Влияние жизненного цикла заряда твердого топлива на движение неуправляемого реактивного снаряда тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Андреев Александр Иванович

ВЛИЯНИЕ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА ЗАРЯДА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА НА ДВИЖЕНИЕ НЕУПРАВЛЯЕМОГО - РЕАКТИВНОГО СНАРЯДА

01.02.04.Механика деформируемого твердого тела

01.02.06. Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссетриции на соискании ученой степени доктора технических наук

Орел-2004

Работа выполнена в Орловском государственном техническом университете и Тульском государственном университете

Научные консультанты: доктор физико-математических наук, доцент

Желтков Владимир Иванович; доктор физико-математических наук, доцент Шоркин Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Шардаков Игорь Николаевич; доктор технических наук, профессор Швыкин Юрий Сергеевич; доктор технических наук, профессор Чернышев Владимир Иванович

Ведущее предприятие — Тульское Государственное унитарное

научно-производственное предприятие "Сплав"

Защита состоится "_ .2004 г. в. /3 часов, на заседании

диссертационного совета Д 212.182.03 при Орловском государственном техническом университете по адресу: 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Орловского государственного технического университета.

Автореферат разослан

„/3 » ал сь^р

.2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.И. Борзенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время большое внимание уделяется развитию ракетных двигателей. Это объясняется тем, что они позволили создать ракетное оружие практически неограниченной, в пределах земного шара, дальности действия. Ракетное оружие на твердом топливе зарекомендовало себя как маневреннее, обладающее высокой скорострельностью, отличающейся простотою устройства и обслуживания и, в то же время, как грозное тактическое средство ведения массированного огня.

Ракеты с РДТТ практически всегда готовы к немедленному старту, в то время как подготовка к запуску ракет с другими видами топлива занимает определенное время. К достоинствам РДТТ можно отнести и простоту конструкции, В двигателях твердого топлива форма и размеры топливного заряда наряду с характеристиками самого топлива по скорости горения определяют основные параметры двигателя. Благодаря возможности длительного хранения в снаряженном состоянии РДТТ может находиться неограниченное время как на стартовой позиции независимо от времени года и атмосферных условий, так и на стационарных складах в определенном интервале температур. Это важное качество характерно ещё и тем, что РДТТ можно транспортировать на любые расстояния, что придает таким видам ракет мобильность, которое весьма важно с точки зрения тактики их применения.

Наряду с достоинствами РДТТ нужно отметить и некоторые отрицательные факторы, связанные с физической природой твердых топлив, Заряд твердого топлива (ЗТТ) ракетных двигателей представляет собой типичный высокоэластичный материал, обладающий реологическими (временными) свойствами - ползучестью и релаксацией: Поэтому для нормального функционирования РДТТ определяющим является напряженно-деформированное состояние (НДС) его заряда твердого топлива.

Так как твердые топлива (ТТ) РДТТ НРС являются гомогенными полимерами или композитами с полимерной матрицей, им присуши следующие основные свойства:

• относительно невысокие жесткости;

• невысокая прочность;

• существенная зависимость механических характеристик от температуры;

• эффекты памяти, то есть зависимость характеристик НДС в момент наблюдения от истории деформирования и нагружения.

Поэтому для нормального функционирования РДТТ, определяющим является напряженно-деформированное состояние (НДС) заряда твердого топлива . Известно, что скорость горения топлива зависит от НДС: в зоне с преобладающими деформациями растяжения скорость горения возрастает по отношению к скорости горения недеформированного заряда; в зоне с преобладающими деформациями сжатия убывает - это приводит к отклонению формы поверхности горения от расчетной, к изменению профиля тяги. Другим важным фактором является изменение формы заряда при хранении, обусловленным явлениями ползучести. При этом возможны изменения проходных сечений, которые могут привести к аномальному горению

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА СПтрв г ¿У<7 05 «т^и

зволяющим определить предельные условия нормального горения, можно считать параметр Победоносцева - отношение поверхности горения к площади свободного прохода для продуктов сгорания топлива. Этот чисто геометрический фактор очевидным образом определяется формой ЗТТ к моменту воспламенения. Датпшй вывод подтверждается литературными данными по анализу некоторых аварийных ситуаций. Третьим фактором следует считать различные случаи разрушения - появление трещин в теле заряда, отслоение бронировки, отслоение от скрепленного с зарядом корпуса, накопление повреждений в теле ЗТТ при циклических нагрузках, характерных для транспортировки РС. Помимо этого, экспериментальцо установлена возможность самовоспламенешы ТТ при динамических нагрузках. Очевидно, что появление трещин приводит к появлению дополнительных нерасчетных составляющих поверхности горения, к увеличению давления в камере сгорания и, как следствие - к разрушению РДТТ.

Как отмечалось выше, одним из важнейших средств тактического ракет-но-артиллершЧского вооружения являются реактивные системы залпового огня (РСЗО). Среди них значительную долю составляют системы малых калибров, отличающихся использованием неуправляемых реактивных снарядов. Малая стоимость, простота в изготовлении и эксплуатации определили их широкое применение для решения специальных задач на малых и средних дальностях. Применение высокоэнергетических топлив позволяет достичь больших дальностей, но при этом характеристики технического рассеивания РС должны быть существенно улучшены. Одной из существенных составляющих рассеивания является массовый эксцентриситет ЗТТ в силу достаточно высокой относительной массы топлива (~0.3). Упомянутые выше свойства ТТ (малая жесткость и ползучесть) приводят к тому, что в процессе хранения технологический массовый эксцентриситет увеличивается за счет деформаций заряда при хранении и транспортировке и, соответственно, увеличивается и техническое рассеивание. Вследствие этого прогноз кучности стрельбы должен включать в себя и определение положения центра масс ЗТТ перед пуском с учетом предыдущих операций хранения и транспортировки.

Вышесказанное позволяет сформулировать крупную научно-техническую проблему анализа напряженно-деформированного состояния заряда твердого топлива РДТТ НРС в процессе хранения, транспортировки, в полете и его влияние на внешнебаллистические характеристики конца активного участка полета с целью выявления возможностей снижения технического рассеивания, повышения прочности и эффективности использования неуправляемых реактивных снарядов за счет конструкторских и организационных мероприятий, решение которой позволяет дать научно-обоснованные рекомендации по внедрению, вносящих значительный вклад в повышении обороноспособности.

Следует отметить, что в силу относительно невысокой жесткости твердого топлива деформации заряда могут быть значительными в том смысле, что квадратами деформационных градиентов нельзя пренебрегать по сравнению с их первыми степенями. Но тогда суперпозиция деформированных состожшй,

достигнутых отдельно при хранении, транспортировке и в полете, некорректна, и необходимо рассматривать весь процесс эксплуатации, начиная от момента изготовления заряда ТТ, включая промежуточные хранения, транспортировки и процесс горения. В дальнейшем такой процесс будем называть жизненным циклом заряда ТТ, а его составные элементы - этапами жизненного цикла.

Существующие методики прочностных и жесткостных расчетов РДТТ, как правило, рассматривают основные случаи нагружения РДТТ - отдельно при работе двигателя, отдельно - при хранении, отдельно - при транспортировке. На наш взгляд, это недопустимо в силу особенностей физической природы твердого топлива: необходимо рассматривать не отдельные состояния, не влияющие друг на друга, а весь процесс в целом.

Цель работы: разработка универсальных методов получения напряженно - деформированного состояния ЗТТ и методов решения краевых задач с подвижными границами для прогноза поведения заряда НРС в условиях различных этапов жизненного цикла, которые послужат научной основой для обеспечения эффективности функционирования НРС.

Цель работы определила следующие задачи исследования:

1. Разработка методов решения задач статики и динамики вязкоупругих тел, соответствующих этапам жизненного цикла ЗТТ:

- квазистатической задачи при конечных деформациях (этап хранения);

- динамической задачи при стохастических нагрузках (этап транспортировки);

- динамической задачи с подвижными границами (этап горения).

2. Разработка метода триангуляции трехмерных областей с границами нетривиальной формы.

3. Анализ НДС заряда в различных условиях хранения и транспортировки с целью определения его начального состояния перед стартом НРС.

4. Разработка метода решения задачи внешней баллистики для НРС, имеющего эксцентриситет массы, обусловленный технологией изготовления и сборки, а также накопленный в процессе хранения и транспортировки.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели ЗТТ, обеспечивающие вычисления геометрических и массовых интегральных характеристик его деформированного состояния при внешних воздействиях, соответствующих реальным условиям эксплуатации.

2. Математическая модель деформирования ЗТТ в полете с учетом изменения его формы в процессе выгорания.

3. Математическая модель движения НРС на активном участке траектории (АУТ), учитывающая эксцентриситеты за счет деформаций ЗТТ и технологических допусков.

4. Результаты анализа влияния условий хранения и транспортировки НРС на баллистические параметры конца АУТ и рекомендации по компенсации массовых несовершенств.

Научная новнзпа. Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

• рассмотрены массовые несовершенства зарядов твердого топлива РДТТ НРС, позволяющие изучить закономерности влияния массового эксцентриситета на характер изменения во времени поперечных возмущений угловой скорости, которые являются одними из основных факторов, определяющих техническое рассеивание НРС, что позволяет с достаточной степенью точности прогнозировать поведение НРС на АУТ.

- разработан алгоритм анализа напряженно-деформированного состояния ЗТТ при статических, динамических и стохастических нагрузках, учитывающие большие деформации и реологические свойства ТТ;

- разработан эффективный алгоритм триангуляции трехмерной области, применение которого позволяет решать задачи с подвижными границами.

Практическая ценность работы заключается в создагаш универсальной и эффективной компьютерной методики, позволяющей производить анализ квазистатических (хранение) и динамических(транспортировка) состояний ЗТТ НРС, движения деформированного ЗТТ неуправляемого PC на активном участке. Её применение к анализу жизненного цикла НРС малого калибра позволило сформулировать рекомендации по снижению эксцентриситета и, вследствие этого - снижение одного из основных факторов, обуславливающих боковое рассеивание.

Достоверность научных результатов обусловлена применением фундаментального математического аппарата, результатами численных экспериментов, которые сравнимы с реальными экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные положения и результаты докладывались и обсуждались на Х...ХП Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1995... 1999 гг.); на III ... V Всесоюзных конференциях "Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов" (Юрмала - 1983... 1989 гг.); на П Всесоюзной конференции "Ползучесть в конструкциях" (Новосибирск, 1984); на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением" (Пермь, 1990 г.); на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации"(Тула, 1990 г.); на Всероссийской конференции по надежности механических систем (Самара, 1995г.); на Международном симпозиуме "Моделирование и критерии подобия в процессах развитого пластического формоизменения"(Орел, 1996 г.); на 6-ой межвузовской научной конференции "Математические модели и краевые задачи"(Самара, 1996 г); на XV]TT международной конференции по оболочкам и пластинкам(Саратов, 1997 г.); на 7-ой межвузовской научной конференции "Математические модели и краевые задачи"(Самара, 1997 г); па Всероссийской школе механиков(Воронеж, 1998 г.); на XVI Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург, 1998 г.); на Всероссийской конференщпГСовременные

проблемы математики, механики, информатики"(Тула, 2000 г.).

. Публикации. _ -

Основное содержание диссертации опубликовано в 30 печатных работах.

Структура и объем диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, использованных источников (217 наименований). Работа содержит 145 стр. машинописного текста, 56 рисунков, 5 таблиц; общий объем диссертации 185 стр.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Жизненный цикл разбит на следующие этапы:

хранения, начинающийся с момента окончания последней технологической операции: это внутризаводское хранение и хранение на складах различного уровня.;

транспортировка на заводские склады и склады различного уровня, отличающаяся высоким уровнем случайных воздействий, обусловленных скоростями транспортных средств, вибрациями от профиля дороги, по которому движется ЗТТ совместно с РДТТ;

горение заряда ТТ, который характеризуется высоким уровнем продольных и поперечных воздействий.

Анализ этапов жизненного цикла с точки зрения внешних воздействий на заряд ТТ позволяет сформулировать специфические требования к математическим моделям. Важным фактором является изменение формы заряда при хранении, обусловленном явлениями ползучести. При этом возможны изменения проходных сечений, приводящие к созданию условий для аномального горения, поэтому возникает необходимость прогнозирования поведения заряда РДТТ в широком диапазоне условий эксплуатации, а особенно в экстремальных условиях, что привело к применению геометрически нелинейной теории вязкоупругости, так как допущения о линейности свойств существенно ограничивали область использования расчетов.

Обращаясь к нелинейной механике сплошной среды, необходимо использовать польностью нелинейные подходы к кинематически аспектам проблемы , причем применяемые частные меры деформации должны иметь требуемые координатно-инвариантные характеристики в смысле независимости описаний физических процессов от системы отсчета. Это требование называют принципом объективности. Хорошо зарекомендовала себя общая теория нелинейная и кубическая теории, предложенные АА. Ильюшиным. Они применимы к материалам, в которых нелинейные эффекты возникают при малых деформациях (то есть квадратами деформаций можно пренебречь по сравнению с первыми степенями в пределах заданной точности ). Малость деформаций, при которых возникают нелинейные эффекты в физически нелинейных материалах, позволяет удерживать нелинейные члены лишь в физических соотношениях вязкоупругости.

Однако существуют такие материалы, для которых соотношения между напряжениями п деформациями линейны и при конечных деформациях; нелинейные эффекты обусловлены лишь величиной деформаций, квадраты которых соизмеримы с линейными членами. В этом случае важным является вопрос о характеристиках напряженного состояния, так как существенная разшща в геометрии недеформированного и деформированного состояния приводит к необходимости вводить различные меры напряжений, которые затем используются при выводе основных соотношений. К таким материалам относят ТТ.

Интегральным параметром, позволяющим определять предельные условия нормального горения, следует считать параметр Победоносцева -отношение поверхности горения к площади свободного прохода для продуктов сгорания топлива. Этот чисто геометрический фактор очевидным образом определяется формой ЗТТ к моменту воспламенения. Другим фактором следует считать различные случаи разрушения - появление трещин в теле заряда, отслоение бронировки, отслоение от скрепленного с зарядом корпуса. Критерием разрушения твердого топлива является достижение предельных величин деформации, которые определяются опытным путем.

Процедура решения таких задач существенно опирается на триангуляцию -применение метода конечного элемента - с широким использованием ЭВМ.

В настоящее время • имеется много публикаций,- посвященных этому вопросу. Например, используются нелинейные геометрические соотношения-Коши-Грина, принцип возможных перемещений и физические соотношения Мурнагана. Даются уравнения равновесия для конечного элемента для потенциалов Трелоара, Муни, Бартенева-Хазановича и Черных.

Метод конечного элемента для решения задач был использован ВАПостновым и ИЛ.Хархуримом (в одномерном постановке), М.А. Колтуновым, И.Е. Трояновским, Дж. Оденом и другими российскими и зарубежными учеными.

При помощи метода конечного элемента получается количественная информация о напряженно-деформированном состоянии заряда твердого топлива РДТТ в процессе хранения, транспортировки, полете и его влияние па внешнебаллистические характеристики конца активного участка полета

В первом разделе описывается назначение, базовые конструкции РДТТ, конфигурашш ЗТТ, физико-механнческие свойства, этапы жизненного цикла ЗТТ. Обосновываются требования к математическим моделям анализа НДС ЗТТ.

анализируются конструктивные схемы РДТТ, условия их эксплуатации в составе ракет различных классов.

Охарактеризованы механические и физические свойства твердых топлив. Отмечается, что ТТ представляют собой типичные высоконаполненные полимеры, наполнителем в которых служат твердые неорганические частицы окислителя, а в качестве связующего горючего применяются различные органические полимерные материалы. Кроме того, в топливе вводится

незначительное количество различных добавок, которые позволяют изменять в определенных пределах механические свойства топлива, а также регулировать скорость горения.

Понятие жизненного цикла ЗТТ определяется последовательностью эксплуатационных операций, производящихся с РДТТ и его ЗТТ, начшгая с момента его изготовления и до полного выгорания, то есть до завершения работы двигателя. Отдельные этапы - операции, производимые с зарядом, подразделяются на три основных типа: хранение, транспортировка и горение (работа РДТТ). Последний этап является основным; ради него создается и ЗТТ, и РДТТ. Поэтому состояние ЗТТ на основном этапе определяет надежность Л А. Но, в силу отмеченных ранее свойств ТТ, характерных для полимеров, особенно эффектов памяти, основное состояние будет зависеть от всего жизненного цикла, то есть от последовательности операций, производимых с ЗТТ в период от изготовления до выгорания. Рассмотрим особенности каждого из этапов с точки зрения воздействия на ЗТТ.

Этап хранения отличается стационарными воздействиями на ЗТТ. Это в основном собственный вес ЗТТ и соединенных с ним элементов конструкции РДТТ. Так как твердые топлива представляют собой полимеры с ярко выраженными реологическими свойствами (деформации ползучести достигают 25 - 30 % от основной деформации), то в процессе хранения неизбежны. деформации ползучести. Так как условие устойчивой работы РДТТ включает в себя соотношения между поверхностью заряда ТТ и площадью прохода продуктов горения, то искажения формы заряда за счет ползучести при хранении могут привести к нарушению проектного соотношения размеров и ненормальной работе (отказе) РДТТ. Отсюда следует, что при проектировании и эксплуатации РДТТ неотъемлемой частью должен являться анализ и прогноз деформированного состояния ЗТТ в условиях длительного хранения при нагрузках (детерминированных и статических), действующих па заряд ТТ.

Другим этапом жизненного цикла заряда ТТ является транспортировка вместе с летательным аппаратом: на внутризаводской склад после окончания технологических операций; на склады основного хранения. Основной особенностью его является значительная случайная составляющая внешних нагрузок, обусловленных высокими скоростями движения транспортных средств, вибрациями от работающих двигателей ПУ, ударами при попадании пуль и осколков. Они могут привести к отклонению геометрических, физико-механических и энерготехнических характеристик РДТТ, что опять приведет к его неправильной работе

Полет ЛА с зарядом ТТ, как уже упоминалось, является основным и последним этапом жизненного цикла.

Площадь и форма поверхности горения ЗТТ выбирается такой, чтобы давление в камере сгорания сохранялась постоянным до момента прекращения силы тяги на летательный аппарат или изменялось по заданному закону. В связи этим становится актуальным сохранение геометрической формы поверхности ЗТТ на двух предыдущих этапах жизненного цикла РДТТ.

Особенностью нагрузок на этом этапе является высокая интенсивность массовых сил при разгоне ракеты, причем преимущественная их ориентация -вдоль продольной оси, так как на участке разгона ракеты, как правило, не выполняются маыевры наведения. Вместе с тем при работе двигателя возникает давление газов, переменное по длине заряда. Если пренебречь пульсациями давления за счет неоднородности газового потока и т.п., то в действии давления можно выделить два основных периода - выход на режим и квазистационарный. Сброс давления в конце работы РДТТ можно не рассматривать, так как к этому моменту ЗТТ уже не существует. Проводимый анализ служит основанием для формулировки требований к математически моделям НДС ЗТТ РС РС3О.

Во втором разделе описываются определяющие соотношения для термо - вязкоулругих тел при конечных деформациях. Предлагается вариационная постановка геометрически нелинейных квазистатических и динамических задач вязкоупругости с использованием метода модального разложения в сочетании с интегральным преобразованием Фурье, позволяющих решить задачи хранения, транспортировки и полета ракеты, имеющие в своем составе двигательные установки с зарядом ТТ.

За характеристику деформированного состояния примем тензор конечной деформации Коши-Грина:

2E^t) = Vll■^uV+Vu «V. О)

и постулируется существование линейно- наследственых соотношений между тензором Коши-Грина и вторым тензором Пиола — Кирхгоффа, причем температура считается не зависящей от деформации параметром:

.¡ЩГ-О-'1'

в(0 =

-1Н(/'-г')~Л</0(г). О

(2)

изменение временной

где А - тензор коэффициентов температурного расширения, 0-абсолютной температуры, приведенное по температурно -аналогии.

Построенные выше определяющие соотношения удовлетворяют общим принципам инвариантности, кинематической и термодинамической согласованности, экспериментальной контролируем ости.

При решении задач анализа состояний ЗТТ, применяя метод конечных элементов, будем иметь вместо уравнений равновесия вариационное уравнение Лагранжа с учетом сил инерции, записанное в отсчетной конфигурации:

(3)

Зависимость векторов массовых и поверхностных сил от времени подразумевается в смысле сохранения их направления и изменения величины по заданному закону. Таким образом, в число внешних воздействий входят

массовые и мертвые поверхностные нагрузки, а также нестационарное и неоднородное поле температуры. В рассмотренной математической модели предполагалось, что механические и реологические свойства, а также кинематические краевые условия неизменны в процессе деформирования.

Далее рассматриваются математические модели этапов жизненного цикла, построенных на вышеописанных определяющих уравнениях.

Состояние ЗТТ при хранении характеризуется статическим приложением нагрузок - собственный вес. Рассмотрим два соседних состояния: основное, в момент времени t, и смежное с ним, в момент времени / =/ + Д/. Первое характеризуется полем перемещений u(t)t нагрузками kf, температурой 0(/) и тензорами деформаций E(t) и напряжений S(t)'y все они предполагаются известными. Второе характеризуется полем перемещений и(Г + Д/) = и(0+Ди(0» (4)

нагрузками

к{1+AI) = к{1)+М(/);/° (/+А/) = f° (0+АГ" (0, (5)

температурой

6(f+Ai)=e(f)+Äe(0, (6)

тензором деформаций

E#+At)=E(t)+AE(t)=E(r)+V(Au)+(to)V+Цйи) ■ ÜV+ V« • (/Su)V+

Приращение Ai выбрано так, что норма подчеркнутого слагаемого в формуле (7) пренебрежимо мала по сравнению с остальными; тогда приращение тензора деформаций можно считать линейное относительно приращения перемещений:

AE=V(AH)+(AH)V+VH(Aii)V+V(AII>IIV. (8)

Для этого состояния вариационное уравнение (3) удобно записать в приращениях, пренебрегая квадратами градиентов приращений перемещений:

9)

Здесь нижний индекс показывает номер шага, N принадлежит моменту наблюдения, п - предыдущему шагу. Подразумевается, что шаг определен как интервал времени л=0,1... — номера расчетных моментов времени. Из

(9) видно, что для каждого шага имеем линейную задачу. Расположение расчетных моментов времени выбирается произвольно.

Динамический характер нагрузок на этапах транспортировки и горения ТТ требует учета инерционных сил, т. е. применения динамических моделей; модель заряда ТТ должна быть универсальной по отношению к характеру нагружения и начальным условиям; результаты расчета на предыдущем этапа

должны быть начальными условиями последующего этапа. Вектор перемещения представим разложением по формам свободных колебаний:

«(Л/) = !>Л(')АЛ(Г)=№ (10)

П=1

где матрица Н составлена из векторов форм свободных колебаний (мод) h как из столбцов, а - вектор коэффициентов разложения (модальные коэффициенты). Подставляя (10). в (1), получим выражение для тензора -конечной деформации через моды колебаний и модальные коэффициенты:

V / .. V У

Примем, что определено конечное число мод и соответствующих им частоты свободных колебаний. Тогда в (11) неизвестными остаются только модальные коэффициенты. Для их определения используем принцип стационарности потенциальной энергии системы, добавив в число действующих массовых сил силы инерции и считая, что вариация потенциальной энергии деформации может быть представлена в виде:

Ш -¡¿а • р{к - -¡¿а • /ск = 0,

(12)

где / - поверхность тела и вектор поверхностной силы в отсчетной конфигурации. Используя модальное разложение (10), преобразуем (12):

-¿Ь> - Т)ак(т)с1г - 12>,(/)}с^(/ - -

р-1

«-1В-1

*«10 М N >

<7=1 п=10 N К N

- ШХОК^/ -

п=1 Ы\ о

р=1

Здесь предполагается, что моды ортонормированы в смысле:

( 13)

г . . .

ФШ

т

Входящие в (13) величины определяются формулами:

(14)

(15)

квадрат частоты свободных колебаний сопряженного тела;

» » с>)= | я »^(о//^, |а;„ А*,у

(18)

V »

^в/р^.АЛ+^./Л- (19)

V .*

модальные силы. При независимых вариациях модальных коэффициентов получим разрешающие нелинейные интегро-дифференциальные уравнения относительно модальных коэффициентов.

ЛГ Г

ар+аро>1р ) - т)ак(т№+

V N

У N

У V (.

Л' Л' Л'

о

N N N

1 п-1 О

+III - 111«,<о^<* - гк(ф,(г)с/г=?р, р=

5=1 »»1 М О

Для решения (20) используем интегральное преобразование Фурье:

1...ЛГ

(20)

(21)

Для решения последнего можно использовать метод последовательных приближений. Для этого перепишем (21) в матричной квазилинейной форме, используя понятие матрицы передаточных функций (МПФ):

(22)

где прямым шрифтом обозначены квадратные матрицы ЫхЫ, полужирным курсивом - векторы длиной И, знак изображения Фурье (*) в дальнейшем опущен. Способ образования компонент матриц 8 очевиден из (21): ¥„(*>) =(й£ , (23)

где 4ч - символ Кронекера;

+к'"' - ^Ла„(* -

Л=1/—1

Формула последовательных приближений имеет вид:

(25)

а0 =У/(ю)Р(<»)Д = 0,1,2—

Так как входящие в (24) интегралы ограничены в силу свойств Фурье изображений, то при выборе в качестве начального приближения решения линейной задачи, нормы последовательных приближений образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, обратно пропорциональным произведению наибольшей и наименьшей частот свободных колебаний. Так как количество мод в разложении (10) произвольно, то оно может быть выбрано таким, чтобы знаменатель прогрессии был меньше единицы.

Этап транспортировки отличается тем,- что действующие нагрузки -стохастические. Их можно считать случайными стационарными процессами с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плотностью. Для условий транспортировки внешнюю нагрузку можно представить в виде:

где у^С} — случайный процесс, определяемый. факторами транспортировки — профилем дороги, скоростью движения транспортного средства, -

детерминированные числа, определяющие амплитуду модальных сил, то есть зависящие от распределения внешнего воздействия по объему вязкоупругого тела.

Будем считать, что известны характеристики процесса. математическое ожидание, корреляционная функция Ку (I) или спектральная плотность (Тем самым предполагается, что случайный процесс -

стационарный в широком смысле). Тогда можно записать выражение, связывающее спектральные плотности отклика тела - модальных коэффициентов и воздействия - случайного процесса

На основании (21) можно утверждать, что каждая компонента вектора перемещения представляет собой сумму слагаемых с множителем, определяемым соответствующей модой, вычисленной в заданной точке с вектором места

(26)

(27)

.......,...... (28)

1-1 о

где к - номер компоненты перемещения, п - номер моды. Поменяв местами знаки суммирования и интегрирования по времени, мы придем к выражению вида:

с

и(1,г) = 1и'у(1-т,гМ1)<11,

(29)

где введено обозначение для передаточной функции по перемещению:

ии^ЕМО^ВД (30)

Тогда спектральная плотность отклика, за который теперь принимается компонента вектора перемещений, вычисляется по формуле, в которой вектор места играет роль независимого параметра:

5ь(®,г) = |^(®.г)|25г(®). (31)

Нетрудно провести аналогичные рассуждения и для компонент тензора деформаций, так как он определяется аналогично вектору перемещений с заменой детерминированного множителя Иь,(г) на компоненту тензора малых деформаций, вычисленную по п - й моде

Используя конечно-элементное разбиение, можно записать вариант матричной формулировки вариационного уравнения Лагранжа, в котором свойства материала представлены линейно-наследственной моделью (2):

ш

о

=0,

(32)

Далее, используем представление вектора узловых перемещений в виде разложения по формам свободных колебаний ансамбля конечных элементов, в котором отсутствует больцмановское демпфирование, то есть в качестве базиса разложения (мод колебаний) используем решение частичной обобщенной алгебраической проблемы собственных значений:

{к-а>2м}& = 0 (33)

Будем считать, что эта задача решена и известен спектр колебаний упругого ансамбля КЭ, то есть конечное множество частот свободных колебаний еад„, т=1 ...К Кроме того, предположим, что векторы к нормированы в смысле:

НТМН=1д,, НТКН=сКа8(С[>о) ,

(34)

где 1Я - единичная матрица размером ЯхЯ, С0ог) - диагональная матрица, составленная из квадратов собственных частот, упорядоченных по возрастанию. Тогда вектор узловых перемещений ансамбля примет вид: ?(*)=Нв(0, (35)

где а{() - вектор модальных коэффициентов. Подставляя (35) в (32), придем к модальному уравнению, в котором модальная матрица релаксации и вектор мщщдкных сил вычисляются по формулам:

Т(/)=НТТд(/)Н, Р(/)=НТЯ(0,

Начальные значения модальных коэффициентов определяются: Д(0)=нт«(0), в(0)=НТ4(0).

Изображения модальных коэффициентов определяются формулой:

а МПФ - формулой:

Узловые перемещения находятся непосредственно по формуле: а их оригиналы -

9(/)=Н

JW(/-T)P(r)Jr-W(í)a(0)-W(/)á(0) О

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(42)

Для вычисления характеристик НДС в точке получим выражения через матрицы функции формы и их градиентов:

«<r,r)=F(r)H„

/w(t-r)P(r)dr-w(0«(0)-w(0¿(0) о t

JW(«-r)P(r)Jr-W(/)a(0)-W(/)á(0) О

s</,r)=C0B(r)H/1

JW(/-r)P(r)í/r-W(/)o(0)-W(/)á(0) 0

-JT(f-f)B(r)H„ 0

JW(r-z)P(2)dz-W(r)a(0)-W(r)¿(0) 0

(43)

(44)

(45)

dr

В этих формулах F(r), B(r) - матрицы функций формы и градиентов функций формы, Нп - выборка тех строк из матрицы Н, которые соответствуют узлам Tiro конечного элемента, номер КЭ определяется условием: re Vn, ей я — векторы напряжений и деформаций КЭ.

Таким образом, предлагаемые математические модели позволяют получить полную информацию о напряженно-деформированном состоянии ЗТТ при известной начальной конфигурации и законах изменения внешних воздействий во времени на всех этапах жизненного цикла.

В третьем разделе формулируется эффективная методика конечнозлементной триангуляции ЗТТ с нетривиальной формой канала. Анализ геометрической структуры заряда твердого топлива показывает, что для разбиения занятой им области на конечные элементы удобно воспользоваться

методом отображений. Этот метод выполняется следующим способом:

- распределение точек на контуре реальной области отображается на контур эталонной фигуры с помощью соответствующего преобразования;

- проводится разбиение эталонной фигуры;

разбиение эталонной фигуры отображается на реальную область с помощью обратного преобразования.

В общем случае получаются элементы с криволинейными границами, но

(46)

Рис. 1. Схема построения сетки методом отображения. возможна модификация, в которой отображаются только узловые точки соединяемые отрезками прямой линии (именно этот упрощенный вариант разбиения рассмотрен далее). Эталонной фигурой служит прямоугольник ,Р = хх.у,где хе(а,б}уе(А,В). Преобразование щ определяется выражением:

- ((1 - *Х1 ->)а*1 + х(1 - у)а' 1 + хуа'г + (1 - х)уа'* ) '

где х, у - координаты точек эталонной области, /,/2,/3,/4- функции,

г • • • •

отображающие соответствующие границы, ал,а г,а г,а вершины

прямоугольника. Сформированные на этапах 2, 3 четырехугольники (рис. 2)

можно разбить на треугольники, главным является вопрос отображения узлов.

Метод отображения можно сформулировать и для пространственного случая,

что выгодно отличает его от конформного отображения, выражение

аналогичное (46) имеет вид: б

цг{х,у,2) = ^-<- ,4 7 )

где функции ак =ак (г,^.^определяются выражениями:

при к 1,2,3 , х1 х, х2 у, хз г (с учетом дуговых перестановок по координатам) Если поперечное сечение ЗТТ имеет канал нетривиальной формы (например, звездообразная форма), используем аппарат конформного отображения:

здесь звездочка над суммой означает, что член с индексом "О" отсутствует. В то же время каждая функция V{z), однозначная и гармоническая в круговом кольце р ' <|z| < р и может быть представлена в виде ряда:

где г = г-е'' . Каждая аналитическая в кольце функция разлагается в ряд Лорана: И'(г)= с. Сечение заряда с каналом "Звезда" на плоскости с полярными Л — о

где г^е>,р)=-.-, ... -т-гг-.. Разбиения, полученные по формуле (46) для

(р-АЫХя-^Ы)

канала в форме шестилучевой звезды, приведены на (рис.3).

Применяя вышеизложенную методику конечноэлементного разбиения,

получим сетку КЭ, моделирющую ЗТТ сложной формы, (рис.4, рис.5).

Проведенные выше примеры КЭ - разбиения удобны для первых двух этапов жизненного цикла зарядов ТТ - хранения и транспортировки, но оно должны быть скорректировано для описания рабочего режима. Это связано с характером рабочего режима, когда за малые промежутки времени сильно меняются как геометрические, так и физико-химические свойства заряда ТТ. Поэтому для описания рабочего режима приходится вводить ряд упрощений, позволяющих описать математическую модель поставленной задачи. Первое упрощение - заряд равномерно выгорает по длине. Упрощение второе - горение идет только по поверхности канала. Упрощение третье - скорость горения и принимается постоянной. Другими словами, в такой постановке задачи мы пренебрегаем стадией выхода двигателя на режим горения и стадией догорания заряда ТТ. Это допустимо, если учесть, что заряд ТТ выгорает полностью за время порядка нескольких секунд, а увеличение давления при запуске и его спад при выгорании заряда ТТ протекают за промежутки времени.

(48)

U{z) = г 1п(г)+ 2У(а. софнр)+/}нып{п<р)),

(49)

Рис3 Разбиение КЭ - сеткой заряда ТТ при наличии канала в форме шести лучевой звезды: а) уплотнение сетки по углу; б) радиальное уплотнение.

а)

б)

Рис. 4. КЭ разбиение ЗТТ с круговым каналом: а) четырехугольными призматическими элементами; б) треугольными призматическими элементами.

Рис.5. КЭ разбиение ЗТТ с каналом нетривиальной геометрии: а) канал «Мальтийский крест»; б) канал «Звезда»

намного меньшие в сравнении с временем горения топлива (порядка 1(Т2с).

Такая постановка задачи удобна для исследования напряженно-деформированного состояния ЗТТ в процессе горения. Эффективным для описания рабочего режима оказывается использование метода отображений на основе интерполяционных сплайнов.

Рис.6. Поверхности горения зарядов твердого топлива с различной геометрией канала: а) "Мальтийский крест"; б) звездообразный. Последовательность поверхностей горения для различных форм сечения ЗТТ представлена на рис.6.

Четвертый раздел посвящен вычислению деформированного состояния ЗТТ РДТТ с нетривиальной формой канала при горизонтальном хранении и транспортировки на большие расстояния без предварительного хранения и с предварительном хранении.

В дальнейшем при расчетах использовались следующие исходные данные Заряд твердого топлива

Скорость горения 20 мм/с (при давлении в КС ЗМПа); Удельный импульс тяги 2500 Н-с/кг; Прочность при растяжении 0,9 МПа;

Модуль упругости при -50°С - 0,6МПа, +20°С - 0,5МПа, +50°С - 1,5МПа; Коэффициент Пуассона 0,5 (для всего интервала температур), Плотность 1600 кг/м3;

Параметры ядра релаксации - 50°С - А=0,01 0=0,0001, +20°С - А=0,1 0=0,0015,

+50°С-А=0>2Р=0,001;

Обечайка (сталь 30ХГСН2А):

Предел прочности 1600МШ;

Плотность 7770 кг/м3;

Модуль упругости 1,95-105МПа (при 200°С).

Принимался: калибр РДТТ Г>=122 мм (РСЗО типа «Град»), относительное удлинение X.=D/L=15 (где L-длина ЗТТ), торцы_ - бронированные (заряд внутреннего горения), толщина оболочки S=3MM.

Напряженно-деформированное состояние - ЗТТ в вышеописанных условиях определялось с помощью инкрементального алгоритма разд.2. Проводя интерполяцию полученных значений компонентов тензора напряжении, построим зависимости безразмерных контактных напряжений

1Г Л- {Т__2

от безразмерной продольной координаты

P^g•R2

(рис.8). Результаты, полученные по линейной теории деформаций, совпадают с результатами, приведенными в книге Москвитина В.В., а результаты, полученные по нелинейной теории деформаций, отличаются примерно на 1015%.

Рис.7. Сравнение решений для ЗТТ конечной- длины при линейных (верхний индекс "л") и нелинейных деформациях (верхний индекс "н") контактных напряжений:

Используя КЭ модель, исследовалось деформация канала ЗТТ при длительном хранении. Рассматривалось, что ЗТТ РДТТ РС РС3О с круговым каналом в течение года каждый месяц переворачивался на 180° и 90 ".Сложность решаемой задачи не допускает аналитического представления этой поверхности, но использование КЭ-модели позволяет провести численный анализ. В результате такого исследования получаем последовательное изменение поверхности канала ( рис.8 и рис.9).

Рис.8. Области, в пределах которых деформируется внутренний канал ЗТТ при хранении с поворотом на 180°/мес: а)чёрез 1 месяц; б) через 6 месяцев;

Рис.9. Области, в пределах которых деформируется внутренний канал ЗТТ при хранении с поворотом на 90°/мес* а)через 1 месяц; б) через 6 месяцев; в)через 1

год

Численный эксперимент показывает, что при вращении ЗТТ на 90° поверхность деформированного канала отличается от аналогичной поверхности при вращении на 180 : существует плоскость симметрия, которая отсутствует при повороте ЗТТ на 90°. Поэтому процесс горения, который характеризуется эквидистантными поверхностями, построенными от внутреннего канала будет протекать более равномерно при вращении заряда на 180 . Кроме того, ширина области, в которой происходит деформирование при ежемесячном повороте. ЗТТ на 90° меньше ширины аналогичной области при поворотах заряда на 180° и, следовательно, отклонение поверхностей горения от расчетных меньше, но при этом отсутствует симметрия.

Нормальное горение и приемлемая плотность заполнения камеры сгорания обеспечивается выполнением критерия Ю.А. Победоносцева:

(50)

где 8г - площадь поверхности заряда, 8СВ - свободная площадь поперечного сечения для прохода продуктов горения, [Щ - предельно допускаемое значение параметра Победоносцева.

На рис. 10 приведены результаты расчета начального параметра Победоносцева для ЗТТ с цилиндрическим каналом при различных режимах хранения. Численный эксперимент показывает, что при вращении ЗТТ в составе РДТТ компенсируется негативное явление твердых топлив, а именно, явление ползучести. Наименьшее отклонение параметра от выбранного по расчетам получается, если вращать ЗТТ на 180° каждый месяц. В то же время отклонения параметра от проектного значения, принятого равным 100, невелики и ими можно пренебречь для принятых свойств топлива.

Для анализа влияния жесткости обечайки рассматривались начальные состояния ЗТТ с цилиндрическим каналом. Он размещен на двух ложементах шириной 100 мм (О 82Б), расположенных симметрично относительно середины

в9 га -1---------—1

ОБ 3.0 6 6 80 106 130 165 180 • 1мес>)

Рис.10. Изменение параметра ЮА.Победоносцева при хранении ЗТТ в течение 18 месяцев: а) - без вращения ЗТТ; б) - вращение ЗТТ на 30° каждый месяц; в) - вращение ЗТТ на 45 каждый месяц; г) - вращение на 60° каждый месяц; д) - вращение на 90 каждый месяц; е) — вращение

Рис. 11. Распределение относительных перемещений в сечении ЗТТ скрепленного с упругой оболочкой, (середина ложемента)

Рис. 12 . Распределение относительных перемещений в срединном сечении ЗТТ скрепленного с упругой оболочкой.

Рис. 13 . Распределение относительных перемещений в продольном сечении ЗТТ, скрепленного с упругой оболочкой при грубом разбиении (5 слоев по длине).

-80

Color ads(u.v)

-60 -40 -20

20

40 60

80

0 02

0 015

0 01

0005

Рис.14 . Распределение относительных перемещений впродольном сечении ЗТТ, скрепленного с упругой оболочкой при мелком разбиении (30 слоев по длине).

I ( I • I I I < I

I I I I I I • I I I

I I I I I I I I I

«11*1111 I

•80 -60 -40 -20 0 20 40 60 60

Рис. 15. Поле максимальных касательных напряжений (критерий Мизеса) в продольном сечении ЗТТ, скрепленного с упругой оболочкой.

Рис. 16. Распределение относительных перемещений в продольном сечении ЗТТ, скрепленного с жесткой оболочкой при мелком разбиении (30 слоев по длине).

на расстоянии 150мм от торцов ЗТТ.

Расчеты проводились в двух вариантах: с учетом деформаций оболочки и при абсолютно жесткой оболочке. По первому варианту на поверхности контакта абсолютно жесткого ложемента и наружной поверхности оболочки задавалось отсутствие радиальной составляющей перемещения. По второму варианту на поверхности раздела топлива и оболочки задавалось отсутствие перемещений.

Рис. П.... 12 показывают распределение модуля перемещения,

отнесенного к наружному диаметру ЗТТ, по трем представительным сечениям: по торцевому сечению, сечению посередине ложемента и посередине ЗТТ. Сравнивая их, нетрудно заметить, что поля перемещений по торцу и посередине заряда практически идентичны. Наибольшие значения концентрируются вблизи канала заряда, а по мере удаления от него перемещения убывают. Деформированное сечение канала близко к эллипсу с ориентацией большой полуоси перпендикулярно вектору собственного веса. У края ложемента картина перемещений изменяется коренным образом. При сохранении вертикальной симметрии наблюдается «стенание» по граням фигуры, близкой к треугольнику, основанием которого является опорная поверхность ложемента. В отличие от двух предыдущих сечений, положение центра канала практически не изменяется. Искажения формы наружной поверхности обечайки существенны по сравнению с торцевым и средним сечениями. Это свидетельствует о наличии зоны сложного деформированного состояния в окрестности ложемента.

Представление о пространственной конфигурации этой зоны дают рис. 13... 14., на которых приведены распределения модуля перемещения в продольном сечении вертикальной плоскостью

На рис. 15... 16 показаны результаты аналогичных расчетов для заряда, скрепленного с абсолютно жесткой оболочкой.

Из представленных рисунков можно сделать вывод о том, что учет конечной жесткости оболочки, скрепленной с ЗТТ, существенен, так как приводит к количественным и качественным отличиям напряженно-деформированного состояния от результатов, полученных с абсолютно жесткой оболочкой. В частности, последняя модель сглаживает поле перемещений и соответственно занижает наибольшие напряжения. Значения перемещений при этом также получаются заниженными. В то же время расчеты с податливой оболочкой значительно более трудоемки. Поэтому учет конечной жесткости оболочки можно рекомендовать как вариант первого приближения; при неудовлетворительных результатах от уточненного расчета с учетом жесткости оболочки можно воздержаться.

При анализе прочности ЗТТ в силу сделанных замечаний необходимо учитывать конечную жесткость оболочки КС РДТТ. Из расчета определяется опасная точка, которая располагается в области, прилегающей к ложементу (рис.13...14), что позволяет применить один из критериев прочности. Учитывая, что транспортировка связана с динамическим знакопеременным нагружением, оптимальным является применение двух критериев:

д)

Рис. 17. Деформация канала ЗТТ типа "Звезда" при хранении с ежемесячным поворотом на 90°: в) месяц хранения; г) шесть месяцев хранения; д) год хранения.

в)

Рис. 18. Деформация канала ЗТТ типа "Мальтийский крест" при хранении с ежемесячным поворотом на 90°.: а)через 1 месяц хранения; б)через 6 месяцев хранения; в)через 1 год хранения

статического, оценивающего прочность по величине накопленной деформации, и динамического, связанного с накоплением повреждений. Для использования этих критериев необходимо располагать данными о предельных напряжениях и деформациях в квазистатическом опыте на одноосное растяжение и кривой выносливости.

На рис. 17 представлены деформированные состояния заряда «Шестилучевая звезда» после 6 месяцев и одного года хранения при ежемесячном повооте на 90°.

Анализ состояний показывает, что мероприятия, эффективные для ЗТТ с круговым каналом, не дают положительных результатов для «звезды». Из рисунков видно, что деформации заряда, полученные в течение первого месяца хранения, не компенсируются поворотом; общий характер деформации сводится к тому, что для лучей, направленных вверх в начале хранения, характерно перекрытие (уменьшение) проходных сечений, а для нижних -наоборот. Тем самым создаются условия для аномального горения, так как локальные значения параметра Победоносцева, вычисленные для деформированных лучей «звезды» в торце, оказываются большими, чем проектные. В то же время значение этого параметра, вычисленное по проходному сечению и площади свободного прохода по предсошговому сечению заряда, могут оказаться допустимыми, так как общая площадь свободного прохода изменяется мало.

На рис. К представлены результаты расчетов для заряда типа «Мальтийский крест». Заключения, сделанные по «звезде», в общем сохраняются в том смысле, что при повороте заряда предварительные деформации заряда не снимаются. В то же время из-за большей жесткости лучей, а также больших абсолютных размеров проходных сечений в межлучевом пространстве, влияние деформаций заряда при хранении для ((Мальтийского креста» менее существенно, чем для «звезды» с острыми лучами.

Таким образом, выяснено, что для зарядов нетривиальной геометрии трудно отыскать щадящий режим хранения, обеспечивающий сохранение, или, по меньшей мере, уменьшение предварительной деформации * в смысле сохранения формы и размеров ЗТТ, близких к проектным, по крайней мере, в рамках рассмотренных форм зарядов и характеристик твердого топлива. Преимущество в этом смысле следует отдавать формам зарядов с большими локальными зазорами как менее чувствительным к деформациям хранения.

Объектом численного анализа явилось движение центра масс и форма поперечного сечения ЗТТ. Были отдельно рассмотрены случаи зарядов правильной геометрической формы (без учета деформаций, полученных при хранении) и зарядов, хранившихся на складе некоторое время. Результаты численного исследования представлены на рис. 19 - рис.21.

На рис. .22, 23 показаны результаты дорожного воздействия на заряд с каналом «шестилучевая звезда». Видно, что искажения формы канала значительны, гораздо более существенны, чем для кругового канала. Поэтому последствия искажения формы для такого заряда также значительны.

ТтНОО Са^Ие^} ОДматмСМ

Т«п«-720 Ос1ог «Кт) Di«pl«c«mwг М

а)

6)

Рис.19. Деформация - ЗТТ с круговым каналом при транспортировке предварительного хранения: а) в течении 20 минут; б) в течении 2 часов.

без

ю е

г о 2

■в

Рис.20.Деформация ЗТТ с круговым каналом при транспортировке (хранение 6 мес): а) в течении 20 минут; б) в течении 2 часов.

Рис.21. Зависимость максимального уровня деформаций ЗТТ с круговым каналом от времени транспортировки. 1 - без предварительного хранения, 2 -после хранения в течении 6 мес.

б)

Рйс.22. Деформация ЗТТ с каналом типа «Звезда» при транспортировке без предварительного хранения, а) в течение 20 минут;б) в течение 2 часов.

2 р—— "■ —..... ■■ ■■ ■ ■■ ■ .. -<?>

. , ,. - - - >|- --------

у/1

/

1

1

г, Ю*с •

500

1000

1500

Рис.23. Перемещение центра масс ЗТТ с каналом типа «Звезда» при вибрационном воздействии во время транспортировки. 1 - без предварительного хранения. 2-е предварительным хранением в течении 1 года.

Полностью оценить влияние хранения и транспортировки можно в ходе

расчетов напряженно-деформированного состояния заряда при горении.

Пятый раздел посвящена наиболее ответственной стадии жизненного цикла ЗТТ - это полет. Все предварительные расчеты и технические мероприятия направлены на то, чтобы обеспечить заданные режимы функционирования РДТТ во время полета и обеспечить выполнение намеченной задачи. Полет ракеты начинается запуском и завершается подходом к цели и от того, насколько правильно были вычислены параметры— траектории и рассчитаны режимы работы двигателей, а также учтено взаимодействие с набегающим воздушным потоком, зависит попадание ракеты в цель. Для построения модели полета необходимо учитывать множество факторов, от которых зависят параметры движения: скорость ракеты Б, тяга двигателя />, давление в камере сгорания р, плотность pa¡¡ температура Та и давление ра окружающей ракету атмосферы, геометрические параметры ракеты, движения органов управления и другие. Развитие ракетной техники привело к необходимости моделирования условий полета в трех основных направлениях: расчет траектории ракеты, расчеты ракеты на прочность, определение надежности. Необходимость сложных расчетов при определении параметров траектории продиктована, прежде всего, задачей поражения цели при возможно меньших затратах ресурсов. Постепенное усложнение ракетных систем шло параллельно с развитием вычислительных систем и методик. Однако оказалось, что выбор расчетных характеристик траектории недостаточен для поражения цели - ракетные двигатели взрывались, ломались, деформировалась их обшивка. Необходимость повышения надежности ракет привела к развитию строительной механики ракет, в рамках которой определяются прочность ракеты и ее подсистем. Насыщенность полета различными факторами, имеющими, как правило, вероятностный- характер, поставила задачу быстрого получения результата, что привело к необходимости разработки быстродействующих алгоритмов с использованием ЭВМ

Среди различных аспектов этих проблем выделим одну, которая тесно связана с деформированным состоянием ЗТТ перед началом горения. Как показали исследования раздела 4, в зависимости от условий храпения и транспортировки форма ЗТТ может приобретать сложный пространственный характер, что существенно для работы РДТТ и внешнебаллистического анализа по следующим причинам:

• распределение массы по длине и сечению РДТТ будет отличаться от номинального, что обусловливает наличие поперечных инерционных сил, связанных с поворотом ракеты при старте относительно продольной оси. Это, в свою очередь, приводит к деформациям корпуса и формированию возмущений внешнебаллистических параметров на активном участке траектории, что особенно важно для неуправляемых ракет РСЗО;

• к тому же эффекту приводит и изменение положения центра масс -интегральной массовой характеристики, влияющей на коэффициенты аэродинамических моментов;

несимметрия формы ЗТТ газодинамических

БИБЛИОТЕКА СПстербург 09 <200 мт

параметров по длине и сечению газового тракта и тем самым формирует возмущения потока при входе в сопловой блок. Анализ последних эффектов требует проведения синхронных расчетов формы ЗТТ и внутрибаллистических параметров.

Анализ движения ракет по траектории зачастую осуществляется по стержневой модели, которая предполагает, что ракета (особенно большого удлинения) может рассматриваться как упругий стержень с переменной по длине массой т=т(?) и жесткостью Б=Б(7). На активном участке траектории названные величины зависят еще и от времени ( т=т(1,(), 1=1(7,1), В=В(г,1) ). Тем самым одной из основных задач расчета деформирования ЗТТ на этапе горения является определение мгновенного положения центра масс. Решение задачи об НДС ЗТТ на активном участке траектории в рамках МКЭ-формулировки (разд. 2) позволяет достаточно просто определить положение центра масс. Положение центра масс ЗТТ находится по формулам:

ЪУ, ЪУ> Ъу,

II £ _ 1-1 1 N ' ■г = м 1 'ч* N » (51)

¿>1 »1 ы

где N - число элементарных объемов (конечных элементов) в несгоревшей части заряда, х,,у,7,1 - координаты их центров масс.

Следует обратить внимание на то, что применить аппарат модального разложения на этапе горения заряда невозможно в силу нарушения одного из основных положений этого метода, а именно, непрерывного изменения формы заряда, связанного с его выгоранием. Тогда единственно применимым является инкрементальный алгоритм (разд.2). Сохранение точности расчетов на каждом < шаге алгоритма обеспечивается автоматическим перестроением сетки КЭ в начале шага с учетом деформаций заряда и перемещением поверхности горения. Последнее будем считать определенным геометрической гипотезой горения, т.е. перемещением каждой точки поверхности горения по нормали к ней, определенной в начале предшествующего шага.

Система уравнений, описывающая пространственное движение деформируемой ракеты, включает в себя шесть уравнений ее движения как абсолютно твердого тела, что определяет положение центра масс в пространстве, и уравнения деформирования корпуса. Такая формулировка может быть интерпретирована как разложение движения на переносное (движение центра масс) и относительное, связанное с деформациями корпуса и других элементов. Совершенно очевидно, что оба движения взаимосвязаны, так как нагрузки, действующие на ракету в полете, зависят как от параметров движения центра масс, так и от текущих формы и размеров корпуса и составляющих его элементов. К числу основных элементов следует отнести ЗТТ в связи с тем, что его масса составляет значительную долю стартовой * массы ракеты. Тогда изменение конфигурации заряда по отношению к проектной может привести к несимметрии распределения массы по поперечным сечениям и смещению положения центра масс по длине.

Оба этих фактора во многом обусловлены формой заряда при старте, которая зависит от условий хранения и транспортировки, рассмотренных в разд. 4.

Для дальнейшего важно, что причина, вызвавшая изменение температуры, может быть любой природы, в том числе и вибрационное теплообразование характерное для полимерных материалов, которыми являются твердые топлива. Влияние температуры газов в камере сгорания на температуру ЗТТ во время работы незначительно. Это объясняется малой теплопроводностью ТТ. Учет начальной температуры существенен с точки зрения прочностных расчетов, так как и наблюдаемый модуль, и прочность ТТ существенно зависят от начальной температуры заряда. Принятые гипотезы используются для построения мгновенных положений поверхностей горения, необходимых при дискретизации ЗТТ на этапе работы РДТТ. Новое ее положение определяется путем перемещения узлов КЭ-сетки, лежащих на поверхности горения, из положения в начале шага расчета по нормали к поверхности на величину Величина шага автоматически определяется

инкрементальным алгоритмом.

В качестве объекта расчета принят неуправляемый РС. В качестве заряда твердого топлива взято известное своими характеристиками смесевого топлива, что позволило существенно увеличить дальность полета. Однако при этом существенно возрастает влияние начальных возмущений на рассеивание НРС. Даже грубое приближение, основанное на предположении о пропорциональности бокового отклонения поперечной составляющей скорости в конце активного участка показывает, что при времени полета около 100с. (что примерно соответствует стрельбе на максимальную дальность) и величине упомянутой составляющей в 1% от начальной скорости (—1300 м/с) приведет к боковому отклонению от точки прицеливания порядка 1300м. Тем самым изучение поперечных параметров движения в конце активного участка траектории (АУТ) становится актуальным для анализа эффтивности НРС. Помимо этого, существенный интерес представляет и изучение пространственного положения НРС относительно вектора скорости, которое определяет аэродинамические силы, а также положение НРС при подходе к цели. Большие углы атаки и рыскания приводят к увеличению лобового сопротивления и, следовательно, к снижению дальности; большие отклонения продольной оси НРС и нормалью к земной поверхности в конце пассивного участка траектории (ПУТ) снижают эффективность применения НРС. Тем самым значительный интерес представляют и угловые параметры движения (составляющие угловой скорости и угловая ориентация РС) в конце АУТ.

Принималось, что топливо - однородный изотропный материал с постоянным коэффициентом Пуассона Уо=0.45; плотность составляет р=2874 кг/м3 Тем самым для описания реологии материала достаточно одного универсального ядра релаксации, определяемого из опыта на одноосное растяжение.. Аппроксимация экспериментальных данных имеет вид:

параметры которого равны:

£>=170 МПа,Л=0.99, р=0.0075, а=0.015.

При решении уравнений внешней баллистики необходимо определение аэродинамических нагрузок. В- рамках данной работы ограничимся уравнениями линейной аэродинамики, в соответствии с которыми действие набегающего на НРС потока определяется формулами, линейными относительно угла атаки (угла между вектором скорости и характерным для обтекаемого тела направлением); распределенные по поверхности тела нагрузки заменяются сосредоточенными силами и моментами. Более того, ограничимся введением силы лобового сопротивления X, приложенной в центре масс и направленной вдоль оси РС, поперечной силой У, приложенной там же, лежащей в плоскости, образованной осью РС и вектором скорости и направленной перпендикулярно вектору скорости и двумя аэродинамическими • моментами: стабилизирующим, или моментом тангажа, и вращающим, или моментом крена, причем в обоих случаях будем учитывать аэродинамическое демпфирование. Тогда расчетные формулы примут вид:

где X— лобовое сопротивление, У- подъемная сила, Мх - вращающий момент, М1 - стабилизирующий момент (тангажа), - площадь миделя, Ь - длина РС, а - угол атаки, 5 - угол установки стабилизаторов относительно образующей корпуса, V- модуль скорости, тх - осевая составляющая угловой скорости, |©| -модуль поперечной угловой скорости, р - плотность воздуха на данной высоте.* Входящие в (53), (54) аэродинамические коэффициенты определяются экспериментально либо расчетным путем. Для практического использования экспирементальные данные представлены аппроксимирующими формулами вида: .

(53)

(54)

а0 + ахМ, ЧМ < 1 Ь0М +—, Ш>{

а0 + УМ < 1

Г,(А/) =

4

м

(55)

Значения коэффициентов аппроксимации получены методом наименьших квадратов. Тяга РДТТ определялась по экспериментальной кривой расхода, определенной на ГНПП «Сплав». Параметры движения по данным ГНПП

0,01 в 0.01 4 0,013 0.01 0,00* 0,006 0,004 0,002

; Л

/

// N

> / [/

т

0,20 0.30 0,40 0,90 0,00 0.70 0,10 0,00 1.00

^/(Ут^т)

Рис.24. Изменение положения центра масс ЗТТ с круговым каналом в процессе

горения:

I — хранение 6 месяцев с поворотом на 90° ежемесячно П- год хранения с поворотом на 90° ежемесячно Ш - транспортировка на 100 км

IV - год хранения и транспортировка на 100 км

V - год хранения без поворотов

о.о з 0,0 2 5 0,02 0,0 1 5 О.О 1 0,00$ 0

К

// \\

/

//

Г -I— -1—2!

0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис.25. Изменение положения центра масс ЗТТ с каналом типа "звезда" в

процессе горения: I — хранение 6 месяцев с поворотом на 90° ежемесячно П - год хранения с поворотом на 90° ежемесячно Ш - транспортировка на 100 км

IV - год хранения и транспортировка на 100 км

V - год хранения без поворотов

Рис. 26. Зависимость от времени поперечных составляющих угловой скорости для цилиндрического заряда (расчетный случай 5)

Л п/д л /»ЧчI1

> с 1 3 1 1 ] " \/Г1

Рис.27. Зависимость от времени поперечных составляющих угловой скорости для заряда «Звезда» (расчетный случай 5)

ЛИ Л

\Л А /, Л Я ' Ч«1 1Ш щ Я 1

0 ^ 5 ■ ' Л А л ¥ЩЖ

^У] V У

Рис. 28. Зависимость от времени поперечных составляющих угловой скорости для среднего по времени эксцентриситета (цилиндр)

1 2 3 4 5

ЕЗ шттауда ЕВ амгооиуиа й)^ □ ^у^'о ^ ^ ^

Рис. 29. Диаграмма поперечных составляющих угловых скоростей для цилиндрического заряда

1 2 3 4 5

0 Аигаопуда 0)__ В амплитуда О) □ 0'(/г> ) ^ 0 ^

у 2 У и *

Рис. 30. Диаграмма составляющих поперечных угловых скоростей для заряда

«Звезда»

«Сплав», принимались следующими:

начальная скорость Х=43 м/с; начальная угловая скорость <й.г0=35 1/с.

Направление скорости по отношению к горизонту определяется условиями стрельбы; поперечные составляющие скорости и угловой скорости считаются нулевыми. Помимо этих данных подлежат определению начальные условия для положения центра масс PC, определяемые условиями хранения и транспортировки. Определение начальных условий, то есть состояния заряда после хранения и транспортировки производилось по методике, описанной в разд. 2 и реализованной в разд. 4. В связи с большим удлинением ЗТТ и значительными различиями в геометрии его отдельных участков дискретизация производилась по отдельным блокам. При дискретизации заряда со звездообразным каналом исходное количество слоев принято равным пяти. Сгущение сетки осуществлялось в зонах, примыкающих к лучам звезды; минимальный допустимый размер КЭ принимался равным 0.1?. Разбиение осуществлялось на тетраэдры; принята линейная аппроксимация внутри КЭ. Рассматривались те же режимы хранения и транспортировки, что и в разд.4: хранение в течение шести месяцев с поворотом на 90 ежемесячно (режим 1), то же в течение года (режим П), транспортировка на расстояние 100 км (режим Ш), хранение в течение одного года и транспортировка на 100 км (режим IV), хранение в течение года без поворотов (режим V) (рис.24....25).

Рассматривались возмущения угловой скорости в поперечной плоскости как факторы, определяющие техническое рассеивание НРС. Результаты решения приведены на рис. 26...28 и диаграммах 29...30.

Результаты были сведены в таб.1., которая

Табл.1 Возмущения поперечных составляющих угловой скорости

Сзтт Юв

У •Г * У * M

0.0025 0 0.032 0.033 5.797-103 0.033 0.034

0.0050 0 0.100 0.103 0.084 ■0.013 0.085

0.0075 0 0.179 0.184 0.024 -0.147 0.149

0.01 0 0.209 0.214 0.173 -0.044 0.179

0 '1 0.286 0.286 ■0.229 0.126 0.261

0 ч 0.280 0.282 0.100 0JÎ31 0.252

0 0.267 0.267 0.113 0.219 0.246

0 0.312 0.311 ■0.183 0.177 0.255

0 es 0.278 0.279 -0.214 -0.100 0.236

o.oi(y; е/у) 0.460 0.462 0.398 0.152 0.426

-O.Ül(y) ш 0.038 0 034 -3.80110' 9.299-10"1 0.0100

0.01(2> Чу) 0.334 0.337 0.280 0.029 0.281

0.01(151 0.337 0.334 •0.275 -0.332 0341

показывает, что поперечные возмущения угловой скорости в конце АУТ

определяются не только амплитудами, но и фазами колебаний, то есть соотношением между периодом колебаний и временем конца АУТ. Так как спектральные характеристики переходных процессов зависят от параметров эксцентриситета, то указать точное соотношение между этими параметрами и величинами возмущений в конце АУТ невозможно; приведешше в табл. 2. наибольшие значения возмущений можно считать их верхними оценками.

Таким образом, разработанная в теоретической части математическая модель движения НРС с массовыми несовершенствами позволила изучить закономерности влияния эксцентриситета на характер изменения во времени поперечных возмущений угловой скорости, которые являются одними из основных факторов, определяющих техническое рассеивание НРС, что позволяет с достаточной степенью точности прогнозировать поведение НРС на АУТ.

Заключение.

Достижение сформулированной во введении цели работы потребовало решения ряда теоретических и вычислительных задач. Важнейшими из них явилась разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел сложной формы при статических и динамических нагрузках, определенных. в ходе анализа конструкций РДТТ, механических свойств твердых топлив и условий эксплуатации < ракет. Широкое использование в практике. зарядов сложной формы предопределило выбор основного метода расчета - метода конечных элементов. Обобщение инкрементального алгоритма н метода модального разложения на МКЭ-модели обеспечило возможности анализа зарядов с разнообразными формами каналов при различных сочетаниях условий хранения и транспортировки. Для анализа наиболее важного этапа - выгорания заряда при работе РДТТ - использовался пошаговый алгоритм с перестроением сетки КЭ на каждом шаге расчета. Это предопределило разработку быстродействующего алгоритма нанесения сетки конечных элементов на объем с переменными границами, что позволило сохранить точность расчетов на каждом шаге. Результаты расчетов, оформленные в виде зависимостей положения центра масс НРС в полете, послужили исходными данными для решения задачи внешней баллистики на активном участке траектории. Тем самым оказался завершен комплекс математических моделей анализа движения НРС, позволяющий определить возмущения движения НРС в конце АУТ за счет несимметрии распределения масс, которые являются доминирующей составляющей бокового рассеивания и, тем самым, определяют эффективность РСЗО.

Получаемая в ходе расчетов информация о НДС ЗТТ позволяет определить опасные с точки зрения разрушения точки и прогнозировать такие нежелательные явления, как появления трещин, отслоение бронировки и т.п. Однако для этого требуется проведение дополнительных экспериментальных исследований по определению предельных напряжений и деформаций и построению кривых выносливости конкретных марок топлив.

Использование комплекса математических моделей позволило получить

следующие результаты:

1. Решены задачи хранения (квазистатическая) и транспортировки (динамическая) для ЗТТ с нетривиальной геометрией канала со смешанными граничными условиями. При анализе полученных решений обнаружены следующие эффекты: деформации возникают в процессе хранения и транспортировки ЗТТ РДТТ НРС; интегральная характеристика деформации ЗТТ (эксцентриситет центра масс) в зависимости от режимов хранения и транспортировки лежат в пределах 3% - 5% от наружного диаметра заряда.

2. Расчеты показывают, что при хранении и транспортировке напряженно-деформированное состояние заряда сложное; при учете конечной жесткости оболочки вблизи опирания на ложементы возникают узкие зоны концентрации напряжений, связанные со сменой граничных условий на наружной поверхности оболочки. Поэтому при анализе прочности заряда влияние жесткости оболочки для скрепленных зарядов существенно.

3. При расчете выгорания ЗТТ без предварительного деформирования показано, что наибольшие деформации не превышают 0,6% . В модели с жестким корпусом на небольшом расстоянии от корпуса РДТТ образуется зона с большим градиентом деформаций, ширина этой зоны меняется незначительно за время горения ЗТТ, за пределами этой области деформации практически неизменны и максимальны по величине . При догорании заряда образуется дегрессивный слой, толщина этого слоя порядка 0,05D, где D - внешний диаметр ЗТТ. Характер деформирования ЗТТ таков, что движение его центра масс во время полета аналогично кривой ограниченной ползучести.

4. Искажения формы канала, приобретенные в результате длительного хранения ЗТТ, мало влияют на величину максимальных деформаций ТТ на стадии рабочего режима. Характерная область с большим градиентом деформаций сохраняется, ее ширина незначительно увеличивается, но искажается ее форма. Искажение формы канала зависит от того, в какой момент стадии хранения ракета была взята со склада и запущена. Толщина дегрессивного слоя по порядку величины такая же, что для заряда без предварительного хранения. Движение центра масс ЗТТ в связанной системе координат имеет такую же функциональную зависимость, что и у предварительно недеформированного заряда, но амплитуда смещения центра масс увеличивается.

5. Деформации при транспортировке (при плохих условиях) превышают во много раз деформации при хранении, поэтому их влияние на полетную стадию значительно. Отклонение формы канала от недеформированной велико и толщина дегрессивного слоя увеличивается в 2 - 5 раз (в зависимости от условий транспортировки) по сравнению с недеформированным зарядом.

6. Анализ НДС ЗТТ в полете позволил установить, что менее чувствительными к условиям хранения и транспортировки являются заряды с большими толщинами их элементов, образованными поверхностью сложной формы,

например, звезда с меньшим числом лучей.

7. Предварительные деформации, полученные на различных этапах жизненного цикла, приводят к неравномерному разгоранию ЗТТ и, как следствие, к смещению центра масс и наличию дегрессивных остатков топлива. При этом большие значения указанных характеристик характерны для зарядов с каналом сложной формы. Полностью ликвидировать эти негативные явления невозможно, но их можно уменьшить путем введения инертных вкладышей. Полученные для заряда с горением по внутреннему цилиндрическому каналу зависимости для смещения центра масс и дегрессивных остатков являются их нижней оценкой

8. В начале горения вблизи обечайки образуются зоны больших градиентов перемещений, создающие условия для образования трещин, что нарушает прочность заряда, приводящее к нерасчетным режимам горения на последней стадии.

9. Исследования влияния массового эксцентриситета, возникающего за счет деформаций заряда, на движение НРС на активном участке, показывают, что для рассмотренных случаев предварительного хранения и транспортировки появляются заметные поперечные составляющие угловой скорости. Законы их изменения во времени представляются нелинейными колебаниями с периодами порядка 0.2...0.25 времени работы двигателя. Величины угловых скоростей в конце активного участка таб.5.4,. формирующие техническое рассеивание РС, существенно зависят от закона изменения эксцентриситета, связанного с выгоранием заряда.

Материалы диссертации опубликованы в 31 работе, основными из которых

являются следующие:

1. Андреев А.И. Исследование равновесного состояния тяжелого цилиндра при больших деформациях. // Тез.докл. IV науч.-конф.,фев.1986.- Рига,1986.- С.8.

2 Андреев А.И. Квазистатическое деформирование вязкоупругих тел при конечных деформациях. // Численные методы в исследовании напряжений и деформаций в конструкциях: Сб. науч. работ УНЦ АН СССР. - Свердловск, 1987.-С. 27-30.

3 .Андреев А.И. Конечные деформации вязкоупругого стержня при стохастических нагрузках. - //Современные проблемы математики, механики, информатики. / Тез.докл. Всерос.науч.конф.. - Тула: ТулГУ, 2000. -С.66

4 Андреев А.И. Расчет высокоэластичных материалов при сжатии. - // Механика и прикладная математика. Труды Всесоюз.конф." Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации ", посвященной Советской Науки. Секция "Проблемы теоретической прикладной математики". - Тула, 1990 г.- С. 7 - 8.

5 Андреев А.И. Расчет изделий из высокоэластичных материалов при конечных деформациях. - // Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением./ Тез. докл. Всерос. науч. конф. - Пермь, 1990 г.

6 Андреев А.И., Голодное А.В, Желтков В.И., Редько А.А. Дискретизация зарядов ТТ, основанная на законе горения. // Оборонная техника, №11-12, 1999. - Москва: 1999. - С.59-61.

7 Андреев А.И., Горячев Л.В., Желтков ВЛ. Формирование конечно-элементной сетки методом отображений. - //Современные проблемы математики, механики, информатики. / Тез.докл.Всерос.науч.конф.. - Тула: ТулГУ,2000.-С.67

8 Андреев А.И., Грязев МВ. Исследование искажения формы цилиндрического элемента, предрасположенного к конечным деформациям. // Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов/ Тез.докл., науч.-тез.конф..- Рига, 1990 г.- С. 11

9 Андреев А.И., Желтков В.И. Динамическое деформирование массивных вязкоупругих тел при больших деформациях. -//Известия ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. - Тула: 1998, Том 4, Выпуск 2. С.27 -34.

10 Андреев А.И., Желтков В.И. Динамическое нагружение вязкоупругих тел. -" //Современные проблемы механики и прикладной математикиУ Тез.докл. школы. - Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 16

11 Андреев А.И., Желтков В.И. Исследование погрешности вычислений при дискретизации расчетного интервала времени геометрически нелинейной теории вязко упругости. // В сб. П Всес. конф. «Ползучесть в конструкциях». Тезисы докладов.» - Новосибирск, 1984г, С.100. -102.

12 Андреев А.И., Желтков В.И. Преобразование Фурье в конечно-элементном моделировании геометрически нелинейных проблем динамики наследственно-вязкоупругих тел. //Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы граничных и конечных элементов7Тез.докл.ХУ1 Межд.науч.конф., Т П. - Санкт-Петербург, Россия, 23-26 июня, 1998 г. -С.76

13 Андреев А.И., Желтков В.И., Редько АА. Моделирование жизненного цикла заряда РСЗО. // Оборонная техника, №11-12, 1999. - Москва: 1999. - С.37-39.

14 Андреев А.И., Желтков В.И., Толоконников ЛА. Приближенное решение задач геометрически нелинейной теории вязкоупругости. // Тез.докл. Всесоюзной науч.-тех.конф.,фев.1983 г. - Рига,1983.- С.81.

15 Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Анализ динамики геометрически нелинейных вязкоупругих тел с помощью преобразования Фурье. - // 11-я Междун.зимняя школа по механике сплошных сред. / Тез.докл., Книга I. - Пермь, 1997 г.

16 Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Применение преобразование Фурье к задачам динамики неупругих тел. - // Моделирование и критерии подобия в процессах развитого пластического формоизменения. / Тез.докл.междун. симпозиума. - Орел, 1996 г.

17 Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. О корнях характеристического уравнения динамики вязкоупругих тел. //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 2. С. 31-34

18 Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Преобразование Фурье в задачах динамики сжато-изогнутых пластин. // В сб. «Труды ХУШ международной конференции по оболочкам и пластинкам».- Саратов, СГТУ, 1997. - С. 13-14.

19 Андреев А.И., Карнеев С. В., Шмараков Л.Н. Анализ остаточных напряжений по параметрам внешнего воздествия. - // Математические модели и краевые задачи./ Труды 7-ой межвуз.науч.конф.. - Самара, 1997 г

20 Андреев А.И., Шелобаев СИ., Ядыкин Е.А Математическая модель деформирования вязкоупругих тел при конечных перемещениях в некотором температурном поле. - // Математические модели и краевые задачи./ Труды 6-ой межвуз.науч.конф.. - Самара, 1996 г.

21 Андреев АЛ., Горячев ЛВ., Желтков В. И., Редько А. А. Применение метода отображении для зарядов твердого топлива со сложной геометрии // Оборонная техника, № 5-6,2000. - Москва:2000. - С. 15-18.

22 Андреев А.И., Горячев Л.В., , Редько А.А. Конечные деформации вязкоупругого цилиндра при горизонтальном хранении // Оборонная техника, N° 5-6,2000. - Москва:2000. - С.59-61.

23 Андреев А.И., Желтков В.И., Сатаров А.В. Жизненный цикл зарядов твердого топлива: математическая модель. / Известия Тульского государственного университета. Серия Проблемы специального машиностроения. Вып.2. Материалы Региональной НТК - Тула, ТулГУ, 1999.-С.383-386.

24 Андреев А.И., Горячев Л.В., , Редько А.А., Сатаров А.В. Математическая модель формоизменения твердого топлива при транспортировке. // Оборонная техника, №, 2001. - Москва:2001.

25 Андреев А.И., Горячев Л.В., Желтков В.И., Редько А.А. Деформация зарядов твердого топлива во время полета. // Оборонная техника, №, 2001. -Москва:2001.

26 Андреев А.И. Дискретное разбиение заряда твердого топлива методом отображения //Сб. ст."Механика деформированного твердого тела и обработка металла давлением", ч. № 1,2001. - Тула, 2001., с. 30-33

27 Андреев А.И. Применение температурно-временной аналогии к описанию поведения термо-вязкоупругих тел при конечных деформациях //В сб. "Механика деформированного твердого тела и обработка металла давлением", ч. № 2,2001. - Тула, 2001., с. 48-50.

28 Андреев А.И. Математическое моделирование процессов хранения и транспортировки вязкоупругих тел при конечных деформациях. - Тула, ТулГУ, 2001.-103с.

29 Андреев А.И. Напряженно - деформированное состояние толстостенного вязкоупругого цилиндра при горизонтальном хранении //Известия ТулГУ Серия. Математика. Механика. Информатика., Том 8, Выпуск 2 - Тула: -ТулГУ,2002.-С.27-30.

30 Андреев А.И. Влияние деформированного состояния заряда твердого топлива на движение рс рсзо на активном участке траектории //Известия ТулГУ Серия Проблемы специального машиностроения Выпуск 6. Часть 1 -Тула -ТулгуД0ОЗ.-С.З-6.

Подписано к печати 12.042004г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Объем 3,0 усл. пл. Тираж 100 экз. Заказ № 1624

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе Орловского государственного технического университета 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

04-1""

ВВЕДЕНИЕ

1. Конструкции и особенности применения зарядов твердого топлива

1.1 Назначение и конструктивные схемы НРС РДТТ

1.2. Конструкции зарядов твердого топлива

1.3. Конфигурации зарядов ТТ,

1.4. Основные свойства твердых топлив

1.5 Основные этапы эксплуатации и особенности нагружения ЗТТ

1.6. Основные требования к математическим моделям ЗТТ

Выводы.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА НЕУПРАВЛЯЕМОГО РЕАКТИВНОГО СНАРЯДА ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ ХРАНЕНИИ, ТРАНСПОРТИРОВКЕ И В ПРОЦЕССЕ ГОРЕНИЯ

2.1 Конституционные соотношения.

2.2 Математическая модель ЗТТ НРС при длительном хранении

2.3. Математическая модель динамического поведения ЗТТ НРС при больших деформациях

2.4. Применение модального разложения к стохастическим нагрузкам на этапе транспортировки

2.5. МКЭ в реализации модального разложения

2.6 Математическая модель ЗТТ НРС в процесс горения

Выводы

3. МЕТОДИКА ДИСРЕТИЗАЦИИ ЗАРЯДОВ ТВЕРДОГО ТОПЛИВА С КАНАЛАМИ НЕТРИВИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1 Отображение двух- и трехмерных областей

3.1.1 Дискретизация одноканального и щелевого зарядов ТТ

3.1.2 Дискретизация заряд ТТ с каналом звездообразной формы.

3.1.3 Дискретизация заряд ТТ с каналом «Мальтийский крест»

3.2 Применение сплайнов в методе отображений

3.3 Триангуляция ЗТТ на этапе горения

Выводы.

4. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАРЯДОВ ТВЕРДОГО

ТОПЛИВА НЕУПРАВЛЯЕМОГО РАКЕТНОГО СНАРЯДА ПРИ

ХРАНЕНИИ И ТРАНСПОРТИРОВКЕ

4.1 Постановка задачи о хранении ЗТТ РДТТ НРС и тестирование КЭметодики

4.2 Деформации при хранении ЗТТ НРС с круговым каналом

4.3. Влияние жесткости обечайки на деформированное состояние ЗТТ НРС с круговым каналом при хранении

4.4. Деформированное состояние зарядов ТТ НРС с нетривиальной геометрией канала при хранении

4.5.Деформирование ЗТТ НРС при транспортировке

Выводы.

5. ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА

ТВЕРДОГО ТОПЛИВА НА ДВИЖЕНИЕ НЕУПРАВЛЯЕМОГО

РАКЕТНОГО СНАРЯДА НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ

5.1 Основные предположения о горении заряда ТТ

5.2 Деформирование ЗТТ на активном участке траектории

5.2.1 Деформирование цилиндрического одноканального заряда ТТ

5.2.2 Деформирование заряда ТТ с каналом в форме «шестилучевой звезды»

5.3 Анализ состояний ЗТТ НРС в полете

5.4 Влияние массового эксцентриситета на внешнебаллистические характеристики НРС

Выводы

Большое внимание в настоящее время уделяется развитию ракетных двигателей. Это объясняется тем, что они позволили создать ракетное оружие практически неограниченной, в пределах земного шара, дальности действия.

Ракетное оружие на твердом топливе зарекомендовала себя как маневреннее, обладающее высокой скорострельностью, отличающейся простотою устройства и обслуживания и, в то же время, как грозное тактическое средство ведения массированного огня [124,125].

Среди тактического ракетно-артиллерийского вооружения по производительности, плотности огня, мобильности, реактивные системы залпового огня (РСЗО) остаются наиболее могущественным видом наземной артиллерии, с помощью которого решаются многие задачи начального периода войны. Они находятся на вооружении всех армий ведущих мировых держав. Не прекращаются работы по созданию новых и совершенствованию существующих образцов. По прогнозам специалистов, к 2010г. ожидается повышение роли РСЗО в 3.5 раз по сравнению с существующим уровнем [124, 125]. Основными тенденциями развития существуют три стратегических направления развития: выбор перспективных систем для наращивания их могущества путем совершенствования их конструкции и модернизации; автоматизация процессов подготовки и проведения стрельбы; объединение в единый комплекс средств поражения, разведки и управления огнем в единый комплекс. Решение этих задач невозможно без совершенствования основного поражающего элемента РСЗО - реактивного снаряда (PC).

Ракеты с РДТТ практически всегда готовы к немедленному старту, в то время как подготовка к запуску ракет с другими видами топлива занимает определенное время. К достоинствам РДТТ можно отнести и простоту конструкции. В двигателях твердого топлива форма и размеры топливного заряда наряду с характеристиками самого топлива по скорости горения определяют основные параметры двигателя. Благодаря возможности длительного хранения в снаряженном состоянии РДТТ может находиться неограниченное время как на стартовой позиции независимо от времени года и атмосферных условий, так и на стационарных складах в определенном интервале температур. Это важное качество характерно ещё и тем, что РДТТ можно транспортировать на любые расстояния, что придает таким видам ракет мобильность, которое весьма важно с точки зрения тактики их применения.

Наряду с достоинствами РДТТ нужно отметить и некоторые отрицательные факторы, связанные с физической природой твердых топлив. [117, 130, 131, 134, 138], твердые топлива (ТТ) являются гомогенными полимерами или композитами с полимерной матрицей; им присущи следующие основные свойства:

• относительно маленькие жесткости;

• невысокая прочность;

• существенная зависимость механических характеристик от температуры;

• эффекты памяти, то есть зависимость характеристик НДС в момент наблюдения от истории деформирования и нагружения.

Поэтому для нормального функционирования РДТТ определяющим является напряженно-деформированное состояние (НДС) его заряда твердого топлива (ЗТТ). Важным фактором является изменение формы заряда при хранении и транспортировки, обусловленном явлениями ползучести. При этом возможны изменения проходных сечений, приводящие к созданию условий для аномального горения, поэтому возникает необходимость прогнозирования поведения заряда РДТТ в широком диапазоне условий эксплуатации, а особенно в экстремальных условиях, что привело к применению геометрически нелинейной теории вязкоупругости [5, 12, 16, 26, 32, 33, 62], такт как допущения о линейности свойств существенно ограничивали область использования расчетов.

Обращаясь к нелинейной механике сплошной среды, необходимо использовать польностью нелинейные подходы к кинематически аспектам проблемы , причем применяемые частные меры деформации должны иметь требуемые координатно-инвариантые характеристики в смысле независимости описаний физических процессов от системы отсчета. Это требование называют принципом объективности [62, 131, 135]. Хорошо зарекомендовала себя общая теория нелинейная и кубическая теории, предложенные А. А. Ильюшиным [86, 88, 89]. Они применимы к материалам, в которых нелинейные эффекты возникают при малых деформациях (то есть квадратами деформаций можно пренебречь по сравнению с первыми степенями в пределах заданной точности ). Малость деформаций , при которых возникают нелинейные эффекты в физически нелинейных материалах, позволяет удерживать нелинейные члены V лишь в физических соотношениях вязкоу пру гости. Однако существуют такие материалы, для которых соотношения между напряжениями и деформациями линейны и при конечных деформациях; нелинейные эффекты обусловлены лишь величиной деформаций, квадраты которых соизмеримы с линейными членами. 6 этом случае важным является вопрос о характеристиках напряженного состояния, так как существенная разница в геометрии недеформированного и деформированного состояния приводит к необходимости вводить различные меры напряжений, которые затем используются при выводе основных соотношений. К таким материалам относят ТТ.

В настоящее время имеется много публикаций, посвященных этому вопросу. Например, в работе [109] используются нелинейные геометрические соотношения Коши - Грина, принци возможных перемещений и физические соотношения Мурнагана, в которых упругие константы заменены интегральными операторами. Задача сводится к нелинейной системе интегральных и интегродифференциальных уравнений. В [179] обсуждаются ^ особенности получения уравнений, вычисления деформаций и напряжений для сжимаемого и несжимаемого материалов. Даны уравнения равновесия конечного элемента для потенциалов Трелоара, Муни, Бартенева-Хазановича и Черных. Интегральным параметром, позволяющим определять предельные условия нормального горения, следует считать параметр Победоносцева -отношение поверхности горения к площади свободного прохода для продуктов сгорания топлива [133, 134]. Этот чисто геометрический фактор очевидным образом определяется формой ЗТТ к моменту воспламенения. Другим фактором следует считать различные случаи разрушения - появление трещин в теле заряда, отслоение бронировки, отслоение от скрепленного с зарядом корпуса. Критерием разрушения твердого топлива является достижение предельных величин деформации, которые определяются опытным путем.

Современное ракетное оружие в основном базируется на подвижных 4 ракетных комплексах, состав и устройство оборудования которых определяются задачами, решаемыми комплексами. В состав подвижных ракетных комплексов входят ракеты и наземное оборудование. Большую роль в составе наземного оборудования играют транспортные средства, служащие для доставки элементов ракетных комплексов — ракет, боевых частей, комплектующего оборудования и т.п. с заводов-изготовителей на арсеналы, склады, базы снабжения позиционных районов и для перемещения данных грузов в пределах этих районов. Транспортировка ракет является одним из основных этапов эксплуатации ракетных комплексов, поэтому ей придается большое значение. Для ракет на твердом топливе случай транспортировки снаряженной ракеты является одним из расчетных моментов, который может определить толщины стенок корпуса ракеты, выбор конструктивной схемы тележки или вагона, количество опор и их расположение и т. п. .При этом следует учитывать, что большие дальности полета современных ракет и высокая точность попадания их в цель предъявляют весьма жесткие требования к условиям и режиму транспортировки, которая сопровождается значительными вибрационными и ^ ударными нагрузками. Особую сложность при моделировании процесса транспортировки доставляет стохастический характер нагрузок. Он обусловлен специфическим характером дорожных покрытий, рельсовых путей, водной

Z,Tvr=1335

Ц.м. идеального НРС

Ц.м. сухого реального НРС езт&)

МО

Ц.м. ЗТТ

Идеальный НРС - изготовлен строга по чертежам, без допусков на изготовление деталей и их сборку, не снаряжен топливом.

Сухой реальный НРС - изготовлен и собран в соответствии с реальными допусками, не снаряжен топливом

Заряд твердого топлива - изготовлен в соответствии с допусками, имеет предварительные поперечные деформации, полученные в ходе хранения и транспортировки

Векторы эксцентриситетов сухого реального НРС и ЗТТ расположены в разных плоскостях, взаимное положение которых определяется углом ее*.

НРС в полете вращается за счет начального контакта с ПУ и косо поставленных лопастей с угловой скоростью сМУ)

Рис. 2. Схема расположения эксцентриситетов поверхности, а также законов движения транспортных средств. Воздействие таких случайных нагрузок в сочетании с постоянной составляющей - собственным весом - приводит к тем же эффектам, что и хранение, но усугубляет их благодаря двум обстоятельствам; во-первых, невозможности применения профилактических мероприятий, и, во-вторых, наложением динамических и статических нагрузок.

Отметим еще один важный аспект применения результатов анализа деформированного состояния ЗТТ. Как известно, одним из важнейших средств тактического ракетно-артилерийского вооружения являются реактивные системы залпового огня (РСЗО). Среди РСЗО значительную долю составляют системы малых калибров, отличающихся наличием неуправляемых реактивных снарядов. Их малая стоимость, простота в изготовлении и эксплуатации определили их широкое применеие для решения боевых задач на малых и средних дальностях. Применение высокоэнергетических топлив позволяет достичь больших дальностей, но при этом характеристики технического рассеивания PC должны быть существенно улучшены. Одной из существенных составляющих рассеивания является массовый эксцентриситет ЗТТ в силу достаточно высокой относительной массы топлива. Упомянутые выше свойства ТТ (малая жесткость и ползучесть) приводят к тому, что массовый эксцентриситет увеличивается за счет деформаций заряда при хранении и транспортировке и, соответственно, увеличивается и техническое рассеивание. Вследствие этого прогноз кучности стрельбы должен включать в себя и определение положения центра масс ЗТТ перед пуском с учетом предыдущих операций хранения и транспортировки.

Вышесказанное позволяет сформулировать крупную научись техническую проблему анализа напряженно-деформированного состояния заряда твердого топлива РДТТ НРС в процессе хранения, транспортировки и полейте и его влияние на внешнебаллистические характеристики конца активного участка полета с целью выявления возможностей снижения технического рассеивания, повышения прочности и эффективности использования неуправляемых реактивных снарядов за счет конструкторских и организационных мероприятий, решение которой позволяет дать научно-обоснованные рекомендации по внедрению, вносящих значительный вклад в повышении обороноспособности.

Анализ деформированного состояния ЗТТ в процессе работы двигателя требует определения не только деформаций, связанных с массовыми силами за счет высоких продольных ускорений, но и деформаций, накопленных в процессе транспортировки и хранения снаряженного РДТТ. Следует отметить, что в силу относительно невысокой жесткости твердого топлива деформации заряда могут быть значительными в том смысле, что квадратами деформационных градиентов нельзя пренебрегать по сравнению с их первыми степенями. Но тогда суперпозиция деформированных состояний, достигнутых отдельно при хранении, транспортировке и в полете, некорректна и необходимо рассматривать весь процесс эксплуатации, начиная от момента изготовления заряда ТТ, включая промежуточные хранения, транспортировки и процесс горения. В дальнейшем такой процесс будем называть жизненным циклом заряда ТТ, а его составные элементы - этапами жизненного цикла.

Существующие методики прочностных и жесткостных расчетов РДТТ [55, 117, 133, 134, 138], как правило, рассматривают основные случаи нагруже-ния РДТТ - отдельно при работе двигателя, отдельно - при хранении, отдельно - при транспортировке . На наш взгляд, это недопустимо в силу особенностей физической природы твердого топлива: необходимо рассматривать не отдельные состояния, не влияющие друг на друга, а весь процесс в целом. Целью настоящей работы является разработка универсальных методов получения напряженно - деформированного состояния ЗТТ и методов решения краевых задач с подвижными границами для прогноза поведения заряда НРС в условиях различных этапов жизненного цикла, которые послужат научной основой для обеспечения эффективности функционирования НРС.

Рассмотрим особенности отдельных этапов жизненного цикла.

Первым будем считать этап, который начинается с момента окончания последней технологической операции: это внутризаводское хранение и хране ние на армейских складах различного уровня. Отдельно стоит выделить этап предбоевого хранения, который осуществляется по-разному в зависимости от класса ракет. Это может быть вертикальное хранение и хранение на подвижных пусковых установках (ТТУ).

Следующий этап - транспортировка на заводские и армейские склады, отличающаяся высоким уровнем случайных воздействий, обусловленных скорей стями транспортных средств, вибрациями от профиля дороги, по которому движется ЗТТ совместно с РДТТ.

Последний этап - горение заряда ТТ, который характеризуется высоким уровнем продольных и поперечных изменений по времени формой заряда.

Анализ этапов жизненного цикла с точки зрения внешних воздействий на 4 заряд ТТ позволяет предъявить и специфические требования к математическим моделям, а именно:

• динамический характер нагрузок на этапах транспортировки и горения ЗТТ требует учета инерционных сил, то есть применения динамических моделей.

• модель заряда ТТ должна быть инвариантной по отношению к характеру на-гружения.

Эти требования следует считать основными. Остальные вытекают из вышеперечисленных особенностей ЗТТ как материала. Малая жесткость ТТ заставляет применять теорию конечных деформаций; эффекты памяти - наслед-^ ственную теорию вязкоупругости; зависимость свойств от температуры - теорию термовязкоупругости.

Большинству этих условий отвечает предложенная в [11, 16, 26, 27, 28, 29] математическая модель, основанная на следующих основных предположениях.

1. ЗТТ считается однородным материалом, подчиняющимся наследственному закону Больцмана [5,16,17, 51, 54,117,131]. Л 2. Влияние температуры на свойства ТТ описывается экспериментальной поверхностью R -1 - Т, где R - функция релаксации, t - физическое время, Т - абсолютная температура[31,69, 89].

3. Предполагается линейность соотношений между вторым тензором Пиолы-Кирхгоффа и тензором конечной деформации Коши-Грина [59,62, 123, 137].

4. Вместо уравнений движения используется вариационный принцип Лагранжа, записанный в координатах отсчетной конфигурации [123, 127].

Такая постановка задачи позволяет применить для моделирования сложной пространственной формы заряда метод конечных элементов (МКЭ). Метод конечного элемента для решения задач был использован В.А. Постновым и Й.Я.Хархуримом(в одномерной постановке), М.А. Колтуновым, И.Е. Трояновским, Дж. Оденом и другими российскими и зарубежными учеными.

При помощи метода конечного элемента и применение ЭВМ получается количественная информация о напряженно-деформированном состоянии заряда твердого топлива РДТТ в процессе хранения, транспортировки, в полете и его влияние на внешнебаллистические характеристики конца активного участка полета

При решении конкретной динамической задачи вектор узловых перемещений конструкции (ансамбля КЭ) представляется разложением по формам свободных колебаний линейно-упругой задачи для тела, форма которого совпадает с формой заряда, плотность такая же, как у ЗТТ, модули упругости такие же, как мгновенные модули ЗТТ, но отсутствуют реологические свойства. Задача о свободных колебаниях для такого тела решается хорошо известными методами линейной алгебры [142,143].

Вышеизложенная постановка задачи была реализована в разделах данной работы.

В первой разделе описывается назначение, базовые конструкции РДТТ, конфигурации ЗТТ, физико-механические свойства, этапы жизненного цикла ЗТТ. Обосновываются требования к математическим моделям анализа НДС ЗТТ.

Вторая глава посвящена разработке математических моделей этапов жизненного цикла. Для этапа хранения разработана математическая модель поведения вязкоупругого тела при конечных деформациях и статических нагрузках.

Приводятся соотношения для решения динамических задач при конечных деформациях, обобщающие метод модальных разложений. Эта модель используется при анализе этапов транспортировки и выгорания ЗТТ. Дано обобщение линейного варианта модального разложения на случай стохастических внешних воздействий. Приведен дискретный вариант перечисленных моделей, удобный для применения метода конечных элементов.

В третьей разделе формулируется эффективная методика конечноэле-ментной триангуляции ЗТТ с каналами нетривиальной геометрии. Ее основой является метод отображений в аналитической и дискретной формулировке. Приведены расчетные формулы для распространенных типов каналов - круговой цилиндр, «звезда», «мальтийский крест», а также для щелевого заряда. Разработана методика триангуляции области с подвижными границами для анализа НДС выгорающего заряда. Показано, что методика обеспечивает относительно малые затраты машинного времени.

В четвертой главе реализована математическая модель этапов жизненного цикла ЗТТ и решены конкретные задачи, причем все задачи касаются тел, которые могут имитировать заряды РДТТ. Рассматриваются задачи деформирования зарядов ТТ в условиях длительного хранения, приведены задачи динамического нагружения (транспортировка ). Получены зависимости интегральных оценок искажения формы ЗТТ - смещения центра масс (эксцентриситета ЗТТ) и параметра Победоносцева - для различных форм ЗТТ, условий эксплуатации и температуры.

В пятом разделе полученные результаты применялись для определения зависимостей положения центра масс ЗТТ различной формы от времени на активном участке траектории. Начальная геометрия заряда определялась в гл. 4 в зависимости от условий эксплуатации при хранении и транспортировке. Триангуляция выгорающего заряда по методике гл. 3 учитывала закон горения твердого топлива. Полученные зависимости использовались для анализа движения проворачивающегося НРС с технологическим эксцентриситетом на активном участке траектории. Установлены закономерности влияния эксцентриситета

ЗТТ и технологического эксцентриситета на законы изменения во времени поперечных составляющих линейной и угловой скорости.

В заключении сделано обобщение полученных результатов и приведены некоторые рекомендации для дальнейшего использования в практических расчетах зарядов ТТ.

Выводы.

1. Инкрементальный алгоритм, сформулированный в разд.2 в сочетании с системой дискретизации разд.З позволяет анализировать состояние ЗТТ в процессе выгорания при сохранении точности расчетов на каждом шаге за счет перестроения сетки конечных элементов.

2. Анализ НДС ЗТТ в полете позволил установить, что менее чувствительными к условиям хранения и транспортировки являются заряды с большими толщинами их элементов, образованными поверхностью сложной формы, например, звезда с меньшим числом лучей.

3. Предварительные деформации за счет хранения и транспортировки приводят к неравномерному разгоранию ЗТТ и, как следствие, к смещению центра масс и наличию дегрессивных остатков топлива. При этом большие значения указанных характеристик характерны для зарядов с каналом сложной формы. Полностью ликвидировать эти негативные явления невозможно, но их можно уменьшить путем введения инертных вкладышей. Полученные для заряда с горением по внутреннему цилиндрическому каналу зависимости для смещения центра масс и дегрессивных остатков являются их нижней оценкой.

4. В начале горения вблизи обечайки образуются зоны больших градиентов перемещений, создающие условия для образования трещин, что нарушает прочность заряда, приводящее к нерасчетным режимам горения на последней стадии.

Исследования влияния массового эксцентриситета, возникающего за счет деформаций заряда, на движение НРС на активном участке, показывают, что для рассмотренных случаев предварительного хранения и транспортировки появляются заметные поперечные составляющие угловой скорости. Законы их изменения во времени представляются нелинейными колебаниями с периодами порядка 0.2.0.25 времени работы двигателя.

Величины угловых скоростей в конце активного участка, формирующие техническое рассеивание НРС, существенно зависят от закона изменения эксцентриситета, связанного с выгоранием заряда.

fe ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Достижение сформулированной во введении цели работы потребовало решения ряда теоретических и вычислительных задач. Важнейшими из них явилась разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел сложной формы при статических и динамических нагрузках, определенных в ходе анализа конструкций РДТТ, механических свойств твердых топлив и условий эксплуатации ракет. Широкое использование в практике зарядов сложной формы предопределило выбор основного метода расчета - метода конечных элементов. Обобщение инкрементального алгоритма и метода модального разложения на МКЭ-модели обеспечило возможности анализа зарядов с разнообразными формами каналов при различных сочетаниях условий fr хранения и транспортировки. Для анализа наиболее важного этапа - выгорания заряда при работе РДТТ - использовался пошаговый алгоритм с перестроением сетки КЭ на каждом шаге расчета. Это предопределило разработку быстродействующего алгоритма нанесения сетки конечных элементов на объем с переменными границами, что позволило сохранить точность расчетов на каждом шаге. Результаты расчетов, оформленные в виде зависимостей положения центра масс НРС в полете, послужили исходными данными для решения задачи внешней баллистики на активном участке траектории. Тем самым оказался завершен комплекс математических моделей анализа движения НРС, позволяю-Ф щий определить возмущения движения НРС в конце АУТ за счет несимметрии распределения масс, которые являются доминирующей составляющей бокового рассеивания и, тем самым, определяют эффективность РСЗО.

Получаемая в ходе расчетов информация о НДС ЗТТ позволяет определить опасные с точки зрения разрушения точки и прогнозировать такие нежелательные явления, как появления трещин, отслоение бронировки и т.п. Однако для этого требуется проведение дополнительных экспериментальных исследо-ф ваний по определению предельных напряжений и деформаций и построению кривых выносливости конкретных марок топлив.

Использование комплекса математических моделей позволило получить следующие результаты:

1. Решены задачи хранения (квазистатическая) и транспортировки (динамическая) для ЗТТ с нетривиальной геометрией канала со смешанными граничными условиями. При анализе полученных решений обнаружены следующие эффекты: деформации возникают в процессе хранения и транспортировки ЗТТ РДТТ НРС; интегральная характеристика деформации ЗТТ (эксцентриситет центра масс) в зависимости от режимов хранения и транспортировки лежат в пределах 3% - 5% от наружного диаметра заряда.

2. Расчеты показывают, что при хранении и транспортировке напряженно-деформированное состояние заряда сложное; при учете конечной жесткости оболочки вблизи опирания на ложементы возникают узкие зоны концентрации напряжений, связанные со сменой граничных условий на наружной поверхности оболочки. Поэтому при анализе прочности заряда влияние жесткости оболочки для скрепленных зарядов существенно.

3. При расчете выгорания ЗТТ без предварительного деформирования показано, что наибольшие деформации не превышают 0,6% . В модели с жестким корпусом на небольшом расстоянии от корпуса РДТТ образуется зона с большим градиентом деформаций, ширина этой зоны меняется незначительно за время горения ЗТТ, за пределами этой области деформации практически неизменны и максимальны по величине . При догорании заряда образуется дегрессивный слой, толщина этого слоя порядка 0,05D, где D - внешний диаметр ЗТТ. Характер деформирования ЗТТ таков, что движение его центра масс во время полета аналогично кривой ограниченной ползучести.

4. Искажения формы канала, приобретенные в результате длительного хранения ЗТТ, мало влияют на величину максимальных деформаций ТТ на стадии рабочего режима. Характерная область с большим градиентом деформаций сохраняется, ее ширина незначительно увеличивается, но искажается ее форма. Искажение формы канала зависит от того, в какой момент стадии хранения ракета была взята со склада и запущена. Толщина дегрессивного слоя по порядку величины такая же, что для заряда без предварительного хранения. Движение центра масс ЗТТ в связанной системе координат имеет такую же функциональную зависимость, что и у предварительно недефор-мированного заряда, но амплитуда смещения центра масс увеличивается.

5. Деформации при транспортировке (при плохих условиях) превышают во много раз деформации при хранении, поэтому их влияние на полетную стадию значительно. Отклонение формы канала от недеформированной велико и толщина дегрессивного слоя увеличивается в 2 - 5 раз (в зависимости от условий транспортировки) по сравнению с недеформированным зарядом.

6. Анализ НДС ЗТТ в полете позволил установить, что менее чувствительными к условиям хранения и транспортировки являются заряды с большими толщинами их элементов, образованными поверхностью сложной формы, например, звезда с меньшим числом лучей.

7. Предварительные деформации, полученные на различных этапах жизненного цикла, приводят к неравномерному разгоранию ЗТТ и, как следствие, к смещению центра масс и наличию дегрессивных остатков топлива. При этом большие значения указанных характеристик характерны для зарядов с каналом сложной формы. Полностью ликвидировать эти негативные явления невозможно, но их можно уменьшить путем введения инертных вкладышей. Полученные для заряда с горением по внутреннему цилиндрическому каналу зависимости для смещения центра масс и дегрессивных остатков являются их нижней оценкой

8. В начале горения вблизи обечайки образуются зоны больших градиентов перемещений, создающие условия для образования трещин, что нарушает прочность заряда, приводящее к нерасчетным режимам горения на последней стадии.

9. Исследования влияния массового эксцентриситета, возникающего за счет деформаций заряда, на движение НРС на активном участке, показывают, что для рассмотренных случаев предварительного хранения и транспортировки появляются заметные поперечные составляющие угловой скорости. Законы их изменения во времени представляются нелинейными колебаниями с периодами порядка 0.2.0.25 времени работы двигателя. Величины угловых скоростей в конце активного участка таб.5.4, формирующие техническое рассеивание PC, существенно зависят от закона изменения эксцентриситета, связанного с выгоранием заряда.

166

1. Александров А .Я., Ахметзязов М.Х. Поляризационно - оптические методы механики деформируемого тела. М., 1973, 576 с.

2. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978, с. 464

3. Алемасов В. Е. и др. Теория ракетных двигателей. М., 1980,533 с.

4. Андреев А.И. Исследование равновесного состояния тяжелого цилиндра при больших деформациях. // Тез.докл. IV науч.-конф.,фев.1986-Рига,1986,- С.8.

5. Андреев А.И. Квазистатическое деформирование вязкоупругих тел при конечных деформациях. // Численные методы в исследовании напряжений и деформаций в конструкциях: Сб. науч. работ УНЦ АН СССР. -Свердловск, 1987. С. 27- 30.

6. Андреев А.И. Конечные деформации вязкоупругого стержня при стохастических нагрузках. //Современные проблемы математики, механики, информатики. / Тез.докл. Всерос.науч.конф. - Тула: ТулГУ, 2000. - С.66

7. Андреев А.И., Желтков В.И. Динамическое деформирование массивных вязкоупругих тел при больших деформациях. -//Известия ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: 1998, Том 4, Выпуск 2. С.27-34.

8. Андреев А.И., Желтков В.И. Динамическое нагружение вязкоупругих тел. //Современные проблемы механики и прикладной математики./ Тез.докл. школы. - Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 16

9. Андреев А.И., Желтков В.И., Редько А.А. Моделирование жизненного цикла заряда PC30. // Оборонная техника, №11-12, 1999. Москва: 1999.-С.37-39.

10. Андреев А.И., Желтков В.И., Толоконников JI.A. Приближенное решение задач геометрически нелинейной теории вязкоупругости. // Тез.докл. Всесоюзной науч.-тех.конф.,фев.1983 г. Рига,1983.- С.81.

11. Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Анализ динамики геометрически нелинейных вязкоупрутих тел с помощью преобразования Фурье. // 11-я Междун.зимняя школа по механике сплошных сред. / Тез.докл., Книга I. - Пермь, 1997 г.

12. Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Применение преобразование Фурье к задачам динамики неупругих тел. // Моделирование и критерии подобия в процессах развитого пластического формоизменения. / Тез.докл.междун. симпозиума. - Орел, 1996 г.

13. Андреев А.Й., Желтков В.И., Хромова Н.Г. О корнях характеристического уравнения динамики вязкоупрутих тел. //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 2. С. 31-34

14. Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Преобразование Фурье в задачах динамики сжато-изогнутых пластин. // В сб. «Труды XVIII международной конференции по оболочкам и пластинкам». Саратов, СГТУ, 1997.

15. Андреев А.Й., Карнеев С. В., Шмараков JI.H. Анализ остаточных напряжений по параметрам внешнего воздествия. // Математическиемодели и краевые задачи./ Труды 7-ой межвуз.науч.конф. Самара, 1997 г

16. Андреев А.И., Горячев JI.B., , Редько А.А. Конечные деформации вязкоупругого цилиндра при горизонтальном хранении // Оборонная техника, № 5-6,2000. Москва:2000. - С.59-61.

17. Андреев А.И., Горячев Л.В., , Редько А.А., Сатаров А.В. Математическая модель формоизменения твердого топлива при транспортировке. // Оборонная техника, №, 2001. Москва:2001.

18. Андреев А.И., Горячев J1.B., Желтков В.И., Редько А.А. Деформация зарядов твердого топлива во время полета. // Оборонная техника, №, 2001. -Москва:2001.

19. Андреев А.И. Дискретное разбиение заряда твердого топлива методом отбражения //Сб. ст."Механика деформированного твердого тела и обработка металла давлением", ч. № 1,2001. Тула, 2001., с. 30-33

20. Ф 31 .Андреев А.И. Применение температурно-временной аналогии к описанию поведения термо-вязкоупругих тел при конечных деформациях //В сб. "Механика деформированного твердого тела и обработка металла давлением", ч. № 2,2001. Тула, 2001., с. 48-50.

21. Андреев А.И. Математическое моделирование процессов хранения и транспортировки вязкоупругих тел при конечных деформациях. Тула, ТулГУ, 2001.-102 с.

22. Андреев А.И. Напряженно деформированное состояние толстостенного вязкоупругого цилиндра при горизонтальном хранении //Известия ТулГУ

23. Серия. Математика. Механика. Информатика., Том 8, Выпуск 2 Тула: -ТулГУ,2002. -С.27 -30.

24. Андреев А.И. Влияние деформированного состояния заряда твердого топлива на движение PC РСЗО на активном участке траектории //Известия ТулГУ Серия Проблемы специального машиностроения Выпуск 6. Часть 1 -Тула -Тулгу,2003.-C.3-6.

25. Афонин П.М., Голубев И.С., Колотков Н.И., Манучаров В.А., Новиков В.Н. Хмелевский Г.В., Чернобровкин Л.С., Чураков В.Н. Беспилотные летательные аппараты. М.: «Машиностроение», 1967. - 439 с.

26. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.:Мир, 1982. - 287с.

27. Бабич Ю.Н., Цыбенко А.С. Методы и алгоритмы автоматического формирования сеток конечных элементов. Киев: ИПП АН УССР, 1978. -93с.

28. Борискин О.Ф., Кулибаба В.В., Репецкий О.В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 144с.

29. Бабкин А. И. и др. Основы теории автоматического управления ракетыми двигательными установками. М., 1978, 328 с.

30. Баррер М., Жомотт А., Вебек Б.Ф., Вандекерхове Ж. Ракетные двигатели, перев. с англ. - М.: Оборонгиз, 1962, 800 с.

31. Бартеньев О.В. Графика OpenGL: программирование на Фортране. М.: Диалог-МИФИ, 2000, с. 36843 .Беляев Т.Ф. Ракетные заряды к снарядам реактивных систем залпового огня (РСЗО второго и третьего поколения). Москва, 1992, с. 60

32. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М: Наука, 1976, с. 296

33. Бронский А.П. Явление последействия в твердом теле. ПММ, т.5, вып.1, 1941.

34. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. Лейпциг: Тойбнер, 1979, Москва: Наука, 1980, с. 976

35. Бузовкин Е.А., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Ускоренный способ исследования реакции несущих конструкций на динамические воздействия. // Вопросы специальной радиоэлектроники (сер.РЛТ), вып.28,1993. с. 102-108.

36. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Численное решение линейных и геометрически нелинейных задач для ребристых оболочек и пластин. // Расчет пространственных конструкций. -1969. Вып.8.

37. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987, с. 542

38. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1984, - 428 с.

39. Герман Л., Тамекути М. Усадка двигателей на твердом топливе при горизонтальном хранении. / Ракетная техника и космонавтика, № 8, 1965.

40. Голубев И.С., Самарин А.В. Проектирование конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1991. - 512 е.: ил. 229.

41. Горбатенко С.А., Макашов Э.М., Полушкин Ю.Ф., Шефтель Л.В. Расчет и анализ движения летательных аппаратов. Инженерный справочник, М., " Машиностроение 1971. - 352 с.щ 57.Горст А. Г. Пороха и взрывчатые вещества. М, 1972,208 с.

42. Григорьев А.И. Твердые ракетные двигатели. М.: Изд-во " Химия " ,1969.- 116 с.

43. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 456с.

44. Громов В.Г. Алгебра операторов Вольтерра и ее применение в задачах вязкоупругосга. // Докл. АН СССР, 1968, т. 182, № 1, с. 56 -59.

45. Громов В.Г. Комплексный метод аналитического описания термомеханических свойств полимерных тел при неизотермических конечных деформациях. // Кн.: Тез.докл. П Всесоюз.симпоз. Теория мех. переболей полимер.материалов. Пермь, 1980, с. 132 - 133.

46. Громов В.Г. Метод построения определяющих соотношений для термовязкоупругих материалов при конечных деформациях. // Механика деформируемого тела.- Тула, 1983. - С. 53 - 61.

47. Громов В.Г. Об одном методе аналитического выражения линейных вязкоургугих свойст полимерных материалов. // Механика полимеров,1970, №3, с. 987 991.

48. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. М.: В. Школа, 1973, с. 296

49. Деев В.М. Об одном виде несимметричного решения пространственной задачи теории упругости в цилиндрических координатах. / Численныеметоды в исследовании напряжений и деформаций в конструкциях, Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987г. С. 28 - 34.

50. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации. М.: Мир,1988, с. 440

51. Дьяконов В. П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5. М.: СОЛОН, 1998, с. 400

52. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. М.: СК Пресс, д 1997, с. 330

53. Дэй У.А. Термодинамика сред с памятью. М.:Мир, 1970 - 254с.

54. Елпатьевский А. Н., Васильев В. В. Прочность цилиндрических оболочек из армированных материалов. М., 1972,168 с.

55. Ерасов В.И. , А.А. Хованский Исследование закона скорости горения в условиях деформированного состояния СТРТ. Горение и катализ ТРТ./Под ред. Б.П. Жукова. - М.: 1980.

56. Еременко С.Ю. Общие структурно-равновесные решения краевых задач механики композитов. // 1997. Т.ЗЗ. №4. - С.474 - 481.

57. Ерохин Б.Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирование РДТТ. М.: Машиностроение, 1991, с. 560

58. Желтков В.И. Применение метода конечного элемента к задачам нелинейной вязкоупругости. // Работы по механике сплошных сред.-Тула, 1975.

59. Желтков В.И., Дехтяр Д.А., Суманеева Е.Н. Определение вязко-упругих характеристик композитных материалов из динамических испытаний. //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. с. 52-57

60. Желтков В.И., Комолов Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупругих тел. //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 58-69

61. Желтков В.И., Кузнецов К.А. //Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 2. С. 74-77.

62. Жеятков В.И., Толоконников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупругих тел. Доклады РАН. сер. 1993. Т. 329. № 6.- С. 718-719.

63. Желтков В.И., Хромова Н.Г. Способ исследования динамической реакции вязкоупругих тел// Мех. деформ. тела/ Тул. гос. техн. ун-т. Тула, 1994. -С. 48-51.

64. Зингер Дж., Абрамович X. Определение реальных граничных условий для подкрепленной оболочки вибрационным методом. //Ракетная техника и космонавтика. М: Мир,1979, т. 17. № 17

65. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975. - 544с.

66. Зенкевич О.,Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.:Мир, 1986. - 267с.

67. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971.1.

68. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Высш. школа, 1963. 271с.

69. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. К вопросу о нелинейной теории вязкоупругости. // Прочность и пластичность. -1971.

70. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. - 280с.

71. Колесникова Н.В. Собственные частоты колебаний цилиндров с неподвижной цилиндрической поверхностью.//В сб. «Числ. методы висследованиях напряжений и деформаций в конструкциях.» Свердловск, 1987. - с.76-79.

72. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Соколов Б.Н. и др. Об исследовании вынужденных установившихся колебаний системы вязкоупругий заполнитель упругая оболочка./УЩ Всес. конф. по прочности и пластичности//Тез. докл. - Пермь, 1983. - с.83.

73. Колесникова Н.В., Матвеенко В.П., Юрлова Н.А. Численный анализ диссипативных свойств кусочно-неоднородных вязкоупругих тел./В сб. «Методы расчета изделий из высокоэластичных материалов.»//Тез. докл. V Всес. НТК. Рига, 1989. - - с.95.

74. Кибец Ю.И., Фиров А.Н. Автоматическое построение сетки в конечноэлементном анализе. // В сб. «Метод конечных элементов в строительной механике» Торысий, изд. ГГУ, 1975. - с. 48-53.

75. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М.: Машиностроение, 1977, с. 232

76. Кожевникова Л.Л., Кузнецов Г.Б., Роговой А.А. Равновесие короткого тяжелого цилиндра при конечных деформациях. // Равновесие тел вращения под действием массовых сил. —1983. - С. 93 - 99.

77. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, с. 544

78. Колтунов М.А. . К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации. Механика полимеров, 1968, №4.

79. Колтунов М.А. Влияние режимов нагружения на механические характеристики, ползучесть и релаксацию стеклопластика. Вестник МГУ, 1965, т.4.

80. Колтунов М.А. Определение характеристик вязко-упругих сред по данным квазистатических опытов. Механика полимеров, 1967, №5.

81. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация: Учеб. пособие для студентов высших тех. учеб. заведений. -М.: Высш. школа, 1976. -277 с.

82. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Пасько Д.А. Прочность полых цилиндров. М.: Машиностроение, 1981, с. 264г

83. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Черных В.А, Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: В. Школа, 1975, с. 526

84. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение, 1983, с. 240

85. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости. // Механика эластомеров. 1974. Т. 1. С. 36 - 46.

86. Конофеев Н.Т. Транспортировка ракет. М.: Воениздат, 1978, с. 150

87. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений.

88. М.: Иностранная литература, 1963, с. 406

89. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Маковкин Г.А. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов: монография.- Н. Новгород, 1996, ч.1, с. 192

90. Коротких Ю.Г., Волков И.А., Маковкин Г.А. Математическое моделирование процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов: монография.- Н. Новгород, 1996, ч. 2, с. 82

91. Кохино Мазахиро. Влияние механических свойств СТТ на характер их горения РЖ Авиационные и ракетные двигатели, №5,1982. ст.Зк.

92. Краснов Н. Ф. Аэродинамика ракет. М., 1968. 772 с.

93. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М., 1979. - 338 с.

94. Куров В. Д., Должанский Ю. М. Основы проектирования пороховых ракетных снарядов. М., 1961,294 с.

95. Лавендел Ю.О. К оценке оптимальности конечноэлементной модели. // В юн. «Вычислительная техника и краевые задачи». Рига, Зинатне, 1982. -с. 35-42.

96. Лавендел Ю.О. Математические критерии оценки расчетной сетки для метода конечных элементов. // Изв. АН ЛатССР. Сер. физ. и техн. наук, 1982, №3.- с. 95-100.

97. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, с. 736

98. Лаврик В.И., Фильчакова В.П., Яшин А.А. Конформные отображения физико-топологических моделей. Киев: Наукова Думка, 1990, с. 374

99. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987, с. 248

100. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. - 512 с.

101. Макаровец Н.А. и др. Развитие реактивного оружия залпового огня. // Оборон, техника, 1999, №11-12, с. 4-7.

102. Макаровец Н.А., Денежкин Г.А., Обозов Л.И. Вопросы разработки дальнобойных реактивных комплексов высокоточного оружия // Оборон, техника, 1993, №2.

103. Мамонтов М.А., Шепетовский А.Я., Юрманова Н.П. Теория тепловых двигателей.( Внутреняя баллистика ) Тула.: ТулПИ, 1975. - 235 с.

104. Матвеенко В.П. Численный анализ вынужденных установившихся колебаний несжимаемых и слабосжимаемых тел.// В сб. Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. Свердловск, 1986, - с.83 - 87.

105. Матвеенко В.П. Об одном алгоритме решения задачи о собственных колебаниях тел методом конечных элементов.// В сб. «Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости. Свердловск, 1980. - с.20-24.

106. Матвеенко В.П., Колесникова Н.В., Юрлова Н.А Численноемоделирование собственных затухающих колебаний кусочно однородных вязкоупругих тел. // В кн. «Расчеты на прочность.» Вып.31. -М.:Машинос1р., 1989. с.166-172.

107. Милахин Ю.И. и др. Влияние деформаций на баллистические характеристики ТРТ. Горение и катализ ТРТ./Под ред. Б.П. Жукова. -М.: 1980.

108. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов ( применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе ). -М., Наука, 1972.-328 с.

109. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М: Наука, 1966, изд. 6-е, с. 708

110. Новиков В.Н., Авхимович Б.М., Вейтин В.Е. Основы устройства и конструирования летательных аппаратов. М: Машиностроение, 1991, с. 368

111. Новиков В.Н., Котельников А.В. Двигательные установки на твердом топливе. М.: Моск. авиац. ин-т., 1979.- 73 е., (ДСП).

112. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Ленинград: ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ, 1991, с. 304

113. Образцов И.Ф. и др. Метод конечных элементов в строительной механике летательных аппаратов. М.:Высшая школа, 1987. - 421с.

114. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976, с. 464

115. Орлов Б.В., Мазинг Г.Ю. Термодинамические и баллистические основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе. М.: Машиностроение, 1968, с. 536

116. Острик А.В., В.П. Петровский. Огневые стендовые испытания на прочность твердотопливных ракетных двигателей к воздействию боковойф нагрузки. // Хим. физ., 1995, т. 14, №1. с. 11-17

117. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет. // Прикладная математика и механика. 1946. Т.Х. - С.251 - 272.

118. Палечек Е.М. К вопросу о вычислении траектории центров тяжести артиллерийских снарядов. // Прикладная математика и механика. 1951. -T.XV. С.83 - 94.

119. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Паука, 1980, - С.256.

120. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.:Наука, 1987, - С.352.

121. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 344 с.

122. Постнов В.А. Обратная проблема собственных чисел для одномерной разветвленной упругой системы. // Тез. докл. 3 Междунар. симп. «Динамика и технол. проблем мех. конструкций и сплош. сред». -М., 1997. с. 88-89.

123. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. J1.: Судостроение, 1977. 279 с.

124. Постнов В.А., Тарануха И.А. Матрицы жесткости и принципы дискретизации в методе модуль-элементов. // Труды Ленинградского Ордена Ленина Кораблестроительного института, 1989 с. 81-89.

125. Постнов В.А., Тарануха И.А. Метод модульных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1990. 312с.

126. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.:Судостр., 1974. - 476с.

127. Проектирование и испытание баллистических ракет. М.: Воениздат, 1970. - 392 с.

128. Пугачев B.C. Приближенный метод исследования плоских нелинейных колебаний оперенного снаряда. // Прикладная математика и механика. 1946.-Т.Х.-С.139-152.

129. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М. .Наука, 1966. -752с.

130. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1966.

131. Расчеты конструкций на прочность и жесткость. Интегрированная система автоматизации конструирования и прочностных расчетов изделий машиностроения КИПР-ЕС: Межвуз. сб. научн.тр./Под ред. В.И.Мяченкова. М.:Изд. Мосстанкин, 1987. - 188с.

132. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов.: Справочник/В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П.Майборода и др. Под общ. ред. В.И.Мяченкова. М.:Машиностр., 1989. - 520с.

133. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем деформирующихся во времени. Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949, с. 252

134. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982, с. 400

135. Рожков В. В. Двигатели ракет на твердом топливе. М., 1971. -120 с.

136. Саммерфилд М. Исследования ракетных двигателей на твердом топливе. М.: ИЛ., 1963.

137. Сарнер С. Химия ракетных топлив. М., 1969. 487 с.

138. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979. - 392с.

139. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954, с. 328

140. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993.-664с.

141. Серебряков М. Е. Внутренняя баллистика артиллерийских орудий и пороховых ракет. М., 1962. 703 с.

142. Силантьев А. И. Твердые ракетные топлива. М., 1964. 77 с.

143. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. М.: Иностранная литература, 1962, в 2-х т.

144. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М: Машиностроение, 1985, с. 472

145. Толоконников Л.А. Введение в механику деформируемого твердого тела. Тула, 1976, с. 186

146. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.:Высшая школа, 1979.-318с.

147. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

148. Улитин В.В. Итерационные алгоритмы. С.-Петербург, 1991, с. 232

149. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974, с. 160

150. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН, 1974. - 216с.

151. Филатов А.Н. Усреднение в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях-Ташкент, ФАН, 1967.-231с.

152. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. -152с.

153. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-352 с.

154. Хархурим И.Я. Метод конечного элемента в нелиненой механике эластомеров.// Механика эластомеров: Межвуз.сб. Краснодар, 1980. -Вып.101. -С.13-24.

155. Цуй Тян-ю. Расчет методом конечных элементов напряжений в осесимметричном теле при кручении. //Ракетная техника и космонавтика. М.: Мир,1979, т. 17. №4

156. Цыбенко А.С., Ващенко Н.Г., Крнщук Н.Г., Лавендел Ю. О. Автоматизированная система обслуживания конечноэлементных расчетов. Киев: Вшца школа, 1986. - 251с.

157. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Ленинград: Машиностроение, 1986, с. 336

158. Чуков А.Н. Радиальные волны сдвига в упруговязкопластической пластине / В кн.: Исследования в области пластичности и обработки металлом давлением. Тула, ТулПИ, 1981. С.126 -131

159. Шапиро Я. М., Мазинг Г. Ю., Прудников Н. Е. Основы проектирования ракет на твердом топливе. М., 1968. 352 с.

160. Шардаков И.Н. Построение приближенных решений линейно вязкоупругих задач методом аппроксимаций по известным приближенным упругим решениям. // В сб. "Методы решения задач теории упругости и пластичности. Вып.8". Горький, 1974. - с.88-95.

161. Шардаков И.Н., Шевелев Н.А., Машкин А.Н. Влияние сил Кориолиса на пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел.//В сб. "Тезисы докл. Всесоюзн. конф. по прочности и пластичности." -Пермь, 1983. с. 195.

162. Шардаков И.Н., Шевелев Н.А., Машкин А.Н. Пространственные формы и частоты колебаний осесимметричных тел.// В кн. Прочностные и динамические характеристики машин и конструкций. Пермь, 1985. - с.З-8.

163. Шепен П., Коснар М., Гардан И., Робер Ф., Робер И., Витомски П., Кастельжо П., Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР. В 2-х кн. М.: Мир, 1989.

164. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. М.: Наука, 1976, с. 520

165. Штехер М. С. Топлива и рабочие тела ракетных двигателей. М., 1976.-304с.

166. Эслами М.Р. Линеаризованное решение задачи о ползучести в несимметрично нагретых цилиндрах. //Ракетная техника и космонавтика. -М.: Мир,1979, т. 17. № 17

167. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и кривыми. Ленинград, Москва: Технико-теоретическая литература, 1949, с. 420

168. Angelo В. Mingarelli. Voltera-Stieltjes Integral Equations and generalized Ordinary Differential Expressions. Berlin, Heideberg, New-York, Tokyo: Springer-Verlag, 1983, p. 317

169. Barkanov E. Frequency response and damping analyses of structures with different damping models. // Механика композитных материалов. 1997. -Т.ЗЗ. №2. С.226 - 234.

170. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. Annalen der Physik und Chemie, Erg.Bd. 7,1876

171. Frank P.G., Zimmerman W.F. Materials for Rockets and Missiles. New-York: The MacmiMan, 1959, p. 124

172. Kit В., Evered D.S. Rocket Propellant Handbook. New-York: The Macmillan Company, 1960, p. 352

173. MathCAD PLUS 6.0. Руководство пользователя. M.: Филинъ, 1996, с. 712

174. Nowacki W. Dynamic problems of thermoelasticity. Institute of Mechanics, Warsaw University, Warszawa, Poland, 1975, p. 436

175. Rocket Propulsion Elements. London, 1956

176. Sobotka Z. Rheology of materials and engineering structures. Prague: Academia, 1984, p. 548

177. Volterra V., Fonctions de lignes. Gauthier-Villard, Paris, 1913.

178. Hartzman M., Hutchinson J.R. Nonlinear Dynamics of Solids by Finite Element Method.//J. of Sound and Vibr., 1975,№3. pp387-397.

179. Akyuz F.A. Natural coordinate system, An automatic input data generation scheme for a finite element method. II Nuclear Eng. Design, v. 11, 1969, N2. -pp 787-797.

180. Bank R.E., Sherman A.H. The use of adaptive grid refinement for badly behaved elliptic partial differential equations // Math. And сотр. in simulation, 1980, v. 22, N1, pp. 18-24.

181. Holsgrove S., Irving D., Lyonn P. The LUSAS finite element system // FEMCAD'88 Ргос.4л SAS-World Conf., Paris, 17-19 oct. 1988. Vol./Numer. Anal. And Comput. Aided Des.-Gournay-sur-Marne, 1988-c.127-132.

182. Liu W.H., Chang T.B. Vibration of Non-Uniform Skewed Cantilewer Plates by the Method of Finite Element Transfer Matrix.//J. Sound and Vibr., 1990,v.136, №1. pp. 157-163.

183. Mbller G, Schuelle H. Berechnungen hach der Finit Element Metode mit ANSYS // Infografik. ~ 1989. -№4 c.28.30-32.

184. NASTRAN computer program for structural analysis. SAE Preprints, 1962. № 12.

185. Shen Yapeng, Li Lu-xian, Wang Xiao-ming. Numerical method for viscoelasticquasistatic and dynamic problems// Lixue jinzhan. = Adv. Mach. -1994.-24, №2.-C. 265-272.

186. Stefanov G.D., Syrmakezis K. Automatic triangular mesh generation in flat plates for finite elements // Comp.&Struct., 1980, v.l 1, pp. 439 464.

187. Zienkiewich O.C., Phillips D.V. An automatic mesh generation scheme for plane and curved surfaces by isoparametric coordinates. // Int. J. Numer. Math. Eng., 1971, v.3, pp. 519 528.