Вопросы теории разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

министерство образования азербайджанской республики

й бакинский государственный университет » I " им. м. Э. расул-заде

ТТТшПШГ ' ——~

На правах рукописи МИРЗОНВ СЛБИР СОЛ ТАН Л ГЛ оглы

УДК ol7.43-f517.94ft

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАМИ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ

01. 01. 01 — математический анализ 01. 01. 02 — дифференциальные уравнения

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

БАКУ — 1994

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзаде.

Официальные оппоненты:

-—доктор физико-математических наук

профессор М. Л. Горбачук;

—доктор физико-математических наук,

профессор Г. А. Исаев;

—доктор физико-математических наук.,

профессор А. П. Махмудов.

Ведущая организация - Московский Энергетический Институт.

Защита состоится « »Яи^ги Ц 1994 г. в « час. на заседании Специализированного Совета Д. 054. 03. 02 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Бакинском Государственном Университете им. М. Э. Расулзаде но адресу. 370145, Баку, ул. акад. 3. И. Халнлова 23. ^ 2, ,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ им. М. Э. Расулзаде.

Автореферат разослан « / » ^с1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических

профессор \ М. А. ЯГУБОВ

• ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тещ. . Теория оперзторно-длфференциэяьнкх уравнений з абстрактных простряьсюэх, которая бэрат свое начало в рэботэх К.Иооидн, З.Хилле, Т.Кэто и др.» возникла как применений методов функционального анализа в'теории дкффгрсицаальнах уравнений в честных производных. Б яоеяеднзз вруия она охватывает более дарокиЙ круг гздач, что несло овоа отражение, ивприиер, а книгах С.Г.Крвйна, А.А.Дззпяв» Н.ЛЛионса и Э.Мэаяенесв, В.П. Горбэчуке и.И.Д.Горбзчукз, С,Я.Якубова и др. Шиерае к урьзкеаи-яи изкого рэдо в значительной ибра обусловь и таь, что сия содержат з себе многаа дифферзвииольнка уцэввел*.«: о частники производила, бесконечные оиогвиы ойжиоввшшх я'ДОрэншюяшос уравнении и др., прмчеи теория операторио-ди^раициаяьных уразиенай позволяв? нейм ёдйвый подход к рзвенив а»« •ээ-вч. С другой з*о~ роны, изучение^вспрссоэ рвзрашииоати таких урзь^евий-иродоюаля-ег а сзностоявелькыК мэ темам чесни Я ингерзо, В «сслед^я.ь.ие года важные продвижения в ¿той теории получены г. ¿иГ.Гзсиюво,

а.И.Горбзчуко, ГорСзчукз, ШД.й'й? тап-р;!, ,4гР Достшанко, А.Д.Енэяикоав., .С.&£%убогв, С.Агеодо >«. Л.&'^а^-а я др,

Яоявавниз в по еле лоте .годн (?ольдзг4, иодйчзмвз раС^, посвященных исследование рэзргсииосаи задача Наши ила крзазак задач для операторио-диф^эрзкцизльак: уравнений, обусловлено «и, что эги продлены тес&о связаны о-зэг.очтгл ожх?рольной тгерт операторных иучкоз, з той чйсяо о ерлио7сЯ,'•бээаекзетаю-я ккиг::з;;ь-ности корневых за к то роз. Поэтому <?кекг.раяькзя теория опзрзтос-ьюс пучков чогГсрь яззязия одна:! кз ь1'иЗоя®9 яатеиойЕйэ ряага-звщахся областей соврзаанного фувкцкэноаьного зкэяиа. Отпсэа-йш пунктом рэзаягия эмй'мория явнлесь работ? М.В.Келдыь-э1'. Вгкные работы Дг.З.Дялзхлзрдяевэ, К.'Г.ГясииояЗ', Т.Д.Исаева, А.Г.Коствченко» И.Г.Крезяо, Г.КЛэнгерв» Б,ЗЛйдского» Ф-Г. Магсудовв, В.И.НэцевБО, Л.С.Яаркусо, Г.В.Радзиевсксгэ, 1.Л.Голикова, С.Агиояв, 4.Брандере и др. не только обметил"-: гпт^,-

Келдьш Н.Э. МП СССР» 1951» Г.'??» № I» сЛЬТА

Ц.В.Келдава новым идеями', но и развили новые методы исследова-ийя сиекгрольных свойотв операторных пучков. Надо обметить, что развитие свектрвльиой теории операторных пучков и разрешимости ааоякздонных уравнений связвно х с ten, что многие задачи ывхе-кнка, техники к мвтвьзтической физики приводя? к исследованию

Тв.ких ЗЭД8Ч.

В яредсгоэлекноЦ работе, во-первих, исследованы вопросы peapeaiiwocnt операгорно-ди^ергнииольиых уравнений не всей оси, не полуоси и из конечной отрезке, Эти вопросы издавна привлекали матекликов, однако 'результатов, а которых условия рзарегсиыоста выракактся только в терикнах коэффициентов рлврэторно-дифферен-цналм'их уравнений относительно мало. Tax как" в большинстве этих* работ условия рвэревавэвти влекут сколь угодную полость вогму-щоклой чаоти идя яа эти условия выра-дзется о поиоцыо огрэничгнкЯ на poor резольвенты соответствующего операторного пучка, то не-во&ыожее проследить, кеи поено выбрать коэффициенты возку не иной чисти из достаточно кирокэго класса так, чтобы имели немо тео-рэны о рааревикоот* полных у^ввиених. Заиатам, что при получении условий такого тапв очввь вахву» роль играют опенки нормы операторов пропекутичашс производных, или нахождение гочныг аиачеика «ори отиоентгльио нормы, пороадевной оп&роторно-амфареншштыг выражением, которые имеют самостоятельный мате-мстическцЧ клтероо,

Во-в-орых, передаешь запроса* роэревиаости мы исследуем свойства полнота частя корвгэмх вевтаров в пространстве следов, иоалоту <зле«натвраих рвений, оуммируекосе* по А Селю рэглокеция ве уорнзвим гекюра», » также факторяаздв лсдиьомведышх опера то рках пучков> Эмм ойменается актуальиося, прааедеиных в дассеутсрш мсследовавва.

Цел* работы.

I. Ризвить четоды, йоззоыцэдм усгоиавмвап уоаовая роз-рс замости кгаевьэ: издам для ¿ociatcvao ьирокого класса оиера-торне-дяЦеренцвбльиих уревкеввй на оси, на soryoca з аа хешач-soji о*р»8»а, «¿терке аьрэхяьтсв только через коаффицкевхы дев-UVJC Sl«wa*f..

Ка;.м KctoXri ддя вкчиелгикятйчнкх зизч&ад! \jae-

:«-» еяеегть гх tirnpx? * пех-

пространствах, иорыи ко торы:; выралвюгся он:рлорко-х^Ф-':.-рзвцяель-ным вирэкениеи.

3. йайвд условия П0ЛЮ5Н чем;; корковых векторов в различных пространствах следов, полноту злеиеитзрных решений, сумми-руеиосги по Асйлк разложения по корневш векторэи и ^оимрлзз-ции Я0ЛИН0ИИЭЛ5ЯИХ операторных лучков.

Исследовать краевые зэ'дзч;: для опервторно-ди^ореъцвзль-пых уравнений второго порядно, краевые условия которых содер<хг?т линейные операторы, э тзкке примени» получекнпэ рзкультату к урэвненияы трегьегэ и чемвргого порядка.

ОСкэя методика исследований. В диссертации нрияеинвтсн аэ-тоды ааалятической теории саиосопрдаеяйых « ьосааосопрйкезшых о на рз го ров, теории линейных операторов ь п»яь<йртовоы' пространство , теории полугрупп операторов, Привлвквю^я результаты та о- -рка цеянх и цероиорйных фуукиий и иг тс ды -»¡роо -Лг.зо за ни я Фурье и Лонлаад а абстрактных проохрэнстзэх.

Научная новизна./ Бее основное результат ияееертзцлл являйся новики я опубликованы з расотвх й'вгер,

В дкаоергоцки. получены мерутчь ггзупьтеты.

1) Найдены мчиие условия рззрег"::^?/* краевых за:.~ч для-отгрзтор;го-ла£Огреи«изльн«х уровиений -1 рклгСартовом ¡.; остра н-стве, лричем слерэторы возмущённой чзс№ йогу? завися» от пере-ййкрой. Все зги ¿условия *ира*евгся в юраиаа;:. коа-^вшгьяты с-пе-рзтррнс-ди$,;еренци8льнн>. уравнений, .Хсследозвзо суя^сгво; экие регулярных, гладких, обойденных а. голо«э?4«ых ревеня?.

2) Указом ездаь иожду условиям« рзарзникости а нириэии операторов прсивкуточьчос.про^гвсдных к дзя кэтоз нахохдекяи точных зночевйЯ эзйх кори в различных пространствах.

5) Получены условия полном чести корн-'вих аекгороз 2 про-стрвяствэх следов, пелногы элйкзнт&рнкх решения, оуетяруексс®« ' иетодск Абеля разложения по корневым ввкгорги и ^якгоризэадя -олерзторнкх лучков,

4) Найяеаы условии рв8редикости краевых для опера«

торно-д^еренцкальных уравнений второго порядка, кгг.^и условия которых содергэт яятр.ам опера горы и йолучеек»-. --езульгагы приазиева к уразвелияк третьего к чвтве^ го аорта:"*«

Плактаческэя ценность. Результаты диссертации иогуг бьгеь применена при исследовбкйял. различных зздзч ¡/ехэники, ime ¡¿этической физикиt теории дк^1ерснциельньа уравнений в частных иройзводньгх и теоремчгских исследованиях, проводимых в ШАН Россия, Ш-ЬШ, Новосибирском Государственном Университете, ИиïéjKîyie иачеыаткки АН Молдавии, Институте ьатешш'.ки АК Украины, ИМИ АН Азербайджанской Республики и др.

Ai-роcor;;h рзбот'ц.- Рэгульты ребоги неотшокрзтко докдады-волксь на хе'иккврвхг проф.А.Г.Косткченко, нроф.Б.МДевитэнв, дуг,г.Л.A.:Ui'.:iw, ирО!' .и,А.Али№В0 в 1ЛГУ , про-} .С.А.Ду&'иского в J3.1, аро.'..и»Л.Гсрбвч;ко г '.incïuxyte иэк-мтки ЛИ Укряаак, еквл.^.Г.Гяси'ова, чл.-коп-'.А« Азсро.Рееа. Дк.Э. Аятвердмеве, чл.-кср!..А1"'А:=ер(5.Рсоп.А.А.Бабаева в БГУ, окад.-5.Г.Максудове и яре .С.П.Йкубсве з '.'¿.В АН Агеро.Гесл. 4 в гькгл нэ сов:.-есгиок ;.оока8ш:й сзи:: иврэ ин. 1!. Г. 1« '»ровского к московского ;.Î3 тс магического ОСогствч (1985г.), лэ сеыингг.-зх сетес'трз по спектра шш 8 т-ри» enepe-ïer-o» в кен дув» ротном 1«1гу,зт,;ческом цс:;тре яи.С. о5«охе в ffori-t« (I97?r.), m маиду породни* ск-лшаиукох гу редких к i.LopcaV^siaiKKX «агемвгйкоэ в г.Беку (1552г.), в г.Трзб'зоие (IVïir.), ва Всесоюзном ккодв по спектрэльной теории ouepatopoB в r.IV.<y (1975г.).

1К'б.-.:;кпт:п. Результаты, кзлокепиые в дисспргсц::к, опубликованы к 17 работах ввторо. Бса paocsu выполнена без соавторов, кро*& рьСэт /9,16/, выполненных совместно с Ы.Г.Гасыковыи. Б раосгбх /9,16/ идея докГ'загелт.агиг Ро'рквльвоИ рвзрееииосш пракадлехат а.Г.Гасциову. 3 диссеогвции соогве*сгвуад№ георсм yCK-Oî'U.

С ста м и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех г;:зз i: списка л;: то pu ту pu. Обьси работы 229 «тр., описок з^терртурц - IEO ии:кснов8Г:.5". Нугерэд!*« лет, иереи, слсдст-ввй г r.8vc43»»S joerc* греан вваервки. Зерка кокер ознечеет «р-с? ггс;зг-а, торо яокер ь?ч«чае* ас-мр ¡¡cpûr;:s;a, о tics;:!: r.s,xt означает но lie р глазц. Здесь .ауиерьу.г тасроиц кц оотзв-л ¡e»i îC'-.or se, кон s дивсертвг^и.

Г 7. -

СБЗОР С0Д5ШЕИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении пркзодкгся обзор лкгерс'ту^ы, дастся некоторое? определения и иглагавтоя результаты работы.

Пусть - се пара сильное гильбертово пространство, А положительно определенный самосопряженный оператор в {А~ ' SА*>СВ,С>0 ) .Через jffp » о<Зоз иочиа игаад

гильбертовых просгрзиогв, порокдеиных оператором ,4 , г.е.

Г ;6fArj . //-Ч, = /М^/7 • - w * а < i £• ~ осос-нвчим через кльСйрто^о лроптрэжлзо вектор-дункии,1,,

определенных в (afS) со значениями з fr'-. , которые икзвт конечную liopt'y , ( f!

Hii ' - (.¡umfai Г

I й ' '

и определяй гильбертово пространство

ЦЪЛ'М* {uju^eL/a^n u&lJ^Mj -

С нормой ' .1

/ \4t

В дальнгйЕйи обозначай ¡.¿(Rj'Ü] ~ fth

Для явсоро [Si!*^ цзлых чисел (* ' оясозвлим пространство

Через обозначим гространсетэ ограни-

ченных к ВПОЯВ9 вепрерызиьтс операторов, дейотауьвкх из ¡¡С в & йсотвемтвекнс, в У}) - проогрэвсгао ограни-

ченных зо •*:&(<*, () операгор-фуивдай со значениями в V) . ?ао5ыотр:ш ъ уравнение

л

ршт -- ПШ^Жш * И А,,и * фш=4м, ш м 7

где - кокяяешше ч;;с-яэ, прхчои ^у-*-- » о коэффициен-

та нрл неклен (¡-.¡О , вообще говоря, неограниченные

опера гори з , При '¡7^ иы присоединяй к уравнению (1)'крэбвш услоьия

где число !<-л , причем ¿0 ■ , ¿ = /я , е но

коиочвом отрезка оаеяуявив крвввкв уоясаия -'• . •

Й о, г«*,...;*./, еярг..,н-к-1 <?>

ИЛИ

иШ(*)*и{£>(е) . (пераодичэские), Я^(аЫ-Ц^.К) (внуи- .

явриодкчаские) крвзвыз условия, («о,..., .

Квк правило, оперев исследуется разрёдакооп, усэгнеяия

Ы - ,

Ъя задача (4), (2). Кои уравнении (4) (крвеввя, задаче

С4»). (2)) горроктас однозначна ргареаиьо при 6?/АУ,

Ш* (mdfi.ini > м иорке'

-схвктенкнз УШЛЩМ^&Л) з арвгра«тее ,

йз тебреш 1.1.П кавдчввгся» что для разрешимости уравнения (I) или краевой задачи (1)-(2) необходимо нейти точные значения нормы опе сего ров промежуточных производных ^ (¡-о.... к )

№ ' '

в различных пространствах или необходимо оценить зтк нормы сверху. Поэтому глзвз I посвядеке нахождению точных зиочений норны зтих операторов относительно новой нормы, С этой целью сперва найдены условия эквивалентности корп.

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы ИР6(¿Ш;А)иЦ^^^^ ош

норной в пространстве Й^Ул зхв«ввл?-тной норме

л

необходимо и достаточно отсутствие спок: •. гута Ря(Т(А) на мнимой оси, т.е. — , % •

йз этой георомы получается следуема тсгг-'иа о рчзревйаоси. Следствие 1.2.1. Бели операторный пучо" й6 инее г

спектра на мммой оси, то оператор Р0 ' , опггделенный виро?:»-

ниев А К = /¿(Ш'А)и , не У?) , осуг.^яяет И8окор;изм

между пространствами Щ (^¡Н) и ('-',/"} .

Далее, показано, что для экгкаг легкости нора Цй? ,

и §Р>Ш:А)ьЦ, з пространстве но об-

зеодамо и лостатбчяо отсутствие спектре п*чка ши'мэК

осилак как С и г. дальней.ей

ац должны предполагать, что и вирвкайяи лучта

м

для чисел ^ ВЫПОЛНЯЕТСЯ условия* £0г >л >

С гокоов чйсзл Ч* (йщи,М) аСр$1уи( оСоСсзквуг. матрацу Вавдермендз ранне рои к я К■ "

«л

0

1

'Л 2я',

0 0 0

и,

0

1

К

о о о

1 I • • ч, М«и •••( нК .

и обе)значки черва Ь^^г-, ¡д>Й ; ) кетрацу размером Кх*

сост-зв лсаиу» ко -ой, • • I) -ой .строк иетрицы

Доказана

Теореко 3.2.1. Пусть ' опрвделяотся равенство!» (5)

Ш $ 0 Тогда оке ротор оп-

ределена вир

осуцестчлкаг йаслорфвзы' 1|вяяу пространства:;:« и

^¿{Я+'.Н) » " иП/л , Л\ Н

Из это;$ тсесрскы зыте^зат, что .вориы агЦчШ-А/ии^ я

^у*) зке1ш0л€1<Г1И) в подпространстве

Ъ § 3.1 несла дуются некоторые своЗотва'-'полиношельяцх опе-рлорных пучков, роввеяаях от- действительного порекетра, которые игре»г тюиьук рель.при определена» нора преыекуточных произво?,-

•.-О

>•••»

1

I

целью зашаег

WW Fofa А) в виде

Л л к / Л

P.hAhZ'e*'A , W)

е-о

л полоть!,:

í„» ** Is'РЛ'Хй!. . w

■r %¡i!r'"(íhi)¡

П{.я jbéfOj £lt?j') определи;.: one «горные г.учги

^V-.A;=£ ы А) - î тУ™1 - , .

АОКОЗЭ'Н», ЧТО К" KJ4"K ß('üß'A) 1-е KV90Î CJiî?-

тру ;:з w.: о:! ос;: в ол»«^ • пегавлеши :

%(xf А) А) Ф/(-1>1>А),

где ft .

<p.bfA) = Пw

г.ргче:: (f )< 0, ?=L,.-,ft , С пс«сою коэ;/дкци<;нтоз d^jlp

\\ íf кь (t; a (t) оСрагубн »-атрии; в

. г.((,;>;„...

r« :,.= „

v/'= bfZrñ^r.stfC

«9

v,, .v.

a npa.^x^ -полоеим ^ (ßs * 3 atiix вирвяениях очи-

меггзя, чго ,.<?у»0!крк 1»*° . Далее,

определим иатриад к осознании через '

уатрицу резиерои , полученную из отбраонвв-

анем (S0*l)j • •'*(¡!>itri*,l) -их orpÖK и сголбдоа.

В § докагзьо1основное ризеистао для функций игТ^^^ТУ из которого поадчрвтай'Олб'лусщке 'leopevu.

"сь pasta 1.5.1. Каждое чксдо _вычиоаается ц-ориугой

Тэорзкэ I.6.I. Ицехя itçcïo следушие jasîHûtsa Теогока 5.6,1.. Ицзв® wow равенства '■

kl

г г'с Лífa'W ) ЬСТ1- я*»"»«мяй корень уровнышя^Г.teíii!w)=>0

V / у' ' \ . J '

¡u. i:uîep2a,;a ( o, (njj .

Cn.er..v, no при оицив'яьио« выборе 'ßfa/i) получек*«

гз^лп-ие течные нврааэиства

Vi

J* U% (ß;M - /MÍ№Rt& ' J**' "'» > с' ар» • j j

i Л; /

* N , »

Здесь

/М) М* (Мл

V/ , ' •

1

В § 7.1 лайде вы'точные значения норна-операторов промежуточных производных а * отно-

сдельно нор•

Из этих результатов, в чоотиости, пояучвйол зочина оценка кол. когоровского типа ■ у. .

Глава Л работы посвяцеиа рэзрйиииости-¿'рвений (1) на воей оси, краевых зздеч (I), (2) па полуос* я ££>; {3) кв.конечной отрезке в различных ситуациях. ...

В § 1.1! докеезна следующая'¿еареыа, .которая воэтаымет, какую важную, роль игревг. точные- оцеь^а нора операторе.??.проиеяу-точных проиэводнкс ври .реветш крээвис задач« .

Теор ец'о 1.1.Пусть ^ совпадает о о дави аз следук^и операторов: : -' "•.'•..',:

а) £ Г

С) п \ :

и он осуществляем йзоиор'*йзы азгду 'соогветсгвуедшя кросгрз ¡ст-взйв, прнче»; ««зв! квоте ш ггил 'сгво; , • "■ ■' * ' ' ■ ■ (Ю)

I

где числа {?,• внсехеляьтсп сяегуллсш ойрзясм: в чае ?

" '' Тогда оператор , нзрзггеышй хевс?. чс«г.. у$оыян/.п '{!}, соуса с тал я" ? изокор^кй!.' вз-гд? врог ,знст»зкл а)

ЩЪЮ и , о I случае <0 Ц '(^Щ^)

Из аюй геореин ь сочеки:::. с у гверкдан;-главы I доказан,-. Теорем Г.2.П., Пут А*А*пВ(сп),

щ'у.чеи выполняется иерэзевсгво (10), ч;:сла ^-¿/у" ¿У/ о-тределеик кь (7). То:да оиерагер осу.-.есуидяст о*.*с

мелду »росгрвиотвэш

В чаемой спу^е, />Ш&АЬ(- *)*НЩМ'Ь*,»-,

числе Су », где ау о1'.релелек:: говгис?*» (9).

' Тестев 1.3.Я. Пус?:, у № (йр«V; )'4 9 » ир-чс-и вшюлнчетс." аераьоивгво (1С), где 41*еле С^а , н. . Тогда онорэтор

% оп^зделеы:"..'! краевом задаче!' (I), (2), о су дао т-к гоне р.; и г и кехду пространсиви: гЗДго ^ л

Дэаес расск:'.р-Лг; во~.?:::е для лрг-.'апеаиг: сдучгц:.

• „

Сгияг«, что в гтои случае иатрвц»; ЬАр 'вшйс^яглся

"огео обменом, а 1"1^Т1!0 полнот: , '

¡¡ЬфО

:)■•:: ^(е.,(5)) ирэдстзвляимя в вкде:

8 вр6 ы» давшем* лучка

гюечетьо (8) /.екстьктег.ькц :: удсваоеторява

т*

*

1

О, Н о, п,и, )

(И)

В этом случае ш построим «атрицы • •

Г-

о

-1' О

(12)

где при ■

У/' = ^^¡'Гг'-чГ : ^

8 при ' Аиалогичио оОазиу случаи опреде-

ли« ые-грицу • Ясли

имеет ранение из интервала (о> ¿ц] У , то яяиценьвее из них обоа-начни через • ^сказана

Теорема 2.З.П. Пусть , ¿¿Ш^^Щ*))',

/ и выполняется яеравенстзо (1С), где чесг;

з врогязкси ел;.'1

* 1ь -

Тогда олзретор РС^Щго) , порожденный зздэчей (1)-(2) изо-

коу^.но огобракает пространство % ; ЯК ) на 4

• Отметил» что для нахождения Щ исключить

иг системы (И) и уравненияс{Ц ^¡^^^¿^) ^¡о коэффициенты

(¿ц » получив уравнения по но до е.го роеить и проверить оу^е^уег ли корень «о тервеяв </я,у ) . Если такого решения не 'существует, то Ду (~ "Ч/ , если существует,

то неиыенызее я а ккх будет .ргько • 3 некоторы:-.

честных случаях вычислены зкеч^кя /['• () . Непример,

0 осгальвых ' гше* оценю

П сличай, Пуст;, Щ ^... и £ ¿//¿ВДз

и случае пру <сн.(9)) ^

ъ а то и

гди ясляпоан у(Я^.Д?<ир?д&л®яоя тек хе кая в (9)».во козф-''ек?к ¿у (р >Йсвд8-^зг,8н к .удовлетворит условвэ

- • if

к аналогично noovvonu маа

~ ■ J '<■ '

будет определено ниаг* ......- — ■ * *

¿J^ Й J кз (12) Образуем штрпцу Sf(p-R-(ptJ

о ) (число« те) и числа ц.t(ш"01) . Если P9(tlfM:A)s ^-A*- J , то 'икеег веси

Те о ре ц о 7.3, П. Пусть СЫ*ХК*1),

и выполняется на равенство (10), где чиодз Qj-, . То газ оператор Р({!;}"'*) , порояденкий зздочей (I), (2) иао1'ор!то отображает пространство (%*■> ^ на ^Tit/W , Здесь числа /Vj- ( {S;определяется,сл'.<.:.«таии образов

ri-iisf'1) е"И

В случае, когда KfafdM) ~ № т°

дГ|

число И Ч утверждение теореки 7.3. П в этой п луча г току.с

верке, »о up: определении числа (ik)^) мотрицо

Sj(f>' ^яет seuesifiiio (йтркцеи Sj(f'fc\r0 )

а число (iSii*J) числом /J (iWp* ) соответственно.

В § 'кЕ, используя теерваы о рэзре^ииостй из всей оси а на-полуоси', доказанu теории» о разрешимости краевых звдэч Н5 отрезке. По луче кц токле условия рэзрешявоста зедзч с перигическл^и я вигйпераодичгскии;! кровавый условиями,

• В § 5.И и § б.Ь исследовало существование падлах pose;:>;2 Bjaoaiix as дач, т.е. яргдйсяегйе*оя,'ч?о * в

{/(()£ ¡¥/fS (Я*' W некоторой -«sou' Je J .С»: .»

тки, чю в эсоа Слгчае язрякох лрегзводисс в крвев*.'- усгозкйх

иоже* быть н *5оаьье» порядок уравнений. йзйдйни условия корректной и' нсркольяо? рэзреавиост» таких, крэ задач, указана сьяьь иежду уеловакки раэреиныосга и ьорнаки операторов промежуточна производных, действующ;« из К {ЩТ» ) в

, и построек метод их нвхоядения. 3 § ?.П ксследоханс существование голоморфных в угле - ] , реиений краевой

задачи ' ' ¡к

и1 "(е)=г>,1=0,. ^м-1

Числа Ы, £ и натуральное число м определиьтсн следувдиа обрззои. Пусть к-АК , (случая при более

обцах предположения* рассорен в гл.1У) и. О ± (К- 0/1;¿-/,г

Тогда по позади , и

Ш*> №¿101+1. . Тркин сбреоои, в секторе

Су до г дожа® ровно /л. лучей, которые содеркэт спектр аучкг

■ А , . Очевидно, чго'вцбиргя и раз-

личными способами комно получить" раглячнце краевые задачи. Пусть^гДО гслоиорфнве вэктср-йунвдш в. к

есть гильбертово просгрваомо 6 корстИ

Гохдй ог^едаадш гальСерговс пространство

с «сраоЗ

\t¿t

.* „г I

--Hu(T + НА* я

Далее, при A оЧ/*/ ( ti-ÍK , Jh,j опр?делено из равенства (9)) построим матрицу

S<fJ М = ^ ^ * Ufs/щ:

где определена равенством (12), a1 )г

Up -(lj.^..., ) # обозначай через Sj^fc )

матрицу, порученную из W о?фГ5??чиев ($¿*í) - ых

стрсь s столбцов (¿-0,-~,я1-1) . Если ¿-рзваениъ ¿tí

г:;сйт реианки из интервала (otd»¡fn) % то наименьшее из них

обозначим чорез к. , .({S¡}!*~1) • Доказана

Tecpa¿:o 1.7.П. Пус» ¿O«, од,-.; А-А^ЕЬ") ¡

Bj(z)(~ ограниченные голоморфные олервтср-функци/ в секторо оо значениями в Xк выполняется не-

равенство к

У (?■ frf !!&»-&>L ¿i,

где числа Qj(j*о,определяется саадувдш образом -

Г А; , если М Р^Д}*/ .

Ц^ j. j > 3 ярстиввом случае.

Iclv.s опзрзтор ^ , спродзминкЯ равенств fu-pfr/tíu, uek¿(~ Jfj'fy}*'*) • . отоС?я?:ззт npocscascsBO ;

Ц"(-/> íi¡CJ ) . на ft) кзомрфно.

Зга теорема имев! зэхное значение в том смысле, что она в сочетании с результатами главы 111 д зет возможность получки рэз-liiis геораны полноты (без де^екм) корневых векторов полино^иалы ных операторных пучков, отвечающих одной или нескольким сериям собственных значений из определенных секторов.

В § 8.П дано определение обобщенных ре пений к дека за г:;: reo-' реыы существования и единственности таких реке ни й длг неко-;орах классов краевых задач. F частности рэссиогрона краевая задача

A/*?, í*o,...,k-L.} . <»)

ГД0 /

Спервв показано, что воли

>о) и операторы Л и -A'^AjA^ (¿•¡М»~, 2Х) ограничены

в я , го. билк ейаая фор

* определенная

для всех векторов t¿íf)**(Gr,ff),H$k(R+; ) . продол-

жеевая-^по непрерывности на яр^сяренсмо ®Vf/(/?*;% у «с» npocspeacMo

бесконечно диффереЕЦируеыых функций с коыпэктяыыи носители«! в ■

, 8 {fi/í'e )' - его .подпространство, аген-

ты которого в нуле удовлетворяют усяовиvlfifrl*?!1?0'.'-''*'*'.

Далее,, если вевтор-фуякци^ ItWf Ц*(Я+:Ю. УДов;:е?вс-' . ряет (1^) и для -.выполняйся лоздео«-

во

А

дз егсть продолкение билинейной форт

о иМ называете^: обобщенным решением задачи. (13)-(14). Доказана . ■ у.

Тс-оиомэ Г.'БЛ!. . Пусть /М гСЕЫ> ' (/Н-,*),

Щ -¿/¡'^А^'^гК*1'-!**) огравичеии з 'Н- и вкполняэгоя

¿—* >1 * * ЬХН '

■ ' - • . ■

Тс-гиа я дач о (Т2), (К) имев* едйкствеяяое обобщенное реве пае»

эя^дзлевы квк-з. (9).

— - -л.,;

.'л-ааогдчгкз *сс7?:;н доказана й для оперзторно-диффэрэнцивдь-лых урзваенп.Ч исчсв.огс порядка. •"..' . • •

Глава и псевл-хзпэ :1з?ч$№4в спактрояьаызс свойств оператор-' я ых-пупков . . V > '■-, / • ■

. . "Л .V (15)

'Будем говори?!,, ч20 пучок , если выпол-

няющий условия: . •• : •

I) А*А*>'£(с>*)у.

. ■ "{'' У- ': -

4} отара>гор А1Д„ -£*А*АЛА .. • мыв&* лгр&вачензнй обратный в ^ . -.-•■•

. Пучки кз'ккйссв Кз выевт дискретен!! слзхтр» Предположим, ч?й-пучок РСя)$ к9Ок;.15 эаяолапкуся саеадщие условия:

. л*** СГ*Гл) &'*

в)" п г представляется в виде отношения

двух целых функций порядке не выше £ и конечного тилэ <Г при порядке /

б) -При некотором 1 и для больших Л иг секто

ров

{л\ А-ъехрШ*),

имеют ивето оценки . '

ИР'Ч*)В ± ШН '/*/"* Л-^оГйЛ

* '

2}~Существует мнояеетво {&} лучей из левой полуплоскости, причем лучи {<2} и угол между соседними лучами

иенызв, чей Я"// (если фхо то раствор ыонет равняться^ ) и на этих лучах шгеюг^есго. оценки

!1АНК И ¿еомНя!*

■ ■■•■•'' ' г

Тогда будеи говосить, что пучок принадлежит классу ^фГ

Далее свяжеи.лучок РШ с краевой задачей

рШ)иШ-0 (16)

иС**гМ* /С * *- ((>& &«♦?-:<) (I?)

.' - ' Х'1 >

где

г /Щ' -X

Бела V Че / £ т - цепочке корневых воктЬров пучко

к*Ои$ огвечакаая собственному знеченкпЯ/ — ^ " " *

. цепочгз элементарных решенай ургзненяя (16) из пространства

• Обозначим через Ы ^ы

нтарньх решения и определим систему Б § 2.С доказана

Тоогсмэ 1.2.11. Пусть РЫбМфТ к задача (16), (I?)

¡тает се-сн'/.ч ¡53 пространства

при любом наборе М некто:-,;-- <*у е^С лричен множество

пгитно в пространстве Тогда систеыя к.(П.)

по;;ни ь пространстве © ^

Отмени;, что аналог те о раин 1.2.1 при условии

и Ко,р,г< доказан в работе &.Г.Гасимовэ^ в прострзи-

стве $ у что эквивалентно к. - кратной полноте ено-

те ¡.щ "в смысле Ы.В.Келдшз. Язучэнао полноты системы

Ц(П') в пространстве еле лов дзет возможность доказать полноту элементарных решений, а именно кыеет место .

Тзореко 2.И. Пусть зодочз (16), (17) имеет единственно?

ре пеняе нз простуанотьэ Ж^**($+4 Й) при любом к ь боре

£ + > С,... I П с::с?е«з К(П —) полна в

4-Х ^ .

г.т;естогнотзе © ут, , , ,, . . Тогда системе аяеиенгврньх ря-

авы-.1* пояпо ь пространстве всех ресиний задачи (16), (17) из проотрзнст.вв

В § 5.Е нолуч?н8 теорема о суганруеяости разложения по ого-г Х'экг М(П-) июяок Абеля, введено Я В.£.Лкцскяи. '.

Гьтит Н.Г. .ПАН ССС?, 1571, Т.1У9» № 1, с.74?-?50.

.: - 24 -

. . • . -В § Ь главы К указана связь ыеяду разрешимостью задачи (16), (I?) приЛо, Ы) и факторизацией пучка р(я) .

В § 5.И найдены достаточные условия•прйнэдлекности пучка классу ' ® честности,.доказана

Теорзиа 2.5.Ш. Пусть П= Ак , А=А*?сЕ(с>о);

■ Зб- "аГ ограниченные операторы в >5* /¡Р^«-*"' Л»^ И

выполняется неравенство

'•■•"■ Vя* . ' " '' '

Где число ¿я,! ' определено .равенством (9). Тогда полиномиальный операторный пучок. .•..■ .*: ' ' \

.. ; ^ : '■..; "■ ч принадлежит классу '

Слав е 1У .работа поевя^ене исследованию раз реви мости крае-.. в„их задач для ояерзторво-диффвренциаяьвюс уравнений второго, третьего и четвертого порядке и изучение спектральных ..свойств соответствующих полиномиальных пучков. ••., В § Т.1У рассмотрена задача

РШШ+А*вш Цшм- т

иМ-Ти'Со) '•;:■ .. '.. .; • (»)

где операгоры; ^^

Те к ""

для прожога кзйог^^^^ • , 'Л"

Пусть С-АтТА*<? *№>Ю * . тогда

тератор , определенный выражение«

91и ~-и"+А1и, ив

осуществляет нзоморфизи ыеяду пространствами и

и поэтому конечно число-

!1Аи'1 ■ ППиГ1

Доказано, чю ». «о = ^ ?огда и торко тогда,'

гогдо Ке С>0 .

общей"саучво

I //л, при , •

. Доказана следующая тзсремэ о раэреиаыостк задачи (18), (13).

Теод^ 5.1,1^ (Оо), АркЦкьУЯМ

¿; вьшолакетея неравенство.

(21)

Тогда дли лг бсго -?к)£ задача (13), (15) 1Ш?ех

адиЕОявешгое решеш> т . » прыгаем ' -

У/й//,., . .

Ю

Анзлогачизя теоргмь приведена к' для.задачи (18), (20). 2 ^ ЗЛЛУ ксследозз:?о суцосиовааиз голокср}ных' в сектора

$о(= / 0Ы<Я/г} ре цени Г! краевой задачи

(16)-(19).

. В § 4.1.1У 'получены теоремы о гладких реве ни ях уразвечза (18) с однии из краевых условий иСо}=о , и'(°)-о №.(¿"(<>1=1

Б § 5.1.1У изучена полнота цепочек системы собствен.1..:* и арисоедиванных элементов пучка

в пространстве , отвечающей краевой задаче

Р(№)«Щ~0 (22)

и (о)- Ти'ьну, (гз)

Отметим, что если — , } ~ систока корневых ьекторм

пучка РС'Л) , отвечэадзя собственному значению .Я* то элементарные решения

3 куле удовлек: ряют условию

Доказана '

Теореыэ 16Л.1У. Пусть / ъА*>сЕ(с>°}.) ~

А,А-1(т*), Л" ^ЛгГШШ

в выполняется нар^улт-ьо (21). То?;:а е:с-

теыэ полна в л^

Из а гей модема .-получше«Сп о яоавьте е.1«->»-.г<?;.'лк.

шений. Далее указ8ны условия норкольной разрешимости задачи 8), (19).

В § 2ЛУ и § ЗЛУ,используя метода главы I и П, получены ¡ловвя разрешимости краевых зздач для олерэторно-дй#еренци8пь- ■ а уравнений третьего и четвертого порядка.. Например, рассмотрена крзеввя звзачз

■до I £ К , 1-0,1,1,3 .

В частности, при о » / икеет место

Те о реи а 2. ЗЛУ.' Пусть /0- Ш1т&1*, Щ-,%))

выполняется"неравенство •

3

где , ^ = ^ , . Тогда задача (24И25) .

при. ¿ = г> , , при любом ¿к) икает единствен-

ное решение из пространства

Отмзиш, что при различных и А" также вычислены констэнты для' разрвииносги соотзетствукцих задач.

В § 2.ЗЛУ попивнз теореиз о. существовании голоморфных

в сянторе л Я/? } репений краевых задач

РЫЩиы* и (е,'ш~А иш 4 £ &ч(*}Ач10Ъ!-Ш <2б>

ИМ»* (27)

или с одннмЛ;з хрзевух усзогий; и'(с)-яо , иг(оЫо тки%)=0-Для аздачи (26), (2?) получена Те о ре к а ».ЗЛУ. Пусть /4 =

^¡¡¡¿Щ,№) а выполняется неравенство

IЫцСиЦ ¿1 *** '

где % , <» . Тогда задзЧ8

(.26), (27) при любом Щ имеет единственное

решение из пространства ." -'у; с2^.

Используя теоремы 4.5.1У и результаты главы Ш, г-1лучьна теорекэ о полноте системы корневых векторов пучка

рс*) - Л Ч-А ** 2% * я % »

отвечающих одной серки собственных значений.

Теорема 5.ЗЛУ. Пусть выполняются условия теореыы ЗЛУ при 5.(¡.г- , АС^г-^ клк

(ог.рг'(а- К, /- 2 - Тогда систем собственных и присоединенных векторов операторного пучке , отвечающих собственные значениям из сектора £ (ЗЧТ/н ) полна -в пространстве '

Результата диссертации опубликованы в следующих

яри-

1. '¿ирзоев С.С. Кратное рззлокзние по части собственных и.щ соединенных векторов полиномиальных операторных пучкоз, // В об. Спектральная теория операторов, Баку, Элы. - 197?. -е.177-178.

2. Иирзоев 0.С. О корректной рвзреиимости краевой зздзчк для оперзторно-ди^ерзнциальншс уравнений нечеткого аор^се. // В сб. СпвкгрвдышЕ вшшз-операторов, Баку, азд-во А ГУ. -

1982. - 0.53-59.", ;- '- , -,- -Л,- '

3. Мирзоев С.С» Хратнаа аолназв.гчест^корневыхвекторов пол-завальных- опера тарных' пучке® .^ртзе'ргего .п&рязяс с /.орлзльнсй главной частью..// В со.ль на д ■ те орй к ' ок ра р-з,

Бзку, Блн,-1982, -

Ь. йырзоев G.G. Кратная полкота части корневых векторов поли-когамьккх операторных пучков. // Б кн. SPITHAL TH£ORit

втен сети ришсАтгом, рш-

SCIENTIFIC. PmiSHfXS-, YAASAif /Ш, f>. 343-346.

5. Мирзсев С.С. О кратной полноте часта собственных и присоединенных векторов полиномиальных операторных пучков, отвечающих креавыи задачам..-на полуоси.// Функциональный анализ . и его привокен!!.-;, I9S3, г.Г?, вьш.2. - 0.84-85.*

6. Мкозоев С,С. Об условиях коррвкгаз*" ^зз^яйкости краевых задач для оаераторно-диффэренцио;ш:илл::звиеяай.- // ДАН СССР., - IS83, т.273, К» 2. - С.2Э2-2Э5.

?. Мирзоев С.С, 0 корректной раарвеиноехк краевых задач для • опчраторйз-диффорзнцйаяькых уравнений челного порядка, // В ей. Спектральная теория' дафЬеревцаальвых операторов. —. Баку , Пзд-во АГУ. - 1984. 'с.85-92.

8. Мирзоав С.С. 0 факторизации операторных пучков.// В кн. Прикладное задачи Функцвонэльного- анализа. - £эку,.изд-во АГУ. -198(3. - C.G2-70. ' . ' ' . •

Э.-.Гэоымов М.Г., Ымрзоег С.С. О рэзрецйиости начально-краевых задач для' опгр8торно-йиффереациэпъных уравнеяий. //УШ, -1905, fi А, i.«. - с.204. . . .

10. Миргоев С.С. Об обобщенных решениях краевых задач для опе-раторно-ди^оренциалькых уравнений. //В об. Прикладные вопросы функционального анализа. ~ Баку, изд-во АГЗГ. -- 1987. - o.VI-79. ' - " ' ' '' ' '

J.I. Уирзоев С.С. О полнота' члякеияериых ревеняЯ краевых задач для оП8р8чорно-?г5Фвреяциа.'Х5Вых уравнений; // Tf сб.Иссле-^ .-"•' доъэнио подворий ланвйше оперэ?ороэ.. - Взку, -ЙЭД-ВО Ш." . - 1987. - с.61-68. ■ :

12. fopsoes С.С. О pe;»peuK2ucvi кроезых задач для onsr.ascpuc-ДИ&ервЬЦКЭГ.ЬНЧХ 9 ЗЗСОЗКХ ¡ТрОСарЗНСГВЭх/// 3

05. Д'Л'ейиуе 'операторы й ::х пр/дохен-ля. - , ЛГУ.

13. ^ирзовв С.С. О суцествовение голоморфных решений одного класса краевых задач для оперзторно-дифференциалъньк урэв нений четвертого порядка. // Изв.АН Ä3.QCP. - 1ЭВ8, te 5-6.

- с.147-152. ,

14. ¡iüp308B С.С. О корректной разрешимости краевых звдвч для - эллиптических уравнений в гильбертовом пространстве. //

ДАВ Ü3.CCÍ, - 1990, тЛШ, Й I. - с.17-20.

15. Мирзоев С.С. О корректной разрешимости краевк; задсч для операюрво-гифферевдиальвах уравнений в гильС->говоы пространстве. И Деп. ВИНИТИ, 05.06.91. К> 26708-: :!, - .1991.

- 46с.

16. Гасыюв М.Г., ЬСирзоев G.C. 0 разрешимости крэевих задач для операторно-дифференцкэльных уравнений эллиптического типа второго порядка. //Дифференциальные урагнения,-1992, т.28, }ё 4. - с.651-661.

17. Мкрзоев С.С, 0 разрешимости одной краевой задачи для опе-рагорно-дифференциальных уравнений второго порядка. // Весгния Бакинского Университета, сер.фйз.мгз.наук. - 1993,

. - 0.57-65,

- ¿1) r

mRZOEV SAEIR SOLTANAGA Ogly

2UESTI0NS OP THE THEORY OF SOLVABILITY OP EOUNDAEY VAIUE'TROBLQE ?0R OPERATQE-DHOTMTIA1 EOlIATIOiTS Hi HUBERT SPACE AND RELATED

SPECTBAL PROBLEMS

Thesis for the Degree of Doctor ot Sciences in Physics and Mathematics by Specialities 01-01-01 - Mathematical Analysis and 01.01 „02 - Differential Equations '••"•

svmm

The dissertation ia devoted to the Investigation of solvability oi boundary value probler.r- crsrator-differential equations in Hllbert spacs and to the . „v- .„Igatlon of spectral properties oi corresponding polynomial operator bundles. ■

In the dissertation the following principal results are obtained:

n Exact -conditions of solvability of boundary' value problems for operator-differential eqiiatioiis on the whole -axis, semi-axis and on a finite segment are found. All the conditions or solvability arq expressed only in terms of coefficients of given equations, "he existence of regular, smooth, generalized and hoiomorphlc solutions ia being investigated;

2) The connections between the solvability conditions and tta norms of operators of intermediate derivatives are indicated end a method of finding exact values of this norms in various spaces is given;

3) The conditions of completeness of a part of root vectors in spaces of traces, conditions of completeness of elementary solutions, conditions of Abel suitability of expansions In root vectors and oi factorisation of operator bundles are obtained;

4) The conditions of solvability of operator-differential equations with boundary conditions containing linear operators are obtained;

5) The obvtainod results are applied to t'?.e solvability o." boundary vilue problem for operator-differential equations of second,' t5\ird, fourth order and. the spectral properties oi corresponding polynomial operator bundles iire studied.

' МЙРЗЭЛШ САВИР СОЛШАГД ОГЛУ

Ьалборт фозасшда оператор-дафвреясиал тэнликлэр у.чун сэрЬэд шсэлэлэршин Ьэлл олунмасы бэ онунла баглы спектрал мэсэ-лзлэр. ;

X У Л А С 9

Диссертаси^а яш абстракт ЬшФерт фозаларыяда опурато->-ди-фзренсиал тэнликлэр учун годудмун сэрЬэд мэсэлэлэришл Ьэл олунмасы вэ у^гун олератор-дэстэлэрдя спектрал хассги уяяш елрэнилмэо%нэ Ьэср олущувдур.

Диссертаси^ада авагвдакы эсас нэтлчэлэр алыамышдар.

1 ,Бугун охда сперртср дифереясяйл тэяликлэргл, зкрвдохдз вэ соплу парчада ясэ оклар учун го^улмуш сэрЬэд мзсзлэяэряняя Ьэллшшн аар-кты вэ декаизли^и учуп бшшваситз тэнли^яи эмсал-ла'ры аяэ яфадз олукая дэгкг газртлэр тапылмкшднр. Гозуямуш мэ~ сэлэлэр учуй р'эгул^ар,. Ьаглар, умуг/.илзет.шд вэ Ьодоморф Ьэллэрия сарлыгы гэдгиг едалики,'дар.

2 .Операгор-днфзреясиал тэнляклэр учгн го^улмуы сэрЬэд мэ-еэлэлэринян Ьэлл алгнт юртлэршши аралнг терзиэ операгорла-раныя дормалардшн мгзЗЗэи фэзаларда дэгкг ги^иэтлэри илз ала-гэси кесгэршыиш вз Ьэыш корглаларыя дэгиг гизмэтиняа '¿апкл-шсы учуя метод шралмивдяр.

3.Оператор дэстэлзрЕн::ыэхсуси вэ гошш олемечгдар?1ч«-! бяр Ьассэсянад кшлыгы, елемеягар Ьэдлгрин гамлкгы, киксу ся вэ гопма елемеатлэр узрэ азрклш.гинЛбел ш"нада чэмлгпи^оа вэ _ оператор дэстэдэрин факторязаси^а олунмасн тартлэря татшшш-дар. 1 - ',

4,Икянчя гортиб оператор-даференсиал .■Тэшиклэр учу и го^ул-муш .сэрЬэд ыэсэласиаия, сэрЬэд шэртиаэ хэтти оператор д/иал оддугда, дэгиг Ьэлл одуима шэртлэра тэпшмнпщнр. . \

б.Алшшш нэтячздэр якиячи, учуйчу но дэрдукчг тсртео, опера гор-диференсгал,.тэшшклзря вэ у^гун оператор' дас^элэрия спектрал хассэл&рйлвя «дрзнкжэедаэ тэтбиг. вдвл?д«»дар^ . . ;; '