Влияние структурной неоднородности на процессы стохастизации и регуляризации процессов деформирования и разрушения твердых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

МИКЛАШЕВИЧ Игорь Александрович

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ НА ПРОЦЕССЫ СТОХАСТИЗАЦИИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ СРЕД

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Чебоксары — 2004

Работа выполнена в Белорусском национальном техническом университете.

Научный консультант — доктор физ.-мат. наук, профессор

Чигарев А. В.

Официальные оппоненты: академик РАН Шемякин Е.И.;

доктор технических наук, профессор Морозов Е.М.; доктор физико-математических наук, профессор Сильвестров В.В.

Оппонирующая организация: Самарский государственный

университет.

Защита состоится 21 апреля 2004 года в 13.00 часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.05.07 в Чувашском государственном педагогическом университете им. И. Я. Яковлева, Россия, 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38. Тел. (8352) 62-06-12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан " " марта 2004 г.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций

доктор физ.-мат. наук

М.В. Михайлова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Интенсивное использование в промышленности композиционных и микроструктурных материалов требует более полного и всестороннего рассмотрения поведения материалов при деформации, определения траектории разрушения, возможности ее прогнозирования и регулирования.

Появление новых материалов (например, наноматериалов) требует исследования процессов разрушения с учетом иерархичности общей картины разрушения. Фрактальный характер разрушения обуславливает подобие законов и структур на различных пространственных масштабах, но конкретные закономерности процесса разрушения существенно отличаются. В связи с этим в работе развитие трещины исследуется на микро- и макро- уровне. Микроскопический рост трещины исследуется на основании континуальной теории дефектов и представления о калибровочной инвариантности процесса деформирования. Макроскопическое распространение трещины рассматривается на основании вариационного принципа теории трещин.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа частично проводилась в рамках тем: «Определение геометрии пространства, ассоциированной с процессами разрушения и деформирования», фи-папсировавшейся Министерством образования Республики Беларусь, договор номер 01-38, 2001г., «Самоорганизация дислокационных полей в процессе пластического деформирования и разрушения», финансировавшегося Министерством образования Республики Беларусь в 2000г.; совместного белорусско-российского проекта «Эффект связанности напряженно-деформированного состояния и поля повреждений в условиях пластического течения и ползучести», финансировавшегося Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь и фондом фундаментальных исследований РФ, 19992001гг., договор Ф99Р-186; «Термодинамические и информационные основы применения рекуперации энергии в биомеханических и технических системах», финансируемого Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь 2002-2005, договор Т-01-196, Исследовательский проект «Dynamics of dislocation structures under the efffect of stationary and dynamic loads», финансировавшийся DAAD. в 2000г.

Цель исследования. Целью работы было исследовать процессы деформирования и разрушения неоднородных сред на базе континуальной теории дефектов, прикладной теории фракталов, синергетических моделей и вариационных методов.

В ходе исследования решались следующие задачи. На основании

представления о разрушении как движении в пространстве состояний со специальной метрикой было получено выражение для фрактальной размерности разрушения; с использованием представления о расслоении пространства состояний было получено выражение силы взаимодействия трещины и точечного дефекта с учетом поля дефектов; найдено уравнение формы фронта трещины как функция распределения дефектов; найдено уравнение формы поверхности трещины как функция распределения дефектов; рассмотрена групповая структура операторов деформирования; получено нелинейное вариационное уравнение траектории макроскопической трещины; исследована самоорганизация потока энергии вблизи вершины трещины.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является деформируемое твердое тело с микроструктурой и трещиной. Предмет исследования — методы описания разрушения тел с микроструктурой.

Гипотеза. Предполагается, что стохастизация и регуляризация процессов деформирования и разрушения твердых тел связаны с током плотности энергии разрушения. При этом в микроскопической области учитывается неэвклидовый характер внутренней метрики дефектного тела. Для макроскопического разрушения трещина распространяется вдоль линий и поверхностей тока плотности энергии.

Методология и методы проведенного исследования. Траектория трещины во всех масштабных диапазонах ищется на основе вариационного формализма. Для микроскопических уравнений он приводит к использованию теоремы Нётер для поля дефектов и получению выражения для силы взаимодействия дефекта и трещины; для макроскопических дефектов формализм приводит к получению уравнения траектории трещины как функции механических параметров среды.

Для учета дефектной структуры среды используется аппарат расслоенных многообразий. Дефектная структура континуума учитывается введением независимых геометрических характеристик — тензоров кривизны, кручения, сегментарной кривизны. Использование финслерова пространства позволяет вводить несколько различных независимых тензоров кривизны и кручения. Эти тензора могут быть введены без введения метрики в пространстве, что принципиально позволяет независимым образом рассматривать процессы деформирования и развития дефектной структуры.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые получено аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в зоне вершины трещины, что позволяет из первых принципов определить уравнение траектории трещины; впервые рассмотрена теория разрывов в пространстве Финслера примени-

тельно к теории трещин, что позволило получить уравнение поверхности трещины как функцию связности континуума и тензора напряжений; впервые получены условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования; получены аналитические выражения для уравнения траектории трещины для некоторых типов неоднородных сред; получены условия для угла отклонения трещины, распространяющейся через резкую структурную границу; условия стохастизации лучей обобщены на задачу стохастизации траектории трещины, что позволяет прогнозировать материалы с заданным характером разрушения; получено физическое обоснование фрактального характера траектории трещины, что дает возможность влиять на фрактальные параметры траектории.

Практическая значимость полученных результатов. Как теоретическая работа, диссертация окажет влияние на исследования в области тре-щиностойкости композитов и неоднородных сред, проектирование и производство композитов и конструкционных материалов.

Полученные в работе результаты могут быть непосредственно использованы:

1. При проектировании композиционных материалов с заданными мехапи-ческими свойствами.

2. При прогнозировании трещиностойкости материалов и конструкций.

3. При разработке новых методов производства тонких и сверхтонких покрытий и пленок.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

• аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в вершине трещины;

• выражение для уравнения поверхности трещины как функции связности континуума и тензора напряжений;

• условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования;

• теоретическое обоснование фрактального характера траектории трещины;

• рассмотрение самоорганизации потока энергии в вершине трещины;

• выражения для угла отклонения трещины, распространяющейся через резкую структурную границу;

• обоснование бифуркации траектории трещины;

• определение частот колебаний и длины волны трещины разрыва, распространяющейся по межслойной границе;

Личный вклад соискателя.

Большинство основных положений диссертации получены лично соискателем.

Апробация результатов диссертации.

По результатам диссертационных исследований были сделаны доклады на конференциях:

X Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ Москва, 9-13 февраля 2004 г.

"Strength, Durability and Stability of Materials and Structures" International conference / September 17-19, 2003, Klaipeda, Lithuania.

International conference "Mechanica 2003"/ April 3-4, Kaunas, 2003.

Int. Conf on Multifield Problems, April 8-10,2002 / Stuttgart, Germany, 2002.

XI Annual Seminar NPCS'2002 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals, Chaos, Phase Transitions, Self-Organization"/ Minsk, 2002.

International conference "Mechanica 2002"/ April 4-5, Kaunas, 2002.

Международной конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике"/ Минск, 4-5 декабря 2001г.

Международной НТК "Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологиии в машиностроении"/ Минск, 10-14 сентября 2001г.

Восьмом всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике / Пермь, 23-29 августа 2001г.

Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow i Konstrukcji / Awgustow, 2326 Maja, 2001, Poland.

"Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов". XXXVI Международный семинар "Актуальные проблемы прочности"/ Витебск, 26-29 сентября 2000г.

VI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ Ярополец, 14-18 февраля 2000 г.

IX Annual Seminar NPCS'2000 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals, Chaos, Phase Transitions, Self-Organization"/ Minsk, 2000.

VI Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений па транспорте"/ г. С. Петербург, 29-30 июня 1999г.

Международной 53-й НТК БГПА / Минск, 1999.

Международном конгрессе "Теоретическая и прикладная механика — 99"/ Минск, 1999.

8 International conference of fracture, Ukraine 93 / Киев, 1993.

Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической механики Белорусского национального технического университета, на семинарах кафедры теоретической физики Бел госуниверситета, (г. Минск), в Institut fur Nukleaxe Festkorperphysik Technische Uniwersitat Braunschweig, Германия, на кафедре механики и сопромата Politechnika Krakowska, в Institute of Nuclear Physics, Krakow, Польша.

Опубликованность результатов.

По теме диссертации опубликовано 33 печатных работ, среди них 1 монография (без соавторов), 22 статьи в журналах и сборниках, рекомендованных ВАК Беларуси и России (из них 15 без соавторов), 10 статей в материалах конференций (б без соавторов). Теме диссертации также посвящены 9 тезисов конференций (го них 5 без соавторов). Общий объем опубликованных материалов превышает 400 машинописных страниц.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем работы - 208 страниц машинописного текста, в том числе 10 страниц иллюстраций. Список использованных источников включает 2б9 наименований.

Общие результаты работы сформулированы в заключении.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана общая оценка состояния механики разрушения тел с микроструктурой. Отмечен многоуровневой характер развития процесса разрушения и распространения трещины. Обоснована необходимость использования специфического аппарата для описания процессов на различных уровнях. Очерчен круг проблем, нуждающихся в изучении и определено направление диссертационного исследования.

В общей характеристике работы дается общая оценка состояния современной теории разрушения сред с микроструктурой, раскрывается актуальность темы диссертации, ее состояние в настоящее время, связь диссертационной работы с крупными научными программами. Формулируется цель и задачи диссертационной работы, перечисляются методологические осповы, используемые методы, основные гипотезы, положенные в основу работы, а также отображается научная новизна и практическая значимость работы. Во введении также излагаются основные положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации работы и публикациях. Указан личный вклад

соискателя в работу. В конце введения приводится краткая аннотация диссертационной работы по главам.

В первой главе по материалам отечественных и зарубежных публикаций излагается современное состояние механики деформируемого твердого тела и разрушения. Отмечен ряд исследователей, внесших значительный вклад в данную область механики: Астафьев В.И., Болотин В.В., Гузев МА., Гузь

A.Н., Ивлев Д.Д., Каминский АЛ., Качанов Л.М., Костров Б.В., Кунин И.А., Морозов Е.М., Морозов Н.Ф., Никитин Л.В., Панаскж В.В., Пастухов В.А., Работнов Ю.Н., Радаев Ю.Н., Ромалис Н.Б., Тамуж В.П.,Черепанов Т.П., Чигарев А.В., Шемякин Е.И., Irvin G., Orowan E., Rice J.R., Kroner Е., Bilby

B., Kondo К., Freund L., Sih G. и др. Рассмотрено изменение свойств однородной среды при внесении в нее различных типов дефектов: дислокаций, дисклинаций.

Отмечено, что для классической модели сплошной среды соответствие между начальным состоянием £ и текущим состоянием х(£, t) дается диффео-морфным отображением х —» £ (гипотеза сплошности ). Гипотеза сплошности тем самым является дополнительным постулатом механики деформируемого твердого тела, из которого следует что математическая структура идеального континуума отвечает евклидовому пространству.

При этом для бесконечно малого элемента среды связанного с вектором деформация в переменных Эйлера определяется с помощью преобразования pf =Pi(x,t), то есть координаты точек среды dx после деформирования определяются через начальные координаты соотношением

dC=pak<h>. (1)

Диффеоморфизм подразумевает обратимость отображения х —► £ и однозначное восстановление функций £a(x,t) через Первое свойство диффеоморфизма дает ограничение на алгебраическую структуру матрицы

detM^O. (2)

Второе свойство выделяет такие , для которых интеграл

для любого замкнутого контура L в переменных х*. Преобразуя криволинейный интеграл в интеграл по поверхности, опирающийся на контур L , получаем

где в.э** - проекция элемента площади на координатную плоскость хкх3. В силу произвола выбора поверхности из (3) следует соотношение:

В геометрии величины Су называют объектом неголономности. Таким образом, согласно гипотезе сплошности для описания процесса деформации в классической модели сплошной среды используются голономные преобразования . Поскольку они удовлетворяют условию (4), то обладают порождающим полем "ф" = ^"{х, 4) таким, что = дфа/дх>'. Тогда уравнение (1) интегрируется: и

дЦаЩ) дхк

(5)

Сформулированы общие математические требования к пространству, пригодному для корректного описания деформации с учетом микроструктуры. Показано, что данным требованиям удовлетворяет пространство Финслера.

Согласно определению, полем финслеровых геометрических объектов порядка к на многообразии М. называют набор N функций 0А(х,р), определенных на каждой окрестности координат атласа х-1 (С) в касательном расслоении 1(М).

Локальная карта 1Г~1(Ц),фна многообразии %{М) имеет коэффициентами функции (оА(х,у)^

Касательные расслоения поля финслеровых геометрических объектов позволяют вводить различные производные в зависимости от ведущей переменной. Имеем:

мх = гкивгиекмух, (6)

где - горизонтальная связность с коэффициентами 1$к{х,у)\ Г^ - вертикальная связность с коэффициентами СР-к(х,у) в т о«ч т ь

вертикальное подпространство касательного пространства

Тогда существует единственная финслерова связность (ТУ, ¥, С) с коэффициентами Щк{х,у), С^к(х,у). Можпо показать, что Р^к{х,у) есть финсле-ров линейный дифференциальный объект. Коэффициенты С^к(х,у) транс -формируются по закону:

(7)

Из трех коэффициентов можпо построить три тен-

зорных поля кривизны и пять тензорных полей кручения. Все эти объекты

могут быть построены без предварительного введения метрики континуума. Это позволяет «независимо» развиваться дефектной структуре и континууму.

Риманово пространство является касательным к фипслерову в точке. Исходя из определения расстояния для риманова и евклидова пространства, метрический тензор касательного пространства определяется ......

(*•,*•)

0 = 2"

(8)

дх'дх'

Величина х' — произвольный вектор касательного пространства в точке касания Т„(Р). х — (1х/<и, где 2 есть инвариантный параметр вдоль кривой, а;* = Коэффициенты связности пространства определяются: РкУ(х,х) = х) — Ск\(х,х)ур^(х, х)хр = где величина Су* - характерный тензор финслеровой геометрии (Картановское кручение), который возникает из-за зависимости метрики от производных координат по параметру.

Рассмотрены особенности определения ортогональности в финслеровом пространстве. Для сферы произвольного радиуса £ уравнение касательной гиперплоскости записывается

(9)

где - произвольный вектор длины |£| = F выходящий го центра О пространства Т„(Р). Тогда любой вектор гр, принадлежащий гиперплоскости или параллельный ей, есть ортогональный (нормальный) вектору Поскольку всегда можно представить ^ = ¿до _ ¿(1)» из уравнения (9) получаем

У = о. (10)

Из уравнения (10) следует, что из-за того, что метрический тензор зависит от аргументов гг'^то ортогональность несимметрична относительно т/*.

В заключительных параграфах главы показано, что с учетом представления о существовании внутренней несовместности деформаций в дефектном твердом теле можно определить корреляционные функции поля дислокаций.

Вторая глава посвящена вопросу энергетики разрушения. Показано, что элементарная деформация распространяется по линиям тока энергии. Найдены уравнения линий тока энергии, уравнения линий записаны в гамильто-новой форме.

Рассмотрен тензор энергии-импульса для динамической трещины. Уравнение Эйлера-Лагранжа динамической упругости в пренебрежении объемными

силами записано в виде

д дХ„

'О,

с лагранжианом

(И)

(12)

где р - плотность материала, с^и - упругие постоянные, «¿(Л-,,) - поле перемещений, Хо = t, Х^ - пространственные координаты. Уравнение (11) есть вариационное уравнению Лагранжа-Эйлера, записанное в расширенном координатном пространстве. При определенных ограничениях в системе может быть введен тензор эпергии - импульса. Для однородной и изотропной среды он имеет вид:

эс

-Ч/

(13)

Рассматривая аналогично стандартному представлению теории разрушения поток энергии через контур д(1, охватывающий вершину распространяющейся трещины, имеем для потока энергии и потока поля импульсов со ответственно

(14)

= — 1ш1 / I

= — Ит / с-о Ус

<1С{ТчЩ - ЦТ\0п,],

(15)

где щ - вектор единичной нормали к кривой в данной точке, - конфигурационные силы, действующие на вершину трещины.

Конфигурационные силы Р связаны с потоком энергии ? как

Яг) = Д(«)1$(0.

(16)

Это значит, что работа конфигурационных сил Р на бесконечно малом пфемещении вершины трещины, ^ • <Ш эквивалентна энергии, вводимой в область в вершине трещины за время роста

р • ¿я = т<и,

(17)

где У^) — <Ш/<й. При этом трещина выступает в качестве «проводника», по которому энергия стекает из пластически деформированной области вблизи вершины трещины. Для неограниченной плоскости получаем, что поток энергии в вершину трещины зависит от скорости трещины и ее длины, но не зависит от ускорения вершины трещины. Глобальное поведение трещины подобно динамике материальной частицы, которую Е. М. Морозов предлагал называть "креконом".

В § 2.4 рассмотрены потоки энергии в сплошной среде и генерация энергии распространяющейся трещиной. Полагалось, что разрушение возникает в случае когда аккумулированная в объеме энергия превышает энергию связи данного объема, таким образом диссипация энергии в зоне перед кончиком растущей трещины облегчает ее дальнейший рост. Волновое уравнение для движущегося вдоль оси X источника имеет вид:

Др-

1 э2^ 2/? 1 э2?

с2 т2

-4тг<Э,

(18)

где потенциал <р = -ф ехр (гиЛ) есть гармоническая функция времени, ф - сила объемного источника.

Уравнение (18) записано в сжатой системе координат:

где (3 = и/с, V- скорость источника; с- скорость возмущения в среде. В случае источника, движущегося по произвольной т р а еги х = у = У(<), х = £(4), можно ввести эйлерову систему координат = х—Х{(), = у — = г — Z{t), = в которой скорость потока среды имеет вид V = —£'/4° = —V'. В вершине трещины, соответственно классическим решениям теории упругости, напряжения имеют особенность. Эта и есть точечный источник ф, локализованный в вершине трещины. Поскольку реальное распространение трещины есть последовательность процессов: разрыв связи — накопление энергии — новый разрыв, точечный источник имеет периодический характер. Тогда сила ф может быть представлена как:

(19)

где 6 — дельта-функция Дирака. Величина F(£0) дает зависимость силы от времени в системе, связанной с источником, а дельта-функции обеспечивают точечность.

Решение уравнения (18) в лагранжевой системе координат с учетом представления (19) имеет вид потенциалов Лиенара-Вихерта:

(р(х, у, г, г) =

где Я - единственный положительный корень уравнения:

(20)

Величина Я — это расстояние, возмущение от которого в данный момент достигает данной топки (эффективное расстояние). Величина Я* имеет смысл расстояния в эйлеровой поджатой системе координат от точки наблюдения Р до точки волновой поверхности Л* =

Решение (21) представляет поле нулевого источника (т.е. такого источника, который имеет разложение по сферическим гармоникам только нулевого порядка). Комбинируя такие источники с надлежащими фазами и размещенными соответственным образом можно представить любое волновое поле. С учетом выражения для потенциала амплитуда волны выражается

-ф{х, у, г, г) =

Я/с)

-¿и*

(22)

Тогда максимальное количество энергии, которое может быть аккумулировано в объеме, составляет

'Т(Е>

~ 2 Я

-<Й,

(23)

где Т = 1/у — время движения трещины по траектории, I — расстояние от начала движения трещины до данной точки (длина траектории). Величина есть полная энергия, пришедшая в объем с волнами. В выражении (23) необходимо рассматривать сумму по всем типам волн, существующим в теле. Для деформаций объема в простейшем случае можно полагать перемещения среды для прямолинейной трещины совпадающими с амплитудой пришедшей волны, а частоту источника — с частотой волны. Тогда для амплитуды (22)

(24)

При определенных упрощающих предположениях и с учетом того, что среднее значение гармонической функции за все время распространения имеет вид переходя к размерным переменным для (24) получаем:

(25)

В случае движения трещины со скоростью звука 0 = 1, уравнение (21) имеет два совпадающих корня. С физической точки зрения существование двух эффективных расстояний свидетельствует о возникновении бифуркации. Для случая = 1 уравнение (25) элементарно интегрируется и дает:

При скорости движения нагрузки, совпадающей с одной из скоростей волн в объеме разрушаемого материала, материал поглощает «бесконечное» количество энергии упругих волн, т.е. динамическое сопротивление должно резко возрастать при скорости нагрузки, совпадающей с одной из скоростей звука. Это вызвано тем, что энергия от вершины трещины не передается вперед по направлению развития трещины (скорость передачи энергии совпадает с фазовой скоростью распространения волны) и перед вершиной трещины не успевает сформироваться зона ослабленных связей.

Далее в главе рассмотрено направление тока энергии в средах второго порядка.

Если полагать, что для любых сред, аналогично среде первого порядка, энергия локально распространяется вдоль вектора напряжений, то можно найти уравнение распространения энергии. Известно, что в общем случае тензора деформаций и напряжений не являются соосными. Это связано с несимметричностью ортогональности в пространстве Финслера, которая определяется уравнением (10). Используя выражение (8) для касательной гиперплоскости к эквиэнергетической поверхности радиуса £ имеем:

с- и £У = - = 1С!2

(27)

Напомним, что Г},произвольные векторы касательного векторного пространства Тп к основному многообразию. Тогда нормаль задается как кова-риантная производная от гиперплоскости

(281

Поскольку мы можем задавать сферы произвольного радиуса (произвольную энергию системы), можно построить непрерывное поле нормалей и тем самым определить непрерывное поле направлений распространения луча. Непрерывность важна с физической точки зрения — по закону сохранения энергии реальный луч (трубка тока энергии) не может быть разрывной, а должна начинаться на источнике и завершаться на стоке. Существует одно принципиальное отличие между геометрической оптикой и волнами деформации. В оптике гамильтониан ?^(р,г) не имеет прямого смысла энергии луча, в то время как для пластической деформации мы принципиально можем связать гамильтониан с энергией поля дислокаций — носителей деформации.

В следующих параграфах рассмотрена самоорганизация поля потока энергии для модели трещины с диффузионным пластическим течением. Известно, что поле напряжений вблизи вершины трещины существенно различно в

трех областях, ограниченных характерными направлениями vi = 79,7o, V2 =

151,4°, где <р = 0" соответствует направлению текущего распространения

трещины. Для поля напряжений в первой области, <р < ±Vi имеем :

2 1 . <JW = larr — cos ip\ <тГ(Р = -J^sinyj.

Для поля напряжений во второй области, <Р\<<£ <ц>г имеем:

а„ = 7 (—1 + 3 eos 2vi) + J (1 + cos 2<pi) cos 2(v — Vi) + r sin 2<pi sin 2(v — Vi); 4 4 2

0W = ~arr + ^ (-1 + 3 cos 2vi) ;

<rr¥> = -j(-l + cos2vi)sin2(v - vi) + ^sin2viCOs2(v - Vi)-Для поля напряжений в третьей области, <р2<<р<ж имеем:

Ott = i(l + cos2p); <7W = (l - cos2v) ; (Тгр = isin2vJ.

В этом случае имеем существенно различное поведение вектора Умова-Пойнтинга в различных областях. Для простоты полагаем, что перемещения материала в зоне раскрытия трещины и = (0,1). Для первой области получаем £ = (£i, £2) с компонентами:

¿i = (cos <р sin 2<р + 2 sin cos 2<р) ; (29)

£2 = (-2соб¥> + сову>3 - sinvsin2v). (30)

Для второй области имеем вектор потока энергии с компонентами:

£i = i ^i(l + cos<pi)cos(2^ — v?i) + smv5isin(2y> - Vi)^ sin 2ip+

+ ( 7(1 + eos Vi) sin(2v - tpi) + i sin (fix cos(2<p - Vi) j eos 2¡p. (31)

£2= i+^*cos Vi+^(l+coe Vi) cos(2v—Vi)+^ sin Vi sin(2v—Vi)^ sin2 tp+ + ^ eos Vi -^(l + cosvi)cos(2v - vi) - ^sinvi sin(2v - Vi)^ eos2 v+ + + eos Vi) sin(2v - Vi) + ^ sin Vi cos(2v - Vi)^ sin 2v- (32)

Поведение вектора потока энергии представлено на рис.1 - 2.

Рве. 1. Поток энергии в первой области Рис. 2. Поток энергии во второй области

На рисунках сплошная линия - абсолютное значение вектора потока, о -компонента £i, о - компонента £г> штрих - пунктир - угол наклона вектора к оси ОХ Резкое изменение а - угла наклона вектора потока связано с поведением компоненты £г- Изменение знака свидетельствует о разрывах в поле потока энергии, что, очевидно, связано со сменой режима: поступление энергии в область вершины трещины сменяется излучением энергии трещиной. Абсолютная величина потока есть гладкая функция.

Для третьей области ^„¡(Т^а,^ ^ const в то время как физические компоненты тензора напряжений постоянны, а вектор потока энергии равен нулю. Это согласуется с известным результатом, согласно которому для этой области компоненты тензора деформации равны нулю.

В следующих параграфах главы рассмотрены вариационные методы получения линий тока энергии. Отмечено что аналогии между механикой, акустикой, оптикой основаны на единообразном описании процессов распространения объектов (лучей, квазичастиц, трещины) при помощи уравнений типа Якоби. При этом лучам геометрической оптики в общем случае отвечают кратчайшие расстояния на многообразии М. Тогда в конфигурационном пространстве можно задать метрику dp таким образом, что траектории системы с кинетической энергией Т = | , потенциальной энергией П^) и полной энергией h будут геодезическими линиями этой метрики:

dp = y/h - II(q)rfi. (33)

С учетом выражения (12) для макроскопического лагранжиана макроскопическая метрика (33) конфигурационного пространства приобретает вид

(34)

dp

= \А -

CijtiUijUkjdl,

и вариационное уравнение динамическои трещины есть

где щ, «1 - начальное и конечное раскрытие трещины. В этом случае, учитывая (34), (8) девиация метрики континуума, вызванная отклонением реальной структуры материала от идеальнои

а для фрактальной размерности трещины, определяемой как отношение длины кривой в финслеровом пространстве к длине в евклидовом пространстве, имеем для случая одинаковой параметризации кривых

Поскольку симметричные коэффициенты связности есть функция состояния, фрактальная размерность трещины также есть функция состояния.

Задание метрики позволяет определить взаимодействие трещины и дефектной структуры с полевых позиций. В общем смысле рост трещины может быть представлен как движение квазичастицы — крекона в пространстве со специальной метрикой (33).

Третья глава посвящена рассмотрению взаимодействию дефектной структуры, континуума и трещины. Рассмотрено распространение трещины в среде и построен метрический тензор дефектной среды с учетом микроструктуры.

Учитывается связь процесса распространения трещины с эволюцией дефектной структуры и пренебрегается другими процессами диссипации энергии. В общем случае поле дефектов представляется суперпозицией полей круговой зоны пластической деформации вблизи вершины трещины и полос скольжения.

Для простоты принималось, что функция распределения дислокаций для круговой области зависит от макроскопических параметров (координат и однородна внутри области радиуса К Вне этой круговой области влияние поля дефектов экспоненциально убывает. Обозначим К = Я2—((х1)2-!- (г2)2). Тогда макроскопическая зависимость представляется:

Д = ¿Ь — ¿р =

/1 йгР (х',х') [

V 2 д*дх>

(37)

у) = ПО! [ОД + ${-Ю ехр [-Ах ((а;1)2 + (*2)2)]], (38)

где Лх > 0 — характеристика среды, показатель, связанный с взаимодействием дефектов и континуума (например, силы торможения, процессы генерации-аннигиляции дефектов), в — функция Хевисайда. Аналогично случаю круговой зоны, для плотности дефектов в полосе принималось

п2{х,у) = П02<5 (±Л(Х1) = по2<5(±{ - (г2))ехр

-В- (х2)) ехр [-Л2 ((х1)2 + (х2)2)] =

[-А2((хг>2 + (х2)2)],

где П02 — начальная плотность распределения дефектов в полосе скольжения; 6 — ¿-функция Дирака; к = tg а\ а угол наклона полосы скольжения, В — координата начала полосы скольжения; Л2 > 0 аналогично А1 для полосы. скольжения.

Двойной знак в аргументе дельта-функции отвечает двум полосам скольжения (в верхней и нижней полуплоскости соответственно). Обозначим (? = У1+У2 — радиус-вектор микросостояний, р2 = (х1)2 + (х2)2 — радиус-вектор макросостояний. Тогда, если считать взаимодействия в касательном пространстве одинаковыми для круговой области и для полосы, имеем для полной энергии: ^

+в{р> - Я2)е"А'' + 8({±кх' + Ь)~ х*)е~х>?]. (39)

Учтем, что а = а(уь У2), Ь — Ь(уи у2), тогда на основании определения (8) с учетом (39) можно вычислить компоненты метрического тензора финсле-рова пространства

В следующих параграфах главы рассмотрена теория разрывов применительно к движению трещины. С учетом условия ортогональности (10) и определения разрыва, имеем уравнение фронта трещины в материале:

А)

(

(1-2) ; (1-2)

~ =0.

В) Г,(а?,*.*)» (**,€*) е/е/ = -дц [х\е)Ы)ХкС-с) [»» (*,Одц (хк,е) + д» (А?) М, (х,0Х*?]Ш =

Условие (А) отвечает независимому изменению поля и метрики, условие (В) — скоррелированному изменению поля и метрики, условие (С) — движению трещины в евклидовом пространстве в случае

Так как рассматривается деформация сплошного тела, перемещения частиц среды перед фронтом трещины осуществляются непрерывным образом. Поскольку функция разрывов индуцируется векторным полем то это поле порождает бесконечно малое преобразование типа

^ = х{ + ^{х)<1т,

(41)

и функция разрывов эквивалентна взятию производной Ли. Выражение (41) для случая стационарного распространения трещины представляет уравнение движения элементарного объема среды, а уравнение поверхности трещины приобретает вид

(42)

где Э4 означает j компоненту векторного представления тензора напряжений Поскольку под знаком производной стоит свертка геометрических объектов различной природы, то согласно правилам операции с производной Ли мы можем при вычислениях рассматривать свертку производных Ли.

Для определения группы Ли процесса разрушения установлены ограничения на группу операторов макроскопической деформации. В качестве таких операторов выбраны 01 — упругое деформирование, С2 — пластическое деформирование, 03 — упругая релаксация, 04 — пластическая релаксация, О — исходное состояние (состояние неизменной нагрузки). Нарушение условия транзитивности для групповой таблицы умножения позволяет уточнить структуру оператора пластического деформирования.

<?!(<?2<?з) = С1; (43)

(СхСа)*?!»*?!. (44)

Из уравнений (43, 44), полагая С?2 = С?2 + (ЗУ и принимая действие оператора линейным, получаем:

(Сг(С2 + С2))С3 = (СхС^Сз + (С^Сз; (45)

¿?1((С2 + <?2)С3) = ^(СЭД + ^(^"Сз). (46)

Объединяя правые части (45,46), получаем условия, налагаемые на структуру оператора О-- При этом в реальных телах при наличии гистерезиса (диссипации энергии) мы можем дополнительно записать динамические уравнения для генераторов группы.

В следующих параграфах главы рассмотрена сила взаимодействия дефектной структуры и трещины в постановке теории калибровочных полей па основе определении структурной группы О и использовании Лагранжева формализма континуальной теории дефектов.

Полный лагранжиан континуума может быть записан в виде суммы лагранжианов полей, связанных с дефектами, и материального лагранжиана в виде:

£ = £0 + 51А+52£2, (47)

где С\ — лагранжиан калибровочных полей, связанных с дисклинациями, Сг — лагранжиан калибровочных полей:

£г = (48)

в которых дАВ — — ди — ^■,даЬ = 0 для а ф Ъ, Бг константа связи, £ — скорость передачи полевого воздействия, Сар компоненты метрики Картана— Киплинга подгруппы 50(3).

Вариационная процедура для потенциала С\ дает выражение:

А = (49)

Величины Б, Б в (49, 48) непосредственно связаны с калибровочными полями. При этом поля, связанные с трансляционной группой (потенциалы есть функции плотности дислокаций и могут быть связаны с 2-формой кручения.

Рассмотрение лагранжиана в виде (47) позволяет определить микроскопические силы, действующая на трещину со стороны дефектной структуры.

В соответствии с общей схемой развитие макроскопической трещины начинается с микроскопического объекта (например, дислокации) статистически случайно расположенного таким образом, что суммарные силы со стороны

континуума дефектов и внешних приложенных сил способствуют развитию свободных поверхностей трещины. Это можно интерпретировать как генерацию кракона из континуума под действием внутренних и внешних приложенных сил. После формирования начальной конфигурации (начальной трещины) дальнейшее распространение трещины рассматривается как бесконечно малые трансляции некоей формы (объекта) в направлении ее распространения. Это равносильно движению крекона в поле внешних сил в заданной метрике. В качестве транслируемой формы берется вершина трещины.

Для тензора плотности энергии-импутьса была использована теорема Остро-градского-Гаусса. Интегрируя по замкнутой поверхность Ш вокруг вершины трещины с учетом того, что поверхность трещины есть свободная поверхность, имеем для общей движущей силы, действующей на вершину трещины со стороны дефектной структуры:

В случае отсутствия дефектов в материале выражение (50) дает:

(51)

По своей структуре скобки в выражении (51) идентичны тензору энергии-импульса (13). Очевидно, что, поскольку (51) следует из теоремы Нётер, то ^ является сохраняющейся величиной. В этом случае выражение (51) по структуре совпадает с известным J-интегралом Черепанова-Райса. В следующем параграфе рассматривается микроскопическое уравнение динамики крекона. После формирования трещины сила продолжает влиять на ее распространение. Уравнение (50) представляет обобщенную микроскопическую силу, действующую на крекон со стороны дефектного континуума. Тогда уравнение макроскопической динамики крекона принимает вид

где Ь — макроскопический лагранжиан крекона (12).

Масса крекона может быть оценена как Ш = тп—т' = р(Г/—/> '<1V = ^(р — р ')<ИУ, где р — плотность идеального материала, р ' — плотность материала в зоне влияния (внутри области £).

В случае квазистатического разрушения, когда и* = V < инерционные силы пренебрежимо малы, и макроскопический лагранжиан (12) с точностью

до бесконечно малых 2 порядка приобретает вид

Полученное уравнение (52) с учетом выражения (53) принципиально позволяет прогнозировать распространение трещины в любой среде.

В заключительных параграфах рассмотрена структура линий тока энергии для упругой среды. С учетом работ А. В. Чигарева отмечено, что для сред с определенной корреляционной функцией для длин волн порядка радиуса корреляции (средней масштабной неоднородности) градиент групповой скорости имеет минимум, т.е. скорость оттока энергии падает. Это означает, что в среде энергия концентрируется в окрестности неоднородности.

Глава четвертая посвящена приложению рассмотренных методов к определению макроскопической траектории трещины в неоднородных средах.

Вариационная задача роста трещины, как задача минимума энергии разрушения при росте трещины по траектории у — у(х) имеет вид:

где - компоненты тензора напряжений на площадках, положе-

ние которых совпадает с поверхностью трещины, направляющий косинус внешней нормали к поверхности трещины, - смещение берегов трещины, тензор напряжений материала, - поверхностная энергия. Из формулы (54) можно получить существенно нелинейное уравнение для траектории у(х) б виде:

дфх/Г+Е* Л £

ду

= 0,

(55)

Я2 ¿хо^ТТЯ*

где у' = %\ <? = (<7уП£^)-1 = С(х, у), А = 1+ у12, В = 2у - РгЩ.

Полученное уравнение (55) исследовалось для различных типов сред, по которым распространяется трещина. На основании рассмотрения коэффициентов прохождения и отражения было получено, что в неоднородных средах существуют области, куда проникновение трещины затруднено.

Изучено распространение трещины через границу сред с кусочно - постоянными механическими характеристиками. Рассмотрены условия возникновения стохастических режимов при распространении трещины в композитах с различными механическими характеристиками. Так, для композита, для которого

ь <? (х, у) = 1п С}{у) + и{х, у), 1п д(у) = - аш2у\

отклонение трещины у от оси х удовлетворяет уравнению типа Дуффинга: У! + и2 (1 + ау$ = кХ). (56)

Вводя обычным образом корреляционную функцию Лт для <р имеем:

• (57)

С помощью корреляционной функции /?„, находится условие стохастиза-ции траектории трещины

Пп^Яп^О. (58)

Следовательно, условие стохастизации траектории трещины сводится к условию расцепления фаз, то есть фазы ведут себя хаотическим образом, и для изучения поведения трещины необходимо переходить к вероятностному описанию. В переменных действие - угол уравнение траектории трещины может быть записано в виде

(59)

Уравнения (59) (56) определяют одну и ту же величину у. Уравнение (56) —детерминированное, и переходить к вероятностному описанию у в нем можно для х, удовлетворяющих условию (58).

Рассмотрено уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для уравнения (59), вычислена энтропию трещины. Показано, что энтропия будет резко возрастать в точках

Исследована траектория трещины в периодически неоднородной среде, определенной соотношением вида

{Ы2(х,у))х = б + усоаих. (60)

Подставляя (60) в (55), получаем уравнение Дуффинга, содержащее у:

у-у + ^ + еб^ечусозих, (61)

В этом случае система не является гамильтоновой. Найдены условия возникновения детерминированного хаоса, получены условия перехода от детерминированного движения траектории луча к хаотическому. Как следует из

анализа для невозмущенной системы, входящая и выходящая сепаратрисы совпадают в гиперболической точке у = V = 0.

Уравнение Дуффинга (61) при 5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы, которое происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При 5 > 0 уравнение (61) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно существование стохастических аттракторов. При > 0 происходит разрушение инвариантных линий, ограничивающих стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Фазовые портреты и траектории распространения трещины для различных начальных условий приведены на рисунках. Для рис.3 - б 7 = 2,19.

Как следует из графиков (3,4), в системе существует слабый хаос. На рис. 4 можно наблюдать слабый странный аттрактор. Рис. 5, 6 иллюстрируют зависимость поведения траектории от параметра и. Видно принципиальное подобие траекторий. Интересной представляется вторичная слабая раскачка траектории вблизи х = 80. На рис. б можно видеть чувствительность

решения к начальным условиям — траектории сбегаются к разным фокусам. Полученные решения стабилизируются; при распространении магистральной трещины неустойчивым является только начальный этап ее продвижения, а после приобретения трещиной определеннной скорости распространение становится устойчивым. На начальном этапе возможен переход трещины из слоя в слой, после стабилизации трещина распространяется в границах одного материала. Такое поведение есть "поиск"трещиной оптимальной траектории распространения.

Рис. 7 -10 построены для параметра 7 = 1. В отличие от предыдущего случая, фазовые портреты для траекторий с близкими начальными значениями на рис. 8 неразличимы.

Поведение траектории зависит от начальных условий. Так, в случае е = 0,1; 7=1,9; и =6; 6 = 1, если 0,965 < у(ж) < 1,285, то фокусом траекторий является +1, если у(х) не попадает в этот диапазон, то фокусом является точка -1. Это отвечает распространению трещины в целом в одном из слоев.

В параграфе 4.6 рассмотрены хаотические свойства отображения ф —* ф. Они зависят от выбора вида функции г(6), которая описывает границу ло-

♦

♦.гай 04

об *

'Л-

-10

0 04 1пХ

I*» X.

04

Ь)

Ь)

Рве. 11. Зависимость угла отклонения трещины от параметра А при в = § —

Рис. 12. Зависимость угла клонения трещины от Л

6м = 2

°1 ( . Л 1Я гь../

ОТ-при

II \Л18 (А///А/)3

кальной зоны усталостного разрушения. На рис. 11 представлено поведение ф ДЛЯ Т = А 8т(-^т) и различное поведение 0.

Из анализа рисунка видно возникновение бифуркаций вблизи точек ^А = 0,5. Показано, что для для малых Аугол отклонения также близок нулю, т.е. на малых расстояниях трещина распространяется стабильно и стохастизует-ся только на длинах более критической длины расцепления фаз X,. Важным представляется наличие только двух устойчивых состояний. В целом процесс изменения направления трещины может быть представлен как смена устойчивого распространения в направлении предыдущего роста устойчивым ростом в направлении, определяемом углом ф. Это совпадает с результатами исследования стабильности распространения трещины и отвечает переходу между двумя устойчивыми фокусами. В общем, возникновение бифуркации и существование двух стабильных ветвей бифуркационной диаграммы соответствует возможности отклонения трещины на ±0 после достижения критической длины.

Глава пятая посвящена исследованию влияния потоков энергии на расслоения композита по границе слоев.

Для описания формы межслойной трещины в разделе 5.1 модифицирована модель свободных колебаний трещины Гриффитса и применено уравнение изгиба составной балки на упругом двухслойном основании. Разделение однородной пластины композита на области с различными физико-механическими свойствами вызывается диссипацией энергии поверхностных волн в тонкий приповерхностный слой.

В разложении для кривизны прогиба балки

213/2

И©2]

были учтены слагаемые квадратичные по производным ¿[¡¡¡¿Х. Полученное уравнение имеет вид:

где Е — модуль Юнга, / — момент инерции поперечного напряженного слоя, I = щеЬ1)• ^ ~ толщина напряженного слоя, Ь — ширина пластины, где Т = — приведенный модуль, — модуль упругости, Еъ — касательный модуль, I - ~ момент инфции поперечного напряженного слоя, к{ = г = 1,2 — коэффициенты упругих оснований ¿-го слоя композита, £о = уг^д, Ц) = -¡~, Ь — ширина пластины V— коэффициент Пуассона, рх — приведенные плотности, Fi — площади сечения, Щ начальная неровность о ЛГ = Р (1 - коэффициент перераспределения нагрузки, связанный с механическими свойствами слоев композита (взаимное подкрепление пластин), штрих относит модули упругости к той или иной пластине.

В § 5.2 проведен анализ решения и рассмотрено нарастание нестабильности.

Начальную стадию развития волны описывали линеаризуя это уравнение. Полагали, что решения уравнения представляют собой линейную комбинацию плоских волн:

V) = (оо + о!) ¿(Кх1м1 ф) + фо + 6') е~*Кх 1*1 (63)

где во, Ьо — амплитуды стационарных волн. Решая совместно (63) в (62) и далее выделяя стационарную часть получили для амплитуды и фазы:

77 (—4А'3о^) + N (2Ка'А + 6К3аЬа' ) - 2 (/цД - p3.Fi) = 0; 77 (К3^) + N {-2Кф,х + 6аЬф,хКГ) + 2 (Р1Рг - ргД) ^ = 0; (64) Г/А'4 + (*! - к2) + N (-А'2 - ЗоЬА'4) - (Р1Д - ^ = 0.

В системе (64) сохранены только члены с нулевой частотой.

Из-за диссипации энергии в реальной системе амплитуда обратной волны меньше, чем прямой. Однако, если считать деформирование композита упругим, можно полагать Оо = дополучены выражения для частоты «о из (64). Основная гармоника колебаний будет неустойчива, если 1% < 0. Анализ показал, что это условие выполняется при различных комбинациях свойств композита и параметров

нагружения. Получены значения частот колебаний и длины нарастания процесса для композитов типа стеклопластиков. Время нарастания процесса есть Т(А) = 1т Ц)-1. Длина нарастания (длина стабилизации) процесса дается выражением:

£(А) = г>Г(А) = V (1т ^о) • (65)

Фазу ф и нелинейную поправку а' можно искать из первых двух уравнений системы (64), также представляя их в виде ф — С^е1^^3^, й' = С^е'9"*1 где С,,С2 — амплитуды, определяющие срыв волнового процесса и переход на распространение трещины поперек слоя. Параметры а и волновой вектор К = определяются из решения задачи устойчивости Эйлера.

В случае N = О, Е = Е' нелинейность отсутствует, решение имеет синусоидальный вид. Спектр решений уравнения Буссинеска содержит соли-тонные решения. Солитонные решения могут отвечать прохождению единственного разрушающего импульса вдоль границы слоев.

Длина нарастания неустойчивости (65) и длина стохастизации (58) имеют различный физический смысл. Длина стохастизации есть длина, на которой магистральная трещина в материале с заданной неоднородностью материала теряет устойчивость; длина нарастания процесса есть длина, на которой напряженный слой перед вершиной развивающейся вдоль границы раздела трещины приводит к расслоению (зона влияния трещины расслоения).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Обосновано, что в качестве внутренней метрики деформированного тела с микродефектами может быть использована метрика Финслера, что позволяет рассматривать формирование дефектной структуры и процессы деформирования математически независимым образом. Такое разделение процессов связано с возможностью нескорелированного введения метрики и тензоров кручения.

2. Обосновано, что аппарат расслоенных многообразий дает возможность определить микроскопические силы взаимодействия трещины и поля дефектов континуума.

3. Показано, что фрактальные характеристики поверхности разрушения связаны с параметрами дефектной структуры и могут быть определены как отношение элемента длины в пространстве Финслера к евклидовой длине.

4. Показано, что форма поверхности разрушения и форма фропта трещины определяются как производные Ли связности континуума и являются функцией дефектной структуры.

5. Показано, что при распространении трещины возможно возникновение стохастических режимов, которые могут реализоваться в области начального

роста трещины. Определена длина стохастизации, доказана ее чувствительность к начальным условиям.

6. Обосновано, что отклонение траектории трещины от прямолинейной при прохождении через структурную границу зависит не только от свойств среды, но и от напряженно - деформированного состояния и ширины переходной зоны. Заданным образом изменяя физико-механические характеристики материала мы имеем возможность регулировать направление распространения трещины и тем самым добиваться разрушения в данном направлении.

7. Обоснована возможность появления бифуркации угла распространения трещины. Характеристики процесса связаны с параметрами дефектной структуры среды.

8. Показано, что влияние структурной границы на траекторию трещины, растущую через границу, может быть учтено введением гладкой аппроксимации разрывных характеристик материала.

9. Показано, что при распространении трещины вдоль границы слоев композитного материала возможна локальная потеря устойчивости напряженного слоя волгой границы раздела и возникновение высших мод колебаний свободной трещины Гриффитса. Амплитуда колебаний нарастает вплоть до разрушения композита.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: Монографии:

1. Миклашевич ИЛ. Микромеханика разрушения в обобщенных пространствах // Минск: Логвинов, 2003, 208 с.

Статьи:

1. Миклашевич ИА, Чигарев А.В. Расчет траектории трещины в композиционном материале в линейном приближении // Доклада: АН Беларуси.-№ 2,- Т. 39.- 1995.- С. 114-118.

2. Миклашевич ИА Траектория трещины в неоднородных средах при плоском нагружении // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 6.- № 3.- 2000.- С. 408-418.

3. Чигарев А.В., Чигарев Ю.В., Миклашевич И.А О некоторых моделях стохастизации траектории трещины в композиционных материалах //Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. статей к 70-летию Д. Д. Ивлева / Москва: Физматлит, 2001. - С. 372-382.

4. Миклашевич И.А Об относительной упорядоченности состояний тела в случае структурной деформации // Республиканский межведомственный сборник научных трудов "Машиностроение". Вып. 17. - Мн:, УП Технопринт, 2001.- С. 338-341.

5. Миклашевич И А Анализ устойчивости распространения трещины // Республиканский межведомственный сборник научных трудов "Машиностроение".- Вып. 17. - Мн: УП "Технопринт", 2001.- С. 341-343.

6. Miklashevich I.A., Chigarev AV., Korsunsky A. M. Variational determination ofthe crack trajectory in inhomogeneous media // Int. Journ. of Fracture. V. 111.-No 2.- L29-L34, 2001.

7. Миклашевич ИА Влияние дефектной структуры материала на фронт трещины. Лучевое приближение // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. - Мн.: УП "Технопринт", 2001.- С. 339-343.

8. Миклашевич ИА Распространение трещины через сингулярную границу неоднородностей // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. - Мн.: УП "Технопринт", 2001.- 551 с-С. 344-348.

9. Миклашевич И.А Фрактальная размерность разрушения, зависящая от свойств среды // Доклада: НАН Беларуси. Т.46.- № 1- 2002.- С.48-50.

10. Чигарев А.В. Миклашевич ИА О влиянии неоднородности композиционного материала па траекторию трещины // Доклады НАН Беларуси.-Т.46.-№ 2.- 2002.- С. 108-110.

11. Миклашевич И.А. Групповые свойства деформирования и процедура введения калибровочных полей // Материалы, технологии, инструмент.- Т.7.-№ 3.- 2002.- С. 16-19.

12. Миклашевич И.А. Устойчивость распространения и влияние неоднородности материала на траекторию трещины // Прикладная физика.- № 2.2002.- С. 163 -168.

13. Миклашевич И.А. Об иерархическом подходе в механике деформируемого твердого тела // Вестник БИТУ.- № 3.- 2002.- С.11-16.

14. Миклашевич И .А. Хаотическое поведение динамических систем и его описание методами нестандартного анализа // Вестник БНТУ.- № 5.- 2002.-С.39-43.

15. Миклашевич И.А. Влияние дефектной структуры материала на процессы разрушения и движения трещины // Известия вузов. Физика. - № 12.2002.- С. 21-26.

16. Miklashevich LA. Crack propagation in a solid containing an interface with discontinuously changing Young's modulus // Int. Journ. of Fracture.- V.116.-№ 3.- P.49-54 (Aug 2002).

17. Миклашевич И.А., Чигарев А.В. Уравнение фронта трещины. Влияние метрических свойств материала // Известия вузов. Физика. - № 12.- 2002.-С.16-20.

18. Миклашевич И.А. Влияние структурной границы на траекторию трещины при плоском нагружении // Механика композициоппых материалов и конструкций. - Т. 8.- # 2.- 2002.- С. 255- 260.

19. Миклашевич И.А., Чигарев А.В. Анализ устойчивости и влиянии неоднородности композиционного материала на траекторию трещины // Известия АН МТТ.- № 4.- 2002.- С. 113-118.

20. Миклашевич И. А., Корсунскй A.M. Влияние зоны ослабленных связей па траекторию трещины в неоднородных средах // Республиканский межведомственный сборник научных трудов "Машиностроение". Вып. 18.- Мн:. УП "Технопринт", 2002.- С. 407-410.

21. Миклашевич И.А. Геометрические характеристики пространства, ассоциированного с разрушением, и распространение трещины в материале // Прикладная механика и техническая физика.- Т. 44.- № 2.- 2003.- С. 123-131.

22. Miklashevich I.A., Chigarev A.V. Stochastization of a crack trajectory in composite materials // Journ. of Mechanical Behavior of Materials. V. 16.- 2004.-P. 123-141.

Материалы конференций:

1. Миклашевич И.А. Проектирование материалов с заданными механическими свойствами // Материалы VI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"( Ярополец, 14-18 февраля 2000 г.) -М., 2000.- С. 115-120.

2. Miklashevich I. A., Bialatskaya L.N., Chigarev A.V. Nonlinear effects at the crack propagation// Proc. of IX Annual Seminar NPCS'2000 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals, Chaos, Phase Transitions, Self- Organization". - Minsk, 2000.- P.206-214.

3. Миклашевич И.А. Изоморфизм процессов деформирования и движения в пространстве со специальной геометрией // "Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов". Труды XXXVI международного семинара "Актуальные проблемы прочности". Витебск, 26-29 сентября 2000г.- С. 531-534.

4. Чигарев А.В. Миклашевич И.А. Моделирование процессов эволюции структуры повреждений // Materialy Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materi-alowi Konstrukcji, Awgustow, 23-26 Maja.- 2001. -Poland, Bialystok, 2001.- P.63-71.

5. Чигарев А.В., Миклашевич И.А. Статистические характеристики случайно распределенных дислокаций при плоской деформации // Materialy Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow i Konstrukcji, Awgustow, 23-26 Maja.- 2001. -Poland, Bialystok, 2001.- P. 57-62.

6. Миклашевич И.А., Чигарев А.В. О геометрической интерпретации про-

цесса разрушения // Material/ Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow i Konstrukcji, Awgustow, 23-26 Maja.- 2001. - Poland,Bialystok, 2001.- P. 171-175.

7. Miklashevich LA. The crack front equation and the generalized theory of the discontinuity // Mechanica - 2002. Proceedings of the international conference. April, 4-5, 2002, Kaunas University of Technology, Lithuania, Kaunas, Technology, 476 P.- P. 195-200. ISBN 9955-09-160-6

8. Miklashevich LA. The effect of influence zone shape near tip on the crack trajectory bifurcation // Mechanica - 2003. Proceedings ofthe international conference. April, 3-4, 2003, Kaunas University of Technology, Lithuania, Kaunas, Technologija, 476P.- P. 144-148.

9. Miklashevich LA., Chigarev A.V. Stochastization of crack trajectory in the layered composites // Proc. Int. Conf "Strength, Durability and Stability of Materials and Structures "Sept., 17-19, 2003.- Lithuania, Klaipeda, Kaunas, Technologija, -P. 172 -181.

10. Miklashevich LA. The gauge approximation of the crack - defects interaction // Proc. Int. Conf. "Strength, Durability and Stability of Materials and Structu-res"Sept., 17-19, 2003, Lithuania, Klaipeda, Kaunas, Technologija. - P. 182 - 188.

Тезисы конференций:

1. Miklashevich LA., Chigarev A.V. Stochastisation of crack growth direction in heterogenous media // 8th International conference of fracture, Ukraine 93. Collection of Abstracts P.I / Karpenko Physico-Mechanical Institute. - Lviv, 1993. - P.227.

2. Миклашевич ИА Расчет модулей упругости композиционных материалов на основе квантовомеханической модели // Материалы 50-й научно-технической конф. Белорусской государственной политехнической Академии. В 3-х ч. - Минск, 1994.- Ч. 3. - С. 62.

3. Миклашевич И А Проблема бескоординатного описания деформации // II Белорусский конгресс по теор. и прикладной механике "Механика-99".-Минск, 28-30 июня 1999 г. - Минск, 1999. - С. 92-94.

4. Миклашевич ИА Построение пространства, в котором движется трещина // VIII Белорусская математическая конференция, 19-24 июня 2000г., Тезисы докладов.- Ч. 3. - Минск, 2000. - С. 126.

5. Миклашевич И А Фрактальные свойства разрушения и их связь с дефектной структурой среды // Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике.- Пермь, 23-29 августа 2001 г. Аннотации докладов / Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С. 429-430.

6. Miklashevich LA. The generalized space and the solid state deformation description // Int. Conf. on Multifield Problems.- April 8-10, 2002. Book of abstracts / Stuttgart, Germany, 2002. - P. 82.

Научное издание

МИКЛАШЕВИЧ Игорь Александрович

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ НА ПРОЦЕССЫ СТОХАСТИЗАЦИИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ СРЕД

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени доктора физико-латыашческих наук

_Корректор М.П. Антонова_

Подписано в печать 19.02.04. Формат 60x84 1/16. Бумага типографская №2. Печать офсетная. Гарнитура Тайме.

_Усл.печ. л. 1,9. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100. Заказ 149._

Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Лицензия ЛВ №155 отЗОШЛООЗ. 220013, Минск, пр. Ф. С Корины, 65.

IP - 45 7 î

Введение

Общая характеристика работы

1 Иерархия структур в механике деформируемого тела и свойства континуума

1.1. Иерархия неоднородностей в континууме и ее описание

1.1.1. Иерархия процессов деформирования и разрушения: общий формализм.

1.1.2. Иерархия процессов деформирования и разрушения: структурные уровни деформации.

1.2. Иерархия моделей континуума, используемых механикой деформируемого твердого тела.

1.2.1. Обобщение макроскопической механики однородных сплошных сред на среды с микроструктурой.

1.2.2. Модели микрополярных материалов.

1.2.3. Случай нелокального представительного элемента: учет градиента деформации.

1.2.4. Учет микроскопической структуры: введение дефектов в идеальный кодтинуум.

1.3. Математическое представление дефектов в кристаллах

1.3.1. Математическая структура континуума идеального деформированного тела.

1.3.2. Связь структуры континуума и характеристик поля дефектов

1.4. Метрические свойства геометрии Финслера как функция пог ля дефектов.

1.4.1. Общие микроскопические принципы построения

Щ тензора деформаций

1.4.2. Финслеровы геометрические объекты на многообразии

1.4.3. h- и v-связности

1.4.4. Метрика пространства Финслера и условие ортогональности.

1.5. Регуляризация, стохастизация и самоподобие при деформировании и разрушении.

1.5.1. Корреляционная функция деформированного тела с микроструктурой

1.5.2. Неустойчивость и стохастизация траектории макроскопической трещины.

Выводы по главе

I 2 Энергетика деформирования, накопления повреждений и разрушения

2.1. Применимость методов геометрической оптики к описанию деформирования и разрушения.

2.2. Распространение энергии при деформировании.

2.2.1. Закон сохранения энергии и вектор Умова

2.2.2. Лучи и поток энергии при распространении волны

2.2.3. Направление распространения энергии для среды первого порядка.

2.2.4. Направление распространения энергии для среды второго порядка.

2.3. Поток энергии при распространении трещины.

2.3.1. Закон сохранения тензора энергии-импульса.

2.3.2. Тензор энергии-импульса трещины.

2.3.3. Принцип Ферма и траектория трещины.

2.4. Потоки энергии в сплошной среде.

2.4.1. Структура линий тока в среде с неоднородностью

2.4.2. Структура линий тока в слоистой среде.

2.4.3. Энергия, генерируемая трещиной в среде.

2.5. Применение макроскопического вариационного метода к определению траектории трещины

2.5.1. Общая постановка задачи о вариации энергии деформированного тела.

2.5.2. Вариационная задача роста трещины

Выводы по главе

3 Взаимовлияние континуума, дефектной структуры и трещины

3.1. Геометрическая интерпретация взаимодействия дефектов и трещины.

3.1.1. Траектория трещины и характеристики пространства разрушения.

3.2. Уравнение фронта трещины как функция метрики и поля дефектов

3.2.1. Условия совместности.

3.2.2. Обобщенные разрывы и движение трещины . . .--.

3.2.3. Распространение разрыва в среде

3.3. Групповая структура процессов деформирования.

3.3.1. Микроскопические групповые свойства деформации

3.3.2. Группа операторов макроскопического деформирования

3.4. Уравнение динамики крекона

3.4.1. Лагранжиан поля дислокаций.

3.4.2. Сила, действующая на трещину со стороны дефектной структуры.

Выводы по главе

4 Прогнозирование роста трещины

4.1. Формирование траектории трещины.

4.1.1. Неустойчивость траектории трещины в линейной постановке.

4.1.2. Фрактальные характеристики трещины.

4.2. Применения общего формализма в теории разрушения

4.2.1. Общие условия роста трещины.

4.2.2. Криволинейное распространение трещины.

4.3. Траектория трещины как пример вариационной задачи . . . 161 4.3.1. Сингулярности и особенности процесса распространения трещины.

Л о о Т"4 "

•i.o.Z. 1 раек-тория трещины

4.4. Устойчивость распространения и влияние неоднородности композиционного материала на траекторию трещины.

4.4.1. Анализ устойчивости распространения в вариационной постановке.

4.4.2. Распространение трещины в реальной среде

4.4.3. Траектория в линейном приближении.

4.4.4. Траектория трещины в средах с детерминированной структурой.

4.4.5. Влияние зоны ослабленных связей на траекторию трещины

4.4.6. Распространение трещины через сингулярную границу

4.5. Траектория трещины в средах со случайной структурой. Сто-хастизация траектории.

4.5.1. Условиия возникновения стохастических режимов

4.5.2. Детерминированные уравнения траектории и переход к вероятностному описанию.

4.6. Хаотическое поведение отображения угол—угол.

Выводы по главе

5 Расслоение композита по границе слоев

5.1. Волновые процессы на фронте трещины.

5.1.1. Распространение в неоднородном материале.

5.1.2. Распространение трещины вдоль слоя.

5.2. Анализ решения. Нарастание нестабильности.

Выводы по главе

Современная теория разрушения началась в двадцатые годы двадцатого столетия, после появления критерия роста трещины, предложенного английским инженером Гриффитсом. Тема разрушения не только не утратила своей актуальности, но привлекает все большее число исследователей. Это связано с интенсивной разработкой новых материалов, работающих во всё более тяжёлых условиях эксплуатации, вблизи пределов конструкционной прочности материалов. Неожиданные механические свойства новых композиционных материалов, материалов с микроструктурой, наномате-риалов также требует углубленного изучения процессов накопления повреждений. разрушения, процессов распространения трещины.

Достигнутый уровень развития теории позволяет в большинстве случаев с достаточно удовлетворительной для инженерных расчетов точностью предсказать поведение конструкций и изделий, определить ресурс долговечности. Однако существенное повышение ресурса машин невозможно без более глубокого понимания процессов микроскопического деформирования. образования различного рода упорядоченных структур в объеме деформируемого материала, взаимодействия дефектной структуры материала с распространяющейся трещиной разрушения, влияния микроструктуры материала на траекторию роста трещины, фрактальные характеристики поверхности разрушения.

Влияние микроструктуры материала на траекторию распространения трещины требует рассмотрения процесса разрушения и деформирования в нескольких «масштабных планах», на различных иерархических уровнях. Это вызвано тем, что локальные процессы образования свободной поверхности в объеме материала (то есть образования зародышевой, начальной, микротрещины) имеют статистическую, флуктуационную природу, связаны с элементарными актами разрывов межатомных связей и носят обратимый характер. Дальнейшее необратимое развитие или залечивание зародыша связано не только с квантово-флуктуционными. то есть локальными, процессами, но и коллективным влиянием объема материала, его структуры, на эволюцию зародыша.

Такая многоуровневость и сложность процессов разрушения определяет план и структуру диссертационной работы. В работе рассматриваются закономерности процесса разрушения и образования упорядоченных структур как на микроскопическом уровне — уровне взаимодействия зародышевой трещины с полем непрерывно распределенных микроскопических дефектов (дислокаций, дисклинаций, точечных дефектов), так и на макроскопическом уровне — уровне взаимодействия трещины с неоднородностя-ми структуры материала (зеренная структура, наличие резких структурных границ).

Рассмотрение процесса разрушения на различных уровнях требует специфического аппарата для каждого уровня и подходов, адекватных рассматриваемой задаче. Общая методология, положенная в основу рассмотре-!!Н'т. ость идеология коллективных процессов и синергетического взаимодействия континуума-дефекта-нарушения континуума. На каждом структурном уровне «континуум» есть определенное обобщение и усреднение свойств реальной среды. На микроскопическом уровне такая методология требует использования аппарата геометрии расслоенных многообразий и теории калибровочных полей. На макроскопическом уровне коллективное поведение позволяет использовать вариационный принцип теории трещин.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В связи с развитием техники и технологий, появлением новых материалов (например, наноматериалов) исследования процесса разрушения в настоящее время интенсивно продолжаются во всех промышленно развитых странах. Интенсивное использование в промышленности композиционных и микроструктурных материалов, материалов с заданными эксплуатационными свойствами, требует более полного и всестороннего рассмотрения поведения материалов при деформации, определения траектории разрушения, возможности её прогнозирования и регулирования.

Детальное изучение разрушения твердых тел требует исследования процесса на различных структурных уровнях. Фрактальный характер разрушения обуславливает подобие законов и структур на различных пространственных масштабах, но конкретные закономерности процесса разрушения существенно отличаются. Микроскопический рост трещины как правило исследуется на основании континуальной теории дефектов и представления о калибровочной инвариантности процесса деформирования. Макроскопический процесс разрушения может быть рассмотрен на основании вариационного формализма теории трещин.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Работа частично проводилась в рамках тем: «Определение геометрии пространства. ассоциированной с процессами разрушения и деформирования», фииансировавтттойся министерством обрячования Республики Беларусь, договор номер 01-38. 2001г. «Самоорганизация дислокационных полей в процессе пластического деформирования и разрушения», финансировавшегося министерством образования Республики Беларусь в 2000г., номер госрегистрации ГР20001245; совместного белорусско-российского проекта «Эффект связанности напряженно-деформированного состояния и поля повреждений в условиях пластического течения и ползучести» финансировавшегося Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь и фондом фундаментальных исследований РФ, 1999-2001гг., договор Ф99Р-186; «Термодинамические и информационные основы применения рекуперации энергии в биомеханических и технических системах», финансируемого Фондом фундаментальных исследований Республики Беларусь 20022005, договор Т-01-196, Исследовательский проект «Dynamics of dislocation structures under the effect of stationary and dynamic loads», финансировавшийся DAAD в 2000г.

Цель исследования. Цель работы - исследовать процессы деформирования и разрушения неоднородных сред на базе прикладной теории фракталов, синергетических моделей и вариационных методов.

В ходе исследования решались следующие задачи: На основании представления о разрушении как движении в пространстве состояний со специальной метрикой было получено выражение для фрактальной размерности разрушения: с использованием представления о расслоении пространства состояний было получено выражение силы взаимодействия трещины и точечного дефекта с учетом поля дефектов; найдено уравнение формы фронта трещины как функция распределения дефектов; найдено уравнение формы поверхности трещины как функция распределения дефектов; рассмотрена групповая структура операторов деформирования; получено нелинейное вариационное уравнение траектории макроскопической трещины; исследованы режимы распространения трещины в средах с гладким изменением свойств и в средах с резкими границами.

Объект к предмет исследования. Объектом исследования являются деформируемое твердое тело с микроструктурой и трещиной. Предмет исследования — методы описания разрушения тел с микроструктурой.

Гипотеза. Предполагается, что внутренняя структура континуума дефектного тела неевклидова, трещина распространяется вдоль поверхностей, линий тока плотности энергии разрушения, которые при определенных условиях являются геодезическими выделения энергии.

Методология и методы проведенного исследования К проблеме определения траектории трещины во всех масштабных диапазонах применяется вариационный формализм. Для микроскопических уравнений он приводит к использованию теоремы Нётер для поля дефектов и получению выражения для силы взаимодействия дефекта и трещины; для макроскопических дефектов формализм приводит к получению уравнения траектории трещины как функции механических параметров среды.

Для учёта дефектной структуры среды используется аппарат расслоенных многообразий, характерный для современной теории поля. Дефектная структура континуума учитывается введением независимых геометрических характеристик — тензоров кривизны, кручения, сегментарной кривизны. Использование финслерова пространства позволяет вводить несколько различных независимых тензоров кривизны и кручения. Эти тензора могут быть введены без введения метрики в пространстве, что принципиально позволяет независимым образом рассматривать процессы деформирования и развития дефектной структуры. Эти независимые тензоры позволяют описывать различные типы дефектов например линейные и клиновые дисклинации, дислокации скольжения и переползания а также учесть эффекты диссипации.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые получено аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в зоне вершины трещины. что позволяет из первых принципов определить уравнение траектории трещины; впервые рассмотрена теория разрывов в пространство Фин-слера применительно к теории трещин, что позволило получить уравнение поверхности трещины как функцию связности континуума и тензора напряжений: впервые получены условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования; получены аналитические выражения для уравнения траектории трещины для некоторых типов неоднородных сред; получены условия на угол отклонения распространяющейся через резкую структурную границу трещины; условия стохастизации лучей обобщены на задачу стохастизации траектории трещины, что позволяет прогнозировать материалы с заданным характером разрушения; получено физическое обоснование фрактального характера траектории трещины, что дает возможность влиять на фрактальные параметры траектории.

Практическая значимость полученных результатов. Как теоретическая работа, диссертация окажет влияние на исследования в области трещи ностойкости композитов и неоднородных сред, проектирование и производство композитов и конструкционных материалов.

Полученные в работе результаты могут быть непосредственно,исполь-зованы:

1. При проектировании композиционных материалов с заданными механическими свойствами.

2. При прогнозировании трещиностойкости материалов и конструкций.

3. При разработке новых методов производства тонких и сверхтонких покрытий и пленок.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

• аналитическое выражение для локального микроскопического метрического тензора дефектного континуума в зоне вершины трещины;

• выражение для уравнения поверхности трещины как функции связности континуума и тензора напряжений;

• условия, налагаемые на группу операторов макроскопического деформирования;

• теоретическое обоснование фрактального характера траектории трещины;

• выражение для энтропии динамических иерархических систем ;

• рассмотрение потока энергии в зоне вершины трещины;

• выражения для угла отклонения трещины, распространяющейся через резкую структурную границу;

• обоснование возможности стохастизации траектории трещины при распространении в средах с периодической неоднородностью;

• обоснование бифуркации траектории трещины;

• определение частот колебаний и длины волны распространяющейся по межслойной границе при распространении трещины разрыва;

Личный вклад соискателя.

Большинство основных положений диссертации получены лично соискателем. Вопросы стохастизации траектории исследовались совместно с А.В. Чигаревым в равной степени.

Апробация результатов диссертации.

По результатам диссертационных исследований были сделаны доклады на конференциях:

Научно-методический семинар преподавателей кафедр теоретической механики, теории машин и механизмов, сопротивления материалов ВУЗов Беларуси (7-8 февраля 2002г.)/ Минск. 2002;

Int. Conf. on Multifield Problems, April 8-10. 2002. / Stuttgart. Germany.

XI Annual Seminar N PCS'2002 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals. Chaos. Phase Transitions. Self-Organization"/ Minsk. 2002.

International conference "Mechanicn 20U2"/ April 4-5. Kaunas. 2002.

Международная конференция "Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике"; / Минск. 4-5 декабря 2001г.

Международная научно-техническая конференция "Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологиии в машиностроении". / Минск, 10-14 сентября 2001г.

Восьмой всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, / Пермь. 23-29 августа 2001г.

Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Materialow i Konstrukcji, / Awgustow, 23-26 Maja, 2001, Poland. Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов". XXXVI международный семинар "Актуальные проблемы прочности"/ Витебск, 26-29 сентября 2000г.

VI Международного симпозиум "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред"/ Ярополец, 14-18 февраля 2000 г.

IX Annual Seminar NPCS'2000 "Nonlinear phenomena in complex systems: Fractals. Chaos. Phase Transitions. Self-Organization"/ Minsk. 2000.

VI Международная конференция "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте"/ г. С. Петербург, 29-30 июня 1999г.

Международной 53-й научно технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов БГПА / Минск. 1999.

Международный конгресс "Теоретическая и прикладная механика — 99 "/ Минск, 1999.

8 International conference of fracture, Ukraine 93. / Киев, 1993.

Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теоретической механики Белорусского национального технического университета (г. Минск), на семинарах кафедры теоретической физики Белорусского государственного университета (г. Минск), в Institut fiir Nuklcare Fcstkorperphysik Tcchnische Uniwersitat Braunschweig, Германия, на кафедре механики и сопромата Politechnika Krakowska. в Institute of Nuclear Physics, Krakow.

Опубликованность результатов

По теме диссертации опубликовано 33 печатные работы, среди них 1 монография (без соавторов). 24 статьи в журналах и сборниках (из них 15 без соавторов), 8 статей в материалах конференций. Теме диссертации также посвящены 9 тезисов конференций (из них 5 без соавторов). 1 авторское свидетельство. Общий объем опубликованных материалов превышает 400 машинописных страниц.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, шести глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем работы - 250 страниц машинописного текста, в том числе 10 страниц иллюстраций. Список использованных источников включает 269 наименований.

Выводы по главе

• Показано, что расслоение композита вдоль границы связано с распространением волны деформации вдоль границы.

• Для модели потери устойчивости слоя показано что параметры нелинейности возрастают достаточно резко. Это совпадает с оптимальным распространением трещины вдоль границы слоев.

• Получена оценка времени нарастания процесса колебаний.

• Спектр решений полученного уравнения Буссинеска (5.16) содержит солитонные решения. Такие решения могут отвечать прохождению единственного разрушающего импульса нагрузки (например, резкий разрыв на дефекте соединения) вдоль границьГслоев, что соответствует катастрофическому разрушению композита.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволяют сделать ряд выводов.

1. Обосновано, что в качестве внутренней метрики деформированного тела с микродефектами может быть использована метрика Финслера, что позволяет рассматривать формирование дефектной структуры и процессы деформирования математически независимым образом. Такое разделение процессов связано с возможностью нескорелированно-го введения метрики и тензоров кручения [156. 263].

2. Обосновано, что аппарат расслоенных многообразий дает возможность определить микроскопические силы взаимодействия трещины и поля дефектов континуума [154, 178, 114].

3. Показано, что фрактальные характеристики поверхности разрушения связаны с параметрами дефектной структуры и могуч' быть определены как отношение элемента длины и пространстве Финслера к евклидовой длине [114, 264].

4. Показано, что форма поверхности разрушения и форма фронта трещины определяются как производные Ли связности континуума и являются функцией дефектной структуры [157, 157].

5. Показано, что при распространении трещины возможно возникновение стохастических режимов, которые могутреализоваться в области начального роста трещины. Определена длина стохастизации, доказана ее чувствительность к начальным условиям [32, 228. 215, 265].

6. Обосновано, что отклонение траектории трещины от прямолинейной при прохождении через структурную границу зависит не только от свойств среды, но и от напряженно - деформированного состояния и ширины переходной зоны [266, 267, 268]. Заданным образом изменяя физико-механические характеристики материала мы имеем возможность регулировать направление распространения трещины и тем самым добиваться разрушения в данном направлении [154. 174. 141. 269. 142].

7. Обоснована возможность появления бифуркации угла распространения трещины. Характеристики процесса связаны с параметрами дефектной структуры среды [266, 267. 268].

8. Показано, что влияние структурной границы на траекторию трещины, растущую через границу, может быть учтено введением гладкой аппроксимации разрывных характеристик материала [266, 267].

9. Показано, что при распространении трещины вдоль границы слоев композитного материала возможна локальная потеря устойчивости напряженного слоя вблизи границы раздела и возникновение высших мод колебаний свободной трещины Гриффитса. Амплитуда колебаний нарастает вплоть до разрушения композита.

1. Березин А. В., Козинкина А. И. Физические модели и методы оценки накопления повреждений в твердых телах // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2002. — № 3. — С. 115-121.

2. Кочегаров Г. Г. Неупругость твердых тел при малых деформациях // Письма в ЖТФ. 1999. - Т. 25, № 17. - С. 29-35.

3. Кочегаров Г. Г. Энергия и механизм квазипластической деформации твердых тел // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 26, № 11. - С. 41-46.

4. Березин А. В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. — М.: Наука, 1990. — 135 с. — 135 С.

5. Yang W. Я., ed. Topic in plasticity. — Ann Arbor. iMichigan: AM Press, 1991. — Anniversary Volume in Honor of Profesor E. II. Loe.

6. Johnson В. E., Hoger A. To use of strain energy to quantity the effect of resudial stress on mechanical behavior // Mathem. and Mech. of Solids. 1998. - Vol. 3, no. 4. - Pp. 447-470.

7. Lee E. H. Elastic-plastic deformation at finite strain // W. H. Yang, ed., Topic in plasticity. — Boston: AM Press, 1991. — Pp. 1-30. — Anniversary Volume in Honor of Profesor E. H. Lee.

8. Чернышов Г. H., Попов А. П., Козинцев В. М., Пономарев И. И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. — М. : Наука, 1996. 240 с.

9. Радаев Ю. Н. Канонические инварианты уравнений теории связанной пластичности и поврежденности j j Вестник СамГу. — 1999. — 4(14). С. 70-92.

10. Mesarovic M. D., Takahara Y. General Systems Theory: Mathematical Foundation. — New York and London: Academic Press. 1975.

11. Флейшнер E. С. Основы системологии. — M.: Радио и связь. 1982. — 290 с.

12. Миклашевич И. А. Об иерархическом подходе в механике деформируемого твердого тела. // Вестник БЕТУ. — 2002. — № 3. — С. 11-16.

13. Онами М., Ивасимидзу С., Гэнка К., Сиодзава К., Танака К. Введение в микромеханику. — М.: Металлургия. 1987. — 280 с.

14. Noll W. A mathematical theory of mechanical behaviour of contionuous media // Arch. Rational Mech. Anal. — 1958. — Vol. 2. no. 3. — Pp. 197226.

15. Noll W. Matherial uniform simple bodies with inhornogeneites // Arch. Rational Mech. Anal. 1967/1968. -- Vol. 27. no. 1. - Pp. 1-32.

16. Truesdell C., Noll W. The lion-linear field theories of mechanics. — Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer. 1965. — Vol. Ill/3 of Encyklopedia of Physics.

17. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. 472 с.

18. Wang С. On the geometric structure of a simple bodies, a mathematical foundation for the theory of continuous distributions of dislocations // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. - Vol. 27. - Pp. 33-94.

19. Green A. E., Naghdi P. M. A unified procedure for construction of theories of deformable media. I. Clasical continuum physics // Proc. Roy. Soc. London, A. 1995. - Vol. 448, no. 1934. - Pp. 335-356.

20. Green A. E., Naghdi P. M. A unified procedure for construction of theories of deformable media. II. Generalized continua // Proc. Roy. Soc. London, A. 1995. - Vol. 448, no. 1934. - Pp. 357-377.

21. Green A. E., Naghdi P. M. A unified procedure for construction of theories of deformable media. III. Mixtures of interacting continua // Proc. Roy. Soc. London, A. 1995. — Vol. 448, no. 1934. - Pp. 379-389.

22. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. — Paris: Herman, 1909. 226 p.

23. Немцов В. Б. Неравновесная статистическая механика систем с ори-ентационным порядком. — Минск: Тэхналопя, 1997. — 280С.

24. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.:Наука, 1983. — Т. 1. — 528 с.

25. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1978. 304 с.

26. Гузеев М. А., Мясников В. Термомеханическая модель упругопласти-ческого материала с дефектами структуры j j Известил АН. Механика Твердого Тела. 1998. - № 4. - С. 156-172.

27. Мясников В. П., Гузеев М. А. Аффинно-метрическая структура упруго-пластической модели сплошной среды. — М: Наука, 1998. — Vol. 223 of Труды МИАН. С. 30-37.

28. Гузеев М. А., Мясников В. П. «Скрытые параметры модели упругой сплошной среды». Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошной среды. — Ростов-на-Дону, 2000. — С. 116-126.

29. Родичев А. Ф. Теория тяготения в ортогональном репере. — М.: Наука, 1978. 184 с.

30. Грачев А. В., Нестеров А. И., Овчинников С. Г. Описание точечных и • линейных дефектов в калибровочной теории неупорядоченных систем:

31. Препринт №509ф:. — Красноярск: Институт Физики им. JI. В. Кирен-ского. — 1988. — 24 с.

32. Grachev A., Nesterov A., Ovchinnicov S. The gauge theory of point defects // Phys. St. Sol (b). 1989. - Vol. 156, no. 2. - Pp. 403-410.

33. Миклашевич И. А. Микромеханика разрушения в обобщенных пространствах. — М.: Логвинов, 203. — 208 с.

34. Kroner Е. Interrelations between various branches of continuum mechanics // E. Kroner, ed., IUTAM Simposium, Mechanics of Generalised Con-tinua. — Springer Verlag, 1968. — P. 330.

35. Чигарев А. В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред. — Минск: УП «Технопринт», 2000. — 426с.

36. Клюшпиков В. Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. — М.: Издательство Московского университета, 1994. — 189 с.

37. Yang W. Н. On generalized Holder inequality // Nonlinear Analysis, Methods & Applications. 1991. - Vol. 16, no. 5. — Pp. 489-498.

38. Burn P. Д. Континуальная теория дисклинаций. — M.: Мир, 1977. — Т. 9 из ; Механика: Новое в зарубежной науке. — 208 с.

39. Bogatov N., Kryjniaia И. Gauge field theory of stryctural defects and thermal tensions // Phys. Stat. Sol. (b). 1998. - Vol. 207, no. 2. -Pp. 317-321.

40. Мясников В., Гузеев M. А. Неэвклидова модель деформирования материалов на различных структурных уровнях // Физическая мезоме-ханика. 2000. - Т. 3, № 1. - С. 5-16.

41. Чекурин В. Ф. Обратная задача неразрушающего контроля уровня закалки листового стекла // Известия АН. МТТ. — 1998. — № 3. — С. 86-97.

42. Kondo К. Non-holonomic geometry of plasticity and yielding // K. Kondo, ed., Memoirs of the Unifying Study of the Basic Problems in Engineering Sciences by Means of Geometry. — Gakujutsu Bunken Fukyukai, 1955.- Vol. 2. P. 453.

43. Kroner E. Der fundamental Zusammenhand zwischen Verzetzungsdichte und Spannungsfunctionen // Zeitschrift fur Physik. — 1955. — Vol. 142.- P. 463.

44. Bilby В., Bullough R., Smith E. Continuous distribution of dislocations: a new aplication of the methods of non-riemanninian geometry // Proc. Roy. Soc. 1955. - Vol. A231, no. 1185. - Pp. 263-273.

45. Saczuk J. Finslcrian foundations of solid mechanics // Zeshyty naukowe instytutu maszyn przeplywowych PAN w Gdansku. Studia i Materialy. — 1996. Vol. 472, no. 1427. - Pp. 1-97. - Gdansk: Wydawnictwo IMP PAN.

46. Схоутен Я. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965. — 456 с.

47. Aifantis Е. S. Gradient deformation models at nano, micro, and macro scales // Trans, of the ASME: J. of Engin. Mater, and Technology. — 1999. Vol. 121, no. 2. - Pp. 189-122.

48. Basinski S. J., Basinski Z. S. Plastic deformation and work hardening. In Dislocations in Solids, Ed. by F. Nabarro. — Amstrdam: North Holland Publishing Company, 1979. — Pp. 261-362.

49. Bulatov V., Abraham F., Kubin L., Devincte В., Yip S. Connecting atomistic and mesoscale simulations of cristal plasticity // Nature (GB). — 1998. Vol. 391, no. 6668. - Pp. 669-672.

50. Hahner P., Stamm H. A dislocation dynamical theory of the ductile-to-brittle transition // Acta metall. mater. — 1995. — Vol. 43, no. 7. — Pp. 2797-2805.

51. Pecherski R. B. Modelling of large plastic deformation based on the mechanism of micro-shear banding. Physical foundations and theoretical description in plane strain // Arch. Mech. — 1992. — Vol. 44, no. 5-6. — Pp. 563-584.

52. Romanov A. E., Aifantis E. S. Defect kinetics in crack instabilities // Scripta Met. Mater. 1994. - Vol. 30, no. 10. - Pp. 1293-1298.

53. Wack W., Tourabi A. Some remarks on macroscopic observations and related microscopic phenomenon of the mechanical behaviour of metallic materials // Arch. Mech. 1992. - Vol. 44, no. 5-6. — Pp. 621-662.

54. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред // Прикладная матем. мех. — 1958. — Т. 22, N2 1. — С. 90-96. — См. также Д.Д. Ивлев. Механика пластических сред: в 2-х томах, т. 1. М.: Физматлит, 2001, С. 34-37.

55. Гринфелъд М. А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. — М.: Наука, 1990. — 312 с.

56. Берке У. Пространство-время, геометрия, космология. — М.: Мир, 1985. 416 с.

57. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: Физматлит, 2001. — 704 с.

58. Астафьев В. И., Радаев Ю. Н., Степанова Л. В. Нелинейная механика разрушения. — Самара: Самарский университет, 2001. — 632 с.

59. Образцов И. Ф., Яновский Ю. Г. Роль иерархического адаптивного подхода в механике гетерогенных сред // Известия АН:Механика твердого тела. — 1999. — № 6. — С. 95-117.

60. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. Об одном подходе к прогнозированию горных ударов // ФТПРПИ. — 1988. № 6. -С. 3-15.

61. Вакуленко А., Качанов М. Континуальная теория среды с трещинами // Известия АН. Механика Твердого Тела. — 1971. № 4. -С. 159-166.

62. Kondo К. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proc. 2nd Japan Nat. Congr. Appl. Mech. — Tokyo: 1952. — p.41.

63. Nye J. F. Some geometrical relations in dislocated cristals // Acta Metall. 1953. - Vol. 1, no. 2. - Pp. 153-162.

64. Kondo K. Non-Riemannian and Finslerian approaches to the theory of yielding // Int. J. Engng. Sci. 1963. - Vol. 1, no. 1. - Pp. 71-88.

65. Бердичевский В., Седов Л. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности // Прикл. мат. мех. 1967. - Т. 37, № 6. - С. 981-1000.

66. Каприц Д. Сплошные среды с субструктурой. Часть I // Физическая мезомеханика. — 2000. — Т. 3, № 4. — С. 5-14.

67. Каприц Д. Сплошные среды с субструктурой. Часть II // Физическая мезомеханика. — 2000. — Т. 3, № 6. — С. 37-50.

68. Kondo К. On the analytical and physical foundations of a theory of dislocations and yelding by the differential geometry of continua // Int. J. Engng. Sci. 1964. - Vol. 2. - Pp. 219-251.

69. Saczuk J. Mechanics of solids with microstructure modelled by Finslerian geometry // Zeshyty naukowe instytutu maszyn przeplywowych PAN w Gdansku. Studia i Materialy. 1998. — Vol. 493, no. 1440. — Pp. 1-156. — Gdansk: Wydawnictwo IMP PAN.

70. Miron R. Introduction to the theory of finsler space // The proceeedings of the national seminar on Finsler spaces, February, 1980. — Timisoara, 1981. Pp. 131-183.

71. Менский M. Б. Группа путей: Измерения, поля, частицы. — М.: Наука, 1983. 319 с.

72. Sansour С. On the geometric structure of the stress and strain tensors, dual variables and objective rates in continuum mechanics // Arch. Mechanics. 1992. — Vol. 44, no. 5-6. - Pp. 527-556.

73. Рашевский 77. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967. — 664 с.

74. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. — М.: Наука, 1981. 504 с.

75. Шемякин Е. И. Синтетическая теория прочности.Часть I. // Физическая мезомеханика. — 1999. — Vol. 2, по. 6. — Pp. 63-69.

76. Хрйстианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности // Известия АН. Механика Твердого тела. ~ 1967. по. 2. - Pp. 63-69.

77. Христианович С. А., Шемякин Е. И. О плоской деформации пластического материала при сложном нагружении // Известия АН. Механика Твердого тела. — 1969. — по. 5. — Pp. 138-149.

78. Лихачев В. А., Панин В. Е., Засимчук Е. Э., и др. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации. — Киев: На-укова Думка, 1989. — 320 с.

79. Миклашевич И. А., Асанович В. Я., Бурылев Б. П. Микроскопические аспекты образования соединения при сварке взрывом // Адгезия расплавов и пайка материалов. — 1991. — Т. 25. — С. 69-74.

80. Панин В. Е., Лихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. — М.: Наука, 1985. — 229 с.

81. Панин В. Е. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. — Новосибирск: Наука, 1990. — 252 с.

82. Фридман Я. Б. Диаграмма относительной структурной неоднородности материалов // ДАН СССР. 1956. - Т. 106, № 2. - С. 258-261.

83. Иванова В. С. Прочность и разрушение металлических материалов.- М. Наука, 1992. 147с.

84. Иванова В. С., Баланкин А. С., Бунин И. М., Оксочев А. А. Синергетика и фракталы в материаловедении. — М. Наука, 1994.

85. Vegge Т., Jacobsen К. W. Atomistic simulation of dislocation processes in copper // J. of Physics: Condensed Matter. — 2002. — Vol. 14, no. 11.- Pp. 2929-2956.

86. Шермегор Т. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

87. Фокин А. Г., Шермегор Т. Д. Аномальные явления при распространении волн в полностью разупорядоченных средах // Колебания и волны в экологии, технологических процессах и диагностике. — Минск, 1993. — I Международная конференция. — С. 132.

88. Асанович В. Я., Бурылев Б. П. Электронная структура и ближний порядок в металлических соединениях: Tech. rep. — Краснодар: Деп. в ВИНИТИ 21.09.1987, N 6787-1387, 1987. 282 с.

89. Ядренко М. И. Спектральная теория случайных полей. — Киев: Издательское объединение "Вища школа", 1980. — 208С.

90. Мига T. Continuous distributions of dislocations and the mathematical theory of plasticity // Phys Stat. Solidi — 1965. — Vol. 10. — Pp. 447-453.

91. Мига T. Continuous theory of plasticity and dislocations // Int. J. Engn. Science. 1967. - Vol. 5. - Pp. 341-351.

92. Kunin I. A. Elastic Media with Microstructure II: Three-Dimensional Models. Springer Series in Solid-State Sciences. — Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1982. — 272 p.

93. Kunin I. A. Elastic Media with Microstructure I: One-Dimensional Models. Springer Series in Solid-State Sciences. — Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1983. — 291 p.

94. Малыгин Г. А. Процессы самоорганизации дислокаций и пластичность кристаллов // Успехи физических наук. — 1999. — Т. 169, Jf® 9. — С. 979-1010.

95. Hahner P. A theory of dislocation cell formation based on stochastic dislocation dynamics // Acta mater. — 1996. — Vol. 443, no. 6. — Pp. 23452355.

96. Hahner P., Zaiser H. Dislocation dynamics and work hardening of fractal dislocation cell structures // Material Science and Engineering A. — 1999. Vol. 272. - Pp. 443-454.

97. Hahner P. Stochastic dislocation pattering during cyclic plastic deformation // Appl. Phys. A. 1996. - Vol. 62. - Pp. 473-483.

98. Чигарев А. В., Миклашевич И. А. Моделирование процессов эволюции структуры повреждений // Materialy Sympozjum Mechaniki Zniszczenia Mateiialow i Konstrukcji. — Bialystok, Poland, 2001. — Awgustow, 23-26 Maja, 2001. P. 63-71.

99. Слэтер Д. Диэлектрики, полупроводники, металлы. — Москва: Мир, 1969. 647 С.

100. Регелъ В. В., Слуцкер А. И., Томашевский 9. Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. — М.: Наука, 1974. — 560 с.

101. Fukuhara Т., Nakanishi H. Dynamical stability of crack front line //J. ofPhys. Soc. of Japan. — 1998. — Vol. 67, no. 12. — Pp. 4064-4067.

102. Стоян В. П. Самоорганизация микроразрушений и локализация трещин в хрупких телах при произвольном трехмерном нагружении // Физическая мезомеханика. — 2000. — Т. 3, К2 5. — С. 65-76.

103. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М.: Наука, 1980. 304С.

104. Бабешко В. А., Глушков Е. В., Зинченко Ж. Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. — М.: Наука, 1989. — 344 С.

105. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. — М.: Наука, 1965.- 386С.

106. Баранский К. Н. Физическая акустика кристаллов. — Москва: Изд. Московского университета, 1991. — 143 с. — 143 С.

107. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.

108. Т. VII из Теоретическая физика. — 248 С.

109. Sommerfeld A., Runge J. Anwendund der Vektorrechnung auf die Grund-lagen der Geometrishen Optik // Ann. Phys. — 1911. — Vol. 35. P. 277.

110. Примечание П. Дебая к этой статье.

111. Ревуженко А. Механика упруго-пластических сред и нестандартный анализ. — Новосибирск: Изд.-во Новосибирского университета, 2000.- 428 с.

112. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. — Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999. — Т. 9 из Регулярная и хаотическая динамика. — 588 с.

113. Миклашевич И. А. Геометрические характеристики пространства, ассоциированного с разрушением и распространение трещины в материале // Журн. прикл. машем и техн. физики. — 2003. — Т. 44, № 1.- С. 1-9.

114. Parisi A., Galdarelli G., Pietronero L. Roughness of fracture surfaces // Europhys. Letter. 2000. - Vol. 52, no. 3. - Pp. 304-310.

115. Griffith A. A. The phenomena of ripture and flow in solids // Philos. Trans. R. Soc. London. 1920. - Vol. A 221. - Pp. 163-198.

116. Партон В., Морозов E. Механика упругопластического разрушения.1. М.: Наука, 1985. — 504 с.

117. Костров Б. В. Неустановившееся распространение трещины продольного сдвига // Прикладная математика и механика. — 1966. — Т. 30, № 6. С. 1042-1049.

118. Kostrov В. V., Nikitin L. V. Some general problems of mechanic of brittle fracture // Archivum Mech. Stosowanej. — 1970. — Vol. 22, no. 6. — Pp. 749-776.

119. Eshelby J. D. The elastic field of a crack extending non-uniformly under general anti-plane loading j j Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1969. - Vol. 17. — P. 177.

120. Богуш А. А. Введение в полевую теорию элементарных частиц. — Минск: Наука и техника, 1981. — 390 с.

121. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклина-ций. — М.: Мир, 1987. 168 с.

122. Adda-Bedia М., Arias R., Amar М. В., Lund F. Dynamic instability of brittle fracture // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82, no. 11. - Pp. 23142317.

123. Mistura L. Crystal dislocations and dirac monopoles // Int. J. Engng. Sci.- 1995. Vol. 33, no. 15. - Pp. 2149-2159.

124. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.- 640 с.

125. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов.- М.: Наука, 1983. — 296 с.

126. Freund L. В. Dynamic Fracture Mechanics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

127. Marder M. New dynamical equation for cracks // Physical Rev. Letter.- 1991. Vol. 66, no. 19. - Pp. 2484 - 2487.

128. Freund L. B. // J. Elasticity. 1972. - Vol. 2. - P. 341.

129. Seelig Т., Gross D. On stress wave induced curving of fast running cracks- a numerical study by a time-domain boundary element method //Acta Mechanica. — 1999. — Vol. 132, no. 1. — Pp. 47-61.

130. Морозов E. M., По лак JI. С., Фридман Я. Б. О вариационных принципах развития трещин в твердых телах // Докл. АН СССР. — 1964.- Т. 156, № 3. С. 537-540.

131. Морозов Е. М. Возможно ли отыскание траектории сразу в целом. — СПб: С-Пб. государственный университет, 1998. — Т. 1 из : Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела: Труды научной школы академика В. В. Новожилова. — С. 198-212.

132. Morozov N., Petrov Y. Dynamics of fracture. Foundation of engineering mechanics. — Springer: Springer, 2000. — 98 Pp.

133. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. - Т. 33, Я 2. - С. 212-222.

134. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // ПММ. 1969. - Т. 33, № 5. - С. 797-812.

135. Черепанов Г. П. Квантовая механика разрушения // Проблемы прочности. — 1990. — № 2. — С. 3-9.

136. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движущейся среды. — М.:Наука, 1981. — 208 с.

137. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973. — Т. II из Теоретическая физика.

138. Ионов В. H., Селиванов В. В. Динамика разрушения деформируемого тела. — М.: Машиностроение, 1987. — 272 с.

139. Миклашевич И. А. Траектория трещины в неоднородных средах при плоском нагружении // Механика композиц. материалов и конструкций. 2000. - Т. 6, № 3. - С. 408-418.

140. Miklashevich I. A., Chigarev А. V., Korsunsky А. М. Variational determination of the crack trajectory in inhomogeneous media // Int. J. of Fracture. 2001. - Vol. Ill, no. 2. - Pp. L29-L34.

141. Hutchinson J. W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // J. Mech. Phys. Solids. 1968. - Vol. 16. - Pp. 337-347.

142. Bruno L. Inelastic material and fracture mechanics: a variational approach // Archive of Appl. Mechanics. — 1999. — Vol. 69, no. 6. — Pp. 393-405.

143. Morrisey J. W., Rice J. R. Crack front waves // J. Mech. Phys. Solids. 1998. - Vol. 46, no. 3. - Pp. 467-487.

144. Loboda V. The quasi-invariant in the theory of interface cracks // Engin. Fracture Mech. 1993. - Vol. 44. - Pp. 573-580.

145. Herrmann K., Loboda V. Special approach for the determination of fracture mechanical parameters at an interface crack tip // Archive Appl. Mechanics. — 1998. Vol. 68, no. 3/4. - Pp. 227-236.

146. Мясников В., Гузеев В. Геометрическая модель дефектной структуры упругопластической сплошной среды // Прикл. мех. и техн. физ. — 1999. Т. 40, № 2. — С. 163-173.

147. Kroner Е. Dislocation in crystals and in continua: a confrontation // Int. J. Engng. Sci. 1995. - Vol. 33, no. 15. - Pp. 2127- 2135.

148. Нестеров А. И., Овчинников С. Г. Геометрический подход к теории дислокаций и дисклинаций // Известия ВУЗов. Физика. — 1987. — № 11. С. 41-45.

149. Steinmann P. Views on multicative elastolastity and the continuum theory of dislocations // Int. J. Engng. Sci. — 1996. — Vol. 34, no. 15. — Pp. 1717-1735.

150. Дерезин С. В., Зубов Jl. М. Уравнения нелинейно-упругой среды с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями // Доклады АН. 1999. - Т. 366, № 6. - С. 762-765.

151. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964. 308 с.

152. Miklashevich I. A. The crack front equation and the generalized theory of the discontinuity // Mechanica-2002. — Kaunas, Technologija, 2002.

153. Proceedings of the international conference April 4-5, 2002, Kaunas University of Technology, Lithuania. — Pp. 195-200.

154. Миклашевич И. А. Влияние дефектной структуры материала на процессы разрушения и движения трещины // Известия ВУЗов. Физика.- 2002. № 12. - С. 26-32.

155. Миклашевич И. А., Чигарев А. В. Уравнение фронта трещины. Влияние метрических свойств материала // Известия ВУЗов. Физика. — 2002. № 12. - С. 15-25.

156. Баланкин А. Фрактальная механика деформируемых сред и топология разрушения твердых тел // ДАН России. — 1992. — Т. 322, № 5. — С. 869-874.

157. Pan К., Fang J. Nonlokal interaction of a dislocation with a crack // Archive of Applied Mechanics. — 1993. — Vol. 64, no. 1. — Pp. 44-51.

158. Ohr S. F., Narayan J. Electron microscope observation of shear cracks in strain steel single crystals // Phil. Mag. — 1980. — Vol. 41, no. 1. — Pp. 81-89.

159. Kobayashi S., Ohr S. In situ fracture exeriments in b.c.c. metals // Phil. Mag. 1980. - Vol. 42, no. 6. - Pp. 763-772.

160. Lung С., Xiong L. The dislocation distribution in the plastic zone at the crack tip // Phys. Stat. Sol A. 1983. - Vol. 77. - Pp. 81-86.

161. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — M.: Из-во Московского университета, 1971. — 245 с.

162. Поленов В. С., Чигарев А. В. Распространение волн в неоднородной вязкоупругой среде с начальными напряжениями // Прикладн. математика и механика. — 1994. — Т. 58, № 3. — С. 181-185.

163. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.1. М: Наука, 1978. 399 с.

164. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.- Новосибирск: Из-во СО АН СССР, 1962. 239 с.

165. Аннин В. Д., Вытев В. О., Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. — Новосибирск: Наука, 1985. — 142 с.

166. Волобуев И. П., Кубышкин Ю. А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. — М: Эдиториал УРСС, 1998. 224 с.

167. Миклашевич И. Групповые свойства деформирования и процедура введения калибровочных полей // Материалы, технологии, инструмент. 2002. - Т. 7, № 3. - С. 16-19.

168. Гриняев Ю. В., Чертова Н. В. Механические свойства материалов и предмет описания калибровочной теории // ЖТФ. — 1998. — Т. 68, X* 7. С. 70-74.

169. Гриняев Ю., Чертова Н. Физическое содержание калибровочной модели, описывающей среды со структурой и дефектами // ПМТФ. — 199. Т. 40, Л* 6. - С. 163-168.

170. Миклашевич И. А. Построение пространства, в котором движется трещина / / VIII Белорусская математическая конференция 19-24 июня 2000г. — 2000. — Т. 3. — С. 126. Тезисы докладов.

171. Anthony К.-Н., Azirhi A. Lagrangian field theory of plasticity and dislocation dynamics. Attempts towards unification with thermodynamics of irreversible processes // Arch. Mech. — 1998. — Vol. 50, no. 3. — Pp. 345-365.

172. Астафьев В. И., Радаев Ю. Н., Степанова JI. В. Нелинейная механика разрушения. — Самара: Самарский университет, 2001. — 524 С.

173. Movchan А. В., Gao Н., Willis J. R. On perturbations of plane cracks // Int. J. Solids Structures. 1998. - Vol. 35, no. 26-27. - Pp. 3419-3453.

174. Радаев Ю. Н. О вычислении нулевых лагранжианов нелинейно упругого тела // Вестник СамГу. — 2002. — № Специальный выпуск. — С. 39-58.

175. Kluge G. Zur Dynamik der allgemeinen Verzetzungs-Theorie bei beriicksichtigung von Momentenspannungen // Int J. Engng.Sci.— 1969. Vol. 7, no. 2. - Pp. 169-182.

176. Kunin I. A. Kinematics of media with continuously changing topology // Int J. Theor. Phys. 1990. - Vol. 29, no. 11. - Pp. 1167-1176.

177. Crea J. M., Hehl F. W., Mielke E. Mapping Noeter identities into Bianchi identities in the general relativistic theories of gravity and in the field theory of static lattice defects // Int J. Theor. Phys. — 1990. — Vol. 29, no. 11. Pp. 1185-1205.

178. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — 367 с.

179. Dong L. К., Zhang Н. Y., Lung С. Application of gauge theory of defects to fracture // Int. J. Solids Structure. — 1989. — Vol. 25, no. 7. — Pp. 707-713.

180. Lazar M. Dislocation theory as a 3-dimensional translation gauge theory // Ann. Phys. (Leipzig). — 2000. — Vol. 9, no. 6. — Pp. 461-473.

181. Rice J. R. A path independent integral and the approximative analysis of strain concentration by notches and cracks // Trans, of the ASME, ser. E: J. Appl. Mech. 1968. - Vol. 35, no. 2. -"Pp. 379-386.

182. Штремелъ M. А. Нелокальные взаимодействия многих трещин // Физ. металлов и металловед. — 2001. — Т. 91, № 3. — С. 9-15.

183. Tanaka Н., Tsuri A. Random propagation of a semi-elliptical surface crack as a bivariate stochastic process // Engng. Fract. Mech. — 1989. — Vol. 33, no. 5. Pp. 787-800.

184. Xi Y., Bazant Z. Random growth of crack with r- curve: Markov process model // Engng. Fract. Mech. — 1997. — Vol. 57, no. 6. — Pp. 593-608.

185. Scop P. M., Argon A. S. The fracture growth in laminated composites // J. Compos. Mater. — 1969. Vol. 3. — P. 30.

186. Sherman D., Be 'ery I. Nonlinear analysis of the fracture surface of a single-crystal brittle solid 11 Physica D. — 1998. — Vol. 119, no. 3/4. — Pp. 424432.

187. Шанявский А. А. Фрактальная природа кинетики усталостных трещин в металлах. I. Учет извилистой траектории трещины в механике разрушения // Металлы. — 1999. — Jf2 5. — С. 80-86.

188. Шанявский А. А. Фрактальная природа кинетики усталостных трещин в металлах. И. К вопросу о росте трещины // Металлы. — 2000. № 1. - С. 112-119.

189. Шанявский А. А. Ротационная неустойчивость деформации и разрушения металлов при распространении усталостных трещин на мезо-скопическом масштабном уровне. II. Механизмы разрушения // Физическая мезомеханика. — 2001. — Т. 4, № 1. — С. 81-95.

190. Лебовка Н. И., Майк В. В., Пивоварова Н. С. Моделирование раз. рушения неоднородной системы в условиях нестационарной деформации // Физика твердого тела. — 1992. — Т. 34, № 7. — С. 2007 -2015.

191. LebovkaN. /., Mank V. V. Phase diagramm and kinetics of inhomogeneous square lattice brittle fracture // Physika A. — 1992. — Vol. 181. — Pp. 346-363.

192. Cottrell В., Rice J. R. Slightly curved or kinked cracks // Int. Journ. of Fracture. 1980. - Vol. 16. - Pp. 155-169.

193. Obrezanova 0., Movchan А. В., Willis J. R. Stability of an advancing crack to small perturbation of its path // J. Mech. and Phys. Solids. — 2002. Vol. 50, no. 1. - Pp. 57-80.

194. Cherepanov G., Balankin A., Ivanovo V. Fractal fracture mechanics a review // Enging. Fract. Mech. — 1995. — Vol. 51, no. 6. — Pp. 997 -1033.

195. Встовский Г. В. Модель фрактального профиля усталостной трещины // ПМТФ. 1992. - № 2. - С. 130-137.

196. Balankin A. Physics of fracture and mechanics of self-affine cracks // Enging. Fract. Mech. 1997. — Vol. 57, no. 2/3. — Pp. 135-203.

197. Иванов А. Г. Локальный и интегральный энергетические подходы в проблеме разрушения. Прикладные проблемы прочности и пластичности, численное моделирование физико-механических процессов. — Горький: Горьковский госуд. универс., 1990. — С. 4-20.

198. Leblond J.-B. Basis results for elastic fracture mechanics with frictionless contact between the crack lips // Eur. J. Mech. А/ Solids. — 2000. — Vol. 19. Pp. 633-647.

199. Sobczyk К., Trebicki J., В. F. Spenser J. Modelling of curvilinear random fatigue crack growth // Engin. Fract. Mech. — 1995. — Vol. 52, no. 4. — Pp. 703-715.

200. Чигарев А. В., Миклашевич И. А. Расчет траектории трещины в композиционном материале в линейном приближении // Доклады АН Беларуси. 1995. - Т. 39, № 2. - С. 114-121.

201. Sih G. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems // Int. J. Fract. Mec. 1974. - Vol. 10. — Pp. 305-321.

202. Sih G. Mechanics of Fracture Initiation and Propagation. — Kluwer, Utrecht, 1991.

203. Dundurs J. Elastic interactions of dislocations with inhomogeneities. Mathematics theory of Dislocations. — New York: American Society of mechanical engineering, 1968. — Pp. 70-115.

204. He M. H., Hutchinson J. W. Crack deflection at an interface between dissimilar elastic materials // Int.J. Solids Structure. — 1989. — Vol. 25, no. 9. Pp. 1053-1067.

205. Xu Y., Keer L. M. Crack curving in anisotropic elastic solids // Engin. Fracture Mech. — 1993. Vol. 44, no. 1. - Pp. 63-73.

206. Khludnev A. M., Sokolowski J. Griffith formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks // Eur. J. Mech. А/ Solids. 2000. - Vol. 19. - Pp. 105-119.

207. Соколов И. M. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания // Успехи физ. наук. — 1986. — Т. 150, № 2. С. 221-255.

208. Miklashevich I. A., Chigarev А. V. Stochastisation of crack growth direction in heterogenous media // 8 International conference of fracture. Ukraine 93. Part 1. Kiev:, 1993. - p. 227.

209. Бапинчук M. Об одном вариационном принципе в теории трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. - № 4. - С. 197-199.

210. Molski К. L. Problemy modelowania rozwoju реккпеэс miedzyfa-zowysch // Zeszyty Naukowe politechniki biaiostockiej. Nauki technicznie. 2000. - Vol. 134, no. Mecnanika. - z. 22.-Pp. 143-159.

211. Юхансон К., Петерсон П. Детонация взрывчатых веществ. — М.: Мир, 1973. 352 с.

212. Morrisey J. W., Rice J. R. Perturbative simulations of crack front waves // J. Mech. Phys. Solids. 2000. - Vol. 48. - Pp. 1229-1251.

213. Ramanathan S., Fisher D. S. Dynamics and instabilities of planar tensle crack in heterogeneous media // Phys. Rev. Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 5. P. 877.

214. Freund L. B. Crack propagation in an elastic solid subject to general loading. I. Constant rate of extension // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1972. - Vol. 20. - Pp. 129-140.

215. Freund L. B. Crack propagation in an elastic solid subject to general loading. II. Non-uniform rate of extension // J. Mech. Phys. Solids. — 1972. Vol. 20. - Pp. 141-152.

216. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. — Berlin: Springer Verlag, 1990. — 277p.

217. Булдырев В. С. Асимптотика решений волнового уравнения, сосредоточенных вблизи оси плоского волновода в неоднородной среде //

218. Проблемы математической физики. — JL, 1968. — Т. 3, № 5. — С. 530.

219. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. — Москва: Наука, 1980. — 240 с.

220. Nakasa К. Application of fracture mechanics to crack branching and crack kurving phenomena // Bull. Jap. Inst. Metals. — 1989. — Vol. 28, no. 9.- Pp. 753-759.

221. Борисоглебский JI. А. Квантовая механика. — Минск: Из-во БГУ, 1981.- 544 с.

222. Миклашевич И. А., Чигарев А. В. Устойчивость траектории трещины в неоднородной среде // Известия АН. Механика твердого тела. — 2002. — № 5. — С. 113-119.

223. Suo Z. Singularities interacting with interfaces and cracks // Int. J. Solids Structure. 1989. - Vol. 25, no. 10. - Pp. 1133-1142.

224. Никольский С. M. Курс математического анализа. — М.: Наука, 1973.- Т. 2. 391 с.

225. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композиционных материалов. — Минск: Изд-во БГУ, 1978. — 206 с.

226. Фильштинский Л. А., Шаповалов С. П. О сравнении статистического и детерминированного подходов к определению механических свойств волокнистых композитных материалов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1985. — Xs 5. — С. 57-62.

227. Грингауз М. А., Стариковский Г. П., Фильштинский Л. А., Хар-ченко А. М., Шаповалов С. П., Щербаков В. Т. Усреднение свойств гибридных волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1986. - № 6. - С. 1011-1016.

228. Сагдеев P. 3., Заславский Г. М. Введение в нелинейную физику. — М.: Наука, 1988. — 368 с.

229. Чигарев А. В., Чигарев Ю. В. О возможности возникновения стохастической неустойчивости лучей в неоднородных средах // Акуст. журнал. 1978. - Т. XXIV, № 5. - С. 765-771.

230. Заславский Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. — М.: Наука, 1970. — 143 с.

231. Чигарев А. В., Чигарев Ю. В., Миклашевин И. А. О некоторых моделях стохастизации траектории трещины в композиционных материалах. Сб. статей под ред. А. Ю. Ишлинского Проблемы механики неупругих деформаций. — М.: Физматлит, 2001. — С. 371-381.

232. Стратонович Р. Л. Теория информации. — М.: Сов. Радио, 1975. — 423с.

233. Лихтепберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.- М.: Мир, 1984. 528 с.

234. Мельников В. К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. - Т. 148, № 6. - С. 1257-1260.

235. Мельников В. К. О силовых линиях магнитного поля // ДАН СССР.- 1962. Т. 144, № 4. - С. 747-750.

236. Moon F. С., Holmes P. J. A magnitoelastik strange attractor //J. Sound and Vibr. 1979. - Vol. 65, no. 2. - Pp. 275-296.

237. Ромалис H. В., Тамуж В. П. Влияие микродефектов на трещино-стойкость материалов. — М.: Наука, 1988. — Т. 3 из ; Механика и научно-технический прогресс. — С. 104-122.

238. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. — Киев: Наукова думка, 1976. 443 с.

239. Takayashi F., Hiizu N. Dynamical stability of the crack front life //J. of the Phys. Soc. of Japan. — 1998. Vol. 67, no. 12. — Pp. 4064-4067.

240. Yuuki R., Xu J.-Q. Fracture criteria on kinking of a crack out the interface in dissimilar materials // Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineering. — 1990. — Pp. 1945-1951.

241. Бахтин А. В., Бузенков Г. А., Недзвецкая О. О предельных скоростях разрушения // Известия АН. МТТ. 1999. — № 6. - С. 79-86.

242. Kucherov L., Ryvkin М. Interface crack in periodically layered bimaterial composite // Int. Journ, of Fracture. — 2002. — Vol. 117, no. 2. — Pp. 175-194.

243. Дышелъ M. HI. Разрушение двухслойных пластин с трещинами при растяжении с учетом локальной потери устойчивости // Механика композитных материалов. — 2002. — Т. 38, № 3. — С. 663-672.

244. Воронцов А. Н., Мурзаханов Г. X., Щугорев В. Н. Разрушение конструкций из композитных материалов по типу расслоения / / Механика композитных материалов. — 1989. — Л"2 6. — С. 1007-1023.

245. Tian Z., Swanson S. R. The fracture behavior of carbon/epoxy laminates containing interlaminar cut fibers // J. Compos. Mater. — 1992. — Vol. 26, no. 8. Pp. 1193-1206.

246. Парцевский В. В. Расслоение в полимерных композитах. Обзор // Изв. AH. МТТ. 2003. - по. 5. - Pp. 62-94.

247. Ozdil F., Carlsson L. Beam analysis of angle-ply laminate deb specimens // Composite Science and Technology. — 1999. — Vol. 59. — Pp. 305-315.

248. Szekrenyes A. Modeling of the delamination and fiber-bridging in unidirectional composites under mode i loading conditions // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2003. — Т. 9, 2. — С. 167-179.

249. Jagota A., Paul-Kumar P., Saigal S. Natural frequencies of stable Griffith cracks // Int. Journal of Fracture. — 2002. — Vol. 116, no. 2. — Pp. 103120. ' ' •■.■

250. Власов В. 3., Леонтьев H. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. — М: Физматлит, 1960. — 491 с.

251. Корнев В. М. Модель волноообразования при сварке взрывом // Физика горения и взрыва. — 1984. — Т. 20, № 2. — С. 87-90.

252. Годунов С. К., Сергеев-Альбов Н. Н. Уравнения линейной теории упругости с точечными максвелловскими источниками релаксации напряжений // Прикладная механика и техническая физика. — 1977.- № 4. С. 140-152.

253. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных диссипативных структурах. — М.:Мир, 1983. — 135 с.

254. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. — М.:Мир, 1977. — 622 с.

255. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1977.- 238 с.

256. Miklashevich I. A. The generalized space and the solid state deformation description // International Conference on Multifield problems, April 810, 2002. — Stuttgart: Germany, 2002. — Book of abstracts. — P. p.82.

257. Миклашевич И. А. Фрактальная размерность разрушения, зависящая от свойств среды // Доклады АН Беларуси. — 2002. — Т. 46, 1. — С. 48-50.

258. Миклашевич И. А. Устойчивость распространения и влияние неоднородности материала на траекторию трещины // Прикладная физика. 2002. — № 2. — С. 163-168.

259. Миклашевич И. А. Влияние структурной границы на траекторию трещины при плоском нагружении. // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2002. — Т. 8, № 2. — С. 255-260.

260. Miklashevich I. A. Crack propagation in a solid containing an interface with discontinuously changing young's modulus // Int. J. of Fracture. — 2003. Vol. 116, no. 3. - Pp. 49-54.

261. Миклашевич И. А., Корсунский A. M. Влияние зоны ослабленных связей на траекторию трещины в неоднородных средах // «Машиностроение». — Мн: Вышэйшая школа, 2002. — Т. 18 из Республиканский межведомственный сборник. — С. 407-410.

262. Миклашевич И. А., Чигарев А. В. О влиянии неоднородности композиционного материала на траекторию трещины // Доклады АН Беларуси. 2002. - Т. 46, Л* 2. - С. 108-110.