Вычисление сумм числовых рядов и спектров матриц, связанных с распределением диполей в решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

1 f) hill Id J.-) РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ и МЕХАНИКИ

На праплх рукописи Ермилов Иван Владимирович

ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ И СПЕКТРОВ МАТРИЦ, СВЯЗАННЫХ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ДИПОЛЕЙ В РЕШЕТКАХ.

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Екатеринбург, 1993

Работа выполнена на кафелре теории функций Красноярского государственного университета.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация —

доктор физико-математических паук, . профессор Д.И. Южаков. доктор физико-математических наук, профессор Черных II.И.; кандидат физико-матоматических наук, доцент 1Урьянова К.П. Вычислительный Центр Сибирского Отделения РАН, г. Красноярск.

Защита состоится аС/Т (/Щ Щ^"

на заседании специализированного совета К 002.07.01 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математике и механика УрО РАН. Автореферат разослан

16е) Ъг,

Ученый секретарь кандидат ф.-м. наук

специализированно!* совета В Л. Скария

Тираж 100 экз.

Актуальность темы. Всскопечиые ряды япляютгя одним и; осиовпых пнетрумептоп современной математики: математического анализа, теории прнближепий, фупкцпопалт.пого апалпзл п т.д. Од ной из центральных'залач теории рядоп является задача точного или приближенного вычисления суммы ряда. Если однократные ряды до статично хорошо изучены, то с кратными рядами дело обстоит значительно хуже. Например, и самим полном справочном издании [б[ можно найти всего 24 кратных ряда, суммы которых удалось вычислить в замкнутом виде. В то же время с необходимостью вычислении (точного или приближенного) сумм кратных рядом мы постоянно сталкиваемся во многих разделах естествознания: ири изучении конденсации Бозе-Эйнштейна в конечных системах, осциляции плазмы в волокнистых проводниках, при анализн стабильности вихря в сверхпроводниках второго типа, а также при решении большинства задач из кристаллофизики и кристаллохимии (см., например, обзор [7]).

К задаче приближенного вычисления суммы числового ряда тесно примыкают задачи улучшения сходимости рядов ц нахождения асимптотики функций, задаваемых в виде суммы бесконечного ряда.

В диссертации исследуется т.зхже важная задача теоретической физики — задача нахождения орпентацпй диполей в кристаллических решетках, которая математически формулируется как задача на собственные значения для матриц специального вида (типа циркулянтов), элементами которых являются кратные числовые ряди. Эта задача впервые была поставлена в ставшей теперь классической работе американских физиков Латшшжера и Тиссы [8]. Достаточно полная библиография по этому вопросу имеется в монографии [9].

Цель работы.

1. Разработать метод приближенного вычисления двойных решеточных сумм, т.е. сумм вида

(от2 + Ьтпп + сп3)~а - <£(т,п), (1)

где а > 1, ф(тп,п) = (-1У\(—1)"*, (-1)^""', 1, позволяющий приближенно вычислять сумму (1) в тех случаях, когда копстанты а, ¿, с — ие «бязательно рациональные числа.

2. Получить новые точные формулы для сумм однократных рядов. :одержащях гиперболические функции, и полных эллиптических нн-

тегралов 1-го и 2-го рода при пекоторых значениях модуля.

3. Разработать конструктивный метод улучшения сходимости числовых радов, удовлетворяющих признаку сходимости Кумысра.

4. Найти собственные числа н собственные вектора блочных матриц специального вида, возникающих при решении задачи об oupe-

• делении ориентации диполей, находящихся в узлах кристаллической решетки.

Методика исследования. В исследованиях применяются общие методы математического анализа, вычислительной математики и линейной алгебры.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут применяться в вопросах точного н приближенного вычисления сумм рядов* нахождения асимптотики функций, задаваемых в виде суммы бесконечного ряда, а также при изучению ориентация диполей в кр&стаддачеашх решетках.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на mm п«».г>м1»п*рд аяэдпг» и математическая физика"

(Красноярск, 1987), в& IV Всесоюзное школе "Алгебра в анализ", (Омск, 1990), ва сем usage то теории приближенна под руководством проф. Ю.Н. Субботяи» » МММ УрО РАН (Екатеринбург, 1992), на общегородском грмивярд аоивагоиерващ комплексному анализу под руководством профессорш Л-А. А&енберга и АЛ. Южакова (Красноярск, 1987-1992), на семинаре по изтематнческой физике под руководством академика B.C. Владимирова (Москва, .1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [1-5].

Структура ж объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 50 наименований, и занимает 82 страницы машинописного текста.

Содержание работы.

Во введении диссертации приводится краткий обзор работ, касающихся ее темы, я формулируются основные результаты.

Первая глава посвящена вопросам приближенного вычисления так называемых решеточных сумм, улучшения сходимости числовых рядов. Здесь также доказано одно асимптотическое равенство.

В § 1 исследуются ряды вида

т51(т'+а1п')-....(т' + ср»')\ (2)

для которых указан алгоритм приближенного вычиЬления их сумм с очень высокой степенью точности, основанной на сведении ряда (2) к однократным рядам, содержащим гиперболические функции.

В § 2 показано, как ряды вида (2) можно использовать для приближенного вычисления двойных решеточных сумм (1).

В §3 предлагается довольно общий метод улучшенья сходимости числовых рядов, удовлетворяющих признаку сходимости Куммера. А именно доказаны следующие теоремы. ,

Теорема 1 Пусть ряд £ а» сходится и последовательность с, удовлетворяет условию

Игл*-, «,(с,а„) = Ь.

Тогда ряд

<ц( 1 - + - + - £ (е.а, - а.+1(с.+1 - М», М Ф 0 (3) М М Д »«1

сходится и «го сумма равна Е л». Теорема 2 Пусть ряд

(4)

»-1 -

удовлетворяет условшмк;

о»>0, Цт {с, • — - с,+1) = р > 0, (5)

л в»+1

где последовательность с» ттема, что Ее^1 расходится. Тогда. для ряда (4) выполнены все условия теоремы 1. Причин, если в (3) положить ц ~ —р, то ряд (3) будет сходиться быстрее ряда (4). ' •

Отметим, что в качестве частного случая из теоремы 1 вытекает результат Сорокина [10] об улучшении сходимости рядов, удовлетворяющих признаку сходимости Даламбера.

В § 4 доказана асимптотическая формула

где Нл — п-е число 1>ернулли, Г(г) — гамма-функция '»¡ик-ра. И случае р = 1, рядом, стоящим в правой части формулы (О), интересовался еще Матье. Однако, только в 1981 г. На» Чан-ли к Пап Хнп-хуа сумели найти первые два члена асимптг гического разложения для этого ряда (при р =.1).

Во второй главе диссертации исследуются ряды, содержанию гиперболические функции ц паходятся точные значения полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода при некоторых значениях модуля.

В $ 5 доказаны следующие теоремы.

Теорема 3 Ц^и х € К и р — 0,1,2,... справедливо равенство

Е (2п + 1)-<>-\х-<>-Чн*х{ъ: +1) + =

7 Е(-1)?х-24-1С(4р + 2 - 2Ч)фя + 2)(1 - - 2-2'-1). (7)

Т »«о

Теорема 4 При х € Я \ {0} и р £ 14 справедливо равенство

' ашД X

- ^'(-1) V1-* • С(2ч + 2) - С(4р- 2) + С(4р + 2)(-- 4- х<'+'), (8)

их

где ((г) — дэета-функцил Римана.

Полагая в (7) р = 0 получим равенство Гросджина [11]; взяв в (8) х — 2 получим тождество Сайера [12]

В § б исследует«:« фунгция к(х), которая является решением интегрального уравнения

= .(¿(х)5бО), (9)

где х > 0, К(к) — полный эллиптический интеграл 1-го рода. Уравнение (9) изучалось еще Абелем, а его решение к(х) играет большую

роль в теории эллиптических функций. К тому же п работах Цуке ра, Хаутот, 1'обсртсопа и др. 70 х годов было показано, что через к(х) выражаются суммы многих рядов, содержащих гиперболические функции и решеточные суммы. 13 настоящей работе доказаны формулы:

2 1 -г к[х)

лк - ко - п-л

<1х " х(К-Е')* [и)

позволяющие значительно расширить список ^ядон указанных ны-типов, суммы которых могут быть вычислены н замкнутом вил«. Кроме того доказана

Теорема б Если х = (2*)А1, * (2*ч/б)±1, ('¿"-З)*1, (З*^)*1, то *:(я*} — корень-квадратного рраене-ния с алгебраическими коэффициентами.

Эта теорема уточняет известную из-теории эллиптических функций теорему Абеля о том, что сслп

а + Ьц/п

х =-г—,

с + с^/п

где а, Ь, с, — целые, то к(х) — алгебраическое. Уточняет в том смысле, что для указапных в теореме эПертспиб х, к(х) может быть явно вычислена.

Для полных эллиптических интегралов также доказаны формулы удвоенпя:

К(к{2х))~ТТЩ^Г

Е(к(2х)) = (1 к(2х))К(к(х)) + (1 + к(2х))Е(к(х)),

которые позволяют вычислять в замкнутом виде К(&) и Е(£) при некотрых значениях модуля А. Например:

Щк(2)) = //(1 - {Л- = Т^^ф-

Результат« такого сорта можно найти еще у Лежапдра и его клас снческой монографии "Примеры вычисления интегралов".

Третья глава диссертации поспящена возникающей п тсорстнчс ской физике задаче определения ориентации диполей. Эта задача бы ла ииервые поставлена в работе американских физикой в 1916 г. Несмотря на довольно большой интерес к л ой проблематике (см. список литературы в обзорах [13,1-1] и монографин ). полною решсиия задачи цока получить не удалось.

В диссертации изучаются распределение днншк й как ь плоских, так и в пространственных дииольных решетках, уцоБлетноряклши-следующим дополнительным ограничениям:

1) Е — ХЛ. Здссь^с/ — вектир-дмииль находящийся в узле решетки; Е — напряженность ммгтрнч-гкого поля, создаваемого ни данном узле всеЬш другими диполями; А — действительная константа, которая предполагается не зависящей от узла решетки.

2) Распределение должо» бить периодическим в обьгшои смысле ¡9].

Отметим, что если ограничение 2) является стандартным, то требование независимости Л от узла решчтки в 1) в других работах не накладывалось, хотя, в то же время, примеров распределений не обладающих этиф свойством до евх пор пе построено. .

При укдгаяиыж огрццгиншгт задана пахождегтпя орпегггаппй диполей сводится к задаче па собствсшшс эпачеппя для матриц весьма специального вида.

Несколько слов о термине лпгид и обозначениях. Напомним, что матрица

во в«-1

0| во

01 а2

а.-1

во

называется циркулянтом. Матрицу А вида

Ао А\ ...

А..1 Ао ... А,.*

'Аг Аг ... Ао

/

/

в

пазовем блочпым циркулянтом п-го порядка, если каждый из блоков Ли,..., .4,_| является блочным циркуляптом (п - 1)-порядка. заметим. что по построению, блочный циркуляпт п-го порядка — это квадратная матрица размеров л" х ,чп, все элементы которой полпостью определяются л" элементами пулевой строки: = и,.-. - I,

к = 17п.

Мы говорим, что блочный циркулянт Л составлен из элементен ау,...;«» если нулевая строка матрицы А имеет вил

Сформулируем доказанные в работе теоремы о собственных числах к собственных векторах блочного циркулянта п-го порядка.

Теорема б Собственные, числа = 0, я — 1, к = 1,п) блоч-

ного циркулянта п-го порядка, Составленного из элементов равны

а,£ <13>

где е) = ехр{2тпЛ$).

Теорема 7 Пусть М — целое число от 0 до з* — 1 включительно, запись которого в системе счисления по основанию з имеет вид а1аз...а„. Тогда М-ая компонента собственного вектора ¿5,.„;., соответствующего собственному числу (13) равна

(")

где определяются по тому же правилу, что и в предыдущей теореме.

Замечание. При записи М нужно использовать все п позиций. Пусть, например, п = 4. Тогда число 7 в системе счисления по основанию 10 мы записываем, как 0007.

Прежде чей сформулировать основную теорему о собственных числах и собственных векторах матрацы Л, возникающей при решении описанной выше физической задачи, введем следующее обозначение. Пусть — собственное число блочного циркулянта п-го порядка Л^}(1 < а,0 < п). Матрицу

'обозначим через А/,^

Теорема 8 Пусть А — собственное число матрицы Лу, которому соответствует собственный вектор (х1,...хп). Тогда А -собственное \ttcAO блочной матрицы А = которому со-

ответствует собственный вектор

г = .....(15)

где компоненты, вектора определены по формуле (Ц).

Теорема 8 сводит спектральную задачу для матрицы А пл*-го порядка к зя спектральным задачам для матриц порядка п. При этом в физически наиболее содержательных случаях (п = '2,3) спектральную задачу для матрицы А можно считать полностью решенной, т.к. существуют явные формулы для решения алгебраических уравнений второй и треть«« степени.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Найдены собственные числа и собственные вектора блочных матриц циклического типа, возникающих при решении задачи об определении ориентации диполей в кристаллических решетках.

2. Получены новые точные формулы для сумм некоторых функциональных рядов, содержащих гиперболические функции.

3. Разработан метод улучшения сходимости числовых рядов, удовлетворяющих признаку сходимости Куммсра.

4. Предложен новый метод приближенного вычисления двойных решеточных сумм.

Литература.

1. Ермилов И.В. Суммы близкие х решеточным н связанные с ними одномерные суммы//Актуальные вопросы комплексного анализа: Тез. докл. Шгола-семинар 5-10 июня 1989. Ташкент, 1989, С. 39.

2. Ермилов И.В. Об улучшении сходимости числовых рядор// Комплексный анализ и математическая физика: Тез. докл. Школа-семинар, 23 июня - 5 июля 1987- — Красноярск, 1987, С. 34.

3. Ермилов Н.В. Вычисление сумм и улучшение сходимости числовых рядов// Исследования но комплексному анализу. Межвуз. сб. -¿учж, тр., Красноярск, 1989, С. 52-63.

4. Ермилов И.В. Тождества для рядов по гиперболическим фупк цпям// Уравнения математической физики и теории функций. Меж-

,вуз. сб. иаучн. тр., Красноярск, 1991, С. 61-63.

5. Peter I. Belobrov, Ivan V. Ermilov and Avgust K. Tsikh. Stable and ground states of dipolic// Preprint Trita. • Mat. 1991 0020 (June 1991) Department of mathematics Royal lust, of Technology. S 1001-5. Stucholiu. Sweden.

6. Прудников A.II., Брычкив Ю.А., Маричев О.И. Интегралы u ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981 — 7Э7 е..

7. Toai М.Р.// Solid St. Phya. — 1964. -16. P. 1 - IS.

8. Luttinger J.M., Tisza L. Theory of dipole interaction in crystal*// Phys. Rev. — 1946. — 70, Л'» И. — P. 954-964.

9. Огенко B.M., Розенбаум В.., Чуйко В.А. Теория колебаний и переориентации поверхностных групп атомов. — Киев: Наук, думка. — 1991. — 349 с.

10. Сорокин Г.А. О некоторых преобразованиях рядов// Изв. вузов. М-атем.. — 1984, № 11, С 34-40.

11. Grosjean Carl С. Proof of remarkable identity// Simon Stevin. — 1984. — 58, № 3, P 219-214.

12. Sayer F.P. The sunjs of certain series containing hyperbolic functions// Fibonacci Quart. — 1976. -- 14, № 3, P. 215 223.

13. Показаньев В.Г., Скроцхий Г.В., Якуб Л.И.// УФН. — 1975. — 116, С. 485-492.

14. Малеев С.В. Диполыше силы в двумерных и слоистых ферромагнетиках// Журн. экснерим. и теор. физики. — 1976. — 70, X» 6-С. 2374-2389.