Вычислительные алгоритмы решения задачи о распространении двухмерного пламени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ О

РАСПРОСТРАНЕНИИ ДИФФУЗИОННОГО ПЛАМЕНИ ПО ПОВЕРХНОСТИ ГОРЮЧЕГО МАТЕРИАЛА.

1.1. Физическая модель процесса.

1.2. Математическая постановка задачи, основанная на нестационарных уравнениях сохранения.

1.3. Математическая постановка задачи, основанная на стационарных уравнениях сохранения

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В РЕАГИРУЮЩЕЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЕ.

2.1. Расчет характеристик в газовой фазе.

2.1.1. Метод контрольного объема.

2.1.2. Расчет поля течения.

2.1.3. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.

2.1.4. Дискретизация расчетной области.

2.2. Расчет характеристик в горючем материале.

2.2.1. Расчет поля температур в твердом теле при решении задачи в нестационарной постановке

2.2.2. Расчет поля температур в твердом теле при решении задачи в стационарной постановке

2.2.3. Вид конечно-элементной сетки.

2.2.4. Определение границы выгорания при решении задачи в нестационарной постановке

2.2.5. Определение границы выгорания при решении задачи в стационарной постановке.

2.2.6. Аппроксимация граничных условий на границе раздела фаз

2.3. Итерационный алгоритм решения сопряженной задачи.

2.4. Оценка параметров вычислительного процесса.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА СТАЦИОНАРНОЙ СКОРОСТИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ.

3.1. Решение задачи в нестационарной постановке

3.1.1. Исходные данные.

3.1.2. Результаты расчета основных характеристик процесса

3.1.3. Определение значения скорости распространения пламени

3.2. Решение задачи в стационарной постановке

3.2.1. Анализ существующих алгоритмов определения скорости распространения пламени.

3.2.2. Расчет с использованием принципа минимального производства энтропии

3.2.3. Алгоритм, основанный на задании фиксированного значения координаты точки выгорания

3.2.4. Сравнительный анализ рассмотренных способов решения задачи на собственные значения.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ

ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОЦЕССА.

4.1. Оценка кинетических параметров реакции. Идентификация модели.

4.2. Исследование влияния основных параметров процесса на скорость распространения пламени.

Исследование процесса распространения пламени представляет собой весьма актуальную задачу, так как связано, с одной стороны, с вопросами эффективного противодействия пожарам, с другой - с поиском оптимальных условий при сжигании топлива в различных инженерных системах.

Математическое моделирование данного процесса сводится к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных с достаточно сложными граничными условиями. Распространение пламени -сложное физико-химическое явление, включающее в себя процессы тепломассопереноса, химической кинетики, механики жидкости и газа, термодинамики [1], поэтому уравнения, представляющие математическую постановку задачи, являются связанными, существенно нелинейными, и имеют сложные условия сопряжения. Как правило, задача решается в сложных областях, зависящих от самого решения. В связи с этим, единственно возможным способом решения рассматриваемой задачи являются численные методы.

В работах [2-6] развиты теоретические модели процессов горения и сформулированы математические постановки задач о распространении пламени. К настоящему времени существует достаточное количество методов численного решения систем уравнений в частных производных, например [7-24]. Однако в предложенных методах численного решения систем уравнений в частных производных рассматриваются основном классические задачи механики сплошных сред [25, 26], и не учитываются особенности, точнее дополнительные сложности, связанные с процессами горения.

Поскольку процесс распространения пламени по поверхности твердого горючего материала происходит в гетерогенной среде, рассматриваемая задача представляет собой сопряженную задачу 6 тепломассопереноса в двухфазной среде «газ - твердое тело». Известные методы решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных применимы либо для газовой фазы, либо для твердого материала, имеющих различные характерные времена переноса и различные определяющие факторы. Как правило, для решения задач в газовой среде, с преобладанием конвективных составляющих процесса переноса, используется метод контрольного объема, для которого разработаны эффективные алгоритмы расчета поля течения [7]. В твердом теле, где напротив определяющим является молекулярный перенос, учитывая, что при распространении пламени происходит выгорание горючего материала, и форма его поверхности меняется, необходимо применение интегральных методов, в частности, метода конечных элементов. В главе 2 настоящей работы рассматривается проблема использования преимуществ обоих подходов и применения некоторого алгоритма сопряжения получающихся решений по границе раздела фаз.

Одной из основных задач при исследовании рассматриваемого процесса является поиск стационарной скорости распространения пламени, так как экспериментально подтверждено существование стационарного режима, при котором тепловой баланс между внутренним источником энергии и окружающей средой обеспечивает движение фронта пламени с постоянной скоростью. Математические формулировки данной задачи и алгоритмы расчета скорости распространения пламени базируются на двух альтернативных подходах, основанных, соответственно, на использовании нестационарных [27-33] и стационарных [34-43] уравнений сохранения, представляющих собой уравнения в частных производных. Первый из них, рассматриваемый в разделе 3.1, приводит к корректной и замкнутой постановке, однако его недостатком являются высокие затраты вычислительных ресурсов при численном 7 решении задачи, а также невозможность получения аналитических оценок скорости горения.

С другой стороны, существование режима распространения пламени с постоянной скоростью дает основание для рассмотрения данного процесса в стационарной постановке, сформулированной в движущейся системе координат, связанной с фронтом пламени. Этот подход позволяет сократить размерность задачи. Однако в отличие от одномерного распространения пламени, где математическая постановка задачи является замкнутой (как для распространения пламени по перемешанной газовой смеси [2-4, 44, 45], так и для горения твердых топлив [46, 47]), при исследовании двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала [27, 35-41, 48-56] скорость горения является вектором, имеющим две составляющие - линейную скорость пиролиза, нормальную к поверхности горения, и скорость распространения пламени вдоль поверхности материала. Использование скорости распространения пламени вдоль поверхности материала в качестве параметра преобразования координат, приводит к тому, что задача становится в общем случае незамкнутой.

Для решения этой проблемы используются различные подходы [3438, 49, 50, 52, 53, 57], но как показывает детальный анализ [39-41, 58, 59], проводимый в разделе 3.2 настоящей работы, большинство из них не являются в достаточной мере корректными с точки зрения постановки сопряженной задачи, поскольку переопределяют ее. Таким образом, вопрос о формулировке замкнутой математической модели рассматриваемого процесса остается нерешенным. В настоящей работе рассматриваются два различных способа замыкания задачи на собственные значения - применение принципов термодинамики необратимых процессов и задание фиксированного значения координаты точки выгорания горючего материала. Для оценки их применимости проводится 8 сравнение получаемых результатов с решением задачи, сформулированной в нестационарных уравнениях.

В целом, следует отметить, что исследование рассматриваемой проблемы ранее проводилось в основном с точки зрения анализа физических закономерностей процесса, в то время как математическая проработка алгоритмов расчета и их численная апробация остаются недостаточными и требуют дальнейших исследований.

Настоящая работа посвящена разработке математических моделей, методики и алгоритмов расчета процесса распространения пламени для постановок задачи как на основе нестационарных, так и стационарных уравнений, а также, в последнем случае, исследованию способа замыкания задачи на собственные значения, являющегося математически обоснованным и дающим согласование с результатами, получаемыми при решении задачи в нестационарной постановке.

Цель работы

- Разработка математической модели процесса распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе сопряженных уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело".

-Разработка методики численного расчета, основанной на совместном применении метода контрольного объема для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого горючего материала.

- Разработка алгоритмов расчета стационарной скорости распространения пламени

-Оценка параметров сходимости и устойчивости вычислительного процесса и оптимальных характеристик дискретизации расчетной области 9

- Исследование основных закономерностей распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала, сравнение полученных зависимостей с экспериментальными данными.

Научная новизна

Разработана математическая модель процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе уравнений сохранения (уравнений в частных производных параболического типа для нестационарной постановки, эллиптического и параболического типа - для стационарной постановки) для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело" с учетом изменения толщины твердого тела.

Разработана новая методика расчета, основанная на совместном применении метода контрольного объема, обеспечивающего эффективный алгоритм расчета поля течения, для газовой фазы и метода конечных элементов, позволяющего с более высокой точностью определять интегральные характеристики реакции термического разложения и форму поверхности горения, для твердого горючего материала. На основе численных исследований получены оптимальные значения параметров вычислительного процесса (размеры расчетной области, аппроксимирующие области финитности решений, вид расчетной сетки, коэффициенты релаксации для решения систем алгебраических уравнений).

Показана незамкнутость задачи на собственные значения при расчете скорости распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности твердого горючего материала в стационарной постановке. Получено соотношение для производства энтропии для задачи о распространении пламени; на базе принципа минимального производства энтропии И.Пригожина рассмотрен новый подход к расчету стационарной

10 скорости распространения пламени. Предложен новый вариант замыкания задачи, основанный на задании фиксированного значения координаты точки выгорания горючего материала.

Проведено прямое сравнение результатов численного решения задачи в стационарной постановке получаемых результатов с решением задачи в нестационарной постановке. Проведены расчеты скорости распространения пламени при горения целлюлозного материала. Полученные результаты численного решения задачи о распространении пламени показывают качественное и количественное соответствие экспериментальным зависимостям скорости распространения пламени от основных параметров процесса: толщины слоя горючего материала, концентрации окислителя, что подтверждает теоретическую и практическую пригодность алгоритма расчета скорости распространения пламени, предлагаемого в настоящей работе.

Сформулирована физическая и математическая (Модель, методика расчета процесса распространения пламени по поверхности горючего материала при влиянии мелкодисперсной водяной завесы; проведены численные исследования. Показана практическая применимость разработанной методики расчета к решению задач о противодействии распространению пламени.

Практическая ценность

Основное практическое применение результатов работы направлено на поиск эффективных алгоритмов решения задач о распространении пламени по поверхности горючих материалов, что актуально, прежде всего, для проблемы математического моделирования задач пожаробезопасности. Использование предлагаемых алгоритмов расчета позволяет с математической точки зрения корректно замкнуть постановку задачи и решить ее в стационарной постановке, что дает значительную

11 экономию вычислительных ресурсов по сравнению с формулировкой, использующей нестационарные уравнения.

Разработанная методика расчета и проведенные исследования численной реализации могут быть использованы при анализе влияния различных условий и внешних воздействий на процесс распространения пламени.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается физической и математической корректностью рассмотренных моделей, проведенными параметрическими исследованиями сходимости и устойчивости вычислительных алгоритмов и подтверждается согласованием рассчитанных значений скорости распространения пламени при решении задачи в нестационарной и стационарной постановках, а также качественным и количественным соответствием экспериментальным данным.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск, 1998), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), 2-м краевом конкурсе молодых ученых и аспирантов Хабаровского края (2000), 4-м (Токио, 2000), 5-м (Ньюкасл, Австралия, 2001) Азиатско-Океанских симпозиумах по научным и технологическим аспектам исследования пожаров, второй региональной научной конференции "Физика: Фундаментальные и прикладные исследования, образование" (Хабаровск, 2001), семинарах НИИ компьютерных технологий при Хабаровском государственном техническом университете (1998-2002), семинаре отдела математических методов физики и техники Вычислительного центра ДВО РАН

12 руководитель проф. Рукавишников В. А.) (2002), семинаре "Дифференциальные уравнения" кафедры ПМиИ Хабаровского государственного технического университета (руководитель проф. Зарубин А.Г.) (2002).

Основные положения и результаты исследований опубликованы в работах [33, 40-43, 56, 67, 77, 78, 84, 85].

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю к.ф.-м.н. А.И.Карпову за сотрудничество и помощь в подготовке работы, д.ф.-м.н. профессору В.К.Булгакову за поддержку и ряд ценных предложений.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А - химическое сродство реакции; а - константа преобразования координат;

С - теплоемкость, для газовой фазы - теплоемкость при постоянном давлении; с - интерполяционные коэффициенты, константы регресии;

D - коэффициент диффузии;

Е - энергия активации; g — ускорение свободного падения;

J - обобщенный поток; к — предэкспоненциальный множитель;

L - размеры расчетной области;

Lq - начальная толщина слоя горючего материала;

Le - число Льюиса; mw — скорость превращения воды в пар;

N — количество контрольных объемов в расчетной области;

- функции формы;

Р - интегральное производство энтропии;

Рг — число Прандтля;

Р - давление;

Q - тепловой эффект реакции;

Я - тепловой поток;

R - удельная газовая постоянная;

Rq - универсальная газовая постоянная;

S - источниковый член уравнения; температура; время; составляющая скорости по координате х; скорость распространения пламени; объем; составляющая скорости по координате у; скорость выделения газообразных продуктов; скорость химической реакции; обобщенная термодинамическая сила; координата, параллельная поверхности горючего материала; координата точки выгорания горючего материала; концентрация; координата, нормальная к поверхности горючего материала. коэффициент релаксации; обобщенный коэффициент переноса; минимальная толщина горючего материала; переменная толщина слоя горючего материала; толщина пограничного слоя угол между координатой у и направлением действия подъемной силы; коэффициент теплопроводности; коэффициент динамической вязкости; стехиометрический коэффициент; координата реакции; коэффициент сгущения расчетной сетки шаг геометрической прогрессии для размеров контрольных объемов;

15 р - плотность; ф - обобщенная переменная.

Индексы а - окружающая среда;

F - горючее; f - пламя;

S - газовая фаза; п - нормаль к поверхности;

О - окислитель; s - твердое тело;

V - водяной пар;

W - химическая реакция;

W - капли воды;

X - теплопроводность по координате х ;

Y - теплопроводность по координате у.

16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследований, проведенных в настоящей работе, можно охарактеризовать следующими основными положениями и выводами.

Рассмотрены две различные формулировки задачи о распространении двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала - основанные, соответственно, на нестационарных и стационарных уравнениях сохранения.

На базе совместного применения метода контрольного объема и метода конечных элементов (для, соответственно, газовой и конденсированной фаз) разработана методика численного решения сопряженной задачи тепломассопереноса и химической кинетики в реагирующей гетерогенной системе "газ-твердое тело". Данный подход позволяет сочетать преимущества обеих методов, заключающиеся в эффективном алгоритме расчета поля течения в газовой фазе и высокую точность расчета интегральных характеристик в горючем материале.

На базе разработанной методики расчета разработан алгоритм определения стационарной скорости распространения пламени при решении задачи в нестационарной постановке.

Проведенный анализ известных математических моделей, описывающих процесс распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала, показал, что при формулировке задачи в стационарных уравнениях, записанных в системе координат, связанной с фронтом пламени, задача на собственные значения не имеет единственного решения относительно значения стационарной скорости распространения пламени. Показано, что большинство известных подходов к решению данной проблемы основаны на использовании априорных, переопределяющих сопряженную постановку, соотношений, не являющихся в полной мере корректными.

135

Рассмотрен подход к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении принципов термодинамики необратимых процессов, в соответствии с которым стационарное распространение пламени представляется как стационарное состояние неравновесной термодинамической системы, которое может характеризоваться минимальным производством энтропии. На базе данного подхода сформулирован алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени, заключающийся в определении среди всех возможных значений, удовлетворяющих уравнениям сохранения, искомого - соответствующего минимальному производству энтропии. Результаты расчетов показали определенное несоответствие решений, полученных с использованием данного подхода, с решениями задачи в нестационарной постановке.

В результате анализа параметров преобразования координат, применяемого при переходе к системе отсчета, связанной с фронтом пламени, предложен математически корректный способ замыкания задачи, основанный на фиксированном значении координаты точки выгорания. Проведенное прямое сравнение решений задачи, полученных на основе предложенного подхода, с решением задачи в нестационарной формулировке, показало хорошее соответствие как распределений основных характеристик, так и значений скорости распространения пламени.

Проведено сравнение результатов численных расчетов с известными экспериментальными данными, найдены значения эмпирических параметров, дающих хорошее согласование результатов. Полученные зависимости скорости распространения племени от исследованных параметров (толщины слоя материала, концентрации окислителя в окружающей среде) в целом соответствуют известным результатам экспериментов.

137

1. Williams F. A. The role of theory in combustion science 1.I Proceedings of 24th International Symposium on Combustion, 1992, pp.1-17.

2. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва М.: Наука, 1980, 478 с.

3. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике М.: Наука, 1967, 491 с.

4. Вильяме Ф.А. Теория горения М.: Наука, 1971, 616 с.

5. Асеева P.M., Заиков Г.Е. Горение полимерных материалов М.: Наука, 1981,280 с.

6. Булгаков В.К., Липанов A.M., Кодолов В.И. Моделирование горения полимерных материалов -М.: Химия, 1990, 240 с.

7. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости М.: Энергоатомиздат, 1984, 152 с.

8. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Физматгиз, 1963, 660 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987, 600 с.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1962, 640 с.

11. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985, 384 с.

12. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Уравнения в частных производных. — Мн.: Наука и техника, 1986, 311 с.

13. Самарский А.А. Введение в численные методы М.: Наука, 1987, 288 с.

14. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы М.: Мир, 1986, 448 с.138

15. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений -М.: Наука, 1978, 591 с.

16. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984,320 с.

17. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими переменными М.: Мир, 1975.

18. Безуглый В.Ю., Беляев Н.М. Численные методы теории конвективного тепломассообмена Киев-Донецк: Вища школа, 1984.

19. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация М.: Мир, 1986,318 с.

20. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов М.: Мир, 1979, 392 с.

21. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975, 541 с. ' •

22. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина М.: Мир, 1988,352 с.

23. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов М.: Мир, 1981,304 с.

24. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976, 464 с.

25. Ландау Л.Д.,, Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986, 736 с.

26. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973.

27. Frey А.Е., T'ien J.S. A theory of flame spread over a solid fuel including finite-rate chemical kinetics // Combustion and Flame, 1979, vol.36, pp.263-289.

28. Di Blasi C., Crescitelli S., Russo G. Near limit flame spread over solid fuels // 11th Conference of Italian Section of Combustion Institute, 1986, pp.3.7/1-3.7/3.

29. Di Blasi С., Crescitelli S., Russo G., Fernandez-Pello A.C. Model of the flow assisted spread of flames over a thin charring combustible // Proceedings of 22nd International Symposium on Combustion, 1988, pp.1205-1212.

30. Di Blasi C., Crescitelli S., Russo G. Near limit flame spread over thick fuels in a concurrent forced flow // Combustion and Flame, 1988, vol.72, pp.205-215.

31. Di Blasi C. Modeling and simulation of combustion processes of charring and non-charring solid fuels // Progress in Energy and Combustion Science, 1993, vol.19, pp.71-104.

32. Di Blasi C. Predictions of wind-opposed flame spread rates and energy feedback analysis for charring solids in a microgravity environment // Combustion and Flame, 1995, vol.100, pp.332-340.

33. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A., Srikantaiah N., Vedha-Nayagam M. A theoretical description of flame spreading over solid combustibles in a quiescent, environment at zero gravity // Combustion Science and Technology, 1990, vol.69, pp. 1-15.

34. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A. The effect of surface radiation on flame spread in a quiescent, microgravity environment // Combustion and Flame, 1991, vol.84, pp.160-169.

35. Bhattacharjee S., Bhaskaran K.K., Altenkifcch R.A. Effects of pyrolysis kinetics on opposed-flow flame spread 'modeling // Combustion Science and Technology, 1994, vol.100, pp. 163-182.

36. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A., Sacksteder K. The effects of ambient pressure on flame spread over thin cellulosic fuel in a quiescent, micro-gravity environment // Journal of Heat Transfer, 1996, vol.l 18, pp.181-190.

37. Karpov A.I., Bulgakov V. K. Prediction of the steady rate of flame spread over combustible materials // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa: IAFSS, 1994, pp.373-384.

38. Karpov A.I., Galat A.A., Bulgakov V.K. Prediction of the steady flame spread rate by the principle of minimal entropy production // Combustion Theory and Modelling, 1999, vol.3, pp.53 5-546.

39. Галат А.А. Применение принципа минимального производства энтропии к расчету стационарной скорости распространения пламени // Наука Хабаровскому краю: Материалы 2-го краевого конкурса молодых ученых и аспирантов края, Хабаровск, 2000, с.145-161.

40. Химия горения / под ред. Гардинера У., мл. М.: Мир, 1988, 464 с.

41. Ловачев Л.А., Каганова З.И. Расчет характеристик бромо-водородного пламени // Доклады АН СССР, 1969, т. 188, № 5, с.1087-1089.141

42. Мержанов А.Г., Дубовицкий Ф.И. К теории стационарного горения пороха// Доклады АН СССР, 1959, т. 129, № 1, с.153-158.4

43. Вилюнов В.Н. К математической теории стационарной скорости горения конденсированного вещества // Доклады АН .СССР, 1961, Т.136, № 1, с.136-139.

44. Wichman I.S. Theory of opposed-flow flame spread // Progress in Energy and Combustion Science, 1992, vol.18, pp.553-593.49. de Ris J.N. Spread of a laminar diffusion flame // Proceedings of 12th International Symposium on Combustion, 1969, pp.241-252.

45. Delichatsios M.A. Exact solution for the rate of creeping flame spread over thermally thin materials // Combustion Science and Technology, 1986, vol.44, pp.257-67.

46. Sirignano W.A. A critical discussion of 'theories of flame spread across solid and liquid fuels // Combustion Science and Technology, 1972, vol.6, pp.95-105.

47. Sirignano W.A. Theory of flame spread above solids // Acta Astronautica, 1974, vol.1, pp. 1285-1299.

48. Fernandez-Pello А.С., Hirano Т. Controlling mechanisms of flame spread // Combustion Science and Technology, 1983, vol.32, pp. 1-31.

49. Fernandez-Pello A.C. Flame spread modeling // Combustion Science and Technology, 1984, vol.39, pp. 119-134.

50. Karpov A.I., Bulgakov V.K., Galat A.A. Numerical modeling of the downward flame spread: the effect of opposed forced flow // Proceedings142of 4th Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Tokyo: Waseda University, 2000, pp.387-397.

51. Wichman I.S., Williams F.A. Comments on rates of creeping spread of flames over thermally thin fuels // Combustion Science and Technology, 1983, vol.33, pp.207-214. " •'

52. Karpov A.I., Bulgakov V.K. A theory of stea'dy flame spread: non-equilibrium thermodynamic approach // Soviet Union Japan Seminar on Combustion, Explosion and Fire Research, Khabarovsk State University of Technology, 1991, pp.92-99.

53. Карпов А.И. Задача на собственные значения в теории стационарного распространения пламени по поверхности горючего материала, Деп. ВИНИТИ, № 6737-В89, 1989, 14 с.

54. Orloff L., de Ris J., Markstein G.H. Upward turbulent fire spread and burning of fuel surface // Proceedings of 15th International Symposium on Combustion, 1975, pp. 183-192.

55. Hasemi Y. Thermal modeling of upward flame spread // Proceedings of 1st International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1985, pp. 87-96.

56. Delichatsios M.M., Delichatsios M.A. Effects of transient pyrolysis on wind-aided and upward flame spread // Combustion and Flame, 1992, vol.89, pp.5-16.

57. Шпихтинг Г. Теория пограничного слоя М.: Наука, 1969, 744 с.

58. Lengelle G. Thermal degradation kinetics and surface pyrolysis of vinyl polymers // AIAA Journal, 1970, vol.8, No.l 1, pp. 1989-1996.

59. Karpov A.I., Bulgakov Y.K. Calculation of convective heat transfer in the two-dimensional combustion chamber // Proceedings of 2nd Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, University of Tsukuba, 1990, vol.2, pp. 109-115.

60. Мадорский С. Термическое разложение органических полимеров -М.: Мир, 1967, 328 с.

61. Грасси Н. Химия процессов деструкции М.: ИЛ, 1959, 262 с.

62. Кодолов В.И. Горючесть и огнестойкость полимерных материалов — М.: Химия, 1976, 157 с.

63. Кодолов В.И. Замедлители горения. полимерных материалов М.: Химия, 1980, 269 с. '

64. Карпов А.И., Булгаков В.К. Об одном нетрадиционном алгоритме расчета скорости распространения пламени // Физика горения и взрыва, 1990, т.26, № 5, с.137-138.

65. Karpov A.I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1992, vol. 17, № 1, pp. 1 -9.

66. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Физматгиз, 1962, 368 с. •

67. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. М.: Финансы и статистика, 1983, 302 с.144

68. Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадратов. М.: Недра, 1968,я»440 с.

69. Coveney P.V. The second law of thermodynamics: entropy, irreversibility and dynamics //Nature, 1988, vol.333, pp.409-415.80. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика — М.: Мир, 1964, 456 с.

70. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации М.: Мир, 1973, 280 с.

71. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов -М.: ИЛ, 1960,314 с.

72. Шехтер Р.С. Вариационный метод в инженерных расчетах М.: Мир, 1971,291 с.

73. Карпов А.И., Галат А.А., Прокопенко А.И. Применение принципа минимального производства энтропии к решению задач теплопере-носа // Сб. научных трудов НИИ компьютерных технологий "Математическое моделирование", вып. 10, Хабаровск: ХГТУ, 2000, с.11-14.

74. Булатов Н.К., Лундин А.Б. Термодинамика • необратимых физико-химических процессов -М.: Химия, 1984, 336 с.

75. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982, 512 с.

76. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высш.школа, 1976, 416 с.

77. Fernandez-Pello А.С., Ray S.R., Glassman I. Flame spread in an opposed forced flow: the effect of ambient oxygen concentration // Proceedings of 18th International Symposium on Combustion, 1981, pp.579-589.

78. Magee R.S., McAlevy III R.F. The mechanism of flame spread // Journal of Fire and Flammability, 1971, vol.2, pp.271-297.

79. Lastrina F.A., Magee R.S., McAlevy III R.F. Flame spread over fuel beds: solid-phase energy considerations // Proceedings of 13th International Symposium on Combustion, 1971, pp.935-948.146

80. Hirano Т., Sato К., Tazawa К. Instability of downward flame spread over paper in an air stream // Combustion and Flame, 1976, vol.26, pp. 191-200.

81. Frey A.E., T'ien J.S., Near-limit flame spread over paper samples // Combustion and Flame, 1976, vol. 26, pp.257-267.

82. Altenkirch R.A., Eichhorn R., Shang P.C. Buoyancy effects on flames spreading down thermally thin fuels // Combustion and Flame, 1980, vol.37, pp.71-83.

83. Sato K., Suzuki K., Sakai Y., Sega S. Effects of flame retardant on behavior and temperature profiles of flame spreading over paper // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa: IAFSS, 1994, pp.503-514.

84. Suzuki M., Kushida H., Dobashi R., Hirano T. Effects of humidity and temperature on downward flame spread over filter paper // Proceedings of 6th International Symposium on Fire Safety Science, University of Poitiers, France: IAFSS, 1999, pp.661-669.

85. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей М.: Наука, 1972, 720 с.

86. Mawhinney J.R., Dlugogorski B.Z., Kim А.К. A closer look at the fire extinguishing properties of water mist // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa: IAFSS, 1994, pp.47-60.

87. Downie В., Polymeropoulos C., Gogos G. Interaction of a water mist with a buoyant methane diffusion flame // Fire Safety Journal, 1995, vol.24, pp.359-381.

88. Ndubizu C.C., Ananth R., Tatem P.A., Motevalli V. On water mist fire suppression mechanisms in a gaseous diffusion'flame II Fire Safety Journal, 1998, vol.31, pp.253-276.

89. Andersson P., Holmstedt G. Limitations of water mist as a total flooding agent//Journal of Fire Protection Engineering, 1999, vol.9, No.4, pp.31-50.