Влияние внешних полей и ориентирующих поверхностей на упорядоченность и корреляционные свойства жидких кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Влияние внешних полей на равновесную ориентацион-ную структуру жидкого кристалла.

1.1. Описание упорядоченности НЖК тензорным параметром порядка.

1.2. Флуктуации тензорного параметра порядка.

1.3. Равновесная структура НЖК при Ха > 0.

1.4. Равновесная структура НЖК при Ха < 0. Двухосный аналог эффекта Керра и Коттона-Мутона.

1.5. Упругая энергия геликоидального жидкого кристалла в плоской ячейке во внешнем поле.

1.5.1. Условия равновесия.

1.5.2. Равновесная конфигурация жидкого кристалла в твист-ячейке при Н || z.

1.5.3. Случай жестких граничных условий.

Глава 2. Общий метод расчета корреляционной функции флук-туаций параметра порядка в плоско-параллельной ячейке.

2.1. Свободная энергия в жидкокристаллической ячейки во внешнем поле.

2.2. Общий метод для вычисления корреляционной функции в ячейке конечных размеров.

2.3. Явное выражение для корреляционной функции.

Глава 3. Флуктуации и рассеяние света в ограниченных образцах жидких кристаллов.

3.1. Корреляционная функция флуктуаций в смектиках-А.

3.2. Флуктуации в нематиках с гомеотропной ориентацией для Ха > 0 69 3.2.1. Нахождение корреляционной функции из задачи с граничными условиями третьего рода.

3.3. Случай гомеотропной ориентации для %а < 0.

3.3.1. Нахождение корреляционной функции из задачи с граничными условиями третьего рода.

3.4. Случай планарной ориентации.

3.5. Рассеяние света в ограниченной ячейке НЖК.

3.5.1. Гомеотропная ориентация.

3.5.2. Планарная ориентация.

Физика жидких кристаллов является одним из интенсивно развивающихся разделов физики в связи с их уникальными свойствами, связанными с тем, что они проявляют одновременно как свойства жидкостей, так и изотропных твердых тел. Одной из отличительных особенностей жидких кристаллов является их способность заметно изменять свою структуру за счет очень слабых внешних воздействий [1] . Этим в значительной мере обусловлено широкое практическое применение жидких кристаллов в системах отображения информации, медицинской диагностике, контрольно-измерительных устройствах и т.д. В последнее время особенно большое внимание уделяется исследованию поведения жидких кристаллов в малых объемах в связи созданием телевизоров на жидких кристаллах и дисплеев для персональных компьютеров.

Особую чувствительность проявляют жидкие кристаллы к внешним электрическим и магнитным полям и к ориентирующему воздействию ограничивающих поверхностей. Причина этого заключается в очень малой энергии ориентационного плавления и, как следствие, способности переориентировать длинные оси молекул в сравнительно слабых внешних полях. Это свойство v жидких кристаллов и лежит в основе многочисленных практических применений этих систем. Прежде всего это относится к возможности управлять оптическим свойствами жидких кристаллов — изменять направление оптической оси, плоскости поляризации, величины оптической анизотропии и т.д.

Внешние поля могут приводить как к пороговым изменениям ориентаци-онной структуры жидкого кристалла, например, в случае статического [1] и оптического [2, 3, 4] эффекта Фредерикса, когда в объеме под действием магнитного поля или поля световой волны скачком изменяется ориентация жидкого кристалла, так и к плавным изменениям ориентации жидкого кристалла. Они могут изменять шаг холестерической спирали [1] , степень упорядоченности системы [5], сдвигать точку фазового перехода и приводить к новым типам фазовых переходов [6, 7, 8].

Взаимодействие жидкого кристалла с внешним электрическим и магнитным полем зависит от знака анизотропии диэлектрической проницаемости, £а = £ц—■£±, или магнитной восприимчивости Ха = Х||~Х±> где £ц(Х||) и £±(х±) — восприимчивости соответственно вдоль и поперек направления директора. Жидкие кристаллы с положительными еа и Ха исследуются более часто. Для этих систем энергия минимальна, когда направления внешнего поля и ориентация директора совпадают. Системы с отрицательными еа и Ха встречаются реже [9, 10], и они исследованы значительно меньше, хотя в последнее время интерес к изучению жидких кристаллов с отрицательной анизотропией диэлектрической проницаемости и магнитной восприимчивости значительно возрос [6, 11, 12]. В таких системах директор стремится ориентироваться поперек поля, причем очень сильные поля могут заметно исказить их фазовую диаграмму [10].

Одним их эффектов, к которому приводят внешние поля является изменение степени упорядоченности ориентированного жидкого кристалла. В изотропных жидкостях и изотропной фазе жидкого кристалла это приводит, например, к хорошо исследованным эффектам Керра и Коттона-Мутона [13], состоящим в появлении оптической анизотропии под действием соответственно электрического и магнитного поля. Эти эффекты в сравнительно слабых полях пропорциональны квадрату приложенного внешнего поля и обусловлены слабой упорядоченностью в ориентации молекул или искажением молекулярной поляризуемости. Обычно описание этих эффектов проводится чисто феноменологически [13]. С точки зрения упругой энергии жидкого кристалла включение внешнего поля изменяет равновесное состояние системы, т.е. этот механизм является чисто термодинамическим.

В упорядоченной фазе помимо этого — термодинамического механизма изменения упорядоченности, существует еще один механизм — флуктуаци-онный. Он состоит в том, что степень упорядоченности может возрастать за счет подавления тепловых флуктуаций внешними полями. Экспериментально изменение упорядоченности во внешнем поле наблюдалось для систем как с положительной , так и отрицательной анизотропией диэлектрической проницаемости или магнитной восприимчивости. При этом в случае еа, Ха > О это приводит к возрастанию параметра порядка или связанных с ним величин, например, анизотропии показателя преломления. В случае еа, Ха < О картина более сложная — в системе меняется симметрия, и она, например, из одноосной переходит в двухосную [14, 15].

Теоретическое описание этих эффектов проводилось только в рамках простейших приближений: термодинамический механизм рассматривался для простейшего варианта модели Ландау-де Жена [1, 16], а флуктуационный — в одноконстантном приближении для энергии Франка [1]. Это позволяет качественно описать явление, но не допускает количественное сравнение теории с экспериментом. Поэтому представляет интерес провести последовательное описание флуктуационных и термодинамических вкладов в степень упорядоченности НЖК, учитывающее как тензорную природу параметра порядка, так и отличие модулей Франка друг от друга.

Равновесная структура жидких кристаллов в упорядоченной фазе чаще всего формируется за счет ориентирующего воздействия стенок кюветы. Особый интерес вызывает исследование твист-ячеек нематических жидких кристаллов и планарных слоев холестерических жидких кристаллов. В этих системах равновесная структура формируется за счет конкуренции между поверхностной энергией сцепления и объемной энергией ориентационной упругости. В последнее время к исследованию такого рода эффектов проявляется большой интерес. В частности, для закрученных ЖК, таких как ХЖК, был обнаружен ряд интересных эффектов таких как явление температурного гистерезиса в холестериках, скачки шага холестерической спирали и т.д. [17, 18, 19]. Вместе с тем, здесь существует целый ряд проблем, которые необходимо решить для последовательного описания структуры закрученных ЖК. Прежде всего, это касается построения системы уравнений, учитывающей возможность нарушения планарности ориентации как за счет слабой энергии сцепления, так и за счет внешних полей. Кроме того, представляется существенным исследование проблем устойчивости ХЖК и твист-ячеек НЖК и установление соотношения между параметрами системы в области потери устойчивости.

Способность жидких кристаллов в упорядоченной фазе значительно изменять свою ориентацию за счет очень слабых воздействий, т.е. очень высокая восприимчивость, приводит к тому, что в большинстве типов ЖК существуют очень сильные флуктуации ориентации [1]. Эти флуктуации оказывают очень сильное влияние на многие свойства ЖК. Это касается поведения системы в окрестности фазовых переходов [1, 20, 21, 22, 23, 24, 25], оптических свойств, и прежде всего рассеяния света [1, 26, 27, 28, 29, 30], формирования вязкоупругих коэффициентов [1], флуктуационного вклада в притяжение между стенками [31, 32, 33, 34] и т.д.

Существенной особенностью флуктуаций ориентации в ЖК является бесконечный радиус корреляции. В такой ситуации очень важную роль начинают играть факторы, которыми в большинстве других систем можно пренебречь. Это, в первую очередь, касается влияния внешних полей [1, 35, 36, 37], взаимодействия ЖК с ограничивающей поверхностью [24, 32, 35, 38, 39, 40, 41, 42], конечных размеров и формы образца [23, 32, 43, 44, 45].

Статистические свойства флуктуаций описываются с помощью пространственной корреляционной функции. Первые расчеты пространственных корреляционных функций флуктуаций в ЖК проводились для неограниченных нематических (НЖК) и смектических-А (СЖК-А) жидких кристаллов [46, 47]. Дальнейшее развитие этих исследований проходило в направлении расширения классов ЖК [1], типов флуктуаций [48, 49], учета динамических процессов [1], учета конечности системы и взаимодействия молекул ЖК с поверхностью [33, 50, 51, 52, 53, 54].

Наиболее существенные трудности для последовательных расчетов вызывает расчет корреляционных функций в конечных системах. Чаще всего рассматривается случай плоской ячейки. В работах [50, 51, 52] рассматривался простейший случай жестких граничных условий в НЖК. Корреляционная функция, полученная в этих работах, имела вид бесконечного ряда по собственным функциям системы. Более реалистичная модель нежестких граничных условий, описываемых потенциалом типа Рапини [55], рассматривалась в НЖК в [34, 53] и в СЖК в [54, 56]. При этом в работах [34, 53, 56] ответ удалось представить в замкнутой форме, а в [54] он имел вид ряда.

Следует, однако, отметить, что даже к решению проблемы вычисления пространственных корреляционных функций в конечных ЖК нет единого стандартного подхода. Здесь использовался метод разложения по собственным функциям [34, 50], метод континуального интегрирования [34], методы теории самосопряженных операторов [53, 56]. Фактически до сих пор отсутствует единый стандартный подход к решению таких задач. В каждой из указанных выше работ активно используются специфические особенности конкретной системы и ее геометрии. По этой причине до сих пор не решена, например, задача о флуктуациях в план арной ячейке НЖК за пределами од-ноконстантного приближения. Кроме того, в работах, посвященных изучению флуктуаций в конечных системах обычно пренебрегается влиянием внешнего поля. Одним из эффективных методов исследования флуктуаций в конечных ячейках ЖК является метод рассеяния света. Однако расчеты интенсивности рассеяния обычно проводятся в приближении оптически изотропной среды, что не позволяет извлекать информацию о параметрах жидкого кристалла с достаточно высокой точностью.

Диссертационная работа посвящена исследованию влияния внешних электрических и магнитных полей, а также ориентирующих поверхностей на структуру и корреляционные свойства жидких кристаллов с положительной и отрицательной анизотропией диэлектрический проницаемости и магнитной восприимчивости. Рассмотрены одноосные нематические и смектические-А жидкие кристаллы.

Работа построена следующим образом:

• В первой главе рассматривается влияние внешних полей и ограничивающих поверхностей на ориентационную упорядоченность и структуру нематических жидких кристаллов. При исследовании внешних полей рассматривается два механизма воздействия поля на структуру -термодинамический и флуктуационный для НЖК с положительной и отрицательной анизотропией восприимчивости. Расчеты термодинамического вклада проведены для тензорного параметра порядка в рамках расширенной модели Ландау - де Жена, оперирующей произвольной функцией инвариантов параметра порядка, а флуктуационного без использования одноконстантного приближения. Анализируются экспериментальные возможности наблюдения предсказываемых эффектов и, в частности, двухосного аналога эффекта Керра.

Влияние ориентирующих поверхностей на ориентационную структуру ЖК рассматривается для нематических жидких кристаллов в твист-ячейке и холестерических жидких кристаллов. Получена система нелинейных уравнений, описывающая пространственное распределение директора в НЖК и ХЖК. Найдено аналитическое решение этой системы для внешнего поля, направленного поперек ориентирующей поверхности. Показано, что эта система имеет в качестве одного из решений обычную планарную геликоидальную структуру, и найдены условия нарушения устойчивости этого состояния.

• Во второй главе диссертационной работы предлагается универсальный подход к вычислению корреляционных функций флуктуаций ориентации в ограниченных ЖК. Он объединяет подходы работ [34, 50, 53, 54, 56] и позволяет получать ответ в замкнутой форме. Этот подход основан на разбиении степеней свободы на объемные и поверхностные и сведении проблемы вычисления континуального интеграла для корреляционной функции к решению соответствующего уравнения Эйлера. Получено общее выражение для корреляционной функции многокомпонентного параметра порядка, которое пригодно для систем с квадратичной по параметру порядка объемной и поверхностной энергии.

• В третьей главе проведен детальный анализ пространственных корреляционных функций флуктуаций ориентации в ограниченных ячейках жидких кристаллов с учетом внешних полей и конечности энергии сцепления с ориентирующими поверхностями. Развитый во второй главе подход применяется для расчета корреляционных функций в плоско-параллельной ячейке НЖК с планарной и гомеотропной ориентацией и в ячейке СЖК-А в присутствии внешнего поля. Рассматривается случай, когда ориентирующее действие внешнего поля и ограничивающих поверхностей сонаправлены. Исследуются жидкие кристаллы с положительной и отрицательной анизотропией магнитной восприимчивости или диэлектрической проницаемости. Проведен анализ зависимости корреляционных функций от энергии сцепления и внешних полей. Показано, в частности, что корреляционная функция вблизи поверхности может быть как больше, так и меньше, чем в объеме. Для систем с отрицательной анизотропией внешнее поле существенно по-разному влияет на различные флуктуационные моды. Полученные результаты используются для расчета интенсивности рассеянного света в ячейке жидкого кристалла. Показано, что измерения угловой зависимости рассеянного света во внешних полях позволяют определять параметры жидкого кристалла и, прежде всего, энергию сцепления.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе докладывались на:

1. VIII международном симпозиуме «Colloid and molecular electrooptics», St.-Petersburg 1997,

2. Международной конференции «Optics of liquid crystals», Puerto Rico 1999,

3. Международной конференции «Physics of liquid matter», Kyiv 2001, и отражены в следующих побликациях:

1. A.Yu.Valkov and M.V.Romanov, The anisotropic analog of Kerr and Kotton-Muton effects in the ordered nematic liquid crystals with negative anisotropy, VIII International Symp. «Colloid and molecular electrooptics», Abstracts, St.-Petersburg 1997, c. 55.

2. A.Yu.Valkov and M.V.Romanov, Effect of external fields on director fluctuation of nematic liquid crystals in a finite cell, VIII International Symposium «Colloid and molecular electrooptics» , Abstracts, St.-Petersburg 1997, c. 56.

3. M.V.Romanov, V.P.Romanov and A.Yu.Valkov, Effect of external field and surfaces on director correlation function in nematic liquid crystals, International Conference «Optics of liquid crystal», Abstracts, Puerto Rico, 1999, p.243.

4. A.Yu.Valkov and M.V.Romanov, The anisotropic analog of Kerr and Kotton-Muton effects in the ordered nematic liquid crystals with negative anisotropy, Colloid and Surfaces 148, 179-187 (1999).

5. M.V.Romanov and A.Yu.Valkov, Fluctuations and scattering of light in liquid crystals in confined cells, Abstracts of International Conference «Physics of liquid matter. Modern Problem», Kyiv, Abstracts 2001, p.133.

6. M.V.Romanov, V.P.Romanov and A.Yu.Valkov, Effect of external field and surfaces on director correlation function in nematic liquid crystals, Mol. Cryst. and Liq. Cryst. 359, 365-378 (2001).

7. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, М.В.Романов, Флуктуации в ограниченных ячейках жидких кристаллов во внешнем поле, ЖЭТФ 120, с. 389-408 (2001).

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

• Показано, что в одноосных НЖК с отрицательной анизотропией диэлектрической проницаемости или магнитной восприимчивости возникает двухосный аналог эффектов Керра и Коттона-Мутона — во внешних полях система приобретает малую стимулированную двухосность.

• Рассмотрены два механизма возникновения этой двухосности: термодинамический и флуктуационный.

• Построена и решена в аналитической форме система уравнений для равновесного распределения директора в твист-ячейке НЖК и ХЖК с мягкими граничными условиями.

• Предложен общий метод вычисления корреляционных функций флуктуаций в ограниченных системах с мягкими граничными условиями, основанный на разделении поверхностных и объемных степеней свободы.

• Построены явные выражения для корреляционной матрицы и показано, что подходы, сводящие задачу к решению систем дифференциальных уравнений с граничными условиями первого и третьего рода эквивалентны.

• Вычислены корреляционные функции флуктуаций в конечной ячейке для смектического жидкого кристалла и нематического жидкого кристалла в присутствии внешнего поля. Рассмотрены случаи гомеотроп-ной и планарной ориентации НЖК для положительной и отрицательной анизотропии.

• Рассчитана интенсивность рассеяния света на флуктуациях директора в ячейке нематического жидкого кристалла. Показано, что полученные в диссертации выражения для корреляционных функций флуктуаций ориентации позволяют находить элементы матрицы, определяющий энергию сцепления молекул ЖК с ориентирующий поверхностью, из данных по угловой и поляризационной зависимости интенсивности рассеяния.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Алексею Юрьевичу Валькову за постоянное внимание и помощь в работе, а также преподавателям и сотрудниками кафедры статистической физики СПбГУ, на которой выполнялась диссертация, за неизменную поддержку.

1. P.G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid Crystals (Clarendon Press, Oxford, 1993).

2. А.С.Золотько, В.Ф.Китаева, H.Kpoo, и др., Письма в ЖЭТФ 32, 170 (1980).

3. Б.Я.Зельдович, Н.В.Табирян, ЖЭТФ 79, 2388 (1980).

4. H.L.Ong, Phys. Rev. А 28, 2393 (1983).

5. J.C.Flipini, Phys. Rev. Lett. 39, 150 (1977).

6. I.Lelindis, G.Duran, Phys. Rev., E 48, 3822 (1993).

7. I.Lelindis, G.Duran, Phys. Rev. Lett. 73, 672 (1994).

8. P.Ribiere, S.Pirkl, P.Oswald, Phys. Rev. A 44, 8198 (1991).

9. W.H.de Jeu, Physical Properties of Liquid Crystalline Materials, Gordon and Breach Sci. Publ., New York, 1980.

10. С.А.Пикин,Структурные превращения в жидких кристаллах, Москва: Наука, 1981.

11. F.Xu, H.S.Kitzerow, P.P.Crooker P.P., Phys. Rev., A 46, 6535 (1992).

12. Halle Bertil, Liq. Cryst., 17, 756 (1994).

13. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Электр о динамика сплошных сред, Москва: Наука, 1992.

14. A.Seppen,J.Maret, A.J.M.Jensen, P.Wyder, J.J.M.Jansen, W.H. de Jue, Springer Proceeding in Physics 11, 18 (1986).

15. D.A.Dunmur, K.Szumilin, T.F. Water worth, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 149, 385 (1987).

16. P. de Gennes, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 12, 193 (1971).

17. H.Zink and V.A.Belyakov, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 265, 445 (1995).

18. Г.Цинк, В.А.Беляков, Письма в ЖЭТФ 63, 37 (1996).

19. В.А.Беляков, Е.И.Кац, ЖЭТФ 118, 560 (2000).

20. T.Bellini et. al. Phys. Rev. Lett. 69, 788 (1992).

21. N.A.Clark et. al. Phys. Rev. Lett. 71, 3505 (1993);

22. F.M.Aliev, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 243, 91 (1994).

23. A.Poniewierski and A.Samborski, Phys. Rev. E 53, 2436 (1996).

24. P.Ziherl, A.Sarlah, and S.Zumer, Phys. Rev. E 59, 602 (1998).

25. B.Alkhairalla, H.Allinson, N.Boden, S.D.Evans, and J.R. Henderson, Phys. Rev. E 59, 3033 (1999).

26. S.Sprunt, M.S.Spector, and J.D.Litster, Phys. Rev. A 45, 7355 (1992).

27. R.Hall,K.Miyachi, D.Newton, H.Takezoe, and A.Fukuda, Jpn. J. Appl. Phys. 31, 329 (1992).

28. T.Bellini, N.A.Clark, and D.W.Schaefer Phys. Rev. Lett. 74, 2740 (1995).

29. S.Stallinga, M.M.Wittebrood, D.H.Luijendijk, Th.Rasing, Phys. Rev. E 53, 6085 (1996).

30. A.N.Shalaginov, Phys. Rev. E 53, 3623 (1996).

31. H.Li and M.Kardar, Phys. Rev. Lett 67, 3275 (1991).

32. H.Li, M.Paczuski, K.Kardar, and K.Huang, Phys. Rev. В 44, 8274 (1991).

33. A.Adjari, L.Peliti, and J.Prost, Phys. Rev. Lett. 66, 1481 (1991).

34. A. Ajdari, B. Duplantier, D. Hone, L. Peliti, J. Prost, J. Phys. II (France) 2, 487 (1992).

35. D.Kang and C.Rosenblatt, Phys. Rev.E 53 , 2976 (1996).

36. S.Matsumoto, M.Houlbert, T.Hayashi, and K.Kubodera, Appl. Phys. Lett. 69, 1044 (1996).

37. L.Vicari, Phys. Rev. E 58, 3280 (1998).

38. O.D.Lavrentivich, Phys. Rev. A 46, R722 (1992).

39. Yu.Panarin, S.T.Mac Lughadha, and J.K.Vij, Phys. Rev. E 52 , R17 (1995).

40. B.Cull, Y.Chi, and S.Kumar, Phys. Rev. E 51, 526 (1995).

41. R.E.Kraig, P.L.Taylor, R. Ma, D. Yang, Phys. Rev. E 58, 4594 (1998).

42. U.Kuhnau, A.G.Petrov, G.Klose, and H.Schmiedel, Phys. Rev. E 59, 578 (1999).

43. R.J.Ondris-Crawford, G.P.Crawford, S.Zumer, and J.W.Doane, Phys. Rev. Lett. 70, 194 (1993);

44. L.Limat and J.Prost, Liq. Cryst. 13, 101 (1993);

45. M.Ambrozic and S.Zumer, Phys. Rev. E 59, 4159 (1999).

46. P.G. de Gennes, C.R.Acad. Sci. Paris 266, 15 (1968);

47. P.G. de Gennes, J. Phys. (Paris) Colloq. 301 (Suppl. C4) 65 (1969).

48. В.Л.Покровский, Е.И.Кац, ЖЭТФ 73, 774 (1977);

49. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, ЖЭТФ 83, 1777 (1982).

50. Б.Я.Зельдович, Н.В.Табирян, ЖЭТФ 81, 1788 (1981).

51. Т.Я.Марусий, Ю.А.Резников, В.Ю.Решетняк, М.С.Соскин, А.И.Хижняк, ЖЭТФ 91, 851 (1986).

52. К. Eidner, М. Lewis, Н.К.М. Vithana, D.L. Johnson Phys. Rev. A. 40, (1989) 6388.

53. В.П.Романов, А.Н.Шалагинов, ЖЭТФ 102, 884 (1992).

54. A. Poniewierski, A. Holyst, Phys. Rev. В 47, 9840 (1993).

55. A. Rapini, M. Popoular, J. Phys. (Paris) Colloc. 30, C4-54 (1969).

56. A.N.Shalaginov and V.P.Romanov, Phys. Rev. E 48, 1073 (1993).

57. А.З.Паташинский, В.Л.Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходов, Москва: Наука (1982).

58. Ю.А.Изюмов, В.Н.Сыромятников, Фазовые переходы и симметрия кристаллов, Москва: Наука (1984).

59. M.J.Stephen, J.P.Straley, Rev. Mod. Phys., 46 (1974) 617.

60. П.Б.Вигман, А.И.Ларкин, В.М.Филев, ЖЭТФ 68, 1883 (1975).

61. Р.Л.Стратонович, ЖЭТФ 70, 1290 (1976).

62. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, ЖЭТФ 83, 1777 (1982).

63. С.Чандрасекар, Жидкие кристаллы, Москва: Москва (1980).

64. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Статистическая физика, ч. 1. Наука, Москва (1976).

65. Л.В.Аджемян, Л.Ц.Аджемян, А.Ю.Вальков, Л.А.Зубков, И.В.Мельник, В.П. Романов, ЖЭТФ 87, 1244 (1984).

66. E.F.Gremsbergen, L.Longa, W.H. de Jeu, Phys. Rep. 135, 195 (1986).

67. М.А.Анисимов, Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах Москва: Наука (1987).

68. А.Ю.Вальков, В.П.Романов ЖЭТФ 90, 1264 (1986).

69. А.Ю.Вальков, В.П.Романов, А.Н.Шалагинов, УФН 164, 149 (1994).

70. Р.Фейнман, Статистическая механика, Москва: Мир, (1978).

71. Л.М.Блинов, Е.И.Кац, А.А.Сонин, УФН 152, 449 (1987).

72. В.В.Матвеенко, Е.А.Кирсанов, Поверхностные явления в жидких кристаллах, Москва: МГУ (1991).

73. A.Yu.Val'kov and M.V.Romanov, Colloid and Surfaces A 148, 179 (1999).

74. M. Lax, D.F. Nelson In Proc. of the 3rd Rochester Conf. on Coher. and Quant. Opt. Ed. by L. Mandel and E. Wolf, New York: Plenum, 1973. P. 415.

75. Л.С.Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва: Наука (1974).