Некоторые краевые задачи динамической теории упругости в пространственной постановке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАШ!, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РФ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Научно-исследовательский институт механики и прикладной

математики

Ср<5циалиэир01анный совет К 063.52.03 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

КОЛОДЯЫШ ГАЛИНА ЕФИМОВНА

УДК 539.3

НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОНШ УПРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПОСТАНОВКЕ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой.степени кандидата физико-математических наук

Достов-на-Дону 1992

Работа выполнена'в НИИ механики и прию. <дной математики Ростовского ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, старший научный сотрудник Селезнев М.Г.

Официальные оппоненты- доктор физико-математических

наук, профессор Зубов Л.М.,

кандидат физико-математических наук, доцент Ананьев И.В.

Ведущая организация - Кубанский государственный университет

Защита состоится "__"_______ 1992 г. в__час.

на заседании специализированного совета К 063.52.03 по физико-математическим наукам в РГУ по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, мехмат, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул. Цушкинская, 146).

Автореферат разослан _"___________ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, . доцент

И.П.Гетман

СБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1л1д_Ак11,альность_темы1. Задачи возбундения и распространения еолн в однородном упругом полупространстве с полостями или упру1...ии включениями представляют собой математическую модель, позволяющую исследовать различные реальные процессы (возбуждение сейсмических волн источником, расположенным в горной выработке; регистрация сейсмических сигнал' т системой датчиков, расположенных в скважине, подкрепленной обсадной колонной (метрология сейсмических систем наблюдения); взаимодействие волн, возбувдаемых поверхностными или заглубленными сейсмоисточниками; распространение волн в регионах с выраженным карстовым проявлением и др.). Эти краевые задачи динамической теория упругости федстав-ляют значительные трудности при исследовании. Суцественно, чтс использование прямых численных методов при исследовании данного класса задач, особенно при возбуждении установившихся гармонических колебаний, малоэффективно (область, охваченная возбуждениями, неограниченна), что и определяет большое внимание исследователей к развитию анх итических и аналитико- численных методов решения.

Работы в указанном направлении'имеют большое народнохозяйственное значение и определяются рядом целевых комплексных программ, выполняемых в соответствии с постановлениями Правительства, ГКНТ СССР и отраслей народного хозяйства (проблема 0.74.03 - вибрационное просвечивание Земли, 0.50.03 , 0.02.01 - «ШК "Нефтеотдача"). Последнее подтверждает актуальность и практическую значимость исследований, проверенных в настоящей работе.

1.^л_Цель_работы. Развитие аналитико-численных методов исследования краевых задач динамической теории упругости для многосвязных полуограниченных облаете?. Практическая реализация метода применительно к исследованию ряда пространственных задач возбуждения и распространения волн в упругом полупространстве, содержащем заглубленную полость или упругое включение цилиндрической формы. Проведение численного анализа с целью выявления основных за-ономерностей формирования волнового поля в исследуемой структуре.

¿¿Зл-Ьвучнаядювизнгц Развит и реализован применительно к решению ряда ранее не исследованных пространственных задач динамической теории упругости аналитико-численный метод. Метод основан на сведении краевых задач для многосвязных полуограниченных областей к системам интегральных уравнений с использованием принципа суперпозиции,, с последующим асимптотическим решением последних при некоторых ограничениях на параметры задачи. Полученные решения позволяют исследовать динамриеское напряженно-деформированное состоя?:.;е практически« во всей упругой области .в широком частотном диапазоне пр1 относительно сильном заглублении полости (упругого включе- • ния) в полупространство.

- 1.4. Достоверность, результатов, полученных в диссертации определяется корректностью постановки краевых задач и обоснованностью применяемого аппарата математической теории упругости, совпадением для некоторых частных случаев, полученных результатов с результатами других исследователей.

^,5? Практическая значимость.Полученные в работе решения краевых задач моделируют распространенные в различных ^

бластях практической деятельности человека ситуации и свя-аны с решением ряда важнеРших научно-технических проблем, езультаты численного анализа, выявившие основные закономер-ости формирования волновых полей в сложных структурах, ис-ользованы при выполнении НИР в НИИМ и ПМ РТУ, ВНИИ ШТК Нефтеотдача",-ИФЗ АН СССР им. О.Ю.Шмидта. Тематика диссер- . ационной работы непосредственно связана с плановыми госбвд-зтными и хоздоговорными работами НИИМ и ПМ РТУ /6-9/.

1.6. Апробация цаботы. Результаты, полученные, при вы-элнении диссертационной работы докладывались на У Всесоюз->й конференции "Акустическая эмиссия конструкций и материа-)в" (Ростов-на-Дону, 1964.), У1 Всесоюзной конференции {инамика оснований, фундаментов и подземных сооружений" [арва, 1985 ), на II Региональной конференции "Динамические дачи механики сплошной среды" (Краснодар, 1968.), на выемом заседании по современным проблемам теории контактных аимодействий (Краснодар, 1990.).

1.7. Публикации. По результатам диссертации опублу :ова-5 научных работ /1-5/.

1.6. Структура работы. Диссертация состоит из введения, ех глав, 'заключения, списка литературы из 66 наименований приложений, включающих 50 рисунков. Общий объем двссврта-■л 147 страниц.

. КРАТКОЕ (ЗДЕШНИЕ РАБОТЫ ...

Во введении дается : раткий обзор исследований, относя-сся к теме диссертации и кратко излагается ее содержание.

В первой главе диссертации приводится корректная по-

становка пространственной краевой задачи динамической теории упругости для области следующей структуры: упругое полупространство с заглубленным цилиндрическим слоем (рис. 1).

ч ^^ "г ^

V ^ .

МХс

Рис. I.

А также приведено решение ряда вспомогательных за^ач, необходимых для сведения краевой задачи с использованием принципа суперпозиции к системе интегральных урашшний относительно неизвестных функций напряжений специального видЬ. Для этого построены решения следующих вспомогательных задач: •

1. задача для упругого однородного полупространства, плоская граница которого загружена распределенными по неизвестному закону осциллирующими усилиями Х = 0 [

(Г" X решение обозначено (эс,у.2)В

2.< задача для упругого пространства с цилиндрической полостью границ которой загружена осциллирующими напряжения .

7?. к „-'<•>*

Решение обозначено Цл (1,*, 2)е~'°*

3. задача о колебаниях бесконечного у.гшугого цилиндрического

слоя, поверхности которого подвержены действию распределенных систем произвольных сил:

•¿¡л

решение иш(кч>*>е-м

корректно удовлетворяющих условию излучения энергии упругих волн.на бесконечности.

Решение каждой из вспомогательных задач строится в со-ответствуюцей системе координат, связанной с границей области. При этом, решение задачи об установившихся гармонических колебаниях полупространства построено методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения. Смешения выражены контурными интегралами через трансформанты внешних нагрузок:

IК/*,/.*) Хьу»;я)

•1Г Л Л -С1Х <2 "5**1

КяЦд*>—Ъй1(и+Ъ)е -¿ив I

* иа^"' ■

V* , Уг - скорости распределения продольной и попереч-

юй волн. _ . ■

^ г ■ 7\("> й{п* пи

0- ше Ни (2)

О -{ Е ,

7. 4

Енм--а ил")' [-Л4 И»%) ¡г п-о ь

* /Л- ** «V ъ'М^Ъ*)-^

3 11М Щ>

гч & , ч:.;;-'-

Г?,н| 1 1 и -¿Л*

о ((?«,...,е* ** - означает преобразование $урье ПО оси Я.

Удовлетворяя граничным условиям задачи 3, относительно получа(

» р а

Для иллюстрации свойств приведем по одному элементу матриц входящих в соотношение (3): <й> ... _ ч» . !•>

в получаемсистему алгебраических уравнений 6-го порядка

«г •#(*>•*(*)

Контур интегрирования Г определяется использованием принципа предельного поглощения и имеет следующий вид: обходит положительные особенности подин те тральной функции снизу, о*-'--рицательные - сверху, а на остальной части совпадает с вещественной осью.

Вторая глава посвящена построению системы интегральных уравнений относительно неизвестных напряжений, действующих на границах области вспомогательных задач I, '¿, 3, а также исследованию свойств и построен: > решений системы интеграль- ' ных уравнений.

В соответствии с принципом суперпозиции в полупрост- . ранстве вне цилиндрической полости или упругого включения решение ищем в виде: ц т И< + И>л

Амплитудная функция смещения точек упругого цилиндрического слоя при задании векторов напряжений на внешней и внутренней . его границах определяются решением вспомогательной задачи 3.. Для определения контактных напряжений на границе полупрост-' ранства с полоотью и упругого включения используется уело- . вие жесткого сцепления.

Проектируя!вектор смещения 11 на декартовы или цилиндрические координаты, связанные соответственно с плоской или цилиндрической границей исследуемой области, и удовлетворяя с учетом соотношений закона Пука в соответствующей системе координат условиям, заданным на границе и условиям контакта включения о окружающей средой, получаем систему интегральных уравнений определения неизвестных функций налряже-

границе.

В результате решение сформулированной краевой задачи . возбуждения колебаний в упругом полупространстве с заглубленным упругим включением в пространственной постановке сведено к решению системы трех векторных (или девяти скалярных) интегральных уравнений специального вида, через реи-^ние которого описывается напряженно-деформированное состояние области:

Л TnU,u)eU4>+

о i«*** (5) '

—♦ —> • ■ ' у

' J Q X е"^ elf + v>> = Z (

in) Л f_<«>" ГЫ .

= An 2- Fei »S*e exp (¿пйяе^Ыу)) , к* 1,2.3

В случае, когда границы полости (упругого включения), и полупространства не пересекаются, можно показать, что оператор системы интегральных уравнений вполне непрерывен в пространстве суммируемых функций. Последнее также следует' из того факта, что смещение и напряжение, определяемые;

! i

решением вспомогательных задач непрерывны вдоль любого'контура, не п ресекаючего границу. В случае, когда £</, (при заглублении центра полости на величину, превышающую длину поперечной волны) оператор системы будет мал, что

позволяет построить решение еа методом последовательных приближений с асимптотическим и численным вычислением интегралов. При относительно сильном заглублении полости оператор системы достаточно мал, чтобы ограничиться двумя первыми приближениями системы для получения решения с погрешностью, не превышающей 10 %.

Раасматрива ся случай, когда колебания в многосвязной области возбуждаются нагругчой вида:

зс=о : е^о ;

С Ра , % е£-С,С] ^ (б)

£=а : Сгх** [ 0 Ъгч^гг'О

В этом случае построено два первых приближения решение системы (5). Получены с соответствующей степенью точности представления, описывающие волновое поле во всей упругой области. Третье векторное уравнение системы (.5) в подинтегральной функции содержит дисперсионное •»павнение для пространства с цилиндрическим слоем. Эта система обладает волноводны'м эффектом, что'выражается в наличии вещественных полюсов подин- . тзгральной функции ъ случае, когда цилиндрический слой "мягче" пространства. В этом случае вдоль образующих цилиндри- ■ ческого слоя распространяются поверзшостные и пограничные • волны. Когда слой "жестче""пространства, можр-" появляться один вещественный полюс, быстро уходящий в комплексную область с ростом частоты.

Дисперсионные кривые имеют следующий вид:

В третьей главе приводятся результаты численного анализа решений ряда пространственных краевых зяцач, имеющих

самостоятельное практическое значение. Рассматривается слу-

. ' *

чай распределенной по цилиндрическому кольцу постоянной ширины осесимметричной нагрузки, приложенной к границе цилиндрической полости (б), ^ближней от области приложения нагрузки зоне исследование ^возможно только численно, в дальней зоне - с использованием асимптотических Методов. Рассмотри , случай, когда область приложения нагрузки движется вдоль цилиндрической полости о постоянной' скоростью И , меньшей . скорости сдвиговых волн в среде. Учет равномерного прямолинейного движения приводит к тому, что ядра системы интег- . ральных уравнений (4) могут быть записаны в том же виде, что. и при гГвтО , но приведенные частота ^

ЮъО-лЯа"* будет функциями параметра преобраёов$4 нля Фурье по оси 2*М*-> Это определяет асйм-

метричное расположение точек ветвления подинтепэальньгх функ-

ций. Исследовано влияние скорости движения нагрузки на формирование волновых полей в среде. При Л < 0.4V* различие амплитудных функций вектора смещения от случая il»»? в ближней от области приложения нагрузки не превышает 10 % практически во всем диапазоне частот.

Использование асимптотических методов для исследования волновых полей' в дальней зоне определяется тем, что подин-тегральные функции содержат большой параметр в показателе фазовой функции. Было показано, что главный член асимптотического представления исследуемого контурного интеграла определяет интеграл по отрезку, на котором фазовые функции чисто мнимые, поэтому для оценки получения интегралов использовался метод стационарной фазы, для которого стационарные точки определяются численно из систем трансциндентных уравнений.

Составлена программа, по которой производится расчет интеграла в области, выходящей в зону применимости асимптотических представлений. В качестве примера Rie. Ц показана зависимость амплитудной функции смещения ^г от координаты Ч, при фшЖ/Ч, Сплошной .линией нанесены результаты прямого численного счета, пунктирной - по асимптотическим представлениям при 4.) Видно, что'существует область, где еще применимо численное интегрирование и уже работают асимптотические методы, и в этой области вычеслен-ное разными методами перемещение ¿¿г практически совпадает (с точностью до 2 %).

Проведено исследование основных закиномерностей формирования волнового, поля источника в ближней зоне при воздей-

ствии неподвижной нагрузки.

Рис. 4. .

Анализ амплитудно-частотных характеристик колебания точек

а*

упругой области при , Ъ«®/ для различных X9 выявил следующую закономерность: с увеличением коэффициента Пуассона среды, ограниченный резонанс амплитудных функций радиальных смещений в пространстве с цилиндрической полостью смещается в низкочастотную область.

Исследование амплитудно-частотных характеристик колебания точек упругого полупространства с цилиндрической полостью выявляет следующую закономерность: график зависимости амплитуды от частоты представляет собой кривую, осциллирующую около графика, определяющего прямое поле источника. Осцилляция определяется отраженными волнами, имеющими амплитуду более высокого порядка малости и частотную осцилляцию-« ?хр( tßj К£~) 3 - первое отражен!'-?). Такая осцилляция проявляется по все., направлениям, за исключением

•Рв-ЯГ» когда прямая и отраженные волны сонаправлены и сдвиг фаз фиксирован. На рис. 6 сплошной линией нанесено прямое поле излучения, пунктирное - с учетом отраженного от плоский границы при <Р=0.На рис. 7 тоже самое, но при Ч^уГ Vi'600fw Vi~300?t ЬшО.1.

Во втором пункте третьей главы рассматривается задача - о возбузэдении колебаний в пространстве с подкрепленной цилиндрической полостью источником ,ипа "цент-1 раешк.зния",

)

находящимся на расстоянии А От оси включения. При решении этой задачи использовались формулы перераэложения, определяющие представление сферической волны в виде суперпозиции цилиндрических волн и наоборот, также использовались формулы сложения цилиндрических функций, связывающие цилиндрические волны в разных цилиндрических системах координат. Основной вопрос, ответ на который необходимо было получить из результатов численного счета, являлся вопрос о соотношении волнового поля в среде без скважины и в среде со скважиной, подкрепленной обсадноГ колонной.

В третьем пункте анализируется задача об упругом полупространстве с заглубленным цилиндрическим слоем, нагрузка приложена на внутренней поверхности упругого включения и распределена по кольцу шириной ЛС . Используя граничные условия и условия контакта включение со средой, получаем систему с комплексными коэффициентами девятого • порядка, которая решается численно при каждом фиксированном значснии , параметра интегрирования Ф в выражении (4).

Для проверки достоверности полученных численных результатов были исследованы следующие предельные случаи:

- !вные значения упругих параметров цилиндрического слоя и окружающей среды (сопоставлялось с решением задачи, для полупространства с полостью);

- результаты расчета лодинтегральной функции при равных

значениях упругих параметров включения и окружающей среды при значении параметра преобразования Фурьер»© (со. оставлялось с решением плоской задачи для, полупространства с по-,

гостья) . ' .

При проведении численного анализа выявилось два различных характера поведения решений в зависимости от соотношения упругих параметров цилиндрического слоя и окружающей'среды. В случае, когда скорости распространения упругих волн в цилиндрическом слое меньше соответствуюцих скоростей в окружающей упругой среде, АЧХ радиальных смещений носят выраженный конечно- резона- -;ный характер (рис.Ь). - сплошная л..ния, в случае более "жесткого" вк^очения АЧХ имеет монотонно убывающий характер (рис.Ь)-пунктирная линия.

Рис.8

В четвертом пункте исследованы некоторые нестационарные пространственные задачи. Для их исследования используется вариант метода .армонического анализа. Предполагается, что импульс возбуждающий движение в упругой области действует в ограниченном интервале времени. Вне этого интервала внешнее £оздействие отсутствует. В этом случае заданный импульс раскладывается в отрезок гармонического ряда с задан-

ной степенью точности:

P(t)s £ Рк AinUnt

Зто позволяет свести нестационарную задачу к суперпозиции решений гармонических Uo (cJ.t.f.i) на заданных из разложения частотах: ы .iuKt

Реализация этого подхода относительно проста и алгоритмична для облстеГ- и типов гранг'гных условий, для которых исследованы стационарные задачи в достаточно широком частотном диапазоне, включающем низкочастотные колебания. В качестве примера рассмотрена нестационарная задача для области типа упругого пространства с цилиндрической полостью с граничными условиями (6) и нулевыми начальными условиями. Рассмотрены различные виды воздействующих импульсов. Реализация этого алгоритма на ЭВМ позволила произвести расчет амплитудно-временных характеристик различных точек области. Используемый подход позволяет : ^следовать поля смещений в "малые" и "средние" времена, т.к. анализ больших времен требует учета очень большого числа членов разложения, что приводит к росту накапливающейся погрешности вычислений.

» 3 заключении кратко изложены основные новые разработки, результаты полученные автором.

В приложение вынесены графики, ил-юстрируюцие проведений анализ.

ОСНОВНОЙ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЕЮЖЕНО В РАБОТАХ:

1. Колодянная Г.Е., Селезнев М.Г., Селезнева Т.Н. Исследование волновых полей возбуждаемых в упругом полу-

пространстве пульсирующей нагрузкой,-равномерно движущейся ito заглубленной цилиндрической полости.- Матер. У Всес. конф.• "Акустическая эмиссия конструкций и материалов".- Ростов-на-Дону, Т°64.

2. Колодяжная Г.Е.,Селезнев М.Г. Возбуждение волн в полупространстве осциллирующей нагрузкой, равномерно движущейся по заглубленной цилиндрической полости.- Тез. У1 Всес. конф."Динамика оснований фундаментов и подземных сооружений".- Нарва, 1965, с.90-91.

3. Колодяжная Г.Е..Селезнев М.Г..Селезнева Т.Н. Пространственная задача теории упругости для полупространства с заглубленной цилиндрической-полостью. --Изв. АН СССР, МГТ, № б, 1967, с. 63-66.

4. Колодяжная Г.Е. Особенности формирования волновых ьо-лей в полупространстве с цилиндрической полостью,загруженной движущейся осциллирующей нагрузкой.- Тез. II per.конф."Динамические задачи механики сплошной среды".-Краснодар,1968,с.71.

5. Колодяжная Г.Е.,Селезнев М.Г. Пространственная контактная задача для полупространства с заглубленной цилиндрической полостью.- Тез.Выездного засед."Современные проблемы теории контактных взаимодействий".- Краснодар, 1990, с.95.

6. Колодяжная Г.Е.»Румянцев А.Н..Суворова Т.В..Селезнев М.Г. и др. Разработка методов анализа волновых полей, возбуждаемых в упругих средах поверхностным, и заглубленными источниками. Промежуточный отчет о НИР.19с. №гос.per.0167.002636. Инв. » 026.90010816. I960. . .

7. Колодяжная Г.Е..Ляпин A.A..Румянцев А.Н..Селезнев М.Г. и др. Исследование особенностей метрологического обеспечения сейсмической аппараоуры, размещаемой в скважинах. Отчет о НИР. 42 с. 1990.

6. Колодяжная Г.Е., Румянцев А.Н., Селезнев М.Г., Суворова Т.В. и др. Разработка методов анализа волновых полей, возбуждаемых в упругих средах поверхностными и заглубленными источниками. Итоговый отчет о НИР. 70с. № гос.рег.0167.002636. Инв. № П29.10050010, 5 частей. x99Q.

9. Колодяжная Г.Е.,Ляпин A.A.»Селезнев М.Г. и др. Исследование количественного и качественного искажения нестационарного сейсмического сигнала при регистрации аппаратурой,размещенной в скважине с обсадной" колонной. Х/д М4Т. 69с. 1991.