Влияние кинетических эффектов на процессы поглощения и рассеяния электромагнитного излучения малыми проводящими частицами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

И-

Лебедев Михаил Евгеньевич

Влияние кинетических эффектов на процессы поглощения и рассеяния электромагнитного излучения малыми проводящими частицами

Специальность 01.04.02 — «Теоретическая физика»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

2 8 ОКТ 2015

Москва —2015

005563941

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетной образовательном учреждении высшего профессионального образования Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова на кафедре микроэлектроники и общей физики физического факультета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Кузнецова Ирина Александровна

Официальные оппоненты: Попов Василий Николаевич

доктор фнзико-матомлтичсских наук, доцент, заведующий кафедрой математики Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова

Русаков Олег Владимирович кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математики и физики Государственного гуманитарно-технологического университета

Ведущая организация Федеральное государственное

образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (1 осударственный университет)

Защита состоится «£г» декабря 2(И5 г. в {¿_ часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 по физико-математическим наукам на базе Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московского государственного областного университета по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10А

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10А, а также на сайте http://iiigou.iu

Электронная версия автореферата размещена на официальном сайте МГОУ www.mgou.ru и на сайте ВАК Минобрнауки РФ http://www.vak2.cd.gov.ru

Автореферат разослан »/551'-

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.155.07,

кандидат физико-математических наук, доцент

^^ Н.Н. Барайанова

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Электромагнитные, тепловые н оптические свойства малых проводящих частиц (линейным размером порядка 1-10 нм) изучаются сравнительно давно, однако до снх пор не существует общепринятого теоретического описания ряда наблюдаемых явлений, согласующегося с экспериментальными данными.

Среди причин, обуславливающих уникальные свойства малых частиц, исследователи отмечают увеличение вклада поверхностных эффектов в кинетику носителей заряда внутри частицы. Когда размер частицы становится сравнимым со средней длиной свободного пробега носителей заряда в объёмном образце, связь возникающих в частице токов и вызывающих эти токи полей становится нелокальной, вследствие чего такие оптические характеристики, как сечение поглощения и сечение рассеяния, нетривиальным образом зависят от соотношения между размером частицы и средней длиной свободного пробега носителей заряда.

В металлах с хорошей проводимостью средняя длина свободного пробега электронов при комнатной температуре составляет величину порядка 10-100 нм, в типичных полупроводниках средняя длина свободного пробега носителей заряда лежит в интервале 10-1000 нм. Современные технологии позволяют получать частицы размером порядка 1 нм. Таким образом, экспериментально достижима ситуация, когда характерная для материала образца средняя длина свободного пробега носителей заряда сравнима с размером частицы и даже меньше него. Расширяющийся спектр практических приложений таких частиц требует последовательного теоретического описания происходящих в частицах явлений (поглощения и рассеяния излучения). Одним из методов, позволяющих описывать отклик носителей заряда на внешнее электромагнитное поле (при произвольном соотношении между размером частицы и длиной свободного пробега), является кинетический расчёт.

Работа соответствует специальности 01.04.02 «Теоретическая физика» согласно пункта 1 Паспорта Специальности в части «Статистическая физика и кинетическая теория равновесных и неравновесных систем».

Цель работы: получение аналитических решений кинетических задач о поглощении и рассеянии электромагнитного излучения малыми проводящими частицами. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• аналитически решена кинетическая задача о магнитном дипольном поглощении излучения малой проводящей частицей сферической формы для граничных условий Соффера, учитывающих зависимость коэффициента зеркальности от среднеквадратичной высоты поверхностного рельефа и угла падения носителей заряда на внутреннюю поверхность частицы;

• получено аналитическое решение задачи об электрическом поглощении электромагнитного излучения малой металлической цилиндрической частицей для модели граничных условий Соффера;

• в рамках кинетической теории найдено аналитическое решение задачи о дифференциальном сечении рассеяния малой металлической частицы сферической формы, находящейся в поле плоской электромагнитной волны;

Научная новизна работы состоит в том, что впервые

1. вычислено сечение магнитного дипольного поглощения малой проводящей сферической частицы для модели граничных условий Соффера, учитывающей зависимость коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и угла падения носителей заряда на внутреннюю Гранину частицы;

2. получено аналитическое выражение для сечения электрического дипольного поглощения малой металлической частицы цилиндрической формы для кинетических граничных условий Соффера;

3. кинетическим методом получено аналитическое выражение для дифференциального сечения рассеяния малой металлической частицы сферической формы для модели смешанных диффузно-зеркальных граничных условий;

4. рассчитаны вклады магнитного дипольного и электрического дипольного моментов в дифференциальное сечение рассеяния и показано, что при определённых углах рассеяния доминирующим становится магнитное дипольное рассеяние, которое существенным образом зависит от кинетики носителей заряда в частице.

Практическая значимость

Применение наночастиц в промышленности имеет ряд приложений. Наноразмерные металлические частицы, внедрённые в диэлектрическую среду, способны в некотором диапазоне частот весьма эффективно поглощать или рассеивать электромагнитные волны. Это явление позволяет использовать материалы с внедрёнными наночастицами (керметы, специальные виды резин) для технологий радиолокационной маскировки (технология «Стелз»), Применение наночастиц металла позволяет создать лакокрасочные

материалы с заданными свойствами. Малые металлические частицы в полимерной матрице могут выступать в качестве активного элемента в прозрачных дисплеях.

Уникальные оптические свойства дисперсных систем с внедрёнными малыми проводящими частицами позволяют не только создавать новые материалы для непосредственного решения практических и экспериментальных задач, но н открывают потенциал для исследований в областях биотехнологий, материаловедения, в задачах физики космоса и физики атмосферы.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов определяется корректностью используемого математического аппарата, основанного на методах кинетической теории.

В предельных случаях (крупные частицы, низкие частоты) полученные выражения совпадают с известными результатами макроскопической теории. Научные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Решение кинетической задачи о сечении магнитного днпольного поглощения сферической проводящей частицы, учитывающее зависимости коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и от угла падения носителей заряда на границу частицы.

2. Аналитическое решение задачи об электрическом поглощении электромагнитного излучения малой металлической частицей цилиндрической формы для модели граничных условий Соффера.

3. Выражение для дифференциального сечения рассеяния малой металлической частицы сферической формы для модели смешанных диффузно-зеркальных граничных условий.

4. Угловые и спектральные характеристики дифференциального сечения рассеяния малой металлической частицы, учитывающие влияние механизма взаимодействия электронов с границей образца. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на

конференциях:

1. II International conference on modern problems in physics of surfaces and nanostructures, (Yaroslavl, 2012)

2. Международная молодёжная научно-практическая конференция «Путь в науку», секция «Микроэлектроника и нанотехнологни», (Ярославль, 2013 г.)

3. Конференция памяти профессора Юрия Ивановича Яламова «Физика конденсированных сред и дисперсных систем» (МГОУ, Москва, 23 и 25 апреля 2013 г.)

4. XI Российская конференция по физике полупроводников (XI РКФП) (Санкт-Петербург, 16-20 сентября 2013 г.)

5. Международная молодёжная научно-практическая конференция «Путь в науку», секция «Прикладная физика, микроэлектроника и нанотехно-логин», (Ярославль, 2014 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 4 статьи — в рецензируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации. Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка обозначений и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 103 страницы текста, включая 21 рисунок. Список литературы содержит 118 наименования.

Содержание диссертации. Во введении сформулированы цель и защищаемые научные положения, обозначены задачи работы, раскрыты научная новизна и практическая значимость представляемой работы, приведён обзор научной литературы по теме диссертации.

Первая глава посвящена изучению поглощения электромагнитного излучения малой сферической частицей из металла или полупроводника. В качестве кинетических граничных условий для неравновесной функции распределения электронов (дырок) используется модель Соффера.

Рассматривается малая проводящая частица сферической формы радиуса а, помещённая в поле плоской электромагнитной волны. Малой считается частица с линейными размерами много меньшими длины волны электромагнитного излучения. Диапазон допустимых частот определяется условием малости вклада плазменного резонансного поглощения в величину дисснпируемой в частице мощности: ш2 <С и>2 = Атте2п/т, где шр — частота плазменного резонанса, составляющая для металлов величину порядка 1016 с-1; е, т и п — соответственно заряд, эффективная масса носителя заряда и концентрация носителей. В рассматриваемом диапазоне частот и размеров частицы для сечения поглощения вклад токов электрической диполыюй поляризации пренебрежимо мал по сравнению с вкладом вихревых токов, возникающих под действием магнитного поля. Радиус частицы а полагаем меньше характерной глубины скин-слоя 8, что позволяет пренебречь скин-эффектом.

Однородное периодическое во времени магнитное поле волны Н = Ноехр(—iuit) индуцирует вихревое электрическое поле, которое определяется из уравнения индукции Максвелла в виде: Е = (w/2ic) • [Н0г] ехр(—iuit). Электрическое поле действует

на носитеш заряда в частице, вызывая отклонение Д их функции распределения / от равновесной функции распределения Ферми-Дирака /о:

/(Г, V) = /о(^) + Л(г, V), (1)

где предполагается стационарная зависимость неравновесной функции распределения от времени /1 ~ ехр(—шЬ), г — радиус-вектор (начало координат в центре частицы), V — скорость носителя заряда, /о(£) = 1 /(ехр((£ — ц)/к0Т) — 1) — функция распределения Ферми-Дирака, £ = ту2/2 — энергия электрона (дырки), ц — химический потенциал, ко — постоянная Больцмана, Т — температура.

Плотность вихревого тока возникающего в частице под действием поля Е, имеет вид:

Г ,2¿3(тпу) „ /тп\з Г „ ,,

где /1 — постоянная Планка.

Сечение поглощения электромагнитного излучения <т рассчитаем, разделив среднюю диссипируемую мощность (1/2) • Ле / j Е*с?3г на средний поток энергии в электромагнитной волне сЕц/8тт:

а = ^ДеI j Е^г) /(с£02/8тг). (3)

Здесь знак «*» означает комплексное сопряжение. В линейном приближении по полю Е функция /1 удовлетворяет кинетическому уравнению

в котором интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации т.

Однозначное решение поставленной задачи возможно при выборе граничного условия для неравновесной функции распределения /1(г, у). Используем модель граничных условий Соффера, учитывающую зависимость коэффициента зеркальности q от угла С между вектором скорости носителя заряда и нормалью к поверхности металла (угла падения):

|

|г| = а,

/1(г,у) = 9((;,созС)-/1(г, . , ,

г.у<0; (5)

д(С, О = ехр [-(4тгС)2 • со32с] , С =

где v' = v — 2 г (г • v)/a2 — вектор скорости, который при зеркальном отражении от внутренней поверхности частицы в точке |г| = а переходит в вектор v; q — коэффициент зеркальности, меняющийся в пределах 0 ^ q(G, С) ^ 1 и зависящий от угла падения электронов (дырок) £ и параметра шероховатости поверхности частицы G; hs — среднеквадратичная высота поверхностного рельефа, — длина волны де Бройля носителя заряда на поверхности Ферми. Как следует из (5), при углах С, близких к 7г/2, т.е. для почти скользящих к поверхности носителей заряда, отличие коэффициента зеркальности от единицы имеет вид: (1 — q) ~ cos2 Если не учитывать зависимость коэффициента q от параметров £ и G (т.е. q = const), то модель граничных условий Соффера (5) переходит в известную модель днффузно-зеркальных граничных условий Фукса.

Кинетическое уравнение (4) решается методом характеристик. Подстановка выражения для найденной неравновесной функции распределения в формулу (2) даёт:

j = E

2mv\Zo

1 DC

J J \ 1 -q(G,

L-l 0

0)exp (-zQ7])\

С)ехр(-г07?о) J

it3/2 exp(u — и ц) 2

(ехр(ц — ult) + l)2 ~ )dudP

ОС

I

.0

v}/2du

exp(w — Пц) + 1

-l

(6)

Здесь введены следующие безразмерные параметры:

va а

° V\ VlT

г>1

= х0- гу0,

rj0=^==2(v1/v)(ep2+i-e)i/2,

а

/3 = cos(vt), и = mv2/(2k0T), им = ц/(к0Т),

где V = 1/т — гш — комплексная частота рассеяния, — время движения электрона от последнего соударения до точки г со скоростью V, Т" — время пролёта между соседними соударениями. Безразмерные обратная длина свободного пробега Хо, частота поля уо и комплексная частота рассеяния 2о нормированы на характерную скорость носителей заряда «1, которая вводится следующим образом:

2 5 / , 2б?(ту) „ /т\3 [ „ „

Для случая вырожденного фермн-газа (X1 —> 0) Ух —> где ур — скорость Фермн. В другом предельном случае (Т оо) VI у/Ък0Т/т, т.е. имеет порядок средней тепловой скорости носителей заряда. Для сечения поглощения (3) получим:

2 2 4 77 Т1В а У \

а = <т0 = ——, (8)

„3/2 ,

¡¡flfa-**

0-10

„ "3/2 ехр(ы - иц) Л _ (1 -g(G,C))exp(-z0T?) (ехр(ы - ы„) + I)2 V 1 - q(G, С) ехр(-эдо)

ОС

/

Lo

dudftd^ ul'2du

exp(u — ы;1) + 1

(9)

В случае вырожденного электронного газа 1, при этом равновесная функция распределения примет вид:

ii 1 о -1

(1 - q{G, О)ехр(-ад)

1 -

1 - д(С,Оехр(-г07/о)

(Ю)

Для граничных условий Соффера (5) q(G,() = exp (-2ttGt]o)2, для граничных условий Фукса q = const, 0 < q < 1. Интеграл в (10) можно свести к однократному заменой переменных (£, j3) —¥ (p,s), где р = \/£2/32 + 1 — £2,

s = С • /3:

F{xq, уо, G) = 4yoRe < —

У)>

, (exp(—(AnGp)2) - 1)(1 - exp(—2zpp)) 20(1 - exp(-(47rGp)2) ехр(-2г0р))

dp

(И)

В другом предельном случае — сильно невырожденного полупроводника {иц —» — об) — равновесная функция распределения переходит в классическое распределение Максвелла-Больцмана. В знаменателе в формуле (9) можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой, что существенно упрощает данный интеграл. Выражение для сечения поглощения (3) преобразуется к виду:

F(x0,y0,G) =

1%о Зу^

Re

1 1 DC

J J yV(l-/3V/2exp(-u)x

x 1

(1 -q(G,C))exp{-z0r])\ 1 \

Полученный интеграл можно свести к двукратному с помощью замены переменных (4, /3) -> (р, в), где р = у/Ь/2иу/(?ф+ 1 - £2, в = у/5/2 и £ ■ /3 и последующего интегрирования по в:

^ехр '-(Wf)*

— ехр ) exp(-2zop)"j

(l - cxp(-2zop)^dpdu J. (13)

На рисунке 1 приведено сравнение безразмерного сечения поглощения F металлической частицы (11), рассчитанного для моделей граничных условий Соффера (5) и Фукса (q = const) в зависимости от параметра шероховатости поверхности G и коэффициента зеркальности q соответственно.

На рисунке 2 представлены спектральные зависимости сечения магнитного диполыюго поглощения для моделей граничных условий Соффера (5). Из графиков видно, что для металлической чястицы (11) спектральные

зависимости имеют более выраженный осциллирующий характер, чем для частицы из невырожденного полупроводника (13).

На рисунке 3 и рисунке 4 построены зависимости безразмерного сечения поглощения F от безразмерной обратной длины свободного пробега хо для металлической (11) и полупроводниковой (13) частиц соответственно. Из графиков видно, что при некотором значении хо сечение поглощения (3) имеет максимум (зависящий от параметра (3). При (3 = 0, что соответствует зеркально отражающей поверхности (кривые 3 на рисунке 3 и рисунке 4), наблюдается резонансноподобное явление: максимум поглощения достигается при совпадении безразмерной частоты поля уо с безразмерной частотой объёмных столкновений хо• Отметим, что максимальное различие зависимостей наблюдается для случая диффузного отражения (3=1 при малых значениях жо-

Рисунок 1. безразмерного металлической шероховатости

Зависимости поглощения от параметра для модели

сечения частицы

граничных условий Соффера (сплошные кривые:1;2:3;4 - у0 = 2; 1; 0.5; 0.1 соответственно) и зависимости Р(<?) для модели Фукса (пунктирные кривые: 5;0;7;8 — уо = 2; 1; 0.5; 0.1 соответственно) при = 0.1.

Рисунок 2. — Спектральные зависимости безразмерного сечения поглощения .Р от безразмерной частоты у0 при х0 = 0.1: металлическая частица — сплошные кривые 1;2;3;4 — (7 = 1; 0.2; 0.1; 0 соттветственно; полупроводниковая частица — пунктирые кривые 5:6:7;8 — С? = 1; 0.2;0.1; 0 соответственно.

Учёт зависимости коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и угла падения электронов (дырок) на внутреннюю поверхность частицы дает значительное отличие от результатов, полученных для модели диффузно-зеркальных граничных условий Фукса для достаточно мелких частиц, диаметр которых меньше длины свободного пробега носителей заряда в материале образца. При этом поверхностное рассеяние вносит более существенный вклад в сечение поглощения металлической частицы по сравнению со случаем полупроводниковой частницы как для

11

Рисунок 3. — Зависимость безразмерного сечения поглощения Р от безразмерной обратной длины свободного пробега Хо для металлической частицы при безразмерной частоте уа = 2 и различных значениях параметра шероховатости Й: кривые 1,2,3 — б = 1; 0.1; 0 соответственно.

Рисунок 4. — Зависимость безразмерного сечения поглощения Р от безразмерной обратной длины свободного пробега Хо для частицы из невырожденного полупроводника при 2/0 = 2 для граничных условий Соффера: кривые 1,2,3 — в = 1; 0.1; 0 соответственно.

модели граничных условий Соффера, так и для модели граничных условий Фукса.

Независимо от степени вырождения и характера отражения носителей заряда от границы для безразмерного сечения поглощения наблюдается макроскопическая асимптотика: при х0 1 в формуле (9) можно пренебречь членами с экспонентой ввиду быстрого затухания:

_ 16у02 р ( 1 ^ _ 16х0у02 Ьш*~ 15 \а;о — гуо) ~ 15(:го2 + а/о2) (14)

Аналогичным образом, независимо от степени вырождения, для случая специально обработанной поверхности с нечезающе малой среднеквадратичной высотой поверхностного рельефа —> 0 переходим к пределу чисто зеркального отражения электронов (дырок) на поверхности частицы (д —> 1), и для сечения поглощения (9) также получаем выражение (14).

Вторая глава посвящена изучению поглощения электромагнитного излучения малой металлической частицей цилиндрической формы. В качестве кинетических граничных условий для неравновесной функции распределения электронов используется модель Соффера.

Рассматривается малый металлический цилиндр с радиусом поперечного сечения о и длиной Ь (Ь о) в однородном периодическом по времени электрическом поле Е. Принимается, что направление электрического поля в электромагнитной волне совпадает с осью цилиндра. В рассматриваемом диапазоне частот при указанной ориентации электрического поля вклад токов диполыюй электрической поляризации доминирует по сравнению

12

с вкладом вихревых токов, поэтому в данной главе действие внешнего магнитного поля не учитывается. Для достаточно длинного цилиндра экранировкой электрического поля в объёме частицы можно пренебречь.

Однородное периодическое во времени электрическое поле волны Е = Е0ехр(—воздействует на электроны проводимости в частице и вызывает отклонение Д их функции распределения / от равновесной фермневской /0 (1), что приводит к возникновению высокочастотного тока (2).

Для равновесной функции распределения воспользуемся ступенчатой аппроксимацией:

где Ер — энергия Ферми, ьр — скорость Ферми.

Неравновесная функция распределения /1 находится из решения кинетического уравнения (4) и имеет вид:

где 9/о/Э£ = —&{£ — Ер) — производная функции распределения.

При вычислении токов поляризации удобно перейти к цилиндрическим координатам как в пространстве координат (г±,ф, 2), так и н пространстве скоростей (и^, а, Ось симметрии цилиндра совпадает с осыо 2. Ток j обладает лишь ^-компонентой (линии тока являются прямыми, параллельными осп £):

(15)

в (у ■ Е) а/о

и д£

(16)

о о

(д{в, р) - 1) ехр (-г0т]/р)

(17)

х

1 -<?(С,р)ехр(-ВД0/р)

+1 (1р(1а.

Здесь введены безразмерные переменные:

va а гаи rj_

го = — =---= хо-гуо, f = —, p = —,

- - - a Vp

VF vft vp v±t'

v±t /Zо =-= £ cos a + л/1 — £ sin a,

n *

»70

vaT

= 2

2 sin2 a,

а концентрация электронов определяется выражением:

„ /1--. п = 2(-)

('тч3 47tvf3 ."Л/ 3 '

Сечение поглощения (3) представим в виде:

. тте2па3Ь

а = a0F(x0,y0, G), <т0 = 24-

mvpc

F(x0,yo,G) = Re <

1 1 Т!

-JSh^

• р2х

ООО

(<l(G,p) ~ l) ехр(-г0?7/р) 1 - q(G, р) exp (—¿о Wp)

dad^dp

(18)

С помощью замены переменных s = £ cos a,w = y/l — £2 cos2 a и последующего интегрирования no s интеграл сводится к двукратному:

F(xo, уо, G) = Re

1 1

6 Z0 + Zq J l

О о

wp2y/l - р2 VI - го2

(exp[-(47rGp)2] - 1)

1 — ехр

—2zqw\ Р )

1 — ехр[—(47rGp)2] ехр

В*)

dwdp

, (19)

Независимо от характера отражения электронов на поверхности частицы с ростом размера частицы при 1 (в этом случае в формуле (18) можно

пренебречь членом с экспонентами ввиду их быстрого затухания) имеет место макроскопическая асимптотика:

о, у0) = Ле (= . (20)

\б20/ 6х0г + уа2

В другом предельном случае |го| -С 1 в интеграле (18) доминируют малые р, так что у/1 — р2 1. Раскладывая подынтегральное выражение (18) в предположении \zq\Iр -С 1, получим:

1 1

Rei

.0 0 0

///^^"Ч' <21>

где к = (4ттв)2. _

Введем новую переменную Ь = у/к/(гощр), тогда интеграл (21) можно преобразовать к виду

f - "«{^АМт^Ц - 415}-<22)

Для статического случая:

F(:го, 2/о = 0, G) = F0(x0, G) = J|=p, (23)

Таким образом, при больших длинах свободного пробега Л безразмерное сечение поглощения цилиндрической частицы в модели Соффера имеет особенность (23).

На рисунке 5 приведено сравнение безразмерного сечения поглощения F (18), рассчитанного для моделей граничных условий Соффера (5) и Фукса (q = const) и в зависимости от коэффициента зеркальности q и параметра шероховатости поверхности G соответственно.

На рисунке G представлено сравнение зависимостей (18) и (23) в статическом случае в логарифмическом масштабе для параметра шероховатости G = 0.05 и G = 0.1. Отметим, что для модели граничных условий Фукса расходимость безразмерного коэффициента поглощения наблюдается в предельном случае <7=1, что в модели Соффера соответствует G = 0 (чисто

в

Рисунок 5. — Зависимости безразмерного сечения поглощения металлической частицы от параметра шероховатости для модели граничных условий Соффера Р{С) (сплошные кривые:1;2;3;4 — у0 = 0; 0.1; 0.5; 1 соответственно) и от коэффициента зеркальности -Р(д) для модели Фукса (пунктирные кривые: 5;6;7;8 — у0 = 0; 0.1; 0.5; 1 соответственно) при х0 = 0.1.

Рисунок 7. — Зависимость безразмерного сечения поглощения Р от безразмерной частоты поля у0 при х0 = 0.1 (кривые 1;2;3 — б = 0.01; 0.05; 1 соответственно).

VI0"3

Рисунок 6. — Зависимости безразмерного сечения поглощения в статическом случае 1п(Р) (сплошные) и аппроксимация /п(Ро)(пунктирные) для различных значений параметра шероховатости С: кривые 1;2 - в = 0.05; кривые 3;4 - в = 0.1

Рисунок 8. — Зависимость безразмерного сечения поглощения Р от безразмерной обратной длины свободного пробега аго при у0 = 0.1 (кривые 1;2;3 - в = 0.01; 0.05; 1 соответственно).

зеркальное отражение). В этом случае граница не оказывает влияния на функцию распределения /, что согласуется с классическим результатом (20).

На рисунке 7 представлены зависимости безразмерного коэффициента поглощения ^ от безразмерной частоты внешнего поля уо. Рисунок выполнен для небольшого по сравнению с длиной свободного пробега радиуса частицы (гс'о = 0.1), одинакового для всех кривых. Значение параметра С? различны для разных кривых. Из рисунка 7 видно, что с увеличением

безразмерной частоты поля коэффициент поглощения Р уменьшается для всех зависимостей. При больших г/о все кривые сливаются. Такой характер зависимостей обусловлен следующими причинами: не успевая полностью за колебаниями напряженности электрического поля, система свободных носителей заряда ведет себя, в какой-то мере, как совокупность связанных зарядов, которые не дают вклада в поглощение, что н сказывается в уменьшении коэффициента Р. Из рисунка 7 также следует, что в области относительно низких безразмерных частот поглощение Р больше для частиц, у которых отражение электронов от поверхности происходит зеркально. При увеличении безразмерной частоты уо поглощение становится больше у частиц с шероховатой поверхностью, отражение электронов от которой происходит диффузно.

На рисунке 8 изображены зависимости безразмерного сечения поглощения Р от безразмерной обратной длины свободного пробега жо Для безразмерной частоты поля уо = 0.1. При относительно малых б на графиках наблюдается резонансноподобное явление: максимум сечення поглощения наблюдается при условии хц = уо. С увеличением (5 максимум поглощения смещается в сторону меньших значений хо- Т.о., для частиц со специально обработанной поверхностью (относительно низкая шероховатость) поглощение существенно возрастает при совпадении безразмерной частоты объёмных соударений электронов хо с безразмерной частотой внешнего поля уо-

Учёт зависимости коэффициента зеркальности от параметра шероховатости поверхности и угла падения электронов дает значительное отличие от результатов, полученных ранее другими авторами для модели диффузно-зеркальных граничных условий Фукса. Наибольшее расхождение наблюдается в низкочастотной области (уо -С 1) для частиц, в которых длина свободного пробега электронов становится много больше радиуса частицы

(хо < !)•

В третьей главе рассматривается рассеяние электромагнитного излучения на малой металлической сферической частице. В качестве кинетических граничных условий используется модель смешанного диффузно-зеркалыюго отражения носителей заряда (модель Фукса).

Если радиус частицы а мал по сравнению с длиной рассеиваемой волны Л = с/и> (а < Л), то электромагнитное поле вблизи частицы можно считать однородным. Частица в однородном поле приобретает электрический и магнитный моменты Р и М соответственно. Рассеянная волна — результат излучения этими переменными моментами на больших по сравнению с Л расстояниях от частицы.

Электрический момент можно вычислить как момент проводящего (е —> оо) шара радиуса а в однородном электрическом поле Р = а3Е.

Задача о вычислении сечения магнитного днпольного рассеяния сводится к нахождению магнитного момента М, приобретаемого сферической частицей в переменном магнитном поле.

На больших (по сравнению с Л) расстояниях г от частицы поле рассеянной волны определяется формулами:

Н' = —{[п х Р] + [пх [М х п]]} ,Е' = [Н'хп],

(25)

где единичный вектор п указывает направление рассеяния, а значения Р и М должны быть взяты в момент времени (£ — г/с); поле рассеянной волны обозначено буквами со штрихами, поле падающей волны - буквами без штрихов. Средняя интенсивность излучения, рассеянного в телесный угол г/о:

1 с 24?

й.I = -—|Н'| 2г2йо.

(26)

Отношение интенсивности рассеянного излучения к плотности потока энергии с|Н|2/87г дает дифференциальное сечение рассеяния:

и |1Г|2 ^ = Тнр"г

(27)

Для магнитного момента, принимая во внимание, что направление тока j (2) всегда перпендикулярно направлению радиус-вектора г, получаем:

.. .-Этт2аъ (пе2а\ тт , . ч

М = г—»— - и> ■ #оехр(-га^)х

16с2г0 \rriVF)

Здесь

1 1

О -1

1 - д ■ ехр(-адо)

(1 - /З2)^

(28)

71 = а = + ^ + 1 -

т = — = 2(^/г,)(^2/з2 +1-^/2,

£ = -, /3 = соэ(УГ) = (у • г)/(иг), 18

Выполнив замену переменных р — щ/2 = у^2/?2 + 1 — £2, и = £/3 и интегрирование по и, для магнитного момента (28) получим следующее выражение:

М = г % ^ а5Р(д,хо,г/о) Н; (29)

1о с'т

х0, Уо) = тт--Ь [ р(1 — - (30)

15г0 У г02 1 - д • ехр(-2г0р)

о

Таким образом, магнитный момент М пропорционален напряженности магнитного поля Н:

М = -а37 Н. (31)

Здесь коэффициент пропорциональности (—а3у) содержит безразмерную величину 7, которую представим в виде:

, — Зг7гуо <Р п/ \ ^ \

7(^0,2/0,а) =-^-Г{д,х0,у0), (32)

а аи!р ау/Апе^п/т бх с с

где безразмерный параметр с? введен как величина, обратная характерной глубине скин-слоя в пределе высоких частот = с/шр ~ 3 • 10~8 м, где с — скорость света, шр — частота плазменного резонанса.

Учитывая взаимную перпендикулярность векторов Е и Н, после соответствующих вычислений с учётом (4, 26 - 27) для дифференциального сечения рассеяния получим:

у0,ф,ф) = ^-¡с*К(д,хо,уо, ф, ф)<1о, (33)

и

К{я,хо,Уо,Ф,Ф) =Ке(Ф,Ф) +Км {я,х0,у0,ф,ф) + К1{д,х0,у0,ф,ф),{ЗА)

Ке = вт^ + сов^сов2^, Км = |7|2соз2<^> 4- соз2-г/?|т'|281п2<^, К\ = — (7 + 7*) сое ф.

Здесь ф и ф — соответственно полярный и азимутальный углы системы координат, центр которой в центре частицы, а полярная ось направлена вдоль направления распространения падающей волны. Коэффициент К(д,хо,уо,ф,ф) в (33), назовем его безразмерным днфференци-

19

альным сечением рассеяния, определяет зависимость сечения рассеяния от коэффициента зеркальности q, величин :ео,Уо, и от углов ф и ф\ входящие в него Ке и Км — составляющие дифференциального сечения рассеяния, обусловленные электрическим и магнитным моментами соответственно; К] — перекрестная компонента, возникающая в результате наложения рассеянных волн. Сумму Км + /С/ обозначим К ми именно эти составляющие содержат величину 7 (31), учитывающую вклад кинетических эффектов, обусловленных диффузно-зеркальпым отражением электронов от поверхности частицы.

Вклад поверхностных столкновений в дифференциальное сечение рассеяния описывается вторым слагаемым (интегралом) в выражении для Р(д,х0,у0) (30), входящем в 7 (32). Первое слагаемое в (30) обусловлено объёмными столкновениями носителей заряда, что соответствует макроскопической теории Ми. С ростом размера частицы в предельном случае хо = а/А 1 относительный вклад поверхностных столкновений по сравнению с объёмными столкновениями убывает как х^1. Следовательно, для величины 7 (32) имеет место макроскопическая асимптотика

частот ы < ыр диэлектрическая проницаемость е = е(ш) ка —¿47гЕ(о;)/с^, где = 1/(1 - шт) — проводимость Друде , Е0 = пе2т/тп —

статическая проводимость. Следовательно, в случае малых длин свободного пробега (а'о » 1) дифференциальное сечение рассеяния (33) с учётом (35) переходит в результат классической теории Ми. Однако, уже при А ~ а (хд ~ 1), и, тем более в обратном предельном случае больших длин свободного пробега (х0 С 1), вклад поверхностных столкновений в дифференциальное сечение рассеяния (33) при определённых углах рассеяния становится весьма существенным.

Зависимости безразмерного дифференциального сечения рассеяния (30) от коэффициента зеркальности д представлены на рисунке 9. Видно, что с ростом д сечение рассеяния наиболее существенно возрастает в низкочастотном случае при малых значениях хо-

На рисунке 10 изображены зависимости коэффициента рассеяния К (30) от безразмерной обратной длины свободного пробега х0. Из графиков видно, что с уменьшением хо безразмерное дифференциальное сечение рассеяния возрастает при любых значениях коэффициента зеркальности д. Этот размерный эффект является следствием кинетического расчёта и

—Зг7гуо «¿2 4

(35)

7

диапазона

не проявляется в рамках макроскопической теории. Из графиков также следует, что с увеличением значений хо все кривые приближаются к макроскопической асимптотике (при жо 1).

Рисунок 9. Зависимость коэффици-

ента рассеяния К от коэффициента зеркальности д при (I = 0.2 для углов ф = тт/2,ф — 0. Сплошные кривые 1;2;3;4 -хо = 0.01; 0.1; 0.5; 1 при у0 = 2; пунктирные 5:6:7:8 х0 = 0.01; 0.1; 0.5; 1 при у0 = 0.2.

Рисунок 10. — Зависимость коэффициента рассеяния К от безразмерной длины свободного пробега .г'о при (1 = 0.2 для углов ф = тт/2,ф = 0. Сплошные кривые 1:2;3 -д = 1; 0.5; 0 при уо = 1; пунктирные 4;5;6 — 9 = 1; 0.5; 0 при у0 = 0.3

Рисунок 11. Зависимости относительного вклада суммы магнитной и перекрестной составляющих Кцц/К от угла ф в пределах тг/2±<5, где <5 = 0.0002, при у0 = 0.1. Сплошные кривые — Хо = 0.1, пунктирные — Хо = 1; д = 1 для нечетных кривых и 0 для четных соответственно

Рисунок 12. — Зависимость коэффициента рассеяния К от безразмерной частоты поля Уо- Для всех кривых с1 = 0.2, ф = ж/2, ф = 0. Пунктирные кривые 1;2;3 — хо = 0.05; 0.5; 1 при = 1; сплошные 4;5;6 -х0 = 0.05; 0.5; 1 при д = 0.

На рисунке 11 представлены зависимости относительного вклада суммы магнитной и перекрестной составляющих Км1 /К (34) от угла ф в пределах 7г/2 ± 6, где <5 = 2- 10 — малая поправка к углу ф. Из графиков видно, что при относительно малых значениях хо (низкие температуры, чистые образцы) в сечении рассеяния доминирует сумма магнитной и перекрестной составляющих. Отметим, что на дипольное электрическое

21

рассеяние, характеризующееся составляющей Ке, характер взаимодействия электронов с поверхностью частицы практически не влияет.

На рисунке 12 представлены спектральные зависимости коэффициента рассеяния К (30). При хо 1 в высокочастотной области (уо > 1) наблюдаются затухающие осцилляции. Из графиков видно, что форма спектральных характеристик коэффициента рассеяния в рассматриваемом угловом диапазоне зависит от механизма поверхностного отражения носителей заряда, следовательно, экспериментальное исследование дифференциального сечения рассеяния может дать информацию относительно кинетики электронов в металлической частице.

Основные результаты диссертации

• Кинетическим методом вычислено сечение магнитного дипольного поглощения малой проводящей частицы сферической формы. Для нахождения малого отклонения функции распределения носителей заряда от равновесной решено уравнение Больцмана в приближении времени релаксации. В качестве кинетических граничных условий для неравновесной функции распределения приняты условия Соффера.

• Показано, что спектральные характеристики сечения поглощения металлической частицы имеют более выраженный осциллирующий характер, чем характеристики полупроводниковой частицы.

• Решена кинетическая задача об электрическом дипольном поглощении излучения малой металлической частицей, имеющей форму вытянутого цилиндра. В низкочастотной области поглощение больше для частиц с более гладкой поверхностью, с повышением частоты падающего излучения поглощение увеличивается для частиц с более шероховатой поверхностью.

• Получено аналитическое выражение для дифференциального сечения рассеяния малой металлической частицы сферической формы с учётом вкладов электрического и магнитного моментов. В определённом угловом диапазоне в направлении вектора напряжённости электрического поля падающей волны магнитная дипольная составляющая рассеяния становится доминирующей.

• Показано, что кинетический учёт поверхностных столкновений приводит к значительному возрастанию дифференциального сечения рассеяния с увеличением длины свободного пробега носителей заряда. Для мелких частиц в низкочастотной области при относительном увеличении доли зеркально отраженных электронов дифференциальное сечение рассеяния также заметно увеличивается. На низкочастотном электрическом

рассеянии характер поверхностных столкновений электронов в частице практически не сказывается.

Список работ соискателя по теме диссертации

Статьи в ведущих журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Лебедев М. Е. Рассеяние электромагнитных волн па малой металлической частице / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев, А. А. Юшканов // Вестник МГОУ. - 2013. — № 3. — С. 56-65.

2. Lebedev М. Е. The effect of electrons surface scattering oil fine metal particle electromagnetic radiation absorption / I. A. Kuznetsova, M. E. Lebedev, A. A. Yushkanov // Condensed Matter Physics. - 2013. - Vol. 17, no. 1. - P. 13802:1-9.

3. Лебедев M. E. Рассеяние электромагнитного излучения на металлической наночасти-це / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев, А. А. Юшканов // Письма в журнал технической физики. - 2014. - Т. 40, № 8. - С. 70-79.

4. Лебедев М. Е. Влияние кинетических граничных условий на сечение рассеяния электромагнитного излучения на малой металлической частице / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев, А. А. Юшканов // Журнал технической физики,— 2015.— Т. 85, № 9. - С. 1-7.

Другие публикации:

5. Lebedev М. Е. The effect of surface properties on electric absorption of fine metallic particles. / I. A. Kuznetsova, M. E. Lebedev //II International conference on modern problems in physics of surfaces and nanostructures, Books of abstracts. — Yaroslavl, 2012. — P. 95.

6. Лебедев M. E. Влияние поверхностного рассеяния электронов на электрическое поглощение мелкой металлической цилиндрической частицы / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев // Вестник ЯрГУ. Серия Естественные и технические науки. — 2012. — № 1. - С. 24-30.

7. Лебедев М. Е. Электрическое поглощение малой металлической частицы цилиндрической формы / М. Е. Лебедев // Путь в науку. Физика: Материалы Международной молодежной научно-практической конференции, секция «Микроэлектроника и нано-технологии» / Под ред. С. П. Зимин. — Ярославль: ЯрГУ, 2013. — С. 28.

8. Лебедев М. Е. Влияние поверхностного рассеяния электронов на поглощение электромагнитного излучения мелкой металлической частицей / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев, А. А. Юшканов // Тезисы докладов XI Российской конференции по физике полупроводников (XI РКФП.). — СПб: Физико-технический институт им А.Ф. Иоффе, 2013. - С. 165.

9. Лебедев М. Е. Влияние кинетических процессов на рассеяние электромагнитного излучения металлической наночастицей / М. Е. Лебедев // Путь в науку. Физика: Материалы Международной молодежной научно-практической конференции, секция «Прикладная физика, микроэлектроника и нанотехнологии» / Под ред. С. П. Зимин. — Ярославль: ЯрГУ, 2014. - С. 20.

10. Лебедев М. Е. Поглощение электромагнитного излучения мелкой проводящей частицей, вестник яргу. серия естественные и технические науки. Ярославль / И. А. Кузнецова, М. Е. Лебедев, О. В. Савенко // Вестник ЯрГУ. Серия Естественные и технические науки. — 2014. — № 1. — С. 14-21.

В

Подписано в печать: 16.10.201S Объем: 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 577 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д.39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru