Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

004614129

Кривонос Александр Сергеевич

ВОЗБУЖДЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ КОМПОЗИТАХ

01.02.04-механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 НОЯ 2010

Краснодар-2010

004614129

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Глушков Евгений Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший

научный сотрудник,

Айзикович Сергей Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Павлова Алла Владимировна

Ведущая организация:

ГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар

Защита состоится 30 ноября 2010 г. в на заседании диссертационного совета

Д 212.101.07 при ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет", 350040, г. Краснодар ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

\/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет".

Автореферат разослан 29 октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

Капустин М.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке новых математических методов анализа волновых полей, возбуждаемых заданными поверхностными нагрузками в упругих многослойных анизотропных композитах, исходя из полной трехмерной постановки соответствующих краевых задач динамической теории упругости, компьютерной реализации разработанных методов и проведению исследований специфических особенностей волновых полей и энергетических процессов, обусловленных анизотропией и многослойностью рассматриваемых материалов.

Актуальность темы. Композиционные материалы с уникальными свойствами используются в ядерной энергетике, аэрокосмической промышленности, химическом производстве и машиностроении. Многие композиты представляют собой многослойные структуры с резко отличающимися, как правило анизотропными, механическими свойствами составляющих их слоев. Они создаются для использования в агрессивной среде, в том числе и при динамическом (вибрационном или ударном) воздействии, поэтому большое значение имеет создание математических моделей и эффективных методов расчета как напряженно-деформированного состояния, так и динамического поведения изделий из таких материалов.

Проблемы возбуждения и распространения упругих волн в многослойных композитах возникают также при разработке методов ультразвукового неразрушающего контроля изделий из таких материалов, например, деталей фюзеляжа и крыльев современных аэробусов, изготавливаемых из армированных углепластиков. Пассивный и активный волновой мониторинг появления дефектов проводится здесь с помощью системы пьезоактуаторов и сенсоров, приклеенных к поверхности или встроенных внутрь композитной структуры. В то время как для изотропных материалов (например, дюралюминия) интерпретация полученных данных базируется на достаточно хорошо

разработанных к настоящему времени математических моделях, расчет волновых полей в анизотропных слоистых структурах все еще представляет собой сложную математическую и вычислительную проблему. С другой стороны, анизотропия упругих свойств приводит не только к изменению скорости распространения бегущих волн в различных направлениях, но и к резкой направленности переноса энергии возбуждаемыми и отраженными от границы сигналами. Без учета этих закономерностей точность интерпретации данных ультразвукового контроля резко падает.

Анизотропия упругих свойств присуща не только композитным материалам, но и, например, геологическим осадочным породам. Поэтому полученные результаты и разработанные в ходе выполнения диссертационной работы математические и компьютерные модели представляют интерес и для развития геофизических методов зондирования Земли сейсмическими волнами.

На актуальность проводимых исследований указывает также их поддержка грантами международных и отечественных фондов и государственных целевых программ. Основные результаты, вошедшие в диссертационную работу, получены в рамках выполнения следующих проектов:

1. "Micromechanics of damaged composites under dynamic loading", INTAS, 05-1000008-7979, 2006-2009 г. ("Микромеханика композитов с дефектами при динамическом нагружении", проект европейского фонда ИНТАС).

2. "Разработка методов волнового мониторинга слоистых композитных материалов с микроструктурой и определение их эффективных динамических свойств", Аналитическая ведомственная целевая программа Минобр-науки РФ, проект № 2.1.1/1231, 2009-2010 г.

3. "Математическое моделирование волновых и энергетических процессов в электромеханических устройствах с пьезокерамическими элементами", проект РФФИ № 07-01-00307, 2007-2010 г.

4. "Разработка методов определения эффективных динамических

свойств слоистых композиционных материалов с микроструктурой и методов их волнового мониторинга", НИР 1.5.08 темплана КубГУ, проводимых по заданию Минобрнауки РФ, 2008-2012 г.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) разработка эффективных методов решения задач о возбуждении и распространении упругих волн в слоистых анизотропных композиционных материалах и вывод асимптотических представлений для возбуждаемых бегущих волн с учетом вида источника колебаний;

2) реализация методов в виде пакета программ, обеспечивающих быстрый параметрический анализ волновых и энергетических характеристик;

3) анализ влияния упаковки слоев композиционных материалов на характер возбуждаемых волн и вид диаграмм направленности потока энергии;

4) анализ зависимости величины закачиваемой в волновод энергии от геометрических размеров пьезоактуаторов и частоты.

Методика исследований. Разработанная для упругих многослойных сред и хорошо зарекомендовавшая себя техника интегрального подхода обобщается в диссертационной работе на случай слоистых волноводов с произвольной анизотропией слоев. Ключевое значение здесь имеет предложенный Е.В. Глушковым и Н.В. Глушковой эффективный алгоритм построения матрицы Грина рассматриваемой структуры и методы быстрого численного и асимптотического анализа полученных интегральных представлений. В ближней зоне волновые поля определяются путем прямого численного интегрирования, а в дальней зоне - с помощью асимптотик бегущих поверхностных волн, выведенных из полученных интегральных представлений. Развитые методы позволяют получить простые, физически наглядные соотношения для расчетов и исследования энергетических характеристик волновых полей, возбуждаемых заданными источниками в рассматриваемых слоистых структурах.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1) На основе интегрального подхода построена математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн в композитном многослойном материале с произвольной анизотропией составляющих слоев, включающая в себя описание волнового поля источника. Получено асимптотическое представление волнового поля, возбуждаемого поверхностными источниками в дальней зоне.

2) В рамках данной модели разработаны и реализованы в виде пакета программ алгоритмы построения линий тока и диаграмм направленности волновой энергии, а также распределения плотности потока энергии по толщине композита.

3) Результаты влияния ориентации армирующих волокон и толщины слоев на волновые процессы и перенос энергии.

4) В приложении к геофизике объяснена причина систематических ошибок определения глубины залегания подстилающей поверхности при спектральном анализе поверхностных сейсмических волн, возникающих из-за неучета реальной анизотропии осадочных пород, и предложен способ их устранения.

На защиту выносится:

1. Алгоритм построения матрицы Грина для многослойного анизотропного пакета, обеспечивающий в отличие от традиционных подходов численную устойчивость при сравнительно малых вычислительных затратах во всем диапазоне входных параметров, а также особенности компьютерной реализации данного алгоритма, существенным образом влияющие на эффективность вычислений.

2. Асимптотические представления для нормальных мод, возбуждаемых в слоистом анизотропном композите, в которых в отличие от классических представлений, получаемых методами модального анализа, в амплитудных коэффициентах строго учитывается информация о поверхностной на-

грузке, моделирующей заданный источник. Данные представления позволяют отказаться от более затратного численного интегрирования уже на расстоянии двух-трех длин волн от источника.

3. Результаты анализа влияния анизотропии на характер излучаемых волн, демонстрирующие эффект изменения направленности излучения в зависимости от ориентации пьезоактуатора и центральной частоты возбуждаемого сигнала.

4. Выявленные особенности распространения волновой энергии в композитных углепластиках, в том числе эффект определяющей роли крайних слоев на направление переноса энергии.

5. Факт наличия систематической погрешности определения толщины осадочных пород при интерпретации результатов геофизических измерений в рамках изотропной модели, не учитывающей реальную анизотропию таких пород, и количественная оценка величины данной погрешности.

Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью получения конкретных количественных характеристик волновых полей и нестационарных сигналов по заданным параметрам анизотропного материала и динамического нагружения (источника колебаний). Данная информация необходима как для разработки методов ультразвукового неразру-шающего контроля композитов, так и для совершенствования геофизических методов зондирования Земли. Кроме того, разработанные методы позволяют определять динамическую реакцию материалов, необходимую для оценки динамической прочности создаваемых композитов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XIII конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов, 2009); III Всероссийской школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (п. Дивноморский, 2008); IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов (Анапа, 2008) и на семинарах кафедры вычислительных

технологий и института математики, механики и информатики (ИММИ) Кубанского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы общим объемом 103 страницы, включающим в себя 40 рисунков и 90 наименований литературных источников.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, две из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается краевая динамическая задача о возбуждении и распространении волн в упругих анизотропных композиционных слоистых материалах. Во введении дается краткий обзор существующих работ по теме диссертации, обсуждается актуальность, формулируются цели, дается общая характеристика существующих подходов к решению, а также указываются основные этапы исследований.

В зависимости от используемого математического подхода методы моделирования волновых полей можно разделить на три большие группы

1) прямые численные методы (метод конечных элементов (МКЭ), конечно-разностная аппроксимация);

2) интегральный подход (интегральные представления с помощью матрицы Грина, граничные интегральные уравнения (ГИУ), метод граничных элементов (МГЭ));

3) асимптотические методы (лучевой метод, модальный анализ).

Прямые численные методы являются наиболее универсальными и теоретически позволяют получить приближенное численное решение для области любой формы с произвольной неоднородностью и анизотропией, но в тоже же время они являются более затратными с точки зрения вычислительных ресурсов. Измельчение сетки в местах быстрого изменения решения или свойств среды приводит к быстрому росту размерности системы и

соответственно вычислительных затрат. Кроме того, с ростом размерности системы растет и число обусловленности, что с определенного момента делает невозможным ее решение, даже при наличии необходимых вычислительных ресурсов. Еще одним недостатком является отсутствие физической наглядности - из полученного численного решения непосредственно не видны типы составляющих его волн. С другой стороны, прямые численные методы не требуют проведения углубленной аналитической работы, поэтому они пользуются широкой популярностью, особенно в инженерной практике, о чем свидетельствует большое количество публикуемых работ с их использованием (см., например, цитируемые в диссертации работы авторов R. Shidhar, A. Chakraborty, J. Chang, Л. Zak и др.).

Лучевой подход дает асимптотические результаты, справедливые для высокочастотного, т.е. коротковолнового диапазона. Главным преимуществом лучевого подхода является его физическая наглядность, позволяющая проследить вклад каждой из волн, приходящих в заданную точку. Кроме того лучевые методы не требуют больших вычислительных затрат, поскольку результаты получаются практически в явном аналитическом виде. Однако результаты, полученные лучевым методом, становятся неприменимыми, когда длина волны соизмерима или больше характерного размера тела, например, толщины одного из слоев композита. Кроме того, многократные переотражения между границами слоев приводят к лавинообразному росту числа приходящих лучей даже для не очень удаленных приемников. В результате построение волнового поля для слоистой среды также становится непростой задачей. Отчасти данные трудности снимаются использованием гибридных схем и методов модального анализа, когда волновое поле строится в виде суперпозиции нормальных мод, распространяющихся вдоль слоев. Неизвестные коэффициенты разложения определяются при этом путем сшивания с МКЭ решением для ограниченных областей.

Но более естественно, без сложной процедуры сшивания, такие асимп-

тотические разложения выводятся из интегральных представлений, полученных с использованием матрицы Грина многослойного волновода. Алгоритмы численно-аналитического построения фундаментальных решений (матриц Грина) для многослойных сред разрабатываются, начиная с работ Том-сона, Хаскелла и Петрашеня в 50х годах XX века. В 1980-90х годах в работах A. H. Nayfeh, J. L. Rose, M. J. S. Lowe данные алгоритмы были обобщены на случай анизотропных слоистых волноводов, и к настоящему времени они являются основным инструментом модального анализа для таких структур. Конкретные характеристики волн Лэмба, полученные в рамках данного подхода для используемых на практике композитов, приводятся, например, в работах L. Wang, К. Balasubramaniam, С. V. Krishnamurthy, S. I. Rokhlin, R Wilcox, A. Velichko. Так, L. Wang в своей работе приводит полярные и дисперсионные кривые для фазовых и групповых скоростей волн Лэмба для слоистых композитов, а К. Balasubramaniam сравнивает результаты расчета направленности потока энергии поверхностных волн, генерируемых лазерным лучом, с экспериментальными данными. Данные результаты были использованы для верификации компьютерной реализации алгоритма, описываемого в диссертации.

В большинстве работ, однако, рассматриваются только собственные решения (нормальные моды) без учета источника колебаний. Учет источника приводит к необходимости численного или асимптотического анализа интегральных представлений, поэтому число таких публикаций существенно меньше. Здесь можно указать на работы S. I. Rokhlin, P. Wilcox и A. Velichko, которые также используют интегральный подход для построения волновых полей в анизотропных композиционных панелях. Но в первом случае рассматриваются только волны идущие поперек пластины (нет волн Лэмба), а во втором не используется матричный алгоритм построения фундаментальных решений, поскольку анизотропные слои заменяются приближенным осред-ненным однородным слоем.

Методы численного и асимптотического анализа контурных интегралов, возникающих в динамических задачах теории упругости для многослойных структур разрабатывались в работах И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. А. Бабешко, Г. Я. Попова, С. М. Айзиковича, Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой, О. Д. Пряхиной и др. В них же были предложены численно устойчивые алгоритмы формирования матрицы Грина для большого числа слоев. В диссертационной работе данные подходы обобщены на случай анизотропных сред. Численная устойчивость разработанных алгоритмов построения матрицы Грина обеспечивается аналитическим выделением экспоненциально растущих составляющих и выносом их за рамки численных процедур.

Рис. 1: Геометрия задачи: многослойный волновод с произвольной анизотропией каждого из слоев и область Г2 приложения поверхностной нагрузки.

В первой главе приводятся основные соотношения теории упругости, рассматриваются различные виды анизотропии (ортотропия, транстропия), формулируется математическая постановка задачи. Ее решение представляется в виде свертки матрицы Грина х = {х, у, г} рассматриваемого пакета слоев с возбуждающей его поверхностной нагрузкой. Далее подробно описывается алгоритм построения матрицы Грина для анизотропного много-

слойного волновода и приводятся формулы для расчета энергетических характеристик волновых полей: плотности потока энергии, линий тока энергии, диаграмм направленности.

В трехмерной постановке М-слойный волновод в декартовой системе координат {х,у, z} занимает объем —оо < х,у < со, —Н < z < 0 (рис. 1). Верхняя граница материала совпадает с плоскостью 2 = 0, нижняя граница каждого из слоев имеет координату zm по оси z: 0 = zq > z\ > ... > zm = —H. Каждый слой Dm,z £ [zm_i, zm], — оо < х,у < оо состоит из материала с произвольной анизотропией. Свойства пакета слоев задаются кусочно-постоянными функциями, описывающими зависимость от поперечной координаты z плотности р и элементов тензора коэффициентов упругости материала с = [с£-], такими что p(z), c(z) = const при z S [zm_i, zm].

Под действием поверхностной нагрузки <l{x,y)f(t), заданной в некоторой области П, например, в зоне контакта пьезонакладки с поверхностью волновода, в нем возбуждается волновое поле u(x,t), удовлетворяющее уравнениям движения

aij'j = P~dW' i = 1>2>3 i1)

граничным условиям на внешних поверхностях пакета

т|г=о = q, т|г=_я = 0, (2)

и условиям непрерывности перемещений и напряжений на внутренних границах слоев

[u]m = 0, [т\т = 0, m = 1,2,..., М — 1. (3)

Здесь [f]ro = lim^^j- f — f - скачок соответствующей вектор-функции,

и нулевыми начальными условиями и(х, 0) = 0) = 0.

С помощью преобразования Фурье по времени t и подстановки напряжений ац, выраженных через перемещения щ:

<Тц = С^Еки ¿,¿ = 1,2,3

Ш = Ы,1 + Ч*)/2, «,¿ = 1,2,3 12

в уравнения движения (1), нестационарная задача сводится к задаче об установившихся гармонических колебаниях для обобщенного уравнения Ляме:

4lj4jk + рю\ = 0, i = 1,2,3 (5)

с граничными условиями (2)-(3). Ее решение и(х, и>) используется далее как частотный спектр для построения решения нестационарной задачи:

оо

u(x,t) = ^~Re [ u(x,uj)e-'iuwdaj.

27Г J о

В цилиндрических координатах {г, <р, zj гармоническое волновое поле ие~ы1, возбуждаемое нагрузкой це.~ш1, приложенной в некоторой области П к поверхности z = 0 упругого волновода с плоскопараллельными границами, представимо в виде

2ж

u(x) = JL J J К(а, 7, *)Q(a, 7)в-<агсов^>а<Ы7 (6)

о г

Здесь К = Тх,уЩ и Q = ^c,y[q] - Фурье символы матрицы-функции А;(х) и вектор-функции q(x,y), а Г - контур, идущий вдоль положительной вещественной полуоси [0, оо], отклоняясь от нее при обходе вещественных полюсов Сп, п — 1,..., N, как правило, в нижнюю полуплоскость Ima < 0 комплексной плоскости а. Сверху обходятся только так называемые нерегулярные полюса, с отрицательным углом наклона касательной d<^n/du).

Для построения матрицы Грина к уравнениям (5) применяется преобразование Фурье по всем трем пространственным координатам и, учитывая свойство преобразования производных .Fx[fpr] = (—iaj)"U(a), появившиеся множители (—газ)4 рассматриваются как операторная запись производных dn/dzn. В результате для каждого из слоев D^ уравнения (5) сводятся к однородной системе обыкновенных диффенциальных уравнений относительно преобразования Фурье смещений U(ai,a2,^) = ,FI!([u]:

[¿?(a) — рш21}\] = 0 (7)

Здесь а = (сц,о;2>о;з), I - единичная матрица, а компоненты матрицы В — являющейся матричной формой записи тензора Кристоффеля

анизотропной упругой среды, имеют вид 6¿j = с^щщ.

Общее решение уравнения (7) можно записать в следующем виде

6

Ъ(а1,а2,г) = У£№тпех»* (8)

П=1

тп : [5(ап) - ри;21}тп = 0, ап = (сц, а2, Аз,п(а1, а2,ш)) Суммирование здесь ведется до шести, так как характеристическое уравнение (7) является полиномом шестой степени относительно аз. Неизвестные коэффициенты разложения сгруппированные в вектор t длины 6М:

t = Ьк = {41),42),...,46)}

определяются из алгебраической системы

At = i, (9)

возникающей после подстановки общего решения (8) в преобразованные по Фурье граничные условия (2) - (3). Ее матрица А размерности 6М х 6М имеет диагонально-ленточную структуру. Для численной устойчивости решения системы (9) важным является тот факт, что в предлагаемом алгоритме диагональные блоки не содержат экспоненциальных множителей, а экспоненты, входящие в остальные блоки, стремятся к нулю при а —> оо, т.е. матрица А вырождается в строго блочно-диагональную.

Так как столбцами матрицы к являются векторы перемещений, вызванных сосредоточенными нагрузками д = 6(х, у)1т, приложенными вдоль координатных ортов 1т, т = 1,2,3, для построения матрицы К достаточно решить систему (9) с тремя правыми частями ^ = {¡т, 0,..., 0}.

Во второй главе обсуждаются специфические проблемы компьютерной реализации разработанной модели. В качестве источников колебаний рассматривается воздействие лазерного луча, моделируемое точечной нагрузкой,

а также гибкие иьезонакладки, приклеенные к поверхности композита. Под действием управляющего электрического поля они расширяются и сокращаются в продольном направлении, вызывая сдвиговые контактные напряжения. В низкочастотном диапазоне их воздействие адекватно моделируется сдвиговыми сосредоточенными нагрузками, приложенными к поверхности композита на границе области контакта (pin-force model).

Для определения динамической реакции композита на приложенную нагрузку q, а также поля перемещений и в ближней зоне, в разработанной модели реализована процедура численного интегрирования контурных интегралов вида (6). Представление для волн Лэмба, возбуждаемых заданным источником в дальней зоне, выводится из интеграла (6) в виде суммы вычетов в вещественных полюсах Асимптотика остающихся при этом интегралов

по 7 строится методом стационарной фазы:

N

u(x) = Е un{r, <р, z) + 0((гк)"3/2), ГК 00

71=1

U „ = £ / b„(0, zy^"^, в = 7 + tp + тг/2 (10)

о

M7,z) = Зпres [К(а, 7, z)Q(a, 7)0] |Q=c„(7) к = u/v - волновое число, соответствующее характерной скорости распространения волн v, jn = 1 для регулярных и jn = —1 для нерегулярных (п. В результате поверхностные волны un, распространяющиеся от источника в направлении <р, описываются физически наглядными явными представлениями:

ип(г, Ч>, z) ~ J2 àn;m{<P, /^/г

m

dn,rn = ъп(вт, z)/\j2ms"n(p(m) (n)

7m : sl(7m) =0, 0m = 7m + (fi + Ж/2.

Далее приводится описание алгоритма, разработанного для поиска полюсов Сп (в том числе и комплексных) элементов матрицы Грина, определяющихся из характеристического уравнения

Д(а, 7,w) = detTl = 0 (12)

Суть его состоит в первоначальном поиске всех нулей £п функции 1 /det А в некоторой окрестности вещественной оси и дальнейшем прослеживании их пути в комплексной плоскости при изменении частоты и или угла 7. Проводится сравнение дисперсионных и полярных кривых для конкретных композитных материалов, найденных с помощью данного алгоритма, с аналогичными результатами, опубликованными в статьях других авторов (L. Wang, F. G. Yuan - Composites Science and Technology 2007, V. 67 и др.).

В изотропном случае полюса („ не зависят от 7 и на отрезке [0,7г] имеется единственная стационарная точка 71 = тг/2, не зависящая от рассматриваемого направления излучения волн ср. В анизотропном случае уравнение для определения стационарных точек сводится к виду ctg7 = —Сп(^)> т.е. корнями 7т являются точки пересечения кривой — (In £(£?))' с графиком котангенса.

Рис. 2: Диаграмма направленности потока энергии в материалах Л4545 а) и ^4545' 6) для вертикального сосредоточенного источника. Внутренняя линия - поток энергии через поперечное сечение двух внутренних слоев.

Представление (11) является удобным как для модального, так и для амплитудного анализа. Его слагаемые описывают распространяющиеся от источника цилиндрические волны, убывающие с расстоянием как (гк)-1/2. Это

волны типа Релея-Лэмба, Стоунли и Лява, волновые числа которых 5п(7т) (и соответственно фазовые и групповые скорости щ = и/вп и сп = зависят от направления излучения Амплитудные множители (!„ „,., определяющие энергию и направленность излучения, зависят как от структуры материала, информация о которой учитывается в элементах матрицы К, так и от источника, влияние которого на характеристики возбуждаемого поля входит через вектор (ЦСп^т)-

В третьей главе проводится анализ влияния анизотропии на характеристики волн, возбуждаемых заданными источниками колебаний. Расчеты в основном проводятся для различных композитов, составленных из нескольких слоев армированного трансверсально-изотропного углепластика Л54/3502. Анализируется зависимость направленности потока энергии от порядка расположения слоев, толщины и ориентации волокон в них. Установлено, что направление распространения потока энергии от вертикального сосредоточенного (лазерного) источника в первую очередь зависит от ориентации волокон наружных слоев, как для симметричных, так и для несимметричных композитов.

4

3

2

1

О

2 1 О

О 5 10 15

а

Рис. 3: Общее количество волновой энергии Ео, закачиваемой в композит Аш> в зависимости от длины накладки 2а, и его распределение Ег по модам Ад. 5о и 51.

На рис. 2 для композитов Л4545 [45б/ — 465]., (рис. 2а) и Л4545' с упаковкой [452 / — 45$] 8 (рис. 26) приведены диаграммы направленности плот-

о

ности потока энергии Е(<р) = / (е, п('^^¿г, где п(^) = {соэ ср, Б1п0},

-н

е.; = — |(и1,т) - компоненты вектора плотности потока энергии Умова-Пойтинга е. У ламипата А4545/ внутренний слой в четыре раза толще внешнего. Сплошной линией обозначена общая плотность потока энергии, а прерывистой - часть потока, проводимая только внутренним слоем с ориентацией волокон —45°. Несмотря на то, что в материале Л4545 суммарная толщина слоев с различной ориентацией углеродных волокон одинакова, большая часть поступающей от источника энергии распространяется в направлении ориентации волокон крайних слоев. В материале Л4545' примерно одинаковое количество энергии распространяется во взаимно перпендикулярных направлениях 45° и —45° при четырехкратной разнице в толщине разнонаправлено армированных слоев.

90

Рис. 4: Полярные кривые мод Ао, £о, Для композита Аоео ПРИ ш = 1.

Если в материале присутствуют не взаимно перпендикулярные слои, то для лазерного источника максимумы диаграммы направленности по-прежнему определяются ориентацией волокон слоев, по при этом не совпадают с ней: потоки энергии с максимальной плотностью формируются не вдоль

волокон, а под небольшим углом к ним.

Рис. 5: Распределение по модам Ло,5о.5^ направленности потока энергии в алюминиевой пластине а) и композите Лобо 6) для пьезонакладки а = 5,6 = 3 при ш — 1.

Анализируется распределение по модам энергии, поступающей в композит от стандартных пьезоакгуаторов. Поскольку действие пьезонакладок моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей контакта с поверхностью композита, волны, порождаемые противоположными концами накладки, могут встречаться в фазе, взаимно усиливаясь, либо наоборот, гаситься, встречаясь в противофазе. При размерах накладки 2а х 26 максимумы энергии п-й моды с волновым числом достигаются при а = а/с = ттк/(п. В анизотропном композите значения полюсов = Сп(7) зависят от угла 7, поэтому распределение энергии по модам зависит не только от частоты и размера пьезонакладок, но и от ориентации армирующих волокон композита. На рис. 3 приводится зависимость распределения энергии по модам от длины а пьезонакладки фиксированной ширины 6 = 3 для четырех-слойного симметричного композита Аоео с упаковкой [Ох/бО^ при ш = 1. На этой частоте распространяются три моды, две симметричных 5о и и одна антисимметричная Ао, их полярные кривые Сп(7) приведены на рис. 4. Здесь Ао - это изгибная волна, 5о - квазипоперечная, - квазипродольная волны

Лэмба. Так как пьезоактуатор расширяется вдоль оси х, то для каждой моды максимум достигается при длине накладки а^ = ттк/(п(0).

На рис. 5 приведены диаграммы направленности потока энергии, закачиваемой пьезонакладкой с размерами а = 5,6 = 3 для изотропной алюминиевой пластины (а) и композита Лобо (б) на частоте и = 1, а на рис. 6 график зависимости плотности потока энергии от координаты

2тг

Е(г) = Ншт-^оо / (еп, п)гс£<р. Волна ¿¡1 является квазипродольной, в направле-о

нии 7 = 0 переносит большее количество энергии, становясь чисто продольной.

а) 6)

Рис. Су. Распределение но модам А0, 5о, £1 направленности потока энергии в алюминиевой пластине а) и композите Аобо б) для пьезонакладки а = 5,6 = 3 при ш = 1.

На рис. 7 приводится зависимость закачиваемого потока энергии от длины пьезонакладки 2а для двух однослойных композитов Ах и Ау. У первого волокна ориентированы параллельно оси х, т.е. совпадают с направлением расширения пьезоактуатора, у второго параллельно оси у. При ориентации актуатора вдоль армирующих волокон в композит закачивается в 3 — 4 раза меньшее количество энергии, чем при ее излучении в направлении перпендикулярном волокнам. В композите Ау переносимая энергия распределена по модам равномерно, тогда как в Ах квазипоперечная мода ¿о практически не распростр аняется.

Из рис. 56 и рис. 66 видно, что основной поток энергии, переносимой каждой из мод, распространяется в различных направлениях. При изменении размеров пьезоактуатора или частоты и> между модами происходит перераспределение количества переносимой энергии (рис. 7), вследствие чего направление излучения общего потока меняется.

б)

"о 5 10 15 20

-■(л fv ' у у 4.J V А.У ••

Рис. 7: Сверху общий лоток закачиваемой энергии в зависимости от длины накладки, снизу - распределение по модам для композитов Ах а) и А, 6).

В диссертации также приводятся примеры распространения нестационарного импульса и строятся теоретические сейсмограммы для точек, расположенных в разных направлениях от источника.

В качестве примера использования разработанной модели в задачах геофизики приведена количественная оценка погрешности определения толщины осадочных пород методом SASW (Spectral Analysis of Surface Waves). Данные расчеты были проведены при сотрудничестве с американским геофизиком Р. Вильямсом (Prof. R. Williams, KTU, Tennessee), обратившим внимание на небольшую, но систематическую погрешность в определении толщины осадочных пород указанным методом.

Причина погрешности кроется в совпадении кривых фазовых скоростей волн Лява для изотропного волновода и аналогичных кривых для волновода большей толщины, но с анизотропией скоростей в вертикальной плос-

Рис. 8: Смещение кривых фазовых скоростей волн Лява а) и изменение формы кривых для волн Рэлея б) при 30%-ном увеличении скорости распространения волн в вертикальном направлении.

кости (рис. 8 а). При этом изначально заложенная в изотропной модели заниженная скорость распространения поперечных волн в вертикальном направлении не позволяет обнаружить данную ошибку с помощью измерения времени прихода отраженной от границы подстилающей породы волны, поскольку для обеих сред это время одинаково.

Была сформулирована рекомендация для инженерно-строительной практики дополнить метод йАЗ'УУ измерениями вертикальных компонент смещений грунта, характеризующих прохождение волн релеевского типа, для которых форма кривых фазовых скоростей зависит от вертикальной анизотропии осадочных пород (рис. 86).

В заключении дается краткая сводка результатов, указывается их научное и практическое значение.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Глушков Е.В., Глушкова Н. В., Кривонос А. С. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // Прикладная математика и механика. Том 74. Вып. 3, 2010, С. 419-432.

2. Кривонос A.C. Энергетические характеристики упругих волн в многослойных анизотропных композитах // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2009, № 3. С. 64-71.

3. Глушков Е.В., Глушкова Н. В., Еремин A.A., Кривонос А. С. Влияние анизотропии на распространение упругих волн в многослойных материалах с неоднородностями // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции. Ростов-на-Дону. 2009. Т. 1. С. 62-66.

4. Глушков Е.В., Глушкова Н. В., Еремин A.A., Кривонос А. С. Расчет динамической реакции протяженных многослойных анизотропных структур // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете (Дивноморск 1-5 июня 2009). Труды V Всероссийской школы-семинара. Дивноморск, 2009. С. 27-28.

5. Глушков Е.В., Глушкова Н. В., Кривонос А. С. Распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах (Анапа 1-5 октября 2008). Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Анапа, 2008. С. 37-40.

Подписано в печать 26.10.10. Формат 60x84/16. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Усл. печ. 1,2. Уч.-изд. 1,53. Тираж 100 экз. Заказ № 10327.

Тираж изготовлен с оригинал-макета заказчика в типографии ООО «Просвещение-Юг» 350069, г. Краснодар, ул. Селезнева, 2.

Введение

1 Математическая модель, волновые процессы в композиционных анизотропных многослойных материалах

1.1 Основные соотношения теории упругости анизотропных сред

1.2 Виды анизотропии.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Интегральное представление волновых полей.

1.5 Нормальные моды и их выделение из интегрального представления

1.6 Алгоритм построения матрицы Грина для многослойного анизотропного волновода.

1.7 Энергия упругих волн.

2 Специфические проблемы компьютерной реализации разработанной модели

2.1 Моделирование воздействия пьезонакладок, присоединенных к поверхности композитных структур.

2.2 Алгоритм поиска полюсов матрицы Грина для анизотропного волновода.

2.3 Асимптотики волновых полей в дальней зоне.

2.4 Методы расчета волновых полей.

2.5 Верификация результатов численных экспериментов

3 Анализ влияния анизотропии на характеристики волн, возбуждаемых заданными источниками колебаний

3.1 Анализ гармонических волновых полей слоистых композитов

3.2 Энергетические характеристики волновых полей в многослойных анизотропных композитах.

3.3 Распределение количества переносимой энергии по модам

3.4 Распространение нестационарных импульсов.

3.5 Влияние анизотропии на точность оценки толщины осадочных пород геофизическими методами виброзондирования.

Композиционные материалы представляют собой многокомпонентные материалы, состоящие, как правило, из пластичной основы - матрицы, которая армирована наполнителями, обладающими высокой прочностью. Сочетание разнородных веществ приводит к созданию нового материала, свойства которого количественно и качественно отличаются от свойств каждого из его составляющих. Изменяя состав матрицы и наполнителя, их соотношение, ориентацию наполнителя, получают широкий спектр материалов с требуемым набором свойств. Многие композиты превосходят традиционные материалы и сплавы по своим механическим свойствам обладая то же время меньшим весом. Использование композитов обычно позволяет уменьшить массу конструкции, например, летательных аппаратов, при сохранении или улучшении ее механических характеристик.

По структуре композиты делятся на несколько основных классов: волокнистые, слоистые, дисперсно-упрочненные, упрочненные частицами и на-нокомпозиты. Волокнистые композиты армированы волокнами или нитевидными кристаллами. Уже небольшое содержание наполнителя в композитах такого типа приводит к появлению качественно новых механических свойств материала. Широко варьировать свойства материала позволяет также изменение ориентации размера и концентрации волокон. При этом армирование волокнами придает материалу анизотропию механических свойств (различие свойств в разных направлениях), а за счет добавки волокон проводников материалу можно придать электропроводность вдоль заданной оси.

В слоистых композиционных материалах матрица и наполнитель расположены слоями, как, например, в особо прочном стекле, армированном несколькими слоями полимерных пленок. Слоистые композиты также могут состоять из нескольких слоев волокнистых композитов склеенных между собой, в каждом из которых армирующие волокна располагаются под разными углами. Широко распространенным примерами таких материалов являются армированные углепластики, применяемые в авиастроении, а также фанера.

Слоистые композиты -являются одним из самых многочисленных и разнообразных видов композитов. Их применение в различных областях дает значительный экономический эффект. Например, использование полимерных слоистых композитных материалов при производстве космической и авиационной техники позволяет сэкономить от 5 до 30% веса летательного аппарата.

Изучение распространения волн, а также динамического поведения композитных материалов, важно для предсказания поведения материалов под действием различных нагрузок, в том числе ударных, для определения собственных частот колебаний, при разработке методов ультразвуковой дефектоскопии или дистанционного волнового мониторинга конструкций с помощью распределенной системы пьезоактуаторов и сенсоров (SHM - structural health monitoring [82, 85]). В последние годы ультразвуковой контроль все шире применяется в промышленности, энергетике, аэрокосмической сфере, поскольку позволяет на ранних стадиях выявлять внутренние дефекты материалов, образующиеся в течение жизненного цикла, такие как микротрещины, коррозия, отслоения, полости и т.д.

Методы неразрушающего контроля можно разделить на пассивные и активные. В первом случае постоянные датчики фиксируют сигналы акустической эмиссии, генерируемые в процессе роста трещины, во-втором - волновые пакеты возбуждаются ультразвуковыми актуаторами и о наличии дефектов судят по зарегистрированным отраженным волнам ([73, 81, 89, 91, 94]). В них для генерации и регистрации импульсов обычно используются пьезоэлектрические элементы и/или лазеры. Пьезоактуаторы могут быть выполнены в виде прямоугольных, круглых или кольцевых накладок. Их стоимость невелика, они имеют малый размер: толщина керамических достигает 0.1 мм, а изделий на основе полимерных пленок на порядок меньше. Это дает возможность не только размещать их на поверхности исследуемых материалов, но и непосредственно интегрировать в структуру конструкций. В последнем случае для проведения мониторинга необходимо только соединить датчики с регистрирующим аппаратным комплексом, что значительно снижает объем и время проведения подготовительных работ.

Принцип действия пьезоэлементов основан на использовании обратного пьезоэлектрического эффекта: под действием электрического импульса они расширяются или сужаются, передавая колебания конструкции, к которой прикреплены. Частота генерируемых волн регулируется частотой подаваемого на элемент напряжения. Прямой пьезоэлектрический эффект, т.е. способность поляризоваться под действием механических напряжений, позволяет использовать пьезоэлементы как высокочувствительные датчики. При этом сила и частота механических напряжений прямо пропорциональны снимаемым с контактов датчика величине и частоте напряжения. К недостаткам пьезоактуаторов и пьезодатчиков относится их способность создавать или, соответственно, воспринимать па границе контакта только касательные напряжения. Поэтому, для генерации и регистрации волн с амплитудой перпендикулярной плоскости поверхности, используются лазерные виброметры и дополняющие пьезодатчики. Существуют лазерные виброметры способные измерять все три компоненты вектора перемещений поверхности, в состав которых входят несколько считывающих головок, расположенных под различными углами, но такая аппаратура в настоящее время является довольно дорогой и используется редко.

Существуют два основных подхода при проведения неразрушающе-го контроля: пульс-эхо (pulse-echo) и пустил-поймал (pitch-catch). В первом случае актуатор одновременно является и сенсором. Он генерирует синусоидальный сигнал длительностью в несколько периодов и переключается в режим сенсора, принимая отраженный от границ и дефектов сигнал. Поскольку расположение и форма границ исследуемого объекта известны, вклад отраженных от них волн вычитается из принятого сигнала, а на основании силы и формы оставшегося сигнала, используя известные направление излучения и скорость распространения волн для центральной частоты исходного импульса, делается вывод о расположении и размере дефектов. В методе pitch-catch источник и приемник пространственно разнесены, и анализируется не отраженный, а прошедший сигнал, на амплитуду, частоту и форму которого оказали влияние дефекты.

Очевидно, для практической реализации указанных методов необходимы надежные математические модели, описывающие возбуждение и распространения упругих волн в композитных материалах, основанные на решении соответствующих задач теории упругости. В зависимости от используемого математического подхода методы моделирования волновых полей, можно разделить на три большие группы

1) прямые численные методы (метод конечных элементов (МКЭ), конечно-разностная аппроксимация);

2) интегральный подход (граничные интегральные уравнения (ГИУ), метод граничных элементов (МГЭ), интегральные представления с помощью матрицы Грина);

3) асимптотические методы (лучевой метод, обобщенная лучевая теория).

Ни один из данных методов не является универсальным, область применения каждого из них имеет свои ограничения. Ниже дается их обзор и сравнительная характеристика эффективности, показывающая, что для рассматриваемого случая многослойного композита оптимальным является использование методов второго (интегрального) подхода. Приводится более подробное описание конкретного варианта интегрального подхода, который предполагается использовать в дальнейшем.

Использование прямых численных методов как правило предполагает разложение искомого поля смещений по координатным функциям (конечным элементам), заданным в ячейках сетки, покрывающей (аппроксимирующей) рассматриваемый объем V. Использование определенных вариационных условий сводит дискретизированную задачу к системе линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей, решение которой дает неизвестные коэффициенты разложения решения по выбранному базису [27, 29].

В отличие от МКЭ, более подходящим для определения гармонических установившихся колебаний, конечно-разностные методы чаще применяются при решении нестационарных задач. При этом аппроксимация уравнений на пространственной сетке дополняется дискретизацией по времени и решение строится последовательно на временных слоях [86]. Такой подход позволяет получить наглядную картину распространения волн от источника и их трансформации при взаимодействии с границами слоев и другими неодно-родностями.

Прямые численные методы являются наиболее универсальным из трех выделенных групп, теоретически они позволяют получить приближенное численное решение для тел любой формы (например, для рельефной поверхности или для слоев переменной толщины) и произвольной неоднородности. Однако методы этой группы, как известно, являются очень затратными с точки зрения вычислительных ресурсов, причем измельчение сетки как в местах быстрого изменения решения или свойств среды (угловые точки, границы раздела контрастных слоев, область приложения нагрузки и т.п.), так и связанное с ростом частоты и уменьшением длины волны, приводит к быстрому росту размерности системы и соответственно вычислительных затрат. Кроме того, с ростом размерности системы растет и число обусловленности, что с определенного момента делает невозможным ее решение, даже при наличии необходимых вычислительных ресурсов. Особенно быстро пределы практической применимости достигаются при решении трехмерных задач. Еще одним недостатком является отсутствие физической наглядности - из полученного численного решения непосредственно не видны типы составляющих его волн. С другой стороны, прямые численные методы не требуют проведения углубленной аналитической работы, поэтому они пользуются широкой популярностью, особенно в инженерной практике, о чем свидетельствует большое количество публикуемых работ с их использованием (см., например, [64, 84, 95]).

Лучевой метод. В практической геофизике и сейсморазведке интерпретация данных наблюдения (сейсмограмм) традиционно базируется на лучевом подходе [7]. Геометрическая сейсмика изучает формы волновых фронтов, законы хода сейсмических лучей, их отражения и преломления на границах раздела и искривления в зонах плавной неоднородности в предположении об их абсолютной локальности, что равносильно допущению бесконечной малости длины волны [48]. Тем самым лучевой подход дает асимптотические результаты, справедливые для высокочастотного, т.е. коротковолнового диапазона. Главным преимуществом лучевого подхода является его физическая наглядность, позволяющая проследить для заданной точки ход каждой из приходящих в нее волн, а также самые низкие вычислительные затраты, поскольку результат получается практически в явном аналитическом виде.

Однако результаты, полученные лучевым методом, становятся неприменимыми, когда длина волны соизмерима или больше характерного размера тела, например, толщины одного из слоев композита. Кроме того, многократные переотражения между границами слоев приводят к лавинообразному росту числа приходящих лучей даже для не очень удаленных приемников. В результате построение волнового поля для слоистой среды также становится непростой задачей. Отчасти данные трудности снимаются использованием гибридных схем или обобщенным лучевым методом, когда наряду с лучами рассматриваются и нормальные моды, распространяющиеся вдоль слоев [12, 63].

Но более естественно такие асимптотические разложения выводятся из интегральных представлений для матрицы Грина многослойного волновода. В рамках интегрального подхода перемещения волнового поля и представляется в виде свертки матрицы Грина &(х) рассматриваемого пакета слоев или слоистого полупространства с возбуждающей его поверхностной нагрузкой q: и = к * q [5, 6, 17]. Сведение контурных интегралов, входящих в представление /с(х), к сумме вычетов дает искомое разложение волнового поля по нормальным модам. При этом информация об источнике входит в такое разложение автоматически через заданную функцию нагрузки q, поэтому здесь не требуется сложной процедуры сшивания с численным решением в ближней зоне. Ключевым моментом практической реализации интегрального подхода является разработка эффективных алгоритмов построения матрицы Грина для рассматриваемых волноводных структур.

Используемые здесь методы и подходы [37, 40,46, 47, 59, 68, 79, 74], как правило, восходят к матричным алгоритмам Томсона-Хаскела-Петрашеня [45, 71, 88], предложенным еще в 50-е годы для пакета изотропных упругих слоев (см., например, обзор [12]). В рамках данного подхода построение дисперсионных соотношений для нормальных мод сводится к поиску нулей определителя матрицы, формируемой из граничных условий между слоями, а собственные формы нормальных мод выражаются через соответствующие собственные векторы этой матрицы.

В 1980-90х годах в работах A. H. Nayfeh, J. L. Rose, M. J. S. Lowe [66, 74, 79] данные алгоритмы были обобщены на случай анизотропных слоистых волноводов, и к настоящему времени они являются основным инструментом модального анализа для таких структур. Конкретные характеристики волн Лэмба, полученные в рамках данного подхода для используемых на практике композитов, приводятся, например, в работах [61, 62, 83, 90, 91]. Так, L. Wang в своей работе [91] приводит полярные и дисперсионные кривые для фазовых и групповых скоростей волн Лэмба для слоистых композитов, а К. Balasubramaniam [62] сравнивает результаты расчета направленности потока энергии поверхностных волн, генерируемых лазерным лучом, с экспериментальными данными. Результаты из последних двух работ были использованы для верификации компьютерной реализации алгоритма, описываемого в диссертации.

В большинстве работ, однако, рассматриваются только собственные решения (нормальные моды) без учета источника колебаний. Учет источника приводит к необходимости численного или асимптотического анализа интегральных представлений, поэтому число таких публикаций существенно меньше. Здесь можно указать на работы S. I. Rokhlin, P. Wilcox и A. Velichko [83, 90], которые также используют интегральный подход для построения волновых полей в анизотропных композиционных панелях. Но в первом случае рассматриваются только волны идущие поперек пластины (нет волн Лэм-ба), а во втором не используется матричный алгоритм построения фундаментальных решений, поскольку анизотропные слои заменяются приближенным осредненным однородным слоем.

Методы численного и асимптотического анализа контурных интегралов, возникающих в динамических задачах теории упругости для многослойных структур разрабатывались в работах И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. А. Бабешко, Г. Я. Попова, С. М. Айзиковича, Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой, О. Д. Пряхиной и др. В них же были предложены численно устойчивые алгоритмы формирования матрицы Грина для большого числа слоев. В диссертационной работе данные подходы обобщены на случай анизотропных сред. Численная устойчивость разработанных алгоритмов построения матрицы Грина обеспечивается аналитическим выделением экспоненциально растущих составляющих и выносом их за рамки численных процедур.

В рамках интегрального подхода решаются также и задачи модального анализа: полюса Фурье-символа К матрицы Грина к являются волновыми числами, а вычеты в них - собственными формами нормальных мод. Интегральные представления используются также при определении динамической реакции на заданное силовое (контактное) воздействие. Смещения поверхности в области приложения нагрузки, необходимые для анализа динамической реакции материала, определяются путем численного интегрирования, либо (при заданных смещениях в зоне контакта) задача сводится к интегральному уравнению типа свертки относительно неизвестных контактных напряжений q [17].

В диссертации дается описание реализации интегрального подхода для решения задач волнового мониторинга слоистых композитов, т.е. многослойных волноводов с произвольной анизотропией составляющих слоев.

Структура и содержание диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ходе выполнения диссертационной работы был разработан и реализован метод расчета динамического поведения анизотропных многослойных композитных материалов под действием заданных силовых нагрузок, позволяющий проводить быстрый параметрический анализ их динамической реакции, а также амплитудных и энергетических характеристик возбуждаемых волновых полей.

Проведены численные исследования характерных особенностей влияния анизотропии свойств используемых на практике углепластиков на волновые и энергетические характеристики ультразвуковых сигналов, возбуждаемых в них современными средствами активного неразрушающего контроля. Возможности разработанной модели продемонстрированы также на примере оценки толщины осадочных пород методом сейсмозондирования с учетом их реальной анизотропии.

Работа выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы Минобрнауки, проект № 2.1.1/1231 и гранта РФФИ № 0701-00307.

Примечание. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [21, 22, 23, 24, 31] и получены автором совместно с Е. В. Глушковым и Н. В. Глушковой. Постановку задачи и общее руководство исследованием осуществляли Е. В. Глушков и Н. В. Глушкова. Автором диссертации осуществлена реализация методов решения рассмотренных задач, разработаны пакеты программ, проведены численные расчеты и дан анализ полученных результатов.

1. Александров К.С., Продайвода Г.Т. Анизотропия упругих свойств минералов и горных пород. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000. — 354 с.

2. Алексеев А. С. Михайленко Б. Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. - № 12.

3. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. - 415 с.

5. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. - Т. 27. № 1. С. 93-101.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: Линейные и нелинейные волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 272 с.

8. Балакирев М. К., Гилинский И. А. Волны в пьезокристаллах. М.: Наука, 1982. 240 с.

9. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.

10. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.

11. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

12. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. - 416 с.

13. Буланов И.М., Воробей В.В. Технология ракетных и аэрокосмических конструкций из композитных материалов. М.: МГТУ им Н.Э. Баумана, 1998. 516 с.

14. Ватульян А.О. Контактные задачи со сцеплением для анизотропного слоя // ПММ. 1977. - Т. 41. Вып. 4. С. 727-734.

15. Вержбицкий В.М. Численные методы, М.: Высшая школа, 2001. 382 с.

16. Владимиров B.C. Обобщенные функции. М.: Наука, 1989. - 422 с.

17. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

19. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Интегральные преобразования в зада- чах теории упругости. -Краснодар, КубГУ, 1990. 57 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Еремин A.A. Михаськив В.В., Метод слоистых элементов в динамической теории упругости // ПММ. 2009.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах. // ПММ. Том 74. Вып. 3, 2010. С. 419-432

22. Глушков Е.В., Сыромятников П.В. Анализ волновых полей, возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в анизотропном полупространстве // Краснодар, 1985, 11 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом, Деп. в ВИНИТИ 07.08.85, № 5861-85.

23. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. - 294 с.

24. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 442 с.

25. Емельяненко П.Ф., Яковлева Е.Б. Петрография магматических и метаморфических пород. — М.: Изд-во МГУ, 1985. 248 с.

26. Зенкевич О. С., Морган К. Конечные элементы в аппроксимации. М.: Мир, 1986. - 313 с.

27. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. -М.: Наука, 1984. 403 с.

28. Кривонос A.C. Энергетические характеристики упругих волн в многослойных анизотропных композитах // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2009, № 3. С. 64-71.

29. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 334 с.

30. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963. - 411 с.

31. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976. 315 с.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В., Методы функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

33. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. - 416 с.

34. Лёвшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: Физматгиз, 1963. - 269 с.

35. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике.- М.: Наука, 1972. 348 с.

36. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. М.: Наука, 1978.

37. Молотков Л. А., Смирнов Н.С. К вопросу о колебании пачки тонких слоев между двумя упругими полупространствами // Вопросы динамики теории распространения сейсмических волн. Л., 1971.

38. Нагорный C.B., Черкасова И.В. Нахождение акустических осей в кристаллах при помощи приведения тензора Кристоффеля к верхней форме Хессенберга. Краснодар. 1984. - 19 с. Рукопись представлена Кубанским госуниверситетом, Деп. в ВИНИТИ 06.07.84, № 4763-84.

39. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 325 с.

40. Партон В. 3., Кудряыцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. - 472 с.

41. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

42. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. Зап. ЛГУ, iL, 1952.

43. Попов Г.Я. К решению задач механики и математической физики для слоистых сред// Изв. АН СССР. Механика. 1978. - № 2.

44. Приварников А. К. Пространственная деформация многослойного основания // Устойчивость и прочность конструкций. Днепропетровск: Изд-во Днепр, ун-та, 1973.

45. Сейсморазведка. Справочник геофизика / Под ред. И.И.Гурвича, В.П.Номоконова. М.: Недра, 1981.

46. Сиротин Ю.И., Шаскальская М.П. Основы кристаллофизики. Учебное пособие. М.: Наука, 1979. 640 с.

47. Снеддон И., Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

48. Сыромятников П.В. Энергия электроупругих волн, возбуждаемых поверхностным гармоническим источником в пьезоэлектрической полуограниченной среде. Дне. . канд. физ.-мат. наук, 01.02.04, Кубанский госуниверситет, 1996 г. - 228 с.

49. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. -576 с.

50. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972. 736 с.

51. Умов H.A. Избранные сочинения. М.: Гостехиздат, 1950. - 517 с.

52. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965.

53. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

54. Хан X. Теория упругости. М.: Мир, 1988. - 344 с.

55. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного, Гостехиздат, 1954.

56. Шевляков Ю. А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев; Одесса: Вища школа, 1977. - 245 с.

57. Achenbach J. D. Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Holland, 1973. - 425 p.

58. K. Balasubramaniam, On a numerical truncation algorithm for transfermatrix method // J. Acoust. Soc. Am. 2000. 107(2), p. 1053-1056.

59. Balasubramaniam K., Krishnamurthy C.V., Ultrasonic guided wave energy behavior in laminated anisotropic plates // Journal of Sound and Vibration. 2006. V. 296. P. 968-978.

60. Cerveny V., Molotkov L.A., Psencik I. Ray method in Seismology. Praha: Univerzita Karlova, 1977.

61. Chang J., Zheng C., Ni Q.-Q. The ultrasonic wave propagation in composite material and its characteristic evaluation //Composite Structures. 2006. 75 P. 451-456.

62. Cheng A., Murray T. W., Achenbach J. D. Laser-generated ultrasonic waves in layered plates: simulation and measurement // Center for Quality Engineering and Failure Prevention Northwestern University, Evanston, IL 60208-3020, 2003.

63. Ditri J. J., Rose J. L. Excitation of guided waves in generally anisotropic layers using finite sources // Journal of Applied Mechanics. 1994. 61, 330-338.

64. Dominguez J. Boundary elements in dynamics // Comput. Mech. Publ., Southampton and Elsevier Appl. Sci, London, 1993.

65. Dunkin J. W. Computations of modal solutions in layered elastic media at high frequencies. Bull. Seism. Soc. Amer. - 1965. - V. 55. - P. 335 - 358.

66. Giurgiutiu V., Lamb wave generation with piezoelectric wafer active sensors for structural health monitoring // Proc. SPIE. 2003. Paper No. 5056-17.

67. Hahn H. T., Erian A. Armanios, Paul A. Lagace. Composite Materials: Fatigue and Fracture. ASTM, 1997. 557.

68. Haskell N. A. The dispersion of surface waves on multilayered media, Bull. Seism. Soc. Amer. 1953. 43, 17-34.

69. Berthelot J.-M., Sefrani Y. Damping analysis of unidirectional glass and Kevlar fibre composites// Composites Science and Technology Volume 64, Issue 9, July 2004, Pages 1261-1278.

70. Lemistre M., Balageas D. Structural Health Monitoring System Based on Diffracted Lamb Wave Analysis by Multiresolution Processing // Smart Materials and Structures, 2001. V. 10. No. 3. P. 504-511.

71. Lowe M. J.S. Matrix techniques for modeling ultrasonic waves in multilayered media // IEEE Trans Ultrason Ferroelectr Freq Control. 1995. V. 42. N 4. P. 525-542.

72. Manolis G.D., Bescos D.E. Boundary element methods in Elastodynamics, Unwin-Human (Chapman h Hall), London, 1988.

73. Masterts J. E. Characterisation of impact damage development in graphite/epoxy laminates // Fractgraphy of Modern Engeniring Materials: Composites and Metals. Philadelphia. 1987. pp. 238-258.

74. Moulin E., Assaad J., Delebarre Ch., Osmont D., Modeling of Lamb waves generated by integrated transducers in composite plates using a coupled finite element-normal modes expansion method //J. Acoust. Soc. Am. 2000. V. 107. № 1. P. 87-94.

75. Murillo C. A., Thorel L., Caicedo B. Spectral analysis of surface waves method to assess shear wave velocity within centrifuge models // Journal of Applied Geophysics. Vol. 68. Issue 2. 2009. P. 135-145

76. Nayfeh A.H. The general problem of elastic wave propagation in multilayered anisotropic media //J. Acoust. Soc. Am. 1991. V. 89. N 4. P. 1521-1531.

77. Osama M. Analysis of dispersed multi-mode signals of the SASW method using the multiple filter/crosscorrelation technique // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. Vol 13. Issue 1. 1994. P. 13-24

78. Raghavan, A., Cesnik, C. E. S. Finite-dimensional Piezoelectric Transducer Modeling for Guided Wave Based Structural Health Monitoring // Smart Materials and Structures, 2005. V. 14. No. 6. P. 1448- 1461.

79. Raghavan A., Cesnik C.E.S. Review of Guided-wave Structural Health Monitoring // The Shock and Vibration Digest, 2007. V. 39. No. 2. P. 91114.

80. Rokhlin S. I. , Wang L. Ultrasonic waves in layered anisotropic media: characterization of multidirectional composites. Int. J. Solis and Structures 2002. 39, p. 5529-5545.

81. Su Zh., Ye Lin, Lu Ye, Guided Lamb waves for identification of damage in composite structures: A review // Journal of Sound and Vibration. 2006. 295 P. 753-780.

82. Tanaka M., Matsumoyo T. Transient elastodynamic boundary element formulations based on the time-stepping scheme // Int. J. Pres. and Pip. 1990. V. 42. No 1. P. 89-93.

83. Tanura K. Stroh Formalism and Rayleigh Waves. Springer. 2007. 159.

84. Thomson W. T. Transmission of elastic waves through a stratified medium, J. Appl. Phys. 1950. 21, 89-93 .

85. Veidt, M., Liu, T., Kitipornchai, S. Flexural Waves Transmitted by Rectangular Piezoceramic Transducers // Smart Materials and Structures, 2001. V. 10. No. 4. P. 681-688.

86. Velichko A., Wilcox P. Modeling the excitation of guided waves in generally anisotropic multilayered media // Acoustical Society of America, 2007. 121(1). P. 60-69.

87. Wang, C. H., Rose, J. T., Chang, F-K. A Computerized Time-reversal Method for Structural Health Monitoring // Proceedings of the SPIE, 2003. No. 5046. P. 48-58.

88. Wang L., Yuan F.G., Group velocity and characteristic wave curves of Lamb waves in composites: Modeling and experiments // Composites Science and Technology. 2007. V. 67. P. 1370-1384.

89. Wang X.D., Huang G.L. The electromechanical behavior of a piezoelectric actuator bonded to an anisotropic elastic medium // International Journal of solids and Structures. 2001. V. 38. P. 4721-4740.

90. Wilcox P. Acoustic Fields from PVDF Interdigital Transducers // IEE Proceedings: Science, Measurement and Technology, 1998. V. 145 No. 5. P. 250-259.

91. Zak A., Krawczuk M., Ostachowicz W. Propagation of in-plane elasticwaves in a composite panel // Finite Elements in Analysis and Design 2006. 43 p.145 154.