Вычисление ядра уравнения теплопроводности методами ковариантной теории возмущений тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

62 11/95

Вычисление ядра уравнения теплопроводности методами ковариантной теории возмущений

Гусев Юрий Владимирович

Диссертация, представленная на соискание степени

Доктора Философии

Физический факультет Университета Манитобы, г. Виннипег, Манитоба, Канада ©Сентябрь 1996 г.

Краткое содержание

В диссертации, используя методы ковариантной теории возмущений, вычислен след ядра уравнения теплопроводности во внешних гравитационных и калибровочных полях. Разложение следа ядра уравнения теплопроводности получено до третьего порядка по тензорам напряжённости внешних полей (кривизн) на некомпактных асимптотически плоских многообразиях произвольной размерности пространства-времени. Построен базис тензорных инвариантов и вычислены форм-факторы, действующие на них, в двух интегральных представлениях.

Используя метод производящих функционалов и методы ковариантной теории возмущений, получено разложение предела совпадения ядра уравнения теплопроводности до второго порядка по кривизнам. Построен соответствующий базис тензоров кривизны и вычислены форм-факторы.

Разложение полученных результатов при малых значениях параметра собственного времени сравнивается с рядом Швингера-Девитта. Найдено асимптотическое поведение следа ядра уравнения теплопроводности при больших значениях параметра собственного времени. Вычислено однопетлевое эффективное действие для инвариантной по Вейлю модели скалярного поля в двух измерениях. Обнаружено, что для такой модели в разложении по тензорам кривизны исчезают вклады высших порядков, начиная с третьего. Подобным же образом вычислена двумерная функция Грина. Вычисление аномалии Вейля (конформной аномалии) в четырёх измерениях проведено, используя след ядра уравнения теплопроводности.

Представленные результаты могут быть использованы при вычислении одно-петлевого нелокального эффективного действия и функций Грина, содержащих информацию об эффектах поляризации вакуума в квантовой гравитации и теориях калибровочных полей.

Благодарности

Я благодарен своему научному руководителю профессору Университета Манитобы Тому Осборну за его помощь в работе над диссертацией, постоянную поддержку и одобрение моей работы.

Я также хотел бы поблагодарить ведущего научного сотрудника Физического института им. П.Н. Лебедева Российской Академии Наук Андрея Олеговича Барвинского, многие годы являющегося моим учителем и коллегой.

Я выражаю отдельную благодарность ведущему научному сотруднику Физического института им. П.Н. Лебедева Российской Академии Наук Григорию Александровичу Вилковыскому, разделившим со мной своё восхищение физикой.

Оглавление

1 Введение 1

1.1 Введение................................. 1

1.2 Ковариантная теория возмущений................... 9

2 След ядра уравнения теплопроводности в третьем порядке по

кривизнам 16

2.1 Третий порядок теорий возмущений для следа ядра уравнения теплопроводности .............................. 16

2.2 Разложение Тг К (в) по степеням кривизн до третьего порядка . . 19

2.3 Представление форм-факторов следа ядра уравнения теплопроводности в форме полиномов по а -параметрам............. 24

2.4 Сведение форм-факторов в виде полиномов по «-параметрам к базовым форм-факторам......................... 35

2.5 Окончательный результат для следа ядра уравнения теплопроводности ................................... 41

2.6 Поведение следа ядра уравнения теплопроводности при больших значениях собственного времени.................... 46

2.7 Поведение следа ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени и сравнение его с разложением Швингера-Девитта.................................. 47

3 Ядро уравнения теплопроводности во втором порядке по кривизнам 56

3.1 Метод производящего функционала для ядра уравнения теплопроводности .................................. 56

3.2 Второй порядок теории возмущений для ядра уравнения теплопроводности .................................. 58

3.3 Представление форм-факторов ядра уравнения теплопроводности чрез полиномы по а-параметрам.................... 59

3.4 Окончательный результат для ядра уравнения теплопроводности

до второго порядка по кривизнам................... 64

3.5 Поведение ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени и сравнение его с разложением Швингера-Девитта.................................. 66

4 Полевые модели инвариантные по Вейлю 72

4.1 Однопетлевое эффективное действие для инвариантных по Вейлю моделей скалярных полей в двух измерениях........................72

4.2 Функция Грина для конформной модели скалярного поля в двух измерениях................................................................77

4.3 Вейлевская аномалия в четырёх измерениях..........................79

5 Заключение 86

А Базис нелокальных инвариантов кривизн в третьем порядке 100

В Явное представление для форм-факторов третьего порядка следа ядра уравнения теплопроводности 106

С Явное представление для форм-факторов второго порядка ядра уравнения теплопроводности 128

Б Форм-факторы для вычисления вейлевской аномалии 133

Глава 1

Введение

1.1 Введение

Изучение ядра уравнения теплопроводности является важным направлением в теоретической физике и прикладной математике. Решения уравнения теплопроводности и подобных ему уравнений, таких как уравнение диффузии и уравнение Шрёдингера, подробно изучены в математической литературе [1, 2, 3, 4, 5, 6]. В данной диссертации мы рассматриваем уравнение теплопроводности в виде:

д * *

—К(з\х,у) = Р{ух)К(з\х,у), (1.1)

где 5 - параметр собственного времени вдоль геодезической линии, соединяющей две точки пространства-времени х и у. Мы проводим вычисления в искривлённом пространстве-времени с постоянной положительной сигнатурой метрического тензора, т.е. в Эвклидовом пространстве-времени. Размерность пространства-времени произвольна всюду за исключением 4-й главы диссертации. Р{4) в уравнении (1.1) - дифференциальный оператор второго порядка, действующий на возмущения полей в точке х. Символ" поверх величин К и Р означает, что эти величины являются матрицами. В таких обозначениях уравнение теплопроводности принимает вид:

К(з\х, у) = ехр [з^У*)] 5(х, у). (1.2)

Решение уравнения теплопроводности (1.2) было применено в теоретической физике Р.Фейнманом [7, 8, 9] для вычисления пропагатора:

Р{Чх)6(х,у) = -Щх,у). (1.3)

Ядро уравнения теплопроводности определяет пропагатор или функцию Грина при помощи известного уравнения Швингера [10]:

roo

G(x,y)= dsK(s\x, у). (1.4)

Jo

Если S[(p] - действие полевой модели, то её индуцированный дифференциальный оператор находится следующим образом:

= (1.5)

Мы ограничимся изучением моделей, которые характеризуются так называемым минимальным оператором второго порядка [11],

F(V) = OÍ + р- (1.6)

где оператор Лапласа-Бельтрами (или кратко лапласиан),

(1.7)

построен из ковариантных производных V^. Оператор F(V) действует на малые возмущения произвольного набора полей tpA(x). Матричная природа F(V) происходит из тензорной структуры возмущений полей <рА(х), на которые действует оператор. Нами приняты следующие матричные соглашения:

i = 5АВ, Р = РАВ, ... (1.8)

Матричный след по индексам А обозначается как tr:

tri = 5AA, trР = РАа, ••• (1.9)

Метрический тензор входящий в (1.7), участвует в образовании тензоров

кривизны Римана и Риччи:

R^ca/P = ~ ^P^av + ^„Г^д — Гд^Г^,

Ra/3 = R^aiipi R = Q^RaP, (1-Ю)

- ковариантная производная с произвольной связностью. Она характеризуется коммутатационным тензором кривизны

[VM, V,]*/ = - V„VM)6<РА = nABftJipB, KABflu = n„v. (1.11)

Член со скаляром кривизны Риччи R включен в потенциал в (1.6) по соображениям удобства. Он важен при изучении конформно инвариантных моделей в четырёх измерениях (см. раздел 4.3).

В данной диссертации мы использовали обозначения Б. Девитта [12]. В этих обозначениях индекс А обозначает любой набор дискретных индексов спинорно-тензорных полей. В результате член взаимодействия Р может быть произвольным матричным потенциалом, определяемым конкретными полевыми моделями. В принятых обозначениях один и тот же символ TZ,W может означать и тензор напряжённости неабелевых калибровочных полей (полей Янга-Миллса), когда его матричные индексы описывают внутренние степени свободы, и электромагнитный тензор, не обладающий спинорными степенями свободы. Он может также представлять и тензор кривизны Римана, тогда в нём появляется дополнительная пара пространственно-временных индексов, а 1 = gßU. Набор тензоров напряжённости поля, называемых в дальнейшем кривизнами,

RnßliU, Р (1-12)

и характеризующих фоновые поля, будет обозначаться как Мы рассматриваем асимптотически плоские многообразия с тривиальной топологической структурой R2,UJ. Многообразия с нетривиальной топологий типа R3 х S1 здесь не рассматриваются. Для рассматриваемых многообразий кривизны калибровочных и гравитационных полей, а также потенциал Р, (1.12), исчезают на бесконечности.

Много работ, предшествующих данному исследованию, было посвящено разложению ядра уравнения теплопроводности при малых значениях параметра собственного времени, которое известно также как ряд Швингера-ДеВитта [10, 12]:

1 < ) 00 k(s\x, у) = ———e~z~^LD1/2(x, у) £ Snän(x, у), а -> 0, (1.13)

где сг(х,у) - мировая функция [13] или геодезический интервал, который в декартовой системе координат равняется половине квадрата расстояния вдоль геодезической линии, соединяющей две точки пространства-времени х и у. Повсюду предполагается, что 2о> - размерность пространства-времени. Двухточечная плотность D(x,y) - детерминант Ван-Флекка-Моретт [14, 15],

D=-det(-dPd»o(x,y)). (1.14)

Коэффициенты Швингера-ДеВитта ап(х,у) могут быть найдены по рекуррентным соотношениям [12, 11] или другими независимыми методами [5, 16, 17]. С момента своего открытия эти коэффициенты играли огромную роль в квантовой теории поля [18, 11, 19] и остаются важным инструментом до сегодняшнего дня [20, 21].

Хотя для многопетлевых вычислений в квантовой теории поля важно найти двухточечное ядро уравнения теплопроводности К(з\х,у), для однопетлевых вычислений требуется знать только его предел совпадения К(в\х,х). В таком случае уравнение (1.13) упрощается:

К(з\х,х) = ^^^зпап(х,х), з- 0, (1.15)

147Г5У п=О

где д - определитель метрического тензора д = ([еЬ^"). Коэффициенты Швингера-ДеВитта ап(х,х) были вычислены явно для п = 0 до 3 [12, 11, 4, 22]. Ограниченные результаты известны для случая п — 4 [23, 16, 17]. Коэффициенты ап(х,у) являются локальными функциями фоновых полей, входящих в оператор (1.6). Такое разложение по малых значениям собственного времени послужит нам предельным случаем и способом проверки результатов, представленных в данной диссертации.

Конечная цель данного исследования - применение ядра уравнения теплопроводности при вычислении однопетлевого эффективного действия и функций Грина [8, 12, 11]. Эффективное действие содержит в себе всю важную физическую информацию о теории поля и представляет собой производящий функционал для одночастично неприводимых диаграмм [8, 12]. Данный факт особенно важен для квантовой гравитации, где работа со стандартными фейнмановски-ми диаграммами сильно затруднена вследствие их числа и сложности. Хотя и невозможно получить замкнутое представление для эффективного действия во всех порядках по постоянной Планка Н, зачастую достаточно знать только низшие по Н поправки к классическому действию, т. е. однопетлевое эффективное действие ИЛ Так как мы работаем в формализме функционального интеграла [8, 24], эффективное действие определено как преобразование Лежандра от логарифма производящего функционала функций Грина, т. е. от производящего функционала связных функций Грина. Его итеративное решение выражается

через дифференциальный оператор (1.6):

W = -Tr InF - [ ¿2шх6{2ш\х,х)(...). (1.16)

2 J

Под не выписанными членами (...) подразумеваются вклады локальной меры функционального интеграла пропорциональной дельта функции в совпадающих точках [25]. Как было показано в [26], этот вклад всегда сокращается с объёмными расходимостями. Для операторов безмассовых теорий (1.6) такое сокращение равносильно вычитанию члена нулевого по кривизне.

Знание ядра уравнения теплопроводности (1.2) позволяет построить ковари-антное разложение в диаграммах Фейнмана [11, 12, 27, 28] до любого порядка по числу петель. Как видно из (1.16), однопетлевое эффективное действие задается следом ядра уравнения теплопроводности:

~W = l Г —TrК(з) + [d2uJxS^\x, х){...), (1.17)

2 Jo s J

где Tr в отличие от tr в (1.9) обозначает функциональный след

TrK(s) = j d2"xtxK{s\x,x). (1.18)

Далее и везде размерность пространства-времени в интегральной мере не будет выписываться явно: dx = d2u} х.

Ультрафиолетовые расходимости квантовой теории поля возникают в интегралах по собственному времени s на нижних пределах интегрирования (1.15). Они устраняются процедурой перенормировки [12, 11]. В моделях с массивными полями в петлевых интегралах (1.13) и (1.15) всегда присутствует массовый множитель ersrn2, обеспечивающий их сходимость на верхних пределах s —> ос. К сожалению, петлевые интегралы безмассовых теорий расходятся также и на верхних пределах. Такие инфракрасные расходимости являются недостатком способа вычислений, а не самих полевых моделей. Этот факт иллюстрируется тем, что разложение ядра уравнения теплопроводности при малых значениях собственного времени становится в эффективном действии и функциях Грина разложением по большим массам. Возникает потребность в новом методе, позволяющем вычислять ядро уравнения теплопроводности при любых значениях собственного времени s от 0 до оо. Такой метод, называемый ковариантной теорией возмущений, будет представлен в следующем разделе.

Ковариантная теория возмущений [29, 30, 31] эквивалентна суммированию членов данного порядка по кривизне изо всех коэффициентов разложения Швингера-ДеВитта. Данный метод, предложенный в работах [32, 33], производит нелокальные выражения, т.е. выражения, которые содержат бесконечное число производных, действующих на кривизны. В общем виде такое выражение имеет вид:

Тг К (в) = ¡¿хд^х^т^ + зШ + з2^^0^)^

+ з3 £ Р(8, □!, П2, сдаадз + } > (1-19)

где функции /г и Рг являются аналитическими функциями по безразмерным аргументам —вШ. Они называются форм-факторами и действуют на тензорные инварианты, построенные из кривизн Хотя данное выражение и похоже на ряд Швингера-ДеВитта (1.13) для ядра уравнения теплопроводности, оно действительно при любых значениях собственного времени. Структура (1.19) действительна только до третьего порядка, так как в членах высших порядков невозможно выразить форм-факторы исключительно через лапласианы (1.7). Начиная с четвёртого порядка по кривизнам появляется новый тип смешанных производных [34]. Область применимости ковариантной теории возмущений ограничена условием

» К2. (1.20)

Это условие ограничивает применимость теории быстро осциллирующими фоновыми полями малых амплитуд. Противоположный предел медленно осциллирующих полей больших амплитуд также представляет значительный интерес [35]. Этот предел в виде разложения по производным для внешних электромагнитных полей был изучен в работе [36].

Хотя суммирование (1.19) может быть проведено непосредственно [16], только ковариантная теория возмущений позволяет провести вычисления выше второго порядка по кривизнам. Вычисление третьего порядка по кривизнам в следе ядра уравнения теплопроводности - главная задача данной работы. Данное исследование мотивировано проблемой излучения Хокинга [37] - эффекта рождения частиц при гравитационном коллапсе [38, 33]. Хорошо известно, что чёрная дыра излучает с температурой обратно пропорциональной её массе [18]. Как было показано в [38, 33] этот квантовый эффект может быть получен из не локального

эффективного действия в двух измерениях, где такое действие известно точно (см. раздел 4.1). В четырёх измерениях излучение Хокинга появляется в третьем порядке в разложении по кривизнам для эффективного действия [27, 39, 40]. Недавно были получены результаты, подтверждающие верность этого направления [41]. К сожалению, вычисление эффективного действия (1.17) для моделей общего типа лежит за рамками данной диссертации и изучено в других работах [42, 43, 44].

Необходимо подчеркнуть различие между ковариантной теорией возмущений [29, 30] и стандартной теорией возмущений в плоском пространстве-времени [23]. Нековариантные вершины являются расходящимися во всех порядках стандартной теории возмущений. Эти расходимости могут, однако, сокращаться в некоторых задачах [45]. Физические эффекты определяются ковариантным эффективным действие W, которое конечно, начиная с третьего порядка по кривизнам [42]. Ковариантная теория перенормировок в калибровочных теориях поля -главная область приложений представленных здесь результатов. Инфракрасная перенормировка квантовой электродинамики уже была осуществлена подобным способом в работе [46].

Поскольку след ядра уравнения теплопроводности (1.18) может быть использован как производящий функционал для ядра уравнения теплопроводности [28, 47], довольно интересно получить K(s\x, х) таким способом, но он позволяет провести вычисления т