Волновые движения жидкости в сложных областях с учетом вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ииоч4НОЭ4

Иванов Михаил Игоревич

ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ жидкости в сложных ОБЛАСТЯХ С УЧЕТОМ ВРАЩЕНИЯ

01 02 05 - Механика жидкости газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2008

003448034

Работа выполнена в Институте проблем механики им А Ю Ишлинского Российской академии наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Нестеров Сергей Владимирович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Самсонов Виталий Александрович Институт механики МГУ им М В Ломоносова

доктор физико-математических наук, профессор Сскерж-Зенькович Сергей Яковлевич Институт проблем механики им А Ю Ишлинского РАН

Ведущая организация Московский государственный

технический университет им Н Э Баумана

Защита состоится 25 сентября 2008 г в 15 00 на заседании Диссертационного совета Д 002 240 01 при Институте проблем механики им А Ю Ишлинского Российской академии наук по адресу 119526, Москва, проспект Вернадского, д 101,корп I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН

Автореферат разослан 6 июня 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002 240 01 при ИПМех РАН

кандидат физико-математических наук ' & [ГЯ Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы Анализ метеорологических, океанологических и пр данных показывает, что главенствующую роль в крупномасштабных процессах в атмосфере и гидросфере играют периодические процессы, важнейшим классом которых являются собственные колебания Исследование таких колебаний представляет значительную сложность в связи как с большим числом воздействующих факторов (сила тяжести, центробежная и корнолисовы силы, сферическая геометрия Земли или исследуемой планеты и др), так и с непотенциальностью изучаемых течений В связи с этим посвященные данной теме работы хотя и многочисленны, но большей частью фрагментарны, а некоторые важные вопросы и вовсе не освещены Необходимо также отметить, что с исследуемыми задачами тесно связана задача об океанских и атмосферных приливах, имеющая многочисленные приложения в геофизике, метеорологии, океанологии и тд

Первая часть диссертации (гл 1-2) посвящена решению задачи о собственных гармонических колебаниях поверхности жидкости, заключенной в плоском бассейне (т е таком, в котором поверхность невозмущенной жидкости имеет нулевую кривизну) Изучение таких колебаний привлекало внимание многих исследователей в связи с задачей о сейшах в озерах и внутренних морях, а также задачей о приливах В зависимости от периода сейши производится учет или неучет вращения Земли Для простейших форм бассейнов (круг, круговое кольцо) имеется аналитическое решение Решение выражается через цилиндрические функции Для эллиптического бассейна точное решение существует только при отсутствии вращения Решение дается функциями Матье Сейши в эллиптических бассейнах при наличии вращения исследовались С Гольдштейном (S Goldstein), причем проводилось сравнение аналитических результатов с экспериментальными, полученными автором статьи в лаборатории JI Прандтля в Геттингене Также исследовались прямоугольные и полукруглые бассейны (GR Goldsbrough, A Pnueh, С L Pekens, D Rao и др ) Некоторые ра-

боты были посвящены исследованию сейш в бассейнах, имеющих форму правильного n-угольника (Н Safwat) или кругового сектора (A Pnueli, С L Pekeris)

Значительное число работ посвящено численному исследованию сейш и приливных волн в реальных акваториях, таких как озеро Байкал, Красное море, Черное море, Мексиканский залив, Великие озера в Северной Америке, Каспийское море (S F Giace, G W Platzman, D Rao, D J Schwab, Б И Рабинович, А С Левянт и др)

Также изучались бассейны непостоянной глубины Были получены решения для бассейна, имеющего форму параболической чаши (параболоида вращения, Н Lamb), полукруглого бассейна с таким же законом изменения глубины (половина параболоида вращения, G R Goldsbrough) и эллиптического параболоида (F К Ball, Н Hukuda) В случае, когда глубина бассейна не является постоянной, в нем существуют гармонические колебания с периодом, большим чем период вращения самого бассейна, называемые топографическими волнами Россби

Из приведенного обзора можно видеть, что в настоящее время в гидродинамике имеется разрыв между бассейнами простой конфигурации (круговой, кольцеобразный, прямоугольный) и бассейнами, аппроксимирующими реальные асимметричные акватории с их сложной береговой линией

Вторая часть диссертации (гл 3-4) посвящена решению приливного уравнения Лапласа (ПУЛ) В 1775 году при исследовании динамических приливов Лаплас получил дифференциальное уравнение, описывающее собственные гармонические колебания тонкого слоя жидкости, покрывающего вращающийся шар, в настоящее время носящее его имя Выведенное для океана постоянной глубины, это уравнение, однако, применимо к более широкому классу задач, в частности, к нему сводятся задача метеорологии о приливах в атмосфере Земли или исследование колебаний вращающихся звезд

Вид и поведение решений ПУЛ зависят от величины безразмерного параметра ß = Лсо2а2 / gh (варианта числа Фруда, названного в диссерта-

ции гироскопическим числом (ГЧ)), где со - угловая скорость вращения шара, а - его радиус, g - ускорение свободного падения, h - глубина океана В случае исследования вынужденных колебаний или колебаний атмосферы ГЧ является неизвестным и определяет значение h, которое в этом случае называется эквивалентной глубиной и не обязательно равно действительной глубине океана или атмосферы

ПУЛ представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярными коэффициентами С их наличием и связана основная сложность задачи В XIX веке наибольшего продвижения в решении задачи достигли Маргулес (М Margules) и Хаф (S S Hough) Маргулес искал решения в виде разложения по тригонометрическим функциям, Хаф - в виде разложения по присоединенным сферическим функциям Этими исследователями было установлено, что ПУЛ имеет решения двух родов К первому роду были отнесены короткопериодические колебания, ко второму роду были отнесены долгопериодные колебания, переходящие в пределе в установившиеся течения на неподвижном шаре Эти течения аналитически получены Гаурвицем (В Haurwitz) и называются волнами Гаурвица Колебания первого рода в пределе 0 —> О исчезают Колебания первого рода могут распространяться как по направлению вращения планеты, так и против, колебания второго рода распространяются только против направления вращения планеты Хафом была выведена формула для приближенного вычисления собственных частот Сравнение приближенных частот с частотами, вычисленными более точными методами, показывает очень высокую точность формулы Хафа при порядка единицы-двух, что соответствует условиям Земли как при исследовании океана, так и атмосферы в баротропном приближении

Колебаниям второго рода отвечают медленные волны, движущиеся против направления вращения планеты с периодами больше суток Первоначально их существование было выявлено лишь математически Однако в 1939 году Россби с сотрудниками (С -G Rossby et coll) при анализе метеорологических данных установил существование в атмосфере Земли круп-

номасштабных медленно перемещающихся областей высокого и низкого давления, названных им центрами действия атмосферы и дал простейшую теорию этого явления в предположении нулевой кривизны земной поверхности Гаурвиц рассмотрел более реалистичную модель сферической Земли и обнаружил, что эти волны представляют собой колебания второго рода ПУЛ Они получили название планетарных волн или волн Россби. Эти волны в некотором роде аналогичны топографическим волнам Россби, о которых говорилось выше

В дальнейшем исследованию собственных функций ПУЛ (получившим название функций Хафа (ФХ)) было посвящено значительное число работ Чаще всего использовался метод Хафа разложения искомого решения по присоединенным сферическим функциям (Г С Голицын, А Л Дикий, Н Е Кочин, S Chapman, R S Lmdzen, G R Goldsbrough) Отдельные решения ПУЛ можно найти в многочисленных работах, посвященных решению тех или иных метеорологических задач (A Kasahara, S Kato, R S. Lindzen, R Sawada, H Volland)

Исследовались также колебания в зональном океане (океане, ограниченном кругами широты) (Л Д Акуленко, С В Нестеров, А М Шматков, G R Goldsbrough), полярном океане (океане, покрывающем один из полюсов и ограниченном кругом широты, G R Goldsbrough), океане, ограниченном двумя меридианами (G R Goldsbrough, D С Colborne, Р W O'Connor) Первая задача не представляет математической трудности, т к здесь ПУЛ не имеет особенностей Голдсброу была подробно исследована задача о полусуточных колебаниях в океане, глубина которого меняется по закону h = hQ sin2 9, где в - коширота

Математические сложности, связанные с тем, что на полюсах сферы коэффициенты ПУЛ становятся сингулярными, привели к возникновению приближения р-плоскости, смысл которого заключается в замене криволинейной геометрии сферы плоской с одновременной линеаризацией параметра Кориолиса Приближению Р-плоскости посвящена обширная литература (R S Lindzen, М S Longuet-Higgins, R Sawada, G Veroms, Z Wu, D W Moore)

Пожалуй, наиболее подробные исследования были проведены Лонге-Хиггинсом (М S Longuet-Higgms), а также Шварцтраубером и Касахарой (Р N Schwaiztrauber, A Kasahara) Лонге-Хиггинс использовал для интегрирования ПУЛ как метод Хафа (разложение по сферическим гармоникам), так и метод Маргулеса (разложение по тригонометрическим функциям) и вычислил ФХ для широкого диапазона ГЧ (в том числе и для отрицательных) Однако, в силу сложности задачи, во многих случаях автору пришлось ограничиться построением асимптотических форм Другое асимптотическое исследование было проведено Диким, который независимо исследовал случай больших положительных и отрицательных ГЧ, но получил значительно менее полные результаты, чем Лонге-Хиггинс В работе Шварцтраубера и Касахары построены обширные таблицы частот ФХ для различных положительных ГЧ вплоть до 105 Аналогичных вычислений для отрицательных ГЧ не проводилось

Особые точки ПУЛ регулярны и поэтому к нему может быть применена теория Фукса Это было сделано Эккартом (С Eckart) и рядом других авторов (L Bildsten, G Ushomnsky, С Cutler, U Lee, H Saio) Однако полное решение задачи не было получено - Эккарт ограничился только аналитическим исследованием некоторых свойств ФХ, а прочие авторы получили лишь решения, интересные им с точки зрения астрофизики, к тому же предложенный ими метод отличается громоздкостью и приводит к появлению большого числа искусственно введенных свободных неизвестных, что весьма затрудняет сходимость к истинному решению

Можно видеть, что полное решение ПУЛ до сих пор не получено В частности, неясен вопрос о пределах применимости асимптотик, предложенных Диким и Лонге-Хиггинсом Кроме того, остается неизвестным характер изменения формы мод (и числа их нулей) при изменении частоты Краевая задача для ПУЛ (при заданном ГЧ) представляет собой обобщенную задачу Штурма-Лиувилля, квадрат искомой собственной частоты входит в коэффициенты уравнения нелинейным образом В связи с этим изменение числа нулей ФХ при изменении частоты не сводится к обычному для линейных задач Штурма-Лиувилля увеличению числа нулей на единицу

при переходе к следующей по номеру моде и в спектре могут присутствовать различные моды с явно различными частотами, имеющие одно и то же азимутальное волновое число

Целью работы является исследование свободных гармонических колебаний в бассейнах сложной формы и установление зависимостей между конфигурацией бассейна и характером волнового движения в нем, а также исследование решений ПУЛ на всей сфере для широкого диапазона ГЧ (в особенности - отрицательных) Одной из целей диссертации являлось сравнение полученных численных решений с известными из литературы асимптотиками с целью определения диапазона их применимости, а также исследование влияния определяющих параметров ПУЛ - ГЧ, собственной частоты, широтного и азимутального волнового числа - на вид соответствующих мод

Научная новизна

1. Для задачи с косой производной модифицирован метод численного интегрирования Бабенко

2. Исследованы сейшевые колебания в односвязных бассейнах с двумя, тремя и четырьмя осями симметрии (вращающихся и невращаю-щихся), а также в кольцеобразном бассейне Установлен характер влияния числа осей симметрии бассейна, площади и контура береговой линии на собственные частоты и характер волнового движения в бассейне

3 Разработан метод численного интегрирования ПУЛ

4 Получены неосесимметричные гармоники ПУЛ (ФХ) и изучены их свойства при различных значениях определяющих параметров Задача решена как для положительных, так и для отрицательных ГЧ Предложена классификация ФХ в обоих случаях, основанная на универсальном (для ГЧ одного и того же знака) характере следования мод при изменении собственной частоты

5 Получены частоты и моды (ФХ) в широком диапазоне изменения эквивалентной глубины Проверены известные в литературе асимптотические формулы Сделаны выводы о диапазоне их применимости

Практическая ценность Результаты диссертационной работы могут быть применены для численных расчетов сейш в озерах и внутренних морях, а также для вычисления гравитационных и термических приливов в атмосфере Земли и других планет Разработанный метод интегрирования приливного уравнения Лапласа может быть применен для интегрирования подобных ему уравнений, содержащих сингулярные коэффициенты

Достоверность полученных результатов вытекает из корректности постановок решаемых задач, применении строгих математических методов п сопоставлении полученных результатов, где это возможно, с известными в научной литературе

Апробация работы Результаты работы докладывались и обсуждались

- на семинаре ИПМех РАН «Проблемы механики сплошной среды» (руководители - проф С В Нестеров и проф Д В Георгиевский)

- на семинаре лаборатории механики прочности и разрушения материалов и конструкций (руководитель - проф Р В Гольдштейн)

- на семинаре кафедры механики композитов МГУ им М В Ломоносова «Актуальные проблемы геометрии и механики» (руководители - проф Д В Георгиевский и проф М В Шамолин)

- на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ им MB Ломоносова (руководитель - член-корр РАН И А Шишмарев)

- на Всероссийской конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 100-летию со дня рождения ЛИ Седова (Москва, 2007)

Публикации Основное содержание диссертации изложено в шести публикациях автора (из них четыре - в реферируемых журналах), список которых приведен в конце автореферата

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 114 наименований Объем диссертации - 111 страниц вместе с таблицами и графиками

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан обзор наиболее значительных работ в исследуемой области, сформулирована цель работы, определена ее научная новизна и практическая ценность, представлено краткое содержание диссертации

В первой главе рассматривается распространение гармонических гравитационных поверхностных волн во вращающихся бассейнах Жидкость считается идеальной, нелинейными членами пренебрегаем Поток жидкости через границу бассейна полагаем нулевым Исследование проводится в приближении теории мелкой воды, изучаемые волны считаются пологими На жидкость действуют сила тяжести (притом ускорение свободного падения считается постоянным ввиду малой толщины гидросферы Земли), центробежная сила и сила Кориолиса Соответствующие уравнения имеют вид

+—Чр + ¿У г + УП + Г2 х и = 0 (1)

р

й1уи=0' 1г!+иу (2)

Здесь и - вектор скорости, р - удельное давление, р - плотность, - потенциал силы тяжести, g - ускорение свободного падения, считающееся постоянным ввиду малой толщины гидросферы Земли, % ~ динамическая высота, - вектор Кориолиса, направленный по оси вращения Земли к Северному полюсу мира, П - потенциал центробежной силы

Задача должна быть дополнена граничным условием непротекания на твердой поверхности и двумя условиями на свободной поверхности

пи = 0 (3)

р = р0=С ОПЭг, -^ = 1111 (4)

где п - единичная нормаль к поверхности, - координата свобод-

ной поверхности

Выводятся уравнения, описывающие распространение волн в плоских бассейнах, т е таких, где в отсутствие возмущающих сил поверхность жидкости имеет нулевую кривизну Данное приближение оправдано при рассмотрении столь крупных бассейнов, как, например, Черное море Ко-риолисово ускорение полагаем постоянным, что отвечает случаю сравнительно некрупных бассейнов (единицы градусов), расположенных вне высоких широт В такой постановке задача моделирует распространение сейш в замкнутых бассейнах

Вводя цилиндрическую систему координат, записывая г0 + £'1СО8О"/+£'281П<7/ = £(д:,-у,/) и выражая 2 = ^ +, имеем для бассейна постоянной глубины

дх ду gh (5)

д2 2 содХ , ч ™

— =--—, (х,у)едТ

дп (71 ОУ

где а - угловая скорость вращения Земли, ¿/и - дифференциал внутренней нормали, с1я - дифференциал длины контура, отсчитываемый в положительном направлении, <ЭГ - граница бассейна

Числами подобия для краевой задачи (5) являются безразмерные величины а =4a>2S/7Гgh, где Б - площадь бассейна, представляющее аналог ГЧ, определяющего характер собственных колебаний в задаче о вращающемся шаре, и безразмерная собственная частота К = кыБ /л = 0■y|Slяgh Безразмерное число а для реальных бассейнов обычно порядка 0 1 (например, Черное море) и увеличивается в несколько раз для мелких бассейнов с большой площадью (типа Аральского моря)

В ряде случаев простой геометрии бассейна задача допускает точные решения, приведенные автором К главе прилагаются таблицы, содержащие вычисленные автором частоты и моды для кольцеобразных бассейнов с различным отношением радиусов внутреннего и внешнего колец

Во второй главе строится метод интегрирования задачи о сейшах в плоских бассейнах постоянной глубины, являющийся модификацией метода Бабенко Бассейн должен допускать конформное отображение на круг Чтобы оценить качество метода, рассматриваются задачи, имеющие точное решение, которое сравнивается с численным Далее строятся конформные отображения для бассейнов сложной формы и изучаются сейше-вые колебания как в случае невращающнхся, так и в случае вращающихся бассейнов

Показано, что характер волнового движения зависит главным образом от числа осей симметрии (ОС) бассейна В частности, узловая линия стоячей моды (в невращающемся бассейне), представляющая окружность в случае круглого бассейна, при отдалении формы бассейна от круговой характерным образом деформируется и в дальнейшем размыкается, причем характер деформирования и размыкания узловой линии для бассейна с двумя ОС отличен от случая бассейнов с большим числом ОС (фиг 1)

Фиг. 1. Изовысоты стоячей моды Е1 в бассейнах, имеющих форму эпитрохоиды с п ОС: а - п-2, ЛГ=4.015; б - п- 2, К=4.116; в - и=3, Л=3.558; г - п-А, К=ЗЛ24.

Установлено существование сильно асимметричных мод в невра-щающихся бассейнах, возникающих при особом соотношении между числом ОС бассейна и числом ОС кругового прообраза моды (фиг. 2,а). Такие волны входят в спектр парами, обе волны пары имеют одну и ту же собственную частоту, а сами моды являются энантиоморфами (т.е., линии изо-высот одной волны пары представляют зеркальное отражение линий изо-высот другой волны). Исследовано свойство расщепления собственных частот. Выявлены и другие эффекты, связанные с геометрией бассейна. В случае вращения бассейна линии равных амплитуд ведут себя подобно уз-

ловым линиям стоячих мод невращающихся бассейнов (фиг. 2,6, ср. с фиг. 1,в,г).

^^^ а - б

Фиг. 2. а - Карта изовысот асимметричной моды А] в бассейне, имеющем форму трёхосной эпитрохоиды, К= 1.674; б - Карта изовысот амплитудной поверхности моды С] во вращающейся «усложнённой» эпитрохоиде с четырьмя ОС, а- 0.201, К=\. 776.

В третьей главе ставится задача о собственных гармонических колебаниях тонкого слоя жидкости, покрывающей вращающийся шар, и выводится ПУЛ. Кориолисово ускорение уже не является постоянным и зависит от широты. Будем рассматривать Землю как сферу, покрытую слоем воды, постоянная глубина которого /г много меньше радиуса Земли а. Эллиптичность Земли считаем малой (1/289). Вводим сферическую систему координат (р, г\, вращающуюся вокруг земной оси с постоянной угловой скоростью СО . Выразим возвышение поверхности жидкости над уровнем равновесного эллипсоида, определяющегося действием гравитационной и центробежной сил, как С, . ПУЛ имеет вид:

7 = 0 (6)

где ¡л-соэб?, / ~(т/2а), [3 -Асогаг/gh Здесь в - коширота, а - угловая скорость волны, п - широтное волновое число (число волн на параллели), g - ускорение свободного падения Краевыми условиями являются условия ограниченности решений на полюсах

|Г(+1)|<00 (7)

В частном случае ¡3 ~ О ПУЛ допускает точные решения - волны Гаурвица

г*=__п_

(и + л + 1)(и + $ + 2)

-(8)

(2П + 25 + 3)(и + Д + 2)

+-^^-Л И

Здесь 5>—1 - номер моды (азимутальное волновое число), Р"(/л) -

присоединенные (ненормированные) функции Лежандра

На основании формулы Хафа рассмотрено качественное поведение собственных частот

В четвертой главе строится метод численного интегрирования ПУЛ, заключающийся в замене искомого решения (ФХ) в малой окрестности особой точки /л=±\ старшими членами ряда Фукса голоморфного решения и последующем решении обобщенной задачи Штурма-Лиувилля со сшиванием полученного решения с укороченным рядом Фукса в окрестностях особых точек по нулевой и первой производной В особых точках // = +/ оба фундаментальных интеграла ограничены, поэтому эти точки не создают проблем при численном интегрировании

С помощью данного метода получены неосесимметричные решения ПУЛ для различных значений определяющих параметров и исследованы их свойства Задача решена как для положительных, так и для отрицательных ГЧ в широком диапазоне значений Для найденных ФХ разработана

система классификации, основанная на универсальном (для ГЧ одного и того же знака) характере следования мод при изменении собственной частоты ФХ разделены на три класса положительные (Р), отрицательные (И) волны и волны Россби (Я) - в случае положительных ГЧ, и волны (К) и антиволны Россби (аЯ) и ультрадолгопериодные волны (Ь) - в случае отрицательных ГЧ При этом волны последних трех классов неотличимы друг от друга по виду и их разделение на классы всецело основано на характере следования собственных значений Наиболее характерные моды показаны на фиг 3-9

Исследован характер влияния различных определяющих параметров (ГЧ, собственной частоты, широтного и азимутального чисел) на ФХ Проведено сравнение численных результатов при больших ГЧ с известными в литературе асимптотическими формулами

0478}, II-{1,0 835}, III-{2,1 112}, IV-{3, 1 353})

{О, -О 110}, III - {1, -О 071}, IV - {2, -О 051}, V - {3, -0 039})

{FN,, -1 059}, III - {FNj, -1 250}, IV - {FN3, -1 440}, V - {FN„, -1 638})

О 0281}, II - {1, 0 1859}, III - {2, 0 2999}, IV - {3, 0 3814})

(I - {R-ь -0 156}, II - {N2, -0 289}, III - {N3, -0 375}, IV - {N4, -0 443}

''"Уч 15 / \ С А Л

' / А / / » \i / \ \

* / * \ / / > ч > / * / / /~ч\_05 ' / í /Гч ' / V / \ » /VU ' \ N / \ I \ V \ ' Ч N \ / V ц

-1 n\ -0 5 II \\ J / \\ 1 / IV Л ' / ""S \\ ! х \ / -\ \ 1 05 \ V // * Д II' / 14 Л ' / V \ 1 / i \ / / \ \ il \ \ t 1

\ V ' / 1 \ > / ^ \ ' / \ у У

Фиг 8 ВолныРоссбиR, {1,у}для = 1200, п = \ (I-{0,-0 0096},И-{1, -0 0058}, III - {2, -0 0042}, IV - {3, -0 0033})

3-{4, -0 3831}, 4-{7, -0 1061})

Все числовые данные, приведенные в диссертации, округлены, численные расчеты были проведены с более высокой точностью, доходившей (при исследовании ФХ отрицательных ГЧ) до 15 значащих цифр

В заключении приведены основные результаты и выводы, полученные в работе

1 Исследованы сейшевые колебания в односвязных бассейнах с двумя, тремя и четырьмя ОС (вращающихся и невращающихся), а также в кольцеобразном бассейне Установлен характер влияния числа ОС бассейна, площади и контура береговой линии на собственные частоты и характер волнового движения в бассейне Последнее имеет значение для более адекватной аппроксимации реальных бассейнов математическими контурами

2 Разработан метод численного интегрирования ПУЛ Использование построенного метода, по мнению автора диссертации, предпочтительнее, чем использование обычных методов разложения по сферическим или тригонометрических функциям, в силу его значительно большей простоты и универсальности

3 Получены неосесимметричные гармоники ПУЛ (ФХ) и изучены их свойства при различных значениях определяющих параметров Задача решена как для положительных, так и для отрицательных ГЧ в широком диапазоне значений Предложена классификация ФХ в обоих случаях, основанная на универсальном (для ГЧ одного и того же знака) характере следования мод при изменении собственной частоты В трудных для вычисления случаях (большие отрицательные ГЧ) предлагается комбинированное использование численного алгоритма и асимптотических формул Лонге-Хиггинса, сравнение которых с численными решениями показало их хорошее схождение уже для относительно небольших по абсолютной величине ГЧ Решения, полученные этим методом, могут рассматриваться как эталонные в задачах метеорологии, климатологии и т д

Автор выражает благодарность своему руководителю С В Нестерову и Л Д Акуленко за поддержку и внимание к работе Автор также благодарит А А Бармина и В Г Байдулова, высказавших замечания, позволившие

улучшить изложение результатов работы, С Д Алгазина - за предоставленные материалы, своих руководителей по лаборатории Р В Гольдштен-на и А Л Попова, проявивших понимание во время подготовки рукописи диссертации Автор также выражает благодарность заведующей отделом аспирантуры ИПМех РАН Г Н Агашиной за постоянное участие

Публикации по теме диссертации По результатам диссертации написаны следующие работы

1. Иванов М II. О колебаниях лсидкости под действием силы Кориоли-са в плоских бассейнах постоянной глубины // Тез. докл. межд. научн. конф. «Современные проблемы механики, математики, ннформатн-ки». Тула. ТГУ, 2003 С. 145-146.

2. Иванов М.И О свободных приливах в плоских бассейнах постоянной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 119-130.

3. Иванов М.И. Собственные гармоннческне колебания гравнтирую-щей жидкости в бассейнах сложной формы // Изв. РАН. МЖГ. 2006. №1. С. 131-148.

4. Иванов М.И. Неосеснмметрнчные решения приливного уравнения Лапласа и волны Россби //Изв. РАН. МЖГ. 2007. №4. С. 151-161.

5. Иванов М.И. Функции Хафа. Собственные колебания жидкости на вращающемся шаре // Тез. докл. Всеросс. коиф. «Современные проблемы механики сплошной среды», поев 100-летшо Л И. Седова. М.: МИАН, 2007. С. 68-69.

6. Иванов М И О горизонтальной структуре прнлнвных колебаний атмосферы И Изв. РАИ. МЖГ. 2008. №3. С. 125-139

Иванов Михаил Игоревич

Волновые движения жидкости в сложных областях с учетом вращения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 13 05 2008 Заказ № 16-2008 Тираж 70 экз

Отпечатано на ризографе Института проблем механики им А Ю Ишлинского Российской академии наук 119526, Москва, проспект Вернадского, 101, корп 1

Введение.

Глава 1. Сейши в плоских бассейнах. Основные уравнения и точные решения

1. Основные уравнения задачи.

2. Точные решения.

Глава 2. Исследование сейшевых колебаний в бассейнах различной формы

1. Построение численного алгоритма.

2. Конформное отображение. Бассейны.

3. Классификация мод невращающихся бассейнов. Расщепление собственных частот.

4. Влияние геометрии бассейна на собственные частоты.

5. Характерные моды невращающихся бассейнов.

6. Вращение.

7. Разложение волнового поля вблизи амфидромической точки.

Глава 3. Приливное уравнение Лапласа, волны Гаурвица и формула Хафа

1. Вывод приливного уравнения Лапласа.

2. Волны Гаурвица.

3. Формула Хафа.

Глава 4. Интегрирование приливного уравнения Лапласа. Функции Хафа

1. Интегрирование задачи на собственные значения.

2. Частоты и моды для небольших гироскопических чисел.

3. Волны для больших гироскопических чисел.

4. Отрицательные гироскопические числа.

Актуальность проблемы. Анализ метеорологических, океанологических и пр. данных показывает, что главенствующую роль в крупномасштабных процессах в атмосфере и гидросфере играют периодические процессы, важнейшим классом которых являются собственные колебания. Исследование таких колебаний представляет значительную сложность в связи как с большим числом воздействующих факторов (сила тяжести, центробежная и кориолисовы силы, сферическая геометрия Земли или исследуемой планеты и др.), так и с непотенциальностью изучаемых течений. В связи с этим посвященные данной теме работы хотя и многочисленны, но большей частью фрагментарны, а некоторые важные вопросы и вовсе не освещены. Необходимо также отметить, что с исследуемыми задачами тесно связана задача об океанских и атмосферных приливах, имеющая многочисленные приложения в геофизике, метеорологии, океанологии и т.д.

Первая часть диссертации (гл. 1-2) посвящена решению задачи о собственных гармонических колебаниях поверхности жидкости, заключённой в плоском бассейне (т.е. таком, в котором поверхность невозмущённой жидкости имеет нулевую кривизну). Изучение таких колебаний привлекало внимание многих исследователей в связи с задачей о сейшах в озёрах и внутренних морях, а также задачей о приливах. В зависимости от периода сейши производится учёт или неучёт вращения Земли. Для простейших форм бассейнов (круг, круговое кольцо) имеется аналитическое решение [25, 31, 32, 34]. Решение выражается через цилиндрические функции. Для эллиптического бассейна точное решение существует только при отсутствии вращения [2, 26, 31, 32, 49, 50, 6466]. Решение даётся функциями Матье. Сейши в эллиптических бассейнах при наличии вращения исследовались в [51, 52], причём проводилось сравнение аналитических результатов с экспериментальными, полученными автором статьи в лаборатории JI. Прандтля в Гёттингене. Также исследовались прямоугольные [40, 47, 55, 58, 95, 98] и полукруглые бассейны [45, 97]. Некоторые работы были посвящены исследованию сейш в бассейнах, имеющих форму правильного п-угольника [102] или кругового сектора [95]. Праудменом были исследованы сейши в почти круглом бассейне [96].

Значительное число работ посвящено численному исследованию сейш и приливных волн в реальных акваториях, таких как озеро Байкал [54], Красное море [53], Чёрное море [97], Мексиканский залив [92], Великие озёра в Северной Америке [56, 92, 94, 99, 100], Каспийское море [27] и др.

Отдельно следует выделить исследования, касающиеся особенностей гармонического волнового течения, не зависящего от формы контура бассейна. В литературе были рассмотрены амфидромические точки [87] (точки нулевой амплитуды гармонических колебаний) и фазовые сёдла [89]. Исследованию спектра задачи о сейшах с позиции теории дифференциальных уравнений в частных производных была посвящена работа Рохлина [28].

Также изучались бассейны непостоянной глубины. Были получены решения для бассейна, имеющего форму параболической чаши (параболоида вращения) [25], полукруглого бассейна с таким же законом изменения глубины (половина параболоида вращения) [45] и эллиптического параболоида [37, 38, 63]. В случае, когда глубина бассейна не является постоянной, в нём существуют гармонические колебания с периодом большим, чем период вращения самого бассейна, называемые топографическими волнами Россби.

Из приведённого обзора можно видеть, что в настоящее время в гидродинамике имеется разрыв между бассейнами простой конфигурации (круговой, кольцеобразный, прямоугольный) и бассейнами, аппроксимирующими реальные асимметричные акватории с их сложной береговой линией.

Вторая часть диссертации (гл. 3-4) посвящена решению приливного уравнения Лапласа. В 1775 году при исследовании динамических приливов Лаплас получил дифференциальное уравнение, описывающее собственные гармонические колебания тонкого слоя жидкости, покрывающего вращающийся шар, в настоящее время носящее его имя. Выведенное для океана постоянной глубины, это уравнение, однако, применимо к более широкому классу задач, в частности, к нему сводятся задача метеорологии о приливах в атмосфере Земли [1, 15, 24, 30, 91, 105, 106, 111, 113] или исследование колебаний вращающихся звёзд [39,41,74, 75, 107].

Вид и поведение решений приливного уравнения Лапласа зависят от величины безразмерного параметра /3 — Аса1 а2 / gh (названного в диссертации гироскопическим числом), где со - угловая скорость вращения шара, а - его радиус, g - ускорение свободного падения, h - глубина океана. В случае исследования вынужденных колебаний или колебаний атмосферы гироскопическое число является неизвестным и определяет значение h, которое в этом случае называется эквивалентной глубиной и не обязательно равно действительной глубине океана или атмосферы.

Приливное уравнение Лапласа представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярными коэффициентами. С их наличием и связана основная сложность задачи. В XIX веке наибольшего продвижения в решении задачи достигли Маргулес [84-86] и Хаф [61, 62]. Маргулес искал решения в виде разложения по тригонометрическим функциям, Хаф - в виде разложения по присоединённым сферическим функциям. Этими исследователями было установлено, что приливное уравнение Лапласа имеет решения двух родов. К первому роду были отнесены короткопериодические колебания, ко второму роду были отнесены долгопериодные колебания, переходящие в пределе в установившиеся течения на неподвижном шаре. Эти течения аналитически получены Гаурвицем [57] (а позднее - Нимтэном [88]) и называются волнами Га-урвица. Колебания первого рода в пределе @ —> 0 исчезают. Колебания первого рода могут распространяться как по направлению вращения планеты, так и против; колебания второго рода распространяются только против направления вращения планеты. Хафом была выведена формула для приближённого вычисления собственных частот [62]. Сравнение приближённых частот с частотами, вычисленными более точными методами, показывает очень высокую точность формулы Хафа при порядка единицы-двух, что соответствует условиям Земли как при исследовании океана, так и атмосферы в баротропном приближении.

Колебаниям второго рода отвечают медленные волны, движущиеся против направления вращения планеты с периодами больше суток. Первоначально их существование было выявлено лишь математически. Однако в 1939 году Россби с сотрудниками при анализе метеорологических данных установил существование в атмосфере Земли крупномасштабных медленно перемещающихся областей высокого и низкого давления, названных им центрами действия атмосферы и дал простейшую теорию этого явления в предположении нулевой кривизны земной поверхности [101]. Гаурвиц рассмотрел более реалистичную модель сферической Земли и обнаружил, что эти волны представляют собой колебания второго рода приливного уравнения Лапласа [57]. Они получили название планетарных волн или волн Россби. Эти волны в некотором роде аналогичны топографическим волнам Россби, о которых говорилось выше.

В дальнейшем исследованию собственных функций приливного уравнения Лапласа (получившим название функций Хафа) было посвящено значительное число работ. Чаще всего использовался метод Хафа разложения искомого решения по присоединённым сферическим функциям [9-12, 15, 24, 35, 48, 76, 104]. Отдельные решения приливного уравнения Лапласа можно найти в многочисленных работах, посвященных решению тех или иных метеорологических задач [67-73, 78-80, 103, 109-112].

Исследовались также колебания в зональном океане (океане, ограниченном кругами широты) [3, 43], полярном океане (океане, покрывающем один из полюсов и ограниченном кругом широты) [42], океане, ограниченном двумя меридианами [44, 46, 90]. Первая задача не представляет математической трудности, т.к. здесь приливное уравнение Лапласа не имеет особенностей. Голдсброу была подробно исследована задача о полусуточных колебаниях в океане, изменение глубины которого меняется по закону h = h0 sin2 в, где в -коширота [44].

В [29] изучались эффекты, вызванные вязкостью покрывающей шар жидкости, и дана оценка момента сил приливного трения.

Математические сложности, связанные с тем, что на полюсах сферы коэффициенты приливного уравнения Лапласа становятся сингулярными, привели к возникновению приближения (3-плоскости, смысл которого заключается в замене криволинейной геометрии сферы плоской с одновременной линеаризацией параметра Кориолиса. Приближению (3-плоскости посвящена обширная литература [77, 79, 81, 82, 103, 108, 114].

В [59, 60, 93] приливное уравнение Лапласа рассматривалось как одно из уравнений математической физики и были подвергнуты исследованию такие свойства его решений, как ортогональность и полнота.

Пожалуй, наиболее подробные исследования были проведены Лонге-Хиггинсом [83], а также Шварцтраубером и Касахарой [104]. Лонге-Хиггинс [83] использовал для интегрирования приливного уравнения Лапласа как метод Хафа (разложение по сферическим гармоникам), так и метод Маргулеса (разложение по тригонометрическим функциям) и вычислил функции Хафа для широкого диапазона гироскопических чисел (в том числе и для отрицательных). Однако, в силу сложности задачи, во многих случаях автору пришлось ограничиться построением асимптотических форм. Другое асимптотическое исследование было проведено Диким [13, 14], который независимо исследовал случай больших положительных и отрицательных гироскопических чисел, но получил значительно менее полные результаты, чем Лонге-Хиггинс. В работе Шварцтраубера и Касахары [104] построены обширные таблицы частот функций Хафа для различных положительных гироскопических чисел вплоть до 105. Аналогичных вычислений для отрицательных гироскопических чисел не проводилось.

Особые точки приливного уравнения Лапласа регулярны и поэтому к нему может быть применена теория Фукса. Это было сделано в [36, 39, 75]. Одна7 ко полное решение задачи не было получено - в [36] автор ограничился только аналитическим исследованием некоторых свойств функций Хафа, а авторы [39, 75] получили лишь решения, интересные им с точки зрения астрофизики, к тому же предложенный ими метод отличается громоздкостью и приводит к появлению большого числа искусственно введённых свободных неизвестных, что весьма затрудняет сходимость к истинному решению.

Можно видеть, что полное решение приливного уравнения Лапласа до сих пор не получено. В частности, неясен вопрос о пределах применимости асимптотик, предложенных Диким и Лонге-Хиггинсом. Кроме того, остаётся неизвестным характер изменения формы мод (и числа их нулей) при изменении частоты. Краевая задача для приливного уравнения Лапласа (при заданном гироскопическом числе) представляет собой обобщённую задачу Штурма-Лиувилля, квадрат искомой собственной частоты входит в коэффициенты уравнения нелинейным образом. В связи с этим изменение числа нулей функций Хафа при изменении частоты не сводится к обычному для линейных задач Штурма-Лиувилля увеличению числа нулей на единицу при переходе к следующей по номеру моде и в спектре могут присутствовать различные моды с явно различными частотами, имеющие одно и то же азимутальное волновое число.

В соответствии с изложенным сформулируем цель работы.

Целью работы является исследование свободных гармонических колебаний в бассейнах сложной формы и установление зависимостей между конфигурацией бассейна и характером волнового движения в нём, а также исследование решений приливного уравнения Лапласа на всей сфере для широкого диапазона гироскопических чисел (в особенности - отрицательных). Одной из целей диссертации являлось сравнение полученных численных решений с известными из литературы асимптотиками с целью определения диапазона их применимости, а таюке исследование влияния определяющих параметров приливного уравнения Лапласа - гироскопического числа, собственной частоты, широтного и азимутального волнового числа - на вид соответствующих мод.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы, содержащего 114 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами своей диссертационной работы автор считает следующие:

1. Исследованы сейшевые колебания в односвязных бассейнах с двумя, тремя и четырьмя осями симметрии (вращающихся и невращающихся), а также в кольцеобразном бассейне. Установлен характер влияния числа осей симметрии бассейна, площади и контура береговой линии на собственные частоты и характер волнового движения в бассейне. Последнее имеет значение для более адекватной аппроксимации реальных бассейнов математическими контурами.

2. Разработан метод численного интегрирования приливного уравнения Лапласа. Использование построенного метода, по мнению автора диссертации, предпочтительнее, чем использование обычных методов разложения по сферическим или тригонометрических функциям, в силу его значительно большей простоты и универсальности.

3. Получены неосесимметричные гармоники приливного уравнения Лапласа (функции Хафа) и изучены их свойства при различных значениях определяющих параметров. Задача решена как для положительных, так и для отрицательных гироскопических чисел в широком диапазоне значений. Предложена классификация функций Хафа в обоих случаях, основанная на универсальном (для гироскопических чисел одного и того же знака) характере следования мод при изменении собственной частоты. В трудных для вычисления случаях (большие отрицательные гироскопические числа) предлагается комбинированное использование численного алгоритма и асимптотических формул Лонге-Хиггинса, сравнение которых с численными решениями показало их хорошее схождение уже для относительно небольших по абсолютной величине гироскопических чисел. Решения, полученные этим методом, могут рассматриваться как эталонные в задачах метеорологии, климатологии и т.д.

1. Акасофу С.-И., Чепмен С. Солнечно-земная физика. 4.1. М.: Мир, 1974. 384 с.

2. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Нестеров С.В. Собственные колебания тяжёлой жидкости в эллиптическом бассейне // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №4. С. 129-142.

3. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В., Шматков A.M. Собственные колебания поверхности вращающегося сферического слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №3. С. 85-95.

4. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической матфизики. I. Спектральные задачи дня уравнения Лапласа. Препринт №671. М.: ИПМ РАН. 2000. 39 с.

5. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математической физики. М.: Научный мир, 2002. 155 с.

6. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. 848 с.

7. Бабенко К.И., Алгазин С.Д. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. Препринт №46. М.: ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1978. 80 с.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: ГИТТЛ, 1957. 608 с.

9. Голицын Г.С., Дикий А.Л. Собственные колебания атмосфер в зависимости от скорости вращения планеты // Изв. АН СССР, Физ. атм. и океана. 1966. Т. 2. №3. С. 223-235.

10. Голицын Г.С., Дикий А.Л. Собственные периоды и собственные функции для сжимающейся баротропной сферической атмосферы // В сб. «Динамика крупномасштабных атмосферных процессов». М.: Наука, 1967. С. 200-203.

11. Дикий JI.А. Собственные колебания бароклинной атмосферы над сферической Землёй//Изв. АН СССР, сер. геофиз. 1961. №5. С. 756-765.

12. Дикий Л.А. Земная атмосфера как колебательная система // Изв. АН СССР, Физ. атм. и океана. 1965. Т. 1. №5. С. 469-489.

13. Дикий Л.А. Об асимптотике решений приливного уравнения Лапласа // ДАН СССР. 1966. Т. 170. №1. С. 67-70.

14. Дикий Л.А. Об асимптотике приливного уравнения Лапласа для отрицательных значений эквивалентной глубины // Изв. АН СССР, Физ. атм. и океана. 1968. Т. 4. №2. С. 206-209.

15. Дикий Л.А. Теория колебаний земной атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 196 с.

16. Иванов М.И. О колебаниях жидкости под действием силы Кориолиса в плоских бассейнах постоянной глубины // Тез. докл. межд. научн. конф. «Современные проблемы механики, математики, информатики». Тула: ТГУ, 2003. С. 145-146.

17. Иванов М.И. О свободных приливах в плоских бассейнах постоянной глубины //Изв. РАН. МЖГ. 2004. №5. С. 119-130.

18. Иванов М.И. Собственные гармонические колебания гравитирующей жидкости в бассейнах сложной формы // Изв. РАН. МЖГ. 2006. №1. С. 131-148.

19. Иванов М.И. Неосесимметричные решения приливного уравнения Лапласа и волны Россби//Изв. РАН. МЖГ. 2007. №4. С. 151-161.

20. Иванов М.И. Функции Хафа. Собственные колебания жидкости на вращающемся шаре // Тез. докл. Всеросс. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», поев. 100-летию Л.И. Седова. М.: МИАН, 2007. С. 68-69.

21. Иванов М.И. О горизонтальной структуре приливных колебаний атмосферы // Изв. РАН. МЖГ. 2008. №3. С. 125-139.

22. Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 324 с.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2003.576 с.

24. Кочин Н.Е. Собрание сочинений. Т.1. М.-Л.: ОНТИ, 1949. 616 с.

25. Ламб Г. Гидродинамика. Т.1. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003. 452 с.

26. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 476 с.

27. Рохлин Д.Б. О спектральной задаче теории приливов в ограниченной области //Докл. РАН. 1997. Т. 353. №5. С. 619-621.

28. Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №2. С. 133-141.

29. Сидоренков Н.С. Атмосферные процессы и вращение Земли. СПб.: Гидроме-теоиздат, 2002. 367 с.

30. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 304 с.

31. Сретенский ЛН. Динамическая теория приливов. М.: Наука, 1987. 472 с.

32. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Едиториал УРСС, 2003. 352 с.

33. Холодова Е.С. Волны во вращающейся жидкости // Докл. межд. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения» Саранск, 1995. С. 286-294.

34. Чепмен С., Линдзен Р. Атмосферные приливы: термические и гравитационные. М.: Мир, 1972. 295 с.

35. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 328 с.

36. Ball F.K. The effect of rotation on the simpler modes of motion of a liquid in an elliptic paraboloid // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 529-545.

37. Ball F.K. Second-class motions of a shallow liquid // J. Fluid Mech. 1965. V. 23. P. 545-561.

38. Bildsten L., Ushomirsky G., Cutler C. Ocean g-modes in rotating neutron stars // Astrophys. J. 1996. V. 460. P. 827-831.

39. Corkan R.H., Doodson A.T. Free tidal oscillations in a rotating square sea // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1952. V. 215. №1121. P. 147-162.

40. Dziembovski W.A., Daszynska-Daszkiewicz J., Pamyatnykh A.A. Excitation and visibility of slow modes in rotating B-type stars // MNRAS. 2006. doi: 10.1111/j. 1365-2966.2006.11139.x 8 pp.

41. Goldsbrough G.R. The dynamical theory of the tides in a polar basin // Proc. L. Math. Soc. (2). 1915. V. 14. P. 31-66.

42. Goldsbrough G.R. The dynamical theory of the tides in a zonal ocean // Proc. L. Math. Soc. (2). 1915. V. 14. P. 207-229.

43. Goldsbrough G.R. The tides in ocean on a rotating globe, part I // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1928. V. 117. P. 692-718.

44. Goldsbrough G.R. The tides in ocean on a rotating globe, part II // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1929. V. 122. P. 228-245.

45. Goldsbrough G.R., Colborne D.C. The tides in ocean on a rotating globe, part III // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1929. V. 126. P. 1-15.

46. Goldsbrough G.R. The tidal oscillations in rectangular basins // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1931. V. 132. P. 689-701.

47. Goldsbrough G.R. The tides in ocean on a rotating globe, part IV // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1933. V. 140. P. 241-253.

48. Goldstein S. A note on certain approximate solutions of linear differential equation of second order with an application to the Mathieu equation // Proc. L. Math. Soc. (2). 1928. V. 28. P. 81-90.

49. Goldstein S. The free oscillations of water in a canal of elliptic plan // Proc. L. Math. Soc. (2). 1928. V. 28. P. 91-101.

50. Goldstein S. A special case of tidal motion in elliptic basins // MNRAS Geoph. Suppl. 1928. V. 2. №1. P. 44-56.

51. Goldstein S. Tidal motion in a rotating elliptic basins of constant depth // MNRAS Geoph. Suppl. 1929. V. 2. №4. P. 213-231.

52. Grace S.F. The semi-diurnal lunar tidal motion of the Red Sea // MNRAS Geoph. Suppl. 1930. V. 2. №6. P. 273-296.

53. Grace S.F. The semi-diurnal lunar tidal motion of lake Baikal and the derivation of the Earth-tides from the water-tides // MNRAS Geoph. Suppl. 1931. V. 2. №7. P. 301309.

54. Grace S. F. Tidal oscillations in rotating rectangular basins of uniform depth // MNRAS Geoph. Suppl. 1931. V. 2. №8. P. 385-398.

55. Hamblin P.F. On the free surface oscillations of Lake Ontario // Limnol. Ocenogr. 1982. V. 29. №6. P. 1039-1049.

56. Haurwitz B. The motion of atmospheric disturbances on the spherical Earth // J. Mar. Res. 1940. V. 3. P. 254-267.

57. Helal M.A. Shallow water waves in a rotating rectangular basin // Int. J. Math, and Math. Sci. 2000. V. 24. №10. P. 649-661.

58. Holl P. Die volstandigkeit des orthogonal systems der Houghfunktionen // Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. (2). 1970. V. 7. P. 159-168.

59. Homer M.S. Boundary value problem for the Laplace tidal wave equation // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1990. V. 428. №1874. P. 157-180.

60. Hough S.S. On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of tides, part I. On Laplace's "Oscillations of the first species" and on the dynamics of ocean currents // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1897. V. 189. P. 201-257.

61. Hough S.S. On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of tides, part II. On the general integration of Laplace's dynamical equations // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1898. V. 191. P. 139-185.

62. Hukuda H. On the quasi-Lame's equation with application to lake seiches // Dyn. Atm. and Oceans. 1986. V. 10. №2. P. 111-127.

63. Jeffreys H. On certain approximate solutions of linear differential equations on the second order//Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23. P. 428-436.

64. Jeffreys H. On certain solutions of Mathieu's equation // Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23. P. 437-448.

65. Jeffreys H. The free oscillations of water in an elliptical lake // Proc. L. Math. Soc. (2). 1924. V. 23. P. 455-476.

66. Kasahara A. Normal modes of ultralong waves in the atmosphere // Mon.' Wea. Rev. 1976. V. 104. P. 669-690.

67. Kasahara A. Numerical integration of the global barotropic primitive equations with Hough harmonic expansions //J. Atm. Sci. 1977. V. 34. P. 687-701.

68. Kasahara A. Further studies of a spectral model of the global barotropic primitive equations with Hough harmonic expansions // J. Atm. Sci. 1978. V. 35. P. 2043-2051.

69. Kasahara A., Qian J.-H. Normal modes of a global nonhydrostatic atmospheric model // Mon. Wea. Rev. 2000. V. 128. №10. P. 3357-3375.

70. Kato S. Diurnal atmospheric oscillation, part I. Eigenvalues and Hough functions // J. Geophys. Res. 1966. V. 71. P. 3201-3209.

71. Kato S. Diurnal atmospheric oscillation, part II. Thermal excitation in the upper atmosphere //J. Geophys. Res. 1966. V. 71. P. 3211-3214.

72. Kato S. Diurnal and semi-diurnal atmospheric tidal oscillation. Eigenvalues and Hough functions // Rep. Ionosph. Space Res. Japan. 1966. V. 20. P. 448-463.

73. Lai D. Dynamical tides in rotating binary stars // Astrophys. J. 1997. V. 490. P. 847-862.

74. Lee U., Saio H. Low-frequency non-radial oscillations in rotating stars, part I. Angular dependence //Astrophys. J. 1997. V. 491. P. 839-845.

75. Lindzen R.S. On the theory of the diurnal tide // Mon. Wea. Rev. 1966. V. 94. №5. P. 295-301.

76. Lindzen R.S. Planetary waves on beta-planes // Mon. Wea. Rev. 1967. V. 95. P. 441-451.

77. Lindzen R.S. The application of classical atmospheric tidal theory // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1968. V. 303. P. 299-316.

78. Lindzen R.S. Dynamics in atmospheric physics. Cambridge Univ. Press, 1990. 310 pp.

79. Lindzen R.S., Batten E.S., Kim J.-W. Oscillations in atmospheres with tops // Mon. Wea. Rev. 1968. V. 96. №3. P. 133-140.

80. Longuet-Higgins M.S. Planetary waves on a rotating sphere // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1964. V. 279. P. 446-473.

81. Longuet-Higgins M.S. Planetary waves on a rotating sphere, part II // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1965. V. 284. P. 40-68.

82. Longuet-Higgins M.S. The eigenfUnctions of Laplace's tidal equations over a sphere // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1968. V. 262. P. 511-607.

83. Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Spharoidschale // Sitz. der Math.-Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. Ha. 1892. B. 101. S. 597-626.

84. Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Spharoidschale, Teil II // Sitz. der Math.-Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. Ila. 1893. B. 102. S. 11-56.

85. Margules M. Luftbewegungen in einer rotereuden Spharoidschale, Teil III // Sitz. der Math.-Naturwiss. Klasse. Kais. Akad. Wiss. Wien. Abt. Ila. 1893. B. 102. S. 13691421.

86. Martin P.A., Dalrymple R.A. On amphidromic points // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1994. V. 444. P. 91-104.

87. Neamtan S.M. The motion of harmonic waves in the atmosphere // J. Meteorol. 1946. V. 3. P. 53-56.

88. Nye J.F., Hajnal J.V., Hannay J.H. Phase saddles and dislocations in two-dimensional waves such as the tides // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1988. V. 417. P. 7-20.

89. O'Connor W.P. The complex wavenumber eigenvalues of Laplace's tidal equations for oceans bounded by meridians // Proc. Math. Phys. Sci. 1995. V. 449. №1935. P. 5164.

90. Pekeris C.L. Atmospheric oscillations // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1937. V. 158. P. 650-671.

91. Platzman G.W. Two-dimensional free oscillations in natural basins // J. Phys. Oceanogr. 1972. V. 2. P. 117-138.

92. Platzman G.W. The atmospheric tide as a continuous spectrum: lunar semidiurnal tide in a surface pressure // Meteorol. Atmos. Phys. 1988. V. 38. P. 70-88.

93. Platzman G.W., Rao D.B. Spectra of Lake Erie water levels // J. Geoph. Res. 1964. V. 69. P. 2525-2535.

94. Pnueli A., Pekeris C.I. Free tidal oscillations in rotating flat basins of the form of rectangles and of sectors of circles // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1968. V. 263. №1138. P. 149-171.

95. Proudman J. On some cases of tidal motion of rotating sheets of water // Proc. L. Math. Soc. (2). 1913. V. 12. P. 453-473.

96. Proudman J. On the tides in a flat semicircular sea of uniform depth // MNRAS Geoph. Suppl. 1928. V. 2. №1. P. 32-43.

97. Rao D.B. Free gravitational oscillations in rotating rectangular basins // J. Fluid Mech. 1966. V. 25. P. 523-555.

98. Rao D.B., Mortimer C.H., Schwab D.J. Surface normal modes of Lake Michigan: Calculations compared with spectra of observed water level fluctuations // J. Phys. Oceanogr. 1976. V. 6. P. 577-588.

99. Rao D.B., Schwab D.J. Two-dimensional normal modes in arbitrary enclosed basins: Application to Lakes Ontario and Superior // Phil. Trans. Roy. Soc. L. (A). 1976. V. 281. P. 63-96.

100. Rossby C.-G. et coll. Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of the atmosphere and the displacements of the semi-permanent centers of action // J. Mar. Res. 1939. V. 2. P. 38-55.

101. Safwat H. Gravity waves in basins whose plan is a regular я-gon // ZAMM. 1986. V. 66. №2. P. 121-124.

102. Sawada R. Long atmospheric waves on the sphere and on the polar plane // Arch. Met. Geoph. Biokl. (A). 1966. V. 15. P. 129-167.

103. Schwarztrauber P.N., Kasahara A. The vector harmonic analysis of Laplace's tidal equations // Siam J. Sci. Stat. Comput. 1985. V. 6. P. 464-491.

104. SiebertM. Atmospheric tides // Advances in Geophysics 1961. V. 7. P. 105-182.

105. Taylor G.I. The oscillations of the atmosphere // Proc. Roy. Soc. L. (A). 1936. V. 156. P. 318-326.

106. Unno W., Osaki Y., Ando H., Shibahashi H. Nonradial oscillation of stars. Tokyo: Univ. of Tokyo Press, 1979. 330 pp.

107. Veronis G. On the approximations involved in transforming the equations of motion from a spherical surface to the -plane, part I. Barotropic systems // J. Mar. Res. 1963. V. 21. P. 110-124.

108. Volland H. Atmospheric tidal and planetary waves. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988. 364 pp.

109. Volland H. Rossby-Haurwitz waves with zero zonal wavenumber // Beitr. Phys. Atm. 1989. V. 62. P. 77-89.

110. Volland H. Atmosphere and Earth's rotation // Surveys in Geophysics. 1996. V. 17. P. 101-144.

111. Volland H. Atmospheric tides // In Tidal Phenomena (ed. by H. Wilhelm, W. Zurm,

112. H.-G. Wenzel). Springer Verlag, 1997. 221 pp.

113. Wilkes M.V. Oscillations of Earth's atmosphere. Cambridge Univ. Press, 1949.

114. Wu Z., Moore D.W. The completeness of eigenfunctions of the tidal equation on equatorial beta plane // J. Atm. Sci. 2004. V. 61. №6. P. 769-774.