Описание движения фронта реакции и других гидродинамических разрывов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗАЙЦЕВ МАКСИМ ЛЕОНИДОВИЧ

ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ФРОНТА РЕАКЦИИ И ДРУГИХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РАЗРЫВОВ

01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 !'ЮН 2012

Москва - 2012 г.

005046037

Работа выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук (ИБРАЭ РАН)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Аккерман Вячеслав Борисович

Официальные оппоненты:

Семёнов Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, ИБРАЭ РАН, заведующий отделом

Пергамент Анна Халиловна, кандидат физико-математических наук, доцент, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, заведующая сектором

Ведущая организация: Объединенный институт высоких температур Российской академии наук (ОИВТ РАН}

Защита состоится 20 (2- г. в / / часов на заседании

диссертационного совета Д 002.024.03 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан ^М

» 20/¿т.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук Змитренко Николай Васильевич

/■■! ' /

'Т' С

Общая характеристика работы Актуальность темы Несмотря на бурное развитие вычислительной техники, во многих технических приложениях прямое численное моделирование (ПЧМ) общих гидродинамических уравнений и уравнений химической кинетики, описывающих, например, процессы горения в премиксированном (предварительно перемешанном) топливе, по ряду причин невозможно пли чрезвычайно затруднительно [1]. Во-первых, ПЧМ подразумевает рассмотрение детальной химической кинетики на каждом этапе реакции, что само по себе затруднительно. Во-вторых, анализ произвольной (обычно, достаточно сложной) геометрической конфигурации камеры сгорания также вызывает сложности. В-третьих, наиболее простые ламинарные пламена встречаются лишь в специальных лабораторных условиях, где турбулентность искусственным образом подавляется, в то время как в реальных промышленных объектах пламя сильно турбулентно. И, разумеется, описание этой, вообще говоря, произвольной турбулентности также нетривиально. Но допустим, что мы нашли способ описать турбулентность, рассматриваем простую, с геометрической точки зрения, камеру сгорания, а сложную систему химико-кинетических уравнений нам каким-то образом удалось упростить. Даже в этом случае прямое численное моделирование затруднительно из-за огромной разницы в масштабах, которые следует учитывать. Характерный пространственный масштаб гидродинамического потока, определяемый характерным размером камеры сгорания, лежит в интервале от нескольких сантиметров для двигателей автомашин до нескольких метров для паровых турбин. В то же время, типичная (диффузионная) ширина зоны горения (толщина пламени) Ьг =(10"* - Ю-3)см, а ширина зоны активной реакции ещб на порядок меньше [2-4]. На сегодняшний день численно разрешить все эти размеры способны только крупнейшие вычислительные комплексы.

Таким образом, моделирование реагирующих течений тесно связано с использованием целого ряда особенностей, начиная с упрошенных механизмов химических реакций и заканчивая внедрением турбулентных моделей. При этом возникают новые задачи и новые проблемы, для решения которых требуются другие приемы и идеи, одна из которых изложена ниже.

Большой интерес представляют различные способы сведения полной системы гидродинамических уравнений и химической кинетики по объему к системе уравнений на поверхности, приводящее к уменьшению вычислительных мощностей [5-9]. В теории горения, в частности, поставленную задачу можно было бы существенно упростить, если

бы удалось свести полную систему уравнений горения к единственному уравнению, описывающему положение фронта реакции. Основная идея такого упрощения состоит в следующем. Так как толщина пламени обычно чрезвычайно мала по сравнению с характерными гидродинамическими размерами задачи, то фронт пламени можно рассматривать в качестве геометрической поверхности разрыва пулевой толщины, отделяющей топливо от продуктов горения [1-4]. В таком случае решение системы уравнений горения можно разбить на три этапа:

1) На первом этапе мы должны решить уравнения гидродинамики в свежем веществе перед фронтом;

2) На втором этапе мы рассматриваем уравнения гидродинамики в сгоревшем газе за фронтом;

3) На третьем этапе нам нужно "сшить" полученные решения на фронте, используя законы сохранения.

Если мы успешно справимся с данной процедурой, то получим нелинейное уравнение (или систему нелинейных уравнений) для динамики фронта пламени, которое будет содержать только переменные и их производные непосредственно на фронте, а не во всём объёме газа.

Большой интерес представляет также подобная процедура для описания поверхностей других гидродинамических разрывов [10]. В частности, необходимо учитывать динамику тангенциального разрыва при описании гидродинамических неустойчивостей Релея-Тейлора, Дарье-Ландау, Мешкова-Рихтмайера, Кельвина-Гельмгольца, гравитационных волн и других явлений [10-12]. Следует отметить, что тангенциальный разрыв встречается в струях, следах от летящего тела или на поверхности воды в виде ветровых волн, а также является одним из препятствий, стоящих на пути осуществления управляемого инерциалыюго термоядерного синтеза [13-15].

Автор полагает, что результаты данной диссертации увеличивают наши познания в математической теории горения и смежных отраслях, что может расширить горизонты наших возможностей в различных сферах жизнедеятельности, включая энергетику, энергосбережение и пожарную безопасность. Работа была выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук (Москва, Россия), в тесном сотрудничестве с коллегами из университета г. Умео (Швеция) и Стенфордского и Принстонского университетов (США).

Личный вклад автора Результаты диссертационной работы получены автором лично или при его непосредственном участии. Все выкладки, изложенные в материале диссертации, и их интерпретащи осуществлялись лично автором.

Цели работы

1. Усовершенствовать существующие математические модели описания движения фронта реакции и других гидродинамических разрывов (тангенциального разрыва, свободной поверхности и др.) с целью существенно расширить область их применимости, а также предложить новые модели, основанные на более общих принципах.

2. Рассмотреть и изучить возможность общего снижения размерности в уравнениях гидродинамики, что позволяет, в частности, снизить размерность и в других задачах, например, задачах обтекания, а также в более общих предположениях относительно гидродинамических потоков.

3. Продемонстрировать эффективность метода упрощения общих уравнений горения и гидродинамики на примере исследования свойств пламен в режиме "Флеймлет" (Яатек^. В частности, воспроизвести численно динамику фронта реакции и влияния гидродинамической неустойчивости Дарье-Ландау (ДЛ-неустойчивости) и внешней турбулентности на характер движения фронта.

Научная новизна работы В рамках данной диссертации, в трехмерном (ЗП) потоке получены уравнения движения гидродинамических разрывов без ограничений, типичных для подобных теоретических исследований (слабую искривленность, малый коэффициент теплового расширения и т.д). В частности, полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции в трехмерном потоке сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений, с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. Показано, что завихренность играет принципиальную роль в характере движения гидродинамических разрывов, придавая уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропическом приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением колебания плотности жидкости, с учетом влияния звука на развитие (или затухание) ДЛ-неустойчивости. Полученная система уравнений согласуется с ранее известными аналитическими решениями, полученными в частных случаях. В двумерном (20) потоке

5

мы также вывели систему уравнений для описания ДЛ-неустойчивости, не связанную с предположениями об образующейся завихренности за фронтом, и нашли область ее применимости. В частных случаях показано, что она не противоречит выводам теории Дарье-Ландау [5]. Построена общая концепция этого метода, применимого для описания движения произвольной поверхности разрыва, как в двумерном, так и в трехмерном случае. Данный подход представляет собой альтернативу полному решению систем дифференциальных уравнений и согласования их решений на поверхности, что фактически применялось ранее для решения уравнений Эйлера. Предложенные приближенные методы описания движения любых разрывов имеют область применимости гораздо шире, чем это было ранее. В частности, в адиабатическом приближении в 2П случае получены уравнения фронта реакции также без ограничений, которые были до этого. Произведен расчет модельного уравнения фронта пламени и на его основе изучено влияние ДЛ-неустойчивости на скорость турбулентного горения. Полученный результат воспроизводит классические работы в данной области, полученные с помощью других численных и аналитических методов.

Кроме того, предложен способ снижения размерности в общих нестационарных уравнениях гидродинамики в ЗВ потоке, дающий, например, возможность подходить к описанию движения разрывов с самых общих позиций. Полученные автором результаты снимают ограничения, с учетом которых ранее были получены уравнения гидродинамических разрывов; а также ставят новые задачи в теории расчетов гидродинамических потоков. Кроме того, это позволит верифицировать полные прямые расчеты уравнений гидродинамики и химической кинетики, используя упрощенные расчеты на основе результатов, полученных автором, как тестовые.

Практическая ценность работы

1. Данное исследование необходимо для снижения вычислительных мощностей, затрачиваемых в настоящее время в задачах полного описания движения гидродинамических разрывов, например, распространения фронта реакции (пламени). Соответствующая компьютерная программа могла бы напрямую (пользуясь информацией только на поверхности) рассчитать гидродинамические разрывы с учетом вязкости, образования звука и других изменений плотности газов и жидкостей.

2. Выведенная в диссертации точная система уравнений для ламинарного и турбулентного фронта пламени с учетом влияния звуковых колебаний поможет продвинуться в решении общей проблемы неустойчивости горения, важной при

конструировании двигателей внутреннего сгорания, ракетных двигателей, газовых турбин и других устройств.

3. Предложенные общие математические методы описания разрывов могут быть использованы для широкого класса приложений, например, для расчета и проектирования нового теплотехнического оборудования, где используются гидродинамические подходы, поскольку данные методы достаточно обобщены и снижают размерность соответствующей задачи на единицу.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Вывод и нахождение области применимости приближенной системы уравнений для описания ДЛ-неустойчивости в двумерном (2Б) потоке. В отличие от предыдущих исследований, полученная система не ограничена предположением об образующейся завихренности за фронтом.

2. Вывод в адиабатическом приближении точной системы уравнений для ламинарного фронта пламени в двумерном потоке, с учетом влияния звуковых колебаний в обратном направлении по времени, и построение па ее основе численного метода для моделирования фронта вперед по времени.

3. Вывод в трехмерном (ЗБ) потоке уравнений движения гидродинамических разрывов без ограничений, типичных для подобных теоретических исследований (накладываемых на слабую искривленность, малый коэффициент теплового расширения и т.д.).

4. Построение метода переопределения полной системы уравнений гидродинамики, позволяющего выписать корректные замкнутые системы поверхностных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение гидродинамических разрывов в самом общем трехмерном случае.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. 52-ая научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, Россия, 27-30 ноября, 2009 г.

2. XI научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН), Москва, Россия, 22-23 апреля 2010 г.

3. XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, Россия, 12-15 апреля 2010 г.

4. 53-ая научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, Россия, 24-29 ноября, 2010 г.

5. XVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодьгх ученых "Ломоносов", Москва, Россия, 11-15 апреля 2011 г.

6. XII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН), Москва, Россия, 28-29 апреля 2011 г.

7. Семинар отдела № 11 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН "Вычислительные методы и математическое моделирование" под рук. член-корр. РАН Ю.П. Попова и проф. М.П. Галанина, сентябрь 2011.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из Введения, пяти Частей (каждая из которых содержит 2-6 Глав), Заключения, трех Приложений, способствующих более глубокому пониманию проделанной работы, и списка литературы из 63 наименований. Объем работы составляет 113 страниц стандартного машинописного текста. В тексте диссертации приведено 19 рисунков и около 400 уравнений.

Публикации

Основные научные результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 19 научных работах, среди которых 8 публикаций в рецензируемых журналах [А.1-А.8], одна монография [А.9], а также 10 докладов в сборниках материалов и тезисов научных конференций [А.10-А.19]. Один из докладов автора на одной из конференций был удостоен диплома за лучший доклад [А.14].

Краткий исторический обзор Начиная с пионерских работ Л.Д. Ландау, Я.Б. Зельдовича, Д.А. Франк-Каменецкого и др. [16-23] вопрос о сокращении размерности стал наиболее актуален в теории горения. Теорию дефлаграции (медленного горения) можно условно разделить на две части -физико-химическую (или тепловую) и гидродинамическую [1-4]. Целью физико-химической теории является изучение выделения, поглощения и переноса тепла и состава исходного/конечного вещества (т.е. процессов, определяющих внутреннюю структуру зоны горения). Исследование взаимодействия пламени с потоком является основной задачей гидродинамической теории горения. В гидродинамических задачах пламя обычно рассматривают как узкую поверхность разрыва, на которой плотность, температура и функции, описывающие состав газа, испытывают скачок [1,2,10]. При таком подходе

8

«нормальную» скорость движения малого участка поверхности разрыва С/, можно определить согласно физико-химической теории (или с помощью независимого эксперимента). При этом, решая физико-химическую задачу, можно пренебречь влиянием гидродинамического движения среды на внутреннюю структуру фронта, если градиент изменения скорости невелик.

Предполагается, что газообразное топливо быстро натекает и сгорает в тонком слое газа и потом превращается в сильно нагретые продукты горения. При этом плотность топлива существенно больше плотности продуктов горения. Поэтому газ расширяется, давит па топливо и, с учетом теплопроводности, заставляет пламя двигаться самым причудливым образом. Согласно линейной теории Дарье-Ландау, фронт пламени, который рассматривают в качестве бесконечно тонкой поверхности гидродинамического разрыва, абсолютно неустойчив по отношению к любым внешним возмущениям [10]. Этот результат прямо противоречит экспериментам и численным расчётам, демонстрирующим существование стационарно распространяющегося пламени. Позже было установлено, что процесс переноса тепла внутри искривленной зоны горения конечной толщины может стабилизировать или даже подавить гидродинамическую неустойчивость пламени [24,25].

На данный момент задача о динамике искривленного ламинарного пламени сводилась к единому уравнению, описывающему положение фронта пламени, лишь при наличии дополнительных упрощающих предположений. В частности, Сивашинский [7] вывел уравнение такого типа в пределе слабого теплового расширения 0 — 1« 1, предполагая при этом также слабую нелинейность фронта, то есть, что форма поверхности пламени не слишком отличается от идеально плоского или идеально сферического фронта. В случае произвольного коэффициента расширения, включая реальные значения в = 5-10, для подобного описания в приближении слабой нелинейности также было получено нелинейное стационарное уравнения для динамики фронта [26]. В последнее время появились работы, где ограничение на коэффициент расширения в некоторых случаях полностью снимается [27-29].

К сожалению, приближение слабой нелинейности сильно ограничивает число возможных приложений приведенных выше теорий. В частности, мы не можем применить их к нелинейным фрактальным племенам, ожидаемым на больших гидродинамических пространственных масштабах [30-32]. Дшшая диссертация снимает это ограничение у существующих математических теорий медленного горения.

Краткое содержание диссертации

В Введении обсуждается проблемы, которые стоят на пути построения точной математической теории распространения фронта реакции (пламени) и других разрывов; формулируются постановка задачи и методы ее решения. Также дан краткий исторический обзор научных результатов, послуживших стимулом к изложенным в диссертации исследованиям. Кроме того, во Введении показана актуальность проделанной автором работы, новизна и практическая значимость полученных результатов. Сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту.

В Части 1 настоящей диссертации рассмотрено распространение турбулентных пламен, подверженных неустойчивости Дарье-Ландау в двумерном случае с помощью нелинейного модельного уравнения. Демонстрируется решение этого уравнения, и на его основе воспроизведен известный результат: значительное влияние ДЛ-неустойчивости на скорость турбулентного горения [4]. Получена зависимость скорости пламени от интенсивности турбулентности и скачка плотности на фронте в случае слабой нелинейности и слабой внешней турбулентности. Показана эффективность метода упрощения общих уравнений горения, развиваемого далее в диссертации.

Часть 1 состоит из четырех Глав. В Главе 1.1. предлагается нелинейное модельное уравнение, которое описывает динамику фронта пламени z= F(x,t) в слабо турбулентном потоке u(x,i)

Уравнение (1) записано в системе отчета среднего положения статистически стационарного турбулентного фронта пламени, движущегося со средней скоростью У„. слабо отличающейся от скорости ламинарного пламени (7/. Главное преимущество уравнения (1) по сравнению с более ранними моделями турбуле1гшого пламени заключается в том, что оно включает в себя рассмотрение реально больших скачков плотности на фронте пламени, описываемых коэффициентом & = рг1рь, являющимся

отношением плотности горючего р, и сгоревшего вещества рь. Параметры Л_, С,, С2

(1)

определяются из внутренних термохимических свойств фронта пламени. Оператор Ф означает умножение на абсолютное значение волнового числа вдоль поверхности пламени в Фурье-пространстве, что в 2Б случае может быть представлено как

Подчеркнем, что это уравнение включает в себя одновременно внешнюю турбулентность и внутренние свойства фронта пламени, такие как конечную толщину пламени Ьг и реально большие скачки плотности через поверхность пламени. Его решение описывает качественное поведение фронта пламени в тонких трубках шириной на порядок больше толщины пламени.

В Главе 1.2 представлено решение уравнения (1) в частном случае отсутствия турбулентности, когда динамика фронта пламени определяется только ДД-неусгойчивостыю. Если ширина канала не слишком большая, то ДЛ-неустойчивость приводит к гладкой искривленной форме пламени распространяющейся со скоростью [33]

„ 28(0-1)- ^^ " ' 0+0+30 — 1 «V К)

(2)

где М = 1п1[2Д/йс +1/2] и Дс - критическая ширина трубки определяемой термохимическими параметрами пламени: например, Кс = Лс / 2 в случае 2В потока в канале с идеально гладкими и адиабатическими стенками.

Рис. 1. Относительное увеличение скорости искривленного стационарного пламени 1 в

зависимости от безразмерной ширины трубы Я / Лс для различных коэффициентов расширения Э = 5,7,9 согласно уравнению (2)

В Главе 1.3 исследуется частное решение уравнения (1), описывающее воздействие на фронт реакции внешнего турбулентного течения в отсутствии прямого влияния ДЛ-неустойчивости. Рассматриваются случаи одной и 150 турбулентных гармоник в

11

представлении внешней турбулентности. В случае единственной гармоники выражение для увеличения скорости турбулентного пламени имеет вид

^-1 = 0

Ur

1 + жС,—

2 1 R

20 R

и-т V)

(3)

где игт! - среднеквадратичная скорость внешнего турбулентного потока.

Зависимость турбуленой скорости пламени от ширины трубки отличается значительно от предыдущего случая пламени, подверженного влиянию только ДЛ-неустойчивости. Так, мы имеем гладкий резонанс при К = причем резонанс практически отсутствует для турбулентности, определяемой большим количеством гармоник, но другие тенденции скорости турбулентного пламени остаются качественно такими же как для мультимодовой турбулентности, так и для модели единственной турбулентной гармоники.

Г\

[ \

-1

Рис. 2. Обезразмеренная скорость турбулентного пламени UvIUf~ 1 против обезразмсренной ширины трубы R/Rc> определяемая решением уравнения (1), которое не включает ДЛ неустойчивость, но с одной турбулентной гармоникой в представлении: (а) для фиксированной интенсивности турбулентности örms / U^ = 0.5, но различных коэффициентов расширения © = 5,7,9; (Ь) для фиксированного

коэффициента расширения 0 = 7 и различных интенсивностей турбулентности Ur/lls / Uf : кривым А, В, С соответствуют значения IVj- =0.2,0.5,1 соответственно.

В Главе 1.4 рассматривается пламя под одновременным действием турбулентности и ДЛ-неустойчивости. Результаты численного решения представлены на рис. 3 для ЫТ =150 турбулентных гармоник. Как можно видеть, зависимость остается качественно такой же, как в случае отсутствия ДЛ-неустойчивости на рис. 2(Ь).

О 1 2 Э 4 5

М

Рис. 3. Обезразмерениая скорость турбулентного пламени 11„1иу -1 против обезразмеренной ширины трубы Л / Яс , определяемая решением уравнения (1), которое включает ДЛ неустойчивость, для различных коэффициентов расширения (е = 5,7,9 для рис. 2(а), 2(Ь), 2(с) соответственно) и различных интенсивностей турбулентности игт / и{: кривым А, В, С, О соответствуют значения IIгтШ[ = 0.2,0.5, 0.7,1 соответственно.

В Части 2 настоящей диссертации полная система гидродинамических уравнений во всём объеме газа (по обеим сторонам искривленного фронта пламени) сведена к системе уравнений непосредственно на поверхности пламени, не содержащей явной зависимости от пространственных координат. Получены системы поверхностных уравнений для описания неустойчивости Дарье-Ландау, как в предположении малой, но конечной завихренностью за фронтом, так и не связанные с предположениями об образующейся завихренности за фронггом. Найдены области их применимости.

В Главе 2.1. формулируется постановка задачи дня определения движения бесконечно тонкого фронта пламени в приближении Дарье-Ландау (см. рис.4).

У О

........С...

А

Рис. 4. Фронт реакции, распространяющийся в свободном пространстве.

Поверхность пламени описывается уравнением

^М = 0. (4)

При этом /г(г,/)<0 и /7(г,г)>0 впереди и сзади фронта соответственно. Таким образом, единичная нормаль п = У/г/|У/г| направлена в сторону продуктов горения (см. рис. 4). Геометрическая поверхность ^(г,г) = 0 распространяется перпендикулярно себе самой во внешнем направлении со скоростью —п У , где

К=М<%. (5)

В Главе 2.2 рассматриваются предположения, которые можно использовать для более простого описания дииамики искривленных пламён. Показано, что приближение малой завихренности в потоке сгоревшего газа за искривленным фронтом пламени хорошо обосновано и работает.

В Главе 2.3 выведена система уравнений, которая не содержит зависимость от координат и записана на бесконечно тонком фронте пламени, как на поверхности разыва. В частных случаях показывается, что эта система сводится к уравнениям Франкеля и Сивашинского [9].

В Главе 2.4 предлагается достаточно общий способ описания целого класса различных физических разрывов на примере ДЛ-неустойчивости в 20 потоке. При этом

ограничения в применении данного метода, вводимые в данной работе, касаются только процессов, происходящих вн5три фронта. В 20 потоке выводится замкнутая система уравнений для описания ДЛ-неустойчивости, не связанная с предположениями об образующейся завихренности за фронтом, и определяется область ее применения. В частных случаях показывается, что она не противоречит выводам теории Дарье-Ландау [10]. Это представляет собой альтернативу полному решению систем дифференциальных уравнений и согласования их решений на поверхности, что фактически было сделано с уравнениями в Главе 2.3.

Часть 3 настоящей диссертации состоит из двух Глав. В Главах 3.1 и 3.2 предлагается двумерная система уравнений фронта химической реакции, выведенная уже без всяких ограничений на образующуюся за фронтом завихренность, как это делалось ранее в Части 2. Смысл исследования состоит в следующем: если в некоторый момент времени известны распределения энтропии, плотности и завихренности в области за фронтом, то можно полностью проследить эволюцию этого фронта от момента зажигания до произвольного момента времени. Хотя это не означает, что мы определим законы образования этих величин в процессе эволюции, однако отсюда можно получить важную информацию, связанную с реальными процессами, происходящими внутри фронта реакции.

Показывается также, что полученную систему можно моделировать вперед по времени. При этом распределения энтропии, плотности и завихренности в области за фронтом задавать заранее не нужно.

В Части 4 с помощью специального преобразования переменных в ЗБ потоке полная система гидродинамических уравнений по объему сведена к системе уравнений на поверхности. Это показано на примерах свободной поверхности, тангенциального разрыва и фронта пламени при различных внешних условиях. Полученные уравнения показывают серьезное влияние ненулевой завихренности на движение гидродинамических разрывов, которая придает уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропическом приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением колебания плотности жидкости.

В Главе 4.1 рассматривается движение свободной поверхности невязкой и несжимаемой жидкости в общем ЗИ случае. С помощью новых интегралов в переменных Лаграгока система поверхностных уравнений замыкается и описывает движение свободной поверхности в терминах самой поверхности. Показывается, то) при нетривиальном распределении завихренности <и0„(г„) на свободной поверхности в начальный момент времени эта система уравнений становится локальной. В то же время,

эта система неявна, и помимо начальных условий необходимо также установить краевые условия, которые зависят от внешних условий.

В Главе 4.2 представлено аналогичное описание движения поверхности раздела двух несжимаемых жидкостей в 3D случае, скользящих одна по другой (тангенциальный разрыв). В предположении адиабатичности и при условии s = const, где s энтропия рассматриваемых соприкасающихся жидкостей или газов, показывается, что можно рассмотреть также две сжимаемые.

Главы 4.3-4.5 посвящены описанию движения фронта пламени. В Главе 4.3 исследуется распространение бесконечно тонкого фронга пламени в потенциальном внешнем течении. Смысл этой работы заключается в следующем. Пусть пламя распространяется из какой-то точки зажигания. В некоторый момент "фотографируется" распределение завихренности за фронтом. Тогда, с помощью полученной в этой главе системы уравнений, можно описать всю эволюцию пламени от момента зажигания до момента фотографирования.

В Главе 4.4 рассматривается фронт пламени малой, но конечной толщины. Происходящие внутри пламени процессы учитываются малыми поправками в граничные условия на поверхности фронта. С помощью специальных интегралов в псевдолагранжевых переменных система поверхностных уравнений замыкается и описывает движение поверхности пламени в терминах самой поверхности. Показывается, что можно учесть также малые звуковые колебания в реагирующих средах.

В Главе 4.5 дано аналогичное описание движения бесконечно тонкого фронта реакции уже во внешнем вихревом несжимаемом течении газа. Также с помощью специальных интегралов в псевдолагранжевых переменных полная система поверхностных гидродинамических уравнений замыкается и описывает движение поверхности пламени в терминах самой поверхности. Единственное требование, которое здесь возникает, это й>п * 0.

Наконец, в Части 5 развит метод сокращения размерности переопределенной системы дифференциальных уравнений. На примере нестационарных уравнений гидродинамики показывается, что теоретически они могут бьггь попижены в размерности. При моделировании уравнений гидродинамики по этому методу происходит строгое сокращение размерности задачи на единицу. Также, сделав описанную в этой работе соответствующую замену координат, можно описать произвольную движущейся поверхности, однако при этом также необходимо учитывать краевые условия. По-видимому, в том числе и через них, происходит поступление информации о внешнем потоке, несомненно, влияющей на эволюцию всего фронта. Единственное, что требуется

точно знать, это начальное распределение всех величин в пространстве. Причем это совсем не означает, что малая неточность в начальных данных отвергает возможность построить решение в любой наперед заданный момент времени.

В Главе 5.1 излагается основная идея предлагаемого метода. Его суть состоит в следующем. Рассмотрим в евклидовом пространстве поле физических величин

аДх,?), ¡ = 1,...р, описываемое системой из р уравнений в частных производных первого порядка

Кроме того, пусть величины а,(х,<), / = 1,...р связаны еще некоторым независимым дополнительным соотношением по объему:

9?™ можно получить замкнутую систему уравнений, описывающих эволюцию решений общей системы уравнений (6), (7) в терминах самой этой поверхности. Приводятся примеры и формулы для моделирования.

В Главах 5.2-5.5 переопределяются уравнения Эйлера, Навье-Стокса, а также полная система нестационарных уравнений гидродинамики в трехмерном случае с помощью специального преобразования переменных.

В Главе 5.6 уравнения Навье-Стокса двумерной несжимаемой жидкости переопределяются другим методом.

В Заключении подведены итоги настоящей диссертации, сформулированы выводы и возможные применения результатов работы.

В диссертацию также включены три Приложения, способствующие более глубокому пониманию излагаемого материала. В Приложении А изложен математический аппарат, позволяющий обобщить результаты диссертации на строго нелинейный случай. В Приложении В приведен вывод специальных интегралов движения, а также замена переменных, используемых при получении уравнений, описывающих гидродинамические разрывы в трехмерном случае. В Приложеиип С демонстрируется основная идея метода сокращения размерности в переопределенных системах дифференциальных уравнений на примере упрощения задачи вязкого обтекания в двумерном потоке.

(6)

(7)

Тогда можно показать, что на любой движущейся поверхности Г =

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренблатг, В.Б. Либрович, Г.М. Махвиладзе. Математическая теория горения и взрыва. -М.: Наука, 1980.- 478с.

2. F.A. Williams. Combustion Theory. Benjamin, CA, 1985. - 680P.

3. А.Г. Мержанов, Б.И. Хайкин. Теория волн горения в гомогенных средах. Черноголовка, Из-во ОИХФ РАН, 1992. - 162с.

4. С.К. Law. Combustion Physics, Cambridge University press, NY, 2006.

5. М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. К нелинейной теории движения поверхностей гидродинамических разрывов // ЖЭТФ. - 2009. - Т. 135, N° 4. - С. 800-819.

6. В.Б. Аккерман, В.В. Бычков. Пламя с реальным тепловым расширением в нестационарном турбулентном потоке // Физ. Гор. и Взр., т.41, вып.4, с.3-17 (2005); см. также перевод: Flames with realistic thermal expansion in a time-dependent turbulent flow // Combust. Expl. Shock Waves, V.41, No.4, P.363-374 (2005).

7. G.I. Sivashinsky. Nonlinear analysis of hydrodynamics instability in laminar flames. Derivation of basic equations // Acta Astronaut. - 1977. - V. 4. - P. 1177-1215.

8. M. Frankel. An equation of surface dynamics modeling flame fronts as density discontinuities in potential flows // Phys. Fluids A. - 1990. - V. 2. - P. 1879-1886.

9. V. Bychkov, M. Zaytsev and V. Akkerman. Coordinate-Free Description of Corrugated Flames with Realistic Gas Expansion // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 68. - P. 026312026324.

10. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика в 10 томах: т.6. Гидродинамика. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 736с.

11. Е . Ott. Nonlinear evolution of the Rayleigh-Taylor instability of thin layor // Phys. Rev. Lett. Vol. 29. p. 1429-1432 (1972).

12. D.L. Book, E. Ott, A.L. Sulton. Rayleigh-Taylor instability in the "shallow-water" approximation // Phys. Fluids. Vol.17. N4. p.676-678 (1974).

13. А.П. Напартович, A.H. Старостин. Химия плазмы.- M.: Атомиздат, Вып. 6, 1979.

14. А.В. Недоспасов, В.Д. Хаит. Колебания и неустойчивости низкотемпературной плазмы. - М.: Наука, 1979.

15. Е.П Велихов, А.С. Ковалев, А.Т. Рахимов. Физические явления в газоразрядной плазме,-М.: Наука, 1987.

16. P.J. Danielle. The theory of flame motion // Proc. R. Soc. Lond. A, V.126, No.802, P.393-405 (1930).

17. Я.Б. Зельдович. Теория горешш и детонации газов, -М; -Л.: Из-во АН СССР, 1944, -71с.

18. В. Lewis, G. Elbe. On the theory of flame propagation // J. Chem. Phys., V.2, N.8, P.537-546(1934).

19. Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий. Теория теплового распространения пламени //Ж. Физ. Хим., т. 12, вып.1, с.100-105 (1938).

20. Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий. К теории равномерного распространения пламени // Доклады АН СССР, т.19, с.693-695 (1938).

21. Л.Д. Ландау. К теории медленного горения // ЖЭТФ, т.14, вып.6, с.240-245 (1944).

22. A.R. Kerstein, W.T. Ashurst., F.A. Williams. Field equation for interface propagation in an unsteady homogeneous flow// Phys. Rev. A, V.37, No.7, P.2728-2731 (1988).

23. V. Yakhot. Propagation velocity of premixed turbulent flames // Combust. Sci. Technol., V.60,No.l, P. 191-214 (1988).

24. M. Matalon, B.J. Matkowsky. Flames in fluids: their interaction and stability // Combust. Sci. Technol., V.34, No.2, P.295-316 (1983).

25. M. Matalon, B.J. Matkowsky. Flames as gasdynamic discontinuities // J. Fluid Mech., V.124, part 2, P.239-259 (1982).

26. V. Bychkov. Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity // Phys. Fluids, V.10, No.8, P.2091-2098 (1998).

27. H. EL-Rabii, G. Joulin and K. Kazakov. Nonperturbative Approach to the Nonlinear Dynamics ofTwo-Dimensional Premixed Flames // Phys. Rev. Lett. 100, 174501 (2008)

28. G. Joulin, H. El-Rabii and K. Kazakov. On-shell description of unsteady flames // J. Fluid Mech, 608, 217 (2008)

29. K. A. Kazakov. Exact equation for curved stationary flames with arbitrary gas expansion // Phys. Rev. Lett. 94, 094501.( 2005)

30. Yu.A. Gostintsev, A.G. Istratov, Yu.V. Shulenin. Self-similar propagation of a free turbulent flame in mixed gas mixtures // Comb. Expl. Shock Waves, V.24, No.5, P.563-569 (1988); см.также: Физ. Гор. и Взр., т.24, вып.5, с.63-70 (1988).

31. V.V. Bychkov, М.А. Liberman. Dynamics and stability of premixed flames // Phys. Rep., V.325, No.4-5, P.115-237 (2000).

32. D. Bradley, T.M. Cresswell, J.S. Puttock. Flame acceleration due to flame-induced instabilities in large-scale explosions // Combust. Flame, V.124, Iss.4, P.551-559 (2001).

33. O.Yu. Travnikov, V.V. Bychkov, M.A. Liberman. Numerical studies of flames in wide tubes: Stability limits of curved stationary flames // Phys. Rev. E, V.61, No.l, 468-474 (2000).

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в рецензируемых журналах:

А.1 М. Zaytsev and V. Bychkov, Effect of the Darrieus-Landau Instability on Turbulent Flame Velocity, Phys. Rev. E 66, 026310 (2002)

A.2 V. Bychkov, M. Zaytsev and V. Akkerman, Coordinate-Free Description of Corrugated Flames with Realistic Gas Expansion, Phys. Rev. E 68, 026312 (2003)

A.3 Зайцев М.Л., Аккерман В.Б. К нелинейной теории движения поверхностей гидродинамических разрывов, ЖЭТФ. 135, Л» 4, С. 800-819 (2009)

Л.4 M.JI. Зайцев, В.Б. Аккерман. Нелинейное описание движения фронта реакции, Труды МФТИ, Том 2, № 2, С. 92-100 (2010)

А.5 М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. Ламинарное пламя и звуковые волны в двумерном потоке, ЖЭТФ, 139, № 3, С. 613-620 (2011)

А.6 М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. Метод описания стационарного фронта реакции в двухмерном потоке, Письма в ЖЭТФ, 92, № 11, С. 813-816 (2010)

А.7 В.Б. Аккерман, М.Л. Зайцев. Снижение размерности в уравнениях гидродинамики, Журнал вычислительной математики и математической физики, 51, № 8, С. 1518-1530(2011).

А.8 М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. Свободная поверхность и задача обтекания в вязкой жидкости, ЖЭТФ, 140, № 4, С. 814-819 (2011).

Монография:

А.9 Максим Зайцев, Гидродинамические разрывы и фронт горения. Метод упрощений, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 128 стр. ISBN: 978-3-8465-8382-1

Публикации по итогам научных конференций:

А. 10 М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. Метод снижения размерности в задачах аэрогидродинамики, Труды 52-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VI. Аэромеханика и летательная техника. -М.: МФТИ, 2009, С. 10-13.

А. 11 М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман. Нелинейное описание движения фронта горения, Труды 52-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VI. Аэромеханика и летательная техника. -М.: МФТИ, 2009, С. 120-123.

А.12 M.JI. Зайцев. Исследование влияния неустойчивости Дарье-Ландау на скорость фронта пламени с помощью модельного уравнения, Сборник трудов XI научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН - ( Препринт / Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, апрель 2010, № 1BRAE-2010-01). -М: ИБРЛЭ РАН, 2010, С. 66-69. А. 13 Зайцев M.J1. Снижение размерности в переопределенных системах дифференциальных уравнений на примере уравнений гидродинамики, Материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2010» , Москва, 12-15 апреля, 2010. [Электронный ресурс] — М: МАКС Пресс, 2010. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM) ISBN 97В-5-317-03197-8 А.14 M.JI. Зайцев, В.Б. Аккерман. Свободная поверхность и тангенциальный разрыв в несэ/симаемых средах, Труды 53-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VI. Аэромеханика и летательная техника -М: МФТИ, 2010, С. 12-13. А.15 MJI. Зайцев, В.Б. Аккерман. Исследование фронта пламени в тонких трубках. Труды 53-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук": Часть VI. Аэромеханика и летательная техника. - М.: МФТИ, 2010, С. 14-15. А. 16 МЛ. Зайцев, В.Б. Аккерман. Метод снижения размерности в переопределенных системах дифференциальных уравнений в частных производных, Труды 53-ой научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук": Часть VIL Управление и прикладная математика. Том.З. - М.: МФТИ, 2010, С. 41-42. А.17 Зайцев M.JI. Ламинарное пламя и звуковые волны в двумерном потоке, Материалы Международного молодежного научного форума «ДОМОНОСОВ-2011» , Москва, 11-15 апреля, 2011. [Электронный ресурс]—М.: МАКС Пресс, 2011. — 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM) ISBN 978-5-317-03634-8 А. 18 Зайцев M.JI. Свободная поверхность и задача обтекания в вязкой жидкости. Сборник трудов XII научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН - ( Препринт / Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, апрель 2011, № IBRAE-2011-03). - М: ИБРАЭ РАН, 2011, С. 69-72. А. 19 Зайцев М.Л. Описание движения фронта реакции и других гидродинамических разрывов. Семинар отдела № 11 ИПМ им. М.В.Келдыша РАН "Вычислительные методы и математическое моделирование" под рук. член-корр. РАН Ю.П. Попова и проф. М.П. Галанина, 12 сентября 2011 г.

Подписано в печать:

29.05.2012

Заказ № 7408 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru