Влияние спектра на скорость сходимости метода потенциала и решение задачи Ляме для параллепипеда тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

'П / ч И

¿в» и АКАДЕМИЯ НАУ11 СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ГИДРОДШШШИ ИМЕНИ !1. А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

РОМАШКИНА ГУЛЬНАРА ФАЖОВНА

УДК 539.3.01

ВЛИЯНИЕ СПЕКТРА НА СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ПОТЕНЦИАЛА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛЯМЕ ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Специальность ОГ.02.04 - механика деформируемого твердого

тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1ЮНПСИП1ПЖ - 1969

/ ■ 7

/ / А

Робота выполнено в Тюменском инженерно-строительном, институте

Научный руководитель- доктор физико-математических ноук, ' профессор Мальцев Л.Е.

Официальные оппоненты -доктор физико-математических наук,

профессор Корнов В.М. -кандидат физико-математических наук, с.н.с. Ларченко В.6.

Ведущая организация - Институт проблем прочности АН УССР

Защита состоится & " срё^рс?-^] 1990г. в " 4 $"часов на заседании специализированного Совета К 002.55.01 по присуждению ученой степени кандидата-наук в Институте гидродинамики СО АН СССР (630090,Новосибирск,90,проспект Лаврентьева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики СО АН СССР

Автореферат разослан " /4 - Лнб&рЗ 1990Р #

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических наук,доцент

У.М.Воляков

Актуальность темы;

Разнообразие задач механики твердого деформируемого тьла приводит к разработке новых и развитии существующих методов расчета упругих тел. Диссертационная работа посвящена второму из перечисленных направлений. Актуальность этой темы исследования в настоящее время возрастает. Причиной тому является появление новых видов материалов, сложных элементоз строительных конструкций, различных деталей и узлов иашин и механизмов. Желая получить все более точные результаты расчетов на прочность, исследователи увеличивают объем перерабатываемой информации, начинают учитывать новые механические свойства. Для решения таких сложных оадач было неизбежным появление и развитие специализированных численных методов. В число таких методов входит описание линейно-упругих тел посредством граничных интегральных уравнений и последующее их решение на ЭВМ.

Все исследователи отмечачт, что применение интегральных уравнений позволяет понизить размерность реоаемых задач на единицу, что существенно уменьшает затраты ресурсов ЭВМ.

Для того, чтобы преимущества, заложенные в методе граничных интегральных уравнений теории упругости, могли успешно использоваться , необходимы эффективные методы решения этих уравнений. Исследование и практическому применению одного такого метода посвящена данная работа.

Цель работы.

I. Теоретическое объяснение на основе информации о спектре причины мчпленной сходпмости приближенного решения пространственней а*пя"и теории упругости для вырожденных тел. Медленная сходимость была обнаружена многими исследователями при численно!» реалии-тли ч«-оаа потенциала. Рассмотрены вырожденные тела

частной форш - в виде прямоугольных стержня и пластины.

2. Численное исследование зависимости спектра от коэффициента Пуассона и отношения сторон параллелепипеда.

3. Применение полученной информации о спектре!а) для численной оценки скорости сходимости операторного полинома наилучшего приближения, метода простой итерации и некоторых других методов, б) для ускорения сходимости приближенного решения задач о нагружении упругого параллелепипеда различными нагрузками.

Научная новизна работы состоит в следущем:

1. Впервые численно получен спектр сингулярного интегрального оператора теории упругости (СИО ТУ) для тела в форме параллелепипеда.

2. На основе численного исследования получены аналитические зависимости (в виде сплайнов) границ спектра от коэффициента Пуассона и отношения сторон параллелепипеда.

3. Численное определение границ спектра позволило найти численные значения оценок скорости сходимости нескольких методов и на их основе объяснить медленную сходимость приближенного решения задач теории упругости для частного случая вырожденных тел.

4. Численно подтверждено существование трех особых точек спектра сингулярной части интегрального оператора теории упругости. Показано, что эти точки не зависят от формы поверхности и значения коэффициента Пуассона.

5. Численно установлено влияние сглаживания ребер и углов параллелепипеда на границы спектра, которые в свою очередь определяют скорость сходимости приближенного решения, полученного разными методами. В качестве предела сглаживания принят

упругий шар и численно найдены наименьшие значения границ спектра, что в свою очередь позволило вычислить макс^'зльнута скорость сходимости в зависимости от коэффициента Пуассона. Практическая и теоретическая значимость.

1. По коэффициенту Пуассона, форме поверхности (наличии участков быстро изменяющейся кривизны), степени вырожденности тела (преобладание одного характерного размера над другими), не решая задачи, можно предсказать медленную сходимость приближенного решения, полученного по ряду методов, путем сопоставления с исследованной скоростьи сходимости для частного случая тела в форме параллелепипеда.

2. Численно доказаны преимущества метода ПНП в скорости сходимости по сравнению с методом простых итераций (ряд Неймана),, и другими итерационными методами.

3. Численные исследования спектра представляют и самостоятеяь-ный интерес в теоретических исследованиях системы сингулярных интегральных уравнений теории упругости. В частности, это относится к трем точкам существенного спектра соответствуищих интегральных операторов.

4. Представляет практический интерес выполненное в диссертации сопоставление двух способов ухода от неединственности при решении второй внутренней задачи теории упругости.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докла-днвадись и обсуждались на:

- У Всесоюзной кон^ещтии по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, КИСИ, II.X.1Э65г.).

- Л рабочем совещании "Метод граничных интегральных уравнений. Задачи, алгприп'ч, программная реализация (2-4 июня 1366 г., Пущине);

- семинаро "Прочность и формоизменение конструкций при воздействии физико-механических полей". АН УССР, Киев. 23-25.IX. 1967;

- областной научно-технической конференции "Нефть и газ Западной Сибири". (£8-29.X.1967, Тюмень);

- семинарах и заседаниях кафедр строительной механики и строительных конструкций Тюменского инженерно-строительного института (1585-1969г.г. Тюмень);

- семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР (13.XI.1989);

- семинаре лаборатории вяэкоупругих сред отделения механики многофазных сред (Тюмень) Института теплофизики СО АН СССР (29.XI.I969);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения', приложений и списка литературы. Объем диссертации 174 страница, в том числе 24 рисунка на 22 страницах, 20 таблиц на 18 страницах, списка литературы из 141 наименования на 15 страницах и приложений на II страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована ее цель, дана краткая характеристика материалов диссертации, изложена научная и практическая ценность.

Обзор литературы содержит анализ исторического развития метода граничных интегральных уравнений. Теоретические проблемы интегральных уравнений теории упругости развивались в работах известных ученых: А.Я.Александрова, Т.В.Бурчуладзе, М.Д.Баше-

лейшвили, Т.Г.Гегелиа, Ю.Д.Копейкина, В.Д.Купрядэе, Л.Е.Мальцева, С.Г.Нихлина, Н.И.Мусхелишвили, Ю.И.Соловьева.

Численными методами решения задач теории упругости занимались П.И.Перлин, Ю.В.Еэрюжсккй, Н.М.Хуторянский, М.И.Лазарев, Б.М.Зиновьев, Т.Круз, Д.ГСиппи, С.Крауч и многие другие советские и зарубежные ученые.

В численных методах подразделяются два основных подхода. Решение задач при помощи конечных алгебраических методов. Такие методы разрабатываются в работах А.Я.Александрова, Р.Бат-терфилда, Г.Бенердши, Ю.Д.Копейкина, Ф.Ришдо и чругих.

Вторая группа методов основана на использовании итерационных процессов. Одним из наиболее часто употребляемых итерационных методов является метод простой итерации, который применил к решению задач теории упругости П.И.Перлин. Другой итерационный метод, основанный на операторных полиномах наилучшего приближения, разработан в работах Л.Е.Мальцева и В.Н.Кутрунова. Е.Ю.Куриленко и В.Г.Филисюк применили этот ^е-тод к решение з^пач теории упругости для упругих тел вращения. В настоящее время можно сказать, что теория граничэдх интегральных уравнений для тел, ограниченных поверхностью Ляпунова, хорошо разработана и иуеет законченный ввд. Ряд рдзв^с-ких ученых: В.Я.Адлуцкий, В.Д.Еураго, В.Г.Мазья, С.С.Заргарьян и другие работают над распространением этой теории на случай тел с негЛяпкими границами. В случае, когда итерационные методы плохо сходятся или, когда требуется многократное решение палач, актуальным является исследование спектра для тел с нег-лапкими границами, и изучение зависимости спектра от различных фзгторг?, гомерической и механической природы.Одной из первых ртот п.-» и'у',.,':чи-'| ¡чг^ктр*. г'р-кигчного интегрального оператора

-б-

теории упругости в зависимости от формы контура было исследование В.И.Машукова и В.А.Осипова для плоской задачи теории упругости.

. Первая глава диссертации содержит постановку основных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений.

В §1.1 приведена постановка задачи Ляме для параллелепипеда. В §1.2 выписаны интегральные уравнения для основных задач трехмерной теории упругости. В операторной форме эти уравнения записываются в следующем виде:

{аЭ-А (л ,

где ¿0 для первой внешней задачи теории упругости (I**), а I для первой внутренней задачи(1+).

(аЗ~А}У = Р, (п),

где О. «I,

$ ,

(+) для второй внешиейШ") Д-) для второй внутренней (II ) задачи теории упругости.

А1? =и[Ч'Н)-'Р<р)] (Р(ч,Р1с<^ ,

й - тождественный оператор ., П.^ _ нормаль к поверхности 5 тела в точке ^ , К = VI?) и £ (р) - гранич-

ные перемещения и напряжения.

Упругий потенциал выписан в нераскрытой форме, что позволяет решать задачи теории упругости как для ляпуновских, так и для неляпуновских поверхностей. В диссертации используется тех' ника прямого тензорного исчисления.

В 5 1.3 рассматривается итерационный метод операторного полинома наилучшего приближения, разработанный В.Н.Кутруновым.

Формально аппроксимация обратного оператора (£/— Д )"' получается из аппроксимации функции 1/( /-X ) заменой I на тождественный оператор 0 и X на А . Правомочность такой замены доказывается в работах Мальцева Л.Е. Полином должен аппроксимировать, функцию //(/-X) на отрезке расположения спектра оператора А . Обратную функцию {/(/-Х)можно аппроксими-

Т' / \

ц(Х)=р*Хс , полиномом наилучшего равномерного приближения, или любым другим полиномом

Рп(Х) • Поставив функциональному ряду в соответствие ряд по степеням операторов, можно записать приближенное решение операторного уравнения. Например, решение уравнения (П), соответствующее операторному полиному , Та ^ )» имеет вид:

Ч,=Т„(А)-Р.

Далее можно показать, что два последовательных решения Уц и \Zfi-tj оказываются связанными итерационной зависимостью. Эту зависимость называют методом простой итерации. Решения, полученные при помощи операторного полинома наилучшего приближения, также могут быть записаны в итерационном виде. Этот метод называется методом полинома наилучшего приближения (метод ПНП). Метод сущестгспно использучт границы спектра оператора А и обладает ни илу "'ими априорными оценками по сравнению с другими

итерационными методами решения задач теории упругости.

В § 1.4 исследуется зависимость скорости сходимости различных итерационных методов решения задач теории упругости от спектра граничного интегрального оператора. Показано, что другие итерационные методы решения задач' теории упругости также можно улучшить, владея информацией о спектре сингулярного интегрального оператора теории упругости (СИО ТУ). Например, метод простой итерации может Сыть построен на основе разложения функции l/(i~X) в ряд Тейлора не в точке Х0 =0, а в любой другой точке. Сознательный выбор этой точки будет приводить к лучшим итерационным процессам. В частном случае, таким путем получается известный метод домножения. Но и в этом случае априорные оценки скорости сходимости метода простой итерации lie станут лучше оценок ПНП. Метод ПНП сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем А. . В свою очередь, этот знаменатель зависит от границ спектра 7\min i так или от их оценок т , М .

При убывании длины отрезка [m , М] или удалении этого отрезка от точки С1 , знаменатель И. убывает, скорость геометрической прогрессии возрастает. Поэтому, очень важно знание более точной информации о границах спектра.

В § 1.5 рассматривается методика приближенной замены интегральных уравнений основных задач теории упругости системами линейных алгебраических уравнений. Методика включает в себя замену поверхности упругого тела набором треугольных граничных элементов. В частном случае элементарный фрагмент поверхности может быть плоским или сферическим.

В 5 1.6 вычисляются несобственные и сингулярные интегралы по плоскому фрагменту. Сингулярный интеграл для такого фрагмента поверхности вычислен сведением к контурному интегралу. Гезульта-

ты получены в замкнутой векторной форма. С точки зрения численного счета,такая запись представляется автору более предпочтительной.

Вторая глава диссертации посвящена изучению спектральных свойств граничного интегрального оператора теории упругости. Интегральный оператор заменялся матрицей и исследовался спектр этой матрицы. В § 2.1 изучался спектр, связанный с упругими телами в форме шара и параллелепипеда с различным отношением сторон. Было установлено, что спектр, являющийся действительным при точной постановке, с большой степенью точности сохраняет это свойство и для матрицы. Границы спектра слабо зависят от способа разбиения поверхности, если интегральный оператор аппроксимирован с достаточной степенью точности. Спектр определяется с помощью О. й -алгоритма. Было установлено, что спектр имеет тенденцию сгущаться к трем точкам.

В 5 2.2 исследовалось влияние отношения характерных размеров упругого тела на спектр интегрального.оператора. Исследование проводилось на примере параллелепипеда^: различным отношением сторон. Вводится параметр оС= — "о" , где 2 ОС , 2 б , 2 С - длины ребер параллелепипеда. Значение параметра сС варьируется дискретным образом: сС № ,

оС =1/Ю соответствует стержню, оС =1 - кубу, =10 - пластине, квадратной в плане.

( ) - границы спектра для куба

(—--)- границы спектра для

стержня

(—•-•—)- границы спектра для пластины

Как видно из рис. I, при увеличении отношения характерных раз-1

I

меров параллелепипеда отрезок, занимаемый спектром,расширяется. Для стержня и пластины спектр занимает наиболее длинный отрезок. Спектр вычислялся для различных значений коэффициента Пуассона, что отражено на рис. I. При коэффициентах Пуассона, близких к 0,5, интервал расположения спектра практически равен интервалу [о,I ] .'Знаменатели геометрических прогрессий различных итерационных методов в этом случае оказываются близкими к единице, что приводит к расходимости этих методов.

В § 2.3 исследуется зависимость спектра СИО теории упругости от степени гладкости поверхности. Рассматривается шар,как грубое приближение к кубу, и из сопоставления спектров этих двух тел формулируется гипотеза о том, что при переходе от тела, ограниченного ляпуновской поверхностью,к телу, ограниченному кусочно-ляпуновской поверхностью, отрезок, занимаемый спектром, расширяется. На примере куба численно исследовалась эта гипотеза. Выполнялись следующие операции: углы и ребра куба срезались плоскостями на различном удалении от вершин; проводилось сгущение сетки к углам. В таблице показано изменение верхней и нижней границ спектра при приближении сетки к углам, Пусть

¿1 - расстояние от точек сетки, ближайших к углам и ребрам куба, до ребер, - знаменатель геометрической прогрессии метода ПНП, — простой итерации, я 0,3.

Таблица I.

1, тах ^т'ш к, к

0,1 0,719 0,124 -0,413 -0,752

0,01 0,724 0,078 -0,506 -0,845

0,01 0,725 0,059 -0,557 -0,882

Чем более сглаженным оказывался куб, тем более коротким становился отрезок расположения спектра. Чем короче отрезок, занимаемый спектром, тем выше скорость сходимости итерационных методов. Сгущение сетки около ребер более точно описывает кусоч-но-ляпуновскуто поверхность, однагэ, при этом спектр расширяется, знаменатель геометрической прогрессии увеличивается, и скорость сходимости итерационных методов замедляется. Для того, чтобы исследовать устойчивость спектра по отношению к сетке, проводилоск сгущение сетки к полосам шара. Сама по себе нерав-■ номерность сетки не привела к какому-либо существенному изменению границ спектра СИО ТУ.

В 5 2.4 построены сплайновые .зависимости, приближенно интерполирующие зависимость границ спектра СИО ТУ от отношения характерных размеров параллелепипеда и коэффициента Пуассона.

В § 2.5 численно исследуется существенный спектр СИО ТУ. Известно, .что спектр интегрального оператора теории упругости • действительный и дискретный. Этот результат получен В.Д.Купрад-зе и С.Г.Михлиным. Л.Е.Мальцев и Е.Ю.Куриленко показали, что спектр СИО ТУ отличается от вполне непрерывного тремя точками, существенного спектра: — 0, 3 = ^ У) ,

Этот результат был получен аналитически для ляпуновских поверхностей. Для численного исследования существенного спектра оператора А выделялась -его сингулярная часть.

Собственные числа оператора А связаны с собственными числами исходного оператора А следующей зависимостью:

л 40-V) А •

Как показали численные исследования, спектр оператора | /\С сконцентрирован в окрестности трех точек: 0 и ±0,98. При этом спектр такого оператора не зависит ни от формы поверхности, ни от значения коэффициента Пуассона \) . Таким образом, численно подтверждено существование трех особых точек спектра оператора теории упругости для тел I ограниченных кусочно-ляпуновскими поверхностями, что является новым результатом. Для матричного аналога инте-. рального оператора эти точки выглядят как точки сгущения.

Третья глава диссертации посвящена решению задач об упругих шаре и параллелепипеде, загруженных различными типами нагрузок. Эти задачи являются тестовыми. Они решались двумя методами - простой итерации и ПНП при значениях коэффициента Пуассона )) =0,3 или }} =0,49.

В 5 3.1 на примере задачи о гидростатическом сжатии упругого шара сравниваются скорости сходимости итерационного метода ПНП и простой итерации. Например, при значении коэффициента Пуассона ]) =0,49 метод простой итерации сошелся к искомой величине погрешности на 97 итерации, тогда как метод ШП сошелся на 7 итерации.

В § 3.2 описываются два способа ухода от некорректности в постановке второй внутренней заДЬчи. Известно, что задача П+ решается с точностью до вектора жесткого смещения при условии самоуравновешенности нагрузки. Неединственность решения может приводить к "расходимости итерационного процесса. В данной работе проводится сравнение двух сНособов ухода от неединственности. Первый способ заключается в добавлении к решению вектора жесткого смещения таким образом, чтобы устранить перемещение как жесткого целого малой окрестности фиксированной точки С :

V 0сх) =УШ - V (с) 1

\/*(х) =\/Ь) * .

Такая добавка к приближенному решению осуществляется периодически через некоторое к^ личество итераций.

Второй способ заключается в подходе к задаче П^ как к некорректной, и проведении регуляризации по Лаврентьеву. Уравнение

А У = Р

заменяется на уравнение _ _

где £ - малый параметр. При £< 0 последнее уравнение имеет единственное решение, мало отличающееся от приближенного решения исходного уравнения.

В § 3.3 решалась задача о сжатии куба постоянной нагрузкой. Например, в таблице 2 приведены результаты расчетов на сжатие упругого куба под действием постоянной нагрузки методом простой итерации и ПНП. Пусть введены погрешность^ и невяз-, ка £ :

юо/., е--^-юо/.

Таблица 2. Сравнение метода ПНП и простой итерации для сжатия упругого куба постоянной нагрузкой при ^ «0,49

)) метод Номер итерации П. , на которой Погрешность ш-

£ ^ 10~3%

простея 60 91

0,43 итерация 0,25

ПНП 28 40

Как видно из таблицы, метод ПНП позволяет получить реше-

ние той же точности, что ипростаяитерация при значительно меньшем количестве итераций.

В 5 3.4 решалась задача о загружении куба специальной нагрузкой сложного вида, полученной на основе формулы Папковича-Нейбера.

В таблице 3 указано число итераций, при котором достигается сходимость, либо начинает наблюдаться расходимость. Там.же проводится сравнение двух способов ухода от неединственности решения. В .первом столбце проводятся вычисления по первому способу - корректировка по вектору жесткого смещения на кавдой пятой итерации. В последующих столбцах проводится регуляризация по Лаврентьеву. В последнем столбце приводится решение задачи П+ без применения способов ухода от неединственности. Вводится невязка $ решения регуляризованного уравнения:

/>- II р II . т/'\

Г1расх- номер итерации, на которой итерационный процесс-начал расходиться, (-) в графе показывает, что Данное значение иевязкм оказывается недостижимый.

В 5 3.5 решается задача Ляма в постановке М.М.Филоненко-Бородича для параллелепипеда с соотношением длин ребер 1:1:2 и 1:1:4. Вычисляются значения напряжений в еродинной области. Результаты предыдущих исследований позволяют предсказать, что

границы спектра для параллелепипеда 1:1:4 расширятся по срав-

>

нению с границами спектра для параллелепипеда 1:1:2, скорость

сходимости ухудшится.

I , '. -Таблица 3

сС/ 0 -ю-2: -7.5 ЛСГ2 -ю-4 ,0

п (¿~№) ' г' ■ 55 88 •

Прасх: метод сходится 17 18

- Г (%) 7,06 ;/. 15, 3 13.^2 9.2 8,89

т = 0.05;М=0,74

Рис. г

т = 0.01; М=0.76

Рис. 3

Численные расчеты подтвердили, что действительно, при увеличении отношения сторон границы спектра расширились с [_0,05; 0,7^ до [о,01; 0,7б] , знаменатель геометрической прогрессии увеличился с ¡1 =0,587 до Ь =0,794, скорость сходимости итерационных метопов ухудшилась. Например, для метода ПНП число итераций возросло о 24 итераций до 59; метод простой итерации для первого случая схопился на 64 итерации, для параллелепипеда 1:1:4 метод разошелся.

Из рисунков 2 и 3 еидно, что во втором случае эпюра на -прягкзний к единичной, что и следовало ожидать в соответ -

ствии с принютюм Он-Венлна.

ОСНОБНЫЕ РЕЗУЛЬТАТУ И ВЫВОДУ [

1. Выполнено численное исследование спектральных свойств оператора теории потенциала для упругого параллелепипеда, которое позволило обосновать применение итерационного метода операторного полинома наилучшего приближения для упругого параллелепипеда и других упругих, тел, ограниченных кусочно-гладкой поверхностью. Записаны оценки скорости сходимости различных вариантов приближенных решений метода потенциала в зависимости от информации о сг.ектре.

2. Получена численная зависимость границ спектра от отношения сторон параллелепипеда и сглаживания вершин и ребер.и дано ее аналитическое представление с помощью сплайнов.

Границы спектра интегрального оператора теории упругости наиболее удалены от точек ноль и единица для частного случая параллелепипеда-куба. Эти границы расширяются при переходе от куба к пластине, то есть при уменьшении одного размера в десять раз. Аналогичный эффект расширения отрезка; занимаемого спектром, наблюдается и при переходе к стержню.

Таким образом, решение задач расчета пластин и стержней как трехмерной задачи теории упругости методом потенциала имеет одинаковую трудность, хотя раньше высказывалось предположение-,что задача для стержня является более трудной.

Спектр оператора теории упругости дл; шара эаничает наиболее короткий отрезок. По мере по°вленич изломов поверхности, углов и ребер, спектр расширяется. 4<?м более точно опиеани углы и ребра куба, тем длиннее отрезок, занимаемый спектром.

3. Предложена гипотеза о зависимости границ спектра от некоторых геометрических параметров: отиоямнич х'ра^-'.рниу паглюрс пространственного тела, отноиемио га г Г. олыпего п«л - •■':)'т<;рли[

кгнаименьшему. Границы спектра приближаются к точкам ноль и единица при больших значениях перечисленных выше параметров, что обусловливает низкую скорость сходимости любых итерационных методов, и приводит к накоплению погрешности в процессе реализации. Данная гипотеза позволяет перенести результат о скорости сходимости методов потенциала, исследованный для параллелепипеда, на другие тела.

4. Численно подтверждено существование трех особых точек сингулярного 'интегрального оператора теории упругости для кусоч-но-ляпуновских поверхностей.

5. При расширении интервала расположения спектра итерационные методы решения задач теории упругости ухудшаются.

6. К интегральным уравнениям теории упругости для кусечно-ля-пуновских поверхностей применим любой сходящийся метод, в том числе и метод ПНП.

7. На модельных задачах показаны преимущества метода ПИП по сравнению с другими итерационными методами.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих , работах:

1. Кутрунов В.Н., Мальцев Л.Е., Ромашкина Г.Ф. Применение информации о спектре для усиления сходимости при решении интегральных уравнений теории упругости.-В кн.: Проблемы прочности. №4.- Киев: АН УССР, 1989. С. 53-57.

2. Кутрунов В.Н., Ромашкина Г.З. Решение интегральных'уравнений теории упругости для тел с кусочно-ляпуновскими поверхностями итерационным методом.-В кн.: Тезисы докладов У Всесоюзной конференции по статике и динамике пространственных конструкций, Киев, КИСИ. 1985.

3. Ромашкина Г.Ф. Исследования спектральных свойств |штеграль-ного оператора теории упругости для параллелепипеда численными методами. - Б кп.: Нефть и газ Западной Сибири. Тезисы научно-технической конференции. 28-29 октября 1967г. - Тюмень.1967.

С.135.

4. Кутрунов В.Н., Ромашкина Г.Ф. Влияние сглаживания поверхности на спектральные свойства сингулярного оператора теории упругости, '//сб. Моделирование в механике. г.Новосибирск,

СО АН СССР. т.3(20), » 3. С.96-103.

Автор выражает глубокую благодарность за постоянное внимание и большую помощь в работе над диссертацией научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Льву Евгеньевичу Мальцеву и соруководителю, кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Николаевичу Кутрунову.