Влияние нестационарных внешних полей на устойчивость равновесия и течений жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Бурнышева Анастасия Викторовна

ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Пермь-2011

4854663

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Любимова Татьяна Петровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лобов Николай Иванович (ФГБОУВПО «Пермский государственный национальный исследовательский

университет»)

кандидат физико-математических наук, доцент Перминов Анатолий Викторович (ФГБОУВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»)

Ведущая организация:

ГОУВПО «Челябинский государственный

университет»,

г. Челябинск

Защита состоится «20» октября 2011 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан « » сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

'Сми»........

Березин И.К.

Актуальность темы

Изучение воздействия таких нестационарных внешних факторов, как вращающееся магнитное поле и вибрации, на равновесие и течения жидкостей представляет интерес как с общетеоретической точки зрения, так и в связи с возможностью использования полученных результатов для совершенствования технологических процессов. Магнитные поля являются перспективным средством управления течениями проводящей жидкости. Они широко применяются в ядерной энергетике, химической промышленности, процессах выращивания полупроводниковых кристаллов. Вращающееся магнитное поле обладает рядом преимуществ по сравнению с постоянным, основное из которых состоит в значительно меньшем требуемом значении магнитной индукции, а, следовательно, и энергопотребления (индукция используемых вращающихся полей порядка нескольких миллитесл, а статических - несколько сотен миллитесл). Неконтролируемые вибрации встречаются во многих технологических процессах. Контролируемые вибрации могут быть эффективным инструментом управления равновесием и течениями жидкости, т.к. спектр их воздействия на жидкости очень широк - от возбуждения движения до стабилизации неустойчивых в отсутствие вибраций состояний. Этим обусловлена значимость изучения влияния вибраций на равновесие и течение жидкостей.

Цели исследования

Целями исследования являются изучение влияния вращающегося магнитного поля на устойчивость механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости и на структуру и устойчивость стационарного адвективного течения в горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента температуры; анализ спектра возмущений плоской границы раздела несмешивающихся жидкостей при наличии высокочастотных касательных вибраций в условиях невесомости и в поле тяжести.

Научная новизна работы

1. Показано, что однородное вращающееся с конечной частотой в горизонтальной плоскости магнитное поле оказывает стабилизирующее действие на устойчивость механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости. Для неоднородного вращающегося магнитного поля найдено, что понижение частоты вращения может приводить как к стабилизации, так и к дестабилизации равновесия по сравнению с высокочастотным случаем.

2. Впервые получены численные данные о структуре и интенсивности стационарного адвективного течения в бесконечно длинном горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента температуры и однородного вращающегося

магнитного поля при конечных значениях числа Прандтля и магнитного числа Тейлора.

3. Обнаружено сильное стабилизирующее действие однородного вращающегося магнитного поля на адвективное течение проводящей жидкости в бесконечном горизонтальном канале кругового сечения.

4. Обнаружено, что при увеличении магнитного числа Тейлора монотонная неустойчивость адвективного течения сменяется колебательной; критическое значение магнитного числа Тейлора, определяющее переход к колебательной неустойчивости, растет с увеличением числа Прандтля

5. Подтверждена гипотеза о механизме формирования чередующихся страт в системе двух слоев несмешивающихся жидкостей при касательных вибрациях в условиях невесомости, связывающая образование страт с нарастанием возмущений с максимальным инкрементом.

Автор защищает:

1. Результаты исследования влияния однородного вращающегося с конечной частотой в горизонтальной плоскости магнитного поля на устойчивость механического равновесия бесконечного горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу, в случае ступенчатого изменения силы Лоренца.

2. Результаты исследования влияния неоднородного вращающегося с конечной частотой в горизонтальной плоскости магнитного поля на устойчивость механического равновесия бесконечного горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу.

3. Результаты численного исследования стационарных адвективных течений в бесконечном горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента температуры при конечных значениях числа Прандтля в отсутствие и при наличии однородного вращающегося с высокой частотой магнитного поля.

4. Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения в горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента температуры в отсутствие и при наличии однородного вращающегося с высокой частотой магнитного поля.

5. Результаты исследования спектра возмущений плоской поверхности раздела несмешивающихся жидкостей в присутствии высокочастотных касательных вибраций в условиях невесомости и в поле тяжести.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается использованием апробированных методов исследования; тестированием используемых программ на известных предельных случаях; согласием результатов, полученных разными методами; соответствием полученных результатов результатам других авторов в предельных случаях и результатам эксперимента, там где возможно выполнить сравнение.

Практическая ценность

Результаты, касающиеся влияния вращающегося магнитного поля на равновесие и течения жидкостей, могут быть использованы для усовершенствования процессов выращивания полупроводниковых кристаллов. В частности, конфигурация, рассмотренная в главе 2, моделирует процессы при выращивании кристаллов методом направленной горизонтальной кристаллизации. Результаты показывают значительное стабилизирующее действие вращающегося магнитного поля на течение расплава, что может быть использовано для улучшения качества кристаллов. Результаты исследования воздействия высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей могут быть использованы для оптимизации процессов в химической промышленности.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

• XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, Russia, 2002;

• Journée du GDR 2258, Reunion generale du GDR, Paris, France, 2002;

• Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2002;

• Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2009;

• The 8th Euromech Fluid Mechanics Conference, Bad Reichenhall, Germany, 2010;

• Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты», Пермь, 2010;

• XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2011 ;

• Научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 2011.

Публикации

Материалы диссертации изложены в двенадцати публикациях [1-12].

Личный вклад автора

В работах [2-5, 7-11] автор выполнил численные расчеты и участвовал в обсуждении результатов, в работах [1,6,12] соискатель провел аналитические расчеты и участвовал в обсуждении результатов.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, общей характеристики работы, трех глав и заключения. Общий объем диссертации 142

страницы, включая 87 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 158 наименований.

Содержание работы

Во введении представлены цели работы и обоснован их выбор.

В обзоре литературы проанализированы работы по нескольким направлениям исследований, касающимся влияния вращающегося магнитного поля (ВМП) и вибраций на равновесие и течения жидкостей - МГД течения в ВМП; влияние магнитного поля на устойчивость равновесия подогреваемого снизу бесконечного горизонтального слоя проводящей жидкости; влияние ВМП на конвективные течения проводящей жидкости в цилиндрических полостях; влияние магнитных полей на конвективные течения в горизонтальных слоях и каналах при боковом подводе тепла; применение ВМП в процессах выращивания кристаллов; влияние вибраций на устойчивость поверхности раздела жидкостей.

Общая характеристика работы включает обоснование актуальности темы, цели исследования, научную новизну работы, основные защищаемые результаты, обоснование достоверности результатов, практическую ценность, апробацию работы, публикации и личный вклад автора, описание объема и структуры диссертации.

В первой главе изучено влияние вращающегося магнитного поля на устойчивость равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости.

В первом разделе главы приведены постановка задачи и определяющие уравнения. Рассматривается бесконечный горизонтальный слой проводящей жидкости со свободными, недеформируемыми, идеально теплопроводными границами. Сверху и снизу слой жидкости граничит с идеальным диэлектриком. Границы слоя поддерживаются при постоянных разных температурах, температура нижней границы выше, чем верхней. К слою приложено магнитное поле, вращающееся с конечной частотой в горизонтальной плоскости.

Система уравнений состоит из уравнений Максвелла, закона Ома и уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска, в которых учтена сила Лоренца:

с dt '

divH= 0, rotH=—j,

(1)

с

— + (V V) V = -—Чр + уАу + ъРТул- —] х Н, дг р рс

1

1

рс

д1

Здесь Ё и Н - напряженности электрического и магнитного полей, /- время, 7 - плотность тока, с - скорость света, а - электропроводность жидкости, у -скорость, р- давление, р - плотность жидкости, V - коэффициент кинематической вязкости, g- ускорение свободного падения, Р - коэффициент теплового расширения, Т- температура, у - единичный вектор вдоль вертикальной оси, % - температуропроводность. Магнитное поле вращается с частотой со в горизонтальной плоскости: // = (Я0 со$(о1,Н0$тсо1,0).

Задача характеризуется следующими безразмерными параметрами - число Прандтля, число Рэлея, число Гартмана, магнитное число Прандтля:

где Д,- вертикальный градиент температуры, Ь - толщина слоя.

Во втором разделе рассмотрена задача о влиянии вращающегося с конечной частотой магнитного поля, главная часть которого однородна (предел нулевого магнитного числа Прандтля), на равновесие подогреваемого снизу слоя жидкости. Выполнен линейный анализ устойчивости равновесия.

После ряда преобразований система управляющих уравнений сводится к дифференциальному уравнению второго порядка, в котором члены, связанные с силой Лоренца, изменяются по периодическому закону. В данной работе принято, что поведение членов, связанных с силой Лоренца, описывается периодической ступенчатой функцией:

Такой закон изменения преобразованной силы Лоренца значительно облегчает решение задачи, сохраняя при этом ее качественные черты.

Соответствующий закон изменения магнитного поля может быть достаточно легко реализован в эксперименте. В этом случае магнитное поле должно создаваться двумя катушками, ток в которых изменяется по кусочно-линейному закону, в отличие от вращающегося магнитного поля, когда ток в каждой катушке меняется по гармоническому закону.

Общее решение полученного обыкновенного дифференциального уравнения находится аналитически.

Получены зависимости критического числа Рэлея Ят, минимизированного по волновому числу, от числа Гартмана для разных частот вращения поля (Рис.1). Обнаружены значительная стабилизация равновесия вращающимся магнитным полем и немонотонное изменение длины волны критических возмущений в зависимости от числа Гартмана. Построена карта устойчивости на плоскости безразмерная частота - безразмерная амплитуда поля. Сравнение полученных результатов с результатами недавней работы1, в которой рассмотрен случай синусоидального изменения силы Лоренца со временем, показало хорошее качественное соответствие.

Рис. 1 Зависимость минимизированного по волновому числу

критического числа Рэлея от числа

Гартмана М. Рг = 0.64, безразмерные частоты вращения магнитного поля П = 10,20,50,100, 500,1000 (кривые 1,2, 3,4,5,6 соответственно)

В третьем разделе главы рассмотрено влияние неоднородного горизонтального магнитного поля, вращающегося с конечной частотой, на устойчивость равновесия подогреваемого снизу слоя проводящей жидкости (случай ненулевых значений магнитного числа Прандтля). При постановке граничных условий для возмущений магнитного поля рассматривалось их проникновение в окружающий диэлектрический массив. Исследование выполнено численно с помощью метода конечных разностей. Расчеты проведены для двух значений числа Прандтля Рг = 0.0254 (ртуть) и Рг = 7 и двух значений числа Гартмана М = 10 и 40.

Расчеты показали, что при достаточно больших частотах вращения поля нейтральные кривые, т.е. зависимости критического числа Рэлея /?, при котором происходит потеря устойчивости, от волнового числа возмущений к, имеют один минимум. При уменьшении частоты на нейтральных кривых появляются резонансные участки. Найдены синхронные и субгармонические возмущения. Получены зависимости критического числа Рэлея и критического волнового числа от параметра неоднородности.

Для Рг = 0.0254 в случае конечных частот вращения поля при малых значениях параметра неоднородности обнаружена такая же значительная

Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Е.С.Садилов. Влияние вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости //Изв. РАН. Механика жидкости и газа.- 2008. - № 2. - С. 3-10.

стабилизация, как и в исследованном ранее2 высокочастотном случае. При увеличении параметра неоднородности эффект стабилизации, как и в высокочастотном пределе, ослабевает. Понижение частоты приводит к ослаблению эффекта дестабилизации, обнаруженного в высокочастотном пределе для умеренных значений параметра неоднородности, вплоть до замены его стабилизирующим эффектом. При Рг = 7 наблюдается иное поведение при малых значениях параметра неоднородности. Понижение частоты приводит к существенному ослаблению стабилизирующего эффекта.

На зависимости волнового числа от параметра неоднородности при конечных частотах вращения магнитного поля появляются экстремумы, связанные с появлением резонансных участков на нейтральных кривых.

В заключительном разделе главы выполнена оценка, подтверждающая обоснованность пренебрежения джоулевым разогревом при исследовании влияния ВМП на устойчивость равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости.

Во второй главе численно исследовано влияние однородного ВМП на адвективное течение проводящей жидкости в горизонтальном цилиндре. В первом разделе приведена постановка задачи. Рассматривается бесконечно длинный горизонтальный цилиндр кругового сечения. На идеально теплопроводной боковой поверхности цилиндра поддерживается постоянный горизонтальный градиент температуры, для скорости выполняется условие прилипания. К цилиндру приложено поперечное однородное магнитное поле, вращающееся в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Система определяющих уравнений в размерной форме имеет вид (1). Рассматривается случай высоких частот и малых напряженностей магнитного поля. Безразмерные уравнения и граничные условия, полученные после осреднения (1), содержат в качестве безразмерных параметров введенное выше число Прандтля, а также число Грасгофа и магнитное число Тейлора:

Сг = Ж£М1 Та _Я02ДУа>

V2 ' " 2рсгуг '

где Я- радиус цилиндра, А0- продольный градиент температуры. Магнитное число Тейлора представляет собой произведение квадрата числа Гартмана и безразмерной частоты вращения поля, т.е. является комбинированной характеристикой ВМП, включающей как величину, так и частоту вращения поля.

Во втором разделе главы численно исследованы стационарные адвективные течения в бесконечном горизонтальном цилиндре при конечных значениях числа Прандтля и магнитного числа Тейлора. Система нелинейных дифференциальных уравнений для стационарного течения дискретизировалась

Садилов Е.С. Влияние осложняющих факторов на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальных слоях/ Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Пермь, 2007. - 152 с.

с помощью метода конечных разностей. Полученная нелинейная система алгебраических уравнений решалась методом Ньютона.

Расчеты показали, что адвективное течение, как и в случае канала прямоугольного сечения3, представляет собой два встречных потока с горизонтальной границей раздела. Жидкость движется в направлении приложенного градиента температуры в нижней части цилиндра и в обратном направлении - в верхней части. Для отличных от нуля чисел Прандтля в поперечном сечении образуются четыре вихря - в верхней части цилиндра жидкость всплывает в центре и тонет по краям, в нижней части - направление движения противоположно. ВМП приводит к появлению азимутальной скорости и повороту границы раздела адвективных потоков в направлении вращения поля. При рассматриваемых в работе значениях магнитного числа Тейлора индуцированная магнитным полем вращательная скорость жидкости много меньше скорости адвективного течения. Исключение составляет только область малых Сг, где скорости адвективного и вращательного движения сопоставимы.

В третьем разделе выполнено исследование устойчивости стационарного адвективного течения при нулевом и ненулевых значениях числа Прандтля как без магнитного поля, так и в присутствии ВМП. Рассматриваются малые значения числа Прандтля (Рг<0.01), характерные для жидких металлов. В этом случае потеря устойчивости адвективного течения связана с гидродинамическим механизмом неустойчивости - возмущения генерируются на границе раздела встречных потоков.

В отсутствие магнитного поля при малых значениях числа Прандтля увеличение Рг приводит к некоторой стабилизации. При Рг* = 0.0003 имеет место резкая стабилизация, найденная ранее для канала прямоугольною сечения и связанная с переходом к другой моде неустойчивости, имеющей однако ту же гидродинамическую природу. После резкой стабилизации дальнейшее увеличение числа Прандтля приводит к дестабилизации.

Вблизи Рг наблюдается сильное изменение формы нейтральной кривой. При Рг < Рг нейтральная кривая имеет форму мешка, при увеличении числа Прандтля происходит сужение горловины, затем нейтральная кривая разделяется на две части, причем нижняя часть замкнута. При дальнейшем увеличении числа Прандтля нижняя часть уменьшается и исчезает. В точке исчезновения нижнего участка нейтральной кривой происходит резкая стабилизация течения.

Вращающееся магнитное поле повышает устойчивость адвективного течения. Стабилизация особенно сильно выражена при малых числах Прандтля.

Н.И.Лобов, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Р.В.Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения// Гидродинамика. Вып.11. - Пермь, ПГУ, 1998. - С.167-175.

Т.Р. Lyubimova, D.V. Lyubimov.V.A. Morozov, R.V. Skuridin, H. Ben Hadid, D.Henry. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 1. Effect of aspect ratio and Prandtl number// J Fluid Mecli. - 2009. - V.635. - P. 275-295.

На рис. 2 приведена зависимость минимизированного по волновому числу критического числа Грасгофа йгт от числа Прандтля Рг для нескольких значений магнитного числа Тейлора Тат. В присутствии вращающегося магнитного поля, как и в отсутствие поля, имеет место резкая стабилизация течения при некотором Рг", при этом вращающееся магнитное поле приводит к уменьшению значения Рг*. В целом, всюду кроме участка резкой стабилизации, в присутствии ВМП увеличение числа Прандтля приводит к дестабилизации.

1000000 Я

Grm

10000

1000

Рис. 2. Зависимости критического числа Грасгофа

от числа Прандтля Рг при Тат =0(1), 100(2), 200(3), 1000 - колебательная мода(4), 1000-монотонная мода(5)

1Е-005

В отсутствие магнитного поля и при малых значениях магнитного числа Тейлора неустойчивость носит монотонный характер. При больших значениях магнитного числа Тейлора наиболее опасными являются колебательные возмущения. С ростом числа Прандтля значение Тат магнитного числа Тейлора, при котором происходит переход к колебательной неустойчивости, увеличивается (Рис. 3).

1000 -1

Тат

100

0.0001

Рис. 3. Зависимость магнитного числа Тейлора 7а*, при котором происходит переход от монотонной неустойчивости к колебательной, от числа Прандтля Рг. Штриховая линия соответствует Рг = 0

Рассмотрен баланс кинетической энергии возмущений. Показано, что генерация возмущений связана с градиентом продольной скорости. Энергия

возмущений сосредоточена на границе встречных потоков. Вклад рэлеевского механизма генерации возмущений при рассматриваемых малых числах Прандтля пренебрежимо мал.

В третьей главе выполнен анализ спектра возмущений плоской поверхности раздела жидкостей при высокочастотных касательных вибрациях в поле тяжести и в невесомости. Целью данного исследования являлась проверка гипотезы о механизме формирования наблюдавшихся в эксперименте чередующихся областей разных жидкостей (страт) при касательных вибрациях двухслойной системы в невесомости.

В первом разделе приведена постановка задачи. Рассматривается система двух горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей. Жидкости подвергаются вибрациям с высокой частотой со»у/]} и малой амплитудой а„«I, где I - характерный размер гидродинамических структур. В этом случае можно произвести разделение скорости на пульсационную и среднюю части:

= Ь„Ур со + йр.

Здесь Ь„=а0со - амплитуда скорости вибраций, индекс /3 = 1,2 нумерует жидкости.

Система уравнений для средних скоростей йр и амплитуд пульсационных скоростей У0 (в системе отсчета, связанной с сосудом), (в лабораторной системе отсчета) имеет вид5:

ÖÜ

pß | К vß pß

+ vpA üp-gy

divйр = 0, rotWß =0, divWß=0.

На твердых границах ставятся условия прилипания для средней скорости и непроницаемости для пульсационной компоненты (здесь и далее индекс «п» обозначает нормальную компоненту вектора, индекс «т» - касательную компоненту):

й,= 0,^=0.

На поверхности раздела выполняются условия непрерывности пульсационного давления, непрерывности нормальной компоненты пульсационной скорости, непрерывности средней скорости, кинематическое условие и условие баланса напряжений:

= Щ„ = 1Г2П,

- - др

и, = и2, — + г/У/г = 0,

' 2 а

5 Любимое Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1986,- №6. - С.8-13.

Здесь п - вектор нормали к поверхности раздела, уравнение которой Р{гЛ) = 0; а - коэффициент поверхностного натяжения; ари - тензор вязких напряжений, определенный на поле средних скоростей Пр. Скобками обозначается скачок величины: [/] = /- /2 .

Интенсивность вибраций характеризуется безразмерным вибрационным параметром В = Ь()2(р1-р2)112 /(4я"2).

Задача допускает решение, соответствующее состоянию квазиравновесия с нулевыми средними скоростями и плоской поверхностью раздела. Исследовано равновесие плоской поверхности раздела по отношению к нормальным возмущениям, пропорциональным ехр(А/), где Я - инкремент возмущения, определяющий скорость его нарастания или затухания.

Во втором разделе изучен спектр возмущений плоской поверхности раздела двух слоев жидкостей одинаковой толщины в поле тяжести.

Для идеальных жидкостей рассмотрены плоские возмущения. В этом случае инкременты получаются в явном виде. Показано, что при некотором критическом значении вибрационного параметра плоская поверхность раздела становится неустойчивой, появляется растущее монотонное возмущение.

Для вязких жидкостей рассмотрены плоские, спиральные и пространственные возмущения. В спектре плоских возмущений присутствуют монотонные и колебательные возмущения. Все колебательные моды затухают. При критическом значении вибрационного параметра появляется растущее монотонное возмущение. Критическое значение вибрационного параметра совпадает со значением, получающимся из нейтральной кривой (зависимости критического значения вибрационного параметра от длины волны возмущения) для идеальных жидкостей.

В спектре спиральных возмущений присутствуют монотонные и колебательные возмущения, но все они являются затухающими.

Для случая отсутствия осредненного движения получена нейтральная кривая для пространственных возмущений, из которой следует, что пространственные возмущения менее опасны, чем плоские. Результаты расчетов для случая ненулевых возмущений средних скоростей согласуются с полученной нейтральной кривой.

В третьем разделе исследован спектр возмущений плоской поверхности раздела жидкостей в условиях невесомости в присутствии высокочастотных касательных вибраций. Для идеальных жидкостей в случае плоских возмущений и слоев равной толщины получено выражение, связывающее вибрационный параметр и соответствующее ему волновое число наиболее быстро растущих возмущений. Выполнено сравнение с результатами

эксперимента6, в котором обнаружено образование системы страт в системе из двух жидкостей в результате воздействия высокочастотных вибраций в условиях невесомости. Согласие вычисленной длины волны наиболее опасных возмущений и измеренной в эксперименте ширины страты подтверждает предложенную ранее гипотезу7, объясняющую образование страт нарастанием возмущений с максимальным инкрементом.

Далее рассмотрены спектры возмущений для системы из двух слоев вязких жидкостей одинаковой толщины. Показано, что длина волны наиболее опасных плоских монотонных возмущений для вязких жидкостей больше, чем для идеальных жидкостей, и слабо зависит от вибрационного параметра. При больших значениях вибрационного параметра обнаружены нарастающие колебательные спиральные возмущения.

Исследован также спектр возмущений плоской границы раздела вязких жидкостей в невесомости в присутствии высокочастотных касательных вибраций для случая, когда один слой в 10 раз толще другого. Обнаружено, что для слоев неравной толщины в спектре присутствуют нарастающие монотонные спиральные возмущения. Построены нейтральные кривые для плоских и спиральных возмущений. Из сравнения этих кривых следует, что плоские возмущения более опасны. Показано, что длина волны наиболее опасных возмущений определяется толщиной более тонкого слоя.

В заключении представлены основные результаты исследования.

Основные результаты

1. Исследовано влияние однородного вращающегося с конечной частотой горизонтального магнитного поля на устойчивость подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости в случае ступенчатого закона изменения силы Лоренца. Обнаружено стабилизирующее действие поля.

2. Исследовано влияние неоднородного горизонтального вращающегося с конечной частотой магнитного поля на устойчивость неоднородно нагретого горизонтального слоя. Найдены синхронные и субгармонические решения. Найдено, что уменьшение частоты вращения поля может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее действие в зависимости от числа Прандтля, числа Гартмана и значения параметра неоднородности поля.

3. Получены численные данные о структуре и интенсивности стационарного адвективного течения в бесконечно длинном горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента

6 Beysens D„ Wunenburger R., Chabot С., Garrabos Y. Effect of oscillatory accelerations on two-phase fluids //

Microgravity sei. technol. XI/3. - 1998. - P. 113-118.

1 Д.В. Любимов. Частное сообщение.

температуры и однородного вращающегося магнитного поля при конечных значениях числа Прандтля и магнитного числа Тейлора.

4. Исследована устойчивость стационарного адвективного течения в бесконечном горизонтальном цилиндре кругового сечения при малых числах Прандтля, в отсутствие и при наличии вращающегося магнитного поля. Обнаружено, что вращающееся магнитное поле значительно повышает устойчивость течения. Обнаружен переход от монотонной неустойчивости к колебательной при увеличении магнитного числа Тейлора.

5. Исследованы спектры возмущений плоской поверхности раздела несмешивающихся жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций. Подтвержден предложенный ранее механизм формирования волнового рельефа в поле тяжести и системы страт в условиях невесомости, состоящий в нарастании возмущений с максимальным инкрементом.

Список основных публикаций

1. A.B. Бурнышева, Д.В. Любимов. Спектр возмущений плоской границы раздела жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций// Гидродинамика. Вып.13. - Пермь, 2002. - С. 25-38.

2. Е.С. Садилов, Д.В.Любимов, А.В.Бурнышева. Возбуждение конвекции в плоском горизонтальном слое при наличии быстровращающегося магнитного поля// Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов. - Пермь, 2002. - С. 114-115.

3. A.B. Бурнышева, Т.П. Любимова, Д.В. Любимов. Численное исследование влияния вращающегося магнитного поля на адвективное течение в горизонтальном канале кругового сечения// Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тезисы докладов. - Пермь, 2002.-С. 11-12.

4. H.Ben Hadid, A.V.Burnysheva, D.V.Lyubimov, T.P.Lyubimova. Rotating magnetic field influence on a non-uniformly heated fluid// Journée du GDR 2258. Reunioin generale du GDR.- Paris. France. 27-28 May 2002. Recueil des resumes. -P.23.

5. H.Ben Hadid, A.V. Burnysheva, D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova. Stabilization of conductive state of horizontal fluid layer by rotating magnetic field// Proceedings of XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" , St.Petersburg, Russia. -2002.-P.86-92.

6. A.B. Бурнышева, Д.В.Любимов, Т.П. Любимова. Спектр возмущений плоской поверхности раздела жидкостей в поле высокочастотных касательных вибраций в условиях невесомости// Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 4-5 декабря 2009 г. Материалы конференции. - Пермь, 2009. - С. 52-55.

7. D. V. Lyubimov, A. V. Burnysheva, H. Benhadid, T. P. Lyubimova, D. Henry. Rotating magnetic field effect on convection and its stability in a horizontal cylinder subjected to a longitudinal temperature gradient// Journal of Fluid Mechanics. - 2010. - Vol. 664. - P. 108-137.

8. D. V. Lyubimov, A. V. Burnysheva, H. Ben Hadid, T. P. Lyubimova, D. Henry. Rotating magnetic field effect on convection and its stability in a differentially heated horizontal cylinder// Euromech Fluid Mechanics Conference - 8. September 16-17, 2010. Abstracts.-SI6-3.

9. Бурнышева A.B., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Структура и устойчивость адвективного течения в горизонтальном круговом цилиндре при наличии вращающегося магнитного поля// Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты: материалы всерос. науч.-практ. конф. (Пермь, Перм. ун-т, Перм. пед. ун-т, 12 марта 2010 г.) - Пермь, 2010,- С. 98.

10. Бурнышева А.В., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние неоднородного вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости// XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. -Пермь, 2011.-С. 63.

11. Бурнышева А.В., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние неоднородного вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости// Труды XVII Зимней школы по механике сплошных сред (Электронный ресурс). - Пермь-Екатеринбург, 2011. Электрон, оптич. диск. (CD).

12. А.В. Бурнышева, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова. Спектр возмущений плоской поверхности раздела жидкостей в поле высокочастотных касательных вибраций в условиях невесомости// Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. - №3. - С. 13-23.

Подписано в печать 07.09.2011 г. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ . Отпечатано в Типографии ООО «Арко» 614113, г. Пермь, ул. Кировоградская, 12.

Содержание.

Введение.

Обзор литературы.

Течения в горизонтальных слоях, полостях и цилиндрах с боковым подводом тепла.

МГД течения во вращающемся магнитном поле.

Влияние магнитного поля на устойчивость равновесия подогреваемого снизу бесконечного горизонтального слоя проводящей жидкости.

Влияние ВМП на конвективные течения проводящей жидкости в вертикальных цилиндрических полостях.

Влияние магнитных полей на конвективные течения в горизонтальных слоях и каналах при боковом подводе тепла.

Применение ВМП в процессах выращивания кристаллов.

Обзоры, посвященные влиянию ВМП на течения проводящей жидкости и применению

ВМП в процессах выращивания кристаллов.

Влияние вибраций на устойчивость поверхности раздела жидкостей.

Общая характеристика работы.

Цели исследования.33

Научная новизна работы.33

Защищаемые положения.34

Достоверность результатов.35

Практическая ценность.35

Апробация работы.35

Публикации.36

Личный вклад автора.36

Объем и структура диссертации.36

Заключение

Исследовано влияние однородного вращающегося с конечной частотой горизонтального магнитного поля на устойчивость подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости в случае ступенчатого закона изменения силы Лоренца. Обнаружено стабилизирующее действие поля.

Исследовано влияние неоднородного горизонтального вращающегося с конечной частотой магнитного поля на устойчивость неоднородно нагретого горизонтального слоя. Найдены синхронные и субгармонические решения. При малых значениях параметра неоднородности обнаружен эффект стабилизации, как и в исследованном ранее высокочастотном случае. Показано, что уменьшение частоты вращения поля может приводить как к усилению, так и к ослаблению стабилизирующего эффекта. Понижение частоты приводит к ослаблению эффекта дестабилизации, обнаруженного в высокочастотном пределе для умеренных значений параметра неоднородности, вплоть до замены его стабилизирующим эффектом.

Получены численные данные о структуре и интенсивности стационарного адвективного течения в бесконечно длинном горизонтальном канале кругового сечения при наличии однородного продольного градиента температуры и однородного вращающегося магнитного поля при конечных значениях числа Прандтля и магнитного числа Тейлора.

Исследована устойчивость стационарного адвективного течения в бесконечном горизонтальном цилиндре кругового сечения при малых числах Прандтля как в отсутствие, так и при наличии вращающегося магнитного поля. Обнаружено, что вращающееся магнитное поле значительно повышает устойчивость течения. Обнаружен переход от монотонной неустойчивости к колебательной при увеличении магнитного числа Тейлора.

Исследованы спектры возмущений плоской поверхности раздела несмешивающихся жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций. Подтвержден предложенный ранее механизм формирования волнового рельефа в поле тяжести и системы страт в условиях невесомости, состоящий в нарастании возмущений с максимальным инкрементом.

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. -М.: Наука,1972. 392 с.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

3. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит, 2003. - 216 с.

4. Авдуевский B.C., Бармин И.В., Гришин С.Д., Лесков Л.В., Петров А П., Полежаев В.И., Савичев В.В. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980. - 222 с.

5. Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при росте кристаллов// Механика жидкости и газа, т. 18. М.: ВИНИТИ (Итоги науки и техники), 1984. — С. 198-269.

6. Конвективные процессы в невесомости / В.И. Полежаев, М.С. Белло, Н.А.Верезуб и др.-М.: Наука, 1991.- 240 с.

7. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье Стокса / В. И. Полежаев, А. В Бунэ, Н А. Верезуб и др. - М: Наука, 1987. - 272 с.

8. Gershuni G.Z., Laure P., Myznikov V.M., Roux В., Zhukhovitsky E.M. On the stability of plane-parallel advective flow in long horizontal layers// Microgravity Q. 1992. - Vol. 2. -No.3.-P. 141-151.

9. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Мызников B.M. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое // ПМТФ. -1974,- №1.- С. 95-100.

10. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Мызников В.М. Устойчивость плоскопараллельного конвективного течения жидкости в горизонтальном слое относительно пространственных возмущений // ПМТФ. 1974. - №5. - С. 145-147.

11. Мызников В.М. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного движения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры // Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск:УНЦ АН СССР, 1979.-С. 29-35.

12. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движенияв горизонтальном слое // Гидродинамика. Вып 7. — Пермь: Перм. пед. ин-т, 1974. — С. 33-42. •

13. Kuo Н.Р., Korpela S.A , Chait A., Marcus R.S. Stability of natural convection in a shallow cavity // 8th Int. Heat Transfer Conf., San Francisco. Calif. — 1986. — V. 3. P.l539-1544.

14. Hart J.E. Stability of thin non-rotating Hadley circulations // J. Atmos. ScL. 1972. - V. 29. -No. 5. - P. 687-697.

15. Kuo H. P., Korpela S. A. Stability and finite-amplitude natural convection in a shallow cavity with insulated top and bottom and heated from a side// Phys. Fluids. — 1988. 31.- P. 33^42.

16. Laure P., Roux B. Synthese des resultats obtenus par l’etude de stabilite des mouvements de convection dans une cavite horizontale de grande extension//C. R. Acad. Sci. Paris. — 1987. -305.-P. 1137-1143.

17. С.А.Никитин, Д.С.Павловский, В.И.Полежаев. Устойчивость и пространственная структура конвекции в вытянутых горизонтальных слоях при боковом подводе тепла//Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. - №4. - С.28-37.

18. Н.И.Лобов, Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Р.В.Скуридин. Об адвективном течении в горизонтальном канале прямоугольного сечения// Гидродинамика. Вып.11. Пермь, ПГУ,1998. С.167-175.

19. A. Bejan, С. L. Tien. Fully developed natural counterflow in a long horizontal pipe with different end temperatures//Int. J. Heat Mass Transfer. — 1978. Vol. 21.- P. 701-708.

20. Braunsfurth M. G., Mullin T. An experimental study of oscillatory convection in liquid gallium// J. Fluid Mech. 1996. -V. 327. - P. 199-219.

21. Hof B., Juel A., Zhao L., Henry D., Ben Hadid H., Mullin T. On the onset of oscillatory convection in molten gallium// J. Fluid Mech. — 2004. V. 515. — P. 391-413.

22. Hurle D. Т., Jakeman E., Johnson C. P. Convective temperature oscillations in molten gallium// J. Fluid Mech. 1974. - V.64 (3). - P. 565-576.

23. Kamotani Y., Sahraoui T. Oscillatory natural convection in rectangular enclosures filled with mercury// J. Heat Transfer. — 1990. — V. 112. P. 235-255.

24. Henry D., Buffat M. Two- and three-dimensional numerical simulations of the transition to oscillatory convection in low-Prandtl-number fluids// J. Fluid Mech. — 1998. — V. 374. — P. 145-171.

25. Henry D., Ben Hadid H. Multiple flow transitions in a box heated from the side in low-Prandtl-number fluids// Phys. Rev. — 2007. E 76. - 016314.

26. Wakitani S. Numerical study of three-dimensional oscillatory -natural convection at low Prandtl number in rectangular enclosures// J. Heat Transfer. — 2001. —123. P.77-83.

27. Roux B. (Ed.) Numerical simulation of oscillatory convection in low-Pr fluids// GAMM Workshop, Notes on Numerical Fluid Mechanics.-1990. Vol. 27.- Yieweg.

28. Gelfgat A. Y., Bar-Yoseph P. Z., Yarin A. L. Stability of multiple steady states of convectionin laterally heated cavities//J. Fluid Mech. — 1999. Y. 388. — P. 315—334. \

29. Skeldon A. C., Riley D. C., Cliffe K. A. Convection in a low-Prandtl-number fluid// J. Cryst. Growth. 1996. - 162. - P. 95-106.

30. Winters К. H. Oscillatory convection in liquid metals in a horizontal temperature gradient// Int. J. Numer. Metli. Eng. 1988. - 25. - P. 401^114.

31. P. Bontoux, C. Smutek, B. Roux, J. M. Lacroix. Three-dimensional buoyancy-driven flows in cylindrical cavities with differentially heated endwalls. Part 1. Horizontal cylinders// .T. Fluid Mech. 1986. -Vol. 169. - P. 211-227.

32. Vaux S., Ben Hadid H., Henry D. Study of the hydrodynamic instabilities in a differentially heated horizontal circular cylinder corresponding to a Bridgman growth configuration// J. Cryst. Growth. 2006. - 290. - P. 674-682.

33. Moffat H. K. On fluid flow induced by a rotating magnetic field// J. Fluid Mech. — 1965. — No.22.-P. 521-528.

34. Капуста А.Б. Движение проводящей жидкости в сильном вращающемся магнитном поле// Техническая электромагнитная гидродинамика. — 1967. — Т. 6. С.357.

35. Dahlberg Е. On the action of a rotating magnetic field on a conducting fluid. AB Atomenergi, Studsvik, Sweden, Rep. AE 447.

36. Robinson T. An experimental investigation of a magnetically driven rotating liquid metal flow// J. FluidMech.-1973.-No. 60.-P. 641-664.

37. Доронин В.И., Дремов B.B., Капуста А.Б. Измерение характеристик МГД-течения ртути в закрытом цилиндрическом сосуде// Магнит, гидродинамика. — 1973. № 3. — С. 138-140.

38. Архипова Л.В., Кескюла В.Ф., Кильк А.О. Экспериментальное определение скорости вращения расплава во вращающемся магнитном поле// Тр. Таллин, политехи, ин-та, Электропривод. —1987. — Т. 23. — С. 18-25.

39. Горбачев Л.П., Никитин Н.В. О движении электропроводящей жидкости между двумя дисками в скрещенных электрическом и магнитном полях// Магнит, гидродинамика. — 1973. -№3,- С. 133-136.

40. Горбачев Л.П., Никитин Н.В., Устинов А.Р. МГД вращение для проводящей жидкости в цилиндрическом сосуде конечных размеров// Магнит, гидродинамика. — 1974. № 4. — С. 32-43.

41. Yu.M. Gelfgat, A.Yu.Gelfgat. Experimental and numerical study of rotating magnetic field driven flow in cylindrical enclosures with different aspect ratio// Magnetohydrodynamics. -2004,- Vol.40. -No.2. P. 147-160.

42. Зибольд А.Ф., Капуста А.Б. Некоторые численные результаты моделирования ламинарного течения во вращающемся магнитном поле// Магнит, гидродинамика. — 1980.-№ 4. С. 43-48.

43. L. Martin Witkowski, P. Marty, J.S. Walker. Liquid-metal flow in a finite-length cylinder with a high-frequency rotating magnetic field// J. Fluid Mech. 2001. - Vol. 436. — P. 131-143.

44. Martin Witkowski L., Walker J. S., Marty P. Nonaxisymmetric flow in a finite-length cylinder with a rotating magnetic field// Phys. Fluids. — 1999. — 11. — P. 1821-1826.

45. Richardson A.T. On the stability of a magnetically driven rotating fluid flow// J. Fluid Mech.- 1974. Vol. 63. - P.593-605.

46. Капуста А.Б., Зибольд А.Ф. О стационарной устойчивости аксиального потока жидкости во вращающемся магнитном поле// Магнит, гидродинамика. 1980. - № 4. — С. 43-48.

47. Grants, G.Gerbeth. Stability of axially symmetric flow driven by a rotating magnetic field in a cylindrical cavity// J. Fluid Mech. 2001. - Vol.431. — P. 407-426.

48. I. Grants, G.Gerbeth. Linear three-dimensional instability of a magnetically driven rotating flow// J. Fluid Mech.- 2002.- Vol. 463. P. 229-239.

49. Sneyd A.D. Analysis of parametric resonance in magnetohydrodynamics// European Journal of Mechanics В/ Fluids. -2002. 21. - P. 247-263.

50. Davidson P.A. Estimation of turbulence velocities induced by a magnetic stirring during continuous casting// Mater. Sci. and Technol. — 1985. — Vol.l. — P. 994-999.

51. Davidson P.A., Hunt J. Swirling recirculating flow in a liquid metal column generated by a rotating magnetic field// J. Fluid Mech. — 1987. — Vol.185. — P. 67-106.

52. Davidson P.A., Boysan J. The importance of secondary flow in the rotary electromagnetic stirring of steel during continuous casting// Appl. Sci. Research. — 1987. — Vol. 44. — P. 241-259.

53. Davidson P.A., Boysan J. Oscillatory recirculation induced by intermittent rotary magnetic stirring//Ironmaking and steelmaking. — 1991. — Vol. 18. — No. 4. — P. 245-252.

54. Davidson P.A. The interaction between swirling and recirculating velocity components in an unsteady invicid flow// J. Fluid Mech. — 1991. — Vol. 290. — P. 35-55.

55. Davidson P.A.Swirling flow in an axisymmetric cavity of arbitrary profile driven by a rotating magnetic field// J. Fluid Mech. — 1992. Vol. 245. — P. 669-699.

56. Davidson P.A. Electromagnetic stirring of steel and aluminium// Proceed, of the Symp. on Magnetohydrodynamics in Process Metallurgy, San Diego, USA. — 1992. — P. 241-249.

57. Gelfgat Yu.M., Priede J., Sorkin M. Z. Numerical simulation of MHD flow induced by a rotating magnetic field in a cylindrical container of finite height// Proc. of the intern, conf. on energy transfer in MHD flows, France. — 1991. — P. 181-186.

58. Соркин М.З. Влияние вращающегося и постоянного магнитных полей на скоростные и температурные пульсации в расплаве// Сб. 12 Рижское сов. по МГД. — 1987. — Т. 2. — С.167-170.

59. Горбунов JI.A., Колевзон В.Л. Течение проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле// Магнит, гидродинамика. — 1992. № 4. — С. 69-74.

60. Gelfgat Ju. М., Gorbunov L. A., Kolevzon V. Liquid metal flow in a finite-length cylinder with a rotating magnetic field// Experiments in Fluids. — 1993. Vol. 15.- P. 411-416.

61. Hamda Ben Hadid, Samuel Vaux. Slim Kaddeche. Three-dimensional flow transitions under a rotating magnetic field// Journal of crystal growth. — 2001. — 230. — P. 57-62.

62. J.S.Walker, L. Martin Witkowski. Linear stability analysis for a rotating cylinder with a rotating magnetic field//Physics of fluids. —2004. Vol.l 6. - № 7.

63. Thompson W. B. Thermal convection in a magnetic field// Phil. Mag. 1951. - 42. - № 335 — P. 1417.

64. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field// I. Phil. Mag.- 1952.43.-№7.- P. 501.

65. Chandrasekhar S. On the inhibition of convection by a magnetic field// II. Phil. Mag. -1954. -45. -№370. -P. 1177.

66. Chandrasechar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961.

67. Любимов Д.В. Частное сообщение.

68. Д.В.Любимов, Т.П.Любимова, Е.С.Садилов. Влияние вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости //Изв. РАН. Механика жидкости и газа.-2008.-№ 2.-С. 3-10.

69. Садилов Е.С. Влияние осложняющих факторов на возникновение и нелинейные режимы конвекции в горизонтальных слоях/ Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. Пермь, 2007. — 152 с.

70. В. Fischer, J. Friedrich, Н. Weimann, G. Muller. The use of time-dependent magnetic fields for control of convective flows in melt growth configurations// Journal of crystal growth. — 1999,- 198/199.-P. 170-175.

71. J. Friedrich, Y.S. Lee, B. Fisher, C.Kupfer, D.Vizman, G. Muller. Experimental and numerical study of Rayleigh-Benard convection affected by a rotating magnetic field// Physics of fluids. 1999. - V.l 1. - N.4. - P. 853-861.

72. Dold P., Benz K. W. 1995 Convective temperature fluctuations in liquid gallium independence on static and rotating magnetic fields// Cryst. Res. Technol. — 1995. 30. — P. 1135-1145.

73. M.P. Volz, K. Mazuruk. Thermoconvective instability in a rotating magnetic field//1.ternational Journal of Heat and Mass Transfer. 1999. - 42. - P. 1037-1045.

74. J.S. Walker, M.P. Volz, K.Mazuruk. Rayleigh-Benard instability in a vertical cylinder with a rotating magnetic field// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. - 47. — P. 1877-1887.

75. R. MoBner, G. Gerbeth. Buoyant melt flows under the influence of steady and rotating magnetic fields// Journal of crystal growth. — 1999. 197. — P. 341-354.

76. Marty P.H., Martin Witkowski L., Trombetta P. and Tomasino T. On the stability of rotating MHD flows// Transfer Phenomena in magnetohydrodynamic and electroconducting flows. A.Alemany et al. (eds.). Kluwer Academic Publishers, 1999. - P. 327-343.

77. S.Kaddeche, D.Henry, T.Putelat, H. Ben Hadid. Instabilities in liquid metals controlled-by constant magnetic field Part I: vertical magnetic field// Journal of crystal growth. — 2002. — 242.-P. 491-500.

78. S.Kaddeche, D.Henry, H. Benhadid. Magnetic stabilization of the buoyant convectionibetween infinite horizontal walls with a horizontal temperature gradient // J. Fluid Mech. — 2003.-Vol. 480.-P. 185-216.

79. S.Kaddeche, H. Ben Hadid, T.Putelat, D.Henry. Instabilities in liquid metals controlled by constant magnetic field — Part II: horizontal magnetic field// Journal of crystal growth. — 2002. -242.-P. 501-510.

80. Hamda Ben Hadid, Daniel Henry, Slim Kaddeche. Numerical study of convection in the horizontal Bridgman configuration under the action of a constant magnetic field. Part I. Twodimensional flow// J. Fluid Mech.- 1997. Vol. 333. — P. 23-56.

81. Hamda Ben Hadid, Daniel Henry. Numerical study of convection in the horizontal Bridgmanconfiguration under the action of a constant magnetic field. Part II. Three-dimensional flow// J. Fluid Mech. 1997. - Vol. 333. -P. 57-83. '

82. D.V. Lyubimov, T.P. Lyubimova, A.B. Perminov, D.Henry, H. Ben Hadid. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 2. Effect of a magnetic field// J.Fluid Mech. 2009. - V.635. - P. 297-319.

83. Davoust L., Cowley M. D., Moreau R., Bolcato R. Buoyancy-driven convection with a uniform magnetic field. Part 2. Experimental investigation// J. Fluid Mech.- 1999. — Vol. 400. — P. 59-90.

84. Muller A., Wiehelm M. Periodische temperaturschwankungen in flussigem InSb alsursacheschichtweisen einbaus von Те in kristallisierendes InSb// Z. Naturforsch. — 1964. A19. -P.254-263.

85. Utech H. P., Flemings М. C. Elimination of solute banding in Indium Antimonide crystals by growth in a magnetic field// J. Appl. Phys.- 1966. 37 (5). — P. 2021—2024.

86. O. Patzold, I. Grants, U. Wunderwald, K. Jenkner, A. Croll, G. Gerbeth. Vertical gradient freeze growth of GaAs with a rotating magnetic field// Journal of crystal growth. —2002. 245P. 237-246.

87. Dold P., Benz K. W. Modification of fluid flow and heat transport in vertical Bridgman configurations by rotating magnetic fields// Cryst. Res. Technol. — 1997. 32. — P. 51—60.

88. N.Ma, J.S. Walker, A.Liidge, H.Riemann. Combining a rotating magnetic field and crystal rotation in the floating-zone process with a needle-eye induction coil// Journal of crysyal growth.- 2001.-230.- P. 118-124.

89. J.S. Walker, L. Martin Witkowski, B.C. Houchens. Effects of rotating magnetic field on the thermocapillary instability in the floating zone process// Journal of crystal growth. — 2003. -252.-P. 413-423.

90. P.Dold, A.Croll, M. Lichtensteiger, Th. Kaiser, K.W. Benz. Floating zone growth of silicon in magnetic fields: IV. Rotating magnetic fields// Journal of crystal growth. 2001. — 231.-P. 95-106.

91. K.Kakimoto. Effects of rotating magnetic field on temperature and oxygen distribution in silicon melt// Journal of crystal growth. — 2002. 237-239. - P. 1785-1790.

92. Verezub N. A., Prostomolotov A. I., Fryazinov I. V., Investigation of magnetohydrodynamics effects on the melt in the Czochralski method// Crystallography Reports.- 1995. Vol. 40. - No. 6. - P. 981-989.

93. Chahid K. Ghaddar, Cheo K. Lee, Shariar Motakef, Donald C. Gillies. Numerical simulations of THM growth of CdTe in presence of rotating magnetic fields (RMF)// Journal of crystal growth. 1999. — 205. — P. 97-111.

94. P.Dold, K.W.Benz. Rotatnig magnetic fields: fluid flows and crystal growth applications// Progress in crystal growth and characterization of materials. 1999. - 38. - P. 7-38.

95. Ramachandran N., Mazuruk K., An experimental study of the effects of a rotating magnetic field on electrically conducting aqueous solutions// Presented at the First Pan Pacific Basin Workshop on Microgravity Sciences, July 8-11,1998, Tokyo, Japan.

96. Ю.М. Гельфгат, Я. Приеде. МГД течения во вращающемся магнитном поле (Обзор)// Магнитная гидродинамика. 1995. - Т. 31. - № 1-2. - С. 214-230.

97. J.P. Garandet, Т. Alboussiere. Bridgman growth: modelling and experiments// Progress in crystal growth and characterization of materials. 1999. - 38. - P. 73-132.

98. Yu.M.Gelfgat. Rotating magnetic fields as a means to control the hydrodynamics and heat/mass transfer in the process of bulk single crystal growth// Journal of crystal growth. —1999,-198/199.-P. 165-169.

99. Повицкий A.C., Любин Л.Я. Основы динамики и тепломассообмена в жидкостях и газах в условиях невесомости. М.: Машиностроение, 1972.

100. Блехман И. И. Что может вибрация? М.: Наука, 1988.

101. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука. Физматлит, 1994.

102. Ганиев Р.Ф., Лапчинский В.Ф. Проблемы механики в космической технологии. М.: Машиностроение, 1978.

103. Ганиев Р.Ф., Лакиза В.Д., Цапенко А.С. Вибрационные эффекты в невесомости и перспективы космической технологии // ДАН СССР. -1976. Т. 230.- № 1. - С. 48-50.

104. Faraday М. On a peculiar class acoustical figures and on certain forms assumed by a group of particles upon elastic surface // Phil. Trans. Roy. Soc, London. 1831. - V. 121. - P. 209-318.

105. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955.

106. Секерж-Зенькович С .Я., Калиниченко В. А. О возбуждении внутренних волн в двухслойной жидкости вертикальными колебаниями// Докл. АН СССР. 1979. Т.249.-Вып.4. - С.797.

107. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей// Докл. АН СССР. 1983. - Т.272. -Вып.5. - С. 1083.

108. Wolf G.H. The dynamic stabilization of the Rayleigh-Taylor instability and the corresponding dynamic equilibrium// Z.Physic. 1969. - B.227. -N3. - S. 291.

109. Wolf G.H. Dynamic stabilization of the Interchange Instability of a liquid-gas interface // Phys. Rev. Lett. 1970. - Y. 24. - № 9. - P. 444-446.

110. Безденежных H.A., Брискман В.А., Пузанов Г.В., Черепанов А.А., Шайдуров Г.Ф. О влиянии высокочастотных вибраций на устойчивость границы раздела жидкостей// В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. -М., Наука. 1982. С.34.

111. Любимов Д.В., Саввина М.В., Черепанов А.А. О квазиравновесной форме свободной поверхности жидкости в модулированном поле тяжести // Задачи гидромеханики и тепломассообмена со свободными границами. Новосибирск: СО АН СССР, 1987. -С. 97-105.

112. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Мераджи С., Морозов В.А. Квазиравновесные формы свободной поверхности жидкости в высокочастотном вибрационном поле // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Вып. 2. —Пермь, 2001. — С. 174-187.

113. Kelly R.E. The stability of an unsteady Kelvin-Helmholtz flow // J. Fluid Mech. 1965. -V. 22, part 3. - P. 547-560.

114. Любимов Д.В., Хеннер M.B., Шоц M.M. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1998. -№ 3. - С. 25-31.

115. Khenner M.V., Lyubimov D.V., Belozerova T.S., Roux B. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system // Eur. J. Mech. В/Fluids. 1999. - V. 18. - P. 1085-1101.

116. Любимов Д.В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного рельефа на поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1986.- №6. - С.8-13.

117. Замараев А.В., Любимов Д.В., Черепанов А.А. О равновесных формах поверхности раздела жидкостей в вибрационном поле // Гидродинамика и процессы тепломассообмена. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. - С. 23-26.

118. Любимов Д.В., Хеннер М.В. О длинноволновой неустойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Гидродинамика. Вып. 11. Пермь: ПТУ, 1998. -С. 191-196.

119. Любимов Д.В., Любимова Т.П. Об одном методе сквозного счета для решения задач с деформируемой поверхностью раздела // Моделирование в механике. 1990. - Т. 4. — № 1.-С. 126-130.

120. Emma Talib, Shreyas V. Jalikop, Anne Juel. The influence of viscosity on the frozen wave instability: theory and experiment// J. Fluid Mech. 2007. - Vol. 584. - P. 45-68.

121. Emma Talib, Anne Juel. Instability of a viscous interface under horizontal oscillation// Physics of fluids. 2007. — 19. - 092102.

122. Harunori N., Yoshikawa, Jose Eduardo Wesfreid. Oscillatory Kelvin-Helmholtz instability.

123. Part 1. A viscous theory// J. Fluid Mech. — 2011. — Vol. 675. — P.223-248.

124. Harunori N., Yoshikawa, Jose Eduardo Wesfreid. Oscillatory Kelvin-Helmholtz instability.

125. Part 2. An experiment in fluids with a large viscosity contrast// J. Fluid Mech. — 2011. — Vol. 675.-P. 249-267.

126. Shreyas V. Jalikop, Anne Juel. Steep capillary-gravity waves in oscillatory shear-driven flows//Joumal of Fluid Mechanics. -2009. — Vol. 640. — P. 131-150.

127. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Поведение двухслойной системы жидкость-взвесь в вибрационном поле // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 1999. -№ 6.- С. 55-62.

128. Marc Legendre, Philippe Petitjeans, Pascal Kurowski. Instabilites a l’interface entre fluides miscibles par forcage oscillant horizontal// C. R. Mecanique. — 2003. — 331. — P. 617-622.

129. A.A. Иванова, В.Г. Козлов, П. Эвеск. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 2001.- № 3. - С. 28-35.

130. Beysens D., Wunenburger R., Chabot С., Garrabos Y. Effect of oscillatory accelerations on two-phase fluids // Microgravity sci. technol. XI/3. — 1998. — P. 113-118.

131. R. Wunenburger,P. Evesque,C. Chabot,Y. Garrabos,S. Fauve, D. Beysens. Frozen wave induced by high frequency horizontal vibrations on a CO2 liquid-gas interface near the critical point// Physical review E. 1999. - Vol. 59. - Number 5. - P. 5440-5445.

132. W. Gonzalez-Vinas. J. Salan. Surface Waves Periodically Excited in a CO2 Tube// Europhys. Lett.- 1994. 26 (9). - P. 665-670.

133. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Morozov V. A. Software package for numerical investigation of linear stability of multidimensional flows// Bull. Penn Univ.: Inf. Syst. Technol.- 2001. N 5. - P. 74-81.

134. Д.В. Любимов. Частное сообщение.

135. A.B. Бурнышева, Д.В. Любимов. Спектр возмущений плоской границы раздела жидкостей в поле высокочастотных горизонтальных вибраций// Гидродинамика. Вып. 13-Пермь, 2002. С. 25-38.

136. H.Ben Hadid, A.V.Burnysheva, D.V.Lyubimov, T.P.Lyubimova. Rotating magnetic fieldinfluence on a non-uniformly heated fluid// Joumee du GDR 2258. Reunioin generale du GDR-Paris. France. 27-28 May 2002. Recueil des resumes. -P.23. .

137. Бурнышева А.В., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Влияние неоднородного вращающегося магнитного поля на конвекцию в горизонтальном слое жидкости// XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. — Пермь, 2011. С.63.

138. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, А.В. Бурнышева. Спектр возмущений плоской поверхности раздела жидкостей в поле высокочастотных касательных вибраций в условиях невесомости// Вычислительная механика сплошных сред. 2011. - № 3. — С.

139. А.В. Бурнышева, Т.П.Любимова. Колебательная неустойчивость адвективного течения в горизонтальном цилиндре в присутствии вращающегося магнитного поля //Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — Принято к печати.