Восстановление характеристик сильных неоднородностей по данным акустического рассеяния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ O.I. Постановка задачи и ее актуальность

§ 0.2. Краткий обзор литературы

§ 0.3. Краткое содержание диссертации по

главам

ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ СКАЛЯРНЫХ ВОЛН В АКУСТИКЕ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ

ПОЛУЧЕНИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ . II

§ I.I. Альтернативные формы основного уравнения рассеяния скалярной волны . II

§ 1.2. Использование набора облучающих полей при решении обратных задач рассеяния (борновское приближение)

§ 1.3. Решение обратной задачи в Фурье-пространстве при облучении области рассеяния плоской волной

§ 1.4. Обратная задача акустического рассеяния на неоднородности плотности и показателя преломления среды

§ 1.5. Особенности решения обратной задачи рефракции в плоских волноводах переменной глубины

§ 1.6. Конечномерная дискретизация основных уравнений

§ 1.7. Возможная неадекватность восстановления сильного рассеивателя и ее устранение при использовании избыточных данных

§ 1.8. Основные результаты главы I

ГЛАВА П. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ И МЕТОДА УСРЕДНЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ

СКАЛЯРНЫХ ВОЛН. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ

§ 2.1. Итерационные алгоритмы решения обратных задач с ограниченной областью сходимости

§ 2.2. Итерационный алгоритм решения обратных задач с расширенной областью сходимости

§ 2.4. Использование итерационного алгоритма при решении задачи в Фурье-пространстве (дальняя зона)

§ 2.5. Уменьшение влияния многократного рассеяния методом усреднения

§ 2.6. Регуляризация решения обратных задач для случая использования при их решении итерационных алгоритмов и метода усреднения

§ 2.7. Основные результаты главы П

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

РАССЕЯНИЯ СКАЛЯРНЫХ ВОЛН

§ 3.1. Описание модели и проверяемые соотношения

§ 3.2. Результаты моделирования с использованием итерационных алгоритмов с ограниченной областью сходимости

§ 3.3. Численный эксперимент для случая использования при решении обратной задачи итерационного алгоритма с расширенной областью сходимости

§ 3.4. Модельный эксперимент с использованием метода усреднения

§ 3.5. Выводы по главе Ш

§ 0.1. Постановка задачи и ее актуальность

Необходимость решения обратных задач рассеяния и рефракции связана с проблемой определения характеристик неоднородной среды (таких, например, как плотность, скорость распространения возмущения) по результатам наблюдения возмущения, прошедшего через эту среду.

Диапазон практического применения методов решения таких задач чрезвычайно широк. Они возникают в оптике, ядерной физике, радиолокации, геофизике и др. В акустике можно вьщелить три наиболее значительные области их применения:

1. Медицинская диагностика (интроскопия);

2. Неразрушающий контроль (дефектоскопия);

3. Океанология и гидроакустика.

Постановка обратной задачи рассеяния тесно связана с более простой задачей - обратной задачей излучения, которая заключается в восстановлении вида источников по излучаемому ими полю и сводится к решению интегрального уравнения <&редгольма 1-го рода: где Q - функция Грина задачи, а 5 неизвестные источники наблюдаемого поля tl .

Помимо присущей всем задачам подобного рода некорректности, важной ее особенностью является существование неизлучающих конфигураций источников, под которыми подразумевают такие конфигурации, поле которых тождественно равно нулю вне некоторой финитной области, хотя и отличается от нуля внутри нее. Этим свойством обладают источники, удовлетворяющие соотношению /I/ где - любая дважды дифференцируемая функция, отличная от нуля в конечной области пространства, \С0 - волновое число в невозмущенной среде.

Отметим, что подобная ситуация, когда часть возбужденных в рассеивателе источников ненаблюдаема, может возникнуть даже в случае рассмотрения задачи в борновеком приближении. Данное обстоятельство существенно осложняет решение задачи. Частично устранить указанную неоднозначность можно, если использовать информацию, полученную при различном характере облучающих полей и (или) рабочих частот излучателя.

Учет многократности процесса перерассеяния падающей на рас-сеиватель волны делает задачу определения параметров рассеивате-ля (например, коэффициента преломления среды) нелинейной по иско' мому параметру, что вносит дополнительные существенные трудности в ее решение. При использовании множества рабочих частот и конфигураций источников первичного поля возникает вообще говоря континуальная (зависящая от частоты и параметров, описывающих первичные источники и пробегающих континуум значений) система нелинейных интегральных уравнений, решение которой пока отсутствует. Кроме того, обратная задача рассеяния в конечной полосе частот представляет собой классический пример некорректной задачи (так как при ее решении рассматриваются промежуточные обратные задачи излучения), и ее рассмотрение требует тех или иных методов регуляризации.

В настоящее время достигнут значительный прогресс в решении обратной задачи рассеяния в борновском приближении. Однако приближение однократного рассеяния позволяет с удовлетворительной точностью получать решение задачи только для достаточно слабых рассеивателей и в отсутствие какой-либо фокусировки перерассеянного рассеивателем поля, что исключает из рассмотрения многие практически интересные задачи. Все это делает чрезвычайно актуальной разработку методов решения, учитывающих многократность перерассеяния.

В настоящее время известно довольно много итерационных (например, /2-8/) алгоритмов, линеаризующих на каждом шаге обратную задачу рассеяния. Однако они обладают существенным недостатком - весьма ограниченной областью применимости.

Все сказанное выше предполагало разрешение обратной задачи рассеяния относительно одного неизвестного параметра среды. Но, как показывает, например, разработка и применение томографических устройств в медицине, не всегда достаточно знать, как изменяется в исследуемом объекте показатель преломления (или скорость распространения возмущения), иногда необходимы также сведения об изменении плотности среды. Это предполагает решение задачи относительно двух неизвестных функций, что создает дополнительные сложности. Имеющиеся в литературе сведения по решению таких задач чрезвычайно скупы.

Основными аспектами решения обратных задач рассеяния и рефракции, рассмотренными в представляемой работе, являются:

- использование при решении задачи совокупности облучающих полей произвольной структуры, а также набора рабочих частот;

- снижение за счет этого неустойчивости и устранение некоторых видов неоднозначности решения обратных задач;

- особенности решения задачи для случая, когда рассеиватель описывается двумя параметрами - плотностью и скоростью распространения возмущения - и случая решения задачи в плоском волноводе переменной глубины;

- разработка и исследование новых итерационных алгоритмов, линеаризующих на каждом этапе решение обратной задачи с учетом многократного перерассеяния и работоспособных в случае возникновения фокусировок и каустик внутри рассеивателя;

- проверка основных исследованных теоретических положений с помощью модельного эксперимента на ЭВМ.

§ О.Р. Краткий обзор литературы

Исторически, видимо, первым упомянул в 80-х годах прошлого столетия об обратной задаче Рэлей /9,10/, в связи с рассмотрением вопроса возможности восстановления распределения плотности в неоднородной струне на основе измерения частоты ее колебаний. Начало же достаточно строгого математического исследования обратных задач было начато лишь в начале 50-х годов нашего столетия. Мощный стимул этому дало решение обратных задач рассеяния на основе анализа уравнения Шредингера. Первые задачи рассматриваемого класса исследовались в квантовой теории как задачи восстановления рассеивающего потенциала для случаев одномерной и сферически симметричной задачи. Систематическое исследование этой проблемы проводилось И.М.Гельфандом, Б.М.Левитаном,М.Г.Крей-ном, В.А.Марченко /1Т-14/. Видное место в рассмотрении обратной задачи восстановления рассеивающего потенциала в трехмерном случае занимают также работы Л.Д.Фаддеева (например, /15/) и Р.Ньютона (например, /16/.).

Важным этапом в решении обратных задач рассеяния и рефракции явилось применение созданной А.Н.Тихоновым теории построения регуляризованного решения некорректных задач /17/. Кроме того, данное время характеризуется разработкой и введением в действие достаточно мощной вычислительной техники, которая необходима для решения практически интересных задач данного класса в акустике и радиофизике.

Имеющаяся в настоящий момент литература по обратным задачам рассеяния весьма разнородна как по проблемам, которые в ней решаются, так и по строгости их изложения. Поэтов, видимо, имеет смысл не давать отдельного обзора литературы, а представлять работы в соответствующих местах по тексту. Здесь отметим только, что всю литературу по рассматриваемому вопросу можно грубо разделить на четыре группы:

- к первой из них относятся работы, посвященные общим проблемам, связанным с решением обратных задач, таким как: постановка задачи, существование и единственность решения и т.п. (например, /18-20/);

- вторая, достаточно многочисленная группа включает работы, рассматривающие решение задачи в приближении Борна или Рытова как с теоретической, так и с экспериментальной точки зрения (например, /21-27/);

- третья группа работ рассматривает задачу с учетом многократности процесса перерассеяния падающей на рассеиватель волны (например, /6-9, 28-32/);

- к четвертой, очень многочисленной группе, относятся работы, в которых рассматривается круг вопросов, связанных с некорректностью обратных задач и их регуляризацией (например,/33-38/).

Имеется также обширнейший классэкспериментальных работ,преследующих чисто прикладные задачи разработки медицинских систем интроскопии, основанных на элементарных волновых соображениях фазировки, сканирования и временного стробирования, но отличающихся весьма высоким уровнем технической реализации.

Наиболее близкими к данной диссертационной работе по постановке задачи и рассматриваемому пути ее решения из известных нам работ являются статьи Деванея и др. /I, 39, 40/ и Джонсона и др. /6-8, 4Т/. В /I, 39/ рассматривается решение обратной задачи в приближении Борна, однако в появившейся в последнее время работе /40/ обсуждается вопрос уточнения этого приближения и рассматривается проблема определения малой поправки к априорно известному распределению рассеивающего потенциала в области неоднородности. Большое внимание в работах этого автора уделяется также вопросам неоднозначности решения, связанной с существованием неизлучающих конфигураций вторичных источников в области рассеяния. Отметим, что вопросы единственности решения обратных задач рассматриваются уже на протяжении длительного периода (например, работа Ю.М.Березанского /Т8/), однако существующий в настоящее время ответ на этот вопрос не вполне может удовлетворить практические нужды.

В появившихся в самое последнее время работах /6-8/ рассматривается проблема построения достаточно эффективных алгоритмов решения обратных задач рассеяния. Предлагаемый в них метод последовательных приближений весьма близок,хотя и не тождественен, исследовавшемуся нами ранее в /42/ алгоритму. В диссертационной работе он описан как один из итерационных процессов с ограниченной областью сходимости.

Более подробно данные работы будут обсуждены в соответствующих разделах диссертации.

§ 0.3. Краткое содержание диссертации по главам

Данная диссертация состоит из трех глав, каждая из которых в свою очередь разбита на отдельные параграфы, введения и заключения.

В первой главе диссертации теоретически рассматриваются вопросы применения при решении обратных задач рассеяния и рефракции множества (набора) облучающих полей произвольной структуры для случаев борновского приближения и решения с учетом многократности процесса перерассеяния падающей на рассеиватель волны. Показано, что рассматриваемые задачи сводятся к решению основного уравнения рассеяния - уравнения типа Липпмана-Швингера. Рассматривается возможность решения задачи в Фурье-пространстве для случая борновского приближения и случая облучения рассеивателя плоской волной с учетом многократности перерассеяния.

Во второй главе разрабатываются и теоретически исследуются характеристики предлагаемых итерационных алгоритмов решения уравнения, получаемого из уравнения Липпмана-Швингера. Приводится алгоритм, имеющий регулируемую область сходимости, который основан на модернизации в процессе решения функции Грина задачи. Дается обоснование и делается оценка точности решения обратной задачи методом усреднения. Рассматриваются некоторые вопросы,связанные с регуляризацией решения задачи.

В третьей главе дается описание моделей, использованных в численном эксперименте. Приводятся результаты проверки всех основных алгоритмов решения обратной задачи рассеяния, предложенных во второй главе.

Каждая глава завершается краткими выводами.

В заключении приводятся основные результаты работы.

В конце работы приводится список использованной при ее написании литературы.

- II

Основные результаты модельного эксперимента для данной задачи представлены в таблице 3.3. Теоретическое значение относительной ошибки определения , приведенное в этой таблице, соответствует

М Д п г» АЦ п сигн иГ17-гт-г.- .

Г- ^ftiflx где 1 - v ~ - величина обусловленности соответственно бор

Awim £ , новской задачи ( I ) или задачи после прохождения Lj итераций алгоритма (2.13) (Г ), а ~ максимальное и минимальное значения собственных чисел соответствующей задачи.

- 125 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обратные задачи рассеяния и рефракции встречаются во многих практических областях,и их решению в последние годы уделяется большое внимание. Как отмечается в /99/, применение ультразвуковой томографии может быть очень полезно, например, в таких областях медицины как кардиология, где весьма сложно определить другими методами характер отклонений в работе клапанов; изучение вегетативной системы и процесса образования тромбов; изучение динамики потока крови в сосудах и др. Причем наиболее продуктивным с точки зрения получения информации является сочетание методов ультразвуковой и рентгеновской томографии. Несмотря на это, рассмотрение подобных задач связано с целым рядом нерешенных проблем. В настоящий момент лишь решение обратных задач в борновском приближении(и в несколько меньшей степени ры-товском) достаточно хорошо разработано в теории и на практике. Однако это приближение исключает из рассмотрения сильно рассеивающие структуры и такие часто встречающиеся в практике случаи, как фокусировка рассеянного поля и образование каустик внутри рассеивателя при слабых рассеивателях.

Как отмечается, например, в /56/ дальнейший прогресс такой важнейшей области применения обратных задач, как томография, связан именно с развитием дифракционного, а не лучевого, метода их решения. Более того, в акустической томографии это наиболее актуально, поскольку звук по сравнению с рентгеновским излучением при распространении в неоднородной среде испытывает существенно большие преломление и дифракцию.

Аналогично обстоит дело с решением обратных задач и в других практических областях, таких как, например, океанология, дефектоскопия.

Учет многократности процесса перерассеяния падающей на рассеиватель волны делает обратную задачу нелинейной, что существенно затрудняет ее решение. В этой ситуации большое значение приобретает разработка различных методов, позволяющих свести задачу к решению последовательности линейных подзадач.

Важнейшим при решении обратных задач является вопрос однозначности восстановления характеристик рассеивателя. Имеющийся в настоящее время ответ на него не может удовлетворить практические нужды, так как подразумевает неограниченную информативность эксперимента.

В диссертационной работе предпринята попытка решить некоторые вопросы, стоящие на пути практического применения численных решений обратных задач рассеяния и рефракции волн в акустике с учетом процессов многократного перерассеяния падающей на неоднородность волны.

В ней получены следующие основные результаты.

1. Показано, что аналогично борновскокгу случаю, при решении обратной задачи с учетом многократного перерассеяния, сводящейся к рассмотрению системы дискретизованных аналогов уравнений типа Липпмана-Швингера, необходимая информация получается лишь при измерении рассеянного поля на различных частотах и при различных конфигурациях источников первичного излучения.

2. Предложен и исследован новый итерационный процесс, обладающий регулируемой областью сходимости и позволяющий решать с его помощью обратные задачи, для которых характерны сильные рас-сеиватели и возможность фокусировки рассеянного поля в области рассеивателя.

- 127

3. Обнаружено возникновение для сильных рассеивателей неоднозначности решения дискретной обратной задачи рассеяния в экспериментах, обеспечивающих однозначное решение в борновском приближении. Указанное явление связано с неразличимостью таких сильных рассеивателей по полю в конечном числе точек приема. Предложен возможный путь устранения неоднозначности через увеличение числа экспериментов.

4. Даны оценки точности восстановления рассеивателя методом усреднения, позволяющим уменьшить влияние многократного перерассеяния при решении обратной задачи.

5. Проведен ряд машинных экспериментов по решению прямых и обратных модельных задач рассеяния. В них решались обратные задачи для сильных рассеивателей, когда борновское приближение не только не является удовлетворительным, но и борновский ряд в целом расходится.

Модельная проверка проведена для итерационных алгоритмов как с ограниченной, так и с регулируемой областью сходимости. Подтверждена возможность решения обратных задач при многократном превышении рассеянного поля над падающим (фокусировка).

На конкретных примерах показано возникновение ложных рассеивателей и возможность однозначного решения задачи при расширении объема экспериментальных данных за счет увеличения числа рабочих частот и конфигураций излучающей апертуры.

6. Показано, что предложенные методы последовательных приближений достаточно устойчивы по отношению к воздействию аддитивной гауссовой помехи и обладают высокой эффективностью, допуская применение быстрых алгоритмов.

В результате проведения машинного эксперимента были подтверждены основные полученные в работе теоретические оценки.

1. Deo-cuie^ A. J. tJonunCo^chess ш ikриМем, J. M ctih. Ptys., V. 13, p.d5te-l55d.

2. Шафер P.У., Mepcepo P.M., Ричарде M.A. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений. ТИИЭР, 1981, т.69, № 4, с.34-55.

3. Fiosset RT. Foгта£ solution о/ Сп\хмер*ой&щ. J. Мaih. Phys., 1969, V.lo, aWo, p. 18191*23.

4. Ptosset R.T. Formal solution ojf inverse scaLie^unopto^.-j. mq^A. pbys.jm* vJ?,Mo9pjm-jm.

5. RogetA. Ъ&ШьрипаНоп Ckf-ihe. index, pbofifx, of.a diedednc piaie seccUeting Mcl . —1.ciutz fJoie6

6. PhtfS., 1942, v.#5\ p.Soo-2oe.

7. Johnson S.A.,Ttac^ M.L. Jrvoekse bcaiiefun^ so^dions

8. Ol StV>c &ascs, muHijvte Source9 moment /ne{ho<?/

9. Bxti I: TUo^. Шъабог). Jmag. ,1983, V. p. 661-5*5.

10. Tcac^ М.Ь., Johnson S.4. 3nvebie scaiiebw^ solutions ёц a. sCvie last's, MuiiipJe Souicl> momeni. methodfWl: НитеЫса? wathailons. — UU^cason.

11. ШЗ, V.5, л/*6, p.3K-3Q£. т .8. M.J., StenaekR

12. Jm>e*.$e scaii&ung Qo&jiions О srVic ictzii, гпитрЬ source, momehi iweiloal — Pa^tiM: eti^obtilims —

13. Uthason. Jwy., J.9S4, *69 aP49 p. Job-doe.

14. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980.-408 с.- 129

15. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: 0 редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов.радио, 1979, - 272 с.

16. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, серия математическая, 1951, т.15, с.309-360.

17. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка. Докл. АН СССР, 1950, т.72, № 3, с.457-460.

18. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля. Докл. АН СССР, 1951, т.76, № I, с.21-24.

19. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной струны. -Докл. АН СССР, 1952, т.82, № 5, с.669-672.

20. Тихонов A.H. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. Докл. АН СССР, 1963, т.151, № 3,с.501-504.

21. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера. Труды Моск. Матем. Об-ва, 1958, т.7, - 62с.

22. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982, - 88 с.- 130

23. Ъе Facio 6. Rufous wiutis on inverse soutse ar)d inverse sca4i&uncj ilneo^. — "ftetf: Ptojjt.Quarit. blondestbuctiixi. Eoxxt. Ptoc. Alt Fatce/beSehce Adtr. Res. Pfcoj. Agencyj Syrup. , &ou£ole&, Goto, 2-7 v. 4'.' A/etd* Yotlc; dorJon, 1Q&£9о). M

24. Woi^E. Th^ee dtrnehStonai: si^ctu'te oleiekm*naiion o| 5>ег*1-{ыь$ра>а>,Г)Ь oSjecU ^tow olaia. — Opt. Com/vun., 4969, v.l9

25. Cohi-Vi WM. Compubdbnat ^econgitucicon of

26. Scatie/uncj oijecis $гот hoiogbGwiS. —ZOpt.Soc.p.306-3^.

27. Сол,£еъ W. H., Ptn-САбл Ho Qecon^iiueiion of inhoynooeneous scaiieSuyiQ oijecis foam hoPotytarm.v. ft, A^i, p.lGZ-d4&.

28. Ъат&кел. ft., /С. 2econ<d^uctiOh ofihtec cLmenuomi ^оф-аекос cnoley. seed-ie^d ttfa/oes.— Opt. Ссл^^л., , д/г?,

29. Та^Рог U.S., Hefcnaviclefc Е.л/. РоггйаЬо/ scattetihijth "^Jie ЬоЪл ОррЪожчппс&ьог), — J.Opi. Soc. Amtfv.6o9 tJ-S, P. 344-349.26. /fouej, M., Sour*ekh M., /?./{. A Qompa*u

30. Soh Both dhcl CtjioiT Q^jo'coylnnaiconS th OCoUsltC •iomo^tapk^ t — Mcowsi. Jmag. Vol.11: Ptoc. 11 ih CU. S^mp., Mehte^, Oi^; №Мац91Ш\

31. МЫ Yolk; London Ш&, р.52,5-ЪЪБ.

32. Soumekh M.y t&veh M.,Mudteb RX. AtcjotiibmSand eKpe^uimeyfta^ *ы$и11$ in acousile iomo^igl-fy using RytoV's QpfStcxirncdion.- "ICA&&P85: Ftoc.lEEE Jni. Cohf. Acous>-L.b Speech awl Qtyml

33. Process, Bosioh, Mass., , vol. СflkuTYobk, Л/.Y., p.db5-i58. .28# Bojatsk Д/.А/. Jmtefee Seaii&uhg, inverse \crnol tnueue source — 7lcous4. Jma^.

34. Mot. II: Ptoc. di-kU Jni. S^mf>.s Moh"t4.? Mag, AfeurYo-tlc ; <£опо1ог), 1Ш, р.Ш-Ы.

35. Boja^dkc /v/.Д/. LouT foecj/u&nсц inuek^t zeaUeJuwj.

36. IEEE TVa*$. Ahi. PkofOffd., vJjP-do,

37. Stone \X/.I?. 4h exaci iheo^ fot coheteni

38. OLCouzlU pftoiLno. — "Acou&L, JmaQ.1. Vct.il:mi" SleufYeblc ; iondon, №Z, p. 365-5*3.

39. Bieisiein A/., Cohen J. K. hlomYiicy/ev&ss Ly\ ihe. 1м>ел,4е souhce рЪо&Ьм in acoustics arid efeettomaanekcz, -J. MaU. P/>cj$.s49??, \л4*в ДЙ8, p. J^-^ol.

40. Sioiae . The Lbve/tle medium (ot thhomoCje-Гыои& medium famdle pboiirg) ргсоёёгм amd Closed-fotm inverse seaHe/uncj eotuiion icikc medium Stjn+hptoSbm . —Radio S&i.9 4.481,1. VAG, л1~£, р.Аоа8-4о35\

41. Лаврентьев M.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 288 с.- 132

42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 224 с.

43. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

44. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 156 с.

45. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

46. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

47. Рог£е* R.P., Detfanei* A.J. Но^гарЦ anol ike in-vetse Soutce рЪоЫem . — J. Opt. Soc. Am., Й 82, v. Л/-3, p. 52?-53o.

48. DewwmjA.J., Oti&iacj&o M.L. Упъекse ptoceofu^e 4ог ivwehie scaUe'untj vTiihiy) ikz Disi&tied-го&ие Ьогг) вррШСта&оп. P/hjs. Rev.Lett.,1953, V.54, р.&ЪЧ-Мо.

49. Johnson S.A., Ste^cje^F., Ш1сox C., Bali J^Bebcjgteh M.3. Wave etj/uaiioms av)ol iSolutions4ог So/i i issue. — "Моиsi. Jryiag1. voi. : fVoc., nil1. AfetCf Yo^ic; itolndoft,

50. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Итерационный алгоритм решения обратной задачи рассеяния. Вестн.Моск.ун-та, Физ., Астрон., 1982, т.23, №6, с.87-89.

51. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. - 496 с.

52. Буров В.А., Горюнов А.А. Статистические оценки в обратной задаче рассеяния скалярных волн. Вестн.Моск.ун-та. Физ.,- 133

53. Астрон., 1977, т.18, № б, с.95-99.

54. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

55. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 392 с.

56. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981, т.2. - 320 с.

57. Gv&timils !£., Baket q.A. Efos-tdc mive scalleting caicuCations, ike Both Segues one/ ike rnahux vb-^ocLiomt Pade Qpptoximant method, — "Reir. Рсо^г. Quant. sloncte&i'wciLve Evai.Pboc. 8ih

58. At* Potce/j)ecfenct Aok Res.Pfcoj. Agency S^vip., London, 1Ш, р.Ш-dLig.

59. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. M.: Наука, 1975. -- 304 с.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. - 832 с.

61. Мюллер Р.К., Кавех М., Уэйд Г. Реконструктивная томографияи ее применение в ультразвуковой технике. ТШЭР, 1979, т.67, № 4, с.146-170.

62. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1981, т.1. - 280 с.

63. Lam JXfC., Set)midi W/eirnM /■/.$., V/ouk Д. The Ъ-Ъ (ksibiiutlon of Soutees of optical scaite

64. Hino, Cornpuiecl /taw £ory)p£e*-amp&lucle ^алola-U.-Can. J. РЦ. d№, V.54, №9,p. 132,5-19*6. t54. lee H., \/Jade Resolution fot images from

65. Ftesvet ox. Ftouunhofek. d$baciton vsiy><j FPT—

66. E£ Tkams. on Sonics. and У&Ьаяоп., v. su-&9, л/£5, p.iS±.

67. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

68. ТИИЭР тем.выпуск Реконструктивная вычислительная томография. ТИИЭР, 1983, т.71, № 3. - 192 с.

69. Горюнов А.А. Теоретические вопросы оптимальной локации. -Дис., канд.физ.-мат.наук. М., 1977. - 137 с.

70. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

71. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратная задача акустического рассеяния на неоднородностях плотности и показателя преломления среды. М., 1983. - 4 с. (Препринт/ Физ.фак. МГУ им. М.В.Ломоносова: № 12/1983).

72. Келлер Дж.Б., Пападакис Дж.С. Распространение волн и подводная акустика. М.: Мир, 1980. - 232 с.

73. Сасковец А.В. Особенности решения обратной задачи рефракции в плоских волноводах переменной глубины. Вестн.Моск. ун-та. Физ., Астрон., 1984, т. 25, №2, с. 87-89.

74. Me Davuet S.T. Mode воир-Hlng due ~to Inietaction кritk -tkz. Seaieol. — J. Acousi. Sex:. Am., v.%, a/53, p. 916-923.

75. Belies A., Topped F.D. Сои^-Ы. rnoole ana&%L& ofjmuZtifa tcucjh зиъ/оее scaU&u'ng, — J. Acou&'k.

76. Soc. Am,, 4979, V.S6, л/£3, р.Ш-8£6.

77. Вдовичева H.K., Фикс И.Ш., Шершевский И.А. Расчет характеристик звуковых полей в нерегулярных волноводах модифицированным методом поперечных сечений. Горький, 1983. - 34 с.- 135

78. Препринт № 72/ Инст. Приклада, Физ. АН СССР).

79. Огура X., Иидзука К. Голографическая матрица и применение ее в новом типе радиолокационных устройств. ТИИЭР,1973, т.61, № 7, с.282-283.

80. Иидзука К., Огура X., Иен Дж.Л., Нгуэн Ван Хай, Видмарк Дж. Свойства голографической матрицы РЛС. ТИИЭР, 1974, т.62, № 12, с.123-124.

81. Иидзука К., Огура X., Янь Дж.Л., Нгуэн Ван Хай, Уидмарк Дж.Р. Радиолокатор на базе геолографической матрицы. ТИИЭР, 1976, т.64, К* 10, с.45-58.

82. Огура X., Фукуока С. Формирование изображений двумерных целей посредством голографической матрицы. ТИИЭР, 1976, т.64, № 3, с.74-76.

83. Огура X., Ёсида Я., Сома Т. Формирование изображений двумерных целей посредством голографической матрицы (ультразвуковой эксперимент). ТИИЭР, 1978, т.66, № 10, с.220--221.

84. Накаяма Дз., Огура X., Фудзивара М. Многочастотная голо-графическая матрица и ее приложение к формированию изображений двумерных объектов. ТИИЭР, 1978, т.66, № 10,с.222-223.

85. Накаяма Дз., Огура X., Миясита Т., Сибаяма Т. Формирование двумерных изображений с помощью многочастотной голографической матрицы (ультразвуковой эксперимент). ТИИЭР,1979, т.67, № 12, с.100-102.

86. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 432 с.73. о' ЪогтевЕ М.5 Mitt&l Quantitative iloadgond vii

87. Ъавогис Sacksca-itek; An аьръоьсь io honde^ac-■live Ыо-iuailon in ocouszlqq dig inhomoger)eGu&mcde^aes. — J. Af>f>l. Rhys., 49&L, v. 5Z, , p. io5G-lo65.

88. Kennett Дloiet Resolution QnaBibis <$ог disc-XzLe Systems, —fyeophys. J". R.Asit. Soc.,fi/s53, p. НЪ -k&S.

89. Сороко Л.М. Принцип максимума энтропии и его применение для решения обратных задач. Физ. Элемент. Част, и Атом. Ядра, 1981, т.12, № 3, с.754-795.

90. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 112 с.

91. Виленкин Н.Я., Горин Е.А. и др. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1964. 424 с.

92. Bojcetskc Af.A/- Exact inverse scatteiing iheoby. -Rodio Sec., dQSi , MAG,

93. Cl)en Y.M., UuJ.Q. A Poimeticai aigotiihrn ytot

94. SofWn^ LmWtse pttoOemS of Ъяо- dimensionaliOm>e ecjfxaiions. — J. Compul. Phys.9 4925, V. 5o, p. 493-£o#.

95. Буров В.A., Горюнов А.А. Собственные функции операторов распространения. Вестн.Моск.ун-та. Физ., Астрон., 1976, т.17, № 6, с.728-734.

96. Канторович Л.В. 0 методе Ньютона для функциональных уравнений. ДАН СССР, 1948, т.59, с.1237-1240.

97. Coer\ S., МelK.K.y АпОеРа-Сов 3XJ. Jnvebse sca^etechnique applied -io temoie ^ensth^oflayeted meoUcu. —IEEE Trans. Ard, Ptopagal, 1Ш, v.AP-29,

98. Rofl&cA. rf&uyton KanioboiHch Otitjc/uihm applied toan efittttomflftdtc indztse ptow/n, —IEEE Tkans. Atit. Ptcpagat., mi, v.AP-29, p.B3Z-2d8.

99. Байков С.В., Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Расширение области сходимости итерационного метода решения обратной задачи рефракции. Вестн. Моск. ун-та. Физ., Астрон., 1982, т.23, № б, с.22-25.

100. Соикъ Т.ft., Kaveb м., МиМя, Й.К., Rulandeb R.L. Experimental fuzutis with okfo&cuon iomo^la,pb^. -"Ш*абоп. £утр. Лее., hSvtirfrt&ahs, Lou,IQ4Q"1. Afer Y^, Л/.У., p.

101. Bates /С.М> Coftonie £., Fee fat 1С., Un ff. Y., ShatfHJ. Ыд&аЩ/ oorsbtcSleoL e&ctkoniccbElij scahmoL andfocused ultrasonic Lmcuprq System . "Uftt&Son.

102. Sywjo. Pfcoe., hletir Oilcans, ШЗ"fi/evr Yotk, rfX,

103. Sato T., Gazah Hcfuuchi M. SupekbtSouAion yttbCL$>orUt system zfStyg focused Secun illurmhcdior) and. od^cS/caic teconsLbattion. — J. Acousi. Soc. Am., p.4i4g-JdS3.

104. HoL^iemann P., Cac/vabd P. Mi^afasi echoiomoptQ-pluc imaging with Subtfacc wave acoustic ptoczssLhO. — "UUbason. Syrnp. Ptoc.y Мш Orleans, La,№9" b!w*r Yotk, MY., p.Zoo-Zob.

105. Lи Z.Q., Kaveh M., MuMek R.K- Diftaction -tomo-tf&phf bi$ih<j Seam waves : average tecohstbucti-on. ~ MbCLloh. Smag., и rJ-4, p. 95-doZ.

106. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Об оценках рассеивателей в задачах томографического типа. Тез. докл. УШ Всесоюз. симп. по дифракции и распростран, волн, Львов, 1981, т.1, с.85-88.

107. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В. Оценка рассеивателей методом усреднения в задачах томографического типа. -Вестн. Моск. ун-та, Физ., Астрон., 1982, т.23, №6, с.89-91.

108. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

109. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1968, т.2. - 504 с.

110. Ptoc. 4Z-l\\ Jnl Symp. iondon IZ-Z2 Ju^ AfoкГУог(с, /Won, p.&k%-&64.

111. Салтыков А.И., Макаренко Г.И. Программирование на языке Фортран. М.: Наука, 1977. - 56 с.

112. Системы акустического изображения: Пер. с англ. /Под ред. Уэйда. Л.: Судостроение, 1981. - 240 с.