Вложения функциональных классов и сходимость кратных рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.51

Драгошанский Олег Святославович

ВЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ И СХОДИМОСТЬ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Од —

Москва 2003

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор М.И. Дьяченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор H.H. Холщевникова, кандидат физико-математических наук, доцент С.А. Степанянц

Ведущая организация: Московский государственный

университет леса

Защита диссертации состоится " " ^вк'ООрА._ 2003 г. в 16 часов

15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " $ " _2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, профессор

Т. П. Лукашенко

2-ооЗ-Д

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

В первой главе данной диссертации рассматриваются многомерные тригонометрические полиномы с монотонными по каждому индексу коэффициентами. Частным случаем случаем таких полиномов являются многомерные ядра Дирихле достаточно широкого класса. Многими авторами изучалась следующая задача. Пусть В с Жт — открытое ограниченное множество, такое, что если х 6 В и а 6 [—1,1], то ах е В. Требовалось найти асимптотику ¿р-норм ядер Дирихле

2 т

п€гВПХт

В.А.Юдин1 установил, что если верхняя поверхностная мера Минковского границы множества В конечна, т.е. ц{х 6 Кт : р(х, дВ) < г} < Се, то для ¿1-нормы ядра Дирихле, соответствующего множеству гВ, справедлива оценка:

||£Ы1 = О^К"*-4) при г -> оо.

Л.Кользани и П.Соарди2 распространили этот результат для метрики Ьр (р ^ 1). Они доказали, что при тех же условиях на множество В

11А*(*)11р =

0(гК—Ч) приКрс^,

O^è^-iiQnr)1^) при р = 0{гт^) ■ при ^ < р < оо,

при г —*■ оо. Известно, что если В — шар, то все три оценки точны. Отметим также результат, принадлежащий А.А.Юдину и В.А.Юдину3 и Э.С.Белинскому4 для размерности т = 2 и И.Р.Лифлянду5 для т ^ 2.

1Юдин В.А. Поведение констант Лебега //Матем. заметки. 1975. Т.17. N 3. С.401-405.

2Colzani L., Soardi P.M. //-norms of kernels on the n-dimensional torus //Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V.266. N 2. P.617-627.

3Юдин A.A., Юдин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега //Матем. заметки. 1977. Т.22. N 3. С.381-394.

''Белинский Э.С. Поведение констант Лебега некоторых методов суммирования кратных рядов Фурье //Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев: Наукою думка. 1977. С. 19-39.

5Лифлянд И.Р. Точный порядок констант Лебега гиперболических частных сумм кратных рядов Фурье //Матем. заметки. 1986. Т.39. N 5. С.674-683.

СОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Теорема А. Пусть множество ВТ = {х е Мт : |®1 •... • хт\ < гт и \х,\ при j = 1, т} Тогда

Ь{ВТ) х г(т_1)/2 при г -> оо.

М.И.Дьяченко6 доказал следующее утверждение.

Теорема В. Пусть множество V С Мт таково, что если точка (к\,..., кт) € И, то и весь прямоугольник [1, х... х [1, &т]ГШт принадлежит и (в этом случае ядро £){/(х) будет являться многочленом с монотонными по каждому индексу коэффициентами). Тогда прир € [1, справедлива оценка

|| А,(х)||р < С(р, т) р(т~1)/2, р = так (щ •... • пт)1/т.

п€и

В настоящей работе получено обобщение этого утверждения на случай норм в анизотропных пространствах Ьр. Напомним, что норма в этих пространствах определяется следующим образом:

{ Г ( С (С \ \ Рт/Рт~1 \

||/'|р=\Шт'\Ьтх)Г<1Х1) ■■■(1хт-1) ^ ■

Далее, из многомерной теоремы Харди-Литтльвуда следует, что для любого тригонометрического полинома 5(х) = Х1к=1 аке<кх справедливы оценки

/ м ч 1/р

||5(х)||р<С(Р)т)(^|ак|"(Л,.....Лп,Г2) . ре[2,оо), (1)

4=1 '

, М ч 1/р

№х)\\р>С(р,т)1У£\ак\Цк1-...-кт)р-2\ , ре( 1,2]. (2) к=1 ' Отметим то, что Я.С.Бугровым7 был получен анизотропный аналог теоремы Харди-Литтльвуда в части неравенства (2).

Мы будем рассматривать полиномы (2(х) = ап е,пх с монотонными по каждому индексу коэффициентами (то есть, все коэффициенты а„

6Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Ьр //Матем. сбориик. 1993. Т.184. N 3. С.3-20.

7Бугров Я.С. Абсолютная суммируемость преобразований Фурье и абсолютная сходимость кратных рядов Фурье //ДАН СССР. 1988. Т.302. N 5. С.1033-1035.

действительны, и если 1 ^ к\ ^ щ, ..., 1 < кт ^ пт, то а^ ^ а„ ^ 0). М.И.Дьяченко8 9 10 показал, что для них при 2 < р < оо выполняется неравенство, обратное к (1), а при < р < 2 — неравенство, обратное к (2). В диссертации получено обобщение оценки нормы сверху, полученной М.И.Дьяченко, на случай анизотропных норм для размерности m— 2.

Во второй главе изучается влияние поворотов системы координат на сходимость рядов и интегралов Фурье. Вообще, вопрос о том, как влияет замена независимой переменной х —> х' на сходимость ряда Фурье функции f(x) — /(х(х')), затрагивается в работах многих авторов. (Под заменой переменной мы понимаем гомеоморфизм тора Т™ или всей плоскости Кт на себя.)

Изучался вопрос о том, как с помощью замены переменной добиться того, чтобы полученная функция имела равномерно сходящийся ряд Фурье. В одномерном случае хороню известна

Теорема С (Г.Бор11). Для любой непрерывной 2п-периодической функции f(x) существует такой гомеоморфизм г полуинтервала Т — (—7Г, 7г] на себя, что ряд Фурье f(r(x)) сходится равномерно на Т.

Ставился также вопрос о том, какие замены не выводят функции, принадлежащие некоему классу W, за пределы этого класса. Относительно класса А(Т) функций, непрерывных на Т и имеющих абсолютно сходящиеся ряды Фурье, известно такое утверждение.

Теорема D (Бёрлинг, Хелсон12). Пусть ip : Т —> Т — произвольная измеримая функция, обладающая тем свойством, что композиция f(tp(x)) принадлежит А(Т) для любой функции f(x) G Л(Т). Тогда существуют целое число п и действительное число а такие, что

ip(x) = arg(e^ni4"a^) для всехх.

Пусть размерность m = 1 или 2. Нас будут интересовать классы Vm и Uт ограниченных и интегрируемых на Кт функций, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся интегралы Фурье. Мы

'Дьяченко М.И. О сходимости двойных тригонометрических рядов и рядов Фурье с монотонными коэффициентами //Матем. сборник. 1986. Т.129. N 1. С.55-72.

9Djachenko M.I. Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients //Anal. Math. 1990. V.16. N 3. P.173-190.

10Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Lp //Матем. сборник. 1993. Т.184. N 3. С.3-20.

11см., например, Вари Н.К. Тригонометрические ряды, М.: Мир, 1961.

12см., например, Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, М.: Мир, 1970.

также рассмотрим классы Vm и Um ограниченных измеримых функций на Rm, носитель которых лежит в открытом кубе (—ж, ж)т, имеющих, соответственно, почти всюду и равномерно сходящиеся ряды Фурье.

Мы будем рассматривать лишь линейные (точнее, аффинные) замены независимых переменных, то есть, замены вида х = Ау + Ь, где А — невырожденная матрица. Любая такая замена есть композиция поворотов и замен вида х = Dy + b, где D- диагональная матрица.

В одномерном случае нетрудно показать, что если линейное преобразование х = ау + 6 оставляет носитель фупкции f(x), которая принадлежит какому-либо из классов V\ или U\, в интервале (—ж, 7г), то функция f(x(y)) будет принадлежать тому же самому классу, и что любое линейное преобразование переводит классы Vj и U\ в себя. Почти очевидно также, что в многомерном случае замена х = Dy + b, где D— диагональная матрица, переводит классы Vm и Um в себя.

Из теоремы И.Л.Блошанского13 о равносходимости почти всюду двойных рядов и интегралов Фурье вытекает, что если такая замена х = Dy + b оставляет носитель функции /(х) € Уг в кубе (—ж, 7г)2, то функция /(х(у)) будет также принадлежать классу

Оказалось, что замена поворота не обладает такими свойствами. В данной работе на двух примерах показано, как (в двумерном случае) преобразование поворота на угол а ф кж/2, к 6 Z, вокруг начала координат может испортить равномерную или почти всюду сходимость ряда и интеграла Фурье. Первый пример интересен ещё и тем, что он связан с примером Феф-фермана14 непрерывной функции на Т2, имеющей всюду расходящийся по прямоугольникам ряд Фурье.

В одномерном случае, согласно результатам Л. Карлесона15 и Р. Хан-та16, справедлива

Теорема Е. Если при некотором р > 1 2ж-периодическая функция f(x) принадлежит LP(T), то её ряд Фурье сходится почти всюду.

В многомерном случае ситуация существенно отличается для сходимо-

13Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье //Матем. заметки. 1975. Т.18. №2. С.153-168.

14Fefferman С. On the divergcnce of multiple Fourier series //Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77. N 2. P.191-195.

15Carieson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series. //Acta Math. 1966. V. 116. N 1-2. P.135-157.

16Hunt R. On convergence of Fourier Series //Proc. Conf. on Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues, Edvards ville, III, 1967. Southern III. Univ. Press. Carbondale, III., 1968. P.235-255

сти по квадратам и сходимости по прямоугольникам. Н.Р.Тевзадзе17 установил следующее утверждение.

Теорема F. Если функция двух переменных f(x,y) принадлежит классу L2(T2), то её ряд Фурье сходится по квадратам почти всюду.

Теоремы Б и F обобщались в работах Ч.Феффермана18, П.Шёлина19, Н.Ю.Антонова20 21.

Что касается сходимости по прямоугольникам, то здесь известен такой результат Ч.Феффермана:

Теорема G. Существует непрерывная и 2ж-периодическая функция от двух переменных, ряд Фурье которой расходится по прямоугольникам всюду.

Мы покажем, что существует непрерывная функция /(ж, у) с носителем в круге {х2 + у2 < 7Г2}, которая строится подобно примеру Феффермана (и тоже имеет расходящийся на множестве положительной меры ряд Фурье) и которая после поворота системы координат на любой угол а ф кж/2, k е Z, превращается в функцию с равномерно сходящимся по прямоугольникам рядом Фурье. Грубо говоря, расходимость на множестве положительной меры в случае примера Феффермана неустойчива к поворотам системы координат.

В третьей главе диссертации изучается взаимоотношение между многомерными классами ABV функций ограниченной А-вариации и классами CAV функций, непрерывных по А-вариации.

Опеределение функции с ограниченной А-вариацией в одномерном случае дал в 1972 году Д.Ватерман22. Он доказал теорему, обобщающую известный признак Дирихле - Жордана. В 1980 году23 он ввёл также класс

17Тевзадзе Н.Р. О сходимости двойных рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом //Сообщения АН ГССР. 1970. Т.58. N 2. С.277-279.

l8Fefferman С. On the convergence of multiple Fourier series //Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77. N 5. P.744-745.

19Sjolin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series //Ark. Mat. 1971. V.9. N 1. P.65-90.

20Антонов Н.Ю. Сходимость почти всюду кратных рядов Фурье //Деп. в ВИНИТИ 24.11.1997, N 3444-1397.

21 Антонов Н.Ю. Поведение частичных сумм тригонометрических рядов Фурье. Ав-тореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1998.

MWaterman D. On convergence of Fourier series of functions of bounded generalized variation //Studia Math. 1972. V.44. N 1. p.107-117.

23Waterman D. Generalized bounded variation — recent results and open questions //Real Analysis Exchange. V.5. 1979-1980. P.148-150.

функций, непрерывных по Л-вариации и поставил вопрос о соотношении между классами АВУ и САУ.

Впервые пример неограниченной последовательности А, для которой классы АВУ и САУ не совпадают, был построен Фораном и Флейссне-ром24. В одномерном случае ответ на вопрос о их совпадении или несовпадении для широкого множества последовательностей А был получен А.И.Саблиным25 26. Необходимое и достаточное условие было найдено Ф.Прус-Вишневски27. ,

Классы АВУ и СВУ были естественным образом обобщены на случай функций многих переменных. Они широко используются для изучения различных видов сходимости кратных рядов и интегралов Фурье. Результаты о различных видах сходимости рядов Фурье, сформулированные в терминах принадлежности разлагаемых функций классам АВУ получали Д.Ватерман (сходимость одномерных рядов Фурье), А.А.Саакян28 (сходимость по прямоугольникам в двумерном случае), А.И.Саблин (сходимость по прямоугольникам в кратном случае), М.И.Дьяченко29 30 (сферическая и м-сходимость в двумерном случае), А.Н.Бахвалов31 32 (прямоугольная сходимость в многомерном случае и сходимость по ромбам).

По аналогии с результатом Саблина, в диссертации получен критерий совпадения классов АВУ и САУ в многомерном случае при дополнительном ограничении на последовательность А: требуется существование предела соотношения Агп/А„ при п —> сю.

24Foran J., Fleissner R. A note on A-bounded variation //Real Analysis Exchange. V.4. 1978-1979. P.185-191.

25Саблин А.И. A-вариация и ряды Фурье //Известия ВУЗов. Математика. 1987. N 10. С.66-68.

26Саблин А.И. Функции ограниченной A-вариации и ряды Фурье. Дисс ... к.ф.-м.н. М.:1987.

27Prus-Wisniowski F. Bounded harmonic variation and the Garsia-Sawyer class // Real Anal. Exchange. 1994/95. V.20. N 1. P.37-38.

28Саакян A.A. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации. //Изв. АН Арм. ССР. 1986. Т.21. N 6. С.517-529.

29Дьяченко М.И. Сферические частичные суммы двойных рядов Фурье функций с ограниченной обобщённой вариацией //Матем. сборник. 1997. Т.188. N 1. С.29-58.

30Дьяченко М.И. Двумерные классы Ватермана и и-сходимость рядов Фурье //Матем. сборник. 1999. Т.190. N 7. С.23-40.

31Бахвалов А.Н. Непрерывность по A-вариации функций многих переменных и сходимость рядов Фурье //Матем. сборник. 2002. Т.193. №12. С.3-20.

32Бахвалов А.Н. Сходимость кратных рядов и иптегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Моск. гос. ун-т им. М.В.Ломоносова. Мех-мат. ф-т. М.: 2000.

Научная новизна работы.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены обобщения известных оценок Хр-норм многомерных ядер Дирихле и тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами на случай норм в анизотропных пространствах Ьр.

2. Показано, что, с одной стороны, существует функция, непрерывная и интегрируемая на плоскости К2 и имеющая всюду расходящийся интеграл Фурье, такая, что после поворота системы координат на плоскости на любой нетривиальный угол интеграл Фурье полученной функции сходится равномерно; с другой стороны, существует непрерывная и имеющая компактный носитель функция на плоскости, имеющая равномерно сходящийся интеграл Фурье, такая, что после любого нетривиального поворота координатного репера интеграл Фурье получившейся функции расходится на некотором множестве — одномерном отрезке. Похожие результаты получены и для рядов Фурье.

3. Получен критерий совпадения многомерных классов функций ограниченной А-вариации и функций, непрерывных по А-вариации, для весьма широкого семейства последовательностей А.

Методы исследования.

В работе применяются методы теории функций действительного переменного.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы специалистами в области действительного анализа.

Апробация работы.

Результаты настоящей диссертации докладывались автором на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов в МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко и на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством член-корр. РАН, проф. П. Л. Ульянова, проф. Б. С. Кашина, на конференциях "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 26-29 мая 1998 года), "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 27 января - 2 февраля 2000 года) и

"Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 27 января - 2 февраля 2002 года).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения и трёх глав. Текст диссертации насчитывает 97 страниц. Общий список литературы состоит из 51 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении даётся общий обзор исследуемой проблемы и полученных в диссертации результатов.

Глава 1 посвящена оценкам норм тригонометрических полиномов с коэффициентами, монотонными по каждому индексу, в частности, многомерных ядер Дирихле, в анизотропных пространствах Ьр. Эти пространства определяются так.

Если дан вектор р е Кт с компонентами р,- 6 [1, +оо) при г = 1... т, то через Ьр обозначим пространство функций /, определенных на Т*™, для которых анизотропная норма

/ Г / Г (Г \ Ра/и \ Рт/Рт-1 \ 1/рт

Ч/лХ-Ч/Г|/(х)Н -"Н ч

конечна.

Через А\ обозначим класс ограниченных непустых множеств 17 С Мт, которые вместе с каждой точкой к содержат в качестве подмножества множество Ът Г) ЩЛ1. Ы-

В параграфе §1.1 оцениваются нормы многомерных ядер Дирихле. Основными результатами здесь являются теорема 0.1 и её следствие 0.1.

Теорема 0.1. Пусть множество и 6 А\, а вектор р = (р\,... ,рт) таков, что все его компоненты р{ ^ 1, г = 1,... ,т, среднее гармоническое чисел Рх

„ т 2т

Р~ 1 /Р1 + ... + 1 /рт < т + 1 и для каждого ] е {1,..., т} имеем

Е1 т

Тогда при любом ] число лежит в интервале (1,2) (что сразу вытекает из условий, наложенных на р), и если положить числа

то справедливо неравенство

||Аг(х)||р<С(р

Следствие 0.1. Пусть множество U £ А\, а вектор р = (pi,... ,рт) таков, что для все его компоненты pj лежат в интервале (1,2), а их среднее гармоническое

__ т 2т

Р ~ 1/pi + • • • + 1 /Рт < т + 1*

Тогда найдутся числа aj > 0, j = 1,..., тп, сумма которых равна единице, такие, что для

р = maxin?1... n"m)

Г n€U V 1 m '

верно

||АКх)11р ^ C(p, m)

Далее, пусть M\ - множество таких m-кратных конечных или бесконечных последовательностей неотрицательных чисел, что если n ^ к, то а„ ii at- В параграфе §1.2 рассматриваются тригонометрические полиномы

м

Q(x) = 1£tanei™

П=1

с коэффициентами {a} €Е Mi. Для размерности т = 2 получено следующее утверждение.

Теорема 0.2. Пусть размерность т = 2, а вектор р = (рърг) таков, что для числа р = max{pi,;>2,2} справедливо неравенство

I/Pi + 1/Р2 - 3/р < 0.

Тогда для любого полинома

(Мим2)

£?(х) = £ а-е,ПХ

(Щ,П2)=(1,1)

с коэффициентами {ап} £ М\ справедлива оценка:

||д(х)||р < С(р)7р(а),

где

1/й

Отсюда сразу вытекает Следствие 0.2. Если при т = 2

00

— ряд с коэффициентами {а} € М\, и при некотором р = (.Ръ Рг), удовлетворяющем условиям теоремы 0.2, имеем Jp{a) < оо, то этот ряд является рядом Фурье функции /(х) € Ьр.

Доказательства теорем 0.1 и 0.2 являются модификациями доказательств из работ В.А.Юдина33 и М.И.Дьяченко34.

Во второй главе строятся примеры функций, непрерывных и интегрируемых на плоскости К2, показывающих, как замена переменных

соответствующая повороту координатного репера на угол а, может испортить или исправить сходимость по прямоугольникам интеграла или ряда Фурье. Под разложением в ряд Фурье функции /(жъ £2), определённой на плоскости Ж2 с носителем, лежащим в круге {ж2 + х\ < ж2}, понимается разложение функции

с урезанной до (—7Г, 7г]2 областью определения

33Юдин В.А. Поведение констанг Лебега //Матем. заметки. 1975. Т.17. N 3. С.401-405.

34Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Ьр //Матем. сборник. 1993. Т.184. N 3. С.3-20.

Первый пример, как и пример Феффермана, строится на основе функций е1Нху. Ему посвящён §2.1.

Теорема 2.1. Пусть функция двух переменных <р{х, у), х,у Е Я, есть сумма равномерно сходящегося ряда:

оо .

^у) = ЕАгеШк{х+б*){у+5к)>

и1пНк

где числа Н^ = 22*, а "смещение" равно остатку от деления числа к на 3. Далее, пусть непрерывная и интегрируемая на К2 функция ф{х, у) такова, что для ее преобразования Фурье ф(и,у) справедливо неравенство

Щ)= J |ф{и, V) 11п (2 + у/и2 + у2^ Ни (1V < оо.

Обозначим через Ф° множество точек (х,у), в которых ф(х, у) = 0.

Тогда для функции 0{х,у) = ■ф{х,у)<р(х,у) справедливы следующие утверждения:

1. Интеграл Фурье функции С(х,у) сходится по прямоугольникам к О на множестве точек (сходимость равномерна на любом ограниченном подмножестве и расходится во всех остальных точках. В частности, если функция ф нигде не обращается в нуль, то интеграл Фурье С? расходится по прямоугольникам всюду.

С другой стороны, для произвольного угла а £ й \ {кж/2 : к € Z} после поворота системы координат на этот угол, (х,у) = Та(£,г)), интеграл Фурье полученной функции г?) = Та)(£,т)) схо-

дится по прямоугольникам к равномерно на К2.

2. Предположим дополнительно, что носитель функции ф(х,у) лежит в круге {(ж,у) : х2 + у2 ^ (ж — <5)2}, где число 6 € (0, ж). Тогда ряд Фурье функции С(х, сходится по прямоугольникам к нулю равномерно на множестве Ф°П(—ж, тг]2 и расходится всюду на дополнении (—ж, 7г]2 \ Ф°.

Однако при повороте системы координат (х,у) = Та(£,г}) на произвольный угол а £ {кж/2 : к € Щ ряд Фурье полученной функции <?(а) (£>*?)|Сле(_1Г1,]= (СоТ<*Ш>т))\(:„е(-*,ж] сходится 710 прямоугольникам к С^ равномерно на квадрате (—ж, 7г]2.

Появляется такой вопрос: а может ли быть так, что функция имеет сходящийся (в каком-то смысле) интеграл (ряд) Фурье, но после любого

нетривиального поворота системы координат эта сходимость нарушается. В параграфе §2.2 доказано следующее утверждение, дающее положительный ответ для случая равномерной сходимости по прямоугольникам. Доказательство основывается на одном результате Н.Н.Лузина.

Теорема 0.4. Существует функция G(x, у), непрерывная на К2 и равная нулю при х2 + у2 ^ 7г2/2, такая, что её интеграл Фурье, а также ряд Фурье функции G(x, у)\хсходятся по прямоугольникам равномерно, но для произвольного угла'а ф кж/2,к G X, после замены переменных (х, у) = Т„(£, г]) интеграл Фурье полученной функции G(a4t v) = (G о У„)(£, rf) и ряд Фурье функции расхо-

дятся по прямоугольникам во всех точках отрезка I, который в координатах (х, у) записывается как

{(*,»):» = 0, \х\ < Зтг/8}, а в координатах (£, rj) — как

{(£,77): £ = icos a, r¡ = —t sin а, t € [—Зтг/8, Зтг/8]}.

Естественно, возникает такая задача (которую более естественно формулировать для интегралов Фурье): существует ли непрерывная функция f на К2 с компактным носителем, для которой существует множество А С Ж положительной меры, что при повороте системы координат на любой угол а £ А интеграл Фурье полученной функции fa — f °Та расходится по прямоугольникам на множестве положительной меры?

В третьей главе рассматриваются классы функций ограниченной А-вариации. Прежде чем определить эти классы, мы введём некоторые обозначения^__________

Пусть функция /(ж) определена на каком-то промежутке действительной оси. Если Д = [di, d%] — это отрезок, содержащийся в области определения функции /, то через /(Д) мы обозначим разность /(<¿2) ~ f(di)-

В соответствии с этим, если функция f(x, у) определена на квадрате [0,1]2, а числа егг, а2 и отрезки Д1 = [d\, di], Д2 = [df, 4] содержатся в [0,1], то тогда естественны следующие обозначения:

f(a\ Д2) = f(a\ 4) - f(a\ d\), ДД1, а2) = /(d1, а2) - f(d\, а2),

/(Д\ Д2) = f(d¡, Д2) - f(d\, А2) = ДД1, 4) - ДД\ 4) =

= /(4,4) - /(4 4) - /(4> А) + /(¿i. А)-

Вообще, если для функций g(xi,..., xm_i) от m — 1 переменных уже определено смешанное приращение <?(Дь..., Am_i), то для функций от т переменных полагаем

ДДЬ..., Дт) = /(Дь..., Дт_1, - /(Ai,..., Дт-ь dT),

где Ат = [dF,d!|*].

Далее, для заданного отрезка I через П(7) мы обозначим совокупность всех конечных систем {/„} попарно неперекрывающихся отрезков, содержащихся в I. Пусть задана неубывающая последовательность положительных чисел Л = А = {Aj}~0. А-вариацией функции /(•), определенной на отрезке 7, называется величина

Var/(.)= sup А {¿¡}€П(Л Л'

Обозначим через ABV = ABV(I) класс функций одного переменного, имеющих ограниченную А-вариацию на отрезке I.

На последовательность А в этом определении естественно наложить требование

оо 1

Е^оо, (3,

поскольку в противном случае любая ограниченная функция будет иметь конечную А-вариацию. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь последовательности, для которых условие (3) выполнено.

Рассмотрим функцию /, определенную на некотором параллелепипеде I = 1\Х.. .х 1т. Если даны т неубывающих последовательностей положительных чисел {Л-*}"^ = = {{Af}£0}£=i. Для каждой из которых выполнено условие (3), то m-мерной (А1, А2,..., Ат)-вариацией функции / (на параллелепипеде I) называется величина

Var /(,...,)_ sup

<А'.....»-> с:,).....icWojdS ¿1 К ■■ К.

Далее, (А1,..., А*)-вариацией функции / относительно набора из к переменных (хj,,... ,Xjk), обозначаемой как V^1'"'^k}k(f), мы назовем точную верхнюю грань ¿-мерной (А1,..., А*)-вариации / (как функции от Xjiy.xjt), при всевозможных значениях остальных переменных.

Полной (А1,..., Ат)-вариацией функции / мы будем называть сумму

m

-(/)=£ Е ^:?(/)■ к=1 \<ji<h<~<h^m

Множество функций, для которых эта сумма конечна, называется классом (Л1,..., Am)BV. В случае, когда все последовательности AJ совпадают, скажем, А1 = ... = Ат = А, мы будем писать просто ABV.

Далее, для данной последовательности А через Ап+ обозначим ее подпоследовательность, начинающуюся с n-го номера, то есть

(-W),- = K+i, г = 0,1. -. .

Скажем, что функция f(x) одного переменного, принадлежащая классу ABV, непрерывна по А-вариации, если величина

lim Var/M

П-+00 А„+

стремится к нулю при п —> сю. Класс таких функций обозначим через CAV.

Естественное обобщение понятия непрерывности по А-вариации на многомерный случай состоит в следующем. Скажем, что функция /(aci,..., хт) непрерывна по (А1,..., Ат)-вариации, если для любого набора переменных (xj^xjz,... ,Xjk) ее (А£1+,..., А^+)-вариация относительно этого набора стремится к нулю, когда хотя бы одно из чисел ni,..., щ стремится к бесконечности.

В параграфах §3.1 и §3.2 получен критерий совпадения многомерных классов ABV и CAV при дополнительном ограничении на последовательность А. Он звучит так.

Теорема 0.5. Пусть А такова, что сугцествует предел отношения А2п/Ап при п —> оо, равный 27.

В таком случае классы CAV и ABV для размерности совпада-

ют тогда и только тогда, когда выполнены все из нижеперечисленных условий.

1. m = 2;

2. число 7 > 1/2;

S. сумма

ОО j ¿=0 Лг

Отметим, что при доказательстве несовпадения классов CAV и ABV для размерности m ^ 3 используется один результат А.Н.Бахвалова35.

35Бахвалов А.Н. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и сходимость рядов Фурье //Матем. сборник. 2002. Т.193. №12. С.3-20.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М.И.Дьяченко за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. ДРАГОШАНСКИЙ О.С. Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов //Матем. заметки. 2000. Т.67. N 5. С.686-701.

2. ДРАГОШАНСКИЙ О.С. О сходимости двойных рядов и интегралов Фурье функций на Т2 и К2 при поворотах системы координат //Матем. сборник. 2000. Т.191. N 11. С.3-20.

3. ДРАГОШАНСКИЙ О.С. Анизотропные нормы некоторых тригонометрических полиномов //Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции. - Тула: ТулГУ. 1998. С.98-100.

4. ДРАГОШАНСКИЙ О.С. О сходимости двойных рядов Фурье функций на Т2 при поворотах системы координат //Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции, посвящённой 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова. - Казань: Изд-во "Казанское математическое общество". Изд-во ДАС. 1999. С.87-88.

5. ДРАГОШАНСКИЙ О.С. О непрерывности двумерной Л-вариации //Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. - Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". 2002. С.71-72.

Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.! Главное здание МГУ, к. 102 Тираж 100 экз. Заказ №89

2 col-А

"iféje

» 19632

С

\

I / !

f

i

\

i

i

С

i

Введение

Глава 1. Анизотропные нормы ядер Дирихле и тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами

§1.1. Оценки норм ядер Дирихле.

§1.2. Полиномы с монотонными коэффициентами.

Глава 2. Сходимость и расходимость рядов и интегралов Фурье функций, определенных на плоскости, при поворотах системы координат, в которой записаны эти функции

§2.1. Пример первый (на; основе примера Феффермана).

§2.2. Пример второй (на основе одной теоремы Лузина).

Глава 3. Непрерывность по А-вариации функций двух и более переменных

§3-1. Совпадение классов ABV и CAV.бб

§3.2. Несовпадение классов ABV и CAV.

Сначала введём некоторые обозначения.

Пусть R, R+, Z и N — множества действительных, положительных действительных, целых и натуральных чисел, соответственно, а Т — это полуинтервал (—7Г, яг]. Элементы множества Ж7" (т-компонентные вектора) мы будем по возможности обозначать ''жирными" символами: х, t, ., а для обозначения их компонент мы будем использовать тот же символ, написанный обычным шрифтом, с индексом снизу: х = (^1,^2,-t = (tlj • - -1 ^т)?

Если x и у € Rm, то будем писать: х ^ у (х > у), если Xj ^ yj (Xj > yj) при j — 1 .m. Обозначим через m m xy = 5>iS,„ П(х) = n(W + !)i ni(X) = 1*1 • • • • • j=l j=l

Если число о € R, то через [а] обозначим целую часть о, а через а - вектор из R™, все координаты которого равны о.

Далее, если даны М— некое подмножество М™, действительное число о, а также вектор р = (pi,. - ,Рт)? то вполне естественны обозначения аМ = {ох : х 6 М} и М — р = {х — р : х£ М}.

Если Л1,., — некие неотрицательные числа, то обозначим через Пн. = rii?!,.,/?^ параллелепипед (в двумерном случае прямоугольник)

R\t X [— i?2, R2] х . X [—Rm, Rjn].

Пусть функция /(x) = f(x 1,., a;m) от m переменных определена на 27Г-периодична по каждому аргументу и интегрируема на кубе Т™ — (—7Г, 7г]т. Сопоставим ей формально записанный ряд an(/)eiDX, (0.1) nezm где числа п (/) = A J e~,nx/(x)dx /

J I'm коэффициенты Фурье функции /. Этот ряд называется рядом Фурье функции /(х).

Если /(х) определена лишь на некотором кубе

7Г + OI, 7Г + flj X (—7Г + а2, 7Г + аг] X . . X (—7Г + Ош, 7Г + От] и интегрируема на нём, то тогда мы можем доопределить её периодически и рассмотреть ряд Фурье получившейся функции.

Если W — некое ограниченное подмножество К"1, то величина neiDX n£w называется частичной суммой ряда (0.1), соответствующей множеству W, в точке х. В частности, если W есть прямоугольник П^ = IIjvb.jvm с целыми Ni,., iV"m, то соответствующая частичная сумма N

Я*.ivro(/,x) = 5n(/,X) = £anetnx n=—N называется прямоугольной, а если все Nj одинаковы, то^и^квадратной ча- ^ стичной суммой.

Как нетрудно показать, справедливо представление:

SwiL х) = [ /(х + t)ZV(t)dt,

7Г Jxm где = ^ £ e'nt neWnZ"» ядро Дирихле, соответствующее множеству W.

Далее, для функций /(х) G -Li(Rm) определим преобразование Фурье, так, как это делается в книге [24]:

Соответственно, частичный интеграл Фурье функции / по ограниченному измеримому множеству М С К1" запишется так:

7м(/(-),х)= [ /(s) eixs ds. Jm

Опять-таки, если множество Л/ есть прямоугольник Пд^.^, то мы получаем частичный прямоугольный интеграл Фурье функции /, обозначаемый как

•7*г.Лп(/,х) = Jr(/,X) = ЛД1Дто(/,х).

Скажем, что интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по прямоугольникам, если

Ляь.,ято (/, х) —>S при min{Ru ., #m} +оо (sNlt.tNm(/, х) —>S при mm{Nu ., Nm} +00)

Аналогично, интеграл (ряд) Фурье функции /(х) сходится в точке х к числу S по квадратам, если

Jr,.,R(^x)—>s ПРИ R->+oo

Существуют и другие виды сходимости, но в этой работе мы будем рассматривать лишь сходимость по прямоугольникам.

Через С, С(.), . мы будем обозначать некие константы, зависящие лишь от величин, указанных в скобках после символа С (например, С (га, к, I) зависит лишь от га, к и /). При этом эти константы, обозначаемые одинаковым образом, не обязательно совпадают (к примеру, законна запись:

Настоящая диссертация состоит из введения и трёх глав. Во введении изложена история вопроса, а также кратко освещены результаты автора по данной теме. В главах 1-3 содержатся собственно результаты автора.

1. Пусть м Q(x) o e n=l полином с коэффициентами а G М\. Обозначим ЦоЦоо maxi<n<MOn. Пусть число i таково, что М,- min Мл. Далее, пусть задан вектор р 19

2. Утверждение леммы остается справедливым для полиномов вида Мз Q(x) Y. k=Mi где коэффициенты ок Afi, если в правых частях ее оценок заменить вектор М на вектор Мг M i -Ь

3. Замечание 1.2. При m 1 второе утверждение леммы тоже верно, что следует из известного для полинома с монотонными коэффициентами неравенства 1 \Q{x)\ С7||а||ооГТ при 11 \х\ Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О ТЕОРЕМЫ 0.

6. Прир> 1 для любой последовательности {ад} неотрицательных чисел справедливо неравенство: lpr. Действительно, найдем такое а, что а 1 (а это равносильно тому, что р 1 ар 0), яо р 2 ар

7. Тогда, по неравенству Гёльдера, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. где 1/р+ 1/q 1. Но aq

8. Поэтому [-aq)p/q п=1 я=1 оо 2" С(р) Yl 2"(Р-2-") Т1.=1 of5"P оо »=1 оо С(р} J2 of5(2-")+" С{р) Х а Я=1 5=1 ЧТО и доказывает лемму. Лемма 1.

9. Если {ад} невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, действительные О, р> 1 и а любое, то 28 оо ч 1/р 5=1

10. Такие )U,- действительно найдутся, поскольку 1/р l/Pi О, а р{1/р 1/pi) р{1/р 1/р2) 1. "Поднимем" в выражении для 522 интегральные нормы до Щ /dxa и 1р\ /dxi "перенесем" их под остальные нормы и затем воспользуемся леммой 1.4 для внутренней нормы с показателем р (теперь г 2). Мы получим: 2*1+1 2*2+1 X /il У: II Ы 4£j(4j,„H(|,..5,.-i)))) Sl =2*1+1 92=2*2+1 dx.dx.\[ о„е" 1 1 1 1 1 х1„ г4и(2-.(-|Н=7.[и(2(-|.а.,..)))) 32

11. Пусть функция двух переменных (р{х,у), х,у G. R, есть сумма равномерно сходящегося ряда: оо JHi,ix+5k)iy+6k) к=2 где числа Hk 2", а "смещение" 6к равно остатку от деления числа к на

12. Далее, пусть непрерывная и интегрируемая на R функция {ху) такова, что для ее преобразования Фурье ф{и, v) справедливо неравенство Цф) I \ф{и, v)\ In (2 л/и vA dudv

13. Обозначим через Ф множество точек (ж, у), в которых ф(х, у)

14. Пусть интегрируемая на R функция ф{х,у) такова, что ее преобразование Фурье ф{х,у) также интегрируемо на R. Определим 35

15. Назовем углом наклона невырожденного отрезка, лежащего в плоскости Оху, величину угла между прямой, параллельной этому отрезку и проходящей через точку О, и прямой у

16. Пусть непрерывная и интегрируемая на R функция ф{х, у) такова, что для ее преобразования Фурье ф{и, v) конечен интеграл Ь(ф) \ф{щу)\ In {2 л/и уА dudv. Пусть при произвольном Л" 1 функция f{x,y) и семейство /(хо,уо)(2/) заданы формулами (2.4) и (2.5), где семейство функций А(а;о,уо) 2/) У влетворяет, тем же условиям, что и в лемме 2.

19. Пусть ряд Фурье функции /{х,у), непрерывной на Т, сходится по прямоугольникам в точке (0,0). Тогда ряд Фурье функции (р{х) f(x, 0) сходится в точке х

20. Обозначим через {/пг,п„}п,п„ и {(Pm}n соответственно коэффициенты Фурье функций и Покажем, что при фиксированном Пх выполнено ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По=-М 58

21. Пусть числа Я;t 2, а f{x) та функция, существование которой доказывается в теореме 2.

22. Определим последовательность натуральных чисел {TJjtlo с по 1, растущих столь быстро, что (1пЯ„,,)/22*+1Я„„ fcO. (2.21) Положим функцию д{у), у G М, равной нулю при у О, единице при у 1/Я„о, равной 2"* в точках ук 1/Я„ и линейной на отрезках [ук+и Ук] при всех к"

23. Пусть h{s) бесконечно гладкая функция на числовой прямой, равная единице при |5| Зтг/В и нулю при |s| 7г/

25. Теорема 3.1 говорит о достаточности накладываемых условий, ей посвящен параграф §3.

26. Остальные две теоремы говорят об их необходимости; они будут доказаны в §3.2. В этой главе для простоты мы будем предполагать, что все функции, для которых рассматривается Л-вариация, определены на кубе [0,1]"*, и их Л-вариация также берется на этом кубе. §3.1 Совпадение классов ABV и CAV Теорема 3.

27. Ясно, что величину Л{К) можно определить как E {l-ai)...-{l aa-i) Qf] 67

28. Пусть р\г) это функция, которая сопоставляет числу i 0 1 |В[ 1}, являющемуся >i-i номером отрезка А A iU-i) системы В номер этого отрезка в системе j 71

29. Положим Мы имеем: О QJ 1, и a Y l-1a-i )u. i.;. l х,— U3_i;-су (1 _i).aJ-T V" s=l s=l (i /?,_i)/2) a j Е11ЕМ--Е 2 s 2 As 5=1 S=l 5=1 \s что И доказывает требуемое неравенство (3.18). Далее, полагая /3j Ъ мы имеем: Б(7Г)= sup E-f Е Г а эта величина по условию стремится при iT оо к бесконечности. Лемма доказана. 75

30. Пусть последовательность {Лп}пО; стремящаяся к бесконечности, и число 7 [0,1) таковы, что верно предельное соотношение: п-юо А. п lii 2-, (3.34) и, кроме того, выполнено одно из условий (а) 7 7 о, п=0 л оо или (б) 7 1/

31. Тогда двумерные классы ABV и CNV не совпадают, точнее, существует непрерывная функция /(ж, у), определенная на квадрате [0,1, равная нулю, когда хотя бы один из ее аргументов равен нулю, принадлежащая классу (Л, K)BV и обладающая тем свойством, что величины sup Var/(а,-) OG[0,1] Var (А,А„+) в случае (а) и величины Var (А,А„+) Var (Лп+»А) в случае (б) не стремятся к нулю при п оо. Для доказательства этой теоремы нам понадобится одна вспомогательная 82

32. Возьмем такое натуральное число г, что по 2"*, и положим (3.39) п=0 В силу неравенства (3.37), величина aj стремится к бесконечности при j сх). Поэтому мы выберем число N 2 столь большим, что 2R/0-J при J log2 ff. 83 (3.40)

34. Определим при fc 0,1,2,... числа Oc 1 (l/(fc+ 1)). Рассмотрим функцию г{у), определенную на действиf тельной оси, равную нулю при у О и у 1, единице при у 1/2, линейную на отрезках [0,1/2] и [1/2,1] и периодическую с периодом

35. Значит, справедливо соотношение: 1/2 lim ТГда Var к-¥оо (A,Ajv+) и последняя величина не стремится к нулю при iV оо> Поскольку функция х у) симметрична по переменным а; и у, то ее двумерная (Алг+, А)-вариация также не стремится к нулю при N оо. Теорема доказана. В завершении этой главы мы обратимся к случаю размерности m 2. Из только что доказанной теоремы 3.2, а также теоремы М, мы легко получим следующее утверждение, которое и завершит доказательство основной теоремы 0.

36. Пусть размерность тп> 2, а последовательность А такова, что существует предел отношения Агп/А при п оо. Тогда существует такая непрерывная функция f{xi,..., Хт) от т переменных, что feABV\CAV. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть существует предел lim п--оо Хп 2г. 92

37. Пусть д{ху)— это та функция, о существовании которой говорится в ней. Тогда функция f{xu Хт) g{xi, Х2) будет искомой. Если же 7 1/2, то взяв число У 6 (1/2,7), *Ь1 будем иметь: i=4 Как следствие, условие (0.9), которое в нашем случае выглядит так: с» будет выполнено. Применение теоремы М завершает доказательство. 93