Влияние неоднородного вращения плазмы на равновесие в токамаке

Поздняков, Юрий Игоревич

Влияние неоднородного вращения плазмы на равновесие в токамаке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Поздняков, Юрий Игоревич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.08 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Влияние неоднородного вращения плазмы на равновесие в токамаке»

Автореферат диссертации на тему "Влияние неоднородного вращения плазмы на равновесие в токамаке"

Российский научный центр "КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ"

На правах рукописи УДК 533.9

ПОЗДНЯКОВ Юрий Игоревич

ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО ВРАЩЕНИЯ

ПЛАЗМЫ НА РАВНОВЕСИЕ В ТОКАМАКЕ

01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Российском научном центре "Курчатовский институт".

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор

Доктор физико-математических наук, профессор

Арсенин В.В. (РНЦ "Курчатовский Институт")

Брушлинский К.В. (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)

Ведущая организация:

Институт общей физики им. A.M. Прохорова Российской академии наук

Защита состоится июня 2006г. в часов на заседании

Диссертационного совета Д.520.009.02 при Российском научном центре "Курчатовский институт" по адресу: 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ "Курчатовский институт".

Автореферат разослан - - 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, к.ф.-м.н. ^ 3 Л.И.Елизаров

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

В настоящее время наиболее развитыми установками магнитного удержания высокотемпературной плазмы являются токамаки. Значительный прогресс в приближении к термоядерным параметрам был достигнут на токамаках в середине 80-х годов прошлого столетия, когда были открыты режимы улучшенного удержания. Немного позже стало ясно, что такие режимы зачастую сопровождаются макроскопическим вращением плазмы, которое в настоящее время диагностируется на многих современных установках. Продвижение к термоядерным температурам плазмы в токамаке немыслимо без режимов с улучшенным удержанием, так что учет вращения весьма важен для аккуратного описания стационарных состояний высокотемпературной плазмы. Это обстоятельство уже находит свое отражение в некоторых созданных или разрабатываемых численных кодах, в той или иной мере учитывающих равновесное вращение. В данной диссертаци рассматриваются эффекты, связанные с неоднородностью стационарной скорости плазмы в токамаке. Такая неоднородность (шировость) скорости, регистрируемая в эксперименте«, играет, как известно, заметную роль в турбулентных процессах, происходящих в плазме. Сказанное делает весьма актуальным исследование эффектов неоднородного вращения плазмы и в теории равновесия, служащей основой всего последующего рассмотрения задач удержания высокотемпературной плазмы.

влияния неоднородного вращения на равновесие плазмы в

*ОС НАЦИОНАЛЬНАЯ

Цель и задачи исследования. |

Целью данной диссертации является теорети1

•■ "лншжалъ

библиотека

токамаке. Основные задачи, решаемые в процессе исследования: влияние неоднородного вращения плазмы на смещение магнитных поверхностей, возможная связь равновесного вращения плазмы с явлением внутреннего транспортного барьера, роль вращения плазмы в структуре равновесия с реверсивным током.

Научная новизна работы.

В работах, положенных в основу диссертации, автором получен ряд новых результатов, среди которых можно отметить следующие:

1. Показана возможность эффективного управления величиной сдвига магнитных поверхностей путем изменения профиля скорости стационарного тороидального вращения;

2. Предложена трактовка явления внутреннего транспортного барьера как бифуркации равновесия плазмы в токамаке;

3. Построены бифуркационные решения задачи равновесия плазмы в токамаке в рамках уравнения Грэда-Шафранова;

4. Доказана возможность существования нормальных равновесий (со вложенными магнитными поверхностями вокруг единственной магнитной оси и со спадающим всюду от центра к периферии давлением) плазмы в токамаке с реверсивным током.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные в диссертации результаты представляют значительный научный интерес и имеют определенное методическое значение. К примеру, практическое значение имеет решение вопроса о влиянии профиля скорости вращения плазмы на величину сдвига магнитных поверхностей, а также изучение и решение проблемы реализации нормального равновесия с реверсивным током, что может быть существенным для современного эксперимента.

Следующие положения автор выносит на защиту:

1. Утверждение о возможности эффективного управления сдвигом магнитных поверхностей посредством изменения профиля скорости стационарного тороидального вращения;

2. Представление о бифуркации равновесия при возникновении внутреннего транспортного барьера в токамаке;

3. Примеры бифуркационных решений уравнения Грэда-Шафранова при фиксированных профиле тока и граничных условиях как в цилиндрическом приближении, так и в тороидальном случае;

4. Утверждение о том, что неоднородное тороидальное вращение плазмы снимает запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током в рамках теоремы вириала;

5. Нахождение нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током.

Апробация работы.

Основные результаты, вошедшие в диссертацию были получены в период с 2000 по 2005 гг.. Всего по теме диссертации опубликовано 4 статьи в реферируемых журналах (Письма в ЖЭТФ, Физика плазмы и Physics of Plasméis), две статьи в сборниках докладов международных конференций. Основные результаты докладывались на семинарах Отдела теории плазмы Института ядерного синтеза РНЦ "Курчатовский институт", на международных и всероссийских конференциях и совещаниях по физике плазмы: XXXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2000), XXXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2001), 5-ой летней школе по физике плазмы им. К.Магнуса (Бонн, Германия,

2001), Варенно-лозанском совещании по теории синтеза (Варенна, Италия, 2002), 31-ой Европейской конференции по физике плазмы (Лондон, Англия, 2004), и были предметом обсуждения в научной печати.

Структура и объем работы

Материал диссертации состоит из Введения, трех глав и Заключения. Каждая глава начинается с небольшой преамбулы, разъясняющей, чему данная глава посвящена. Результаты диссертации суммируются в Заключении. Материал диссертации изложен на 105 страницах, включая 20 рисунков и список литературы из 85 наименований.

Краткое содержание работы

Во Введении описывается проблематика диссертации, формулируются основные задачи исследования, дается мотивация их выбора и описываются используемые методы. Далее делается небольшой экскурс в теорию статического равновесия плазмы в токамаке, приводятся основные отличия статической модели равновесия от равновесия с вращением. Разъясняются значения терминов "внутренний транспортный барьер" (ВТВ), "равновесие с реверсивным током", "нормальное равновесие". Указывается место работ автора, положенных в основу диссертации, среди других работ. Также во Введении кратко описывается содержание диссертации по главам и перечислены положения, выносимые на защиту.

В первой главе показывается, что профиль скорости вращения плазмы может оказывать существенное влияние на характеристики

равновесия, в частности, на величину смещения магнитных поверхностей.

В первом параграфе вводятся уравнения идеального МГД равновесия и их представления для случая аксиальной симметрии. Как и в случае статического равновесия (без макроскопического движения плазмы, v(í, г) = 0), векторное уравнение силового баланса эквивалентно трем скалярным уравнениям. Первое уравнение - это аналог известного уравнения Грэда-Шафранова1, два других устанавливают функциональные зависимости полоидального тока и давления. В отличие от статического случая, когда эти величины являются функциями лишь полоидального магнитного потока тр, в присутствии вращения плазмы они становятся, вообще говоря, функциями двух переменных - ф и радиуса в цилиндрической системе координат, г. Уравнение, определяющее характер зависимости давления от координаты г, легко интегрируется в случаях, когда хотя бы одна из трех функций является поверхностной: 1) плотность; 2) температура; 3) энтропия. Эти три зависимости фигурировали в том или ином виде в литературе и ранее. В частности, Хамеири2 был рассмотрен случай, когда энтропия является поверхностной функцией; в весьма близкой форме эти уравнения были получены в работе Тассо и Трумолопулуса3. В диссертации рассмотрены все три вида зависимостей.

Во втором параграфе излагается техника моментного разложения уравнения равновесия тороидально вращающейся

1Шафранов В.Д. О равновесных магнитных конфигурациях // ЖЭТФ. -1957. - Т.ЗЗ. - С.710-722.

2Hameiri Е. Adiabatic compression of rotating plasmas // Phys.Rev.A. - 1983. -V.27. - P.1259-1261.

'Poulipoulis G., Tasso H. and Throumoulopolus G.N. Toroidal flow-caused change in magnetic topology of equilibrium eigenstates // Phys. Plasmas. - 2005. - V.12. -P.042112-042121.

плазмы в соответствии с методом, изложенным в известном обзоре Захарова и Шафранова4 для случая статического равновесия. Равновесие с чисто тороидальным вращением описывается уравнением, схожим по форме с обычным уравнением Грэда-Шафранова. Единственное отличие состоит в том, что производная давления dp/dip должна быть заменена на частную производную (др/дтр)г- Это уравнение сначала переписывается в натуральных координатах (как это определено в обзоре Захарова и Шафранова5) (а,в,ф), где а - метка магнитной поверхности ф = ф(а), в -полоидальный угол, ф - тороидальный. Затем выводятся уравнения, определяющие основные моменты, которые описывают форму магнитной поверхности: смещение, эллиптичность и др. - в присутствии тороидального вращения.

Регулируя скорость вращения плазмы в токамаке, можно управлять параметрами равновесия. Для демонстрации таких возможностей в первой главе рассматривается связь величины смещения магнитных поверхностей с абсолютной величиной и профилем скорости вращения плазмы. Форма магнитной поверхности о = const задается в следующем виде:

г ~ R + Д(о) + (а - а(а) cos(20) - ...) cos(0),

z ~ (а - а (а) cos(20) - ...) sin(0). (1)

Здесь R - радиус магнитной оси. Величины Д, а, ... - смещение магнитной поверхности относительно магнитной оси, эллиптичность магнитной поверхности и т. д. - являются неизвестными функциями

4Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах // Вопросы теории плазмы, вып.11 / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева - М.: Атомиздат, 1982. - С.118-235.

5Захаров Л.Б., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах // Вопросы теории плазмы, вып.11 / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева - М.: Атомиздат, 1982. - С.118-235.

метки магнитных поверхностей, в отыскании которых (в решках моментного описания) и состоит решение задачи о равновесии. Относительное смещение магнитных поверхностей (смещение Шафранова) является основным следствием тороидальности в теории равновесия. Возникновение такого смещения является проявлением хорошо известного "баллонного" эффекта -преимущественного "распирания" тороидального шнура по большому радиусу при увеличении давления. Смещение Шафранова играет важную роль как в теории равновесия, так и в теории устойчивости.

Смещение магнитных поверхностей при наличии вращения задается следующим уравнением6

/ J2A\ J2 2а2,

Здесь J(a) - тороидальный ток, текущий внутри магнитной поверхности с меткой о, штрих обозначает производную по о, Е(а) - плотность кинетической энергии тороидального вращения плазмы в главном порядке разложения по е = аь/R (a¡, -радиус плазменного шнура). Величину Е можно использовать для эффективного управления сдвигом магнитной поверхности при условии, что масштаб изменения скорости вращения отличен от масштаба изменения давления. В этом случае локальные значения величин É и р могут сильно различаться, и в итоге, приводить к интегральному эффекту [1]. Традиционное же представление о том, что вращение плазмы заметно влияет на параметры равновесия лишь при скоростях порядка скорости звука, справедливо лишь для подобных друг другу профилей р(а) и Е(а).

eZehrfeld Н.Р., Green B.J. The effect of plasma flow on the toroidal equilibrium shift // Nucl. Fusion. - 1973. - V.13. - P.750-752.

В качестве примера, используя свободу в выборе профиля скорости, продемонстрируем возможность уменьшения величины смещения магнитных поверхностей, связанного с давлением плазмы. Используем следующую замену переменных, обозначая при этом новые переменные теми же буквами:

а ДлР Е г, J --Уа>--► А, ^ р, _

аь еаь (Jo/аьУ (Jo/аьУр Jo

Выберем следующие распределения тороидального тока, давления и кинетической энергии тороидального вращения плазмы, позволяющие решить задачу аналитически:

J2{a) = ак, р(а) = ро(1 — о"), Е = Е^а1'2 - а'~2), (2)

где к > 0,п > 0, t > 2, s > 2. Смещение магнитной поверхности складывается из трех составляющих: смещения, связанного с током, смещений, связанных с давлением и со скоростью. Величина смещения магнитной поверхности, обусловленная давлением плазмы, определяется по формуле

Д„(а) = -2^'(п + 2)(„",, + 4). (3)

a смещение, обусловленное тороидальным вращением плазмы,

Дв(о) = 2 Eia

2-к

t t-2 я s-2

о1-—-—Г7 - а'

(4)

*(* + 2 -к) з(з + 2-к)'

Величина Др отрицательна (мы отсчитываем смещения относительно магнитной оси). Значение же величины Ае при определенном выборе параметров £, з оказывается положительным и может конкурировать с величиной смещения магнитных поверхностей, обусловленного давлением плазмы. Таким образом, смещение граничной магнитной поверхности относительно магнитной оси может быть минимизировано (речь идет именно

об относительном смещении: при фиксированном положении границы плазменного шнура проводящим кожухом или диафрагмой минимизируется смещение центра шнура относительно этой границы).

Зависимости (2) давления и кинетической энергии тороидального вращения плазмы от метки магнитной поверхности о, представленны на рис.1. На рис.2 приведены зависимости (3, 4) для Др(а) и Др + Де = Др+в(о). Параметры t,s,k,n выбраны следующим образом: t = 4.91, s = 8.6, п = 4, к = 4. Как видно из рис.2, профиль скорости тороидального вращения может оказывать существенное влияние на величину смещения магнитной поверхности. Сама же величина скорости тороидального вращения, как видно из рис.1, меньше звуковой.

Вторая глава посвящена вопросу бифуркации равновесия плазмы в токамаке и рассмотрению явления ВТБ с точки зрения теории равновесия.

В первом параграфе описывается явление ВТБ, связанное с формированием в объеме плазмы узкого (по малому радиусу) слоя с высокими значениями градиентов параметров плазмы (давления и/или плотности).

В экспериментах на токамаках второй половины 1990-х годов формирование ВТБ на разных установках происходило по весьма схожему сценарию. В начале в токамаке зажигался разряд и достигалось стационарное (равновесное) состояние. Затем плазма подвергалась интенсивному локальному воздействию (например, инжекцией пучка быстрых нейтральных атомов или высокочастотному нагреву), и при определенных условиях происходил довольно быстрый переход в новое равновесное состояние с ВТБ. Метод воздействия мог быть различным и,

Рис. 1: Кривые (2) зависимостей р(о), Е(а) и J(a) для п = 4, к = 4.

Рис. 2: Профили смещений магнитных поверхностей. Др - смещение поверхностей, обусловленное давлением, Ар+е - давлением и тороидальным вращением.

в некоторой степени, параметры нового равновесия зависели от характера воздействия. Величина воздействия, приводящего к переходу в новое состояние равновесия с ВТБ, как правило, должна была быть больше некоторого порогового значения, которое определялось исходным состоянием и способом воздействия. В результате перехода в новое состояние в зоне барьера регистрировалось значительное электрическое поле, появление которого должно сопровождаться макроскопическим вращением плазмы в этой области.

Идея трактовки возникновения барьеров как бифуркации параметров плазмы, хотя и не является общепринятой, тем не менее, уже обсуждалась в литературе. Однако вопрос о том, какие именно из многочисленных физических величин, характеризующих равновесие плазмы, испытывают бифуркацию, не закрыт до сих пор. Известны многочисленные попытки объяснения этого явления бифуркацией коэффициентов переноса, как правило, аномального (см, например обзор Ито7 ). Однако поскольку ВТБ представляет собой долгоживущее образование, то оно должно удовлетворять условиям равновесия. В диссертации рассмотрена возможность бифуркации термодинамических характеристик (например, температуры). Возникновение вращения при этом -следствие дисбаланса сил, приведшего к переходу. Во втором параграфе из сравнения двух состояний равновесия - до и после формирования барьера - устанавливается величина скачка давления на границе барьера в виде функционала, определяемого параметрами начальной и конечной конфигураций и скоростью вращения плазмы в зоне барьера [2]. Переход из одного состояния в другое может носить бифуркационный характер лишь в том

7Itoh К., Itoh S.-I., The role of the electric field in confinement // Plasma Phys. Control. Fusion.- 1996. - V.38. -P.l-49.

случае, когда эти параметры не произвольны, а связаны какими-то ограничениями; в противном случае будет наблюдаться непрерывная эволюция равновесия. Эти ограничения могут быть следствиями различных физических процессов, но, тем не менее, приводить к сходным макроскопическим результатам.

В диссертации рассмотрен случай, когда структура магнитных поверхностей вне зоны барьера остается практически неизменной (фактически предполагается сохранение объема, заключенного внутри магнитной поверхности, и среднего квадрата полоидального магнитного поля на этой поверхности, а также интегрального сохранения магнитного потока). Дополнительная связь измеряемой на эксперименте скорости вращения плазмы с параметрами магнитной конфигурации находится из условия сохранения обобщенной завихренности, справедливой в рамках двужидкостной МГД. С использованием этих ограничений выражение для скачка давления конкретизировано применительно к установке Т-10. При этом учитывается, что в процессе формирования ВТБ на Т-10 плотность плазмы остается практически неизменной (поскольку дополнительный нагрев производится введением СВЧ-мощности на частоте электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР)), а вращение плазмы без внесения тороидального импульса происходит в полоидальном направлении.

магнитных поверхностей в зоне барьера - переход от равновесия с магнитными островами к вложенным поверхностям или наоборот. Такую идею одними из первых рассматривали Захаров, Смоляков и Субботин8. Глобальная перестройка равновесия, сопровождающаяся появлением дополнительных магнитных осей, была рассмотрена в работе Брушлинского и др.9 Однако бифуркация равновесия возможна и без нарушения структуры вложенных магнитных поверхностей (см. например, обзор Брушлинского10). Солано11 предположила, что такая бифуркация может иметь место и при образовании ВТБ, однако соответствующих примеров ею построено не было. В третьем параграфе второй главы диссертации неединственность решения задачи о равновесии плазменного шнура показана аналитически в классической для уравнения Грэда-Шафранова постановке - при фиксированном полоидальном потоке магнитного поля на границе и при неизменных р'{ф) и FF'(ip) [4].

В цилиндрическом приближении плотность тороидального тока является функцией магнитной поверхности. Рассмотрена модель со ступенчатым профилем плотности тока j = ji + jid(ip - фс), где в - функция Хевисайда, ]2 > 0. Величина скачка тока (ji > 0) и его местоположение (фс) являются параметрами задачи. Аналитически показано, что количество решений может меняться в зависимости от значений этих параметров, т. е. выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между

8Захаров Л.Б., Смоляков А.И., Субботин А.А. Квазилинейное насыщение магнитных островов и бифуркация равновесий в плазме конечного давления // Физика плазмы. - 1990. - Т.16. - С.779-783.

9Врушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С., и др. Численное моделирование прямых винтовых шнуров с проводниками, погруженных в плазму // Физика плазмы. - 1994. - Т.20. - С.284-292.

10Врушлинский К.В., Савельев В.В. Магнитные ловушки для удержания плазмы // Математическое моделирование. - 1999. - Т.Н. - С.1-36.

uSolano E.R., Criticality of the Grad-Shafranov équation: transport barrière and fragile equilibria // Plasma Phys. Control. Fusion - 2004. - V.46. - L7-L13.

решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Решения краевой задачи для уравнения Грэда-Шафранова в цилиндрическом приближении, рассчитанные при следующих значениях параметров: фс = 0.28, j2 — 1, ji = 1, представлены рис.3. Графическая интерпретация зависимости !|

числа решений от параметров задачи представлена на рис.4, где изображена кривая зависимости величины фо ~ значения потока в центре плазменного шнура, фо = ф{0), полученного из решения граничной задачи, - от величины параметра фс.

В заштрихованной области каждому значению фс соответствуют три значения фо, т. е. три решения краевой задачи, вне этой области - только одно, на границе - два [4],[5]. Таким образом, поверхность решений в "расширенном фазовом" пространстве (ф,а,фс) имеет типичный для теории катастроф вид складки.

Найденные бифуркационные решения уравнения равновесия обобщаются и на случай тороидальной геометрии; такие обобщения построены с использованием моментного представления магнитных поверхностей.

поверхностями с регулярным магнитным полем и со спадающим всюду от центра плазменного шнура к периферии давлением. Реверсивный ток - это тороидальный ток, текущий в центральной ,

части плазменного шнура в направлении, противоположном направлению интегрального тороидального тока. Г. Хаммет и др.,12 используя интегральное следствие статического уравнения

12Hammett G.W., Jardin S.С., Stratton B.C. Non-existence of normal tokamak equilibria with a negative central current // Phys. Plasmas - 2003. - V.10. - P.4047-

Рис. 3: Решения краевой задачи рассчитанные для при следующих значениях параметров: фс = 0.28, Эг = 1, ¿1 = 1.

Рис. 4: Зависимость Фо{Фс), 3\ = 1, Ь = 1- Точками выделена область многозначных решений.

равновесия (теорему вириала), показали, что нормального статического равновесия с реверсивным током не существует. Кроме того, авторы указанной работы выдвинули идеи об "альтернативных равновесиях", т. е. без вложенности магнитных поверхностей или с сингулярным магнитным полем. Примеры i

альтернативного равновесия с расщепленной магнитной осью были получены при численном моделировании13. Однако поскольку вышеперечисленные работы относились лишь к случаю статического равновесия плазмы, вопрос о реализации нормальных равновесий с реверсивным током до конца решен не был. Целью третьей главы диссертации является демонстрация возможности создания нормального равновесия с реверсивным током в неоднородно вращающейся плазме. В первом параграфе приводится вывод обобщенной теоремы вириала на случай стационарных течений плазмы [2]. В этом случае, как показывается во втором параграфе, равновесия с учетом тороидального вращения плазмы не запрещены: даже чисто тороидальное вращение плазмы снимает вырождение статического уравнения и устраняет запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током [6].

В третьем параграфе такие равновесия предъявлены. Предложена асимптотическая процедура их отыскания (параметром разложения выбирается малая величина обратного

аспектного отношения). Искомые равновесия строятся с помощью метода моментного разложения уравнения Грэда-Шафранова, учитывающего тороидальное вращения плазмы; данный метод .

подробно изложен в первой главе. Проблема решения моментных уравнений в случае реверсивного тока - та же, что и для статических

4052.

13Martynov A.A., Medvedev S.Yu., Villard L., Tokamak Equilibria with Reversed Current Density // Phys. Rev. Lett. - 2003. - V.91. - P.085004-1-085004-4.

равновесий14. Вследствие изменения знака тока внутри интервала, на котором ищется решение, в этих уравнениях появляется вторая особая точка. Действительно, поскольку ток меняет направление, то должна существовать магнитная поверхность с меткой а = ао, на которой тороидальный ток обращается в нуль, J{ao) = 0, что, вообще говоря, приводит к сингулярности в моментных уравнениях, тогда как для вложенности магнитных поверхностей величина каждого момента должна быть ограничена. В диссертации предложена процедура получения регулярных ограниченных решений моментных уравнений для равновесий с реверсивным током. Идея подхода - в устранении особенностей рассматриваемых моментных уравнений за счет введения определенных ограничений на допустимые распределения равновесных характеристик. В частности, используется свобода выбора профиля скорости тороидального вращения плазмы.

При помощи этой процедуры аналитически и численно найдены смещение и эллиптичность магнитных поверхностей, отвечающие нормальному равновесию.

В Заключении сформулированы выводы и основные результаты диссертации.

l4Chu M.S., Parks P.B. On tokamak equilibria with a zero current or negative current central region // Phys. Plasmas. - 2002. - V.9 - P.5036-5042.

Основные результаты диссертационной

работы

1. Аналитически показано, что уравнение Грэда-Шафранова в своей классической постановке, т. е. для заданных зависимостей р(ф) и может иметь несколько различных решений, удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям. Показано, что решения уравнения равновесия носят в этом случае бифуркационный характер - число решений меняется скачкообразно при непрерывном изменении значений параметров задачи.

2. Предложена и подтверждена гипотеза о возможности нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током, построена математическая процедура интегрирования уравнений равновесия с особенностями, возникающими в результате обращения тока, приведен пример нормального равновесия с реверсивным током.

3. Показано, что профиль скорости тороидального вращения может значительно влиять на смещение магнитных поверхностей, в том числе, при абсолютной величине скорости много меньше тепловой. Построен аналитический пример заметного уменьшения смещения центра плазменного шнура по отношению к фиксированной границе плазмы за счет выбора подходящего профиля этой скорости.

4. Показано, что возникновение внутреннего транспортного барьера в плазме токамака может быть описано в рамках представлений о бифуркации равновесия.

5. Получено обобщение теоремы вириала на случай стационарно вращающейся плазмы.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Эффект компенсации вращением плазмы сдвига магнитных поверхностей в токамаке // Письма в ЖЭТФ. - 2000 - Т.71. - С.454-459.

[2] Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Транспортный барьер в плазме токамака как бифуркация равновесия // Физика плазмы. -2002. - Т.28.- С.99-109.

[3] Dgisonis V.I., Pozdnyakov Yu.I. Transport barrier in a tokamak as a bifurcation of plasma equilibrium //in Theory of Fusion Plasmas, Proceedings of the 20th International School of Plasma Physics, Varen-na, 2002 / Ed. by J. W. Connor, 0. Sauter, and E. Sindoni, Bologna: SIF, 2002. - P.183-196.

[4] Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Бифуркация равновесия плазменного шнура с током // Физика плазмы. - 2004. - Т.ЗО. -С.1064-1070.

[5] Pozdnyakov Yu.I. Bifurcational solutions to Grad-Shafranov equation // Proceedings of the 31st European Physical Society (EPS) Conference on Plasma Physics, London, 28 June-2 July 2004 / edited by P. Norreys and H. Hutchinson European Physical Society: Petit-Lancy,

2004. - V. 28G. - P.4.165.

[6] Pozdnyakov Yu.I. The existence of normal equilibrium in tokar make with negative current in the column center // Phys. Plasmas. -

2005. - V.12. - P.084503-1 - 084503-4.

Подписано в печать 27.04.2006. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 70. Заказ 32

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова

793*

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Поздняков, Юрий Игоревич

Введение

Стационарное вращение плазмы в токамаке. Уравнения статического равновесия. Равновесие с вращением. Принципиальные отличия равновесий с течениями от статических. Структура диссертации, положения выносимые на защиту.

Глава 1 Стационарное вращение плазмы в токамаке. 1.1. Общая структура уравнений МГД равновесия.

1.2. Тороидальное вращения плазмы в системах с почти круглыми магнитными поверхностями.

1.3. Минимизация сдвига магнитных поверхностей.

Глава 2 Бифуркация равновесия плазмы в токамаке. 2.1. Явление Внутреннего Транспортного Барьера (ВТБ), его основные свойства.

2.2. ВТБ как бифуркация равновесия.

2.3. Примеры бифуркационных решений УГШ.

Глава 3 Равновесие плазмы в токамаке с реверсивным током.

3.1. Интегральное следствие стационарных МГД уравнений (теорема вириала и ее аналоги).

3.2. Особенности равновесия с реверсивным током.

3.3. Нормальное равновесие с реверсивным током.

Введение диссертация по физике, на тему "Влияние неоднородного вращения плазмы на равновесие в токамаке"

В данной диссертации представлено теоретическое исследование влияния неоднородного вращения плазмы в токамаке на равновесие. Подробно рассмотрены следующие вопросы: влияние тороидального вращения плазмы на смещение магнитных поверхностей, возможная связь равновесного вращения плазмы с явлением внутреннего транспортного барьера (ВТБ), роль вращения плазмы в получении режимов с реверсивным током.

Токамаки являются наиболее развитыми в настоящее время установками для магнитного удержания высокотемпературной плазмы. Они представляют собой тороидальные аксиально-симметричные системы с током, текущим по плазменному шнуру в тороидальном направлении. Основу теории удержания плазмы составляет теория равновесия, поскольку времена, за которые устанавливается (разрушается) равновесие, обычно малы по сравнению с временами удержания, и при отсутствии равновесия говорить о стационарном удержании не приходится.

В конце 1950-х - начале 1960-х годов была создана теория статического равновесия (со средней массовой скоростью v = 0), см., например, известные обзоры [1]- [5]. Эта теория отвечала на практические вопросы, давала четкие рекомендации, следование которым обеспечило определенный прогресс в исследованиях по удержанию плазмы в токамаках.

К 70-м годам прошлого века многие принципиальные задачи статического равновесия плазмы были уже решены, к этому же времени стало ясно, что для продвижения к термоядерным температурам необходим дополнительный (неомический) нагрев плазмы. Удобным мощным средством дополнительного нагрева служит инжекция пучков быстрых нейтральных атомов, при которой возможно внесение нескомпенсированно-го момента импульса в плазму, что приводит к ее вращению. Кроме того, в начале 80-х годов прошлого столетия был достигнут значительный прогресс в приближении к термоядерным параметрам, когда был открыт один из режимов улучшенного удержания, названный Н-модой. Немного позже стало ясно, что такие режимы зачастую сопровождаются макроскопическим вращением плазмы, которое в настоящее время диагностируется на многих современных установках. В современных крупных то-камаках плазма может вращаться как в тороидальном направлении (см., например, [6]), так и в полоидальном (см., например, [7]), причем величина скорости вращения может достигать значений звуковой скорости. Речь идет о стационарном (независящем от времени) вращении.

Когда возможность реализации режимов со стационарным вращением плазмы стала очевидной, появились первые работы, в которых анализировалось влияние вращения плазмы на равновесие в токамаке. Среди этих работ, в первую очередь, стоит отметить работу Машке [8], в которой рассматривалось влияние течений с малыми скоростями на равновесия при малом параметре (3 (величина /3 равна отношению давления плазмы к давлению магнитного поля, /3 ~ р/В2). Затем Грин и Цер-фельд [9] рассмотрели ту же задачу, но без ограничения на величины скорости и параметра /3, и аналогично Шафранову [10], по всей видимости, впервые редуцировали систему векторных стационарных магни-тогидродинамических (МГД) уравнений для случая аксиальной симметрии. Ограничение, которое было использовано при получении скалярных уравнений - это постоянство температуры всюду в шнуре токамака. Грин и Церфельд в этой же работе получили формулу, определяющую зависимость сдвига магнитных поверхностей от давления и от скорости течения плазмы, аналогичную формуле, полученной Шафрановым для статического равновесия [1]. Отметим, что указанное предположение о постоянстве температуры, не влияет на данную зависимость. В своей последующей работе Грин и Церфельд [11] рассмотрели влияние чисто тороидального вращения на сдвиг магнитных поверхностей и указали на влияние вращения плазмы на сдвиг магнитных поверхностей. В этой работе был сделан справедливый вывод о том, что спадающая от центра к периферии плотность кинетической энергии тороидального вращения увеличивает смещение магнитных поверхностей, и указано на то, что модифицированный вследствие вращения плазмы сдвиг магнитных поверхностей зависит, вообще говоря, и от ее градиента. Однако эта зависимость была оценена как несущественная. Несущественность эффекта влияния скорости вращения на сдвиг магнитных поверхностей, отмеченная Грином и Церфельдом, была связана с тем, что, как будет показано ниже, в указанной работе был рассмотрен лишь параболический профиль давления плазмы и заранее предписанный (не оптимальный) профиль скорости тороидального вращения плазмы, т. е. авторы не рассмотрели возможность использования свободы выбора профиля скорости тороидального вращения плазмы.

В предположении постоянства энтропии на магнитной поверхности редуцирование МГД уравнений для осесимметричной геометрии рассмотрел Хамеири [12].

Надо заметить, что работы 70-х - 80-х годов по равновесию с течениями плазмы опережали свое время. Опережение заключалось в том, что скорости потоков плазмы и их градиенты в эксперименте были незначительны, и до конца 80-х годов теория равновесия плазмы рассматривалась как статическая теория.

В 1987 году Кернер и Токуда вновь рассмотрели задачу о равновесии плазмы в токамаке со стационарными потоками, аналогично тому, как это было сделано в работе [12], создав численный код, учитывающий тороидальное вращение плазмы [13]. Дальнейшее развитие теория равновесия со стационарным вращением получила в 90-х годах. В то эта время теория развивалась в работах по созданию численных кодов и в работах по исследованию точных решений и особенностей стационарных течений. Среди наиболее известных численных кодов - код CLIO [14], код FINESS [15]. Код CLIO используется для определения сверхзвуковых течений на установке JET, a FINESS - для расчетов астрофизических и лабораторных плазменных конфигураций. Кроме того, относительно недавно был разработан код FLOW, моделирующий стационарные по-лоидальные и тороидальные течения, достигающие скоростей, сравнимых со скоростью звука [16]. В теоретической работе [17], исследующей переход от звуковых течений к сверхзвуковым в полоидальном направлении, использовался метод моментного разложения. В данной работе такие "экзотические" эффекты рассматриваться не будут; в основном будут рассмотрены эффекты связанные именно с неоднородностью (ши-ровостью) стационарной скорости плазмы в токамаке. В диссертации показывается, что наличие скорости вращения плазмы, изменяющейся на достаточно малом (по сравнению с изменением давления) масштабе или наличие профилированного должным образом вращения может приводить к нетривиальным эффектам даже в случае, когда абсолютное значение скорости не велико по отношению к скорости звука.

Кратко приведем основные положения статической теории равновесия. Основу данной теории составляет следующая система векторных уравнений:

Vp = rotB х В, (1) divB = 0. (2)

Здесь и в дальнейшем используется Гауссова система единиц при следующей нормировке магнитного поля: В —> В/\/47г, В - вектор индукции магнитного поля, р - давление плазмы.

Все величины в (1)-(2) следует рассматривать как функции точки пространства, / = /(г). Уравнение (1) обычно называют уравнением силового баланса.

При рассмотрении задачи о равновесии плазмы в токамаке делается традиционное предположение об аксиальной симметрии, которое означает, что в цилиндрической системе координат г, ф, z с центром, совпадающим с геометрическим центром токамака, все величины зависят только от двух переменных: /(г) = f(r,z), а тороидальный угол ф является при этом циклической переменой (дф — 0). Из этого предположения и из уравнения (2) следует общий вид магнитного поля

В - Щ х Чф + F(r, z)V<t>, (3) f где ф - полоидальный поток магнитного поля, a F(r, z) - полоидальный ток. Уравнение (1) сводится к трем скалярным следствиям. Из равенства (3) следует, что

W F4F rotB х В = -А- V^([VF х V0] • Щ) - (4) поэтому, исключив из рассмотрения возможные <5-образные решения, локализованные на рациональных магнитных поверхностях, получим, две компоненты уравнения (1) определяющие функциональную зависимость давления плазмы р и полоидального тока F: р = р(ф) , F = F(ip). (5)

Третье следствие уравнения силового баланса (1) - это известное уравнение Грэда-Шафранова (УГШ):

Уравнение (6) было получено в 1957 г. [10] и с тех пор является предметом пристального внимания физиков и математиков; обычно оно решается для предписанных (заранее заданных) зависимостей (5) в некоторой области r,z G £1. Отметим, что помимо уравнения (6), полученного в предположении аксиальной симметрии, позже было получено аналогичное уравнение для задач с винтовой симметрией [18]. Общий случай произвольных двумерных (обладающих какой-либо симметрией) задач плазмостатики в криволинейных координатах рассмотрен в обзоре [19].

По определению (3), В • Vifi = 0, поэтому поверхности равного по-лоидального ф = const потока называются магнитными поверхностями. В статической магнитной конфигурации, как следует из уравнения (5), магнитные поверхности совпадают с поверхностями постоянного давления. Основное предположение относительно топологии магнитных поверхностей в токамаке - это предположение об их вложенности. Самая внутренняя магнитная поверхность вырождается в замкнутую линию - магнитную ось. В конфигурации может быть несколько магнитных осей, вокруг которых образованы собственные системы вложенных торов. Эти области разделены сепаратрисными поверхностями. Для удержания плазмы желательно иметь конфигурацию с минимальным числом сепаратрис, так как выравнивание давления и температуры вдоль сепаратрисы приводит к увеличению эффективного поперечного выноса энергии из плазмы.

Как отмечалось ранее, в данной работе будет обсуждаться модель равновесия плазмы в токамаке при наличии стационарного вращения, поэтому кратко приведем модель, описывающую такое равновесие - равновесную одножидкостную магнитную гидродинамику (МГД), которая учитывает наиболее "грубые" закономерности поведения плазмы в терминах давления р, массовой скорости v и индукции магнитного поля В: div(/?v) = 0 , р(у • V)v + Vp = rotB х В ,

7) rot[v x В] = 0.

Уравнения (7)-(9) называют стационарными уравнениями идеальной од-ножидкостной МГД, поскольку в них не учтены процессы, зависящие от времени = 0), а также диссипативные эффекты, которые связаны с вязкостью плазмы, конечной электропроводностью и т. п. К этим уравнениям следует добавить уравнение определяющее давление р, это будет сделано ниже. В данной диссертации рассматривается именно идеальная модель, вполне удовлетворяющая описанию многих физических процессов в высокотемпературной плазме. Отметим, что существует несколько МГД моделей. Условия применимости одножидкостной МГД модели хорошо известны (см., например, обзор [20]). Применимость уравнений (1)-(2) статического равновесия обсуждалась в ряде известных обзоров (см., например, [5], [21]). Обычно обсуждаемой возможностью пренебрежения массовой скоростью движения плазмы (т. е. перехода к статической модели), указанной в [5], является малость кинетической энергии направленного движения плазмы по сравнению с тепловой: pv2 <С р. Это условие вполне приемлимо при том, что характерный масштаб изменения кинетической энергии вращения плазмы соответствует масштабу изменения давления плазмы - малому радиусу плазменного шнура: pv2(r)/l ~ p/s, где I ~ s. В настоящей диссертации производится переоценка этого условия и утверждается, что условием пренебрежения скоростью плазменного вращения является малость величины |p(v- V)v| по сравнению с |Vp|, поскольку масштабы изменения величин давления и кинетической энергии движения могут быть различными.

В работе Грина и Церфельда [11] отмечено влияние как самой величины скорости, так и ее профиля на величину сдвига магнитных поверхностей, однако, сам эффект, указанный в этой работе оказался слабым; причины этого обсуждаются в гл.1. Утверждение о том, что влияние скорости на смещение магнитных поверхностей может быть значительным, сделано в работе [22]. Влияния скорости вращения на равновесие не является очевидным, и в недавней работе [23] утверждается, что этот эффект всегда пренебрежительно мал при значениях скорости меньшей звукового значения. В работе [25] влияние скорости на сдвиг магнитных поверхностей продемонстрировано на конкретных примерах. Эффект уменьшения смещения магнитных поверхностей был также продемонстрирован в работе [26] из анализа примера точного решения УГШ с учетом тороидального вращения. Таким образом, важным фактором в равновесии с вращением является появление новых, не являющихся пренебрежимо малыми при определенных профилях скорости вращения, поверхностных функций - "рычагов", которые дают дополнительную возможность управлять равновесием. В работах [22], [25] роль такого дополнительного рычага играет производная частоты тороидального вращения плазмы по метке магнитной поверхности (в общем случае стационарное вращение плазмы в токамаке характеризуется двумя поверхностными функциями).

Другой аспект нетривиального влияния скорости вращения плазмы на равновесие был продемонстрирован в работе автора [27], где рассмотрен вопрос о равновесии с так называемым реверсивным током [28]. В этой работе показано, что наличие профилированного надлежащим образом вращения плазмы приводит к тому, что равновесие со вложенными магнитными поверхностями при таком токе становится возможным, тогда как в отсутствие вращения - нет. Предыстория вопроса о существовании равновесий с обращенным током такова: в 2000-м году на установках JET [29] и JT-60 [30] были получены режимы с полым током (ток в центре равен нулю и нарастает к периферии шнура). После реализации режимов с полым током возник вопрос о существовании режимов с током, текущим в центре шнура в направлении, противоположном основному току плазмы. Как оказалось, равновесия со вложенными магнитными поверхностями и со спадающим всюду от центра токамака к периферии давлением и с таким током запрещены в рамках статической теории. В работе [27] показано, что наличие неоднородного тороидального вращения может кардинально изменить структуру равновесия - сделать возможным равновесие с реверсивным током.

Одна из причин, в результате которых полый ток привлекателен -устойчивость плазмы по отношению к баллонным модам, поэтому его наличие позволяет наиболее просто реализовать режимы с "улучшенным удержанием" плазмы. Основной прогресс по магнитному термоядерному синтезу в последние два десятилетия связан с получением режимов с улучшенным удержанием. К числу таких режимов помимо Я-моды и ее разновидностей относятся режимы с внутренними транспортными барьерами (ВТБ).

ВТБ - это формирование в объеме плазмы узкого (по малому радиусу) слоя с высокими значениями градиентов параметров плазмы (давления и/или плотности). Собственно термин "транспортный барьер" иллюстрирует следующую цепочку простых рассуждений. Обычно считают, что транспортные потоки линейно связаны с градиентами температуры и (или) плотности. Поэтому если в рассматриваемой зоне возникают большие градиенты этих величин, то сохранение потока свидетельствует о резком уменьшении соответствующих транспортных коэффициентов в указанной зоне, отсюда термин - "транспортный барьер". Следует отметить, что посылка о линейной зависимости потока от градиентов физических величин (т. е. посылка о том, что транспорт является диффузионным) отнюдь не является самоочевидной.

В экспериментах второй половины 1990-х ВТБ зачастую получаются путем скачкообразного перехода из одного состояния равновесия в другое [31, 32], демонстрирующего характерные признаки бифуркаций, в том числе, резкое изменение некоторых равновесных параметров (в частности, среднего давления плазмы), гистерезис и пр. Попыткам объяснения возможности перехода в режим с улучшенным удержанием, основы-ванным на бифуркационном поведении неоклассических транспортных коэффициентов, посвящен обзор [33]. В работе JI.M. Коврижных [34] задолго до открытия явления транспортных барьеров утверждалось, что бифуркационное поведение, в принципе, могут демонстрировать даже неоклассические транспортные коэффициенты, однако, как показано в недавней работе того же автора [35], бифуркация неоклассических коэффициентов переноса не имеет места.

Попыткам объяснения как Я-моды, так и ВТБ бифуркацией коэффициентов аномального переноса, посвящены работы [36] - [39].

Если, все-таки, предположить, что коэффициенты переноса испытывают бифуркацию, то изменения макроскопического состояния плазмы в результате изменения транспортных процессов должны, казалось бы, происходить за времена, сравнимые с временем жизни плазмы и/или с характерными временами диссипации (или источников/стоков), тогда как в реальных экспериментах они происходят значительно быстрее. Быстрое изменение макроскопического состояния плазмы означает уход от исходного состояния равновесия, в. результате чего нарушается баланс сил в уравнении (1) и возникает гидродинамическое движение плазмы, реализующееся, в том числе, в виде развитой турбулентности, которая может затем либо срелаксировать к какому-то новому равновесию, либо поддерживаться неустойчивостями в состоянии, которое молено назвать равновесием лишь "в среднем". Характерной чертой транспортных барьеров, выявленной к настоящему времени вполне надежно, является возникновение в зоне барьера весьма значительного электрического поля и, следовательно, макроскопически заметного вращения плазмы в этом слое. Долгоживущая плазменная конфигурация с ВТБ должна отвечать условиям равновесия, иначе такая конфигурация разрушилась бы за МГД времена. Поэтому в работах [40], [41] явления ВТБ трактуются с точки зрения МГД равновесия. В этих работах предложена концепция формирования транспортного барьера как бифуркации равновесного состояния, сопровождающейся макроскопическим вращением плазмы в зоне барьера. Как известно, бифуркационные переходы происходят при ограничении числа степеней свободы системы, предопределяя саму возможность скачкообразного перехода перехода и допустимые изменения параметров системы. В работе [41] в качестве дополнительного ограничения при переходе рассматривалось сохранение перекрестной спиральности, сам механизм бифуркации в работах [40], [41] не исследовался. Однако необходимо отметить, что возможность бифуркации равновесных состояний плазмы в токамаке не являются широко известными. Часто можно встретить утверждение о том, что плавное изменение за счет внешних факторов плазмы приводит к немедленному перераспределению текущих по ней токов и, как следствие, к столь же плавной эволюции равновесия. В противоположность этому в работах [42, 43] явно продемонстрирована бифуркация в рамках классической задачи о равновесии плазменного шнура с током на примере простого профиля тока, при котором задача может быть решена аналитически. Выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между различными решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Существенно, что неединственность решения задачи связана именно с нелинейностью рассматриваемого уравнения равновесия, а не с тороидальными эффектами - основной результат получен для цилиндрического шнура, а затем продемонстрирован и для тороидальных поправок.

Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы. В первой главе показывается, что профиль скорости вращения плазмы может оказывать существенное влияние на характеристики равновесия, в частности, на величину смещения магнитных поверхностей. В ней определяются используемые в дальнейшем понятия и демонстрируются отличия равновесий с течениями от статических.

В первом параграфе описаны уравнения идеального МГД равновесия стационарно вращающейся плазмы в тороидальной системе магнитного удержания и их следствия для случая аксиальной симметрии. Как и в случае статического равновесия (без макроскопического движения плазмы, v(i,r) = 0), векторное уравнение силового баланса эквивалентно трем скалярным уравнениям. Одно из уравнений - это аналог уравнения Грэда-Шафранова, два других устанавливают функциональные зависимости полоидального тока и давления от полоидального потока, которые в отличие от статического случая являются функциями двух переменных - потока магнитного поля ф и радиуса г в цилиндрической системе координат. Уравнение, определяющее характер зависимости давления от координаты г, легко интегрируется в случаях, когда хотя бы одна из трех функций является поверхностной: 1) плотность; 2) температура; 3) энтропия. Эти три зависимости фигурировали в том или ином виде в литературе и ранее. В частности, в [12] был рассмотрен случай, когда энтропия является поверхностной функцией; в весьма близкой форме эти уравнения были получены в [44]. В нашей работе [40] рассмотрены все три случая.

Во втором параграфе излагается техника моментного разложения уравнения равновесия тороидально вращающейся плазмы в соответствии с методом, изложенным в известном обзоре Захарова и Шафранова [5]. Равновесие с чисто тороидальным вращением описывается уравнением, схожим по форме с обычным уравнением Грэда-Шафранова. Единственное отличие состоит в том, что производная давления dp/йф должна быть заменена на частную производную (др/дф)г, поскольку величина давления, как и в общем случае вращения, является функцией двух переменных -фиг, тогда как в статике - только ф.

Уравнение Грэда-Шафранова с учетом тороидального вращения сначала переписывается в натуральных координатах (а, 9, ф), где а - метка магнитной поверхности: ф = ф{а), в - полоидальный угол, ф - тороидальный. Затем, вводя моменты описывающие форму магнитной поверхности - смещение и эллиптичность - получаем уравнения для их отыскания. Заметим, что уравнения, определяющие эллиптичность и более высокие моменты, имеют различную зависимость от скорости тороидального вращения. Эта зависимость определяется тем, какая из трех функций (плотность, температура или энтропия) выбрана в качестве поверхностной.

Регулируя скорость вращения плазмы в токамаке, можно управлять параметрами авновесия. Для демонстрации таких возможностей в третьем параграфе рассматривается связь величины смещения магнитных поверхностей с абсолютной величиной и профилем скорости вращения плазмы. Используя свободу в выборе профиля скорости (при том, что давление спадает от центра к периферии плазменного шнура) было показано, что величина смещения магнитных поверхностей может быть уменьшена.

В первом параграфе второй главы рассматривается явление ВТБ и приводятся основные экспериментальные наблюдения, присущие этому явлению. Среди многочисленных теоретических моделей о возникновении ВТБ в настоящее время доминирует следующая концепция [45]: транспорт в токамаке - вообще говоря, аномальный; неоднородное вращение плазмы под действием электрического поля в зоне барьера приводит к декорреляции возмущений, снижению уровня турбулентности и, следовательно, - к уменьшению транспортных коэффициентов. В настоящей работе анализ механизма транспорта в зоне барьера не производится. Возникновение ВТБ как узкого слоя с высокими значениями градиентов параметров плазмы является непреложным эксперименталь- ным фактом, причем ВТБ представляет собой долгоживущее образование. Это означает, что плазменная конфигурация с ВТБ должна отвечать условиям МГД равновесия, поскольку в противном случае быстрые МГД процессы разрушили бы ее за времена порядка альфвеновских.

В диссертации рассмотрена возможность бифуркации термодинамических характеристик (например, температуры). Возникновение вращения при этом - следствие дисбаланса сил, приведшего к переходу. Во втором параграфе из сравнения двух состояний равновесия - до и после формирования барьера - устанавливается величина скачка давления на границе барьера в виде функционала, определяемого параметрами начальной и конечной конфигураций и скоростью вращения плазмы в зоне барьера [40], т. е. возникновение внутреннего транспортного барьера в плазме токамака трактуется как бифуркация равновесного состояния. Эта величина конкретизирована для токамака круглого сечения на примере установки Т-10. Переход из одного состояния в другое может носить бифуркационный характер лишь в том случае, когда эти параметры не произвольны, а связаны какими-то ограничениями; в противном случае будет наблюдаться непрерывная эволюция равновесия. Эти ограничения могут быть следствиями различных физических процессов, но, тем не менее, приводить к сходным макроскопическим результатам. В диссертации рассмотрен случай, когда стуктура магнитных поверхностей вне зоны барьера остается практически неизменной (фактически предполагается сохранение объема, заключенного внутри магнитной поверхности, и среднего квадрата полоидального магнитного поля на этой поверхности, а также интегрального сохранения магнитного потока). Дополнительная связь измеряемой на эксперименте скорости вращения плазмы с параметрами магнитной конфигурации находится из условия сохранения обобщенной завихренности, справедливой в рамках двужидкостной МГД. С использованием этих ограничений выражение для скачка давления конкретизировано применительно к установке Т-10. При этом учитывается, что в процессе формирования ВТБ на Т-10 плотность плазмы остается практически неизменной (поскольку дополнительный нагрев производится введением СВЧ-мощности на частоте электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР)), а вращение плазмы без внесения тороидального импульса происходит в полоидальном направлении.

Макроскопические следствия бифуркации равновесия, рассмотренные во втором параграфе второй главы, получены без обсуждения собственно механизма бифуркации, который может быть различен. Источник бифуркации - в нелинейности уравнения равновесия, что позволяет ожидать появления неединственных (множественных) решений даже в рамках статического равновесия. К примеру, физически разумным является представление о спонтанном изменении структуры магнитных поверхностей в зоне барьера - переход от равновесия с магнитными островами к вложенным поверхностям или наоборот. Такую идею одними из первых рассматривали Захаров, Смоляков и Субботин [46]. Глобальная перестройка равновесия, сопровождающаяся появлением дополнительных магнитных осей, была рассмотрена в работе Брушлинского и др. [47]. Однако бифуркация равновесия возможна и без нарушения структуры вложенных магнитных поверхностей (см. например, обзор Брушлинского [48]). Солано [49] предположила, что такая бифуркация может иметь место и при образовании ВТБ, однако соответствующих примеров ею построено не было. В третьем параграфе второй главы диссертации неединственность решения задачи о равновесии плазменного шнура показана аналитически в классической для уравнения Грэда-Шафранова постановке - при фиксированном полоидальном потоке магнитного поля на границе и при неизменных р{ф) и F(-ф). В цилиндрическом приближении плотность тороидального тока является функцией магнитной поверхности. Рассмотрена модель со ступенчатым профилем плотности тока j = j2 + 3\0{ф — фс), где 9 - функция Хевисайда, ]2 > 0. Величина скачка тока (ji > 0) и его местоположение (фс) являются параметрами задачи. Показано, что количество решений может меняться в зависимости от значений этих параметров, т. е. выбранная параметризация задачи позволяет обнаружить бифуркационные переходы между решениями без нарушения тороидально вложенной структуры магнитных поверхностей. Следует отметить, что теория бифуркаций для краевых задач практически не разработана, поскольку теория катастроф обычно имеет дело с асимптотическим поведением динамических систем, определяемым характером особенностей векторных полей на фазовых портретах этих систем [50].

На неединственный характер решений УГШ в литературе уже указывалось. Неединственности решений УГШ при фиксированном полойдальном потоке магнитного поля на границе плазменного шнура (применительно не только к токамаку) встречались также в работах [51], [52] и обсуждались в обзорах [53], [48] при численных расчетах. Кроме того, в работе [54] для экспоненциально спадающего профиля давления численными расчетами были получены сходные множественные решения, где граничное значение ф как раз и является бифуркационным параметром. Кроме того, построенные в [54] решения ф{а) (и, соответственно, р(а)) могут не быть монотонными. В настоящей диссертации граничные условия фиксированы, и решения получены аналитически для ступенчатого профиля плотности тока, при помощи которого можно моделировать любой ход плотности тока. Показано, что бифуркационная кривая задачи имеет типичный для теории катастроф вид складки. Найденные бифуркационные решения уравнения равновесия обобщаются и на случай тороидальной геометрии; такие обобщения построены с использованием моментного представления магнитных поверхностей.

В третьей главе рассматривается вопрос о существовании нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током. Под термином "нормальное равновесие" понимается равновесие вокруг. единственной магнитной оси со вложенными магнитными поверхностями с регулярным магнитным полем и со спадающим всюду от центра плазменного шнура к периферии давлением. Реверсивный ток - это тороидальный ток, текущий в центральной части плазменного шнура в направлении, противоположном направлению интегрального тороидального тока. Г. Хаммет и др. [55], используя интегральное следствие статического уравнения равновесия (теорему вириала), показали, что нормального статического равновесия с реверсивным током не существует. Кроме того, авторы указанной работы выдвинули идеи об "альтернативных равновесиях", т. е. без вложенности магнитных поверхностей или с сингулярным магнитным полем. Примеры альтернативного равновесия с расщепленной магнитной осью были получены при численном моделировании [56], [57], а позднее и при аналитическом рассмотрении [58]. Однако поскольку вышеперечисленные работы относились лишь к случаю статического равновесия плазмы, вопрос о реализации нормальных равновесий с реверсивным током до конца решен не был. Целью третьей главы диссертации является демонстрация возможности создания нормального равновесия с реверсивным током в неоднородно вращающейся плазме. В первом параграфе приводится вывод обобщенной теоремы вириала на случай стационарных течений плазмы [40]. В этом случае, как показывается во втором параграфе, равновесия с учетом тороидального вращения плазмы не запрещены: даже чисто тороидальное вращение плазмы снимает вырождения статического уравнения и устраняет запрет на существование нормальных равновесий с реверсивным током [27].

В третьем параграфе такие равновесия предъявлены. Предложена асимптотическая процедура их отыскания (параметром разложения выбирается малая величина обратного аспектного отношения). Искомые равновесия строятся с помощью метода моментного разложения уравнения Грэда-Шафранова, учитывающего тороидальное вращения плазмы; данный метод подробно изложен в первой главе. Проблема решения моментных уравнений в случае реверсивного тока - та же, что и для статических равновесий [59]. Вследствие изменения знака тока внутри интервала, на котором ищется решение, в этих уравнениях появляется вторая особая точка. Действительно, поскольку ток меняет направление, то должна существовать магнитная поверхность с меткой а = ао, на которой тороидальный ток обращается в нуль, «/(ао) = 0, что, вообще говоря, приводит к сингулярности в моментных уравнениях, тогда как для вложенности магнитных поверхностей величина каждого момента должна быть ограничена. В диссертации предложена процедура получения регулярных ограниченных решений моментных уравнений для равновесий с реверсивным током. Идея подхода - в устранении особенностей рассматриваемых моментных уравнений за счет введения определенных ограничений на допустимые распределения равновесных характеристик. В частности, используется свобода выбора профиля скорости тороидального вращения плазмы.

В Заключении кратко суммированы основные результаты диссертации.

Следующие положения автор выносит на защиту.

2. Представление о бифуркации равновесия при возникновении внутреннего транспортного барьера в токамаке;

5. Нахождение нормального равновесия плазмы в токамаке с реверсивным током.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22], [40],

41], [42], [43], [27].

Заключение диссертации по теме "Физика плазмы"

Заключение.

В данной диссертационной работе продемонстрирована нетривиальная роль влияния неоднородного вращения на параметры равновесия плазмы в токамаке. Дополнительная свобода, связанная с выбором профиля скорости, позволяет избежать ряда ограничений статического равновесия и расширяет допустимые значения параметров.

В задачах представленных в диссертации показано, что роль вращения в теории равновесия отнюдь не сводится к учету малой поправки, связанной с центробежной силой, действующей на плазму. Продемонстрировано, что неоднородное вращение может влиять (причем существенно) на параметры равновесия. Используя это влияние можно управлять самим равновесием: менять величину смещения магнитных поверхностей, осуществлять нормальное равновесие с обратным током. Поэтому учет вращения необходим при создании численных кодов, используемых при планировании экспериментов на крупных токамаках, а также при проектировании ИТЭРа.

Показано, что вращение может служить триггером перехода в другое равновесное.состояние с улучшенными характеристиками удержания, в частности, в режим с внутренним транспортным барьером. Обнаружено что, неоднородное вращение плазмы снимает запрет на существование обратного тока при вложенных магнитных поверхностях.

Возможность бифуркационного перехода из одного равновесия в другое была явно продемонстрирована на примере даже статического равновесия и показано, что бифуркационная кривая задачи имеет типичный для теории катастроф вид складки [50]. Простота модели и стандартность формулировки краевой задачи позволяют предположить, что такое поведение решений является скорее правилом, чем исключением. Несколько парадоксальным выглядит отсутствие указаний на такую бифуркацию в численных расчетах. Численные расчеты равновесия плазмы путем решения уравнения Грэда-Шафранова сопровождают любой современный эксперимент на токамаках; множественные решения при этом не отмечаются. Скорее всего, это связано с принятой в настоящее время методикой проведения таких расчетов, когда диапазон изменения безразмерной величины ф фиксирован, скажем, интервалом ф £ [0,1]. Выход величины ф за пределы данного диапазона компенсируется на каждой итерации подбором специально вводимого в уравнение (6) масштабного множителя перед плотностью тока, что регуляризирует процедуру и обеспечивает сходимость итерационного процесса (см., например, [83]). Однако, тем самым, решается уже другая задача - с другой плотностью тока.

Вышесказанное позволяет сделать вывод о том, что даже расчет двумерного статического равновесия плазмы не является корректной задачей в том смысле, что допускает множественные решения ввиду своей нелинейности. Поэтому учет возможных неоднозначных решений уравнений равновесия (как при наличии вращения так и без него) является важным при расчетах на современных крупных токамаках.

Из результатов экспериментов, проводимых в настоящее время, видно, что долгоживущая плазменная конфигурация обычно не находится точно в стационаре. Такой вывод может быть сделан, поскольку различные диагностические средства, как правило, обнаруживают довольно высокий уровень турбулентных пульсаций, включающих возможную МГД-конвекцию (описание и примеры которой, включая численное моделирование, см. в недавних работах [84, 85]). Тем не менее значение основных характеристик плазмы, таких как плотность, температура, массовая скорость и др., усредненные по интервалу времени, большему характерных периодов пульсаций, могут быть практически неизменными. Это означает, что уравнение силового баланса выполнено в среднем, т.е. система находится в квазистационаре. Таким образом, уравнения равновесия описывают каркас плазменной конфигурации, на фоне которого развиваются процессы типа турбулентности, дрейфа и т.п. Эти процессы не искажают равновесия в среднем, хотя локально (в данной точке пространства и в данный момент времени) уравнения равновесия и не выполняются.

Дальнейшее развитие идей, представленных в диссертации, представляется в решении задач связанных с устойчивостью и турбулентностью плазмы применительно к современным токамакам, в которых неоднородное вращение может возникать, как под воздействием внешних источников, так и самосогласованно результате развития турбулентности.

В заключение автор выражает свою самую искреннюю благодарность В.И. Ильгисонису - научному руководителю, инициатору и соавтору большего числа работ, положенных в основу диссертации; благодарит его за внимание и многочисленные плодотворные обсуждения, в ходе которых сформировались физические воззрения автора. Автор глубоко признателен Э.И. Юрченко и М.И. Михайлову за критические замечания по материалам диссертации, а также сотрудникам теоретического отдела ИЯС за конструктивную критику.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Поздняков, Юрий Игоревич, Москва

1. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы, вып.2 / Под ред. М.А. Леонтовича - М.: Госатом-издат, 1963. - С.92-131.

2. Соловьев J1.C., Шафранов В.Д. Замкнутые магнитные конфигурации для удержания плазмы // Вопросы теории плазмы, вып.5 / Под ред. М.А. Леонтовича М., Атомиздат, 1967. - С.3-208.

3. Mukhovatov V.S., Shafranov V.D. Plasma equilibrium in a tokamak // Nucl. Fusion 1971. - V.ll. - P.605-633.

4. Greene J.M., Johnson J.L., Weimer K.E. Tokamak equilibrium // Phys. Fluids.- 1971 V.14 - P.671-683.

5. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Равновесие плазмы с током в тороидальных системах // Вопросы теории плазмы, вып.11 / Под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева М., Атомиздат, 1982. - С.118-235.

6. Tammen Н. F., Donne A. J. Н., Euringer Н., and Oyevaar Е. First measurements of the toroidal rotation of the bulk ions at TEXTOR by Rutherford scattering // Phys. Rev. Lett. 1994. - V.72. - P.356-359.

7. Bell R.E., Levinton F.M., Batha S.H., et al. Poloidal Rotation in TFTR Reversed Shear Plasmas // Phys. Rev. Lett. 1998. - V.81- P. 1429-1432.

8. Maschke E.K. Classical diffusion of a stationary toroidal plasma // Plasma Physics. 1971. - V.13 - P.905-912.

9. Zehrfeld H.P., Green B.J. Stationary toroidal equilibria at finite beta // Nucl. Fusion. 1972. - V.12 - P.569-575.

10. Шафранов В.Д. О равновесных магнитных конфигурациях // ЖЭТФ. 1957. - Т.ЗЗ. - С.710-722.

11. Zehrfeld Н.Р., Green B.J. The effect of plasma flow on the toroidal equilibrium shift // Nucl. Fusion. 1973. - V.13. - P.750-752.

12. Hameiri E. Adiabatic compression of rotating plasmas // Phys.Rev.A.- 1983. V.27. - P.1259-1261.

13. Kerner W., Tokuda S.Computation of tokamak equilibria with steady flow // Z. Naturforsch. 1987. - V. 42a. - P.1154-166.

14. Semenzato S., Gruber R., Zehrfeld H.P. Computational problems in the calculation of magnetohydrodynamic equilibria // Compute Phys.Rep.- 1984. V.l. - P.389-425.

15. ВеПёп A.J.C., Botchev M.A., Goedbloed J.P., van der Hoist, Keppens R. FINESSE: Axisymmetric MHD Equilibria with Flow // J. Comput. Phys. 2002. - V.182. - P.91-117.

16. Guazzoto L., Betty R., Manicam J., Kaye S. Numerical study of tokamak equilibria with arbitrary flow // Phys Plasmas. 2004. - V.ll- P.604-614.

17. Betti R., Freidberg J.R Radial discontinuities in tokamak magnetohydrodynamic equilibria with poloidal flow // Phys. Plasmas. 2000. - V.7 - P.2439-2448.

18. Johnson J.L., Oberman C.R., Kulsrud R.M., Frieman E.A. Some stable hydromagnetic equilibria // Phys. Fluids. 1958. - V.l. - P.281-296.

19. Дегтярев JI.M., Дроздов В.В., Медведев С.Ю. Численное моделирование равновесия и устойчивости тороидальной плазмы // Итоги науки и техники, Т.6. Сер. Физика плазмы. М.гВИНИТИ, 1985. -С.81-134.

20. Калсруд Р. Магнитогидродинамическое описание плазмы // Основы физики плазмы, Т.1 / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана М.: Энергоатомиздат, 1983. - С. 122-152.

21. Hinton F., Hazeltine R. Theory of plasma transport in toroidal confinement systems // Rev. Mod. Phys. 1976. - V.48. - P. 239-308.

22. Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Эффект компенсации вращением плазмы сдвига магнитных поверхностей в токамаке // Письма в ЖЭТФ.-2000 Т.71. - С.454-459.

23. Пустовитов В.Д. О равновесии с варшением и без // Физика плазмы. 2003. - Т.29. - С.124-130.

24. Ильгисонис В.И. Замечание о равновесии вращающейся плазмы j j Физика плазмы. 2003. - Т.29. - С.302-304.

25. G. Poulipoulis, Tasso Н. and Throumoulopolus G.N. Toroidal flow-caused change in magnetic topology of equilibrium eigenstates // Phys. Plasmas. 2005. - V.12. - 042112-042121.

26. Pozdnyakov Yu.I. The existence of normal equilibrium in tokamaks with negative current in the column center // Phys. Plasmas. 2005. - V.12.- P.084503-1 084503-4.

27. Huang J., Yang X., Zheng S. et al. The plasma current profile during current reversal in AC operation of the CT-6B tokamak // Nucl.Fusion.- 2000. V.40. - P.2023-2029.

28. Hawkes N. C., Stratton В. C., Tala T. et al Observation of Zero Current Density in the Core of JET Discharges with Lower Hybrid Heating and Current Drive // Phys.Rev.Lett.- 2001. V.87. - P.115001-1-115001-4.

29. Fujita Т., Oikawa Т., Suzuki T. et al Plasma Equilibrium and Confinement in a Tokamak with Nearly Zero Central Current Density in JT-60U // Phys.Rev.Lett. 2001. - V.87. - P.245001-1-245001-4.

30. Tobita K. the JT-60 team Latest plasma performance and experiments on JT-60U // Plasma Phys. Control. Fusion. -1999. V.41. - P. A.333-A.343.

31. Synakowski E. Formation and structure of internal and edge transport barriers // Plasma Phys. Control. Fusion. 1998. - V.40. - P. 581-596.

32. Fujisava A. Experimental studies of structural bifurcation in stellarator plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 2003 - V.45. - P. R1-R88.

33. Коврижных JI.M. Процессы преноса в тороидальных магнитных ловушках// ЖЭТФ. 1969 - Т.56 - С.877-891.

34. Коврижных Л.М. Стационарные решения уравнений неоклассического преноса и отсутствие бифуркационных состояний // Физика плазмы. 2005. - Т.31. - С.17-29.

35. Itoh S.-I., Itoh К. Model of the Я-mode in tokamaks // Phys. Rev. Letters 1988. - V. 60. - P.2276-2279.

36. Itoh S.-I., Itoh K. // Model of the Я-mode in tokak. Nucl. Fusion-1989. - V.29.- 1031-1045.

37. Itoh S.-I., Itoh K., Fukuyama A., Yagi M. Theory of anomalous transport in Я-mode Plasmas // Phys. Rev. Letters 1994. - V. 72. -P.1200-1203.

38. Itoh K., Itoh S.-I. The role of the electric field in confinement // Plasma Phys. Control. Fusion 1996. - V. 38. - P.l-49.

39. Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Транспортный барьер в плазме токамака // Физика плазмы. 2002. - Т.28. - С.99-109.

40. Ильгисонис В.И., Поздняков Ю.И. Бифуркация равновесия плазменного шнура с током // Физика плазмы. 2004. - Т.ЗО - С. 10641070.

41. Tasso H. and Throumoulopolus G.N. Axisymmetric ideal magnetohydrodynamic equilibria with incompressible flows// Phys. Plasmas. 1998. - V.5. - P. 2378-2383.

42. Biglari H., Diamond P., and Terry P. Influence of sheared poloidal rotation on edge turbulence // Phys. Fluids B. 1990. - V.2 - P. 1-4.

43. Захаров JI.E., Смоляков А.И., Субботин А.А. Квазилинейное насыщение магнитных островов и бифуркация равновесий в плазме конечного давления // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С.779-783.

44. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С. и др. Численное моделирование прямых винтовых шнуров с проводниками, погруженных в плазму // Физика плазмы. 1994. - Т.20. - С.284-292.

45. Брушлинский К.В., Савельев В.В. Магнитные ловушки для удержания плазмы // Математическое моделирование. 1999. - Т.Н. -С.1-36.

46. Solano E.R., Criticality of the Grad-Shafranov equation: transport barriers and fragile equilibria // Plasma Phys. Control. Fusion. 2004. - V.46. - L7-L13.

47. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения // М.: Мир, 1980. 608с.

48. Marder В., Weitzner Н. A Bifurcation problem in Е—Layer equilibria // Plasma Phys. 1970. - V.12. - P.435-445.

49. Fisher S. Reversal field equilibria in axially symmetric electron current layer // Phys. Fluids. 1971. - V.14. - P.962-966.

50. Макнамара В. Вычислительные методы в физике // Управляемый термоядерный синтез / под ред. Киллина Дж. М.: Мир, 1980. -С.224.

51. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С., Синько С.В. Вопросы единственности и устойчивости в одномерных моделях равновесия плазменного шнура // Физика плазмы. 1998. - Т.24. -С.973-981.

52. Hammett G.W., Jardin S.C., Stratton B.C. Non-existence of normal tokamak equilibria with a negative central current // Phys. Plasmas. -2003. V. 10. - P.4047-4052.

53. Martynov A.A., Medvedev S.Yu., Villard L. Tokamak Equilibria with Reversed Current Density // Phys. Rev. Lett. 2003. - V.91. -•P.085004-1-085004-4 .

54. Wang S., Jun Yu. An exact solution of the Grad-Shafranov-Helmholtz equation central current density reversal // Phys. Plasmas. 2005. -V.12. - P.062501-1-062501-5.

55. Chu M.S., Parks P.B. On tokamak equilibria with a zero current or negative current central region // Phys. Plasmas. 2002. - V.9. -P.5036-5042.

56. Ilgisonis V.I. Equilibrium of flowing plasma in tokamak in the frame of Hall magnetohydrodynamics // Plasma Phys. Control. Fusion. 2001.- V.43. P. 1255-1271.

57. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме // М.: Наука, 1988.- 330с.

58. Schaffer M.J., Bray B.D., Boedo J.A., et al. E x В circulation at the tokamak divertor X point // Phys. Plasmas. 2001. - V.8. - P.2118 -2124.

59. Соловьев JI.С. Гидромагнитная устойчивость замкнутых плазменных конфигураций // Вопросы теории плазмы, вып.6 / Под ред. М.А. Леонтовича- М., Атомиздат, 1972. С.210-290.

60. Dory R.A., Peng Y.-K.M. High-pressure flux conserving tokamak equilibria // Nucl.Fusion. 1977. - V.17. - P.21-31.

61. Wagner F., Becker G., Behringer K. et al Regime of Improved Confinement and High Beta in Neutral-Beam-Heated Divertor

62. Discharges of the ASDEX Tokamak // Phys. Rev. Lett. 1982. - V.49.- P. 1408-1412.

63. Groebner R. An emerging understanding of H-mode discharges in tokamaks // Phys. Fluids В 1993.- V.5.- P.2343-2354.

64. Shaing K. and Crume E., Jr. Bifurcation theory of poloidal rotation in tokamaks: A model for L-H transition // Phys. Rev. Lett. 1989 V.63.- P.2369.

65. Hinton F. Thermal confinement bifurcation and the L- to H-mode transition in tokamaks // Phys. Fluids B. 1991. - V.3. - P.696-704.

66. Пустовитов В.Д. Равновесие плазмы с барьерами (по поводу статьи В.И. Ильгисониса и Ю.И. Позднякова "Транспортный барьер в плазме токамака как бифуркация равновесия") // Физика плазмы. 2003. - Т.29. - С.387-394.

67. JET Team (prepeared by A.C.C. Sips) Internal transport barrier in JET and their sensitivity to edge conditions // Nucl. Fusion. 2001. -V.41. - P.1559-1566.

68. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д. П., Педоренко А. В., Попов A.M. Бифуркация равновесия плазмы со свободной границей // Физика плазмы. 1987. - Т.13. - С.1186-1194.

69. Соловьев Л.С. К теории гидромагнитной устойчивости тороидальных плазменных конфигураций // ЖЭТФ. 1967 - Т.53 - С.626-643.

70. Maschke Е.К., Exact solutions of the MHD equilibrium equation for a toroidal plasma // Plasma Phys. 1973. - V.15. - P.535-541.

71. Maschke E.K. and Perrin H. Exact solutions of the MHD equilibrium equation for a toroidal plasma // Plasma Phys. 1980. - V.22. - P.579-594.

72. Atanasiu C.V., Gunter S., Lackner K., Miron I.G. Analytical solutions to the Grad-Shafranov equation // Physics of Plasmas. 2004. - V.ll. - P.3510-3518.

73. Mc Carthy P.J. Analytical solutions to the Grad-Shafranov equation for tokamak equilibrium with dissimilar source functions // Physics of Plasmas. 1999. - V.6. - P.3554-3560.

74. Zheng S. В., Wootton A. J., and Solano Emilia R. Analytical tokamak equilibrium for shaped plasmas // Physics of Plasmas. 1996 - V.3. -P. 1176-1178.

75. Богоявленский О.И. Точные глобальные равновесия плазмы // УМН. 2000. - Т.55. - С.63-109.

76. Shafranov V.D. Magnetic wells in toroidal systems // Plasma Physics. -1971.-V.13.-P.349-352.

77. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику // М.: Физматлит, 2006. 576 с.

78. Брагинский С.И. Явления преноса в плазме // Вопросы теории плазмы, вып.1 / Под ред. М.А. Леонтовича М.: Госатомиздат, 1963. - С.183-272.

79. Takeda Т., Tokuda S. Computation of MHD equilibrium of tokamak plasma // Journal of Сотр. Phys. 1991. - V.93. - P.l-107.

80. Пастухов В.П., Чудин Н.В. Конвекция плазмы в непараксиальных магнитных системах вблизи порога МГД-неустойчивости // Физика плазмы. 2001. - Т.27 - С.1-15.

81. Пастухов В.П., Чудин Н.В. Самосогласованная турбулентная конвекция замагниченной плазмы // Письма в ЖЭТФ. 2005. - Т.82. - С.395-406.