Влияние особенностей молекулярной структуры на ориентационное упорядочение в нематической мезофазе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

1.1. Мезоморфное состояние вещества: основные понятия; эмпирические закономерности, связывающие строение мезогенных молекул и макроскопические свойства мезоморфного состояния; фазовые переходы

1.2. Межмолекулярные взаимодействия, ответственные за образование мезоморфного состояния. Особенности расчета дисперсионного и стерического взаимодействий в системе мезогенных молекул. Метод' эффективных парных взаимодействий

1.3. Молекулярно-статистическое описание нематиче-ской мезофазы

1.3.1. Метод среднего молекулярного поля

1.3.2. Методы учета ближнего порядка в молеку-лярно-статистических моделях нематиче-ской мезофазы: кластерные модели; метод корреляционных функций.

1.3.3. Учет сил стерического отталкивания в мо-лекулярно-статистической теории немати-ческой мезофазы: метод "твердых стержней" и его модификации; обобщенная теория Ван-дер-Ваальса; метод машинного моделирования.

2. ЭНЕРГИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ «МОЛЕКУЛЯРНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

В МЕЗОМОРФНОМ СОСТОЯНИИ.

2.1. Дисперсионное притяжение мезогенных молекул в отсутствие процессов электронного обмена

2.2. Приближенный расчет универсальных межмолекулярных взаимодействий в мезофазе методом эффективных парных взаимодействий

2.3. Коэффициенты углового разложения псевдопотенциала мезогенной молекулы в приближении среднего молекулярного поля и их связь с молекулярными параметрами.

3. ЭФФЕКТЫ КОНФОРМАЦИОННОЙ ПОДВИЖНОСТИ В ТЕОРИЙ МЕЗОМОРФНОГО СОСТОЯНИЯ.

3.1. Влияние конформационной подвижности мезогенных молекул на константу анизотропного межмолекулярного взаимодействия.

3.2. Влияние температурной зависимости константы анизотропного межмолекулярного взаимодействия на магфоскопические свойства мезофазы

3.3. Специфическое стерическое отталкивание, обусловленное конформационной подвижностью конце-еых фрагментов мезогенных молекул.

4. ВЛИЯНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ЛОКАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ И БЛИЖНЕГО ПОРЯДКА НА. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕЗОФАЗЫ

4.1. Псевдопотенциал мезогенной молекулы с учетом локальной цилиндрической симметрии нематической мезофазы.

4.2. Параметры ориентационного порядка в нематиче-ской мезофазе, образованной центросимметричными молекулами.

4.3. Ориентационное упорядочение в нематической мезофазе, образованной нецентросимметричными молекулами

Актуальность теш. Одной из важных и интересных областей науки, связанной с конденсированным состоянием вещества, является физика жидких кристаллов. Это обусловлено значительным интересом к их практическому применению в современной технике, а также широкому использованию в качестве модельных систем при изучении различных физических явлений. При этом все более актуальной становится задача поиска мезоморфных систем с заданными макроскопическими свойствами. Для этого необходима система теоретических представлений, связывающих параметры структуры конкретных мезогенных молекул со свойствами образуемых ими мезофаз. Решение этой задачи идет по пути обобщения эмпирических закономерностей, накапливаемых в результате практической работы химиков-синтетиков, и разработки адекватной молекулярно-статистической теории жидких кристаллов. Успехи в области получения новых жидкокристаллических материалов достигнуты главным образом благодаря первому из указанных направлений. В то же время развитие мо-лекулярно-статистической теории встречается с трудностями, обусловленными сложностью строения мезогенных молекул и жидкостным характером мезоморфного состояния. В рамках относительно строгих подходов удается описать лишь системы, в которых мезогенные молекулы моделируются простейшими геометрическими объектами типа стержней или анизотропных сфер; попытки учесть те или иные особенности структуры реальных молекул наталкиваются на значительные вычислительные трудности. Таким образом, ощущается острая необходимость в разработке приближенных методов и подходов, которые позволили бы моделировать те или иные элементы реальной структуры молекул и исследовать их влияние на макроскопические свойства мезофазы.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является разработка методов учета особенностей строения мезогенных молекул при построении молекулярно-статистической теории нематической мезофазы и выяснения их влияния на ее макроскопические свойства. Для ее достижения в работе рассмотрены следующие задачи.

1. Расчет модельной угловой зависимости энергии межмолекулярного взаимодействия мезогенных молекул.

2. Анализ взаимосвязи характера угловой зависимости энергии парного взаимодействия мезогенных молекул с параметрами псевдопотенциала в методе среднего молекулярного поля.

3. Анализ влияния конформационной подвижности на ориен-тационное упорядочение в нематической мезофазе.

4. Разработка метода учета локальной симметрии и ближнего порядка в молекулярно-статистической теории мезофазы.

Научная новизна. Новизна проведенных исследований может быть сформулирована следующим образом:

1. Впервые для расчета угловой зависимости анизотропного межмолекулярного потенциала в конденсированной фазе применен метод эффективных парных взаимодействий в приближении непрерывного распределения взаимодействующих центров.

2. Получены аналитические выражения, связывающие параметры нематогенных молекул (геометрическая форма, поляризуемость, конформационная подвижность и т.п.) с коэффициентами разложения псевдопотенциала в модели среднего молекулярного поля.

3. Обоснована возможность учета эффектов ближнего порядка и локальной симметрии нематической мезофазы путем учета перекрестных членов в разложении псевдопотенциала.

4. Рассмотрено влияние нецентросимметричности мезогенных молекул на термостабильность и другие макроскопические свойства нематической мезофазы путем учета в разложении псевдопотенциала членов с нечетными полиномами Лежандра.

Защищаемые положения. В работе защищаются следующие основные положения:

1. Применение метода эффективных парных взаимодействий для расчета энергии межмолекулярного взаимодействия анизо-метричных молекул на малых расстояниях позволяет выразить коэффициенты ее углового разложения через параметры молекулярной структуры.

2. Представление мезогенной молекулы при проведении модельных расчетов в виде совокупности взаимодействующих центров, равномерно распределенных по объему, моделирующему эффективную форму молекулы, позволяет провести расчет и дисперсионного притяжения и стерического отталкивания в рамках одного формального аппарата.

3. Введение микроскопического феноменологического параметра, характеризующего эффективную гибкость концевой группы мезогенной молекулы, позволяет описать влияние конформацион-ной подвижности на эффективную форму молекулы и определяемые ею свойства мезоморфного состояния.

4. Корректный учет локальной симметрии нематической ме-зофазы приводит к появлению перекрестных членов в разложении псевдопотенциала мезогенной молекулы.

5. Учет локальной симметрии и ближнего порядка в нематической мезофазе позволяет дать интерпретацию ряда экспериментально наблюдаемых особенностей свойств.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы и приложений.

1. Жидкие кристаллы./Е1од ред.С.ИДцанова.- M.: Химия, 1979,328 с.

2. Америк Ю.Б.,Крендель Б.А. Химия жидких кристаллов и мезо -морфных полимерных систем.- М.: Наука,1981,288 с.

3. Де Жен Q.I. Физика жидких кристаллов.- М.; Мир,1977,400 с. 9* Чандрасекар С* Жидкие кристаллы.- M«: Мир,1980,344 с*

4. Блинов U.M. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов.-М.: Наука,1978,384 с.

5. Пикин С «А. Структурные превращения в жидких кристаллах.-М.: Наука,1981,366 с.

6. Базаров ИЛ.»Геворкян Э.Б. Статистическая теория твердых и жидких кристаллов.- М.: Изд.МГУ,1983,264 с.

7. Hanson E.G.,Shen Y.R. Refractive indices and optical ani-sotropy of homologous liquid ciystals.- Mol.Cryst.Liq.Cryst.,1976,v.36,No.1-4,p.193-207.

8. Buka A.,de Jeu W.H. Diamagnetism and orientational order of nematic liquid crystals.- J.ïhys.,1982,т.43»Ио.6,p.361-367.

9. Крокстон К. Физика жидкого состояния.- M.: Мир,1978,400 с.

10. Гиршфельдер Дж. »Кертиос Ч. ,Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.- М.: Изд. иностр. лит.,1961,929 с.

11. Buckingham A.D. Theory of long-range dispersion forces.Disc.Faraday Soc.,1965,v.40,p.232-238.

12. Варшалович Д.А. »Москалев A.H.,Херсонский B.K. Квантовая теория углового момента.- Л.: Наука, 1975,436 с.

13. Steele W.A. Statistical mechanics of nonspherical molecules.-J.Chem.Ehys.,1963»v.39, Ho .12,p.3197-3208.

14. Street J.E.»Steele W.A. Statistical mechanics of linear molecules. I. Potential energy functions.- J.Chem.Phys., 1967,v.47, N0.8,p.3022-3029.

15. Zwanzig B. First-order phase transitions in a gas of long thin rods.- J.0hem.Ehys.,1963,v.39,Iio.7>p.1714-1721.

16. Van der Meer B.W. Molecular models for cholesteric and smectic liquid crystals.- Groningen,1979, 107 p.

17. Современная кристаллография.Т.4./Под ред.Б.К.Вайнштейна и др.- М.: Наука,1981,495 с.

18. Schroder Н. Van der Waals interaction between linear molecules.- J.Chem.Ehys.,1977,v.67,Iio.4,p.1953-1962.

19. Schroder H. Molecular-statistical theory for inhomogeneous nematic liquid crystals with boundary conditions.- J.Chem. Ehys., 1977, v. 67, Jfo. 1, p. 16-25.

20. Schroder H. Theory of molecular dispersion forces and themolecular pair potential under the aspect of liquid crystal ordering.- J.Chem.Phys.,1980,v.72,Ho.5,p.3271-3289.

21. Варшалович Д.А. .Херсонский В.К.,Шибанов ГО.А. Приближенный метод расчета межмолекулярного взаимодействия.-НЭТФ,1976, Т.70,Л 4,c.I204-I2I3.

22. Першин В.К.,Скопинов С.А. 0 межмолекулярном взаимодействии в жидких кристаллах.- Кристаллография, 1981,т.26,№ I,c.I78-181.

23. Ашкрофт Н.,Мермин Н. Физика твердого тела.Т.1.- М.: Мир, 1979,399 с.

24. Займан Дж. Модели беспорядка.- М.: Мир,1982,591 с.

25. Физика простых жидкостей ./Под ред.Г.Тешерли и др.- М.: Мир, 1971,308 с.

26. Френкель Я.И. Статистическая физика.- М.-Л.: Изд.АН СССР, 1948,756 с.

27. Maier W.,Saupe А. Eine einfache molekular-statistische Theorie der nematischen kristallin-flussigen Phase.Teil I.-Z. Naturforsch., 19 59, Bd. 14a, N 10, s.882-889.

28. Де Же В. Физические свойства жидкокристаллических веществ.-М.: Мир,1982,151 с.

29. Jen S.,Clark H.A. »Pershan P.S.,Priestley Е.Б. Raman scattering from a nematic liquid crystal:orlentational statistics.- Phys.Rev.Lett.,1973,v.31»No.26,p.1552-1556.

30. Luckhurst G.R.,Zannoni C.,Nordio P.L.rSegre Ü. A molecular field theory for uniaxial nematic liquid crystals formed by non-cylindrically symmetric molecules.- Mol.Phys., 1975, v.30,No.5, p.1345-1358.

31. Аверьянов E.M.»Вайткявичус А.,Корец А.Я.»Сируткайтис P., Сорокин A.B.,Шабанов В.Ф. Изучение ориентационных свойств Ж класса толанов оптическими методами.- Красноярск,1978,-40 е.- Препринт ИФС0-88Ф.

32. Аверьянов Е.М., Корец А .Я., Шабанов В.Ф. Исследование кон-формационной подвижности молекул мезофазы методом оптического зондирования.- ЖЭТФ,1980,т.78,№ 6,с.2374-2383.

33. Аверьянов Ü.M. Ориентационная статистика нематика и характер его фазового перехода в изотропную жидкость.- ФТТД982, т.24,№ 1,е.265-267.

34. Аверьянов Е.М.,Адоменас Н.В.,Жуйков В.А.,Зырянов В.Я. Продольные флуктуации параметра порядка и анизометрия молекул нематического жидкого кристалла.- ФТТ Д982,т.24,№ I,с.28-32.

35. Першин В.К.,Скопинов С.А. Локальная самоорганизация молекул в жидких кристаллах.- Укр.физ.яурн. ,1981,т.26,Л I2,c.I978-1983.

36. Першин В.К.,Скопинов С.А. Ориентационный порядок в нематическом жидком кристалле .Кластерная модель.- ФГТ,1983,т.25, Я 4,с.974-979.

37. Chakravarty S.,Woo C.-W. Short-range correlations in two dimensional liquid crystals.I.- Phys.Rev.,1975,v.11A,No. 2, p.713 -721.

38. Shih Y.M.,Lin-Liu Y.R.,Woo C.-W. Theoretical analysis of isotropic nematic transition properties.-Phys.Rev.,'1976, v.14A,Ho. 5,p.1895-1899*

39. Lee M.A.,Woo C.-W. Statistical-mechanical calculations for nematic liquid crystals.- Phys.Rev.,1977,v.16A,No. 2,p.750-756.

40. Woo C.-W. Phase transitions in liquid crystals.— In: Quantum fluids and solids,Ж.У.-L.,1977,p.265-278.

41. Wulf A. Short-range correlations and the effective orlenta-tional energy in liquid crystals.- J.Chem.Phys.,1977,v.67, No. 5,p.2254-2266.

42. Wulf A. Distribution function theory of nematics.- J.Chem. Phys.,1977,v.55,No.10,p.4517-4519.

43. Schroer W. The one particle distribution function in anisotropic fluids.- Mol.Phys.,1983,v.41,No. 1,p.239-242.

44. Wagner W. Short-range order correlations in a 3-dimensional nematic liquid crystal.- in;:. Advances in liquid crystalresearch and applications.I./Ed. by b.Bata.- Oxford: Perga-mon Press,1980,691 p.

45. Rui^grok Th.W.,Sokalski K. A theory for nematic liquid crystals.« Physica,1982,v.111A,No.9,p.45-64.

46. Sluckin T.J. The mean spherical model (and other approximations) for nematogens.- Mol.Phys., 1983,v.49,No. 1 ,р.221-231.

47. Юхновский И.P. »Головко М.Ф. Статистическая теория классических равновесных систем.-Киев,Наукова думка, 1980,372 с»

48. Ypma J.G.J.,Vertogen G. An equation of state for nematic liquid crystals.- Phys.Lett.,1977,V.61A,No.1,p.45-47.

49. Ypma J.G.J., Vertogen G. The incorporation of short-range orientational order in the equation of state for nematics.-Phys.Lett.,1977,V.61A,No.2,p.125-127.

50. Straley J.P. Zwanzig model for liquid crystals.- J.Chem. Phys.,1972,v.57,No.10,p.3694-3703.

51. Straley J.P. Third virial coefficient for the gas of long rods.- ffiol.Ciyst.Liq.Cryst.,1973,v.24,No.1-2,p.7-11.

52. Alben R. Pretransition effects in nematics. Model calculations.- Mol.Cryst.Liq.Cryst.,1971,v. 13,No.1-2,p.193-204.

53. Boehm R.E.,Martire D.E. A unified statistical mechanical description of a rigid-rod fluid.- Mol.Phys.,1978,v.36,No.1, p.1-27.

54. Parsons J.D. Nematic ordering in a two-dimensional fluid of overlapping ellipses.- J.Chem.Phys.,1977,v.67,No.12,p.5585-5590.

55. Lasher G. Nematic ordering of hard rods derived from a scaled particle treatment.- J.Chem.Phys.,1970,v.53,No.9,p.4141-4150.98 . Straley J.P. The gas of long rods as a model for lyotropicliquid crystals.- Mol.Cryst.Liq.Cryst.,1973,v.22,No.1-4,p.333-341.

56. Gelbart W.M.,Baron B.A. Generalized van der Waals theory of the isotropic-nematic phase transition.- J.Chem.Phys.,1977, v.66,No.4,p.207-213.

57. Shen J.,Lin L. 0Yu L, ,Woo C.-W. Molecular theory of liquid crystals including anisotropic repulsion.- Mol.Cryst.Liq. Cryst.,1981,v.70,No.1-4,p.301-313.

58. Kimura H. Hematic ordering of rod-like molecules interacting via anisotropic dispersion forces as well as rigid body repulsions.- J.Phys.Soc.Jap.,1974»v.37,No.5,p.1204-1209.

59. LipkLn M.D.,0xtoby D.W. A systematic density functional approach to the mean field theory of smectics.- J.Chem. Phys.,1983,v.79,No.4,p.1939-1941.

60. Lasher G. Monte Carli results for a discrete lattice model of nematic ordering.- Phys.Rev.,1972,v.5A,No.3,p.1350-1354.

61. Chang R. Thermodynamics of nematic liquid crystalline mixtures. A regular solution approximation.- Chem.Phys. Lett.,1975, v. 32,N6.3,p.493-494.

62. Goossens W.J.A. A molecular theory of the cholesteric phase.-Phys.Lett.,1970,v.31A,No.8,p.413-414.118» bin-Liu Y.R., Shih У.М. ,Woo C.-W. Molecular model for cholesteric liquid ciystals.- Phys.Rev.,1976,v.14A,No.1,p.445-450.

63. Lin-Idu Y.R., Shih Y.M. ,Woo C.-W. Molecular theory of cholesteric liquid crystals and cholesteric mixtures.- Phys.Rev., 1977,v.15A,No#6,p.2550-2557.

64. Chandrasekhar S. Liquid crystals of disc-like molecules.-Mol.Ciyst.Idq.Cryst.,1981,v.66,Mo.1-4,p.171-180.

65. Luckhurst G.R. ,Timimi B.A. A molecular theory of re-entrant polymorphism in pure liquid crystals.- Mol.Ciyst.Liq.Cryst., 1981,v.64 (Lett.),No.7-8,p.253-259.

66. Agren G.T. ,Martire D.E. End-chain flexibility and the nematic isotropic transition in liquid crystals: a lattice model of hard particles with rigid,rodlike,central cores and semiflexible pendant segments.- J.Chem.Phys., 1974, v.61,Ко. 10,p.3959-3966.

67. Gelbart W.M.,Barboy B. On the form of the free energy for uniaxially ordered fluids.- Mol.Ciyst.Liq.Cryst.,1979,v.55» No.1-4,p.209-226.

68. Roberts P.J. Van der Waals interaction between two diatomic molecules.- J.Chem.Phys.,1972,v.57,No.6,p.2171-2172.

69. Герасимов А «А. Мекмолекулярные взаимодействия в мезофазе.Укр.физ.журн.,1982,т.57,№ 6, с.1314-1320. .

70. Борман В.Д.,Бруев А.С.,Максимов Л .А .Николаев Б.И. 0 симметрии взаимодействия молекул с вращательными степенями свободы.- ШФ, 1972, т. 13 ,.№2, с.241-250. .

71. Абрамзон А.А. Постоянство дисперсионных сил и ван-дер-ваальсовского взаимодействия органических молекул.- Журн.физ. химии,1978,т.52, Jfc 5,с.1190-1194.

72. Лисецкий Л.Н.,Тищенко В.Г. Оценка энергии дисперсионного взаимодействия мезогенных молекул.- Журн.физ .химии,1979, т.53,№ 9,с.2399-2400.

73. Straley J.P. Ordered phases of a liquid of biaxial particles.» Phys.Rev.,1974,v.10A,p.1881-1890.

74. Волькенштейн М.В. Конфигурационная статистика полимерных цепей.- М.-Л.: Изд.АН СССР,1959,464 с.

75. Флори П. Статистическая механика цепных молекул.- М.: Мир, 1971,440 с.

76. Бирштейн Т.М.,Птицын О.Б. Конформации макромолекул.- М.: Наука,1969,392 с.

77. Ландау Л.Д.Дифшиц Е.М. Статистическая физика.- М.: Наука, 1969,434 с.

78. Goodby J.W. Smectic polymorphism and molecular shape -the orthogonal phases.- Mol.Cxyst.Liq.Cryst.,1981,v.75, No.1-4,p.179-199.

79. Лолищук А.П.,Кутуля Л.А. Деркашина Р.М.,Тищенко В.Г.,Суров Ю.1 Пространственное строение и мезоморфные свойства циннаматов холестерина.- Журн.общей химии,1983,т.53,.& 11,0.1655-1668.

80. Дашевский В.Г. »Рабинович АЛ. О структурной нежесткостимолекул.- ДАН.СССР,1983,т.273,№ 2,с.375-379. .

81. Черкашина P.M.,Толмачев А.В. »Тищенко "В.Г. Влияние анизотропии молекулярной поляризуемости на температуры фазовых переходов ходестврической мезофазы.- Журн.физ.химииД980, т.54,гё 9,0.2381-2383.

82. De Jeu W.H.,van der Veen,Goossens W.J.A. Dependence of the clearing temperature on alkyl chain length in nematic homologous series.- Solid State Comm.,1973,v.12,No.5,p.305-307.

83. Grant B. Diacetylenic liquid crystals.- Mol.Cryst.Liq.Cryst., 1978,v.48,No.1-4,p.175-182.

84. Luckhurst G.R.,Viloria P.R. The relationship between the2 and 4 rank order paramétrés for liquid crystals composed of non-rigid molecules.- Mol.Ciyst.Liq.Cryst.,1982,v.72 (Lett.),No.7-8,p.201-211.

85. Kobinata S.,Yoshida H.,Maeda S. On a characteristic of nematic isotropic phase transition.- Mol.Cryst.Liq.Cryst., 1983,v.99,No.1-4,p.139-144.

86. Carr N.,Gray G.W.,Kelly S.M. A comparison of the properties of some liquid crystal materials containing benzene,cyclo-hexane,and bicyclo(2.2.2.)octane rings.- Mol.Cryst.Liq. Cryst.,1981,v.66,No.1-4,p.269-282.

87. Tokita K.,Fujimura K,Kondo S.,Takeda M. The pair intermolecular interaction energy of the two nematogenic liquid crystals.- Mol.Cryst.Liq.Cryst,,1981,v.64 (Lett.),No.5-6, p.171-176.

88. Sy D.,Ptak H. Empirical calculations of interactions between two mesogenic molecules.- J.de Plays.,v.40 (Lett.),N 6,p.L137-L141.

89. Photinos P.J.,Saupe A. Mean-field study of uniaxial smectic liquid cxystals with polarized layers.- Phys.Rev.,1976,v.13A, Ho. 5,p.1926-1930.

90. Kuzma M.R.,Allender D.W. Mean-field study of molecular tilt in uniaxial liquid-crystalline phases»- Phys.Rev.,1982,v.25A, Ho. 5,p.2793-2800.

91. Nakagawa M.»Akahane T. A molecular statistical theory of nematic liquid crystals.- Mol.Cryst.Liq.Cryst.,1982,v.90,Ho.1-4, p.53-74.

92. Hakajima Y.»Yoshida H.,Kobinata S.,Maeda S. Determination of order parameters in liquid crystals by resonance Raman method: MBBA as probed by beta-carotene.- J.Hiys.Soc.Japan, 1980,v.49,Ho.3,p.1140-1146.

93. Guillon D.,Poeti G.,Skoulios A. Thermal behavior of two polar A-smectics.- Mol.Cryst.Liq.Cryst«,v.92 (Lett.),1983, No.1-2,p.35-39•

94. Полищук А.П.,Кулишов В.И. »Антипин МЛ).,Тимофеева Т.В.,Струч^ ков Ю.Т. Структурное исследование мезогенных 1фисталлическихмодификаций бензоата холестерина.- В кн.: Тезисы докладов5.ой Междунар.конф.по жидким кристаллам.-Одесса,1983,т.1,сЛ97.

95. Collings P.J.,МсКее Т.J.,ЫсColl J.R. Nuclear magnetic resonance spectroscopy in cholesteric liquid crystals.I. Orientational order parameter measurements.- J.Chem.Phys., 1976,v.65,Ho.9,p.3520-3525.

96. Seeliger R., Haspeklo H. ,Noack Raman studies of <P and oi some homologous nematio liquid crystals with small optical anisotropy. Mol.Phys., 1983, v.49, No.5, p.1039-1063.

97. Градштейн И.О.,Рыжик И.М. Таблицы интегралов,сумм,радов и произведений,- М.:Физматгиз,1962, 1100 с.

98. Справочник по специальным функциям. /Под ред. Абрамовича М., Стиган И.- М.: Наука 1979, 830 с.