием цифровых процессоров, позволяющих реализовывать так называемые быстрые алгоритмы настройки, которые обладают большой скоростью сходимости в сложной помехо-вой обстановке, но и требуют больших вычислительных затрат и поэтому раньше не применялись. В монографиях [16-18] излагаются основы построения быстрых алгоритмов и их представления, удобные для реализации на цифровом процессоре. Анализу характеристик ААР с быстрыми алгоритмами посвящено всего несколько работ [61-63].

В первой статье, опубликованной ещё в 1974 году [61], для адаптивной системы, работающей по критерию МОСШ, с алгоритмом прямого обращения выборочной корреляционной матрицы исследовалось, как влияет замена истинной корреляционной матрицы её оценкой на различные статистические характеристики системы. Авторами найдено нормализованное отношение сигнал/шум (ОСШ) в предположении, что оценка весового вектора, полученная на основе выборочной корреляционной матрицы, фиксирована. Данное отношение, нормализованное на верхнюю границу ОСШ, показывает, что имеет место уменьшение точности настройки адаптивной антенными качество её работы зависит от того, насколько близка выборочная оценка ковариационной матрицы к истинной ковариационной матрице.

В работе [62] дан статистический анализ адаптивной антенной решётки с многократными линейными ограничениями, в которой для оценивания корреляционной матрицы также используется её выборочная оценка. Возникающие при этом флуктуации весового вектора (в алгоритме непосредственного обращения матрицы) приводят к тому, что среднее значение выходной мощности (при использовании выборочной оценки корреляционной матрицы) меньше, чем выходная мощность, рассчитанная при использовании истинной корреляционной матрицы, т.е. имеет место эффект "перекомпенсации" мощности. Статья [63] является развитием предыдущей работы. В ней уточняется полученное в [62] отношение сигнал/шум, а затем данное отношение вычисляется для формирователя лучей, использующего рекурсивную схему настройки весового вектора. Авторы показали, что выходное отношение сигнал/шум, средний квадрат ошибки обеих изучаемых систем зависят от объёма выборки входных данных и числа степеней свободы (числа адаптируемых весовых коэффициентов за вычетом числа ограничений).

Таким образом, представляется актуальным проведение подробного сравнительного анализа наиболее общих схем адаптивных антенных решёток с ограничениями, использующих различные алгоритмы настройки, с учётом флуктуаций весового вектора. Этому вопросу и посвящена данная диссертация. •

Цель работы. В соответствии с рассмотренным состоянием вопроса, при проведении исследования влияния флуктуаций весового вектора на статистические характеристики ААР в диссертации были поставлены следующие цели:

• изучить влияние флуктуаций весовых коэффициентов на статистические характеристики наиболее общей схемы ААР с линейными ограничениями с градиентными и быстрыми алгоритмами настройки;

• провести сравнительный анализ изучаемых алгоритмов по критерию «скорость настройки - точность настройки» с учётом флуктуаций весового вектора;

• проверить результаты теоретического анализа для антенных решёток, настраивающихся по градиентным и быстрым алгоритмам, методами компьютерного моделирования.

Методы исследований. При решении поставленных задач использовались методы статистической радиофизики, теории адаптивных систем управления, теории матриц. Для компьютерного моделирования использовалось программирование на языке Visual Basic 3.0 и программирование в среде MatLab 4.0 - 5.0.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Проведено детальное исследование влияния флуктуаций весового вектора на характеристики адаптивных антенных решёток с многократными линейными ог раничениями, настраивающихся по градиентным и быстрым алгоритмам.

2. Найдены выражения для мощности и спектральной плотности мощности выходного сигнала антенных решёток, вид корреляционной матрицы флуктуаций весового вектора и флуктуационная диаграмма направленности для ААР с градиентными и быстрыми адаптивными алгоритмами. Количественно изучена зависимость эффекта «перекомпенсации» от величины коэффициента адаптации, а также от времени корреляции входных сигналов. 3. Методом компьютерного моделирования показана справедливость полученных теоретических результатов для дискретного градиентного алгоритма, а также для алгоритмов непосредственного и итеративного обращения выборочной корреляционной матрицы входных сигналов.

Практическая ценность. Полученные в диссертации экспериментальные и теоретические результаты представляют интерес для ряда научно - исследовательских учреждений, занимающихся разработкой радио- и гидроакустических адаптивных антенных решёток, а также в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой подобных систем, таких как институт прикладной физики РАН (ИПФРАН, г. Нижний Новгород), Нижегородский институт радиотехники (НИИРТ, г. Нижний Новгород), научно - производственное объединение "Полёт" (НПО "Полёт", г. Нижний Новгород). Некоторые результаты работы использованы при чтении спецкурсов для студентов, специализирующихся в области статистической радиофизики.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и трёх приложений.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Найдено аналитическое выражение для стационарного решения усреднённого уравнения дискретного градиентного и быстрого рекуррентного алгоритмов.

2. На основе работ предшественников [47,60] был разработан и успешно применён математический аппарат нахождения статистических характеристик ААР с многократными линейными ограничениями в присутствии флуктуаций весового вектора, использующий методы теории возмущений.

3. Корректный статистический анализ адаптивных систем в присутствии флуктуаций весовых коэффициентов связан с обязательным учётом негауссовской статистической зависимости весового вектора и вектора входных сигналов.

4. Расчёт статистических характеристик в первом, так называемом «борновском», приближении позволяет точно учесть эффекты, возникающие из-за флуктуаций весового вектора в процессе настройки ААР. Статистические характеристики, найденные во втором и следующих приближениях, имеют второй порядок малости, по сравнению с борновским приближением, и могут не учитываться при статистическом анализе.

5. В первом приближении были рассчитаны спектрально-корреляционные характеристики и мощность выходного сигнала узкополосных антенных решёток, найден вид корреляционной матрицы флуктуаций весового вектора и флуктуацион-ной диаграммы направленности ААР, настраивающихся по градиентным и быстрому рекуррентному алгоритмам. В качестве примера для дискретного градиентного и быстрого рекуррентного алгоритмов была найдена флуктуационная диаграмма направленности адаптивной антенной решётки с однократным линейным ограничением.

6. Изучение влияния флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивных антенных решёток показало, что алгоритм настройки антенной решётки качественно и количественно определяет те изменения, которые вносят флуктуации в работу ААР.

7. Мощность выходного сигнала узкополосной адаптивной антенной решётки с дискретными алгоритмами настройки под влиянием флуктуаций весовых коэффициентов может изменяться, увеличиваясь при некоррелированных входных сигналах (misadjustment), и, уменьшаясь при больших значениях коэффициентов автокорреляции между отсчётами входных сигналов (эффект «перекомпенса ции»), по сравнению со значениями, полученными при постоянном стационарном весовом векторе.

8. В адаптивных антенных решётках, настраивающихся по непрерывным градиентным алгоритмам, из-за влияния флуктуаций весового вектора имеет место только эффект «перекомпенсации». Эффект misadjustment в ААР с непрерывными градиентными алгоритмами отсутствует.

• 9. В случае прихода на адаптивную антенну мощной и узкополосной, по сравнению с сигналом, помехи для обоих алгоритмов имеют место искажения спектра выходного сигнала антенной решётки, состоящие в его уширении и провале на частотах действия мощной помехи, откуда следует, что в спектральной области также имеет место эффект «перекомпенсации».

10. Анализ собственных значений корреляционной матрицы флуктуаций весовых коэффициентов показал, что флуктуации весового вектора изотропны (одинаковы во всех направлениях в подпространстве ограничений пространства весовых коэффициентов) в адаптивной антенной решётке, настраивающейся по дискретному градиентному алгоритму. В случае антенной решётки с итеративным алгоритмом обращения выборочной корреляционной матрицы флуктуации минимальны в направлении помехи и имеют примерно одинаковый уровень во всех остальных направлениях подпространства ограничений. В направлении ограничений флуктуации отсутствуют в обоих алгоритмах.

11. Флуктуационная диаграмма направленности узкополосной антенной решётки с однократным линейным ограничением, настраивающейся по любому из изученных алгоритмов, в направлении полезного сигнала равна нулю из-за накладываемых на адаптивную антенну ограничений. Флуктуационная ДН ААР с быстрым рекуррентным алгоритмом имеет также минимум в направлении помехи.

12. Компьютерное моделирование подтвердило результаты теоретического анализа и показало, что флуктуации весового вектора вносят искажения в выходной сигнал антенной решётки и ухудшают точность её настройки.

13. Для уменьшения влияния эффекта «перекомпенсации» в практической работе необходимо оптимальным образом подбирать параметры настройки адаптивных антенных решёток. Подбор параметров настройки проводится на основе учёта эффективной мощности входных сигналов и величины коэффициента корреляции между их отсчётами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Содин Л. Г., Могульский Е. 3. Статистические характеристики флуктуаций поля дальней зоны антенны - решётки // Радиотехника и электроника, 1965. т. 10. N4. С. 603 - 609.

2. Шифрин Я. С. Вопросы статистической теории антенн. М.: Советское радио, 1970.• 3. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.

3. Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970.

4. Фрост О. Алгоритм линейно ограниченной обработки сигналов в адаптивной решётке // ТИИЭР, 1972. т. 60. N8. С. 5 - 16.

5. Appelbaum S. P., Chapman D. J. Adaptive arrays with main beam constraints // IEEE Trans., 1976. v. AP 24. N5. P. 650 - 661.

6. Стратонович P. Л. Принципы адаптивного приёма. M.: Сов. радио, 1973.

7. Шахгильдян В. В., Лохвицкий М. С. Методы адаптивного приёма сигналов. М.: Связь, 1974.

8. Левин Б. О. Теоретические основы статистической радиотехники, кн. 3. М.: Сов. радио, 1976.

9. Ю.Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределённости и адаптация информационных систем. -М.: Сов. радио, 1977.

10. П.Фомин В. Н., Фрадков А. Л, Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1980.

11. Куропаткин П. В. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1980.

12. Срагович В. Г. Адаптивное управление. -М.: Наука, 1981.

13. М.Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981.

14. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984.

15. Монзинго Р. А., Миллер Т. У. Адаптивные антенные решётки: Пер. с англ. Под ред. В. А. Лексаченко. - М.: Радио и связь, 1986.

16. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.

17. Hudson J. Е. Adaptive array principles. IEE, 1991.

18. Пистолькорс А. А., Литвинов О. С. Введение в теорию адаптивных антенн. Стационарный режим // Радиотехника, 1979. т.34. N5. С. 7 16.

19. Пистолькорс А. А. О расчёте мощности шумов в адаптивной приёмной антенной системе // Докл. АН СССР, 1980. т. 252. N4. С. 866 869.

20. Литвинов О. С. Об оптимальном законе управления весовыми коэффициентами адаптивных антенн // Радиотехника, 1980. т. 35. N5. С. 34 37.

21. Пистолькорс А. А., Литвинов О. С. Введение в теорию адаптивных антенн. Статический режим // «Сборник научно методических статей» М., 1980. вып.4. С. 3 -29.

22. Литвинов О. С. Аналитические свойства ковариационной матрицы помех в теории приёмных адаптивных решёток // В кн.: Антенны / Под ред. А. А. Пистоль-корса, 1982. вып.ЗО. С. 65 -78.

23. Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. М.: Наука, 1978.

24. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980.

25. Кляцкин В. И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. -М.: Наука, 1975.

26. Brennan L. Е., Pugh Е. L., Reed I. S. Control-loop noise in adaptive array antennas // IEEE Trans., 1971. v. AES-7. N2. P. 254 262.

27. Фединин В. В. Статистический анализ многоканальной адаптивной системы с корреляционными обратными связями //Радиотехника и электроника, 1982. т. 27. N8. С. 1548 1553.

28. Farina A. Single sidelobe canceller. Theory and evaluation // IEEE Trans., 1977. v. AES- 13. N6. P. 690- 699.

29. Berni A. J. Weight jitter phenomena in adaptive array control loops // IEEE Trans., 1977. v. AES 13. N4. P. 355 - 361.

30. Мальцев А. А., Музычук О. В., Позументов И. Е. О статистических характеристиках системы компенсации помех с корреляционной обратной связью // Радиотехника и электроника, 1978. т. 23. N7. С. 1401 -1410.

31. Арзамасов С. Н., Малахов А. Н., Музычук О. В., Позументов И. Е. Спектрально -корреляционные характеристики одноканального автокомпенсатора помех // Радиотехника и электроника, 1979. т. 24. N3. С. 545 550.

32. Позументов И. Е. Статистические характеристики адаптивных антенных систем, максимизирующих отношение сигнал/шум // Известия вузов. Радиофизика, 1980. т. 23. N1. С. 56-60.

33. Позументов И. Е. О статистических характеристиках адаптивных антенных систем // Радиотехника и электроника, 1980. т. 25. N6. С. 1186 -1191.

34. Мальцев А. А., Позументов И. Е. Статистические характеристики адаптивных антенных решёток с ограничениями // Известия вузов. Радиофизика, 1981. т. 24. N5. С. 577 585.

35. Бочков Г. Н., Дубков А. А., Мальцев А. А. Вероятностные характеристики некоторых стохастических систем с обратными связями II Известия вузов. Радиофизика, 1981. т. 24. N8. С. 976 985.

36. Малахов А. Н., Мальцев А. А. / Тезисы докладов Всесоюзной научно технической конференции "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". - Киев, 1988. С. 12- 13.

37. Мальцев А. А. Анализ характеристик адаптивных антенных решёток с учётом быстрых флуктуаций параметров // Известия вузов. Радиофизика, 1987. т. 30. N8. С. 1013 1022.

38. Музычук О. В. Некоторые вопросы статистического анализа линейных систем с сильными флуктуациями параметров. Кандидатская диссертация. Горький: ГТУ, 1978.

39. Позументов И. Е. Анализ стохастического поведения аналоговых адаптивных систем. Кандидатская диссертация. Горький, 1982.

40. Мальцев А. А. Статистический анализ и синтез адаптивных радиоэлектронных систем // Диссертация на соискание учёной степени доктора физико математических наук. Горький, 1989.

41. Уидроу Б. и др. Стационарные и нестационарные характеристики обучения адаптивных фильтров, использующих критерий минимума СКО // ТИИЭР, 1976. т. 64. N8. С. 37-51.

42. Widrow В., McCool J. М. A comparison of adaptive algorithms based on the methods of steepest descent and random search // ШЕЕ Trans., 1976. v. AP 24. N5. P. 615 -637.

43. Rickard J. Т., Zeidler J. R. Second order output statistics of the adaptive line enhancer //IEEE Trans., 1979. v. ASSP-27.N1. P. 31-39.

44. Anderson С. M., Satorius E. H., Zeidler J. R. Adaptive enhancement of finite bandwidth signals in white Gaussian noise // IEEE Trans., 1983. v. ASSP 31. N1. P. 17 - 27.

45. Fisher В., Bershad N. J. The complex LMS adaptive algorithm transient weight mean and covariance with applications to the ALE // IEEE Trans., 1983. v. ASSP - 31. N1. P. 34 - 44.

46. Horowitz L. L., Senne K. D. Performance advantage of complex LMS for controlling narrow band adaptive arrays // IEEE Trans., 1983. v. CAS - 28. N6. P. 562 - 576.

47. Kim J. K.; Davisson L. D. Adaptive linear estimation for stationary M dependent processes // IEEE Trans., 1975. v. IT - 21. N1. P. 23 - 31.

48. Widrow B. et al. Signal cancellation phenomena in adaptive antennas: causes and cures // IEEE Trans., 1982. v. AP 30. N3. P. 469 - 478.

49. Morgan D. R. Effect of gradient noise on the adaptive cancellation of a sinusoid in white noise // IEEE Trans., 1983. v. ASSP 31. N4. P. 1043 - 1045.

50. Reed I. S., Mallet J. D., Brennan L. E. Rapid convergence rate in adaptive arrays // IEEE Trans., 1974. v. AES -10. N6. P. 853 863.

51. Van Veen B. D. Adaptive convergence of linearly constrained beamformers based on the sample covariance matrix // IEEE Trans., 1991. v. 39. N6. P. 1470 1473.

52. Krolik J. L., Swingler D. N. On the mean square error performance of adaptive minimum variance beamformers based on the sample covariance matrix // IEEE Trans., 1994. v. 42. N2. P. 445 -448.

53. Мальцев А. А., Зимина С. В. Некоторые точные результаты статистического анализа многоканальных адаптивных систем с непрерывными градиентными алгоритмами // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1999. т. 42. N9. с. 914 920.

54. Мальцев А. А., Зимина С. В. Статистические характеристики адаптивных антенных решёток // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1999. т. 42. N10. с. 1013 1024.

55. Мальцев А. А., Зимина С. В. Влияние флуктуаций весовых коэффициентов на характеристики адаптивных антенных решёток // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 2000. т. 43. N1. с. 83 -92.

56. Mal'tsev A. A., Zimina S. V. Statistical characteristics of adaptive antenna systems with discrete gradient algorithms // 6-th Saint Petersburg Symposium on Adaptive Systems Theory, Proceedings. Saint Petersburg, 1999. v. 1. p. 237.

57. Мальцев А. А., Зимина С. В. Спектрально-корреляционные характеристики выходного сигнала адаптивных антенных решёток с учётом флуктуаций весового вектора// Радиотехника и электроника. 2001. N11. с. 1350- 1355.

58. Мальцев А. А., Зимина С. В. Анализ влияния флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивной антенной решётки с линейными ограничениями // "Антенны". Сборник статей, 2000. N2. с. 60 -65.

59. Мальцев А. А., Зимина С. В. Влияние флуктуаций весового вектора на диаграмму направленности адаптивной антенной решётки // Труды четвёртой научной конференции по радиофизике 5 мая 2000 года. Нижний Новгород, 2000. с. 260 261.

60. Мальцев А. А., Зимина С. В. Диаграмма направленности .адаптивной антенной решётки, использующей алгоритм обращения выборочной оценки ковариационной матрицы // Шестая Нижегородская сессия молодых учёных. Нижний Новгород, 2001. с. 100 - 101.

61. Мальцев А. А., Зимина С. В. Влияние флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивной антенной решётки с быстрым рекуррентным алгоритмом настройки // Известия вузов. Радиофизика.

62. Lawrence J. Introduction to Neural Networks. Design, Theory and Applications. California Scientific Software, Nevada City, 1994.

63. Harvey R. L. Neural Network Principles. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1994.

64. Haykin S. Neural Networks: A comprehensive Foundation. New York: Macmillan College Publishing Company, 1994.

65. Bose N. K., Liang P. Neural Networks Fundamentals with Graphs, Algorithms and Applications. New York: McGraw-Hill, 1996.

66. Diamantaras К. I., Kung S. Y. Principal Component Neural Networks: Theory and Applications. New York: John Wiley&Sons, 1996.

67. Беллман P. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

68. Griffiths L. J., Jim С. W. An alternative approach to linearly constrained adaptive beamforming // IEEE Trans., 1982. v. AP 30. N1. P. 27 - 34.