Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации

Семенов, Алексей Сергеевич

Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Семенов, Алексей Сергеевич АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации»

Автореферат диссертации на тему "Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации"

На правах рукописи

005015922

Семёнов Алексей Сергеевич

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С НЕОДНОРОДНЫМ УПРУГИМ ОСНОВАНИЕМ, И РОДСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Специальность 01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

3 МАЯ 2012

Москва - 2012

005015922

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ».

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент Кузнецов Сергей Федорович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Белостоцкий Александр Михайлович Генеральный директор ЗАО НИЦ «СтаДиО»

доктор технических наук Тяпин Александр Георгиевич

Главный научный сотрудник БКП-2 ОАО «Атомэнергопроект»

ООО «Газпром В НИШ"АЗ»

Защита диссертации состоится « 24 » мая 2012 г. в 15-00 часов на заседании диссертационного совета Д212.157.11 при ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная улица, д. 14 ауд. Б112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ».

Автореферат разослан « 2Я » апреля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Волков П.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Напряженно-деформированное состояние конструкций, взаимодействующих с деформируемыми основаниями, находится в непосредственной зависимости от их характеристик сопротивления. Технические кондиции конструкций на грунтовых основаниях (фундаменты зданий и сооружений, наземные и подземные трубопроводы различного назначения, коммуникационные каналы и тоннели) существенным образом определяются механическими характеристиками грунта, которые могут приобретать значительные трансформации в процессе эксплуатации. Механические характеристики оснований могут изменяться при колебаниях температуры и содержания воды в почвах, при повышении сейсмической активности, в результате разнообразных техногенных воздействий. Проблемы оценки надежности и безопасности конструкций возникают весьма остро в случаях, когда процессы в грунтовом основании приводят к значительной неоднородности его механических свойств (вплоть до появления вымывов грунта, образования карстовых провалов и т.д.).

Исследование свойств оснований приборными методами непосредственно в зоне взаимодействия с конструкцией затруднено. Поэтому актуальной проблемой является разработка методов определения напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации характеристик сопротивления оснований с использованием информации о геометрических изменениях (перемещениях и деформациях), получаемой при натурных обследованиях на отдельных этапах жизненного цикла конструкции или в процессах технического мониторинга.

Проблемы определения характеристик механических систем на основе данных о последствиях их изменений приводят к задачам, в которых могут нарушаться требования существования, единственности и устойчивости решения (некорректным задачам). При применении традиционных численных методов построения решений это находит выражение в плохой обусловленности дискретных моделей и неустойчивости вычислительных процедур по отношению к погрешностям входной информации.

В данной работе для решения обозначенных выше проблем привлекается методология теории некорректных задач, что, в отличие от распространенных численных методов обработки приборных измерений, позволяет получать устойчивые и обладающие достаточной информативностью результаты при неточной исходной информации. При этом делается акцент на разработке методов, не требующих больших объемов входных данных и не накладывающих жестких ограничений на их точность.

Разработка методов идентификации механического состояния и свойств оснований конструкций с применением аппарата теории некорректных задач является перспективным направлением для создания методик натурных обследований и программного обеспечения систем технического мониторинга.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ, выполняемых по тематическому плану НИУ МЭИ.

Цели и задачи. Следуя изложенному выше, формулируются цели данной работы:

• Разработка численных методов определения механического состояния конструкций и идентификации характеристик неоднородных упругих оснований на основе ограниченных совокупностей данных о геометрических изменениях.

• Исследование области применимости разработанных методов в практических диапазонах варьирования качественных и количественных характеристик входной информации, а также параметров системы.

В работе решены следующие задачи:

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения папряженно-деформированного состояния системы балка неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

• задача исследования эффективности применения разработанного метода идентификации в практическом диапазоне изменения объема и характеристик неопределенности совокупности входных данных о прогибах;

• задача исследования чувствительности разработанного метода в практическом диапазоне вариаций жесткостных параметров системы;

• задача идентификации областей с нулевой реакцией основания для системы балка - неоднородное упругое основание;

• задача идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок;

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно-деформированного состояния системы плита -неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

• задача определения напряженно-деформированного состояния конструкции с использованием результатов измерений, полученных при натурных обследованиях.

Методами и средствами исследований являются методы теории некорректных задач и численные методы решения задач деформирования упругих конструкций.

Научная новизна.

• Сформулирована задача об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств упругого основания как линейная обратная задача относительно системы дополнительных нагрузок, моделирующих влияние неоднородности основания.

• Разработан численный метод для решения задачи об определении дополнительных нагрузок, использующий процедуру итеративной регуляризации с выбором параметра регуляризации на шаге вычислительного процесса.

• Разработана модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении в форме равенств, что позволяет расширить область применения метода на задачи с негладким распределением коэффициента упругости основания и задачи реконструкции систем внешних нагрузок.

Практическое значение.

Разработанный метод определения напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств оснований позволяет получать достаточно точные и информативные результаты в широком диапазоне параметров системы, не накладывая при этом жестких ограничений на величину объема и точность входной информации. Это гарантирует его эффективное применение при решении практических задач оценки технического состояния конструкций, а также при разработке методик натурных обследований и программного обеспечения для систем технического мониторинга.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

• строгим применением методологии теории некорректных задач и верифицированных численных методов (метод конечных элементов в форме метода перемещений);

• сравнительным анализом решений серии тестовых задач с эталонными решениями;

• сопоставлением решения с использованием данных натурных обследований с результатами тензометрии.

Внедрение. Методика применяется в ГУП «МОСГАЗ» для оценки напряженно-деформированного состояния действующих газопроводов, результаты оценки используются при прогнозировании остаточного ресурса конструкций.

Личный вклад соискателя. Все разработки и исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности.

На защиту выносятся:

• Континуальная и дискретная постановки задачи об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации свойств упругого основания как линейной обратной задачи относительно системы дополнительных усилий, моделирующих влияние неоднородности механических характеристик основания.

• Численный метод решения поставленной задачи, использующий процедуру итеративной регуляризации с выбором параметра регуляризации на шаге вычислительного процесса.

• Результаты верификации разработанного метода идентификации в практическом диапазоне изменений объема и погрешности входной информации для механической системы балка - неоднородное упругое основание.

• Результаты исследования чувствительности разработанного метода по отношению к вариациям параметров системы.

• Модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении.

• Результаты решения задачи идентификации областей с нулевой реакцией для системы балка - неоднородное упругое основание.

• Результаты решения задачи идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок.

• Результаты решения задачи идентификации свойств и механического состояния системы плита - неоднородное упругое основание.

Апробация научных положений и основных результатов произведена в виде докладов на научно-технических конференциях:

• ХХП1 международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», Санкт-Петербург, 2009 г.

• Шестнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2010 г.

• III Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», Новочеркасск, 2010 г.

• Международная конференция «Металлические конструкции: прошлое, настоящее, будущее», посвященная 130-летшо ЦНИИПСК им.Мельникова, Москва, 2010 г.

• XVI Международный симпозиум им. А.Г.Горшкова «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, 2010 г.

• XXIV международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», Санкт-Петербург, 2011 г.

Публикации. По тематике диссертации опубликовано семь работ, в том числе две работы в изданиях, включенных ВАК в перечень рекомендуемых.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав (с выводами по каждой главе), заключения, одного приложения, списка литературы. Общий объем диссертации - 146 страниц, 70 рисунков, 12 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены предметы, цели и задачи исследования, перечислены основные результаты, обоснована актуальность работы, освещен список трудов соискателя, приведено краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе дается характеристика задач идентификации свойств механических систем как некорректных математических задач. Приводится определение корректности по Адамару, формулируется понятие некорректно поставлешюй задачи, приводятся примеры постановок с нарушениями условий существования, единственности и устойчивости решения.

Приводятся основные положения и обзор методов теории некорректных задач, получившей интенсивное развитие в последние десятилетия во многом благодаря работам отечественных математических школ и, в первую очередь, школы академика А.Н. Тихонова. Важным вкладом в разработку основ и методологии теории являются труды В .Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, A.B. Гончарского, В.В. Степанова, А.Г. Яголы, М.М. Лаврентьева, В.А. Морозова, В .В. Васина, Г.М. Вайникко, А.Ю. Веретенникова, A.C. Леонова и других российских математиков. Среди зарубежных исследователей отмечаются работы П.С. Хансена (Hansen P.C.), X.B. Энгла (Engl H.W.), Д.М. Джейсона (Jason D.M.), М.А. Лукаса (Lukas М.А.).

Дается обзор проблем механики конструкций, приводящих к некорректным, с традиционной точки зрения, постановкам. К ним относятся различные классы обратных задач, в которых в качестве входной информации используются дашше о напряженно-деформированном состоянии. Существенный вклад в разработку методов идентификации механических свойств материалов внесли В.Г. Баженов, А.Р. Каюмов. Проблемам идентификации внутренних полостей и трещин в деформируемых телах посвящены работы А. О. Ватульяна, В. А. Постнова, обратным задачам определения напряженно-деформированного состояния и условий нагружения конструкций — работы Б. Д. Анина, А.К. Прейсса, A.B. Фомина, Я.М. Пархомовского, И.Ю. Цвелодуба, В.Г.Яхно.

Разработка методов построения устойчивых решений обратных задач механики конструкций в различных постановках является предметом широкого круга исследований, проводимых зарубежом. Среди них отмечаются работы Т. С. Джанга (Jang Т. S.), X. С. Ли (Lee Н. S.), Т. - Ю. Ронга (Rong Т.-Y.), Е. Турко (Turco Е.),

Б. Вебера (Weber В.), Н. Забараса (Zabaras N.), А.Н. Редци (Reddy A. N.), М. Бонне (Bonnet М), М. Фрисвелла (Friswell М.), С. Говинджи (Govindjee S.), Дж. С. Канга (Kang J. S), X. В. Парка (Park Н. W.).

Приведен также краткий обзор работ по применению методов теории некорректных задач в других технических науках: работы Дж. Бека, С. Янга-Рена (Jiang-Ren С), С.-С. Лиу (Liu C.-S.), X. Чен-Хунга (Cheng-Hung Н.), Ю.Ю-Чинга (Yu-Ching Y.), А. Фраковиака (Frackowiak А.), В. Колехмаинена (Kolehmainen V.) по решению обратных задач теплопроводности и теплопереноса, работа Дж. Гомеса (Gomes J.) по решению обратной задачи акустики, работа М. Н. Левина по решению задачи определения дефектов в полупроводниках.

Отмечается, что в настоящее время методы теории некорректных находят применение для решения прикладных задач в различных отраслях техники, и области их эффективного применения интенсивно расширяются. На основе этой теории в настоящее время сформулированы и успешно применяются в различных приложениях подходы, которые позволяют получать устойчивые и обладающие достаточной информативностью решения некорректных в классическом понимании задач при неточной входной информации.

Во второй главе для системы балочный конструктивный элемент — неоднородное винклеровское упругое основание формулируется задача (рисунок 1а)

об идентификации распределения коэффициента упругости основания к(г) и определении характеристик напряжеппо-деформированного состояния

конструктивного элемента по информации о прогибах. Предполагается, что входные данные о прогибах w(z) содержат погрешности, уровень которых считается заданным. Характеристики внешних воздействий p(z), упругие постоянные и геометрические параметры балки рассматриваются заданными точно.

и конечно-элементная модель конструкции

Показано, что при рассмотрении некоторой модельной системы с постоянным коэффициентом упругости кс, проблема сводится к линейной обратной задаче о нахождении дополнительных упругих реакций рУ(г), обусловленных неоднородностью свойств основания. Континуальная постановка представляет собой интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода

= ' (1)

ядро С(£ которого, есть решение уравнения

ЕЮ17 + ксС(4,г) = 8(г - 4), (4,2 е [0,/]) (2)

при заданных краевых условиях. В выражениях (1), (2): ™с(г) — функция прогиба модельной системы при внешних воздействиях р(г), Е1 - изгибная жесткость балки,

а) Расчеши ехша

Р(г)

\жтт

б) Конечна-элеыатмя модель

i 4+1.

»дет.« значдоилротОок

Рисунок 1 Расчетная схема

5(2) - функция Дирака. При этом дополнительные реакции р,(г) и искомое распределение коэффициента упругости основания к(г) связаны соотношением

Л-(*) = -(*(*)-*,М«). С3)

Задача (1) является классической некорректно поставленной задачей. Основной ее особенностью является отсутствие непрерывной зависимости решения от входной информации. Исходные данные о геометрических изменениях у»(г) могут быть получены только путем измерений, следовательно, всегда содержат погрешности. Неустойчивость по отношению к возмущениям входной информации при применении методов, использующихся при решении прямых (корректных) задач, приводит в результате к погрешностям, на порядки превышающим погрешности дапных.

Решение сформулированной выше проблемы требует привлечения методологии теории некорректных задач. При использовании неточных исходных данных принципиально возможным для задачи (1) является построение лишь некоторых обобщенных решений (псевдорешений), непрерывно зависящих от входной информации. При предположении о существовании точного решения (т.е. соответствующего точным входным данным - ^(г)), псевдорешение можно рассматривать как приближение к точному решению. Качество приближения существенным образом определяется уровнем неопределенности входной информации Д = || - ур"(г) || (здесь и далее ||. || - среднеквадратическая норма), применяемым методом регуляризации и наличием дополнительной (априорной) информации о характере решения.

В связи с этим, проблема решения уравнения (1) при неточной входной информации -н>(г) рассматривается как задача отыскания распределения ру(г), устойчивого к малым возмущениям и-(г) и согласованного с данными о прогибах по условию.

II о I

При проведении натурных обследований и технического мониторинга механического состояния конструкций обычно определяется ограниченный массив результатов фиксации геометрических изменений, характеризующийся невысокой точностью измерений. Поэтому практический интерес представляет разработка численных методов решения поставленной выше задачи.

Дискретный аналог задачи (1) строится на основе конечно-элементной аппроксимации (рисунок 16). Область [ 0, / ] представляется в виде совокупности отрезков [ гь 2М ] - конечных элементов (¡' = 1,2, ). Для аппроксимации функции прогиба у/¡(г) в пределах 1-го конечного элемента используются эрмитовы полиномы 3-й степени. Аппроксимация функций к(г), р(г) принимается поэлементно -постоянной.

В соответствии с процедурой метода конечных элементов (МКЭ), использующейся при решении прямых (корректных) задач расчета конструкций, рассматриваются условия равновесия системы с неоднородным упругим основанием и модельной системы с постоянным коэффициентом упругости кс. Показано, что условия равновесия идентифицируемой системы могут быть представлены в виде

(К + вс)Ч = Р + АР , (5)

где К, (7С - матрицы жесткости балки и модельного основания; д , Е - матрицы-столбцы узловых перемещений и внешних узловых сил, АР - матрица-столбец дополнительных узловых нагрузок, моделирующих влияние неоднородности коэффициента упругости основания.

Анализ матрицы жесткости показывает, что при винклеровском типе сопротивления вклад углов поворота узловых сечений балки в потенциальную энергию деформации основания пренебрежимо мал и реакции основания на конечно-элементной схеме сводятся к системе узловых сил АН. При этом отклонения А к коэффициента упругости основания от модельного значения кс удовлетворяют системе уравнений

УАк = АЯ, (6)

где V - двухдиагональная матрица размерности (Ы+1)хЫ, элементы которой образованы линейными комбинациями узловых прогибов.

Задача определения папряженно-деформированного состояния балки и идентификации свойств неоднородного упругого основания, как следует из соотношений (5), (6), может бьггь поставлена для модельной системы как обратная задача об определении дополнительных узловых сил при заданной (полученной в результате измерений) информации об узловых прогибах. Пусть IVу - матрица-столбец значений узловых прогибов, заданных в Музловых точках (М<~Ы+1), и 1УС -соответствующие узловые прогибы модельной системы. Примените метода функций влияния на конечно-элементной схеме приводит к алгебраической задаче

Л-М = АРГУ, (7)

где

№у=1Гу -Жс, (8)

А - прямоугольная (в общем случае) матрица упругих коэффициентов влияния (коэффициентов податливости) модельной системы размерностью Мх(Ы+1).

Задача (7) является конечномерной проекцией континуальной формулировки (1) и естественным образом наследует ее свойства. Решение системы (7) существует не для любой правой части, может быть неединственным и неустойчиво по отношению к возмущениям входной информации.

Следуя методологии теории некорректных задач, алгебраическая задача (7) при неточно заданной правой части рассматривается как задача отыскания решения АК , устойчивого к возмущениям данных по прогибам А1¥у и согласованного с ними по

условию

(9)

где д - погрешность входной информации.

Для получения решений системы уравнений (7) применяется итерированный вариант метода регуляризации Тихонова

{АТА + аи)Е]\Яи) = АТАЖУ +а0)ДЛ0"1), (10)

где а ® - параметр регуляризации, Е - единичная матрица-стабилизатор, / -порядковый номер приближения.

Результаты численных экспериментов показывают, что данная процедура может быть эффективно использована для реконструкции гладких (характеризующихся

непрерывной производной по координате г) распределений коэффициента упругости основания при надлежащем выборе начального приближения и параметра а®.

Параметр регуляризации определяется в зависимости от приближения, полученного на предшествующем шаге процесса, согласно соотношению

аи> = )/||ЛЛ0-,)|2, (11)

где £ - коэффициент, близкий по порядку к относительной погрешности входной информации. Для рассмотренного в работе класса задач практический диапазон этой величины: 10"2-10"4.

В начальном приближении в соответствии с постановкой задачи распределение дополнительных нагрузок д в!п> может быть принято равномерным. Критерием остановки процесса является удовлетворение результата текущей итерации ДК® условию (9). При задании «точных» входных данных (являющихся решением эталонной прямой задачи) итерационный процесс (10) обеспечивает сходимость к точному решению при малых значениях параметра £, £ 10 "5.

Следует отметить, что при найденных дополнительных узловых нагрузках характеристики напряженно-деформированного состояния балки на неоднородном основании могут быть определены, согласно соотношению (5), без использования распределения коэффициента постели в явном виде. Это является одним из преимуществ рассматриваемого метода, оказывающим влияние па точность соответствующих оценок.

Идентификация распределения коэффициента упругости основания осуществляется с использованием регуляризированных узловых прогибов, полученных из решения уравнений (5). Система уравнений (6) относительно А к является переопределенной, поэтому при решении применяется итерированный вариант регуляризации, аналогичный рассмотренному выше.

Верификация метода и анализ его вычислительной эффективности осуществлялся по следующей методике. Для системы с заданным распределением коэффициента упругости основания к (г) в результате решения прямой задачи находились узловые прогибы. Некоторая часть этого массива рассматривалась как входная информация для решения задачи идентификации, при этом каждому значению сообщалось возмущение, моделирующее погрешность измерений. Возмущения величин прогибов рассматривались как статистически независимые и моделировались случайной величиной, характеризуемой равномерным распределением в заданном диапазоне. Получаемая таким образом входная информация (матрица-столбец IVу) варьировалась как по количественному составу, так и по величине диапазона возможных отклонений.

Задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно - деформированного состояния системы балка -неоднородное основание. На рисунке 2 представлены результаты реконструкции распределений коэффициента постели к (г) и изгибающего момента М(г) в балке, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. Численные значения геометрических параметров балки, свойств материала и упругого основания, величины внешней нагрузки на конструкцию приведены в тексте диссертации. Количество элементов дискретной схемы N = 52, объем массива входной информации о прогибах М= 10, относительная характеристика погрешности данных, оцениваемая по среднеквадратической норме, е„ = 0.1%. Погрешности решения, найденные при

сопоставлении с эталонными распределениями k(z),M(z)\ = 0.46%

коэффициента упругости основания) и еи - 2.7% (для изгибающего момента).

(для

1 3 ш \ ----------- - i

7----— \ г—- 4.

е—----- I ------ 1—!- ; : V- е +-h" — k | — k г « «

f * i \' и M

—• /- \i — -

/ i \

S, i / i ^ t / /

ч I /

2,М

Рисунок 2. Результаты идентификации распределений коэффициента упругости основания (а) и изгибающего момента в балке (б) Проведено исследование влияния на качество результатов объема и точности входной информации о прогибах. Рисунок 3 иллюстрирует зависимость характеристик точности результатов от объема массива исходных дашшх при е „=0.1% для рассмотренной выше задачи идентификации. На рисунке 4 представлены результаты серии расчетов для массивов информации постоянного объема (М=27 ), характеристики погрешности которых изменяются в диапазоне 0.01-1.0%.

* [ !

- ■ г . — El / X--T

5 |------ / 1 —

j j

¿1 — — — i

соличеепо мцшнш течений вроглбо»

Рисунок 3. Погрешности решения в Рисунок 4. Погрешности решения в

зависимости от объема входной зависимости от точности входной

информации информации

По результатам проведенных численных экспериментов делается вывод, что предложенный метод не предъявляет жестких ограничительных требований к количеству и точности исходной информации. Это позволяет успешно применять его для практической оценки механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным грунтовым основанием, при анализе данных натурных обследований и технического мониторинга.

В качестве примера практического применения метода приводится сравнительный анализ результатов расчета с данпыми тензометрии участка газопровода (рисунок 5), предоставленными МГЦ ИФМСКМ ГУЛ «МОСГАЗ». В процессе частичной выемки грунта из основания трубопровода в отдельных сечениях между опорами регистрировались относительные деформации в осевом направлении на внешней поверхности трубы и величины вертикальных перемещений.

Данные о перемещениях использовались в качестве исходной информации для численного решения. Результаты расчета для изгибающего момента М1 и величины,

найденные на основе данных тензометрии _М?хр, сопоставлены на рисунке 6. Соответствие расчетных значений экспериментальным данным оценивается по относительной среднеквадратической норме отклонений ем величиной 4.73% при характеристике точности данных о перемещениях е^=0. 75%.

тензорезисторы, г.

ММ-м

? х М, о МО*

в 4

Рисунок 5 Схема проведения Рисунок б Значения изгибающих

измерений моментов-

В третьей главе разработанный метод применяется для решения более широкого класса проблем. Рассматриваются два типа задач с априорной информацией. Первая из них - задача об идентификации областей с нулевой реакцией основания, возникающая в практических случаях при образовании карстовых провалов, промоин грунта и т.д. Вторая задача ставится как задача идентификации наряду с дополнительными реакциями основания, вызванных неоднородностью, сосредоточенных внешних нагрузок, действующих на балку. На практике это соответствует случаю, когда информация о внешних воздействиях недостаточно точна для непосредственной идентификации свойств основания и определения механического состояния конструкции.

Задача идентификации областей с нулевой реакцией основания. Рассматривается конечно-элементная модель балки на упругом основании, аналогичная описанной в главе 2. Предполагается, что основание может содержать зоны с нулевой реакцией, при этом распределение коэффициента упругости основания описывается негладкой немонотонной функцией продольной координаты. Пример распределения коэффициента упругости основания к(г) представлен на рисунке 7а.

Рисунок 7. Распределение коэффициента упругости основания (а) и входные данные по прогибам (б) Непосредственное применение метода, изложенного в главе 2, приводит к результатам, уровень погрешности которых по отношению эталонным решениям существенно выше погрешности данных. Относительно идентификации зон нулевой реакции основания результаты позволяют сделать только качественные выводы о возможном их наличии и не дают информации о границах локализации. Рисунок 8а иллюстрирует получаемое распределение коэффициента упругости при задании входной информации N = 52, М = 12, £„= 0.1%.

5-------- ----------- -------#

а j...

с i \ ! 3

j А ~ 4 — * ;

-i-К 6

г;-« г,м

Рисунок 8. Результаты идентификации коэффициента упругости основания

Повышение точности и информативности решения достигается применением троцедуры пошагового сканирования предполагаемой зоны отсутствия реакций с ^пользованием при решении задачи (7) дополнительных условий вида

SAR = RC, (12)

где S - квадратная диагональная матрица коэффициентов, принимаемых равными 1 щя узлов в пределах текущей конфигурации идентифицируемой зоны и равными О щя остальных узлов, Rc - матрица-столбец реакций модельного основания. При этом обеспечивается равенство нулю реакций неоднородного основания в заданной области.

Учет условий (12) в тихоновском функционале невязки осуществляется по методу неопределенных множителей Лагранжа. Модифицированный таким образом процесс итерационной регуляризации определяется соотношением

(АТА + ß S + aif)E)ARu) = ATAWV + a(J) ARu~l) + ß SRC, (13)

где ß - множитель Лагранжа, равный максимальной норме матрицы А А.

Процедура сканирования приводит к получению совокупности решений для возможных конфигураций зоны нулевой реакции и предполагает наличие критерия для выделения единственного решения. Формулировка критерия основывается на

анализе деформированных состояний, определяемых регуляризированными узловыми перемещениями qm согласно выражению (5) при дополнительных системах сил ARm (m - идентификатор конфигурации зоны нулевой реакции).

Распределения регуляризированных прогибов Wm весьма близки в среднеквадратической норме, что является следствием применяемого метода регуляризации и выполнения условия (9). По отношению к эталонному распределению (рис.7б) они образуют частную совокупность близких кинематически возможных состояний. Результаты анализа этой совокупности на основе теоремы о минимуме полной потенциальной энергии позволяют сформулировать условие для определения наилучшего приближения в виде

Эффективность применения методики, основанной на методе регуляризации (13) и критерии выбора (14), иллюстрирует рисунок Вб.

Задача идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок. Рассмотренные выше методы существенным образом основываются на априорной информации о качественном характере искомых решений. Последовательное развитие данного подхода дает возможности для разработки методов идентификации наряду с реакциями упругого основания характеристик внешних нагрузок.

Предполагается, что балка на неоднородном упругом основании находится под действием системы сосредоточенных усилий R (¿xl), при этом интервалы между точками приложения нагрузок существенно больше характерной длины краевого эффекта.

Разрешающая система уравнений представляется в виде

A-\R + B-R = WV, (15)

где А,В - матрицы коэффициентов влияния размерностями (M x(N+l)) и (MxL), соответственно. Минимизация квадратичного функционала невязки для соотношения (15) приводит к системе матричных уравнений

\ат aar + atbr=atwv,

\BtAAR + BTBR = BTWV.

Процедура регуляризации системы (16) конструируется с учетом качественных различий распределений нагрузок Я, Дй. Детально рассматривается случай L-1.

В результате исключения нагрузки R с помощью соотношения

R = (BTWV-BTAAR)/(BTB) (17)

формируется система уравнений относительно дополнительных усилий AR вида

Aar-AR = War. (18)

Особенностью этой системы является наличие строки нулевых элементов у матрицы Лдд и правой части W^ в позиции, соответствующей узловой точке приложения внешней нагрузки. Предполагая функцию распределения дополнительных нагрузок гладкой, данное уравнение заменяется интерполяционным соотношением

АЯ/ЦлК^+ДД^/г, (19)

где 1 - номер узловой точки приложения внешней нагрузки. При решении системы (18) применяется итерационная регуляризация, аналогичная описанной в гл.2. Величина внешней нагрузки Я находится с использованием соотношения (17).

Численные эксперименты показывают, что процедура регуляризации в данной задаче является существенно более чувствительной к выбору начального приближения, чем в рассмотренных выше. Получение начального приближения для дополнительных нагрузок основывается на применении векторной регуляризации непосредственно к решению системы (15). Используется простой вариант, позволяющий при использовании соотношения (10) моделировать особенности распределений с помощью введения на диагональ матрицы-стабилизатора Е элементов, малых по сравнению с единицей. Результатом решения является композиция определяемых систем нагрузок (Я + А/?)о. Для выделения составляющей АЛ 0 в области приложения внешней нагрузки применяется степенная аппроксимация.

Рисунки 9,10 иллюстрируют получение начального приближения и результаты решения по процедурам итеративной регуляризации на конечно-элементной модели (рисунок 16) при N - 52, М = 27, ек - 0,1% для случая действия внешней сосредоточенной нагрузки Р=3,0 кН в узловой точке 1=31. Погрешности идентификации распределения коэффициента упругости основания, изгибающего момента в сечениях балки и величины внешней нагрузки в приведенном примере характеризуются величинами: ек =0,82%, ем =1,29%, т]р =2,24%.

— — —

— —

1 — 1 ! М , | \

\ % \ \

7------ !л ! !

' / ■ 1 !

ГХП-Ц Йг г : 1 т—1

1,— 1Л1

Рисунок 9. Определение начального Рисунок 10. Результаты

приближения Мо идентификации коэффициента упругости

основания

В четвертой главе подход, сформулированный в гл.2, применяется к задаче об определении напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств системы плоский конструктивный элемент (плита) - неоднородное упругое основание (рисунок 11). Предполагается, что:

- система находится под действием заданной поперечной распределенной нагрузки р(х,у),

- деформированное состояние плиты при изгибе с достаточной точностью описывается на основе положений теории Кирхгофа,

- сопротивление основания - винклеровского типа с коэффициентом упругости, представляемым гладкой функцией координат к(х,у),

- входная информация задачи включает совокупность ограниченного числа измерений величин перемещений срединной поверхности плиты с характеристикой погрешности д .

Применение подхода, изложенного в гл. 2, показывает, что данная задача может быть сведена к обратной задаче об определении распределения дополнительных нагрузок р„(х,у), моделирующих неоднородность свойств основания, при этом, обратная задача формулируется для системы с некоторым постоянным (модельным) коэффициентом упругости кс. Численный метод решения конструируется на основе конечно-элементной модели системы. Используются прямоугольные конечные элементы с аппроксимацией функции прогиба неполным полиномом 4-й степени. Распределения нагрузок и коэффициента упругости основания предполагаются поэлементно-постоянными.

Анализ матрицы жесткости упругого основания, полученной на основе введенной аппроксимации для прогиба, обнаруживает возможность при определении реакций основания на дискретной схеме пренебрегать влиянием моментных составляющих узловых усилий. При этом алгебраическая задача для определения дополнительных узловых усилий формулируется в виде соотношений (7), (8), в которых А следует рассматривать как матрицу коэффициентов влияния системы плита - модельное упругое основание, ]¥у, 1¥п - матрицы-столбцы заданных узловых прогибов и прогибов модельной системы.

Соотношения для определения коэффициентов упругости основания по найденным значениям узловых дополнительных нагрузок представляются в формате выражений (6). Матрица V в рассматриваемом случае - четырехдиагональная матрица, элементы которой образованы линейными комбинациями регуляризированных узловых прогибов.

Решение данных алгебраических задач осуществляется с использованием итерационной процедуры регуляризации (10), (11).

Проведенные вычислительные эксперименты показывают, что разработанный метод может успешно применяться для решения двумерных задач. Некоторые результаты идентификации распределения коэффициента упругости основания к(х,у) (рисунок 10) и определения внутренних силовых факторов для случая равномерного внешнего нагружения плиты представлены на рисунках 13, 14. Использована конечно-элементная модель, содержащая 231 узловую точку, исходные

Рисунок 11. Расчетная схема плиты на упругом основании

Рисунок 12. Коэффициенты упругости основания идентифицируемой и модельной систем

данные формировались по прогибам приблизительно 20% узлов модели, погрешность массива данных £ 0,1%. Характеристики точности полученного решения по

коэффициентам упругости основания - ек= 0,76%, по изгибающим моментам -

Рисунок 13. Коэффициент упругости Рисунок 14. Изгибающий момент

основания к(х,у)\у=0 Мх(х,у)\у=5

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Решение практических проблем оценки технического состояния и ресурса конструкций, взаимодействующих с деформируемыми основаниями, требует разработки методов определения напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств оснований, использующих в качестве исходной информации данные о геометрических изменениях конструкции, получаемые в ходе натурных обследований. Задачи механики конструкций подобного рода относятся к классу некорректных задач. Разработка методов их решения требует привлечения методологии теории некорректных задач (методов регуляризации).

2. Сформулирована задача об определении напряженно-деформированного состояния конструкций и идентификации характеристик упругого основания как линейная обратная задача относительно системы дополнительных усилий, моделирующих влияние неоднородности основания.

3. Получена дискретная постановка задачи с применением конечно-элементной аппроксимации и разработан метод численного решения на основе итерированного варианта метода регуляризации Тихонова.

4. Проведена верификация разработанного метода идентификации для системы балка - неоднородное упругое основание с использованием данных решения серии модельных задач и данных, полученных при натурных обследованиях конструкций. Показана эффективность метода в широком диапазоне изменений параметров системы, объема и погрешности входной информации: количество входных данных -от 20 до 100% размерности модели, практический диапазон погрешностей - от 0,01% до 1%.

5. Проведено исследование, по результатам которого показано превосходство разработанного метода идентификации над распространенным методом сплайн -аппроксимации данных по прогибам.

6. Разработана модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении и расширить область применения

метода на задачи идентификации областей с нулевой реакцией основания и задачи реконструкции систем внешних нагрузок.

7. Показана эффективность разработанного метода при применении к решению задач определения напряженно-деформированного состояния и идентификации свойств системы «плита - неоднородное упругое основание».

8. Разработанный метод определения механического состояния конструкций и идентификации свойств оснований позволяет получать достаточно точные и информативные результаты в широком диапазоне параметров систем, не накладывая при этом жестких ограничений на величину объема и точность входной информации. Это гарантирует возможность его эффективного применения в решении практических задач оценки технического состояния конструкций, а также при разработке математического обеспечения для систем техшмеского мониторинга и методик натурных обследований.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях:

В периодических изданиях, включенных в перечень рекомендованных ВАК:

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным грунтовым основанием. // Справочник. Инженерный журнал. М.: Спектр. 2012. № 3. С. 23-28;

- Гасангаджиев Г.Г., Мурзаханов Г.Х., Семенов A.C., Морозов М.А. Исследование механических свойств стальных газопроводов среднего и высокого фдавления разрушающими методами // Управление качеством в нефтегазовом комплексе. М.: изд. Национальный институт нефти и газа. 2012. № 1. С. 31-35;

Публикации в иных изданиях:

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С., Островский К. И. Некоторые задачи идентификации для системы балка - неоднородное упругое основание. // Сборник трудов XXTV международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург. 2011. С. 66-68;

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение метода конечных элементов для решения обратной задачи упругопластического деформирования стержней. // Сборник трудов 1П международного симпозиума «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений». Новочеркасск. 2010. С. 32-34;

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение метода конечных элементов для решения обратной задачи деформирования балки на упругом основании. // Сборник трудов XVI международной научно-технической конференции студентов и аспирантов. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М. 2010. С. 317-318;

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Применение методов теории некорректных задач к решению обратной задачи упругопластического деформирования стержней. II Сборник трудов XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М. 2010. С. 112-113;

- Кузнецов С. Ф., Семенов А. С. Решение обратной задачи упругопластического деформирования стержней методом конечных элементов. // Сборник трудов ХХ1П международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург. 2009. С. 125-127.

Подписано в печать [£. ОЦ.Щ&Г. Полиграфический центр МЭИ Красноказарменная ул., д. 13

Зак. т Тир. (СО П.л. ^^Г

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Семенов, Алексей Сергеевич, Москва

61 12-5/2361

ФГБОУ ВПО

«Национальный исследовательский университет «МЭИ»

На правах рукописи

Семенов Алексей Сергеевич

Определение механического состояния элементов конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием, и родственные задачи идентификации

Специальность 01.02.06 -Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: к.т.н., доцент Кузнецов С.Ф.

Москва-2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................4

Глава 1. Обзор методов теории некорректных задач и применений к задачам механики твердого тела..............................................14

1.1 Корректность математических постановок задач механики.........14

1.2 Методы решения некорректных задач..................................15

1.3 Применение математических методов к обратным задачам механики твердого тела.............................................................23

Глава 2. Метод определения механического состояния конструкций, взаимодействующих с неоднородным упругим основанием..........................................................................35

2.1 Континуальная формулировка...........................................35

2.2 Метод численного решения на основе конечно - элементной аппроксимации..............................................................40

2.3 Процедура регуляризации................................................45

2.4 Результаты решения модельных задач при гладких распределениях коэффициента упругости основания...............50

2.5 Экспериментальное исследование напряженно -деформированного состояния газопровода...........................78

Глава 3. Некоторые родственные задачи идентификации...............84

3.1 Идентификация областей с нулевой реакцией основания.........85

3.2 Задача о декомпозиции систем нагрузок..............................92

Глава 4. Определение механического состояния плиты

взаимодействующей с неоднородным упругим основанием........102

4.1 Континуальная формулировка задачи................................102

4.2 Конечно-элементная модель системы..................................106

4.3 Метод численного решения задачи идентификации.................109

4.4 Результаты решения модельной задачи при одномерном

изменении коэффициента упругости основания....................114

4.5 Результаты решения модельной задачи при двумерном

изменении коэффициента упругости основания....................126

Основные результаты и выводы....................................................133

Приложение 1.............................................................................135

Литература................................................................................136

ВВЕДЕНИЕ

характеристик сопротивления оснований с использованием информации о геометрических изменениях (перемещениях и деформациях), получаемой при натурных обследованиях на отдельных этапах жизненного цикла конструкции или в процессах технического мониторинга.

В данной работе для получения устойчивых решений обозначенных выше проблем привлекается методология теории некорректных задач, что, в отличие от распространенных численных методов обработки данных, позволяет получать устойчивые и обладающие достаточной информативностью решения некорректных задач при неточной входной информации. При этом в работе делается акцент на разработке методов, не требующих больших объемов исходной информации и не накладывающих жестких ограничений на ее точность.

Разработка методов идентификации механического состояния и свойств

оснований конструкций с применением аппарата теории некорректных задач

является перспективным направлением для создания методик натурных

обследований и программного обеспечения систем технического мониторинга.

Цели и задачи. Следуя изложенному выше, формулируются цели данной работы:

В работе решены следующие задачи:

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно-деформированного состояния системы балка - неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

• задача идентификации свойств основания и реконструкции системы сосредоточенных внешних нагрузок;

• задача идентификации распределения коэффициента упругости основания и определения напряженно-деформированного состояния системы плита - неоднородное основание с использованием информации о прогибах;

Научная новизна.

дополнительных нагрузок, моделирующих влияние неоднородности основания.

Практическое значение:

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

• сравнительным анализом решений серии тестовых задач с эталонными решениями;

• сопоставлением решения с использованием данных натурных обследований с результатами тензометрии.

На защиту выносятся:

• Модификация метода регуляризации, позволяющая учитывать априорную информацию об искомом решении.

• XXIII международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов», Санкт-Петербург, 2009 г.

• Международная конференция «Металлические конструкции: прошлое, настоящее, будущее», посвященная 130-летию ЩШИПСК им.Мельникова, Москва, 2010 г.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и списка литературы.

В первой главе приводятся определения корректности задач, обзор современных методов решения некорректных задач, а также применение данных методов для решения физических задач. Рассмотрены метод квазирешений, метод Лаврентьева, метод Тихонова и его модификации, итеративные и статистические методы, приведены недостатки и достоинства данных методов. Приведен обзор работ по применению методов теории некорректных задач при решении практических задач механики твердого тела, математического программирования, обратных задач теплопроводности, задач акустики и физики полупроводников.

Во второй главе приведены континуальные и дискретные постановки

диссертационной задачи идентификации свойств основания системы «балка

- неоднородное упругое основание», как задачи об определении

дополнительных усилий. Описан разработанный итерационный алгоритм

решения поставленной математически некорректной задачи при любом

количестве неточных входных данных по прогибам. Исследована

устойчивость алгоритма решения при изменении погрешности входных

данных и их количества, при изменении соотношения жесткостей балки и основания. Проведен анализ результатов решения поставленной задачи с использованием предложенного алгоритма и методом сплайн-аппроксимации. Приведено сравнение результатов применения предложенного метода с результатами тензометрии участка трубопровода.

В третьей главе область применения алгоритма расширена на задачи идентификации свойств негладких упругих оснований с зоной нулевой реакции. Предложен метод определения размерности зоны нулевой реакции. Разработан метод решения задачи идентификации наряду с коэффициентом упругости основания сосредоточенных внешних нагрузок, действующих на балку на основе векторной регуляризации.

В четвертой главе приведены континуальные и дискретные постановки задачи идентификации свойств основания системы «пластина -неоднородное упругое основание», как задачи об определении дополнительных нагрузок. Для решения задачи идентификации применен описанный во второй главе алгоритм итеративной регуляризации. Предложены три модификации модели и алгоритма для решения задачи при малом количестве входных данных.

Основные выводы по отдельным главам обобщены в заключении.

1. Обзор методов теории некорректных задач и применений к задачам механики твердого тела

1.1. Корректность математических постановок задач механики

В данной работе рассматриваются задачи изгиба балок на упругом основании, удовлетворяющих гипотезе плоских сечений Бернулли [61], и тонких пластин на упругом основании, удовлетворяющих гипотезе Кирхгофа [7]. В прямой континуальной постановке решение задач данных типов сводится к дифференциальным уравнениям четвертого порядка относительно функции прогибов. Если рассматривать обратные задачи идентификации свойств систем по данным о распределениях прогибов, то в математической постановке они представляют собой интегральные уравнения с непрерывным ядром. При решении задач такого типа особое значение имеет ее корректность. Первое определение корректности принадлежит Адамару [72]: задача решения уравнения

А-и = /, (1.1)

где А: ИА с= V -»Р - оператор с непустой областью определения ИА, действующий из метрического пространства V в аналогичное пространство Р\ называется корректной, если выполнены условия:

1) 0,а - АРА - ^"(условие разрешимости);

2) Ащ = Аи2, щ, и2 е ИА влечет щ = и2 (условие единственности);

3) обратный оператор А'1 непрерывен на Р (условие устойчивости).

Обобщение понятия корректности по Адамару принадлежит А.Н.Тихонову [58]. Задача называется корректной по Тихонову, если

1) Априори известно, что решение и задачи (1) существует для некоторого класса данных из ^ и принадлежит заданному множеству М: й е М Ф 0;

2) Решение единственно в классе М;

3) Бесконечно малым вариациям правой части (1.1), не выводящим решение за пределы М, соответствует бесконечно малые вариации решения.

Вопросы некорректности задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений, общих краевых задач для дифференциально-операторных уравнений, а также способы ее преодоления рассматриваются в книге Иванова [33]. Вопросы преодоления некорректности интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого рода затрагиваются в работе Калиткина [34].

В работе Сизикова [55] приведена подборка большого количества физических задач компьютерной то�