Волновые эффекты в пространственных задачах колебаний и распространения волн в упругих телах цилиндрической формы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Національна академія наук України ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

Комісарова Галина Леонідівна

УДК 534.1

ХВИЛЬОВІ ЕФЕКТИ В ПРОСТОРОВИХ ЗАДАЧАХ КОЛИВАНЬ ТА РОЗПОВСЮДЖЕННЯ ХВИЛЬ У ПРУЖНИХ ТІЛАХ ЦИЛІНДРИЧНОЇ ФОРМИ

01.04.06 — акустика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних иаук

^Сс'^сіс/1 С <1-—^

КИЇВ — 1998

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті механіки ім. С.П- Тимошенка НАН України, м. Киїе

Науковий консультант: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор ГРІНЧЕНКО Віктор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України, директор

Офіційні опоненти: чден-кореспондент НАН України,

доктор фіз.-мат. наук, професор УЛІТКО Андрій Феофанович,

Національний університет ім. Т.Шевченка, завідувач кафедри

доктор фіз.-мат. наук

МЕЛЕПІКО Вячеслав Володимирович,

Інститут гідромеханіки НАН України, провідний науковий співробітник

доктор технічних наук, професор ЛЕЙКО Олександр Григорович,

Державний НДІ гідроприладів, завідувач відділу

Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки і

математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів, відділ теорії фізико-механічних полів

Захист відбудеться '¥Ш0£сі 1998 року о годині на засідан

спеціалізованої вченої ради Д2Ь.196г01 в Інституті гідромеханіки НАН України : адресою:

25205Г, м. Київ-57, вул. Желябова, 8/4, тел. (044) 446-43-13, факс (044) 446-42-29.

■З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту гідромеханіки НА Україна.

Автореферат розіслано 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої' зченої ради доктор технічних наук, С. І. Крил

професор

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В сучасній акустиці поряд із такими традиційними напрямками, як музична і архітектурна акустика, електроакустика, теорія дифракції хвиль, швидко розвиваються й нові напрямки: біо- та гідроакустика, звукова техніка, неруйнівні методи контролю та діагностики, ультразвукова технологія тощо. При всьому розмаїтті явиш, які -зустрічаються в різних областях акустики, усі вони грунтуються на закономірностях, які є спільними для довільних пружних хвиль.

Специфіка хвильових процесів в пружних тілах обумовлена наявністю двох типів хвиль (розширення і зсуву) та їх трансформацією на граничних поверхнях. Цим пояснюється більш складна картина хвильових процесів в пружних тілах в порівнянні із рідинним середовищем, для якого маємо тільки одну хвилю. Тому існус суттєва відмінність в акустичній поведінці пружних тіл і рідин.

Проведені в дисертації дослідження спрямовано на вивчення -закономірностей хвильових процесів в пружних тілах циліндричної форми при врахуванні ряду ускладнюючих факторів: скінченності пружного тіла; різних типів граничних умов, в тому числі -змішаних; нестаціонарного деформування; взаємодії з рідинним середовищем; -затухання за рахунок випромінювання енергії в оточуюче середовище. Розглянуто три класи задач: гармонійне коливання: нестаціонарне деформування круглих пластин, суцільного та порожнистого циліндрів скінченної довжини; розповсюдження хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах. При дослідженні цих класів задач застосовано єдиний підхід: просторова постановка граничних задач, єдиний метод розв'язку

- метод суперпозиції (для скінчених пружних тіл) та виконано його математичне обгрунтування.

Актуальність теми. Широке -застосування в різних пристроях сучасної техніки елементів типу тонких дисків та циліндричних стержнів в якості збудників і приймачів коливань, резонаторів, концентраторів, елементів механічних фільтрів, що працюють в умовах високочастотних коливань, висунуло в ряд актуальних -задачу розвитку методу досліджень частотних спектрів та форм коливань. У цих випадках врахування просторового характеру рухів частинок тіла при розв'язку граничних задач дозволяє одержати достовірну інформацію про особливості хвильових процесів, шо відбуваються.

Проблеми дослідження закономірностей розповсюдження хви. та збудження хвильового поля ненаправленим джерелом в пружн рідинних циліндричних хвилеводах в залежності від структури хвид водів, геометричних та фізичних параметрів є актуальними питанн ми сучасної теорії хвиль. Результати цих досліджень широко викор стовуються в таких науково-технічних галузях, як акуст о електронік геоакустика, сейсмологія, ультраакустична дефектоскопія та інші.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, тем; ми. Дослідження, результати яких викладено в дисертації, передб чені програмами та планами наукових досліджень по природничим н укам на 1980-1990 рр. АН С'РСР і АН УРСР та планами на 1991 1997 рр. НАН України і увійшли до звітів по темам. Зокрема: N 1-; ’’Нестационарное деформирование цилиндрических оболочек с учето геометрической нелинейности, неоднородности материала и взатаи действия с жидкостью” (У ГР 01840086839), N 277 "’Динамічні прі цеси в поліагрегатнпх системах - пружних елементах конструкцій рідиною або газовим потоком, насичених рідиною пружних середовші (У ДР 0195У009592). загальносоюзна науково-технічна програма 0.Е Программа ГКНТ 0.0402 (Создать прогрессивные технологии и те: нические средства для сооружения нефтепроводов, газопроводов вь сокой надежности), проект 1/232 (шифр ” Гидроупругость”) ’’Исследс вания динамических процессов гидроупругого взаимодействия тел с средой”.

Мета і задачі дослідження полягають у:

- розробці та реалізації методу аналізу просторових хвильових пре цесів в пружних циліндричних тілах скінченних розмірів і розповекц ження хвиль в складених хвилеводних структурах;

- оцінці впливу граничних умов на закономірності формування частот ного спектра та форм коливань суцільного і порожнистого скінченни циліндрів та на дисперсійні властивості нормальних хвиль відповіднії хвилеводів;

- виявленні зв’язку між дисперсійними властивостями нормальнії хвиль в нескінченних тілах та особливостями формування частотног спектра та форм коливань скінченних пружних тіл;

- аналізі особливостей негармонійних просторових хвильових процесі в циліндрах скінченної довжини:

- встановленні закономірностей розповсюдження хвиль та обудженн.

з

хвильового поля ненаправленим джерелом в пружно-рідинних хвилеводах;

- оцінці границь застосування прикладних теорій на основі точних просторових розв’язків.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у:

1. Подальшому розвитку методу суперпозиції стосовно стаціонарної змішаної та нестаціонарної граничних задач для циліндра скінченної довжини.

2. Побудові точних просторових розв’язків -задач гармонійних та негармонійних колнвань суцільного і порожнистого циліндрів скінченної довжини та встановленні:

- нових особливостей формування частотного спектра та форм коливань. зокрема, крайової моди круглої пластини, суцільного і порожнистого циліндрів в залежності від граничних умов та дисперсійних властивостей нормальних хвиль відповідних хвилеводів;

- особливостей формування нестаціонарних просторових полів переміщень та напружень в суцільному та порожнистому скінченних циліндрах і в кількісній оцінці ефектів фокусування хвиль на осі циліндра.

3. Встановленні закономірностей розповсюдження нормальних хвиль, переносу енергії та -збудження хвильового поля точковим гармонійним джерелом в пружно-ріднннпх циліндричних хвилеводах залежно від їх структури і фізичних параметрів складових та частоти джерела при врахуванні затухання за рахунок випромінювання.

Практичне значення одержаних результатів полягає:

- в оцінці грашшь застосування прикладних теорій стрежнів, пластин та оболонок на основі точних просторових розв’язків;

- в можливості використання розроблених методик визначення спектральних характеристик та негармонійних хвильових полів пластин, суцільних і порожнистих скінченних циліндрів в інженерній практиці при проектуванні елементів коливальних систем, які працюють в умовах високочастотних коливань або швидкозмінних навантажень;

- в розробці методики визначення характеристик нормальних хвиль і хвильового поля, яке збуджується точковим гармонійним джерелом, в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах та в можливості її використання в акустоелектроніці. гео- і гідроакустиці, сейсмології та інш.

Розроблені методики, алгоритми та програми, а також результати

розв'язку конкретних задач використовувались при виконанні науко в дослідних робіт відділу динаміки поліагрегатних систем Інституту м ханіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, в розрахунковій практи ВНДІ Трансмаді (Ленінград). КНДУ Гідроприладів (Київ), КФ В] ДІБТІв (Київ).

Особистий внесок здобувана до наукових праць, опубліковані із співавторами, наступний: в працях [1, 4, б, 13, 15, 17, 18, 20, 2

25, 27, 28, ЗО, 32. 33], надрукованих разом з науковим консультанте акад. НАН України В.Т. Грінченко, автором виконано постановку розв’язок задач, розробку алгоритмів та їх реалізацію, аналіз резул татів. В.Т. Грінченко належить вибір загального напрямку досліджен постановка окремих задач та участь в обговоренні результатів р> зв’язку. В роботах [5, 16, 36] автору належить теоретична частин а розрахунки та аналіз результатів виконано разом із співавторам: Самостійно опубліковано 18 робіт [2, 3, 7—12, 14, 19. 21, 22, 26, 29, З

34, 35, 37].

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації опрі люднено більш ніж на 10 наукових конференціях, симпозіумах, семін; рах, зокрема: на Всесоюзних конференціях по статиці та динамії просторових конструкцій (Київ, 1978 p., 1985 p.); І та II Всесоюс них конференціях по теорії пружності (Єреван, 1979 p., Тбілісі, 198 p.): II Всесюзніп конференції ’’Змішані задачі механіки деформівші тіл" (Дніпропетровськ, 1981 p.): III Всесоюзному симпозіумі по фізш акустогідродинамічних явищ та оптоакустиці (Ташкент, 1982 p.); кок ференції ’’Аерогідропружність елементів машин та споруд” (С'евастс поль, 1990 p.); Міжнародній конференції’’Моделювання тадослідженн стійкості систем” (Київ, 1997 р.) та інш.

В повному обсязі дисертаційна робота обговорювалась насемінара профільних кафедр Київського національного університету, Українсь кого транспортного університету, відділу динаміки поліагрегатних си стем, семінарі по напрямку ’’Теорія коливань та стійкість руху мс ханічних систем”, на загальноінститутському семінарі ’’Механіка де формівних систем і загальна механіка” Інституту механіки ім. С.П Тимошенка НАН України, на республіканському семінарі з гідроме ханіки при Інституті гідромеханіки НАН України.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 37 науковії: прапях. Серед них:

- 27 статей в провідних фахових академічних журналах України [1-3, 5-10, 13-15. 17-20, 22-32];

- 5 статей в періодичних збірниках наукових праць [4, 11, 12. 16, 21];

- 5 публікацій в збірниках праць і матеріалах наукових конференцій [33-37].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається з вступу. восьми розділів, висновків. Повний обсяг становить 315 сторінок. Основний текст дисертації складає 228 сторінок. Окрім основного тексту дисертація містить 104 рисунки на 34 сторінках. 17 таблиць та список літературних джерел з 314 найменувань на 39 сторінках.

Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому консультанту акад. НАН України В.Т. Грінченко за постійну увагу до роботи та корисні поради.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі висвітлено проблему розробки методики аналізу та її реалізації для встановлення особливостей стаціонарного та нестаціонарного деформування пружних тіл скінченних розмірів та розповсюдження хвиль в складених циліндричних хвилеводах; обгрунтовано мету роботи; наведено характеристику' наукової новизни та практичного значення одержаних результатів.

В першому рооділі викладено стан досліджень з питань стаціонарного та нестаціонарного деформування пружних тіл скінченних розмірів та розповсюдження хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах. Проведений огляд наукових праць показує, що наявні дослідження з розглянутих в роботі проблем виконані, головним чином, в рамках прикладних теорій, які неспроможні визначити особливості гармонійних та негармонійних хвильових процесів в діапазоні високих частот. '

В області динамічного деформування пружних тіл значні результати отримано в працях 1.1. Воровпча, В.В. Головчана, О.М. Гомілка. В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, В.Г. Карнаухова. О.С. Космодаміан-ського, В.В. Мелешка, І.К. Сенченкова. В.І. Сторожева, А.Ф. Удіт-ка. М.О. Шульги та інш. На наявність таких специфічних особливостей динамічного деформування пластин і циліндрів, як крайовий, товщинний та радіальний резонанси, що спостерігаються при відносно високих частотах, вказувалось в експериментальних роботах І.П. Го-

ляміної, Олівера, Оное, Шоу, Букера і Сагара та інш. Безперечно, що аналітичне дослідження цих явііш неможливе на основі прикладних теорій. В більшості теоретичних робіт значна увага приділялась подоланню методологічних та математичних труднощів, що виникають при розв’язку просторових граничних задач, та встановленню можливостей різних підходів. Особливості частотних спектрів та форм коливань пружних тіл скінченних розмірів систематично не вивчались.

Розв’язки просторових граничних задач, шо існують в літературі, в основному є наближеними і тому дозволяють одержувати власні частоти в обмеженій області частот. Точні розв’язки просторових граничних задач для пружних тіл скінченних розмірів отримано в роботах В.Т. Грінченка і А.Ф. Улітка на основі математично обгрунтованого методу суперпозиції. Дослідження частотних спектрів та крайової і товщинної мод в прямокутній та круглій пластинах для першої основної граничної задачі теорії пружності при симетричному напруженому стані виконано в роботах В.Т. Грінченка і В.В. Мелешка.

В другому роаділі наведено огляд методів аналітичних розв’язків просторових граничних-задач теорії пружності. Широке застосування знайшли методи однорідних розв’язків та суперпозиції. Обидва методи використовують набори частинних розв’язків векторного рівняння Ламе в середині області, які володіють необхідним ступенем вільності для задоволення умов на граничних поверхнях тіла. Відміна цих методів полягає в використанні різних наборів частинних розв’язків. В методі однорідних розв’язків використовують частинні розв’язки для нескінченного хвилевода з вільною бічною поверхнею. Метод суперпозиції засновано на ідеї Ламе, згідно якої загальний розв’язок задачі для скінченного тіла будується у вигляді суперпозиції декількох розв’язків.

Огляд наукових праць, в яких розв’язок просторових граничних задач (статичних та динамічних) виконано на основі методів однорідних розв’язків та суперпозиції, наведено в монографіях В.Т. Грінченка,

В.Т. Грінченка і В.В. Мелешка та оглядових працях Б.Л. Абрамяна і

О .Я. Олександрова, І.І. Воровича, Г.Ю. Джанелідзе і В.К. Прокопова.

В роботі використовується метод суперпозиції. Математичне обгрунтування методу суперпозиції та доведення його еквівалентності методу однорідних розв’язків проведено в роботах Б.М. Кояловича, Б.Л. Абрамяна, В.Т. Грінченка, А.Ф. Улітка. О.М. Гомілка і В.В. Мелешка. Перевага методу суперпозиції полягає в тому, що він дозво-

ллє отримувати точні розв'язки просторових граничних задач для пружних тіл скінченних розмірів та проводити обчислення з будь-якою фізично оправданою точністю.

В третьому розділі викладено дослідження першої основної граничної задачі теорії пружності для циліндра скінченної довжини. Основою аналізу частотних спектрів і форм коливань слугує розв’язок задачі про вимушені осесиметричні коливання циліндра. Розглядаються наступні дві просторові граничні задачі:

~—сгг:(г, ±ЛЛ) = 0, ±/г, і) = 0,

~^ттг{І^Л) = /і(г)ехр(ги,'і). ~сгг-(1,2,1) = 0 (г = 1.2). (1)

Парній функції fl{z) = /і(—г) відповідає симетричний напружений

стан (С'НС), непарній /2(2) — -/2(-~) - актисиметричшш (АНС).

Функції /і(г) і /г(г) вважаються достатньо гладкими. Розв’язок граничної задачі (1) згідно методу суперпозиції обираємо у вигляді суми розв;язків для шару та циліндра. У випадку аятиснмстрпчного напруженого стану компоненти вектора переміщень після відокремлення часового мнолшика мають вигляд

’МУ) + £ІКі2£\

ІГ 2(1і с1к1іЛ ?2с1ісі2/г/

п-гі І РІ+ТІЬІРіг) , ІІІР-2Т)

+ Е(-і)п' хп —ГПТ + ТТ~Т 5Іп^"г>

П=1 V -Рп ^{Р0 ІііРі) }

_ СОБ 7і2 ~ .70(Л/г) ( А; + ® сЬс^ с1^2.:'\

У0 сов71 /і ' ~ґхУі ,70(АІ) \ 2Х- сЬс|х/?■ сЬч2/і]

, і\п+і_ ( РІ+р\к(ріг) Іі}(Р2г)\ соь!Зпг Т" 2-, І--1) хп\-----7Г— V \ +Р'Г

\ \ 2-рі ^(рі) ІІІР2) І рп ' ^

2 \ 2 2 2 У2 ? { ■ -і іь’й

Чі = Л; - Уі , Рі = Рп - 1і (* - 1,2), 71 = тт~■ 72 = -р-,

Уд І5

*-«£=** Ч- <*>

Тут V'o,l'5- - швидкості хвиль розширення та зсуву, /і - модуль зсуву. т - число Пуассона. R - радіус, 2Н - висота циліндра. Jq.Ji.Jq.Ii -функції Бесселя. За такого вибору розв’язку умови для дотичних напружень виконуються тотожньо. а умови для нормальних напружень призводять до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь відносно невідомих хп І t/j

CCr СС

хп &jnУj сп. уj — ^ ~г dj. (4)

j=l п=1

Нескінченна система (4) є квазірегулярною, невідомі якої мають такі асимптотичні значення

lim х„ = ~ lim Vj = а о, ао = const. (5)

j^(Xi

При переході до скінченної системи покладаємо

хп = xN (п > N), yj = yj (j > J). (6)

Досвід розв’язку ряду задач показав, що при виборі N і J доцільно виходити із співвідношення "Щх\' ~ 7г/2/3 ~ 1- Аналогічні результати

одержані для СНС. На основі співвідношення (б) проводимо коректну редукцію нескінченної системи та поліпшуємо збіжність рядів для переміщень та напружень на граничних поверхнях циліндра. Одержана скінченна система рівнянь відрізняється від системи, отриманої методом простої редукції, лише коефіцієнтами при X.Y І У]. Але ЦЯ, здавалось би незначна, різниця обумовлює принципову якісну їх відміну: ця скінченна система дозволяє визначити всі невідомі вихідної нескінченної системи; визначник цієї системи є більш точним частотним визначником.

Частотний інтервал, в якому знаходиться власна частота, визначаємо по ступеню динамічності напруженого стану і ного протпфаз-ності на. кінцях інтервала. Аналіз частотних спектрів проводимо на тлі даних про дисперсійні властивості нормальних хвиль у відповідних нескінченних тілах. Відмінність дисперсійних спектрів шару для випадків СНС і АНС полягає у тому, що від’ємну кривизну має при СНС друга дійсна вітка, при АНС - третя вітка. Вітці з від'ємною кривизною відповідає "зворотна хвиля”1, яка характеризується протилежними знаками фазової і групової швидкостей. Частоту, при якій дійсна вітка перетинає частотну вісь, називаємо частотою -запирання.

Критичною частотою 7* називаємо частоту, при якій дійсна вітка з від’ємною кривизною приймає мінімальне значення. При цій частоті комплексна вітка перероджується в дійсну, і в шарі з'являються ще дві біжучі хвилі.

На основі одержаних розв'язків визначено спектри власних частот круглої пластини у випадку планарних (СНС) та згишшх (АНС) осе-спметричних коливань. Частотний спектр планарних коливань тонких пластин (залежність частоти П = від величини відносного радіуса 1//г) характеризується наявністю частоти крайового резонансу в інтервалі частот, в якому в шарі існує одна дійсна дисперсійна крива. Проведено оцінку граніть застосування класичної теорії та уточненої теорії Релея, як для тонких (0 < 1/к < 10), так і товстих пластин (0 < /г < 1). У випадку тонких пластин граннці застосування цих теорій обмежуються частотою крайового резонансу.

При згішних коливаннях частотний спектр тонких пластин (рис. 1) характеризується порушенням регулярної залежності частоти 17 від 1/Н в околі частоти запирання другої дійсної вітки (0 = 1). На рис. 1 (г/ = 0,312) зображено значення власних частот пластини, знайдених згідно точному просторовому розв’язку' (штрихові криві), зсувної теорії Тпмошенка прп ксд = 5/6 (суцільні криві) та методу :тепеневнх рядів прп збереженні членів порядку /і3 (пунктирні криві). Цифрами позначено номер власної частоти. В розглянутому інтервалі частот (0,8 < П < 1,2) похибка теорії Тпмошенка не перевищує -3%, методу степеневих рядів - 5%. Метод степеневих рядів дозволяє визначати власні частоти в інтервалі П < 0,86. В розглянутому інтервалі частот Г> < 1,2 не виявлено частоту крайового резонансу. Аналіз досліджень, проведених в дисертації та в роботах О.М. Гомілка. Н.С. Городецької,

В.Т. Грінчеяка, В.В. Мелешка, стосовно згинних коливань напівполоси. дозволяє допустити існування частоти крайового резонансу в області частот, що заходиться дещо нижче критичної частоті; третьої дійсної вітки. Частота запирання цієї вітки П = 3.

У випадку згинних коливань товстих круглих пластин проведено оцінку класичної теорії Кірхгоффа та зсувної теорії Тпмошенка. Як для згинних. так і планарних коливань розбіжність даних по формам коливань має місце для тих значень частот, в околі яких власні частоти відрізняються між собою..

Частотний спектр циліндра на відміну від круглої пластини має од-

накову структуру для обох типів напружених станів. Це пояснюється тим, що СНС і АНС пов’язані з хвильовими рухами, які описуються одним і тим же дисперсійним рівнянням. В дисперсійному спектрі нескінченного циліндра з вільною бічною поверхнею від’ємну кривизну має друга дійсна вітка. Частотний спектр циліндра (залежність 71 від к) зображено на рис. 2 для АНС і коефіцієнта Пуассона и — 0. Частота запирання другої дійсної вітки 7,-1 = 1,841, її критична частота 7* = 1,794.

При у = 0 частотні криві утворюють два незалежних сімейства: одне з них пов’язане з осьовими переміщеннями точок циліндра (Ь—моди), друге - з типами рухів, які характеризуються зв’язаністю радіальних і осьових переміщень (криві 1,2,3.... на рис. 2). Перша крива другого сімейства визначає частоту крайового резонансу (7е =1,67, Е—мода) і розміщена в області 71 < 7*. Наступні криві, що розміщені в області > 7*, утворюють ’’терасоподібну” структуру. На одних відрізках цих кривих частота зменшується (.4—моди), на інших дещо збільшується (В—моди) при зростанні к. Наявність останніх із них може бути виявлена тільки при розв’язку задачі в просторовій постановці.

Для V ф 0 поява зв’язаності рухів призводить до зникнення кратних частот. Спектральні криві різних сімейств в окоді кратних частот "розштовхуються” між собою і частотний спектр суттєво видозмінюється (рис. З, V — 0,2). В цьому випадку 7,.і = 2,017, 7* — 1,92, 7£ = 1,68. Порівняння форм коливань для випадків V — 0 і V = 0,2 дозволило виділити відрізки спектральних крндих. яким відповідають Ь-,Е-,А— і і?—моди різних порядків.

Той факт, що частотний спектр циліндра має однакову структуру для випадків СНС' і АНС, дозволяє пояснити появу дублетів та триплетів в околі частоти крайового резонансу циліндра, які виявлено в експериментах Букера і Сагара.

В четвертому розділі розглянуто змішані граничні задачі теорії пружності для циліндра скінченної довжини, які характеризуються наявністю локальних особливостей напружень на кутовому колі. Апріорне значення характеру цих особливостей дає можливість визначати асимптотичні значення невідомих нескінченних систем.

Проведено дослідження вимушених осесиметрнчннх коливань циліндра з жорстко закріпленою бічною поверхнею та .заданими напружен-

ня.мл на торлях при АНС. Граничну -задачу зведено до нескінченної системи

Р і

кІРі) _ Р\Р2І0ІР2) ЬІРі) /3,1 ІіІРг)

іїісіЬцііі

= '?Еті

Уі

; = 1 А] ТРЇ

1 -ь

- ЇЇ)

(А? + РІ)

(А| ч- д§)2

4А|ч2

СІІЩоЬ

+ /п*

(Т)

ХпРІ

п=1 + Єї)

її)

то - ‘2

(ЯІ+9г

+ <Рі-

Тут вп = П7Г/Н: - корені рівняння ./і(А) = 0, вільні члени /„ і ©,• є

коефіцієнти рядів Фур'є-Діні та Фур’є розкладу функцій, які -задають напруження на торці. Асимптотичні властивості невідомих в системі (7) гг&ють вигляд

= У і = ЬоА;-° (0 < а < 1). п,; -► со.

(8)

Тут ао,Ьо- сталі, а - найменший додатній корінь рівняння для змішаної статичної задачі для чверті площини. Співвідношення (8) дозволяють -замінити всі невідомі -з високими номерами в системі (7) їх асимптотичними значеннями

Уз

2/-/А/ - т,

- , а і •>)

'к3

(9)

і провести коректну редукцію нескінченної системи.

На основі отриманого розв'язку побудовано частотний спектр (залежність 7і від /і) згииних осесиметричних колизань круглої пластини в діапазоні 0 < Ь < 1. Проведено оцінку класичної теорії Кірхгоффа та зсувної моделі Тнмошенка. Границі застосування цих теорій трохи вужчі ніж у випадку пластини -з вільним краєм. Вибором коефіцієнта зсуву можна значно розширити застосування теорії Тнмошенка.

Для систематизації частотних даних циліндра вивчено дисперсійні властивості нормальних осесиметричних хвиль в нескінченому циліндрі із закріпленою поверхнею. На рис. 4 зображено дисперсійні криві для випадку и = 0.3. Дійсні і уявні віткн зображено суцільними жирними кривими, проекція комплексних вічок на дійсну і уявну площину

- штриховими жирними кривими. Такий хвилевод характеризується:

наявністю діапа-зона частот 71 < 1.285. в якому відсутні дійсні корені: відсутністю дисперсійних кривих о від'ємною кривизною: жодна комплексна вітка не перетинає дійсну площину.

Особливістю частотного спектра скінченного циліндра (рис. 5, V —

0, 3) є наявність в області частот 71 < 1, 285 спектральної кривої, якій відповідає крайова мода. Тут крайова мода формується тільки за рахунок неоднорідних хвиль. Встановлено відмінності в прояві крайового резонансу в циліндрах із закріпленою та вільною бічними поверхнями. В циліндрі із закріпленою бічною поверхнею переважають форми, які відповідають першій уявній дисперсійній вітці, в циліндрі з вільною поверхнею - першій комплексній вітці. Діапазон сильного -збудження неоднорідних хвиль в -закріпленому циліндрі є набагато ширшим ніж у вільному циліндрі.

Досліджено вимушені осесиметричні коливання циліндра з вільною бічною поверхнею, торці якого кінематично збуджуються в осьовому напрямку. Розглянуто обидва випадки симетрії деформованих станів. Обчислено власні частоти скінченного циліндра для симетричного та антисиметричного напружених станів. Частотні спектри циліндра характеризуються порушенням регулярної залежності частоти від Н в діапазоні частот 7^ < 71 < 7гі. 7* = 1,904, уг\ = 2,048 (рис. 6, и = 0,3: СНС). В цьому діапазоні достовірні -значення частот та форм коливань можна одержати при використанні розробленої методики. Оцінено можливості одномірної теорії стержнів та теорії, заснованої на використанні розв’язку Похгаммера-Крі. Проведено аналіз форм коливань та розподілу напружень в околі кутового кола.

Проведені дослідження дозволили виявити вплив конкретних граничних умов на формування частотного спектра круглої пластини та циліндра скінченної довжини.

В п’ятому рооділі розглянуто розповсюдження осеснметричних хвиль та стаціонарні коливання порожнистого циліндра з вільними бічними поверхнями. Аналіз результатів дослідження дисперсійних властивостей показав, що із збільшенням відносного внутрішнього радіуса гі = і?і/й (зменшенням товщини порожнистого циліндра) частота запирання і глибина завалу другої дійсної віткп (при гх > 0,125) зменшується і при гі > 0,5 (і/ = 0,333) ця вітка має додатню кривизну; частота запирання третьої дійсної віткіг зростає. Це підтверджується даними рис. 7. на якому показано другі дійсні вітки порожнистого шілін-

дра для значень ті, які змінюються від ОД до 0,8 (суцільні криві). Для випадку -г\ = 0,1 -зображена також третя дисперсійна крива. Штрихові криві відповідають суцільному циліндрові. Побудовано дійсні, уявні та комплексні віткп циліндрів із г\ =0.3 та 0.8. Аналітично встановлено асимптотичне значення комплексних коренів на статичній площині (-у! = 0). яке явно залежить від ті. Одержані результати показують, що для тонкостінних циліндрів частотний діапазон застосування дво-модовпх теорій оболонок розширюється із збільшенням п.

Розглянуто першу основну граничну задачу для порожнистого циліндра скінченної довжини при СНС. Загальний розв'язок одержано із розв’язку для суцільного циліндра при заміні функцій </0(-V-) та -7і(Л;г) відповідно на Л":(-\г) - ^(\^У0(Х^г) - УІ(А_,-) .^(А^г) та і\:і(\]г) = /і(Лу)}'і(Д;г) - Тут Л;- - корені рівняння

Л'ДАугі) = 0. Виконання граничних умов зводить задачу до нескінченної системи відносно невідомих А"„, Уп,

ОО

%3С] ~ + УпЬтг]) + /;?

п=1

ос ...

+ Упе® = Е ^-Цп + ®п!) (і = 1,2): (10)

3~1

які мають такі асимптотичні значення

Л„ = ла, і„ = 10. 2, = {п’І °°)- (п)

На основі отриманого розв’язку визначено частотні спекттш порожнистого циліндра скінченної довжини для таких характерних значень 7д: 0.2: 0,5; 0,9. Особливість, частотних спектрів для г1 = 0,2 та

0,5 (рис. 8. 9) полягає в наявності відрізків спектральних кривих, які характеризуються слабкою залежністю частоти від висоти циліндра, як в о колі частоти запирання другої дисперсійної вітки, так і значно нижче. Форми коливань на цих останніх відрізках відповідають крайовому резонансу. Порівняння частотних спектрів та форм коливань суцільного та порожнистого'циліндрів виявило ряд розбіжностей в прояві крайового резонансу. Порівняння рис. 3. 8 і 9 показує, що у випадку порожнистого циліндра пологі відрізки спеі<трздьних кривих, яким відповідає частота у£, із збільшенням ті помітно вкорочуються і стають більш похилими. Відповідно збільшується довжина перехідних відрізків. Ці пологі відрізки з’являються при більших значеннях

h. Локалізація переміщень біля торця циліндра зменшується не тільки для точок, розміщених на краю цих пологих відрізків, але і в їх центрі. Помітно збільшується амплітуда переміщень в центральній частині циліндра (г — 0). Частота крапового резонансу зменшується із збільшенням /'і і при цьом}: наближається до частоти запирання другої вітіш. Ці зміни особливо помітні для порожнистого циліндра з — 0,5. Тут скоріше маємо перехідну форму коливань між крайовою модою і модами, які відповідають спадаючим відрізкам частотних кривих.

Спектральні криві тонкостінного цилінда (гі = 0, 9) мають горизонтальні відрізки тільки в околі частоти запирання другої вітки. Форми коливань на цих відрізках не відповідають крайовій моді.

Проведена оцінка ряду прикладних теорій при визначенні частотних характеристик порожнистих циліндрів. Зокрема оцінено можливості теорій одномірних стержнів, розповсюдження хвиль та теорії Кірхгоффа-Лява для тонкостінних циліндрів. Границі застосування прикладних теорій у випадку товстостінних циліндрів обмежуються частотою крайового резонансу. Із прикладних теорій частоту визначає теорія’’другого порядку-” (McNiven, Shah 1966, 1967).

В шостому розділі розглянуто задачі нестаціонарного деформування суцільного і порожнистого циліндрів скінченної довжин її. Методика аналізу нестаціонарного деформування циліндра скінченної довжини заснована на використанні розроблених підходів до розв’язку стаціонарної задачі і побудові ефективних алгоритмів обчислення лишків.

Можливості запропонованої методики показано на задачі про нестаціонарне осєсиметричне деформування циліндра під дією осьового навантаження виду }(r)F{t), прикладеного на торцях і симетричного відносно площини z = 0. Початкові умови нульові. Використання перетворення Лапласа зводить нестаціонарну задачу до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь (НСАР), яка співпадає із системою для стаціонарного випадку, якщо параметр перетворення s = ±iw. Методика розв’язку нескінченних систем відпрацьована в третьому розділі. Характер -залежності коефіцієнтів рядів для иг і й. від параметра перетворення s вказує на можливість використання теорії лишків ирі: обчисленні інтеграла Фур'є-Мелліна. Полюсами коефіцієнтів рядів < корені визначника НСАР. тобто власні частоти циліндра. Методи

Рис. g

Рнс. G

Рис. 9

Рнс. 7

Рис. J0

Рис. 11

Рис. 13

Рис. 15

Рис. 17

Рис. 1S

ка визначення власних частот та форм коливань скінченного циліндра також відпрацьована раніше (розділ 3).

Нове питання, яке потребує розв’язку, полягає в знаходженні лишків віл невідомих НСАР. Труднощі пов'язані з тим. що розв'язок стаціонарної задачі в явному вигляді відсутній. Лишки для невідомих Q цих систем визначаються із співвідношення

ResCj|i=±i-t = 1 jj- (j = 1.2,3....).

\?J / S=XHJl;

яке вказує на спосіб їх обчислення. Використовуючи теорію лишків та теорему про згортку, компоненти вектора переміщень записуємо у вигляді ■

«г(.-)(г, -',т)=А£ ur{:)k{r, z).fl=.mQk(T), т =

к-1 Л

Qk(T) — 2 / F(r~)cosyk(r - т*)с1т\ (12)

і, VD

Практичну збіжність рядів в (12) досліджено на задачі про нестаціонарне деформування стержня під дією раптово прикладеного на кінці навантаження. Порівняння розв’язків задачі по методу Даламбера (точний розв’язок) і Фур’с (розкладання по власним формам) показало, що врахування 20 власних частот, обчислених з точністю до 0.01 забезпечує досить задовільну точність скрізь, за виключенням околиці фронта хвилі. В циліндрі наявність дисперсії призводить до розмивання фронту збурень і тому функції, які його описують, будуть більш гладкими ніж у випадку стержня.

Конкретні обчислення проведено для випадку циліндра з h = 3,z/ =

0. -З та навантаження

/(г) = 1, F{t) ~ Айе~'?т сов'фт. (13)

Під дією навантаження (13) в циліндрі генеруються коливання з частотою вимушеної сили та набір власних коливань. їх амплітудні характеристики визначаються ступенем близькості 70 з однією із власних частот 7it). Гострота резонансних явищ суттєво залежить від величини

3. Дослідження показали, що використання 15 власних частот забезпечує достовірні дані про формування нестаціонарного стану циліндра. У випадку рівномірно навантаженого торця поля переміщень та

напружень формуються за рахунок декількох нижчих власних форм. Із даних рис. 10, на якому зображено нормоване осьове переміщення u’(r) в точці г = 0. 4. z = 0.8k для радіусів навантаження г2 = 0,5 (штрихова крива) та г% — 0,1 (суцільна крива) при ,3 = 1, yak ~ ті, бачимо, що при г-2 = 0,1 досить чітко проявляється вклад високочастотних складових.

На рис. 11 -зображена зміна осьового напруження на осі циліндра для випадку імпульсного навантаження на торці, шо описується функціями

Крива 1 відповідає перерізу с = 0,8Л, крива 2 - г ~ 0.65/г для г2 = 0,1

і ті = 0,2. Перший пік напружень кривої 1 (т = 0,3) обумовлений приходом прямої зсувної хвилі, наступні - ефектами відбиття та фокусування хвиль. Другий пік напругкень (т — 0,65) можна пов’язати з приходом хвилі розширення РР, третій (г = 0,9{ -з приходом трансформованих хвиль Рв,8Р і КР, четвертий (г = 1.2) - г приходом хвилі зсуву 55, п’ятий (т = 1,64) - о приходом хвиль ЗРР, РР5, ІіРР. Тут Р - хвиля розширення, 5 - зсуву, і? - Релея. ГІри віддаленні точки спостереження від торця циліндра піки напрз'жень -змішуються вправо

і зменшуються. Мабуть цим можна пояснити руйнування циліндра на скінченному відрізку осі поблизу торця, яке спостерігалось в експериментах Кольського.

Розроблена методика до-зволііда дослідити нестаціонарне деформування порожнистого циліндра. Проведені обчислення для випадку Л = 3; і"і = 0, 5; т = 3 і навантаження (13) на торці показали, що поле переміщень формується -за рахунок накладання декількох нижчих власних форм. На рис. 12 зображено зміну в часі осьового напруження в циліндрі в точці г = 0,9;; = 0,8/і (суцільна крива) та в одномірному стержні (штрихова крива), функцію Р(т) - штрихпунк-тирною кривою (Ло = 1;в = І'.уцН = тг). У випадку стержня покладено До = ОД. Помітна якісна відповідність характеру зміни напружень у циліндрі, особливо в стержні, закону зміни Р(т). Дані рис. 12 показують, шо ступінь динамічності стержня -значно більша. Пояснюється

0 > г > Г-2 при - ~

0 > т > ті

ПРП 7-^7

(14)

це як сильною зміною по радіусу власних форм, які вносять основний внесок у формування поля напружень циліндра, так і різним ступенем узгодження спектрів власних частот циліндра і стержня зі спектром зовнішнього навантаження.

В сьомому розділі досліджено закономірності розповсюдження хвиль у пружно-рідинних циліндричних хвилеводах. Рідина вважається ідеально стисливою, циліндр - ідеальним пружним тілом. Досліджено дисперсійні властивості осесиметрпчних та неосесиметрич-них хвиль в циліндрі, заповненому рідиною. На основі трьохвішірннх розв'язків побудовано дійсні, уявні та комплексні вітки (-залежність постійної розповсюдження £ від частоти 72) порожнистих циліндрів зп = 0,3 та 0,8, -заповнених рідиною, для п = 0.1 і 2. Взаємодія хвильових процесів в рідині і циліндрі при формуванні нормальних хвиль проявляється у вузьких діапазонах частот, для яких співпадають фазові швидкості парціальних систем. При віддаленні від цих точок хвилі е чисто пружними або рідинними. Парціальними є порожнистий циліндр та рідинний хвидепод із жорсткими стінками. Цей висновок підтверджуєтья даними табл. 1, в якій приведено розподілення середнього за період потоку потужності по поперечному перетину рідинного ядра И о і пружного циліндра Ц'\ для точок, помічених хрестиками на рис. 13. Дослідження показали, шо в широкому діапазоні частот і постійних розповсюдження енергія, яка переноситься хвилею, зосереджена в пружному циліндрі або рідині.

Таблиця 1. Розподіл енергії по поперечному перетину хвклевода

Номер точки Ио \\\ Номер точки И-о

1 0.35 • 1<Г* 0,125 ■ 10'1 4 0.248 • 10-3 0.364 - 10~*

2 0. '255 - 10-3 0,56 -10~2 5 0,369 ■ 10-3 0,181 - 10"3

3 0,154 • 10-2 0.75 -10'5 6 <п 1 О О сч о 0.324- 10~3

На рис. 13, 14 показано дисперсійні криві для стального циліндра, заповненого гасом, при г\ - 0,3 та 0,8 і п = 0. Дійсні та уявні

вітки зображено штриховими кривими, проекції комплексних віток -штрихпунктирнимн. Тонкі суцільні криві відповідають парціальним системам. Частоти запирання рідинних нормальних хвиль позначено кружечками, пружннх хвиль - трикутниками. Комплексні дисперсійні криві починаються на статичній площині і закінчуються для п = 0. З (рис. 13) на дійсній площині в точках відносного мінімуму дисперсійних

кривих. У випадку п = 0,8 (рис. 14) комплексні криві закінчуються на уявній площині. Окрім цього появляється ряд комплексних кривих, які починаються і закінчуються в екстремальних точках уявних дисперсійних кривих.

У випадку хвилевода, оточеного пружним або рідинним середо-вшдем, характер розповсюдження хвиль суттєво -змінюється. Випромінювання енергії в оточуюче середовище еквівалентне наявності деякого механізму затухання. Вплив оточуючої рідини на властивості нормальних осесиметричних хвиль досліджено для двох вішалка: суцільного циліндра, оточеного рідиною, та порожнистого ціщ'ндРЛ заповненого та оточеного рідиною. Потенціал швидкосте ото'іуюмп'і рідини при врахуванні випромінювання на нескінченність має вигляд

Ф-2= £)2Я^)(аг2г)ехр[г(Сг- ^)], ге| = 7І - (2- (15)

Тут Яо^(г) - функція Ханхедя, Со - швидкість звуку рідини. Співвідношення (15) породжує комплексне дисперсійне рівняння. В дозвуковій області, де 352 є уявне, дисперсійне рівняння стає дійсним і може мати дійсні корені. Наявність таких коренів означає існування неви-промішоючих в оточуюче середовище хвиль. Врахування просторового характеру рухів дозволило виявити у випадку циліндра, заповненого та оточеного рідиною, наявність двох таких хвиль при С'2 > Со-Аналіз кінематичних та енергетичних характеристик цих хвиль показав, шо вони еквівалентні поверхневим хвилям Стоунлі. Розподіл нормованих радіальних переміщень и*(г) = иг/|гг,.тах| для стального циліндра з гі = 0,3, заповненого гасом та оточеного водою, на частотах 72 = 3 (суцільні криві) та у2 = 6 (штрихові криві) зображено на рис. 15. Криві 1 відповідають поверхневим хвилям, пов’язаним з внутрішньою поверхнею, криві 2 - із зовнішньою поверхнею порожнистого циліндра. .

Вивчено вплив фізичних та геометричних параметрів хвилевода на кінематичні та енергетичні характеристики поверхневих хвиль. Енергетичні характеристики поверхневих хвиль наведено в табл. 1, які відповідають ДІЙСНИМ кореням дисперсійного рівняння Сі і С-2- для даних рис. 15 при Г| =0,3 та 0,8. Тут И'- є сумарний за період потік потужності через поперечний претпн хвилевода. И-’-о - потік потужності. ШО переноситься внутрішньою рідиною. Т'Г-1 - циліндром. ІГ-2 - зовнішньою рідиною. Значення потужності нормовані відносно величини

й-і- Видно, шо ирк розповсюдженні поверхневої хвилі, яка відповідає кореню Сі, енергія переносится в основному внутрішньою рідиною, кореню С'2 ~ зовнішньою рідиною. Цей ефект стає більш помітним при збільшенні частоти.

Таблиця 2. Енергетичні характеристики поверхневих хвиль

г 1 12 і О XV, И-'.-о И’г1

0.3 3.0 2 6,43200 0.174- Ю3 0,206 -10"1 0,123-Ю-1 0.174-103

1 7,46998 7.643 7,641 0,253 • 10*2 0.102 • 10-<

0.8 3,0 2 6,43200 0,174-Ю3 0,122 -10-2 0,464 - 10-- 0,174 • 103

1 7,46007 0,287 ■ Ш~‘ 0,287 ■ 10-г 0,152 - 10—1 0,107 • 10->

0,3 6,0 2 12,86400 0,223- 10 і 0,5-34 -10-* 0,502 -10-4 0,223 -103

1 14,91387 0,288 -10і 0,288 -102 0,375 -10~2 0,589 -10-8

0,8 6,0 2 12,86401 0,162 -103 0,655 -ІО'3 0,268 -10"3 0,162 -103

1 14,89166 0,331 -10'л 0,331 -10-* 0,330 -10-7 0,650 -ІО"8

За виключенням поверхневих хвиль всі інші нормальні хвилі є демпфіруючими. Дисперсійний спектр (залежність £ від 72) стального циліндра з гі = О.З., -заповненого гасом і оточеного водою, зображено на рис. 16. Відрізняють три групи комплексних коренів: з малою уявною, малою дійсною та рівновеликими дійсною та уявною складовими, їм відповідають дійсні, уявні та комплексні корені скінченної в поперечному перетині системи (циліндр з рідиною). На відміну від скінченної системи комплексні корені третьої групи розпадаються на дві криві з різними знаками дійсної частішії. Ця відмінність особливо помітна в околі тих значень частот та С, де в скінченній системі комплексні віт-ки переходять у дійсні або уявні. Із зменшенням густини оточуючої рідини ці дисперсійні криві зближуються між собою.

Корені першої групи визначають кількісно демпфірування за рахунок випромінювання. Встановлено нерегулярний характер залежності величини радіаційного демпфірування від частоти, що обумовлений зміною співвідношень амплітуд радіальних і осьових переміщень в нормальній хвилі. Хвилі з превалюючим осьовим переміщенням на зовнішній поверхні циліндра (г = 1) практично не випромінюють в оточуюче середовище. Як і у випадку циліндра з рідиною в діапазоні частот, де дисперсійні криві близькі до парціальних рідинних кривих, майже вся енергія переноситься внутрішньою рідиною. На рис. 17 показана залежність величини Е/ від частоти для перших трьох нормальних хвиль 1+.2'г.3+ в діапазоні частот 4,5 < 72 < 6,5. Тут Е/ е відношення середніх за період потоків потужності через поперечний

перетин внутрішньої рідини до сумарної потужності, шо переноситься внутрішньою рідиною і порожнистим циліндром. Перша нормальна хвиля (крива 1+) при частоті 72 = 5,8 стає практично рідинною і при подальшому зростанні частоти величина Е/ наближається до одиниці (при 72 = 6 — Е/ = 0,958). Друга і третя нормальні хвилі є рідинними на обмеженому відрізку частот. Максимальні значення Е/ та ширина частотного діапазону для кривої 2+ більші ніж для кривої 3+.

В восьмому розділі ро-зглянуто питання збудження хвильового поля точковим гармонійним джерелом на осі циліндра, заповненого і оточеного рідиною. Розв’язок задачі одержано за допомогою перетворення Фур’є. В області відносно малих частот значення шуканих величин можуть бути отримані прямим чисельним інтегруванням. У високочастотній області та дальньому полі доцільний перехід до контурних інтегралів в комплексній площині.

На комплексній площині С = £ +- іт\ лідінтегральні вирази шуканих величин мають полюси в точках ( = Су? Дс Су ~ корені дисперсійного рівняння, та чотири точки розгалуження = ±к0, — ±к^. Тоді

інтеграл Фур’є по дійсній осі виражається через суму двох доданків: суму лишків та інтегралів по берегам розрізів. Перехід до контурного інтегрування дозволяє визначити потенціал швидкості -зовнішньої рідини в дальньому полі (г 1) і на границі контакту рідини і циліндра (г = 1)

= —■С2(к^ біті в) ехр{ірк2) (р»1), (16)

тг р

Ф-г{1, ~) = і Е ехр(г'^г) (г = 1). (17)

і=і

Відповідно до (16) напрямленність випромінювання визначається комплексною функцією

ф°2(в) — О^к^втв). (18)

Кутові -залежності потенціала швидкості зовнішньої рідини визначено для стального циліндра о 77 = 0,3 і 0,8 та випадків рідин: гас-вода, вода-гас і вода-вода для декількох значень частот. На рис. 18 показано кутові залежності <${0} для випадку гас-вода. Суцільні криві відповідають частоті 72 = 2, штрихові - 72 = 8. Діаграми напрямленності

характеризуються "порізанністю". Наявність вузьких областей прозорості циліндра визначається перш за все нерегулярною залежністю радіаційного демпфірування від частоти. Тільки для тонкостінного циліндра (гі = 0.8) і * 2 — - спостерігається високий рівень випромінювання в широкому діапазоні частот. Із збільшенням густини внутрішньої рідини зростає загальна прозорість циліндра. Характер кутового розподілення величин суттєво -залежить від геометричних та фізичних параметрів хвплевода і частоти джерела.

Дослідження енергетичних характеристик хвплевода показало, що залежність величини потужності випромінюваної джерелом енергії від частоти с нерегулярною. Визначено енергетичну вагомість поверхневих хвиль Стоуняі в загальному енергетичному полі хвилевода. Обчислення проведено для даних рис. 18 при п = 0,3. Середній за період потік потужності в осьовому напрямку біжучих (поверхневих) хвиль И7.б і відношення IV* = їГ;б/И'дЖ (її”дж - потужність джерела) мають такі значення: при ~)% — 2 - И7гб = 0,191, И7* = 0,834; при 72 = 4 ~ \¥.6 = 0,189, IVі = 0,165; при 72 = 6 - И7гб = 0,187, \У* = 0,077. Отже, із -збільшенням частоти величина енергії, яка переноситься біжучими хвилями, зменшуєтья. Цей ефект більш чітко виявляється по відношенню до внутрішньої поверхневої хвилі. Енергетична вагомість поверхневих хвиль у випадку 72 = 2 відображена також суцільною кривою на рис. 18.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано наступні основні наукові та практичні результати:

1. Подальший розвиток одержав метод суперпозиції стосовно стаціонарної змішаної та нестаціонарної граничних -задач для циліндра скінченної довжини.

2. Одержано точні розв’язки ряду просторових граничних задач гармонійних коливань суцільного та порожнистого скінченних циліндрів і на основі аналізу цих розв’язків встановлено нові особливості хвильових процесів в області високих частот, зокрема:

- частотний спектр згинних коливань круглої пластини із вільним краєм характеризується порушенням регулярної залежності частоти від радіуса в околі частоти запирання другої дійсної дисперсійної кривої, яка має додатню кривизну;

- для першої основної граничної задачі частотний спектр циліндра характеризується наявністю частоти крайового резрнансу в області частот, де існує одна біжуча хвиля, а також існуванням частот, значення яких зростає із збільшенням довжини циліндра, в області між критичною частотою ’’зворотньої хвилі” та частотою запирання цієї хвилі;

- перша спектральна крива закріпленого по бічній поверхні циліндра, якій відповідає частота крайового резонанса. розміщена в області частот, в якій відсутні біжучі хвилі. Виявлено відмінності в прояві крайового резонансу в циліндрах із закріпленою і вільною бічними поверхнями. Крайова мода закріпленого циліндра формується на основі тільки неоднорідній хвиль. При цьому суттєвий вклад вносять форми, які відповідають першій уявній дисперсійній вітці, для вільного циліндра

- форми першої комплексної вітки. Вплив неоднорідних хвиль в закріпленому циліндрі проявляється в широкому діапазоні частот, які включають другу і третю власні частоти. В циліндрі із вільною бічною поверхнею їх вплив проявляється тільки у вузькому околі частоти крайового резонансу;

- частотний спектр циліндра з кінематично збудженими торцями характеризується нерегулярною залежністю частоти від довжина циліндра в області частот запирання другої та третьої біжучих хвиль;

- для першої основної граничної задачі проведено кількісну оцінку впливу величини відносного внутрішнього радіуса порожнистого циліндра т-! на дисперсійні властивості нормальних хвиль та на особливості формування частотного спектра, які проявляються в тому, що збільшення викликає: пониження частоти запирання другої біжучої хвилі, якій відповідає ’’зворотна хвиля”, і її зникнення при гі > 0,5 (и = 0,3); пониження частоти крайового резонансу скінченного циліндра і її наближення до частоти запирання другої дисперсійної вітки; зменшення локалізації інтенсивних переміщень біля торця циліндра, що обумовлює зникнення крайового резонансу в частотному спектрі тонкостінного циліндра;

- для першої основної граничної задачі на основі аналізу частотних спектрів круглої пластини, суцільного та порожнистого циліндрів можна допустити існування зв'язку між наявністю нормальної хвилі із протилежними знаками фазової і групової швидкостей ("’зворотної хвилі”) в дисперсійному спектрі відповідного хвилевода і частотою крайового резонансу в частотному спектрі скінченного тіла в області частот, в

якій існує одна біжуча хвиля.

3. Розроблено методику аналізу нестаціонарного просторового хвильового поля в циліндрах скінченної довжини та на її основі проведено кількісну оцінку ефектів фокусування хвиль на осі скінченного циліндра: встановлено кількісні -зв’язки між характеристиками негармонійних хвильових полів переміщень і напружень в суцільному і порожнистому циліндрах в залежності від зовнішнього навантаження та величини площадки навантаження. Зменшення площадки навантаження і часу його дії викликає появу високочастотних складових в хвильових негармонійних полях скінченних циліндрів.

4. Встановлено закономірності розповсюдження нормальних хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах, які проявляються в наступному:

- для циліндра, -заповненого рідиною, типовим є зосередження енергії, що переноситься нормальною хвилею, в пружньому циліндрі або рідині; хвилі із сильніш зв’язком рухів існують у вузьких діапазонах частот, в околі яких співпадають фазові швидкості парціальних систем;

- в хвилеводах, оточених акустичним середовищем, хвильові рухи є затухаючими; встановлено нерегулярний характер залежності величини демпфірування за рахунок випромінювання від частоти, який обумовлений зміною співвідношення амплітуд радіальних та осьових компонент переміщень в нормальній хвилі; хвилі з переважно осьовим рухом на граніті контакту слабо випромінюють в оточуюче середовище; виявлено існування частот, при якіїх оточуюча рідина не чинить суттєвого впливу на розповсюдження хвиль;

- виявлено існування та визначено кінематичні і енергетичні характеристики поверхневих хвиль, які розповсюджуються без випромінювання в хвилеводах, оточених акустичним середовищем; врахування просторового характеру хвильових рухів дозволило виявити існування двох поверхневих хвиль в циліндрі, заповненому і оточеному рідиною.

5. На основі кількісного аналізу хвильових полів, які збуджуються точковим гармонійним джерелом в циліндрі, заповненому і оточеному рідиною, встановлено:

- наявність вузьких областей прозорості циліндра, ширина і розташування яких залежить від частоти джерела, геометричних та фізичних параметрів хвилевода; розширення областей прозорості циліндра із збільшенням густили рідішн, яка заповнює циліндр, і зменшенням

товщини стінки циліндра;

- нерегулярну залежність величини випромінюваної джерелом енергії від частоти; пониження -зі -збільшенням частоти енергетичної вагомості поверхневих хвиль в -загальному енергетичному полі джерела.

6. Проведена оцінка границь застосування ряду прикладних теорій стержнів, пластин та оболонок на основі точних просторових розв’язків.

Достовірність наукових результатів забезпечується використанням повної системи трьохвнмірнпх рівнянь теорії пружності, математичним обгрунтуванням методу суперпозиції, яке включає доведення квазірегулярності нескінченних систем, визначення асимптотичних значень невідомих цих систем і коректну редукцію нескінченних систем, та підтверджується збігом окремих результатів з даними, які наведено в літературі.

Наукові результати, одержані в дисертації, в цілому можна кваліфікувати як теоретичне узагальнення і розв’язання важливої наукової проблеми акустики, яка має важливе теоретичне і практичне значення. Вони пов’язані з виявленням і дослідженням на основі точних просторових розв’язків особливостей хвильових процесів в скінченних пружних тілах та розповсюдженням хвиль в пружно-рідинних циліндричних хвилеводах при врахуванні різного типу граничних умов, нестаціонарного деформування та випомінювання енергії в оточуюче середовище. Результати дисертаційної роботи доцільно використовувати в науковій та інженерній практиці при розробці методів та алгоритмів обчислення спектральних характеристик та параметрів нестаціонарного деформування пружних скінченних тіл циліндричної форми, характеристик нормальних хвиль і хвильового поля, яке збуджується ненаправленим джерелом, в пружно-рідинних хвилеводах. Матеріали дисертації можуть бути використані при читанці спецкурсів з питань розповсюдження хвиль в складених хвилеводах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гринченко В. Т.. Комиссарова Г.Л. О собственных частотах осесимметрично колеблющейся круглой толстой плиты // Прнкл. механика. - 1974. - 10, N II. - С. 81-86.

2. Комиссарова Г.Л. О собственных частотах симметричных по толщине колебаний круглой толстой плиты // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1977. - N 6. - С. 514-517.

3. Комиссарова Г. Л. Анализ колебаний круглой жестко защемленной плиты // Прикл. механика. - 1978. - 14, N 7. - С. 82-87.

4. Гринченко В. Т.. Комиссарова Г.Л. Оценка пределов применимости приближенных теорий колебаний пластин на основе анализа точных решений // Динамика и прочность машин. - 1978. -Вып. 28. - С. 81-89.

5. Комиссарова Г.Л., Процєнко О.П., Ткаченко Н. Е. Построение канонической модели динамических процессов в упругой изотропной среде // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1978. - N 9. - С. 809-811.

6. Гринченко В.Т.. Комиссарова Г.Л. Анализ частотного спектра и форм колебании длинных цилиндров // Прикл. механика. - 1980.

- 16, N 1. - С. 3-7.

7. Комиссарова Г. Л. Динамическое поведение цилиндра в окрестности частоты основной радиально-сдвиговой моды // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1980. - N 4. - С. 40-43.

8. Комиссарова Г.Л. Моды колебаний длинного цилиндра в области высоких частот // Прнкл. механика. - 1981. - 17, N 2. - С. 127129.

9. Комиссарова Г.Л. Высокочастотные изгибные колебания круглой пластины // Там же. - 1981. - 17, N 8. - С. 62-68.

10. Комиссарова Г. Л. Дисперсия осесимметричных нормальных волн в упругом жестко защемленном цилиндре // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1981. - N 9. - С. 39-43.

11. Комиссарова Г.Л. Влияние граничных условий на собственные частоты и-згпбных осесимметричных колебаний круговой пластины // Динамика и прочность машин. - 1981. - Вып. 34. - С. 57-61.

12. Комиссарова Г.Л. Структура волнового поля для уравнений Ламе в упругом жестко оащемленном цилиндре // Математическая физика. - 1981. - Вып. 30. - С. 63-67.

13. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Анализ колебаний кругового цилиндра, вызванных кинематическим возбуждением торцов // Прикл. механика. - 1982. - 18, N 8, - С. 35-41.

14. Комиссарова Г. Л. Анализ комплексных корней дисперсионного уравнения жестко защемленного цилиндра // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1982. - N 8. - С. 43-46.

15. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. О нормальных колебаниях цилиндра конечной длины с -защемленной боковой поверхностью // Прикл. механика. - 1983. - 19, N 6. - С. 25-30.

16. Комиссарова Г.П., Ключникова В.Г. К оценке пределов применимости метода степенных рядов в задачах об изгибных колебаниях пластин // Математическая физика. - 1983. - Вып. 34. - С. 5760.

17. Гринченко В. Т.. Комиссарова Г.Л. Распространение волн в полом упругом цилиндре с жидкостью // Прикл. механика. - 1984. - 20, N 1. - С. 21-26.

18. Гринченко В.Т.. Комиссарова Г.Л. Нестационарное деформирование цилиндра конечной длины // Там же. - 1985. - 21, N Ь.

С. 3-10.

19. Комиссарова Г.Л. Анализ динамического напряженного состояния кругового цилиндра в окрестности кинематически возбуждаемого торца // Проблемы прочности. - 198-5. - N 2. - С. 84-87.

20. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. Особенности динамического деформирования полого цилиндра // Прикл. механика. - 1986. -

22. N о. - С. 3-8.

21. Комиссарова. Г. Л. О подходе к исследованию нестационарных колебаний цилиндра конечной длины // Теорет. и прикл. механика.

- 1987. - Вып. 18. - С. 129-133.

22. Комиссарова Г.Л. Анализ частотного спектра полого цилиндра на основе приближенных теорий // Прикл. механика. - 1987. - 23, N 6. - С. 118-121.

23. Гринченко В.Т., Комиссарова Г.Л. Свойства нормальных неосе-симметрпчных волн в толстостенном цилиндре, заполненном жидкостью // Там же. - 1988. - 24, N 10. - С. 15-20.

24. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. Волновое поле в цилиндре, генерируемое нестационарным воздействием на торце // Там же. -1989. - 25, N 11. - С. 9-15.

25. Комиссарова Г.Л. К решению задачи о распространении упругих волн в цилиндре с жидкостью // Там же. - 1990. - 26, N 8. -

С. 25-29.

26. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Некоторые особенности нестационарных колебаний возбуждаемых в полом цилиндре // Там же. - 1990. - 26, N 10. - С. 3-10.

27. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. Дисперсионные характеристики нормальных волн в системе упругий цилиндр - окружающая жидкость // Там же. - 1994. - 30, N 2. - С. 11-16.

28. Гринченко В. Т., Комиссарова Г.Л. Осесимметричные волны в упругом полом цилиндре, заполненном и окруженном жидкостью // Там же. - 1994. - 30, N 9. - С. 15-23.

29. Комиссарова Г.Л. Особенности распределения энергии в двухслойной среде при распространении нормальных волн // Там же.

- 1995. - 31, 1ST И. - С. 38-45.

30. Гринченко В.Т.. Комиссарова Г.Л. Излучение точечного источника внутри упругого полого цилиндра, помешенного в акустическую среду. Общее решение и вычислительный алгоритм // Там же. - 1997. - 33. N 5. - С. 20-29.

31. Комиссарова Г.Jl. Обобщенные волны Стоунли в составном упруго-жидкостном волноводе // Доп. НАН України. Математика. природознавство, технічні науки. - 1997. - N 9. - С. 67-74.

32. Гриичеяхо Б.Т., Комиссарова Г.Л. Излучение точечного источника внутри упругого полого цилиндра, помещенного в акустическую среду. Свойства нормальных волн и направленность излучения // Там же. - 1998. - 34, N 5. - С. 12-23.

33. Гривченхо В.Т., Комиссарова Г.Л. О возможностях сдвиговой модели Тимощенко при исследовании колебаний толстых плит // Труды X Всесоюо. конф. по теории оболочек и пластин (Кутаиси, 1975). Т. 2. - Тбилиси: Мецниереба, 1975. - С. 110-118.

34. Комиссарова Г. Л. Исследование частотного спектра изгибных колебании длинных цилиндров // Динамика пространственных конструкций. - Киев: КИСИ, 1978. - С. 118-120.

35. Комиссарова Г.Л. Исследование динамического поведения цилиндра в области высоких частот методом суперпозиций // Тез. докл. ’’Всесоюо. конф. по теории упругости'’ (Ереван, 1979). - Ереван; АН Арм.ССР. 1979. - С. 184-186.

36. Комиссарова Г.Л., Кпючнихова В.Г. Гамильтонов подход при решении задачи изгибных колебаний пластин // Проблемы аналитической механики и управления движением. - М.: ВЦ АН СССР. 1985. - С. 191-196.

37. Комиссарова Г.Л. Излучение точечного источника внутрі упруго-жидкостного волновода // International Conference Modelling and Investigation of systems stability mechanical systems. Thesis of conference reports. - Kiev (Ukraine). - 1997. - C. 77.

АНОТАЦІЯ

Комісарова Г.Л. Хвильові ефекти в просторових задачах коливані та розповсюдження хвиль в пружних тілах циліндричної форми. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико математичних наук -за спеціальністю 01.04.06 - акустика. - Інститу гідромеханіки НАН України, Київ, 1998.

Розроблено методику аналізу просторових хвильових полів і проведено її реалізацію для пружних тіл скінченних розмірів та складених хвилеводів прп врахуванні нестаціонарного деформування і радіаційного демпфірування. На основі точних розв’язків просторових граничних задач встановлено нові особливості формування частотного спектра та форм коливань в суцільних і порожнистих скінченних циліндрах в залежності від граничних умов. Виявлено кількісні зв язкп між характеристиками нестаціонарних хвильових полів в суцільних і порожнистих скінченних циліндрах та параметрами зовнішнього навантаження. Проведено кількісну оцінку ефектів фокусування хвиль на осі циліндра. Вивчено кінематичні та енергетичні характеристики хвильових полів, які збуджуються точковим ненаправленим джерелом в пружно-рідинних хвилеводах в залежності від їх стуктури та фізичних параметрів складових хвилеводів. Виявлено і вивчено узагальнені незатухаючі хвилі в складених хвилеводах.

Ключові слова: просторові хвильові поля, скінченний циліндр, нестаціонарне деформування, розповсюдження хвиль , пружно-рідинний хвилевод, радіаційне демпфірування.

Комиссарова Г.Л. Волновые эффекты в пространственных задачах колебаний и распространения волн в упругих телах цилиндрической формы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.04.06 - акустика. - Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 1998.

Разработана методика анализа пространственных волновых полей и проведена ее реализация для упругих тел конечных размеров и составных волноводов с учетом нестационарного деформирования и радиационного демпфирования. На основе точных решений пространственных граничных задач установлены новые особенности формирования частотных спектров и форм колебаний в сплошных и полых конечных цилиндрах в зависимости от граничных условий. Выявлены качественные связи между характеристиками нестационарных волновых полей в сплошных и полых конечных цилиндрах и параметрами внешней нагрузки. Проведена количественная оценка эффектов фокусировки волн на оси цилиндра. Изучены кинематические и энергетические характеристики волновых полей, создаваемых точечным ненаправленным источником в упруго-жидкостных волноводах, в зависимости

от структуры волновода и физических свойств составляющих. Обнаружены и изучены обобщенные незатухающие волны в составных волноводах.

Ключевые слова: пространственные волновые поля, конечный

цилиндр, нестационарное деформирование, распространение волн, упруго-жидкостной волновод, радиационное демпфирование.

Komisarova H.L. Wave effects in space problems of vibration and wave propagation in elastic bodies of cylindrical form. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree of doctor of phisical-mathematical sciences oil speciality 01.04.06 - acoustic. - Institute of Hydromechenics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

The metod of solution and analysis of space wave fields is developed and applied to a finite elastic bodies and composite waveguides. Nonstationary deformation and radiation damping are taken into account. New special features of formation of frequency spectrums and modes of vibrations in finite solid and hollow cylinders are established on the basis of exact solutions of space problems in dependence on the boundary conditions. The qualitative relationships between the characteristics of nonstationary wave fields and parameters of external force in boundary conditions are determined. The quantitative estimation of the effects of wave focusing on the axis of cyliner is carried out. The kinematic and energy characterictics of wave fields produced by point undirected source in elastic-fluid waveguides are studied as functions of waveguide structure and physical properties of its elements. The general undamped surface waves in composite waveguides are detected and studied.

Key words: space wave fields, finite cylinder, nonstationary deformation, wave propagation, elastic-fluid waveguide, radiation damping.

Підписано до друку їЛЖ- Формат 60x84/16 Папір друк. Умови, аркуш 2,0. Об.-вид. аркуш. 2.0. Тнраж 100. Замовл.

Надруковано в 1ГМ НАН України 2-52057, Киїа-57, вул. Желябова, 8/4