Восстановление пространственной структуры магнитного поля солнечных активных областей в нелинейном бессиловом приближении тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи УДК 523.98

Мышьяков Иван Иванович

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛНЕЧНЫХ АКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В НЕЛИНЕЙНОМ БЕССИЛОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Специальность 01.03.03 - физика Солнца

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 и ДР Ш

14924

Иркутск-2012

005012924

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждение науки Институте солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Руденко Георгий Владимирович

Официальные оппоненты:

Файнштейн Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, ИСЗФ СО РАН, ведущий научный сотрудник

Мельников Виктор Федорович,

доктор физико-математических наук, доцент,

ГАО РАН, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН

Защита диссертации состоится « 3 » апреля 2012 г. в « » часов на заседании диссертационного совета Д.003.034.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте солнечно-земной физики Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 126а, аУя 291, ИСЗФ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСЗФ СО РАН.

Автореферат разослан «_»_2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.003.034.01 ^^

кандидат физико-математических наук В.И. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Магнитное поле Солнца оказывает существенное влияние на солнечную атмосферу и является основополагающим фактором возникновения и последующего развития активных областей. Вследствие высокой ионизации плазмы магнитное поле оказывается вмороженным, и в областях с преобладанием магнитного давления (плазменный параметр р«1) движение плазмы определяется структурой поля [1]. Всплывающий из-под уровня фотосферы магнитный поток, достаточно мощный, чтобы быть четко различимым на общем фоне спокойного Солнца и способным существенно повлиять на конвективное движение вещества, приводит к образованию солнечных пятен и новой активной области. Связанные с этими областями динамические процессы, такие как вспышки и корональные выбросы массы, могут иметь геоэффективные последствия. Источником энергии для них является магнитное поле, меняющее свою структуру и переходящее в новое равновесное состояние с меньшей энергией [2, 3]. Таким образом, информация о пространственном распределении магнитного поля необходима для понимания физической природы явлений солнечной активности и прогнозирования их развития.

Измерение солнечного магнитного поля на основе эффекта Зеемана доступно на уровне фотосферы. Оценки коронапьного магнитного поля, производимые по радионаблюдениям, трудно локализовать по высоте, кроме того, необходимо дополнительно учитывать распределение плотности и температуры плазмы [4]. В связи с этим особенно актуальной является краевая задача расчета пространственной конфигурации солнечного магнитного поля на основе фотосферных измерений.

Наиболее простым является метод потенциальной экстраполяции с использованием функции Грина [5, 6] или разложения по сферическим гармоникам [7, 8], что позволяет достаточно точно представить крупномасштабную структуру поля по всему солнечному диску. Однако над активными областями, в частности на предвспышечной стадии развития, могут существовать локализованные электрические токи, оказывающие значительное влияние на магнитное поле [9]. В потенциальном поле, бестоковом по определению, эта особенность не может быть учтена и разница между экстраполированным и реальным полем будет тем больше, чем сильнее надфотосферные токи. Также следует отметить, что при заданном граничном распределении нормальной компоненты потенциальное поле обладает наименьшей энергией, т. е. не содержит энергетических резервов, которые могут

3

быть израсходованы в той или иной форме в процессе трансформации магнитного поля без изменения граничного распределения нормальной компоненты. Таким образом, экстраполяция магнитного поля активных областей в потенциальном приближении в ряде случаев обладает ограниченной точностью.

В качестве следующего приближения для расчета магнитного поля используется класс бессиловых полей, допускающих существование электрических токов и удовлетворяющих уравнению [УхВ]=аВ. В зависимости от коэффициента пропорциональности а, называемого бессиловым параметром, класс бессиловых полей подразделяется на линейные (а-соп.^) и нелинейные (а - функция положения в пространстве) поля. Частным случаем линейного бессилового поля является потенциальное (а=0). В общем случае а=соллг задача расчета поля имеет аналитическое решение, следующее из уравнения Гельмгольца [10,11].

Нелинейные бессиловые поля дают более полное отражение реальности. С математической точки зрения основная трудность состоит в том, что для краевой задачи расчета полей такого типа нельзя построить общее аналитическое решение, поэтому используются различные методы приближенного вычисления. Кроме того, применительно к реальности, для расчета нелинейных бессиловых полей в качестве входных данных требуются векторные магнитограммы, восполняющие лишь часть граничных условий. Если ставить задачу расчета глобальной структуры солнечного магнитного поля, то для измерений в каждый момент времени доступно поле на видимой части солнечного диска. В случае отдельной активной области известным является поле на уровне фотосферы, а на остальной части границы, замыкающей изолированный объем пространства, поле недоступно для измерения. При расчете бессиловых полей на основе реальных данных, учитывая недостаточность информации о граничных условиях, можно говорить лишь о большей или меньшей степени соответствия рассчитанного поля используемой системе критериев и основных уравнений и данным наблюдений.

К основным методам расчета нелинейных бессиловых полей относятся:

- метод типа Града-Рубина [12-14];

- магнитофрикционный метод [15-17];

- метод граничного интегрирования [18,19];

- оптимизационный метод [20-23].

В настоящее время происходит активное развитие численных методов расчета нелинейных бессиловых полей [24-26]. В диссертации проблема расчета про-

странственной структуры солнечного магнитного поля активных областей решается с помощью метода оптимизации. Выбор в пользу именно этого метода обусловлен тем, что он признается одним из самых эффективных, при этом существующие реализации этого метода не полностью используют все его возможности.

Цели работы

1. Создание на основе оптимизационного метода алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля активных областей в нелинейном бессиловом приближении по данным фотосферных векторных магнитограмм.

2. Тестирование разработанного алгоритма на модели осесимметричного нелинейного бессилового поля. Сопоставление результатов расчетов, выполненных посредством различных реализаций оптимизационного метода (исходя из различных предположений о характере поведения поля на границе расчетной области), с модельным полем. Определение конкретной реализации оптимизационного метода, позволяющей проводить расчеты, наиболее точно согласующиеся с модельным полем.

3. Применение разработанного алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля реальных активных областей по данным векторных магнитографических измерений фотосферного поля. Сравнение картин расчетных силовых линий, в том числе полученных с помощью потенциальной экстраполяции, с наблюдаемыми петельными структурами. Проведение оценок энергии магнитного поля на пред- и поствспышечных стадиях развития активной области.

4. Использование информации о магнитном поле, рассчитанном с помощью разработанного алгоритма, для моделирования гиросинхротронного радиоизлучения. Сопоставление результатов моделирования с данными радионаблюдений.

Научная новизна полученных результатов

1. Впервые показано, что полный учет эволюционных уравнений оптимизационного метода, допускающий возможность вариации части граничных значений, позволяет проводить восстановление поля с более высоким качеством, чем при фиксированных граничных значениях.

2. Разработанный на основе оптимизационного метода алгоритм восстановления магнитного поля характеризуется высокой степенью совпадения расчетных силовых линий с реальными петельными структурами и теоретически обоснованными оценками вариации энергии магнитного поля активной области, что является отли-

5

чительной особенностью разработанного алгоритма по сравнению с современными альтернативами.

3. Осуществлен синтез алгоритмов восстановления магнитного поля и моделирования гиросинхротронного радиоизлучения, что позволяет проводить более реалистичные оценки числовых характеристик состояния плазмы во вспышечных петлях.

Достоверность полученных результатов

Итоговые выводы и научные положения диссертационного исследования сформулированы на основе результатов расчетов, выполненных с помощью разработанного алгоритма. Корректность проведенных вычислений подтверждается высокой степенью совпадения расчетных данных с модельными и реальными данными. Основные материалы, изложенные в диссертации, были представлены в виде докладов на конференциях и опубликованы в рецензируемых журналах.

Научная и практическая ценность работы

Разработанный алгоритм позволяет корректным образом отображать пространственное распределение магнитного поля активных областей. Обладание такого рода информацией о магнитном поле будет способствовать лучшему пониманию физических процессов, лежащих в основе различных явлений солнечной активности. Отслеживание временной эволюции пространственного распределения магнитного поля и связанных с ним интегральных характеристик, таких как энергия и спиральность поля, будет содействовать выявлению закономерностей, предваряющих вспышечно-эруптивные явления. Данные расчетов, выполненных с помощью разработанного алгоритма, могут быть использованы в качестве составного элемента других теоретических построений в области физики Солнца, требующих знания пространственного распределения магнитного поля.

Положения, выносимые на защит)'

1. На основе оптимизационного метода разработан алгоритм, позволяющий по данным векторных магнитографических измерений фотосферного поля восстанавливать пространственную структуру магнитного поля активных областей в нелинейном бессиловом приближении.

2. Тестирование алгоритма на модели бессилового поля показало, что реализация оптимизационного метода, допускающая возможность вариации части гранич-

ных условий, позволяет восстанавливать поле с более высоким качеством по сравнению с альтернативными реализациями.

3. Применение алгоритма к данным векторных магнитографических измерений показало, что восстановленное поле корректным образом отображает существенно непотенциальную структуру силовых линий реального магнитного поля; величина падения свободной энергии восстановленного поля в результате вспышки Х-класса согласуется с теоретическими оценками. Одновременное сочетание этих двух взаимодополняющих факторов является отличительной особенностью разработанного алгоритма по сравнению с современными альтернативами.

Личный вклад автора

Разработка алгоритма восстановления поля и предварительное тестирование на модели бессилового поля проведены автором самостоятельно. Результаты расчетов на основе реальных наблюдательных данных и их интерпретация получены в процессе коллективной работы, в которой автор принимал непосредственное участие.

Апробация работы

Доклады на конференциях: XI Пулковская международная конференция по физике Солнца (ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, 2-7 июля 2007 г.); X Конференция молодых ученых «Современные проблемы в астрофизике и физике космической плазмы» (Иркутск, 17-22 сентября 2007 г.); The IXth Russian-Chinese Workshop on Space Weather (Irkutsk, June 22-27,2009); Всероссийская ежегодная конференция по физике Солнца «Год астрономии: солнечная и солнечно-земная физика 2009» (ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, 5-11 июля 2009 г.); XI Конференция молодых ученых «Гелио- и геофизические исследования» (Иркутск, 7-12 сентября 2009 г.); Всероссийская конференция «Солнечно-земная физика», посвященная 50-летию создания ИСЗФ СО РАН (Иркутск, 28 июня - 1 июля 2010 г.); Всероссийская ежегодная конференция по физике Солнца «Солнечная и солнечно-земная физика - 2010» (ГАО РАН, Пулково, Санкт-Петербург, 3-9 октября 2010 г.); Отчетная молодежная конференция «Лаврентьевские чтения» (ИНЦ СО РАН, Иркутск, 19 ноября 2011 г.).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, содержит 12 рисунков и 7 таблиц, список литературы включает 48 ссылок, общий объем составляет 68 страниц.

7

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, отмечены научная новизна и практическая ценность полученных результатов, в краткой форме представлено содержание диссертации, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе содержатся математическая формулировка оптимизационного метода и некоторых альтернативных методов расчета нелинейного бессилового поля, а также модели осесимметричного нелинейного бессилового поля.

В разделе 1.1 в краткой форме изложены основные идеи и уравнения, лежащие в основе метода Града-Рубина, магнитофрикционного метода и метода граничного интегрирования. Все указанные методы представляют собой итерационные процедуры, в процессе которых в замкнутой области пространства некоторое исходное (например, потенциальное) распределение магнитного поля, преобразуясь по определенному закону, приобретает бессиловую структуру в соответствии с граничными условиями.

В разделе 1.2 содержится детальная математическая формулировка и описание оптимизационного метода, предложенного в работе [20]. Его идея также состоит в том, чтобы в ограниченной области пространства целенаправленно трансформировать исходное распределение поля к бессиловой структуре. В рамках оптимизационного метода трансформация магнитного поля не является следствием какого-то физического процесса, протекающего в реальном времени, а есть результат определенных математических преобразований. Логика этих преобразований состоит в том, что любое пространственное распределение поля, отличное от бессилового, является неравновесным и должно последовательно трансформироваться таким образом, чтобы в итоге приобрести бессиловую структуру. Для этой цели вводится положительно определенный функционал:

принимающий нулевое значение, если поле является бездивергентным и бессиловым. Таким образом, задача преобразования произвольного поля к бессиловой структуре сводится к задаче на минимизацию этого функционала. Варьирование функционала по времени (которое не является истинным физическим временем, а есть лишь необходимый элемент численного метода) приводит к уравнениям, в со-

(1)

ответствии с которыми должно преобразовываться поле во внутренней части и на границе расчетной области соответственно:

dB

~3t

-и F ÖB

=HSG, (2)

здесь |iy и Hs - неотрицательные коэффициенты,

F = Vx[ilxB]-i2x[VxB]+il(VB)-V(ilB) + S22B, G = nx[iixB]-n(i2B), (3)

ß = ß'2([VxB]xB-(VB)B).

Процесс расчета бессилового поля с помощью оптимизационного (и любого альтернативного) метода не вполне корректно характеризовать как экстраполяцию, так как на каждой итерации уже существует некое пространственное распределение поля, в большей или меньшей степени удовлетворяющее критерию бессилового поля. Более подходящим термином, отражающим суть оптимизационного метода, является «восстановление».

Существующие реализации оптимизационного метода предполагают фиксацию поля на границах расчетной области (}Xs=0). Часть граничных условий доступна из измерений, остальные граничные условия (как и начальное распределение поля во внутренней части расчетной области) восполняются с помощью потенциальной экстраполяции. Это обстоятельство может негативно повлиять на результаты расчетов, если реальное магнитное поле существенно непотенциально. Для минимизации такого влияния одна из существующих реализаций оптимизационного метода предполагает некоторое усложнение функционала (1)

L= [Цг)(я-3|[7хВ]хВ|2+ (4)

путем включения в него скалярной весовой функции w(r) со следующими свойствами: функция тождественно равна единице во внутренней части расчетной области; вблизи той части границы, на которой начальное поле недоступно из измерений, выделяется переходный слой, в котором функция убывает по направлению к границе до нуля по некоторому закону.

Однако наиболее естественным способом решения проблем, связанных с неоднозначностью граничных условий, представляется полный учет эволюционных

уравнений (2), в соответствии с которыми происходит преобразование исходного магнитного поля. В этом случае поле во внутренней части и на границе расчетной области будет стремиться приобрести единую самосогласованную структуру. Исходя из специфики постановки задачи, поле, определяемое из наблюдений, должно оставаться неизменным только на той части границы, которая отождествлена с фотосферой.

В разделе 1.3 содержится подробное математическое описание предложенной в работе [27] модели осесимметричного нелинейного бессилового поля, на котором проводится тестирование оптимизационного метода. Произвольное задание положения источника поля и наклона оси симметрии, а также варьирование ряда других параметров позволяет получать различные модели магнитного поля активных областей, а информация о трехмерной структуре поля, его энергии, распределении бессилового параметра а и т. д. может быть использована для контроля точности расчетов, производимых с помощью оптимизационного метода.

В главе 2 представлены результаты тестирования метода на модельном поле, сравнительный анализ различных реализаций метода и показано влияние шума на качество экстраполяции. Приводится краткое описание применяемой схемы учета сферического характера распределения реальных магнитографических данных и способа решения проблемы ^-неопределенности, а также результаты расчетов магнитного поля реальных активных областей.

В разделе 2.1 приводится схематичное описание алгоритма преобразования поля, указываются конкретные параметры модельного поля и расчетных областей для тестирования оптимизационного метода. Сформулированы рассматриваемые реализации оптимизационного метода.

- Фиксированные граничные условия (|1у=1, В процессе работы алгоритма преобразование поля проводится только для внутренней части исследуемой области пространства, поле па границе области остается неизменным.

- Фиксированные граничные условия (|1у=1) с применением весовой функции. Единственное отличие от предыдущей реализации заключается в формуле преобразования поля в переходном слое.

- Варьируемые граничные условия (Цу=1, Ц$=1). В этом случае учитывается полный набор эволюционных уравнений. Поле подвержено изменению как во внутренней части, так и на границе исследуемой области пространства, исключе-

ние делается только для той части границы, которая отождествляется с фотосферой, где поле определяется из измерений и должно оставаться неизменным.

В Разделе 22 вводится ряд числовых характеристик для объективного сравнения расчетного и модельного полей.

В разделе 2.3 в табличной форме представлены числовые характеристики результатов расчетов, полученных с помощью различных реализаций оптимизационного метода, в графическом виде представлено сопоставление расчетных силовых линий с силовыми линиями модельного поля. Наибольшая степень соответствия по всем параметрам получена при варьировании граничных значений. Применение весовой функции, по сути, не дало преимущества в сравнении с простой фиксацией граничных значений. Из всей совокупности приведенных в этом разделе данных следует, что выбор в пользу того или иного предположения о характере поведения граничных значений обусловливает качество последующего восстановления поля во всей расчетной области в целом. Результаты проведенных численных экспериментов подтверждают целесообразность использования в расчетах полной системы эволюционных уравнений.

В разделе 2.4 представлены результаты исследования влияния шума на качество восстановления поля. Рассмотрен ряд примеров с различным распределением шумовой составляющей и пространственным разрешением. Основным выводом является то, что влияние шума может быть эффективно уменьшено с помощью сглаживания и последующей интерполяции данных на менее плотную сетку. Несмотря на частичную потерю информации, такая предварительная обработка позволяет проводить восстановление поля с более высоким качеством по сравнению с расчетами, сделанными на основе данных с шумовой составляющей, распределенных по более плотной сетке. К положительным моментам следует отнести также существенное уменьшение времени расчета.

В разделе 2.5 содержится описание геометрии, используемой при работе с реальными данными магнитографических измерений, распределенными по фотосфере. В рамках декартовой геометрии используется представление гелиогра-фической плоскости [28], на которую проецируются данные фотосферных измерений. Гелиографическая плоскость касается фотосферы в одной точке, для прочих узлов гелиографической сетки расстояние до фотосферы будет увеличиваться по мере удаления от этой точки. Для магнитограмм, измеренных вблизи цен-

тра диска, этот эффект малосуществен, но он будет усиливаться по мере приближения к лимбу.

Несомненно, самым естественным приемом при работе с реальными данными было бы использование сферической геометрии. Такой подход неизбежен, если целью является восстановление глобального магнитного поля. Отдельные активные области занимают сравнительно небольшую часть поверхности Солнца. В этом случае для учета сферичности вместо переформулирования уравнений оптимизационного метода в рамках сферической геометрии расчеты производятся в квазисферической геометрии, суть которой состоит в том, что работа со сферическими координатами узлов расчетной области и компонентами магнитного поля проводится по правилам декартовой геометрии. При этом достигается полное геометрическое соответствие входных данных алгоритма восстановления поля и данных фотосферных измерений, однако в то же время такое упрощение снижает точность вычисления пространственных производных.

Тестирование на модельном поле показало, что качество восстановления поля в рамках квазисферической геометрии достаточно высоко и по всем параметрам сопоставимо с результатами, полученными в рамках чисто декартовой геометрии. Без переформулирования уравнений оптимизационного метода в рамках чисто сферической геометрии такой способ учета сферичности представляется хорошей альтернативой проецированию данных измерений на гелиографическую плоскость.

В разделе 2.6 содержится описание метода устранения ^-неопределенности в направлении поперечной компоненты магнитного поля векторных магнитографических измерений. Устранение ^-неопределенности является важной самостоятельной задачей, успешное решение которой очевидным образом обусловливает возможность последующего достоверного восстановления пространственной структуры магнитного поля.

Произвольность изменения исходного распределения данных имеет большое прикладное значение и предполагает применение сглаживания и интерполяции. Однако непосредственное использование этих процедур невозможно до устранения л-неопределейности в исходных данных. Для преодоления этого обстоятельства проводится предварительное преобразование компонент магнитного поля в однозначно определяемые искусственные «параметры Стокса», к которым при-

менимы процедуры сглаживания и интерполяции, и затем обратно в форму векторного поля с сохраняющейся ^-неопределенностью поперечной компоненты.

Собственно устранение л-неопределенности проводится с помощью метода минимизации «энергии» [29], адаптированного для работы в сферической геометрии. Суть данного метода заключается в поиске распределения поперечной компоненты магнитного поля, соответствующего минимуму дивергенции магнитного поля и нормальной составляющей электрического тока. Основное отличие применяемой модификации метода от оригинала заключается в использовании при расчетах интегральных соотношений.

В разделе 2.7 представлены результаты восстановления пространственной структуры магнитного поля активных областей. Активная область 10 930 имела биполярную структуру с близко расположенными пятнами противоположной полярности, образующими общую полутень. Сложный характер фотосферного движения вещества приводил к тому, что магнитное поле активной области существенно отличалось от потенциального, в пользу чего свидетельствовала наблюдаемая в рентгеновском диапазоне сигмоидная структура магнитных петель, протянувшаяся параллельно нейтральной линии фотосферного магнитного поля. В процессе развития активной области были зафиксированы две вспышки класса X, для каждой из которых было проведено восстановление магнитного поля на пред- и поствспышечной стадии.

Аналогичная ситуация рассматривалась в работе [26], посвященной сравнительному анализу результатов расчетов различных методов восстановления бессиловых полей. Магнитное поле, восстановленное при помощи оптимизационного метода с варьируемыми граничными значениями, по всем параметрам качественно соответствует лучшему результату указанной работы, полученному с помощью метода типа Града-Рубина в реализации [14]. Информация о пространственном распределении магнитного поля позволяет вычислить его энергию. Разница между энергией бессилового и потенциального полей представляет собой свободную энергию магнитного поля, которая может перейти в другие формы, сопровождаясь вспышкой и эрупцией вещества. Оценки падения свободной энергии активной области в результате Х-вспышек согласуются с теоретическими представлениями, превышая порог 1032 эрг.

Силовые линии восстановленного поля с высокой степенью точности трассируют сигмоидную структуру, протянувшуюся вдоль нейтральной линии и видимую в рентгеновском диапазоне. С помощью потенциальной экстраполяции по-

13

добного соответствия между расчетными силовыми линиями и данными наблюдений достичь не удалось. Лучший результат работы [26] также не в полной мере отражает сигмоидную структуру реальных петель. В этом отношении метод типа Града-Рубина уступает оптимизационному методу с варьируемыми граничными значениями.

В случае расположения активной области вблизи лимба пространственная неоднородность магнитографических измерений становится существенной, что оказывает влияние на процесс устранения ^-неопределенности и последующее восстановление пространственной структуры магнитного поля. Силовые линии поля, восстановленного по данным магнитограммы, измеренной в период нахождения активной области 10930 вблизи западного края лимба, продемонстрировали хорошее согласие с реальной структурой как низких, так и высоколежащих петель, видимых в том числе за краем лимба. Тот факт, что синтез двух различных методов работы с данными дает результат, согласующийся с реальностью, свидетельствует о том, что в рамках каждого из этих методов все значимые факторы учтены корректным образом и в достаточно полной мере.

В процессе развития активной области 10 953, имевшей биполярную магнитную конфигурацию, была зафиксирована вспышка класса С8.5. В структуре поля, восстановленного на предвспышечной стадии, выявлены две группы силовых линий, отличные от результатов потенциальной экстраполяции. Первая группа представляет собой высоколежащие силовые линии, хорошо согласующиеся с реальной петлей, видимой в рентгеновском диапазоне. Ко второй группе относятся расположенные ниже существенно непотенциальные силовые линии, протянувшиеся перпендикулярно первой группе. Такая конфигурация характерна для сценария развития вспышки, связанного со всплыванием из-под фотосферы магнитного потока.

Геометрия и параметры магнитного поля отдельной силовой линии, предположительно соответствующей вспышечной петле, использовались в качестве входных данных для численного моделирования гиросинхротронного излучения. В процессе фитирования был получен расчетный интегральный спектр радиоизлучения, хорошо согласующийся с реальным спектром, что свидетельствует о близости подобранных параметров состояния плазмы и ускоренных электронов реальным значениям. Вы-

14

сокая степень совпадения положений реальных и расчетных радиоисточников подтверждает то, что восстановленное магнитное поле, использованное при моделировании радиоизлучения, позволяет достаточно хорошо представить реальную вспы-шечную петлю.

В заключении перечислены основные выводы:

1. Тестирование различных вариантов реализации оптимизационного метода на модели нелинейного бессилового поля со всей очевидностью показало, что наиболее высокой степени соответствия восстановленного и модельного полей удается достичь, если использовать в расчетах полную систему эволюционных уравнений и допустить возможность вариации части граничных условий. Такой подход является вполне обоснованным при учете того обстоятельства, что в реальности из измерений невозможно получить полный набор граничных условий.

2. Сопоставление расчетных силовых линий с данными наблюдений показало, что силовые линии поля, восстановленного в нелинейном бессиловом приближении, с высокой степенью точности трассируют реальные петельные структуры, существующие на предвспышечной стадии. В случае потенциальной экстраполяции подобного совпадения достигнуто не было. Результаты расчетов пространственного распределения поля на основе данных прилимбовых магнитографических измерений продемонстрировали похожую закономерность, в том числе для петель, лежащих за краем лимба. Это свидетельствует в пользу того, что корректное восстановление магнитного поля может быть проведено при любом положении активной области на диске Солнца. Сопоставление проекций петель и расчетных силовых линий на картинной плоскости позволяет при достижении высокой степени совпадения отождествить их и получить представление о трехмерной конфигурации реальных петель. Оценки падения свободной энергии восстановленного магнитного поля активной области в результате вспышки согласуются с теоретическими представлениями и являются дополнительным доказательством того, что восстановленное поле соответствует реальности.

3. Результаты восстановления пространственного распределения магнитного поля с помощью разработанного алгоритма характеризуются одновременным сочетанием высокой степени совпадения расчетных силовых линий с реальными петельными структурами и теоретически обоснованных оценок энергии активной области.

15

Этот факт является отличительной особенностью разработанного алгоритма по сравнению с современными альтернативами.

4. Результаты моделирования гиросинхротронного радиоизлучения с использованием информации о восстановленном магнитном поле продемонстрировали хорошую степень совпадения с радионаблюдениями. В процессе фитирования получен расчетный интегральный спектр радиоизлучения, согласующийся с реальным спектром, что позволило определить плотность ускоренных электронов во вспышечной петле. Сопоставление распределений радиояркости выявило хорошее совпадение положений расчетных и наблюдаемых радиоисточников. Это свидетельствует о том, что восстановленное поле корректно отображает как пространственную конфигурацию силовых линий, так и напряженность реального магнитного поля.

Публикации по теме диссертации

1. Rudenko G.V., Myshyakov I.I. Analysis of reconstruction methods for nonlinear force-free fields // Solar Phys. 2009. V. 257. P. 287-304.

2. Myshyakov I.I., Rudenko G.V. Comparison between two approaches to the implementation of the optimization method for reconstructing a nonlinear force-free field // Geomag. Aeron. 2009. V. 49. P. 940-946.

3. Rudenko G.V., Myshyakov I.I. Gauge-invariant helicity for force-free magnetic fields in a rectangular box // Solar Phys. 2011. V. 270. P. 165-173.

4. Rudenko G.V., Myshyakov I.I., Anfinogentov S.A. Azimuth ambiguity removal and non-linear force-free extrapolation of near-limb magnetic regions // 2010. arXiv: 1007.0298.

5. Руденко Г.В., Мышьяков И.И. Восстановление трехмерной структуры надфо-тосферного магнитного поля по методу последовательной оптимизации II Международная Байкальская молодежная научная школа по фундаментальной физике. Труды X Конференции молодых ученых «Современные проблемы в астрофизике и физике космической плазмы». Иркутск, 2007. С. 235-237.

6. Мышьяков И.И., Руденко Г.В., Кашапова JI.K., Мешалкина Н.С. Моделирование гиросинхротронного излучения солнечной вспышки 2 мая 2007 г. с использованием экстраполяции магнитного поля в бессиловом приближении // Труды Всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца. Санкт-Петербург, 2010. С. 269-272.

7. Мышьяков И.И., Руденко Г.В. Восстановление пространственной структуры солнечного магнитного поля активных областей // Сборник статей молодых ученых Иркутского научного центра Сибирского отделения РАН. Иркутск, 2011. С. 20-21.

Цитируемая литература

1. Gary G.A. Plasma Beta above the solar active region: Rethinking the paradigm // Solar Phys. 2001. V. 203. P. 71-86.

2. Wolfson R., Low B.C. Energy build up in sheared force-free magnetic fields // Astrophys. J. 1992. V. 391. P. 353-358.

3. Forbes T.G., Priest E.R. Photospheric magnetic field evolution and emptive flares // Astrophys. J. 1995. V. 446. P. 377-389.

4. Brosius J.W., Davila J.M., Thomas R.J., White S.M. Coronal magnetography of a solar active region using coordinated SERTS and VLA observations // Astrophys. J. 1997. V. 488. P. 488-498.

5. Schmidt H.U. On the observable effects of magnetic energy storage and release connected with solar flares // Physics of Solar Flares. NASA Special Publication 50 / Ed. W.N. Hess. Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland, 1964. P. 107.

6. Sakurai T. Green's function methods for potential magnetic fields // Solar Phys. 1982. V. 76. P. 301-321.

7. Altschuler M.D., Newkirk G.J. Magnetic fields and the structure of the solar corona. I. Methods of calculating coronal fields // Solar Phys. 1969. V. 9. P. 131-149.

8. Rudenko G.V. Extrapolation of the solar magnetic field within the potential-field approximation from full-disk magnetograms // Solar Phys. 2001. V. 198. P. 5-30.

9. Hofmann A., Kalman B. Electric currents and free energy in a flaring twisted field configuration (NOAA 4263) // Astron. Astrophys. 1991. V. 241. P. 203-208.

10. Nakagawa Y., Raadu M.A. On practical representation of magnetic field // Solar Phys. 1972. V. 25. P. 127-135.

11. Chiu Y.T., Hilton H.H. Exact Green's function method of solar force-free magnetic-field computations with constant alpha. I. Theory and basic test cases // Astrophys. J. 1977. V. 212. P. 873-885.

12. Grad H„ Rubin H. Hydromagnetic equilibria and force-free fields // Proc. of the 2nd International Conference on Peaceful Uses of Atomic Energy. United Nations, Geneva, 1958. V. 31. P. 190-197.

13. Amari Т., Boulmezaoud T.Z., Mikic Z. An iterative method for the reconstruction break of the solar coronal magnetic field. I. Method for regular solutions // Astron. Astrophys. 1999. V. 350. P. 1051-1059.

14. Wheatland M.S. A fast current-field iteration method for calculating nonlinear force-free fields // Solar Phys. 2006. V. 238 P. 29-39.

15. Yang W.H., Sturrock P.A., Antiochos S.K. Force-free magnetic fields - the mag-neto-frictional method // Astrophys. J. 1986. V. 309. P. 383-391.

16. Roumeliotis G. The "Stress-and-Relax" method for reconstructing the coronal magnetic field from vector magnetograph data // Astrophys. J. 1996. V. 473. P. 1095-1103.

17. Valori G., Kliem В., Keppens R. Extrapolation of a nonlinear force-free field containing a highly twisted magnetic loop // Astron. Astrophys. 2005. V. 433. P. 335-347.

18. Yan Y., Sakurai T. New boundary integral equation representation for finite energy force-free magnetic fields in open space above the Sun H Solar Phys. 2000. V. 195. P. 89-109.

19. Li Z., Yan Y., Song G. Properties of the boundary integral equation for solar non-constant a force-free magnetic fields II Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2004. V. 347. P. 1255-1265.

20. Wheatland M.S., Sturrock P.A., Roumeliotis G. An Optimization Approach to Reconstructing Force-free Fields // Astrophys. J. 2000. V. 540. P. 1150-1155.

21. Wiegelmann Т., Neukirch T. Computing nonlinear force free coronal magnetic fields // Nonlinear Processes in Geophysics. 2003. V. 10. P. 313-322.

22. Wiegelmann T. Optimization code with weighting function for the reconstruction of coronal magnetic fields // Solar Phys. 2004. V. 219. P. 87-108.

23. Wiegelmann T. Computing nonlinear force-free coronal magnetic fields in spherical geometry // Solar Phys. 2007. V. 240. P. 227-239.

24. Schrijver C.J., De Rosa M.L., Metcalf T.R., et al. Nonlinear force-free modeling of coronal magnetic fields Pait I: A quantitative comparison of methods // Solar Phys. 2006. V. 235. P. 161-190.

25. Metcalf T.R., De Rosa M.L., Schrijver С J., et al. Nonlinear force-free modeling of coronal magnetic fields. II. Modeling a filament arcade and simulated chromospheric and photospheric vector fields // Solar Phys. 2008. V. 247. P. 269-299.

26. Schrijver C.J., De RosaM.L., Metcalf Т., et al. Nonlinear force-free field modeling of a solar active region around the time of a major flare and coronal mass ejection // Astrophys. J. 2008. V. 675. P. 1637-1644.

27. Low B.C., Lou Y.Q. Modeling solar force-free magnetic fields // Astrophys. J. 1990 V. 352. P. 343-352.

28. Gary G.A., Hagyard M.J. Transformation of vector magnetograms and the problems associated with the effects of perspective and the azimuthal ambiguity // Solar Phys. 1990. V. 126. P. 21-36.

29. Metcalf T.R. Resolving the 180-degree ambiguity in vector magnetic field measurements: The "minimum" energy solution // Solar Phys. 1994. V. 155. P. 235-242.

Отпечатано в издательском отделе

ИСЗФ СО РАН Захаз X» 121 от 27 февраля 2012 г. Объем 20 е. Тираж 150 экз.

61 12-1/666

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт солнечно-земной физики СО РАН

УДК 523.98 На правах рукописи

Мышьяков Иван Иванович

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛНЕЧНЫХ АКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В НЕЛИНЕЙНОМ БЕССИЛОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Специальность 01.03.03 - физика Солнца

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Руденко Георгий Владимирович

Содержание

Введение 3 Глава 1

1.1 Краткое описание альтернативных методов расчета

нелинейного бессилового поля 12

1.2 Математическая формулировка оптимизационного метода 15

1.3 Модельное нелинейное бессиловое поле 22 Глава 2

2.1 Формулировка исследуемых реализаций оптимизационного

метода и постановка численного эксперимента 26

2.2 Числовые характеристики контроля точности 29

2.3 Результаты тестирования на модели нелинейного бессилового

поля 30

2.4 Исследование влияния шума на качество восстановления поля 36

2.5 Учет фактора сферичности 39

2.6 Устранение проблемы тт-неопределенности 43

2.7 Восстановление магнитного поля реальных активных областей 47 Заключение 60 Список литературы 64

Введение

Магнитное поле Солнца оказывает существенное влияние на солнечную атмосферу и является основополагающим фактором возникновения и последующего развития активных областей. Вследствие высокой ионизации плазмы магнитное поле оказывается вмороженным, и в областях с преобладанием магнитного давления (плазменный параметр /? « 1) движение плазмы определяется структурой поля [1]. Всплывающий из-под уровня фотосферы магнитный поток, достаточно мощный, чтобы быть четко различимым на общем фоне спокойного Солнца и способным существенно повлиять на конвективное движение вещества, приводит к образованию солнечных пятен и новой активной области. Связанные с этими областями динамические процессы, такие как вспышки и корональные выбросы массы, могут иметь геоэффективные последствия. Источником энергии для них является магнитное поле, меняющее свою структуру и переходящее в новое равновесное состояние с меньшей энергией [2, 3]. Таким образом, информация о пространственном распределении магнитного поля необходима для понимания физической природы явлений солнечной активности и прогнозирования их развития.

Измерение солнечного магнитного поля на основе эффекта Зеемана доступно на уровне фотосферы. Оценки коронального магнитного поля, производимые по радионаблюдениям, трудно локализовать по высоте, кроме того, необходимо дополнительно учитывать распределение плотности и температуры плазмы [4]. В этой связи, особой актуальностью обладает краевая задача расчета пространственной конфигурации солнечного магнитного поля по данным фотосферных измерений.

Наиболее простым является метод потенциальной экстраполяции с использованием функции Грина [5, 6] или разложения по сферическим гармоникам [7, 8], что позволяет достаточно точно представить крупномасштабную структуру поля по всему солнечному диску. Потенциальное поле может быть рассчитано по распределению нормальной или наклонной компоненты на некоторой поверхности, т.е., при работе с реальными данными, достаточно использовать магнитограммы фотосферного поля, измеренного вдоль луча зрения. Однако, над активными

областями, в частности, на предвспышечной стадии развития, могут существовать электрические токи, оказывающие значительное влияние на структуру магнитного поля [9]. В потенциальном поле, бестоковом по определению, эта особенность не может быть учтена и разница между экстраполированным и реальным полем будет тем больше, чем сильнее будут надфотосферные токи. Также следует отметить, что при заданном граничном распределении нормальной компоненты потенциальное поле обладает наименьшей энергией, т.е. не содержит энергетических резервов, которые могут быть израсходованы в той или иной форме в процессе трансформации магнитного поля без изменения граничного распределения нормальной компоненты. Таким образом, экстраполяция магнитного поля активных областей в потенциальном приближении в ряде случаев обладает ограниченной точностью.

В качестве следующего приближения для расчета магнитного поля используется класс бессиловых полей, допускающих существование электрических токов. Их определение следует из общего уравнения магнитной гидродинамики:

Р + = -Чр + рё + ¥1 + ¥а, (В. 1)

здесь р - плотность вещества, V - его скорость, р - давление, g - ускорение свободного падения, ^ - сила Лоренца, ¥л - диссипативная сила. Исходя из положения, что магнитное поле является доминирующей величиной (/? « 1) следует, что состояние равновесия определяется выражением:

Ъ = Ц х В] = 0, ] а [V X В], (В.2)

здесь ) - плотность электрического тока, В - магнитное поле. Это означает, что электрический ток по направлению должен быть коллинеарный, а по абсолютному значению пропорциональный магнитному полю. Таким образом, уравнение, описывающее состояние бессилового поля:

[V х В] = аВ. (В.З)

В зависимости от коэффициента пропорциональности а, называемого бессиловым параметром, класс бессиловых полей подразделяется на линейные

(а — const) и нелинейные (а - функция от положения в пространстве) поля. Частным случаем линейного бессилового поля является потенциальное (а = 0). В общем случае а = const задача расчета поля имеет аналитическое решение, следующее из уравнения Гельмгольца [10, 11].

Нелинейные бессиловые поля дают более полное отражение реальности. С математической точки зрения, основная трудность состоит в том, что для краевой задачи на расчет полей такого типа нельзя построить общего аналитического решения, поэтому используются различные методы приближенного вычисления. Кроме того, применительно к реальности, для расчета нелинейных бессиловых полей в качестве входных данных требуются векторные магнитограммы. В этой связи следует отметить два типа проблем, возникающих при решении краевых задач.

Первый тип проблем можно условно определить, как инструментальный, связанный с техническими особенностями измерений, к ним относятся наличие шума в исходных данных и 7г-неопределенность направления поперечной компоненты поля векторных магнитограмм. Устранение ^-неопределенности имеет большое значение, т.к. от него очевидным образом зависит результат применения того или иного метода расчета, использующего информацию о полном векторе магнитного поля. Способы решения этой проблемы варьируются от элементарного установления направления поперечной компоненты измеряемого поля в соответствии с поперечной компонентой рассчитываемого потенциального поля, до более сложных методов, таких, как [12, 13], основанных на минимизации вертикального электрического тока и дивергенции магнитного поля. Влияние шума может быть уменьшено сглаживанием, при одновременном снижении пространственного разрешения.

Второй тип проблем, теоретический, касается формулировки граничных условий и вопросов существования и единственности решения. Современный уровень развития солнечных наблюдений позволяет проводить одновременные измерения магнитного поля только для части поверхности Солнца. Данные векторных магнитографов таких обсерваторий наземного базирования, как Mitaka (Япония), Huairou (КНР) или Big Bear Solar Observatory (США), представляют

собой векторные магнитограммы отдельных активных областей и имеют длительные ряды наблюдений. В процессе отладки находится векторный магнитограф полного диска SOLIS (США). Очевидными недостатками наземных измерений является невозможность проведения непрерывных наблюдений, а также то, что они подвержены влиянию атмосферы. Более высокое качество измерений характерно для магнитографов на борту космических аппаратов. Данные магнитографа SOHOÍMDI содержат информацию о распределении компоненты магнитного поля вдоль луча зрения по всему солнечному диску, а самые качественные регулярные измерения векторных магнитограмм, производимые инструментом Hinode!SOT (пространственное разрешение 0,3 , время построения скана около 1,5 часов), проводятся только для отдельных активных областей. Инструмент Helioseismic and Magnetic Imager на борту KA Solar Dynamics Observatory позволяет получать векторные магнитограммы полного диска Солнца с пространственным разрешением l' и с временным интервалом 90 секунд.

Таким образом, из измерений оказывается доступной лишь часть граничных условий. Если ставить задачу расчета глобальной структуры солнечного магнитного поля, то для измерений в каждый момент времени доступно поле на видимой части солнечного диска. В случае отдельной активной области известным является поле на уровне фотосферы, а на остальной части границы, замыкающей изолированный объем пространства, поле недоступно для измерения. При расчете бессиловых полей на основе реальных данных, учитывая недостаточность информации о граничных условиях, можно говорить лишь о большей или меньшей степени соответствия рассчитанного поля используемой системе критериев и основных уравнений и данным наблюдений.

Из теоремы вириала (см. [14]) следует:

[ г • [[V х В] х B]dV = f \B2dV+¡ ((В ■ г)В -\в2г) ■ dS (В.4)

Jy Jy 2 hv V 2 /

здесь dV - поверхность, ограничивающая объем V, dS - внешняя нормаль. Т.е. если бессиловое поле существует во всем бесконечном объеме, то левая часть уравнения обращается в нуль, следовательно, либо энергия поля равна нулю (тривиальный

случай), либо поверхностный интеграл в правой части не равен нулю, т.е. поле не убывает на бесконечности. Другими словами, поле, являющееся всюду бессиловым, не имеет физического смысла. Чтобы удовлетворить условию убывания поля на бесконечности, необходимо допустить, что в некоторой части пространства условие (В.З) нарушается. Таким образом, задачу расчета строго бессилового поля имеет смысл ставить только для изолированных областей пространства. При этом, как следует из (В.4), энергия будет выражаться через поверхностный интеграл граничного распределения поля, следовательно, необходимым условием существования решения при заданных граничных условиях должна быть отрицательность поверхностного интеграла.

Не все методы расчета бессиловых полей используют полный вектор магнитного поля в качестве граничных условий. Например, в методах типа Града-Рубина используются две величины: нормальная компонента поля и параметр а. В работе [15] на примере модели осесимметричного бессилового поля показано, что при достаточно больших значениях а одному набору граничных условий, представленных сочетанием нормальной компоненты и параметра а, соответствуют поля с различными энергиями и азимутальными потоками. Т.е. при таком способе задания граничных условий решение может быть не единственно. С учетом этих выводов, методы, использующие в качестве граничных условий информацию о полном векторе магнитного поля, представляются более предпочтительными.

К основным методам расчета нелинейных бессиловых полей относятся:

- Метод типа Града-Рубина [16, 17, 18].

- Магнитофрикционный метод [19,20, 21].

- Метод граничного интегрирования [22, 23].

- Оптимизационный метод [24, 25, 26, 27].

В работе [28] представлен обзор различных методов расчета нелинейного бессилового поля, а также проводится сравнительный анализ результатов тестирования этих методов на аналитически задаваемой модели нелинейного бессилового поля [29]. На этапе тестирования, самая высокая степень совпадения с

модельным полем была продемонстрирована оптимизационным методом в реализации [26]. Чуть менее точным оказался магнитофрикционный метод, еще ниже по качеству были результаты, полученные методами типа Града-Рубина. Метод граничного интегрирования, как отмечено в работе [28], оказался очень требовательным к вычислительным ресурсам, что не позволило в разумные сроки получить результаты для объективного сравнения с другими методами.

В работе [30] тестирование проводилось на модели, предложенной в работе [31], более точно учитывающей специфику пространственного распределения магнитного поля реальной активной области: вблизи фотосферы оно имеет силовую природу (находится в состоянии равновесия с учетом влияния сторонних сил), а с увеличением высоты становиться в большей степени бессиловым. По степени соответствия модельному полю результаты расчетов расположились следующим образом: лучшее соответствие модельному полю продемонстрировано оптимизационным методом [26], далее следует метод типа Града-Рубина [18], замыкает ряд магнито фрикционный метод [21].

В работе [32] вычисления проводилась на основе реальных векторных магнитограмм активной области 10930, в этом случае оценка степени соответствия рассчитанных бессиловых полей реальному магнитному полю могла быть проведена только косвенно, а именно, по степени соответствия конфигурации силовых линий рассчитанного поля и наблюдаемой петельной структуры. По мнению авторов [32], лучший результат был продемонстрирован методом типа Града-Рубина в реализации [18]. Стоит также отметить, что это единственный метод, который дал величину падения свободной энергии магнитного поля активной области в результате Х-вспышки, согласующуюся с теоретическими оценками.

Таким образом, в настоящее время происходит активное развитие численных методов расчета нелинейных бессиловых полей. В диссертации проблема расчета солнечного магнитного поля активных областей решается с помощью метода оптимизации. Выбор в пользу именно этого метода обусловлен тем, что он признается одним из самых эффективных, при этом, существующие реализации этого метода не полностью используют все его возможности.

Цели работы

- Создание на основе оптимизационного метода алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля активных областей в нелинейном бессиловом приближении по данным фотосферных векторных магнитограмм.

- Тестирование разработанного алгоритма на модели осесимметричного нелинейного бессилового поля. Сопоставление результатов расчетов, выполненных посредством различных реализаций оптимизационного метода (исходя из различных предположений о характере поведения поля на границе расчетной области) с модельным полем. Определение конкретной реализации оптимизационного метода, позволяющей проводить расчеты, наиболее точно согласующиеся с модельным полем.

- Применение разработанного алгоритма для расчета пространственного распределения магнитного поля реальных активных областей по данным векторных магнитографических измерений фотосферного поля. Сравнение картин расчетных силовых линий, полученных, в том числе, с помощью потенциальной экстраполяции, с наблюдаемыми петельными структурами. Проведение оценок энергии магнитного поля на пред- и поствспышечных стадиях развития активной области.

- Использование информации о магнитном поле, рассчитанном с помощью разработанного алгоритма, для моделирования гиросинхротронного радиоизлучения. Сопоставление результатов моделирования с данными радионаблюдений.

Научная и практическая ценность работы

Разработанный алгоритм позволяет корректным образом отображать пространственное распределение магнитного поля активных областей. Обладание

такого рода информацией о магнитном поле будет способствовать лучшему пониманию физических процессов, лежащих в основе различных явлений солнечной активности. Отслеживание временной эволюции пространственного распределения магнитного поля и связанных с ним интегральных характеристик, таких как энергия и спиральность поля, будет содействовать выявлению закономерностей, предваряющих вспышечно-эруптивные явления. Данные расчетов, выполненных с помощью разработанного алгоритма, могут быть использованы в качестве составного элемента других теоретических построений в области физики Солнца, требующих знания пространственного распределения магнитного поля.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, содержит 12 рисунков и 7 таблиц, список литературы включает 48 ссылок, общий объем составляет 68 страниц.

В первой главе содержится краткое описание альтернативных методов расчета нелинейных бессиловых полей, приведена подробная математическая формулировка оптимизационного метода и модели осесимметричного нелинейного бессилового поля. Во второй главе представлены результаты тестирования метода на модельном поле, сравнительный анализ различных реализаций метода, исследуется влияние шума и способы минимизации этого влияния. Приводится краткое описание применяемой схемы учета сферического характера распределения реальных магнитографических данных и способа решения проблемы ^-неопределенности, а также результаты расчетов магнитного поля реальных активных областей. Исследуется степень