Возбуждение и стабилизация диссилятивных неустойчивостей в элетропроводящих жидкостях и плазме тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

лл тг ,,, / « еуЛьиу ¿Г//?Л71//Ч/^

ВОЗБУЖДЕНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ДПССИПАТИВШХ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЯХ И ПЛАШ

01.02.05 - механика .жидкостей, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 537.84

САГАЛАКОВ Анатолий Михайлович

Новосибирск - 1989

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете им, Ленинского комсомола, Алтайском государственном университете и Институте теплофизики СО АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Ю.Б. Колесников

доктор физико-математических наук, профессор Ь.Я» Левченко

доктор физико-математических наук, профессор С.Л. Ыущер

Ведущая организация: Ордена Ленина Институт атомной энврг^ш им. И,Ь. Курчатова

Защчта состоится "_"_ 1983 года в_часор

на заседании снец.'.гим'.и:] оьашюго Ооьета Д,Ю2,£5,01 но защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теплофизики СО АН СССР (630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, I).

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" __ 1983 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор технических наук, профессор- г- / H.A. Рубцов

I. ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБСШ

Актуальность. Диссилатипше неустойчивости вызывают многие вапше физические процессы а кидких л газообразных электропроводящих средах. Факторы-,диссипации, обладая "пвподоксаль-ннм" действием,могут вызывать неустойчивости, которые были бы невозможны в рамках идеальной модели. Наличие диссипации в неоднородных средах обычно приводит к возникновении собственных колебаний, которые могут раскачиваться в результате действия определенных факторов нерэвчовесности. Особенно слокная картина неустойчивости наблюдается в тех случаях, когда существенно однозрешенное действие различных дпссилатизных факторов.

Магнитное поло можот радикально влиять на устойчивость ламинарных течений жидких металлов и электропроводящих газев. Стабилизирующее действие магнитного поля является исключительно вакным и широко используется на практике з различных МГД-устройствах. В других случаях монет возникать своеобразная "двумерная" турбулентность, свойстве которой интенсивно исследуются в последноа время. Электрическое поло мс-у.эт также эффективно воздействовать на течения. слзбоггроводящей ззрякзнной жидкости. Теоретические исследования устойчивости злектрогид-родинамшесклх течений стпмулируютйя разнообразны:" приложениями в технике.

Интересное и важное физическое явление представляет ти-ринг-неустойчивость. (разрывная неустойчивость), обусловленная конв-ной величиной электрического сопротивления. Разрывная неустойчивость является наиболее важной макроскопической неустойчивостью, которая трудно контролируется в пинчах и тороидальных системах для получения плазмы с термоядерными параметра!,и. В результате раевлтпя тярииг-мода возникают колебания Мирпова, малые л большие срывы разряда в токомаке, аномально быстрое проникновение тока во время начальной ситовой фазы разряда. Тиринг-неустсйчизость имеет определенные черты сходства с не-устойчлвостяш конвективных и МГД-течений вязкой кидкости и может изучаться с помощью методов, первоначально применяемых для анализа потоков электропроводящей ккдкостп. Разрывная неустойчивость лекит и в основе многих астрофизических явлений. Когда резонансная поверхность выходит за пределы разряда, тн~

з-

ринг-неустойчивость плазменного шнура переходам в винтовую не-усто:гчивость, изучение которой токи представляет большой ин-торес для физики газового разряда и управляемой термоядерной реакции. ' ,

Типинг-моду относят к глаосу альфвоновских возмущений, в который, естественно, включаются и альфвеновские волны. Изучение эльфиаоиских воли в неоднородной диссииатшшой плазма представляет значительный интерес в связи с проблемой дополнительного нахреьа плазш Ш-полянп и '-учши нейтральных атомов длг получения управляемой термоядерной реакции.

В настоящее время обсукдается возможность использования ;.1ГД-насосоз ооль^ой мощности для агрегатов ядерной энергетики, Для отих установок характерны оольпие магшгаши числа Рейноль-ДсаД^. (пень больопа величины/¿т характерны для потоков пла-зми в астрсч^зг.чоокюс у слов ¡их. Поэтому изучение диссипатшшых неустойчивостей в ¡Л'Д-теченплх при болъп;к Я^такне является актуальной задачей.

Состояние исследований. К настоящему времени ряд вопросов магнитно;1; гедродлнамша хорошо изучен, рцнако мномо вопроси усто:гчлвостп I! турбулентности ¡.1ГД~кошТ.пгураций вса еще разработаны слаоо. иакиии результаты получены в монографиях, обзора/. и статье Е.И.Ьалтсоаа, Б.Б.Кадсмцива, В.Д.Шафраново, Ю.А. Березина, С.В.Буланова, Ю,Н.Днестровского, В.И.Иевлева, Л.Е.Захарова, А.Б.;.!ихайловского, Д.II.Костомарова, О.П.Погуца, А.1.1.Попова, С.И.Саповатского, А.Ь.Тимофеева, З.И.Крченко, Еейтмана, Восссиа, Байта, Бетчова ¡1 Криминале, Дкозофа, ¿орта, Кпллеена, Розонблгл'а, Копии, Ру, Резпрфооца, Грим-ма, Хаита, Как известно, теория устойчивости течений вязкой и'.дкости создавалась сшило полувека. Однако некоторые раздели зто1: теории (деко лннойиой!) все шце разработаны слабо, несмлрл на большое никшпо к данным вопросам крупна;ших ученых н области м.а тематики, механики и физики. Исследование диссшхативных не^стойчивостой в пшшт-ной гидродинамике с спрятано с ох'.а бг'льинми трудностямл.

Усто^швость параллельных ЫГД-течешШ при малых рассматривалась в работах Стеарта, Докка, Хаита, Какутани, в которых были получоны вашыэ результат и. Рднако всздоНстше магнитного полл на устойчивость было изучено недостаточно. Результаты работ К,Б,Павлова и Какутани противоречили друг другу.

Совершенно не был исследован спектр малых возкущашш. Отсутствовали численные данные, получаемо при расчетах на ЭЫ, которые обычно являются более точными е сравнении с результатами асимптотических методов. Но рассматривалась устойчивость некоторых простейших течений. Отсутствовали энергетические оценки, анализ простейших нестационарных структур. Не изучалась устойчивость точений заряженной кидкости. Только в последнее время была опубликована статья А.П.Курячого, посвященная затягивании перехода пограничного слоя электроглдродинаиическим методом.

Исследованию разрывной неустойчивости «освящено очень большое количество публикаций. Но несмотря на значительные усилия, прилагаемые в денной области, ряд принципиальных вопросов все еще требовал своего решения, а некоторые результаты нуждались в проверке и уточнении. Ванным оставался, например, вопрос о характере бифуркации состояния равновесия плазменного цилиндра, решение которого сопряжено с весьма значительными математическими трудностями. Реиим ветвления рассматривался недавно лишь в работе Б.Ф.Губарева, А.Г.Дмитрзнко, А.И.-Зесенко в рамках модельной задавд для "холодной" плазмы.

Мало внимания уделялось изучению альфзеповскпх волк в неоднородной диесилотивной ьлэзмз. Первые результаты в рамках плоской геометрии были получены аналитически Борисом в Принс-тонском университете, но не были опубликованы я с.-ли хорошо известны лииь в последнее время. Борису удалось рассмотреть довольно ограниченный круг вопросов. Ряд лагашх результатов был получен А.В.Тимофеевым, который, в частности, обрапя внимание на аналогию между альфвеноБСкши возмущениями и колебаниями плоскопараллелышх течений вязкой жидкости. Уравнения альфвеновских колебаний были получены в работах Л.Б.Михайловского. Стабилизация альфаоновсккх неустойчшзостей в слобостолк-новительной плазма первоначально изучалась з работе Розонблкта и Розерфорда. В самое послоднее время интерес к изучению дисси-патшзного спектра альфвоновских волк резко возрос, о чем свидетельствуют публикация П.М.Блехера, А.Г.й.отренко, А.И.Фосенко, Ру, Гриша, Кернера, Лзрбингера, Лортца, Шпизв.

Еще более слабо были изучены диссилативяые неустойчивости л неоднородных потоках электропроводящей жидкости при больших Я . Важные результаты были получены ЗЗ.П.Вэлиховым, который.под-

робно рассмотрел устойчивость течений идеально проводящей вязкой жидкости и продольном магнитном поле. Работы ко по возникновению вторичных рекимов посла потери устойчивооти при конечных и больших вообще отсутствовали. т

Цель г. задачи исследований. Целью работы является всестороннее теоретическое исследование диосипатишшх неустойчпвос-теИ в зле.ктропроводящда «дикостях и плазме с помощью единого рас.чотно-катематического аппарата. Основные задачи исследований заключались в следующем:

1. В разработке математического аппарата щш изучения дис-силатшшых нэустойчиЕсстой и вторичных режимов на основе кето^-ца дифмзринцпальиой прогонки и аналогии v.езду гкдродипакически-Ш1 и электродинамическими диссипэтшшыми процессам.

2. li определении и оценках критических параметров, инкрементов и декрементов, а теккз в расчетах радиальной структуры собственных вогмукаш!!'..

3. 5 изучении спектров калих возмущений.

4. Ь детальном анализе и свих ветвей дисоппатпвних неуетой-ч1шостзй, обиаружешшх в денно;! работе,

Ь. В выявлении новых: аналогий манду гидродинамическими и алвктрод1Шйглческ1и.'л npouoccawi возбуадешш и поглощения колебаний.

6. Ь детальней анализе особенностей возбуждения и стабили-эаши неустойчивости! в олеитропроаод.чщих кидкостях и плазме.

7. В изучении резонансных взаимодействий в НГД-течеииях и построении аполога модели Лоренца в магнитной гидродинамике.

8. В исследовании вторичных режимов, возникающее в результате потери устойчивости,

Научная ценность и новизна работ». Впервые с помощью единого расчетнс-математического аппарата детально проанализирова-1Ш характерные диссппатшшно неустойчивости и вторичные решила в электропроводящих кидкостях и плазме.

Проведено подробнее исследование устойчивости МГД-течений при малых А™- Определен!) области явной устойчивости и явной не-

IГЪ

устойчивости. Изучены спектры малых возмущений и проведена их классификация. Установлено, что при больших числах Гарткана Ий-спектр ¡Я'Д-потока в поперечном магнитном поле разделяется в известном смысле на спектр -однородного потока и пристенных зон,

Неустойчивость связана о пристенной частью спектра. Доказано, что достаточно сильным поперечным магнитным полем мокно стабилизировать любое плоскопераллельное течение жидкого метвлла. Впервые получена и проанализирована система уравнений линейной устойчивости в электрогидродинаиике. Установлено, что внешнее продольное электрическое поле при определенных условиях действует аналогично поперечному магнитному полю в МГД-течениях и стабилизирует пдоскопараллельное течение слабопроводящей заря-г.енной жидкости» В рамках модели трехгармонического пульсацион-його реяима впервые рассмотрены резонансные взаимодействия возмущений в МГД-течениях. Получены основные уравнения и проведен их анализ. Доказано, как поперечное к плоскости течения магнитное поло подавляет резонансное взаимодействие трехмерных возмущений, Предложен простейший Ш?Д-а налог системы Лоренца и рассмотрена структура трехмодового странного аттрактора в магнитной гидродинамике.

Впервые проведен детальный численный анализ устойчивости плоского токового слоя по отношению к прямым и наклонным возмущениям. Обнаружено сильное дестабилизирующее влияние фактора конвекции проводимости при сравнительно небольших Ят. В пенале с непроводящими стенками не возникает критического распределения тока, при котором тиринг-мода полностью стеб;шизируется. Установлено, что для объяснения лабораторных экспериментов", проводимых с достаточно плотной и "умеренно" нагретой плазмой в сравнительно слабом магнитном поле, не обходило учитывать действие ионпой вязкости. Детально проанализирована устойчивость винтовых мод плазменного цилиндра со свободной границей. В области влияния граничных условий обнаружено изменение известных скейлянгов для инкрементов. Рассмотрен непрерывный переход тиринг-ноустойчивости в винтовую неустойчивость. Если проводимость плазмы убывает к периферии шнура, то это оказывается качественно эквивалентным уменьшению "эффективней" величины Яп. Эффекты конечного ларморовского радиуса могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабижзируюиее воздействие.

Рассмотрена бифуркация равновесия плазменного цилиндра в стационарное винтовое течение при больших Цгл. Установлено, что с ростом магнитного числа Прандтля мягкий реиим возбуждения неустойчивости сохраняется.

Впервые изучена структура спектра собственных 8льфвеновс-? ких колебаний цилиндрического шнура диссипативиой плазмы со свободной границам. В сгюктро альфвеновских колебательных возмущений в оОийм случае выдало но четыре группы мод: приосевые, внутренние, приграничные л поверхностные, Внутренние возмущения возникают при наличии шира, осли резонансная поверхность располагается внутри шнура. Поведение альфвеновских колебаний аналогично иоьодонив колебаний в параллельных и спиральны?: потока вязкой кидкостп. Установлено, что альфвоновскко колебания в столкиовптсльнсй плазме могут раскачиваться пучком ионов но только в приосивсй зоне, но и в приграничной области шнура, В сласостслкнавительной плазме с закрепленной границей возможны только ирпосоЕие моды, если резонансная поверхность располагается за пределами инура. В противном, случае существуют толь-> ко внутренние моды. Степень локализации приосевых и внутренних под возрастает с уменьшением ларморсиского радиуса ионов.

Впервые подробно рассмотрены неустойчивости простейших плосксппраллелышх ¡'Г Д-теченин при большихобнаружены но-выз вотки нестабильности. Проведен анализ физических механизмов неустойчивости!; н вторичных реш.юв. Установлено, что магнитная вотвь нестабильности течения Гзртмана аналогична тиринг-моде. В процасса развитая данной неустойчивости происходит пе-розампконие магнитных силовш: линий поля тока, В пристенных областях шюсиопьрьллелышх потоков вовмокна раскачка альфаенов-ских колебании. Обнаружена новая нестабильная альфаеновскал мода, возникадая в канале с непроводящими стенками при достаточно больше. На.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы:

1. Для оценки стабилизируй!;-то действия магнитного и электрического поля при разработке Ш'Д и ЭГД-устройств, в том числе и ЦГД-устройств для агрегатов ядерной энергетики.

2. Для прогнозирования вторичнкх режимов в Ш'Д-устройствах и установках, предназначенных для получения управляемой термоядерной реакции.

3. Для выбора оптимального пучка високоэнергетячиых нейтралов, инжектируемых в плазму.

4. Для оптимального выбора способа возбуждения 1,11'Д-волн при ВЧ-нагреве плазма.

5. Для определения Критерия стабилизации плоского токового слоя в установках с плотной и умеренно нагретой плазмой п сравнительно слабом магнитном поле.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается совпадение^ численных и аналитических дзнных в области их пересечения* Работа численных алгоритмов проверялась либо на точно решаемых моделях, либо на тестовых задачах, которые всесторонне и тщательно проанализированы численно о использованием различных методов. Достоверность научных положений определяется большим объемом полученных данных, логической взаимосвязью отдельных результатов, физической наглядностью, совпадением с экспериментальными выводами, согласованность«) с результатами других авторов, полученными независимо.

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 28 статьях и двух тезисах докладов на Всесоюзных совещаниях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В ней содержится 242 страницы машинописного текста, 92 рисунка и 223 ссылки На литературные источники.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Ш Всесоюзном семинара "Численные методы механики вязкой кпд-кости" (Алма-Ата; 1970), на Рижском семинаре по турбулентным МГД-теченйям (1970), на XI Уральской зимней школе (секция гидродинамики) (1971), на конференциях молодых ученых Института теплофизики СО Ali СССР (1969, 1970, I97X), на семинаре по динамике вязкой жидкости под рук. проф, М.А.Олезкина в МГУ им. М.В. Ломоносова (1976), на И и ХП Рижских совещаниях по магнитной гидродинамика (1984, 1987), на Ш Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Современные проблемы теплофизики" (Новоси-бпрск, 1984), на Г/ Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений о плазмой" (Ташкент, 1985), па Всесоюзной конференции по физике плазмы и ее приложениям (Звенигород, Моск.обл., 1986), на Всесоюзной конференции по физике управляемого термоядерного синтеза (Звенигород, Моск.обл;, IS87), на Всесоюзной конференции по теории плазмы (Звенигород, Моск. обл., 1988), на семинаре отдела прикладной гидродинвмики Института гидродинамики им. М.В.Лаврентьева под рук. проф. В.В.Пух-

начэва (Новосибирск, 1985), на семинара под рук, проф. Ю.А.Березина в Институте теоретической и прикладной механики (Ново- . сибирск, 1987), на семинаре под рук. С.В.Буланова в Институте общей физики АН СССР (Ыосква, 1986), на семинаре кафедры физической механики под рук. член-корр, АН СССР В.М.Иевлева в Московском физико-техническом институте (Долгопрудный, Моск.обл., 198?, IS86), на XI л Всесоюзных семинарах по параметрической турбулентности и нелинейным явлениям в плазме (Москва, ОИАН, 1587, 1968). Начиная с 1981 г. работа неоднократно докладывалась и обсуждалась в Институте втомной энергии им. И.В,Курчатова, в том числе на семинарах под рук. член-корр. В.Д.Шэф-ранова (сообщения о работах автора с сотрудниками, связанных с проблемой УТС, приводились текае в журнале "Новости термоядерных исследований", издаваемом Госкомитетом по использованию атомной энергии СССР).

П. НА ЗАШТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДЮШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПОЛОЖЕНИЯ:

1. Различные диссипативние неустойчивости в электропроводящих жидкостях и плазме обладают определенным сходотвом и могут быть проанализированы с помощью аффективного расчетно-мате-мвтического аппарата, предложенного в данной работе. При изучении диссипативних неустойчивостей важное эвристическое зиечоние имоэт аналогия мекду гидродинамическими и электродинамическими процессами возбуждения и поглощения колебаний. Такая аналогия позволяет в определенных случаях предсказывать новые возможные неустойчивости, а также предложить численные алгоритмы для их исследования.

2. Тщательное изучение спектров малых возмущений позволяет вццелить все возмомше типы нестабильности, произвести классификацию возмущений и определить область их ло/ализации. Поведение спектра малих возмущений связано с характером неоднородности основного состояния. Точки экстремумов модуля характерного профиля основного соотояния и граничные точки определяют предельный полонения резистивных слоев.

3. Критические параметры, нейтральные кривые, инкременты, декременты, рассчитанные в данной работе, позволяют оценивать ГЛГД-устойчивость в широком диапазоне физических параметров,

представляющем интерес с точки зрения возможных приложений.

4. При достаточно больших На спектр малых возмущений плоскопараллельных МГД-точений в поперечном магнитном поле разделяется на спектр однородного потока и пристенных зон. Неустойчивость связана с пристенной частью спектра. Достаточно сильным поперечным магнитным полем можно стабилизировать любое плоскопараллельноа МГД-течениа при малых Достаточно сильное трансверсальноа магнитное поле существенно сокращает область генерация неустойчивости и препятствует резонансному взаимодействию гармоник. В подогреваемом снизу слое электропроводящей ешдкооти магнитное поле может существенно стабилизировать состояния равновесия, но после потери устойчивости всех состбяний равновесия система может "выходить" не странный аттрактор. Выравнивание профиля скорости в ядре потока заряженной слабопроподящей жидкости за счет действия продольного электрического Поля приводит к возрастанию критических чисел Рей-нольдса.

5. Фактор конвекции проводимости оказывает сильное дестабилизирующее влияние пра сравнительно небольших Дт, Плоский слой плотной и умеренно нагретой плазмы может стабилизироваться благодаря действию ионной вязкости.' При повороте волнового вектора тиринг-модэ первоначально трансформируется в своеобразную кэпотенциальную гидромагннтнур неустойчивость и затем переходит в потенциальную токово-конвектиЕнуи неустойчивость. Для цилиндрического плазменного шнура со свободной границей стандартные окьйлпнги для инкрементов нарушаются при приближении резонансной поверхности к границам плазмы. Убывание электропроводности кояуха оказывает дестабилизирующее влияние. Действие эффектов конечного ларморовского радиуса моает быть как стабилизирующим', так и дестабилизирующим. Стандартная асимптотическая теория дает завышенные значения инкрементов при "умеренных" Ят. Для широкого класса профилей тока бифуркация равновесия плазменного цилиндра в стационарное конвективное течение является закритической. Мягкий режим возбуждения характерен как для моды , так и для моды т=2. Для двойной тиринг-моды инкременты при сближении резонансных поверхностей остаются конечными.

6. Сколь угодно га л оо (но конечное) электрическое сопротивление оказывает фундаментальное влияние на спектр альфве-новских колебании. Спектр становится дискретным, а сингулярности, характерные для идеальной МГД-модели, исчезают. Для цилиндрического шпура с широк и свободной грашщой в общем случае существует четыре группы мод: приосевые, пристенные, внутренние, поверхностные. Расположение областей диссипации или раскачки блгфвеновсши волн определяется характером неоднородности плазмы и г.эгнитиого пота. Локализация альфвеновсгак мод усиливается при увеличении Я . Приосевые и приграничные моды имеют свои аналоги в параллельных течениях вязкой жидкости. Внутренние адьфвеновские волны возникают при наличии в плазме резонансной поверхности. При увеличенииЦ^ фазовая скорость внутренних алыпвеиовскдх мод стремится к 0. Радиальная структура внутренних мод сходна с радиальной структурой тиринг-мод, однако осщшшрувше внутренние моды в равновесной плазме всегда затухают. Если плотность пучка нейтралов, инжектируемого в плазму, достаточно велика вблизи границы плазмы, то возможна раскачка приграничных альфэеновских колебаний. В слабостолкно-вительной плазме регуляризация идеальной игД-задачи достигается благодаря учету эффектов' коночного ларморовского радиуса, а диссипатшшие эффекты играют определяющую роль только при вычислении декрементов и инкрементов, Если резонансная поверхность расположена внутри цилиндрического шнура слабостолкновительной плазмы, то существуют только внутренние моды. В противном случае существуют только приосевые моды. Уменьшение ларморовского радиуса в слабостолкновительной плазме приводит к усилений локализации альфпеновских воли.

7. Раскачка альфвенонсши волн и возбуждение тцринг-иеу-стойчивости возможны и в простейших плоскопараллельных МГД-та-чениях. С увеличением Я,-п. волны Толлшша-Щлнхтпнга приобретают характер альфвеновских волн, критерием стабилизации которых является достижение определенных значений числа Альфвена. С ростом продольного магнитного поля происходит не только увеличение критических чисел Рейнольдса, но и возникновение устойчивых автоколебаний поело потери устойчивости. Возможно также возбуждение другой альфвеновской ветви колебаний при достаточно больших Нл. В течении Гартмана при достаточно больших

монет возбуждаться тиринг-неустойчивость (даже при малых /и ), обусловливающая пере замыкание магнитных силовых линий поля тока. Осщ: тирующий характер этой-неустойчивости связан с неоднородностью потока и наличием поперечного магнитного поля. В стационарном решении Гартмана заложена возможность получения сколь угодно больших индуцированных полей, однако, начиная с некоторых значений Я и Я^.в потоке разливается неустойчивость, и такой генератор магнитного поля не реализуется в действительности.

Ш. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении рассмотрено состояние проблемы, сформулированы цели и задачи исследований, обоснована актуальность работы. Проведен краткий обзор работ по диссппатизным иеустой-чивостям в электропроводящих жидкостях и плазме. Обоснована научная новизна и практическая ценность работы. Приведены данные по апробации работы, публикациям, структуре и объему .диссертация. Предложены основные положения, выносимые на защиту.

ГЛАВА I. Устойчивости. МГД и ЭГД-течений в плоском канале

В данной главе проанализирована устойчивость течоний электропроводящей жидкости в магнитном поле при малых а

такке устойчивость течения слабопроводящей кидкости в продольном электрическом поле. Рассмотрены основные методы анализа устойчивости: линейная теория, энергетический метод, модель трехгармонического пульсационного режима, модель Лоренца. Выявлены основные особенности МГД и ЭГД-задач и проанализировано "управляющее" воздействие магнитного и электрического поля.

В разд. 1,2 приведены постановка задачи, основные уравнения линейной теории устойчивости и граничные условия. Рассмотрены характерные ламинарные МГД и ЭГД-тэчзния в плоском канале. Обращается вникание на выявленную в последнее время аналогию меэду резонансным взаимодействием колебаний с вддкими частицами в вязких слоях и резонансным взаимодействием колебаний с частицами плазма. Характеристики линейной устойчивости при про извольных.Ят л канале с идеально проводящими стенками и во .

внешнем поперечном магнитно!.'! поле определяются из решения следующей краевой задачи:

L И = + (U-C)(v"~f<Sr)-

~\}"v-{На1/ЯИт) (1)

(¿MJ^vm и-сш1Х1г-(с/с1)и; -иУ<1. (2)

ПИ)=1г'(±1)=0> Л,<±1)=0. (3)

Здесь U - профиль скорости, - профиль индуцированного продольного магнитного поля,d=K:c,(j=Kil~ компоненты волнового вектора -yd^+fi^)^ 1Г(у) и tl(tf) - комплексные амплитуды поперечных компонент возмущений скорости и поля, C=X+íY ~ комплексная фазовая скорос?ь_(рассмотрены элементарные волновые решения вида ir=V(y)e*PL-táCt+i(dX+p%)'}). При малых Ц^ краевая задача типа (1)-(3) сводится к краевой задаче для модифицированного уравнения Оррв-Зоммерфольда, в котором конкретный вид дополнительных членов зависит от ориентации приложенного М&ПШ1НОГО поля.

3 разд.2 выведено граничное условие для возмущения магнитного поля в канале со стопками, обладающими произвольной проводимостью. Получена и проанализирована система комплексных дифференциальных уравнений 6-го порядка, опредолякщая устойчивость течений заряженной жидкости в плоском канале. Ксли ионное^число РейнольдсаK¿¿ велико, то исходная задача сводится к модифицированному уравнении 0рра-3омморф«льда:

I г i lÍ^AU d Г 1_1

Здесь Я&э - электрическое' число Рейнольдса, - электрическое число Маха, Eü^ - электрическое число Эйлера, - профиль поперечного электрического поля, индуцированного объемным зарядом. Если Ей достаточно мало, то правой частью (4) можно пренебречь.

В разд.З рассмотрен энергетический анализ устойчивости. Подробно изучена возникающая вариационная проблема. Выведены основны-: уравнения и получены асимптотические зависимости при малых и больших /{,, при больших И(Х,

В раэд 4 подробно проанализированы резонансные взаимодействия возмущений в МГД-теченилх. Выведены основные уравнения трехгармогшчэского приближения. Общий порядок системы дифференциальных уравнений для триплета равен 64. Дня наиболее ванного симметричного триплета порядок системы уменьшается до 36, а при малых Ят, Д° 26. В последнюю задачу входят деэ модифицированных уравнения Орра-Эошерфольдэ с нелинейны™ добавками, характеризующими нелинейное взаимодействие гармоник. Отмечается, что ряд интересных результатов можно получить, рассматривая случай малых амплитуд.

В разд.5 получен простейший МГД-аналог система! Лоренца л определена последовательность бифуркаций этой систеш. Установлено, что дивергенция фазовых траекторий для ЫГД-анолога системы Лоренца отрицательна и возрастает по модулю при увеличении индукции магнитного поля. При определенных параметрах трехмодо-вая роликовая нонеокция в подогреваемом снизу слоо жидкости "выходит" на странный аттрактор, так что после потери устойчивости всех состояний равновесия поперечное магнитное пола не влияет на возникновение стохастичнооти. Однако магнитное полз приводит к усилению линейного затухания модыХ и может существенно стабилизировать состояния равновесия.

В разд.6-Ю рассмотрена устойчивость характерных Г.1ГД—течений в плоском канале: течения Гартмана, антисимметричного и асимметричного течения Куэтта, течения Куэтта-Пуазейля, течения в трансверсалыюм однородном магнитном поле Проведена классификация возмущений сообразно поведению их фазовой скорости при больших Ц. Выделены пристенные и приосевыо модц. Установлено, что при больших ffQ. спектр разделяется на спектр однородного потока и спектр пристенных зон. Неустойчивость всегда связана с пристенной частью спектра.

Определены критические параметры задачи. При больших На. с ростом индукции магнитного поля течения всегда стабилизируются. "Сроднив" значения НOL могут в некоторых случаях соответствовать и дестабилизации потока. В этих случаях существует наибо-

лее "опаснее" значенио Н(1; при котором величина критического числа РеИнольдса Я* минимальна. Энергетические оценки величин Я* с ростом па монотонно возрастают, что находится в качественно!,1 несоответствии с некоторыми вывода),ы линейной теории. Поэтому в определенных случаях энергетические оценки являются слишком грубыми. С другой стороны, энергетические оценки позволили теоретически доказать, что достаточно сильны).'. поперечным магнитным полем иокно стабилизировать любое плоскопараллельное течение электропроводящей жидкости (при малых Цщ).

Определены параметры еозцоышх резонансны}: триплетов для течения Гертмана. Специфика 'Л'Д-задэчи заключается в возможное тн существования смешашпк триплетов, образованных модами с различной симметрией. Интересно отметить, что при больших значения Я, при которых возникают триплеты, возрастают пропорционально Нй.

Нейтральные зависимости для двумерных возмущений в транс-впрсалыюм магнитном поле не изменяются, однако в сильном поле Н^ существенно сокращается область генерации неустойчивости. Подавление трехмерных ьозмуцошй приводит с увеличением Н(1 к быстрому возрастаний числа Ре^нольдса, при котором вперты возможны резонансные тришт ты из нейтральных и нарастающих коло^'аний. Полученные результаты свидетельствуют о том, что г пола Н^ препятствует сильному (резонансному) взаимодействию гармоник.

В разд.II проанализирован механизм воздействия электрического полл на стабильность потока Еаряженной кидкости, обуслов-льшшй формированием полем определенного вида профиля скорости. Покапано, что внешнее продольное электрическое поле стабилизирует плоскопараллелыюе течениа слабопроводгацей заряженной ют-кости. Эффективность такой стабилизации зависит'от величины объемного заряда и от соотношения мевду составляющими скорости потока, вызванными градиентом давления и пондэромоторными силами. По мере увеличения объемного заряда нондеромоторныо силы у стенок канала возрастают, Ито приводит при достаточно большой величине напряженности электрического поля к выравниванию профиля скорости в ядра потока и увеличению ее градиента у стенок канала. Такой механизм обусловливает возрастание величин К.,.

по крайней мере, до тех пор, пока поперечное электрическое поле, индицированное объемным зарядом жидкости, достаточно гало,

ГЛАВА П. Неустойчивости и бифуркации равновесия токовых слоев неоднородной плазмы

В данной главе рассматриваются неустойчивости и бифуркации равновесия токовых слоев неоднородной столкновительиой плазмы. Основное внимание уделяется изучению разрывной неустойчивости плоского токового слоя и плазменного цилиндра.

В рэзд.1,2 кратко сформулированы основные задачи исследования, рассмотрены исходные уравнения, физические модели и критерии подобия. Характеристики тиринг-неустойчивости плазменного цилиндра со свободной границей и идеально проводящим кожухом определяются из решения следующей краевой задачи:

ННИ'-^Н^ЦЫНгН^-А*

+с и - ¿-.ы (Б)

Т V ш£т=(1 -Л)*н -

Г(о)-о, Н(о)=о; тш"и' н при

(7)

(8)

Здесь и Н компоненты комплексных амплитуд возмущений

скалярного и векторного потенциалов, ¿(1) - профиль проводимости, р=(т-/'ОбеСО+К.г.Но , < - азимутальное магнитное поле, создаваемое током ¿-0(Я) вдоль оси цилиндра; Но " продольное магнитное поле), ПЬ - азимутальное волновое число,

( - инкремент; Ус - частота). Система линеаризованных уравнений Кадомцева-Погуце (5), (6) записана для случая

однородной плотности и при Т^Т^,. Так как электронная и ионная температуры совпадают, то эффекты коночного ларморовского радиуса характеризуются одной дрейфовой частотой и определяются параметром

д _ _С __ . 1

А" Но

Здесь СС - радиус цилиндра, Вр- характерное псле тока (масштаб поля); функция £ (г) = Ро^/^/йЪ) представляет собой

отношение газодинамического давления р0[1) к характерному магнитному давлению поля тока (другие обозначения стандартные). Модальное распределение токе "приншдалосъ в ввде

где параметр {) характеризует профиль плотности тока. Был введен критерий подобия Н,ггл~Ъ''ег1^/])ГГ1 , названный ларморовским

магнитным числом Реинсльдса. Величина является "микро-

скопическим" апологом магнитного числа Рейнольдса /иГл. Она оп-ределяотся по значениям тепловой скорости 1Г& и ларморовского радиуса электронов.

Нередко эффектами конечного ларморовского радиуса можно пренебречь, пол ошв Д. = О в уравнениях (5), (6). При этом ти-ринг-неу стойка ость становится монотонной ( К-^1,)' Легко дополнительно учесть ({акторы на однородности плотности, конвекции проводимости, ионной вязкости, а также сформулировать плоский аналог краевой задачи (5)-(8). В дайной главе проанализирован ряд краевых задач типа (5)-(8) с профилями плотности тока (9).

В разд.З выводятся граничные условия. При вывода (8) предполагалось, что плазма окрукена вакуумным промежутком, имеющим форму полого цилиндра с размерами 1 и 1 + Ъ . Ьсли кояух имеет конечнуг, проводимость, то граничное условие для магнитного поля выражается для монотонных возмущений через функции Бэсселя мнимого аргумента и функции Ыакдональда.

Неустойчивости плоского токового слоя с закрепленной границей рассмотрены в разд.4-6. Магнитное поле определялось соотношениями: Н^-^Кр^, Нг=$. Установлено, что при "умерен-

них" стандартная асимптотическая теория дает завыи.ешше значения инкрепоцтов. Обнаружено сильное влияние на инкременты фактора конвекции проводимости, если величина К-Я.^сравнительно невелика. Вели не величина КЙ.^ становится достаточно

Л /V £ . ' гги

большой (обычно Н-Я^ Ю ), то в плазме формируется узкий ро~ зистивный слой, и влияние факторов пеоднородностой становится пренебрежимо малым. При сравнительно небольших р или к, существенен конкретный вид граничных условий. В частности, замоин хорошо проводящих стенок на диэлектрические оказывает значительнее дестабилизирующее воздействие.

Важную роль могут играть наклонные вомущония, не обладающие определенной симметрией. Динамика паклоншк возмущений -лоне т существенно отличаться от нарастания прямых возмущений дк-жо в рамках однородной задает. Для неоднородной задачи харпк-терно возникновоиио потенциальной токово-коивоктивной настойчивости при повороте волнового вектора, когда критическая точка подходит к границе плазмы. При этом

У « гргиьр/[Япх (- ^р+^ )].

В достаточно плотной и умеренно нагротей плазме в сравнительно слабом магнитном ноле (когда ионы че замагнпчети становится существенным стабилизирующее действие тонной вязкости. Эффективность влияния данного фактора определяется критерием подобая - числом Рейнольдса в котором в качестве масштаба скорости взято альфвенсвская скорость. При достаточно ыалк Я. фактор ионной вязкости обусловливает значительное ума ныне ют инкрементов разрывной неустойчивости или даже ее полную стабилизацию. Данное обстоятельство необходимо тлеть в виду для объяснения длительного существования плоского токового слоя в экспериментах с плотной и "умеренно" нагретой плазмой.

В разд.? рассмотрена устойчивость винтовых мод в плазменном цилиндре со свободно!! границей. Для решения задачи использовалась схема прогонки, аналогичная схоме прогонки для решения плоских задач. На рис.1 в качества примера изображены зависимости инкрементов от положения критической точки (плотность и проводимость плазмы предполагаются однородными). Как и в случае плоской геометрии, стандартная асимптотическая теория при "умеренных" Ярг приводит к завышенным значениям инкрементов.

0,0/'

0,005

О

У

¿/

/ У

! / У

/АЛ'

О

0,5

Ъ *

Рис. I. Зависимости инкрементов от положения критичес-

|6. т = I (I - 3) и пг = 2

1еальн1

V? = X; 2,2'- V =2; 3,3

пг

кой точки 1£ при 1. . _ (I. - 3) в случае идеально приводящего кожуха: 1,1 -

^ V) =4

20 г

Для моды рп = 1 хорошоо' количественное соответствие с асимптотической теорией достигается при 6f а при

больших 1g существенны граничные эффекты, При приближении точек к граница плазмы обнарушзно нарушение стандартного скейлинга Я-m. •

Оценены или найдены значения , при которых мода m ~ 2 стабилизируется. Мода № = 2 стабилизируется при достаточно т-Л1« при пикированном правило тока и в приграничной об-

ласти.

Если точка выходит за пределы шнура, то соответствующая тиринг-мода непрерывно переходит во внешнюю винтовую моду, но устойчивость которой существенно влияет проводимость кожуха, В данном разделе проведен численный анализ стабилизирующего влияния конуха.

Из факторов неоднородности наибольшее плияние оказывает фактор неоднородности проводимости при прибликогшц точки 'Ьд к грашще шнура. Убывание проводимости к порифсрпи шнура обусловливает возрастание инкремоптов вслодотвие уменьшощш "эффективного" магнитного числа Рейпольдсэ. Слабое влияние факторов нэ-однородности пои небольших связано со свойством локальности,

Тиринг-неустойчивость с учетом эффектов конечного лармо-ровского радиуса становится осциллирующей. Численные расчеты для моды fn = 1, проведенные для одной ветви колебаний при

\)~Z)Rm~tf-10} RmJl=iO, показывают, что эффект коночного лар-моровского радиуса при сравнительно небольших 'lg оказывает небел ьиоо стабилизирующее воздействие, в приграничной же области -дестабилизирующее воздействие.

В разд.8 рассмотрено нарастание тиринг-моды в столкиови-тельнон плазме цилиндрического шнура со свободной границей при наличии двух резонансный noBepxHOCToii, Для двуххарактерных проФилей тока и j0lD = bОъг(1~г)г

подробно проанализировано поведение мод/п/д = I/I, 2/1, 3/1 как при умеренных, так и при больших Вт. Определены асинптотичес-киа зависимости для инкрементов. Установлено регулярное позоде-шга инкремонтов при сближении резонансных поверхностей, в отличие от известного результата, полученного с помощью полуанали-ческого метода сращиваемых асимптотических разложений.

В разделе 9 рассмотрена задача о бифуркации равновесия плазменного цилиндра в стационарное винтовое течение, Разрабо-те'ншго варианты дифференциальной прогонки позволили провести вычисления для значений к магнитного числа Прандтля = =Д;п/Я., соответствуют!« параметрам высокотемпературной.плазмы. Д>ш широкого класса характерных профилей плотности тока уоха-новлено, что устойчивое стационарное нинтовоо течение с маг-гшхныш островами сохраняется и при достаточна больших знача-ыях Рп (в закалшченной плазме Р^х V,5, где ^ - отно-аоние давления плазмы к давлению внешнего продольного магнитного поля). Переход от ососимметричного равновесия к стационарному винтовому течению осуществляется в мягком ревдмз как для моды гяН , ток и для моды (зокритическая бифуркация).

Установлено, что нейтральные кривые определяются только одшш параметров гн - [^/Яп. Критерий решла бифуркации также зависит по существу от одного параметрар (этот результат уко является приближенным). Коатому величина р является естествсц-ним бифуркационным параметром. Обнаруженное свойство подобш бифуркационной задачи значитедхно облагчво? проведение численных расчетов.

Разумеется, для экстраполяции полученных результатов на тэрмоядзрную плазму тока мака ко обходам дополнительный анализ в областг ещо более высоких температур с учетом эффектоа, характерных для термоядерного решша.

ГЛАВА И. Собственные альфвеновские колебания неоднородной плазмы

В раздело I излагается проблема изучения альфвеновского спектра и гвдродшамическая аналогия о колебаниями в параллельных потоках вязкой жидкости. Основные краевые задачи могут быть сформулированы на основе результатов раздела 2 гл.П.

В разделе 2 рассмотрена устойчивость приосевых альфвенов-сккх колебений плоского слоя плазмы в однородном магнитном поле. Плотность плазш аппроксимирована выражением: = 1'Х-У. (ЗС-С! - параметр профиля плотности). При(7 получено анали-

тическсе решение для случая, когда функция влияния инжектируемого пучка ty постоянна, Найдены критические параметры л асим-' птотики нейтральных кривых. Сформулировано "гибридное" уравнение, которое при определенном значении вспомогательного параметра переходит в уравнение Орра-Зоммерфельда. "Гибридное" • уравнение использовалось для анализа трансформации спектра при переходе от задачи о колебаниях обычной рйдкости к задаче о колебаниях плазмы.

Первоначально с ростом К. величины Х1г(К) монотонно возрастают (Д. - спектральный номер). После достижения максимальных значений фазовые скорости монотонно убывают, приближаясь к своему предельному значению X - Ï. Функции YK(.\<J) имеют щкеп-мумы в коротковолновой области. Наиболее опасной является симметричная мода с /г = 1. Поведение зависимостей и собственных функций напоминает поведение приосевых мод в гидродинамических задачах с гладкими профилями скорости. Сходен доже вид асимптотической зависимости при больших К,

В разд.З рассмотрена устойчивость альфвеновских колебаний плоского слоя плазмы, локализующихся е окрестности границы плазмы. В случае закрепленной границы плазмы такие колебания названы пристенными, а в случае свободной границы - приосевими. Наибольшее значение для анализа устойчивости имеют моды ait -= 5,6, Отметим, что с ростом к, зависимости XjOO и Х^ПУдля четной и нечетной мод сливаются с графической точностью ужо при сравнительно небольшом К, Аналогично ведут себя и зависимости и Yg(fi). Как и в гидродинамических задачах, попарное слияние функций CfjK) имоет ту но причину: с ростом К пристенные моды локализуются в окрестности границы плазми, и условия симметрия на оси для них перестают быть существенными. Установлено, что в случае однородного инжектируемого пучка а области К¿R-m/* 2.10° максимальные инкременты пристенных возмущений больше максимальных инкрементов приосевых мод. Свойства пристошшх и приграничных мод сходны. Собственные приграничные колебания слабо возмущают границу плазмы. Локализация пристенных и приграничных мод усиливается при увеличении Япг-В приосевой области существуют слабо затухающие собственные колебания, которые могут раскачиваться пучком ионов. Приграничные собственные колебания также могут раскачиваться пуч-

кон ионов, если плотность пучка не убывает достаточно быстро к периферии плазмы.

Приосовзя область плазменного цилиндра неадекватна при-осевой области плоского слоя плазмы. Аналогичное обстоятельство необходимо отметить и для потоков вязкой жидкости - течения Нуазейля в круглой трубе и течения Цуазейля в плоском капало. В гидродинамике вязкой жидкости тем не менее имеется определенное сходство в поведении приосевых мод для течений вязкой жидкости в круглой трубе и в плоском'.канале. Это сходство относится прежде всего к поведению фазовых скоростей и критических слоев. Следовало ожидать, что подобное сходство сохранится и для альфвеновских колебаний в .двух различных плазменных конфигурациях - в другой ом цилиндре и плоском слое. Данное предположение подтверждается результатами вычислений, приведенных в разд.4.

В разд.5 рассмотрена устойчивость собственных альфвеновских колебаний плазменного цилиндра с широм магнитного поля при (см. краевую задачу (5)-(8) приД = О). В разд.6

рассмотрен наиболее общий случай. Предполагалось как наличие гаира, так и неоднородности плотности. Неоднородность проводимости учитывалась в рамках модели "омического" равновесия.

В результате детального анализа спектра линеаризованных уравнений Кадонцева-Погуце обнаруг.ено в общем случае в стслк-новитольной плазме четыре группы альфвеновских мод: приосевые, внутренние, приграничные и поверхностные. Поверхностные альф-леновские волны могут возникать только в плазме со свободной границей. Появление приосевых и приграничных мод обусловлено изменением альфвеновской частоты в направлении поперек внешнего магнитного поля (за счот факторов неоднородности плотности и магнитного поля). Эти моды сходны с приосевыми и пристенными колебаниями в параллельных потоках вязкой жидкости. Характерные зависимости X (К.»Я„) YL(k,„R„) для приосевых,

' гп ? Mfl* t гП-

внутренних и приграничных возмущений изображены на рис.2,3 (па р-пс.З иредставлона и тиринг-иода ITL = 1). Если в столкно-вйтол1.нгЛ плазме шеотся резонансная поверхность, то возникает впутгэшьче альфзгновскне волны, разовая скорость которых г.г;; увргхчеала H^üm. стре:.:птся к 0. Радиальная структура

г. с г. гс»ссн8 с г.вдиальней структурен тпгпьт-год, од-

х

ом о,ь

о

г У

/й/у 41 'V

! //16

1

1

1,0 о,*

0,6

0,2 О

ть Ш^)

них и приграничных возмущении при = 0,5, ££ = 0,8, 8 =0,1. Штрихом отмечены зависимости, рассчитанные с учетом неоднородности проводимости апазмы

Рис. 2. Фазовая скорость Л^Ш^Я^ приосезых, внутрен-

Рис. 3. Величины [¡и^гР-т)

.■приосевых, внутренних

и .приграничных возмущении при = 0,5, = 0,8,

5 = 0,1. .Кривая Т дает зависимость ](ЦаИ ) для

х. т

тпринг-моды ПЪ = I. Штрихами отмечены зависимости, рассчитанные с учетом неоднородности проводимости плазмы '

пако осциллирующие внутренние моды в равновесной плато затухают. Поверхностные альфвоповские в одни вызывают значительное возмущение границы плазмы. С ростомпь поверхностные колебания локализуются у границы плазмепнсго инура. Фазовые скорости поверхностных волн при увеличения И^Ят быстро приблика.отся к постоянный зивчошши. Но в отличие от других мод продельные значения фазовой скорости зависят от величины/п.

Как и следовало ояидать на основании гидродинамической аналогии, малое электрическое сопротивление в неоднородно]! цлазмо обусловливает радикальную трансформацию спектра идоиль-11ОЙ МГД-задачи. Устраняются характерные особенности идеальной МГД-задачи, связанные с наличием континуума. Возникает дискретный спектр и собственные колебания, удовлетворяющие естественным физическим требованиям,

В разд.7рассмотрены собственные альфвеновские колебания в слабостолкновотельной плазме цилиндрического инура. Учитывались эффекты конечного ларморовского радиуса ионов р^ и дис-сипативного вклада запертых элочтропов. Хотя МГД-приближенис в данном случае неприменимо, исходную систему уравнений момно сопоставить с системой уравнений Кадомцева-Погуце. Численные расчеты показывают, что слагаемое (~^■¡í^)p¿> входящее в коэффициент при старшой производной и учитывающее эффект коночного ларморовского "радиуса, оказывает решающее влияние на радиальную структуру собственных функций. Дпссипативпий ко вклад, определяемый другш слагаемым, существе|ген только при вычислении декрементов и инкрементов. Уменьшение ларморовского радиуса приводит к локализации собственных колебаний. Установлено, что в отсутствие резонансной поверхности внутри плазменного шнура спектр альфвоновских возмущений состоит только из приосовых мод, а при наличии резонансной поверхности внутри цилиндра -только из внутренних мод. Тем самим спектр слабостолкновитель-ной плазмы существенно отличается от спектра альфвоновских колебаний столкновителыюй плазма. Результаты данного раздела показывают, что "гидродинамический подход" может успешно использоваться и для изучения устойчивости плазмы в слабостолк-новртельном и бе остатки овите льном случаях.

ГЛАВА 1У. Неустойчивости и автоколебания в МГД-течениях при больших магнитных числах Рейнольдса

В данной главо рассматриваются неустойчивости и автоколе-банш в плоскопараллельных Ш'Д-точониях вязкой жидкости при больших fln. Осмечаотся, что физический аспект проблемы состоит я необходимости изучения неустойчивостей различной физической природы в условиях своеобразного переплетения магнитных и гидродинамических эффектов. В разд.2 приводятся результаты численного анализе устойчивости течения Гартмапе при больших Ятс индуцированным продольным магнитным полем

U .. Ят ihHaft -На ,Тп)

х~ На скНсс -1 ' ( }

В области нестабильности обнаружен целый ряд разновидностей нарастающих колебаний с разными волновыми числами, инкрементами и фазовыми окоростями. Имеется несколько типов неустойчивостей, причем они могут развиваться одновременно. Магнитные и гидродинамические явления очонь сложно взаимодействуют друг с другом. Образуются своеобразные зоны перемежаемости устойчивости. 1Лэ:лштное поДе может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее воздействие. Опишем характерную итоговую картину устойчивости, взяв в качество примера значение Hit = б.

При Ни = 6 область стабильности потока на плоскости (Я,Я|П) будет конечной. Она ограничь лется результирующей кусочно-гладкой кривой, состоящей из двух гладких ветвей. Первая кривая продолжается непосредственно из области малых Rpii 8 вторая линия связана с неустойчивостью течения по отношению к антисимметричным возмущениям (по скорости). Пересечение этих яптвей происходит при ftm. = 3,4»104. Следовательно, при R> 3,4-Ю4 поток неустойчив для всех ft. ПриЙ> 3,7 •10 он неустойчив длявсех(^(случаи ft = 0, Rnv= 0 не принимаются во пшг.ЙШ:З).

Ь пэгд.З приведены результаты численного анализа устойчивости течения Гартмана с другим индуцированным магнитным полем:

м - Ьь ¿кНау-уНискНа,

На (Ш

В таком потоке индуцированное продольно« магнитное полм ими;т значительную величину вблизи стенок капала. Поло (II) а отличие от поля (10) монотонно возрастает от оси к стенкам канала. Оба эти фактора способствуют устойчивости течения. Для неустойчивости гидродинамического типа величины ß,^ мои от шно подрастают при увиличешш Я/n.) исл!1 фиксирогшниои число f/ct н» слишком мало. Характерно, что величины ft* заметно отличи-п-сл от своих предельных значений (при ft^-*" 0) у eu для ft^S- lü, если Нй> Ï. При достаточно больших fia, оущеотвыоы вклнч трехмерных возмущений, которые выделяют новую зону иостыбиль-ности.

Уже при малых Н(Х нестабильность потока но отшхшнл)» к aü-тисимметричиым возмущениям приводит к образованию областей неустойчивости на плоскости (Д-,/^.), ограниченных иетлиилрйзны-ми кривыми. G ростом Hot- петли, ограничивающий ооласть неустойчивости, бистро вмещаются в сторону все больших значений R,ß,rni О максимальные величины критических волновых чисел убывают. Так, например, при Н& = 3,ЬЗ неустойчивость такого типа во-„-МОКН8 при ft> 3 9'ilid, Результирующая ьоца стабильности па плоскости ( Л}Ят.) конечна лишь при малых На.

3 разд.4 рассмотрена устойчивость течения Пуазеиля проводящей жидкости во вношне.и продольном магнитно!.', ноле. Gïjoшифрующий ий'фйкт продольного поля проанализирован в данном рнзцеле более подробно и притом в отсутствие дополнительных физически..: факторов, усложняющих задачу. Полученные результаты сравниваются о результатами асимптотической теории в области их пересечения, Численные расчеты, проведенные для значении ЯГа~ 1, иска-зпввют, что нейтральные кривые для дцуморшг/. возмущении оказываются замкнутыми в соответствии с известными предсказаниями асимптотической теории. Результаты численных расчетов и асимптотической теории находятся н полном соответствии ъ области весьма больших R, где верхняя и никшяя ветви нейтральной привой сливается. Ъ окрестности же носиков нойтральши кривых, где числа Рейнольдса ещо нодостаточио велики, наши численные результаты значительно отличаются uv величин, предсказшзаемцу. асимптотической теорией.

Численные расчеты показывают, что трехмерные ьоз:,¡умения довольно быстро становятся наиболее "опасными". Поэтому наибпль-

шли интерес представляло определение постоянных ли~

пенной зависимости С^Н<Х «я трехмерных возмущений.

Уствноьлоно, что с ростом Р величина С*, быстро уменьшается.

I Г» V Л Т* л

^ .= 10 величина 525, то при = 1 величина С = И. Таким образом, о ростом стабилизирующее воздействие магнитного поля резко ослабляется. Результаты разд.4 сопоставлены с данными разд.З по стабилизации гидродинамической моды течения Гартмана при маЛах //&. Установлено, что стабилизация данной моды обусловлена презде всего продольным индуцированным.Полем вблизи стенок канала.

В разд.5 рассмотрены физические механизмы неустойчив остей потоков при больших ЦП1. Отмечено, что при увеличении волны Толл;.ишэ-Шлихтингз постепенно переходят в ельфвеноискпе волны. Выяснен физический механизм неустойчивости потока, обусловленный антисимметричными (по скорости) возмущениями. Установлено, что данная неустойчивость аналогична неустойчивости тпринг-моды в статических плазменных конфигурациях. Тем не менее данная неустойчивость не является лишь тривиальным следствием образования в проводящей жидкости определенного распределения индуцированного магнитного поля. Важную рель играет также "гидродинамика" потока.

Интересно отметить, что сходная неустойчивость может развиваться к в пристеночной области. Для потока с профилем поля (10) характерно образование токовых слоев в пристеночных облаете: течения. Такие слои также" подавржег • неустойчивости типа тирннг-модк, но эта неустойчивость кокет развиваться при боль-' ш-/. значениях В потоко с профилем паи (II) подобные пристеночные токовые слои не образуются, и разрывная неустойчивость может развиваться только в центральной области течения.

Для выяснения роли фактора проводимости стенок какала целесообразно рассмотреть устойчивость простейшего течения в канале с нспрозодящл'.ш стенками. 3 разд.6 анализируется устойчивость плоского течения Пуаэейля. в продольном магнитном поле в кенгле с непроводя^ими стенками. Установлено, что замена хорошо преведтщга стенок на диэлектрические оказывает дестабилизи--тгщее воздействие. Более того, в канале с диэлектрическими • спри достаточно сильном магнитном поле и ''умеренньк"Я ¡: Я^ возникает новая ветвь нестабильности. Эта неустойчивость

нежат приводить к возбуждению ельфпоновских волн в пристеночных областях течения при сравнительно небольших ft, В случ-зе достаточно больших величина fL;. новой вотпи нестабильности могут становиться даже меньше величин» Я*. для плоского течения Пуагейля непроводящей шщкости.

•В разд.? рассматриваются вторичные режимы, возникающие после потери устойчивости. Расчеты автоколебании .для конкретных точений всегда слонны и громоздки. Еще большие трудности возникают при изучении автоколебаний при немалых (ранее рассматривался лишь предельный ааучай малых Ят ) •

Автомодельное решение уравнений магнитной гидродинамики в полосо -со<0С4°®, отыскивалось в виде

r^Zw-O/tDrix-Ci,»), Ф=%(ф+Цх-Сь,</).

Здесь "У - функция тока, Ф - "функция тока" для магнитного поля, Ь - время. Функции и <р0 относятся к исходному стационарному рекшлу. Ездичшш % Ii н ft(s разлагаются в ряд ло малому параметру пздкрятччности и подставляются в уравнения магнитной гдпрошша.маки. Определяется рекуррентная систоиа ли-tieiimne неоднородных дифференциальных уравнений. Амплитуда автоколебаний и характер ветвления могут быть определены из условш разрешимости стих уравнений в третьем приближении по параметру надкрптичностя.

Вахней особенностью рассматриваемых автоколебании является возникновение стационарной добавки к току и соответственно стационарний добавки к продольному магнитному палю, Вид стационарной добавки для тока может быть установлен и непосредственно из закона Ома. Из отого соотношения видно, что стационарная добавка к току обусловлена взаимодействием пульсаций скорости и поля. С данным нолинейным эффектом монет быть связано Нормирование токов их слоов даже в тачаниях с продашшм »

внешним магнитным палом.

Численные расчеты проводились для течения Нуаззиля в продольном магнитном поле. Установлено, что числа Гартизна перехода от ;хесткого режима возбуждения неустойчивости к мягкому режиму возрастают при увеличении Тем не менее переход к мягкому роккму с ростом электропроводности мокет осуществляться п балее слабы?; магнитных полях. Увеличение индукции продольного

магнитного ноля приподит по только к увеличению критических чисел Ролчольдса, по и вызывает мягкий режим возбуиония неустойчивости, но крайний мере в определенном диапазонеНл, зависящим от величины Рт.

Приведем пример. При = Ю-3 смена режима ветвления происходит при ЦсС = 24. 1,1лгкий режим возбуждения неустойчивости осуществляется при 24 130. Если 30, то наиболее опасными становятся по линейной теории трехмерные возмущения и но обходим анализ трехмерных автоколебаний. (В предельном случае шлю: Я т. в подобной ситуации установлено, что мягкий режим возбуждения сохраняется и для трехмерных автоколебаний).

ПРМОШШЕ. Методы численного анализа диссшативных МГД-ноустойчивостей

В разд.1 обосновывается целесообразность применения метода дифференциальной прогонки для численного анализа дисоипатшзных МГД-неустойчивостой. Указано гидродинамическая аналогия. Отмечена достоинства метода дифференциальной прогонки. Подчерхцша-ется, что выбор, анализ и оптимизация схем прогонки проводились с помощью численного эксперимента.

В разд.2-7 предложены схемы прогонки для решения линейных задач устойчивости и определения энергетических оценок. В рядо случае,: использовались вычислительные алгоритмы с интегрированием исходной линейной системы на малых участках от граничных точек, применялась "стыковка" в критических точках. Иногда в процессе вычислений проводились "коммутации" прогоночннх соотношений. интересно отметить, что для расчетов приосевых альфв о невских мод плоского слоя плазмы использовалась схема прогонки, заимствованная непосредственно из общей гидродинамики.

В разд.8,0 приведен критерий режила бифуркации плазменного цилиндра и предложен численный метод душ анализа бифуркации. Возникающие кпаовыо задачи решались с помощью неоднородной диф- ■ ■Торенипалъной прогонки.

В расд.Ю получено уравнзнио разветвления для плоскоиарал-лчлыиг: 1.!ГД~течешШ:

В формуле (12)Я0-Я0(с() - значение числа Рейнольдса нг. нейтральной кривой, величина равна либо либо -1, Величина А характеризует амплитуда автоколебаний, а - поправку к фазовой скорости С0 на нейтральней кривой. Через ^¿(£.= 1,2, ...,7) обозначены интегралы, в которые входят собственше функции линейной и сопряженной задач, о также функции второго приближения. Последние определяются из численного решения следующих неоднородных краевых задач:

I/0(*1)=1/0'(*1)=о, Ю0(±1)=о->

у""- *16 л\ - г и Ш-СМ V,] * + (На/Рт )[шНя (- Но (3)'"- Ш)--2 и \£Щ:==

а-^-гс лШи-С0)2) +

-«у«; Ц'Ъ

¡десьл0 - поперечное поло,(р и$ - решения краевых задач типа

Здесь Н,

(1)-(3), возникапщ/х пора ом приближении. Решение краевой за дачи (13) позволяет найти стационарные добавки к профилю скорости и профилю продольного магнитного поля.

В разд.II рассмотрен численный метод для решения задачи об автоколебаниях в продольном магнитном поле. Численный анализ краевой задачи (14) осуществлялся с помощью следующей схемы неоднородной прогонки: .,/

% V,

' аЛА оцг а<3

а21 а23-

№ К 5)'

Ш !

а*

В заключении перечислены осношшо результаты проведенных исследований.

В данной диссертации выделено новое направленно - исследование возбуждения и стабилизации диссипативных ниустопчивос-тен в электропроводящих жидкостях и плазме с помощью определенных модификаций численных методов теории устойчивости параллельных течений вязкой жидкости. "Гидродинамический" подход к проблеме устойчивости высокотемпературной плазмы ыокет быть эффективным да ко в тех случаях, когда диссипативныз эффекты играют второстепенную роль, а магпитогвдоднкакическсе списание плазмы вообще неприменимо. Осповныэ результаты диссертация опубликованы л работах:

1. Сзгалаков A.M., Штерн В.Н. Устойчивость плоскопарал-лольных магшчогпдродшамических течений в поперечном магнитном поле // ШТФ.~ 1970.- № 3,- с.127-131.

2. Сагалакоп A.M. Спектр малых возмущений плоского течения Куэттз-Пуазейля // ШТ®,- 1971,- а 2.- С.63-67.

С. Сзгалаков A.M. Устойчивость плоского течения Куэтта-Луозрйля в присутствия магнитного поля // Изв. All СССР. ЫЖГ,-1970й С. 11-17.

4. Сагалаков A.M. Устойчивость плоского магннтогидродипа-млчсского тсчония Куотта с асимметричным профилем скорости // ШТФ.- 1971,- J5 3.- С.12-18.

Сзгалаков A.M. Численный опали, устойчивости некоторых вмшетрйчинх течений // Числ. методы механики сплошной среды.-1971.- Т.2,- Je 4.-C.76-8G.

6. Сагалаков A.JJ., Штерн В.Н. Энергетический анализ устойчивости плоскопараллельных течений с точкой перегиба в профиле скорости // ПЖ>.- 1971.- К 6.- С.86-93.

7. Сагала.чов A.M., Штерн В.Н, Энергетический анализ устойчивости мэгнитогидродинакичэскях точений // Изв. ,111 СССР. МЕГ,-1971.- !." 4,- С.3-9.

8. Слгалаков А.Г.1, Устойчивость течения Гартыана // Дота. АН СССР,- 1972,- Т.203,- JÜ 4,- С.772-775.

9. Сзгалаков A.M. Устойчивость течения Гартмана // Изв. АН СССР, - .v'.ZT.- 1972.- )Ь 6.- С.17-31.

10. Сагалаков A.M. Устойчивость одного ламинарного течения п?свс"л-..,е{: таль-ости в поперечном магнитном поле // Магнитная

з ггга-лч^гика.- 1974.- !ё 3.- С.3-16.

11, Сагалаков A.M., Штерн В.II. Реиопапошдэ взаимодействия возмущений в МГД-тичениях // Магнитная пшродииптиа. -1977,- )? 4,- С.35-45.

12, Сагалаков А.1.1. Система Лоренца в магнитной гщцющта-мике // Магнитная гидродинамика.- 1901.« JE 3,- G.IG-2U.

13, Сагалаков A.M., Сергеев К.А, Устойчивость илоскопа-раллеяьннх олектрогидродицамичоспк точений в продольном электрическом поло // ГИЛЬ.'.- 1903,- К 2,- С. 18-23.

14, Патудин В.М., Сагалаков A.M. Устойчивость альфьенов-рких колебаний плоского слоя плазмы // Физика плазмы.- 1983.-Т.9.- Вып.З,- С.512-522.

15, Гатилов B.D., Сагалаков A.M. Гидромагнитная неустойчивость плоского токового слоя с конечной проводимостью // Физика плазмы,- 1984.- Т.10,- Вып.5.- С,Ю73-1080.

16, Сагалаков A.M., Сидоров Г,С,, Тюлюпин Е.Н. Устойчивость течения П'/азойля проводящей жидкости н продольном ма:-нитном поло // Магнитная гидродинамика.-: 1984,- № 4,- С,75-80, (См. также "Одиннадцатое Рижское совещание по магнитной гидродинамике" I. Тезисы докладов,- 1984,- С.55-58).

17, Патудин В.М., Сагалаков A.M. Альфввновскио неустойчи-BoqM плоского слоя плазмы с однородным пучком ионов // Физика плрзмы.- 1984,- Т.Ю.- Вып.5.- С.1073-1080.

18, Гатилов В.В., Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Тирипг-неу-стойчивость плоского токового слоя о конечной ионной вязкостью // ПЮТ,- 1985,- № 2.- С.6-14.

19, Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Нарастание наклонных возмущений плоского тонового слоя // Физика плазмы.- 1985. -Т.П.- Вып,4.~ С.452-461.

20, Сагалаков A.M., Стерлягоа С.П., Ульченко В.Я,, Юдин-цев А.Ю. Нарастание тиринг-моды в плазменном цилиндре // Устойчивость и турбулентность,- Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР, 1985.- 0.28-60.

21, Патудин Ь.1.1., Сагалаков A.M. Устойчивость собственных альфвенопских колебаний плазменного цилиндра с гшром магнитного поля // Устойчивость и турбулентность,- Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР, IS85.- С.61-70.

22, Патуцин В.М., Сагалаков A.M. Собственник йльфваиовскни колебания плазменного цилиндра с пучком ионов .// ;.<ииика плазмы.- IS8G.- Т.12,- Вып.З.- С.275-285.

23. Гатилов B.B.,.Сагалакогз A.M., Ульченко В.Ф, Тиринг--неустойчивость в МГД-теченйях // Магнитная гидродинамика. -[986.- № I.- С.11-16.

24. Цатудии В.М., Сагалаков АЛЛ. О спектре линеаризованных уравнений Кадомцева-Погуце // Физика плазмы.- 1987.- Т.13. - Внп.4.- С.429-435. •

25. Гатилов В.В., Патудин В.М., Сагалаков A.M., Ткшопин E.H. Ьифуркаций к возникновение автоколебаний в потоках электропроводящей жидкости // Двенадцатое Рижское совещание ко магнитной гидродинамике. 1. Тезисы докладов.- 1S87.- С.31-34.

26. Патудин D.M.* Сагалаков A.M., Тюлюпин E.H. Возник- • новеште астоколебаний в мвгнитопщродинамических течениях. I // Магнитная гидродинамика.- 1988.- № 3.- С.95-102.

27. Гатилов В.В., Патудин В.М., Сагалаков A.M. Тйринг--неустойчивость и бифуркации цилиндрического токового слоя с конечной ионной вязкостью //. Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук. - 1989.- Вып.!.- C.75-8I.

28. Гатилов В.В., Сагалешв A.M., Ульченко В.Ф. О нарастании двойной тиринг-моды в плазменном цилиндре // Физика плазмы.- 1989,- Т.15.- Вып.1,- С.55-61.

29. Патудин В.М., Сагалаков A.M., Тюлюпин E.H. Возникновение автоколебаний, в магнитогидродинамлческих Течениях. II. // Магнитная гидродинамика. - 1989.- № I,- C.I5-20.

0

Подписано к печати 18.04.89 m Щ III92

¿одаат 60x84/16. Уч.-изл.л.2,2. Т.ирал 100. Зак.№ 447-89

Отпечатано в Алтайском государственном университете . 61)5099, г.Барнаул, ул.Димитрова,66