Вычислительные методы физики высоких энергий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Часть 1 Дифференциально-алгебраические алгоритмы для многопетлевых вычислений.

1 Алгоритмы для интегралов, не имеющих безразмерных параметров.

2 Дифференциально-алгебраический алгоритм для произвольных петлевых интегралов.

Часть 2 Теория асимптотической операции.

3 Асимптотические разложения в феноменологических задачах физики частиц.

4 Задача об асимптотических разложениях в пертурбативной КТП.

5 Формальная постановка задачи об асимптотических разложениях пертурбативных интегралов.

6 Зачем разлагать произведения сингулярных функций в смысле о.ф.?.

7 Асимптотические разложения о.ф. Определения и общие результаты.

8 Пример: разложение скалярного пропагатора.

Будем говорить о физике высоких энергий — т.е. о тех разделах физики элементарных частиц, которые изучаются в экспериментах на ускорительных установках У-76 (Протвино), Tevatron (FNAL, США), LEP и LHC (CERN), DESY (Германия), КЕК (Япония) и т.п. Физика высоких энергий является зрелой наукой в том смысле, что, с одной стороны, экспериментальная техника позволяет проводить измерения высокой точности, а с другой стороны, имеется фундаментальный и хорошо развитый теоретический формализм — пертурба-тивная калибровочная теория квантовых полей (ПКТКП; см. [33]—[35]), — согласие которого с экспериментальными данными является уникальным для естественных наук (около 13 значащих цифр [46]). Даже когда речь идет о поиске новых частиц или «новой физики», соответствующие измерения требуют весьма серьезной расчетной поддержки, т.к. сигналы о новых процессах могут материализоваться только на фоне электро- и хромодинами-ческих процессов [47]. Даже калибровка пучков ускорителей не может обойтись без весьма серьезных квантово-полевых расчетов, как это было, например, в случае ускорителя LEP/CERN, где потребовались расчеты на двух-петлевом уровне с суммированием бесконечных серий вкладов мягких фотонов для полностью эксклюзивного процесса рассеяния электрон-позитронной пары (см. обзор [48]). Такие расчеты требуют" целой вычислительной индустрии, занимаются ими десятки теоретических групп, а их трудность не только количественная, но и качественная: широкий спектр необходимых математических и вычислительных методов, а также многоаспектность и «многоуровневость», зачастую затрудняющая даже просто точную постановку задач. При этом, как правило, конечные «ответы» нужны (для передачи экспериментаторам, занимающимся обработкой данных) не в виде числа или даже функции, реализованной как формула или подпрограмма, а в виде генератора событий, поддерживаемого целой программной библиотекой, позволяющей настраивать его на различные процессы из некоторого класса (ср. [49]).

Неудивительно, что состояние дел в физике высоких энергий характеризуется хроническим и нарастающим отставанием теоретических расчетов от экспериментальной деятельности [50]; экспериментаторы накапливают огромные объемы данных, извлечь из которых всю физическую информацию не удается из-за отсутствия соответствующих теоретических расчетов. Например, до настоящего времени отсутствуют полные теоретические расчеты на 1-петлевом уровне для закончившего свою работу ускорителя LEP2/CERN.

Вычислительные задачи в физике высоких энергий возникают как у теоретиков, так и у экспериментаторов (обработка данных). Сначала рассмотрим теоретические задачи.

В любом физико-теоретическом формализме есть два основных типа задач: А) конкретные вычисления;

Б) качественное исследование предсказаний теории.

В рамках ПКТКП физические процессы описываются бесконечными рядами (разложениями по константам связи); членами рядов являются объеюы, имеющие гибридную природу интегралов и обобщенных функций. Будем называть такие объекты пертурбативными интегралами. Их наивная интерпретация как обычных интегралов приводит к хорошо известным трудностям — т.наз. расходимостям (см. обсуждение этих вопросов в [20]). Сложность пертурба-тивных интегралов растет с ростом порядка теории возмущений, к которому они относятся, в частности с ростом числа импульсных интеграций, совпадающего с числом петель в соответствующей фейнмановской диаграмме; поэтому еще говорят о проблеме вычисления многопетлевых интегралов.

Что касается конкретных вычислений пертурбативных интегралов, то здесь имеются следующие особенности: Обобщенная природа, проявляющаяся в наличии разного рода сингулярно-стей и расходимостей, с которыми нужно корректно разобраться (обычно это делается вручную) посредством разного рода «вычитаний», прежде чем можно будет совать интеграл в компьютер для численного расчета. Например, Киношита говорит о том, что на это уходит львиная доля усилий вычислителя в численных расчетах для аномального магнитного момента лептонов (ср. [46] и ссылки там). Большое количество внешних параметров. Редукция их числа с помощью разложений по части из них во многих случаях является ключом к получению высококачественных теоретических предсказаний.

В плане качественного исследования пертурбативных интегралов центральная, главная и ключевая задача — получение асимптотических разложений в различных асимптотических режимах относительно внешних параметров. Известно, что асимптотические разложения, вообще говоря, допускают значительный произвол. Однако в нашем случае есть две особенности: о Пертурбативные интегралы являются членами ряда ПКТКП, притом бесконечного, и обычно (а для асимптотически свободных моделей практически всегда) необходимо какое-то суммирование подпоследовательностей ряда, о Пертурбативные интегралы между собой структурно коррелированы, что отражает структуру фундаментальных уравнений, из которых ряд и получается. Эта структурная коррелированность должна сохраняться и эксплуатироваться, например, чтобы выполнить упомянутые суммирования.

Эти особенности накладывают довольно жесткие ограничения на тип искомых разложений, о которых будет сказано в своем месте.'

1 Здесь заключен любопытный парадокс, который пропустить я никак не могу ввиду позднего часа и крайней своей утомленности сим тоскливым занятием. Парадокс в том, что, с одной стороны, жесткие требования вроде бы затрудняют решение задачи, а с другой (если эти требования проистекают из природы задачи, а не являются выдуманными) — в известном смысле помогают решению, отсекая бесперспективные направления поиска. Однако проследовать за внутренней логикой задачи, ведущей к решению, оказывается непросто в тех случаях, когда эта логика не вписывается в стандартные схемы из учебников: следуют обычно не за внутренней логикой задачи, а за заученными схемами.

Что касается экспериментальных расчетов, то речь здесь в общем плане идет, как и в других областях физики, о математико-статистическом оценивании параметров теоретических моделей по экспериментальным данным. Специфика физики высоких энергий в том, что рассматриваемые здесь случайные величины (события) суть точки в практически бесконечномерных пространствах (например, достаточно типичный детектор DO/Fermilab регистрирует 0(1000) сигналов в каждом событии [51], причем количество сигналов от события к событию флуктуирует). В результате теоретическое описание для соответсвующих плотностей вероятности обычно принимает вид не аналитической формулы, а генератора случайных событий, и непосредственное использование лучших статистических методов оценивания параметров (метод максимального правдоподобия) оказывается невозможным.

В настоящей работе суммируются исследования автора [1]-[32] вместе с примыкающими работами, выполненными с учениками и др. соавторами [54]-[57], [67], [94]—[109], [284]—[287], по всем трем из указанных общих классов вычислительных задач физики высоких энергий. В каждом из классов автору принадлежат как корректные постановки конкретных задач, так и ключевые результаты, развившиеся или развивающиеся в научные направления.1

Структура работы

Работа состоит из 24 глав, сгруппированных в три части (по числу основных вычислительных задач физики высоких энергий), заключения и списка литературы. Три части работы сильно не равны по объему, и отчасти так вышло само

1 Не утверждается, что решены все важные задачи даже из указанных классов. Например, не рассматривается весьма важная задача порождения хотя бы всех древесных членов ряда ПКТКП для процессов с большим количеством конечных частиц или задача построения генераторов событий в ситуациях, когда одновременно имеется сложное фазовое пространство и сингулярные виртуальные поправки, так что (среди прочих затруднений) плотность вероятности не оказывается положительно определенной. Сущность обеих этих задач существенно выходит за круг методов, применяемых в данной работе. по себе, а отчасти сделано намеренно: великая теория асимптотической операции заслуживает достойного обрамления из пусть не таких великих, но тоже отличных теорий.

В части 1 (главы 1-2) рассматривается задача вычисления пертурбативных интегралов. Описываются изобретенные автором дифференциально-алгебраические алгоритмы многопетлевых вычислений (известные еще как «алгоритмы интегрирования по частям»). Существует две основных типа таких алгоритмов:

1) Алгоритмы, основанные на дифференциально-алгебраических тождествах в импульсном представлении [1]. Такие алгоритмы применяются к интегралам, не имеющих безрамерных параметров и обычно возникающих после упрощения задачи другими методами (в основном с помощью формул, найденных в рамках теории асимптотической операции, которой посвящена часть 2 данной работы).

2) алгоритмы, использующие тождества в фейнмановской параметризации [3] и теоретически применимые практически к любым интегралам, описывающим виртуальные поправки.

Что касается алгоритмов первого типа, то им была посвящена кандидатская диссертация автора [53] и этот тип алгоритмов хорошо известен. Изобретение этих алгоритмов изменило представления о вычислимости пертурбативных интегралов [64]. Реализация этих алгоритмов в виде программ, осуществленная под руководством автора [54]—[57], свела вычисления, о возможности которых ранее и не помышляли, к кодировке и вводу соответствующих интегралов в компьютер. На этой почве расцвело несколько научных карьер и выросла целая международная вычислительная индустрия (группы в Дубне, Амстердаме, Карлсруэ, Билефельде, Болонье, Эдмонтоне), в рамках которой выполнено множество физических расчетов разного масштаба,' в том числе такие широко При числе цитирования свыше 400 получается оценка порядка 40 расчетов, если в среднем брать 10 публикаций на расчет. цитируемые и установившие пока не превзойденный уровень искусства в данной области, как [79]—[83]. По свидетельству независимых специалистов [63], алгоритмы этого типа стали самыми популярными для многопетлевых аналитических расчетов, причем область их применимости постоянно расширяется (см. ниже гл. 1 о применении к вычислению интегралов по фазовому пространству с реальными частицами). .

Изобретение алгоритмов второго типа — которым в данной работе уделяется основное внимание — обещает стать еще более революционным благодаря их применимости к интегралам с произвольными массами и внешними импульсами. Уже можно указать на итальянский проект с амбициозным названием Topside («Капитанский мостик») [52], в рамках которого уже только на основе простейшей формулы из [3] осуществлен как прорыв в автоматизации одно-петлевых вычислений, так и прорыв в направлении систематических вычислений на уровне двух петель в Стандартной Модели.

Центральная вторая часть работы (главы 3-21) посвящена проблеме асимптотических разложений пертурбативных интегралов по массам и внешним импульсам, являющейся одной из основных, главных и центральных в ПКТКП. За более чем 50 лет существования квантовой теории поля опубликовано необозримое число работ, так или иначе затрагивающих эту тему. Однако то, что сделано здесь автором в рамках созданной им и развитой им с учениками теории асимптотической операции, превзошло воображение всех, кто пробовал свои силы в этой теме: нет никаких свидетельств тому, что кому-либо когда-либо приходило в голову, что можно дать полный алгоритм выписывания асимптотического разложения для произвольного пертурбативного интеграла — причем пригодный как для виртуальных, так и для унитарных интегралов с реальными частицами в эксклюзивным фазовом пространстве — в произвольном асимптотическом режиме в пространстве Минковского, притом разложения, максимально удобного для вывода соответствующих «операторных разложений» или «теорем факторизации».1 Такой алгоритм и называется асимптотической операцией, а его нахождение [16] в результате 15-летнего усилия (начиная с [4]) является (особенно с учетом всех интриг, сопутствовавших развивавшейся теории) выдающейся заслугой автора.

Начинать следует с правильной постановки задачи, для чего нужно хорошенько ее рассмотреть в разных контекстах, что и делается в главах 3—4. Итог этим разысканиям подводится в гл. 5. Выделим требование «совершенной факторизации» 5.13, важность которого впервые была осознана нами [5], [6], и которое играет ключевую роль и в рекурсивном построении асимптотической операции. Это свойство сохраняется при алгебраических и тому подобных операциях, нетривиальным образом облегчая жизнь даже в таком, например, отношении, как вывод калибровочных свойств типа тождеств Ворда-Такахаши-Славнова-Тэйлора для разложенных пертурбативных интегралов.

В главе 6 обсуждается обобщенно-функциональная природа задачи, и в этом состоит, пожалуй, главное открытие автора, благодаря которому в конечном счете и удалось построить асимптотическую операцию. Вкратце открытие можно сформулировать так: чтобы разложить пертурбативные интегралы по внешним параметрам, нужно разлагать их подынтегральные выражения в смысле обобщенных функций, и тогда решение приобретает детерминированный характер, эффективно использующий рекурсивную структуру пертурбативных интегралов (имеется в виду рекурсия, выражаемая на графическом языке формулой граф <— подграфы, которая для подынтегральных выражений до интеграций эквивалентна тривиальному произведение <— подпроизведения — в отличие от интегралов, для которых эту рекурсию использовать совершенно невозможно). Детерминированный характер построения означает, что в отличие от методов теории БПХЦ, где требуется знание конечного ответа, чтобы

1 Наоборот, автору приходилось слышать ровно противоположные мнения после выпуска работы [7], где соотвтествующая постановка задачи неявно содержится уже в названии и явно — в тексте. и начать доказательства, в теории асимптотической операции доказательство фактически совпадает с выводом, причем вывод во всех случаях — для любых интегралов и асимптотических режимов — производится по одной и той же механической общей схеме, состоящей из итерации одного и того же ключевого шага (описываемого т. наз. принципом продолжения; см. ниже).

Главная трудность, которую пришлось преодолеть при построении теории, это отсутствие готовых математических методов для эффективной работы с многомерными сингулярными обобщенными функциями, особенно в контексте задачи об их асимптотическом разложении по параметрам. Поэтому пришлось обратиться к основам и взглянуть на проблему с общей точки зрения разложения по параметру линейных функционалов (гл. 7). Главный результат здесь принцип продолжения (разд. 7.26), следующий общей схеме классической теоремы Хана-Банаха о продолжении функционала с подпространства на пространство. Однако в нашем случае, в отличие от теоремы Хана-Банаха, речь идет о сохранении при продолжении не свойства быть ограниченным полунормой, а свойства аппроксимировать с заданной точностью исходный, разлагаемый по параметру функционал. Мне с самого начала было ясно, что как только задача сформулирована в терминах обобщенных функций, именно этот результат является ключом к построению любых разложений, так что теория первоначально возникла- не как «теория асимптотической операции», а как теория «принципа продолжения» [1]. Я был прав в том, что для получения полного решения задачи кроме принципа продолжения нужно, в сущности, лишь терпение (хотя и в большом количестве). Однако уровень абстракции принципа слишком удален от конечной цели — разложений пертурбативных интегралов. Поэтому в итоге естественной эволюции теории возник промежуточный уровень — уровень асимптотической операции для произведений сингулярных функций.

Есть еще асимптотическая операция для интегралов, получающаяся из асимптотической операции для произведений пропагаторов тем, что явно отынтегрированы все ^-функции; см. разделы 14.1 и 15.1. Но на этом уровне теряется связь с эвристиками, приведшими к ответу. Кстати говоря, именно на этом уровне оперирует теория БПХЦ, и именно поэтому ее методами ни разу не удалось получить ни одного существенного нового результата: она возникла как средство лишь формальной проверки результатов, открытых другими методами — /^-операция Боголюбова, операторное разложение, асимптотическая операция — и таковым останется, по-видимому, навсегда, потому что нерешенных задач, в которых метод БПХЦ как инструмент теоретического поиска мог бы с пользой применяться, после создания неевклидовой асимптотической операции, по-видимому, не осталось.)

Гибкость и мощь нового метода доказывается тем фактом, что разложения произведений пропагаторов в смысле обобщенных функций коммутируют с умножением на полиномы 10.91. Это позволяет буквально одним махом избавиться от усложнений, возникающих из-за нескалярных частиц и взаимодействий с производными и традиционно представлявших предмет отдельного исследования.

В целом, говоря об обобщенно-функциональной точке зрения на задачу, следует подчеркнуть, что здесь автором была открыта и развивается тема, составляющая новую прикладную главу в теории обобщенных функций.

Кстати говоря, открытие принципа продолжения весной 1981 г. было непосредственно мотивировано аналогией с работой Боголюбова 1952 г. [91], в которой была сформулирована обобщенно-функциональная точка зрения на проблему ультрафиолетовых расходимостей. Но эта тема не была развита ни самим Боголюбовым, ни его школой (см. об этом в [20]; заметим, что указанная работа Боголюбова даже цитируется неправильно — без связи с ультрафиолетовой проблемой — в основной книге [33]).'

1 Как свидетельство достаточно широко распространенного среди прикладников весьма поверхностного понимания сути и роли функционально-аналитических рассуждений вспомню, что во время моего второго доклада по этой теме в Отделе квантовой теории поля МИ АН им. Стеклова 26.10.1982 автор известной книги [165] энергично декларировал

Показ механизма принципа продолжения на простых примерах дается в главах 8 и 9. При этом попутно вводится еще одно новая, весьма важная в техническом плане идея (на самом деле это результат внимательного разглядывания структуры получающихся разложений) о том, что УФ перенормировку можно сформулировать как вычитание из подынтегрального выражения в импульсном представлении до проведения любых интеграций членов, отвечающих за «плохое» поведение, в асимптотическом разложении подынтегрального выражения при больших значениях радиальной компоненты совокупной переменной интегрирования, причем разложение следует (в соответствии с природой этой подзадачи) трактовать в смысле обобщенных функций вне начала координат (фактически по угловым переменным) [8]. Идея эта важна потому, что сводит проблему разложения УФ-перенормированных интегралов к проверке коммутативности разложений по параметрам разложения исходной задачи и по большим импульсам интегрирования, что, в свою очередь, рекурсивно сводится к тривиальной проверке коммутативности некоторых разложений пропагаторов (детали на эту тему можно найти в [107], [109]). Здесь уже видна полезность рекурсивного взгляда на задачу о разложении произведений сингулярных функций в смысле обобщенный функций: идет своеобразная «осцилляция» от задачи о разложении к задаче об УФ перенормировки для подграфов и обратно, причем на каждом шаге строго уменьшается размерность пространства интегрирования, на котором «живут» сингулярные функции, с которыми идет работа.

В более формально написанных главах 10-15 дается сжатый вывод асимптотической операции для произвольных евклидовых асимптотических режимов ([7]—[9], [95]—[100]): сначала в варианте для произведений сингулярных функций (при этом большая часть формализма не зависит от предположения евклинеуместность функционально-аналитических рассуждений. Впоследствии независимые специалисты охарактеризовали систематическое изложение этих рассуждений, данное в [101]-[109], как "fascinating reading" (захватывающее чтение) и "outstanding" (выдающееся) [93]. довости, чем мы в дальнейшем и воспользуемся), а затем и для интегралов. При этом детально рассматривается важный для вывода разного рода операторных разложений и теорем факторизации комбинаторный аспект задачи. При этом обосновываются найденные ранее [5], [94] в предположении существования таких разложений формулы для расчетов коэффициентных функций операторного разложения, а еще выводятся и новые формулы для разложений по большим массам (гл. 14). Формулы для операторных разложений широко испольуются для важнейших расчетов моментов структурных функций глубоко-неупругого рассеяния [119]—[123], позволивших выйти в этой физической задаче на уровень NNLO точности [124] (через посредство обращения мелли-новских моментов и получения соответствующих ядер уравнений эволюции ГЛАПД). Формулы для разложений по массам (в т.ч. в комбинации с операторными разложениями, 15.26) тоже достаточно широко используются [125]—[131 ].

Непосредственно важные для физических приложений интегральные формулы евклидовой асимптотической операции, впервые полученные в работах [95] -[96], были верифицированы независимыми методами в работах [110]—[112]1.

Перечислять все работы, где используются формулы евклидовой асимптотической операции, здесь нет возможности, однако следует заметить, что далеко не во всех этих работах (особенно это касается работ, выполняемых при участии наших бывших коллег в Амстердаме, Карлсруэ и Билефельде) присутствуют корректные ссылки на наши и Г.Б.Пивоварова оригинальные публикации, хотя работы 1984-1986 гг. легко доступны в Сети (хотя бы через электронную библиотеку КЕК) — и уж тем более были доступны нашим упомянутым бывшим коллегам в 80-х гг., являясь неопровержимым доказательством как нашего научного приоритета в этих вопросах, так и научной недобросовестности упомянутых наших бывших коллег.

1 Упомянутая работа Ллевеллина-Смита — его последняя научная работа перед погружением в европейскую научную политику, в т.ч. в роли генерального директора лаборатории ЦЕРН.

Разнообразные рассуждения по вопросам, в той или иной степени родственным теории евклидовой асимптотической операции, занимали видное (обычно главное) место в теоретической части ряда диссертаций: кандидатских С.Г.Горишнего, С.А.Ларина и Г.Б.Пивоварова и докторских С.АЛарина, К.Г.Четыркина и В.А.Смирнова. В плане развития теории асимптотических разложений пертурбативных интегралов присутствовала в диссертациях Горишнего [94], [110] и Г.Б. Пивоварова [95]—[97], [114], [99].

Распространению метода асимптотической операции на физически гораздо более интересный класс неевклидовых режимов (включая унитарные пертурба-тивные интегралы с реальным эксклюзивным фазовым пространством) посвящены гл. 16-19. В главах 16-18 (основанных на [15]) трактуются известные уравнения Ландау [237] для классификации сингулярностей в пространстве Минковского на пинчевые и непинчевые. В рамках нашей обобщенно-функциональной теории необходимо избавиться от всякого рода деформаций контуров в комплексную плоскость при интерпретации уравнений. Предмет сей не является необходимым для собственно неевклидова обобщения асимптотической операции, но весьма полезен для физических интерпретаций получающихся теорем факторизации: например, тот факт, что интеграции по функциям распределений партонов в пертурбативной КХД идет по интервалу от 0 до 1 вместо всей вещественной оси, имеет место именно благодаря обнулению контрчленов для непинчевых сингулярностей за пределами интервала.

Наконец, в главе 19, основанной на работе [16], дан финальный рецепт построения контрчленов асимптотической операции в произвольных неевклидовых режимах. Краткость собственно рецепта выглядит разочаровывающе после всех усилий, приложенный к его получению. Суть дела в следующем. Новым элементом рецепта по сравнению с евклидовым вариантом является необходимость выполнять вторичное разложение в контрчленах, т.наз. гомогенизацию. Необходимость вторичного разложения (диктуемая природой метода), общий характер которого диктуется методом, была мне ясна уже в 1992 г. (см. упоминание в [11]). Однако тогда же объявить о решении неевклидовой задачи помешало то, что при разном выборе скейлинга при гомогенизации формулы вроде бы получаются разные, хотя рассуждения, приводящие ко вторичному разложению, абсолютно никак не должны были бы зависеть от конкретного выбора скейлинга. Это был единственный раз, когда я не последовал до конца за логикой своего метода и отложил задачу (столь силен был гипноз всеобщего предрассудка о чрезвычайной сложности общей неевклидовой задачи). Однако доведя до конца вычисления в нетривиальном двухпет-левом примере, было обнаружено, что поскольку вторичные разложения должны — как и упоминавшиеся выше вспомогательные разложения, приводившие к УФ переномировке — выполняться в смысле обобщеных функций, нужно добавлять нетривиальные контрчлены, причем эти контрчлены (и даже само их наличие или отсутствие) — как и формальная часть разложения — зависят от выбора скейлинга. Эта двойная зависимость от выбора скейлинга (в формальной части разложения и в контрчленах) полностью самоликвидируется в ответе (поскольку контрчлены всегда содержат интеграции, «перемешивающие» соответствующие формальные разложения и вторичные контрчлены), как и должно быть при аккуратных вычислениях, с необходимостью, поскольку общая логика рассуждений проста и прозрачна настолько, что ошибкам там прятаться негде. Поэтому окончательный результат состоит в том, что проблемы выбора скейлинга для вторичного разложения в рамках метода асимптотической операции (если применять метод с надлежащей неуклонностью) просто нет. Таким образом, задержка с объявлением решения на 5 лет произошла из-за несуществующей проблемы. (Впрочем, именно благодаря этому обстоятельству получила шанс возникнуть теория наблюдаемых для изучения адронных струй, изложенная в части 3 данной работы.)

В главах 20 и 21 с помощью неевклидовой асимптотической операции рассматриваются две задачи, выбранные автором для первоочередного исследования из множества неевклидовых задач по двум причинам. Во-первых, обе эти задачи имеют весьма фундаментальных характер. Во-вторых, в них принципиально фигурирует реальное фазовое пространство, и от обобщенных функций в окончательных ответах — в отличие от евклидовых задач — невозможно избавиться.'

В главе 20, основанной на [17], строится систематическая калибровочно-инвариантная теория возмущений для моделей с нестабильными фундаментальными полями. Последний раз существенный прогресс здесь произошел в 1963 г. [265], а по мере роста интереса к изучению Z и W-бозонов в рамках Стандартной Модели выявились недоработки в методе Вельтмана, которые и решает строимая нами теория возмущений. Изюминка здесь в том, что разложение по константе связи строится сразу для вероятностей, минуя амплитуды, и что конечный шаг разложения подобен разложениям по малым массам, хотя и с неевклидовыми усложнениями. Результат состоит в том, что в окончательном ответе формальные расходимости из-за нестабильных частиц следует компенсировать с помощью некоторых контрчленов, но в отличие от более привычной ситуации с УФ расходимостями и /^-операции Боголюбова, конечные части контрчленов здесь однозначно фиксированы предписаниями асимптотической операции. Калибровочная инвариантность здесь гарантируется автоматически, а максимальная алгоритмическая простота заложена в ответы, что называется, изначально (это подтверждается легкостью вычислений нетривиальных контрчленов на 2-петлевом уровне [18]). Применению новой теории возмущений к физическим задачам посвящена серия работ [277], в которых численными расчетами подтверждено, что использование новой теории дает определенные (иногда значительные) преимущества в плане точности получающихся теоретических предсказаний по сравнению с более традиционными подходами.

В главе 21, основанной на работе [19], метод неевклидовой асимптотической операции применяется к анализу задач пертурбативной КХД. Воспроизводятся

1 Это делает результаты более трудными для разграбления подобного тому, которое случилось с результатами евклидовой теории. Во всяком случае, для разграбления нужно придумать новые способы. Впрочем, именно для решения подобных задач (в отличие от собственно научных) прежде всего был приспособлен природой мозг приматов. стандартные теоремы факторизации (процессы Бьеркена и Дрелла-Яна), обнаруживается существование явных вычислительных формул для ядер уравений эволюции ГЛАПД (в виде абсолютно сходящихся интегралов по компактным областям). Наконец, те же методы применяются к задаче о поведении полных сечений при больших s, и результат для этого режима является естественной модификацией хорошо известных результатов для процессов- Бьеркена и Дрелла-Яна. При этом обнаруживается, что программа факторизации не может быть выполнена до конца, т.к. вычитания т.наз. мягких сингулярностей требуют гипотез о поведении партонных распределений при малых х. Существенно то, что наш метод учитывает не только ведущие, но и вообще все логарифмические поправки, тогда как известная и весьма популярная теория КЛФБ (которую на самом деле следует считать сложной гипотезой) [281 ], [282] опирается на анализ исключительно ведущих логарифмов. Получаемая нами картина фактически опровергает картину КЛФБ. Однако для окончательных выводов в наших результатах нужно явно выделить часть, соответствующую уравнению КЛФБ, и конкретно указать, в чем именно состоят упущения теории КЛФВ. Это возможно, и я надеюсь этим заняться более плотно в обозримом будущем после того, как спихну сию обузу. А вообще уже только пертурбативная КХД предлагает много интересных задач, связанных с применением асимптотической операции, которыми можно было бы загрузить серьезную группу людей.

В качестве финального аллегретто для достойного обрамления многострадальной теории асимптотической операции, в части 3 (главы 22-24) несколько бегло описывается построенная автором в промежутках между размышлениями о неевклидовых асимптотических разложениях систематическая теория [21]-[32], позволившая решить проблему нахождения «идеального» определения адронных струй. Связь с прочими разысканиями автора состоит здесь в том, что первоначальной мотивацией было распространить вычислительные методы типа описанных в в гл. 1, оказавшиеся столь успешными для вычисления полных сечений, на случай процессов со струями, т.к. понятие сечения для процесса с фиксированным числом струй в конечном состоянии представляет собой в некотором смысле естественное обобщение понятия полного сечения. Кроме того, к задаче систематического изучения степенных поправок к таким величинам (являющейся по сути упражнением на применение неевклидовой асимптотической операции по схеме, описанной в [5]) можно обратиться только после корректного с точки зрения квантовой теории поля определения струйных наблюдаемых.

Как и в случае других задач, решения которых описываются в настоящей работе, решение данной потребовало научно-критического пересмотра самой постановки задачи: у нас задача рассматривается с неприменявшихся ранее «кинематических» позиций (анализ структуры ошибок измерения в калориметрических детекторах и т.п.). Теория не содержит произвольных предположений и полностью основана на первых принципах физических измерений, математической статистики и ПКТКП. Полученное «оптимальное» определение струй [27] допускает эффективную алгоритмическую реализацию, выполненную под руководством и при основополагающем вкладе автора [285]—[287] (автору принадлежит разработка первоначального алгоритма — см. комментарии в публично доступном программном коде, — а также окончательная верификация программы [28]).

Теория содержит ряд важных новых возможностей для повышения качества обработки экспериментальных" данных в случаях прецизионных измерений или низкого отношения сигнал/шум [27], [32]. Эти возможности основаны на двух обстоятельствах.

Во-первых, это понятие оптимальной наблюдаемой, проливающее новый свет на фундаментальную теорему математической статистики (неравенство Фишера-Фреше-Рао-Крамера [307], [308]). Уточнение состоит в том, что мы нашли интерпретацию неравенства в терминах метода обобщенных моментов в задаче оценивания параметров (оптимальная наблюдаемая как раз и является оптимальным обобщенным моментом). Метод моментов обладает значительной алгоритмической гибкостью (в частности, он пригоден в ситуациях, когда вся информация о теоретической плотности вероятностей заключена в генераторе случайных событий при отсутствии явной аналитической формулы), однако до сих пор он считался второстепенным (например, упоминание о нем исключено из изданий влиятельного справочника Particles Data Group по крайней мере с 1998 г.). Наш результат позволяет эффективно задействовать алгоритмическую гибкость метода обобщенных моментов для повышения качества прецизионных измерений в физике высоких энергий. Построение соответствующих алгоритмов уже ведется; см. первый пример в [286]. Можно еще указать на способ сравнения различных алгоритмов определения адронных струй, примененный в [286] и основывающийся на численном построении соответствующих оптимальных наблюдаемых и вычислении информации Фишера. Это первый (и, видимо, единственный) научный способ сравнения алгоритмов определения струй. До сих пор такие сравнения выполнялись с помощью критериев, выбранных более или менее наугад [297].

Во-вторых, это конструкции т.наз. С-алгебры калориметрических наблюдаемых [21], предназначенные для построения наблюдаемых, оптимально нечувствительных к ошибкам измерения и не использующих алгоритмов определения струй, но позволяющих описать свойства событий, обычно изучаемые в физике струй. «Апробацией» С-алгебры стал основанный на численных экспериментах проект группы североамериканских теоретиков и экспериментаторов Jet Energy Flow [312], ставящий своей целью детальное исследование наблюдаемых и конструкций С-алгебры как средства достижения 1 % уровня точности в физике адронных струй.

Еще ранее идеи С-алгебры (в частности, наблюдаемые, интерпретируемые как нецелое число струй) сыграли ключевую роль для измерения сигнала топ-кварка в чисто адронном канале (наиболее трудном для измерений из-за большого хромодинамического фона) в эксперименте D0/FNAL [305].

Как показывают тесты [286], выполненные в соответствии с вышеупомянутым критерием, основанным на вычислении информации Фишера, найденное нами оптимальное определение адронных струй, не уступая по качеству приобретшему в последние годы наибольшую популярность &т-определению

Ю.Докшитцера и др. [300], демонстрирует существенно лучшие скоростные характеристики при высоких множественностях событий (что особенно важно для будущих экспериментов на LHC) и, таким образом, приобретает статус кандидата на роль стандартного определения адронных струй.

Добавим, что в непосредственно примыкающей к нашей теории работе [284] существенно уточнено обоснование фундаментальной гипотезы [291], лежащей в основании физики струй. Гипотеза утверждает, что сравнение экспериментальных измерений, выполненных на уровне наблюдаемых адронов, с теоретическими расчетами, выполненными методами ПКТКП на уровне ненаблюдаемых кварков и глюонов, имеет смысл, если в обоих случаях используется одна и та же наблюдаемая (в смысле Дирака), обладающая свойством инвариантности относительно коллинеарной фрагментации частиц в конечном состоянии, поскольку это свойство обеспечивает сокращение коллинеарных расходимос-тей в соответствующих теоретических вероятностях (свойство известно как «инфракрасная безопасность»). Во-первых, найдено [22], что пертурбативное требование ИК безопасности следует усилить до т.наз. С-непрерывности. Во-вторых, в работе [284] доказана теорема, выражающая значения С-непре-рывных наблюдаемых через среднее значение по состояниям плотности оператора энергии-импульса, определенного пространственно-временными сим-метриями теории независимо от конкретного полевого представления. Поэтому фактически обсуждаемая гипотеза сводится к требованию существования в рамках КХД плотности оператора энергии-импульса как интегрируемой величины (т.е. в обобщенно-функциональном смысле).

В Заключении содержится список новых результатов, полученных автором и суммированных в данной работе, а также список благодарностей.

Работа заканчивается списком литературы, организованным в соответствии с трехмастной структурой данной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[32].

Автор выражает благодарность своим соавторам Д.Ю.Григорьеву, А.Н.Кузнецову и Г.Б.Пивоварову, а также безвременно ушедшим С.Г.Горишнему и Н.А.Свешникову, сотрудничество с которыми имело значение для развития изложеных в работе теорий; Э.Э.Боосу, А.П.Исаеву, В.А.Петрову и А.А.Славнову за взятый ими на себя труд по рецензированию работы; своим друзьям и/или коллегам В.И.Бородулину, А.И.Буткевичу, А.А.Владимирову, И.Ф.Гинзбургу, Г.Джикия, Б.Б.Левченко, В.М.Лобашеву, Ю.Ф.Пирогову, И.К.Соболеву, Л.Д.Соловьеву, Н.И.Усюкиной. Особую благодарность за поддержку в критические моменты автор выражает (в хронологическом порядке):

А.А.Славнову, А.Контогурису (A.Contogouris), теоротделу Фермилаба, У.Бардину (W.Bardeen), П.С.Исаеву, З.Кунсту (Z.Kunszt), Б.Л.Иоффе, Дж.Соросу (G.Soros), К.Эллису (R.K.Ellis), теоротделу ЦЕРНа, Д.Ю.Бардину, Я.И.Азимову, Л.НЛипатову, Дж.Пассарино (G.Passarino).

Автор также благодарит В.А.Кузьмина, стимулировавшему завершение данной работы, а также А.Чарнецкого (A.Czarnecki), обеспечившего для этого необходимые условия и материальную поддержку.

Заключение

В диссертации, состоящей из трех частей, объединяющих 24 главы, во-первых, предложен новый класс алгоритмов вычисления пертурбативных интегралов; во-вторых, исследована и решена задача асимптотических разложений произвольных пертурбативных интегралов по размерным параметрам (массам и внешним импульсам) в произвольных асимптотических режимах; в-третьих, изучена и решена проблема нахождения оптимальных наблюдаемых для прецизионных измерений, связанных со струйной структурой много-адронных состояний.

В первой части диссертации обсуждаются дифференциально-алгебраические алгоритмы (т.наз. «алгоритмы интегрирования по частям») для вычисления пертурбативных интегралов. Этот впервые найденный автором работы класс алгоритмов является в настоящее время самым мощным и популярным для данного класса задач. С его помощью различными группами в России и за рубежом выполнены десятки физически интересных расчетов. Новый вариант алгоритма, основанный на теореме Бернпггейна-Ткачева, вызывает активный интерес (ср. проект с многозначительным названием Topside [Капитанский мостик], Дж.Пассарино и др. [52]).

Во второй части диссертации анализируется и решается фундаментальная задача построения асимптотических разложений пертурбативных интегралов в произвольных режимах; строится т.наз. асимптотическая операция, дающая полное конструктивное решение задачи как для евклидовых, так и для неевклидовых режимов. Решение применяется к получению операторного разложения и произвольных разложений по массам в евклидовых режимах, а также к двум фундаментальным чисто неевклидовым задачам: построению систематической калибровочно-инвариантной теории возмущений для моделей с нестабильными фундаментальным полями и для исследования поведения полных сечений адронов при высоких энергиях.

В третьей части диссертации анализируется проблема оптимального определения адронных струй в обработке данных экспериментов при высоких энергиях. На основе первых принципов физических измерений и квантовой теории поля строится теория оптимальных наблюдаемых, чувствительных к струйной структуре состояний — т.наз С-алгебра. Идеи С-алгебры сыграли ключевую роль для наблюдения сигнала топ-кварка в чисто адронном канале в коллаборации D0/FNAL (1997), и теория была взята в качестве основы экспериментально-теоретического проекта Jet Energy Flow (США, 2001), имеющего целью разработку вычислительных и измерительных методов, необходимых для достижения 1%-точности в экспериментах с многоадронными конечными состояниями при высоких энергиях. Далее из теории С-алгебры выводится оптимальное определение адронных струй, претендующее в данный момент на роль стандартного [286] (на 2003-08-21 коллаборация ATLAS/CERN вводит алгоритм в число стандартных для анализа экспериментальных данных наряду с KTCLUS и вариантом конусного алгоритма). В качестве побочного результата решается математико-статистическая задача нахождения оптимальных обобщенных моментов в классической (1896 г.) задаче об оценивании параметров методом моментов; решение открывает путь к разработке нового класса алгоритмов обработки экспериментальных данных для прецизионных измерений.

Диссертация посвящена весьма актуальным вопросам физики высоких энергий и содержит решения ряда задач, остававшихся нерешенными долгое время. Автору принадлежат все ключевые идеи и результаты построенных им теорий. Результаты, полученные в диссертации, находят широкое применение.

Сформулируем основные результаты, полученные в работе:

Найден новый класс алгоритмов для вычисления многопетлевых интегралов — дифференциально-алгебраические алгоритмы (т.наз. «алгоритмы интегрирования по частям»).

Установлена теорема о сводимости за конечное число алгебраических шагов произвольного многопетлевого интеграла к виду с подынтегральными выражениями, обладающими произвольной заданной гладкостью например, абсолютной интегрируемостью) с помощью обобщенного интегрирования по частям. В явном виде построен дифференциальный оператор, решающий задачу для однопетлевого случая.

Предложен новый подход к проблеме асимптотических разложений пертурбативных интегралов на основе методов теории обобщенных функций — теория асимптотической операции. Установлен фундаментальный «принцип продолжения» о существовании продолжения аппроксимирующего функционала с подпространства на все пространство с сохранением свойства аппроксимации. Сформулировано принципиально важное требование совершенной факторизации для разложений в пертурбативной квантовой теории поля. Дана общая рекурсивная схема построения асимптотической операции по гладким компонентам возрастающей коразмерности многообразий, на которых локализованы сингулярности подынтегральных выражений.

Даны явные формулы асимптотической операции для подынтегральных выражений для случая евклидовых пертурбативных интегралов. Формулы подобны формулам R-операции Боголюбова, но в отличие от последней, конечные части контрчленов здесь однозначно фиксированы принципом продолжения и требованием совершенной факторизации.

1. Работы, в которых опубликованы основные результаты, вошедшие в диссертацию

2. F.V. Tkachov A theorem on analytical calculability of four loop renormaliza-tion group functions. Phys.Lett.B 100:65-68,1981

3. F.V. Tkachov An algorithm for calculating multiloop integrals. Theor.Math.Phys.56:866-870,1983, Teor.Mat.Fiz.56:350-356,1983

4. F.V. Tkachov Algebraic algorithms for multiloop calculations, the first 15 years. What's next? Nucl.Instrum.Meth.A389:309-313,1997. e-Print Archive: hep-ph/9609429

5. F.V. Tkachov Factorization via r operation: the extension principle. In * Sukhumi 1982, Proceedings, Quarks-82*, pp.196-201.

6. F.V. Tkachov On the operator product expansion in the MS scheme. Phys.Lett.B 124:212-216,1983

7. F.V. Tkachov The limit mq->0 of perturbative QCD. Phys.Lett.B125:85-87,1983 e-Print Archive: hep-ph/9901214

8. F.V. Tkachov Euclidean Asymptotics Of Feynman Integrals: Basic Notions. Preprint IYaI-P-0332, Dec 1983. 15pp. KEK no. 8406265].

9. F.V. Tkachov Asymptotics of euclidean Feynman integrals. 2. One loop case. Preprint IYaI-P-0358, 1984. 29pp. KEK no. 8502209]

10. F.V. Tkachov Euclidean asymptotic expansions of Green's functions of quantum fields. 1. Expansions ofproducts of singular functions. Int. J.Mod.Phys. A8:2047-2117,1993. e-Print Archive: hep-ph/9612284

11. F.V. Tkachov Mathematical methods ofperturbative QFT: a new paradigm. Talk presented at the VI International Seminar QUARKS 90, Telavi, USSR, May 14-19, 1990. In Telavi 1990, Proceedings, Quarks '90* 180-193

12. F.V. Tkachov, in New Techniques for Calculating Higher Order QCD Corrections. ETH, Zurich. 16-18 December, 1992. ETH, 1992

13. F.V. Tkachov Advanced methods for studying radiative corrections. Yad.Fiz.56:180-206,1993 (issue No.l 1)

14. F.V. Tkachov Theory of asymptotic operation, a summary of basic principles. Sov.J.Part.Nucl.25:649,1994. e-Print Archive: hep-ph/9701272

15. F.V. Tkachov On dimensional regularization and mathematical rigor. In *Zvenigorod 1993, Proceedings, High energy physics and quantum field theory, Physics at VLEPP* 210-212. e-Print Archive: hep-ph/9612288

16. F.V. Tkachov Landau equations and asymptotic operation. Int.J.Mod.Phys.A14:683-715,1999. e-Print Archive: hep-ph/9703423 (ранее опубликовано как Landau equations without contour deformations. Penn. State Univ. preprint PSU-TH-145, 1994).

17. F.V. Tkachov Towards systematic near threshold calculations in perturbative QFT. Phys.Lett.B412:350-358,1997. e-Print Archive: hep-ph/9703424

18. F.V. Tkachov Perturbation theory with unstable fundamental fields, in the Proceedings of the 32nd PNPI Winter School on Nuclear and Particle Physics. Ed. Ya.I.Azimov, et al. St. Petersburg, PNPI, 1999. pp.166-181. e-Print Archive: hep-ph/9802307

19. F.V. Tkachov Measuring the number of hadronic jets. Phys.Rev.Lett.73:2405-2408,1994. e-Print Archive: hep-ph/9901332

20. F.V. Tkachov Getting rid of ambiguities ofjet algorithms.1. *Baksan Valley 1995, Particles and cosmology* 26-31, In *Pisa 1995, New computing techniques in physics research* pp.691-696.

21. F.V. Tkachov Measuring multi-jet structure of hadronic energy flow, or, What is a jet? Int.J.Mod.Phys.A 12:5411-5529,1997. e-Print Archive: hep-ph/9601308

22. F.V. Tkachov A theory of jet definition. Int. J.Mod.Phys.Al 7:2783-2884,2002. e-Print Archive: hep-ph/9901444

23. F.V. Tkachov A verification of the optimal jet finder. Nov 2001. 2pp. e-Print Archive: hep-ph/0111035

24. F.V. Tkachov Jet algorithms: wrapping up the subject. 8pp., доклад на XV Межд. совещании QFTHEP'2000, Тверь, 14-20 сентября 2000, e-Print Archive: hep-ph/0012210

25. F.V. Tkachov Quasioptimal observables versus event selection cuts. Talk at AIHENP-2002, Moscow May 2002. e-Print Archive: hep-ph/0210116

26. Литература общего характера1. Квантовая теория поля

27. Н.Н. Боголюбов и Д.В.Ширков, Введение в теорию кванованных полей. Наука, М., 1984.

28. N.N.Bogoliubov, A.A.Logunov, A.I.Oksak, and I.T.Todorov: General Principles of Quantum Field Theory. Dordrecht: Kluwer, 1990.

29. А.А.Славнов и Л.Д.Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., Наука, 1988.1. Математика

30. A.Erdelyi, Asymptotic Expansions. Dover, 1956.

31. L. Schwartz, Analyse Mathematique, vol. 1. Hermann, 1967.

32. F.W.J. Olver, Introduction to Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.

33. А.Н.Тихонов и В.Я.Арсенин, Методы решения некорректных задач. М. Наука, 1986.

34. Н.Н. Калиткин: Численные методы, Наука: М., 1978.

35. W.Rudin, Functional analysis. McGraw-Hill, 1973.

36. MReed and B.Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. New York: Academic Press, 1975.

37. B.K. Кановей, Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М., Наука, 1984.

38. J.E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany. 1957.

39. G.A.Korn and T.M.Korn, Mathematical Handbook, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1968, sec. 4.11.7.1. Физика высоких энергий

40. Т. Kinoshita, М. Nio: Revised о? term oflepton g-2 from the Feynman diagrams containing an internal light-by-light scattering subdiagram. Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 021803 hep-ph/0210322]

41. Physics at LEP2, vol. 1, Eds.: G.Altarelli et al., CERN 96-01.

42. W. Placzek, S. Jadach, M. Melles, B. F. L. Ward, S. A. Yost, Precision Calculation of Bhabha Scattering at LEP, CERN-TH/99-07 hep-ph/9903381].

43. D. Bardin et al, ZFITTER v.6.21 A Semi-Analytical Program for Fermion Pair Production in e Annihilation hep-ph/9908433];

44. G.Montagna, O.Nicrosini, F.Piccinini, and G.Passarino: TOPAZO 4.0 A new version of a computer program for evaluation of de-convoluted and realistic observables at LEP 1 and LEP 2. Сотр. Phys. Comm. 93 (1996) 120; 117 (1999) 278 hep-ph/9804211.;

45. G.Passarino, S.Uccirati: Algebraic numerical evaluation of Feynman diagrams: two loop selfenergies. Nucl. Phys. B629: 97-187, 2002 hep-ph/0112004.;

46. A.Ferroglia, M.Passera, G.Passarino, S.Uccirati: All purpose numerical evaluation of one loop multileg Feynman diagrams. Nucl. Phys. B650:162-228, 2003 hep-ph/0209219.1. Литература к части 1

47. F.V.Tkachov, Methods of multiloop calculations in perturbative quantum field theory, Ph.D. Thesis, (INR, USSR Acad. Sci., Moscow, 1984).

48. L.R. Surguladze and F.V. Tkachov, Сотр. Phys. Comm. 55 (1989) 205.

49. S.G.Gorishny, S.A.Larin, L.R.Surguladze, and F.V.Tkachov, Сотр. Phys. Comm. 55(1989)381.

50. F.V. Tkachov, in The IV Int. Conf. on Computer Algebra in Phys. Research. JINR, Dubna. 22-26 May 1990. JINR.

51. S.A.Larin, F.V.Tkachov and J.A.M.Vermaseren, The FORM version of MINCER, preprint NIKHEF-H/91-18 (Amsterdam, 1991).58. см. часть 2 настоящей работы.

52. M.Veltman, Schoonschip, CERN preprint (1967); in: New Computing Techniques in Physics Research III (AIHENP'93). Oberammergau, Germany. Oct. 4-8, 1993. World Scientific (1993).

53. D.Barton, J.Fitch, Rep. Prog. Phys. 35 (1972) 235.

54. Laporta and E. Remiddi, Phys. Lett. B265 (1991) 182.

55. S.Laporta and E.Remiddi, The analytical value of the electron g-2 at order (Xs in QED, preprint DFUB-96/05 (hep-ph/9602417).63. S.Laporta hep-ph/0102033]

56. D.J.Broadhurst, Which Feynman diagrams are algebraically computable?, in Proc. II Int. Workshop AIHENP'92 (Ed.: D.Perret-Gallix; Paris, 1992).

57. D.J. Broadhurst, in Quarks-92. Proc. Int. Seminar. Zvenigorod, Russia. May 11-17, 1992,1992. World Scientific, 1993. (ibp for integrals with masses)

58. D.J.Broadhurst and A.Grozin, in Proc. IV Int. Workshop AIHENP'95 (Eds.: B.Denby et al.; World Scientific, Singapore, 1995).

59. A.V. Stepanova and F.V. Tkachov , "Algebraic algorithm for next-to-leading order calculations in the large-s/small-x regime", in: Proc. Int. Workshop QFTHEP'97, Samara, Sept. 4-10, 1997 hep-ph/9710242].

60. J.-E.Bjork, Rings of differential operators (North-Holland, New York, 1979).69. см. часть 3 настоящей работы.

61. Z.Bern, L.Dixon, and D.A.Kosower, Nucl. Phys. B412 (1994) 751.

62. P.A.Baikov, Explicit solutions of n-loop vacuum integral recurrence relations, preprint INP-96-11/418 (hep-ph/9603267).

63. O.V.Tarasov, Connection between Feynman integrals having different values of the space-time dimension, preprint JINR E2-96-62 (hep-th/9606018).

64. A. Ali and J. Bartels (ed.), Small-x Behaviour of Deep Inelastic Structure Functions in QCD. DESY Topical Meeting. Hamburg, Germany. 14-16 May 1990, vol. 18C, Nucl.Phys. В (Proc. Suppl.), 1991.

65. A. Arbuzov and et al., Phys. Lett. B383 (1996) 238 hep-ph/9605239].

66. G.I.Manankova, A.F.Tatarchenko, and F.V.Tkachov, MILXy Way: How much better than VEGAS can one integrate in many dimensions? preprint FERMILAB-Conf-95/213-T.

67. N.I. Ussyukina, in QFTHEP'97, Samara, September 4-10, 1997.

68. I.M. Gelfand, talk at Int. Math. Congress in Amsterdam, 1954.

69. D.Yu.Bardin, L.V.Kalinovskaya, F.V.Tkachov: New algebraic-numeric methods for loop integrals. Some 1-loop experience. Talk at QFTHEP'2000, Tver hep-ph/0012209]

70. Конкретные расчеты (работы, использовавшие метод асимптотической операции, приведены в списке литературы к части 2)

71. K.G.Chetyrkin, A.L.Kataev, and F.V.Tkachov, Higher-order corrections to crtot(e+e~ -> hadrons) in quantum chromodynamics. Phys. Lett. 85B (1979) 277.

72. S.G. Gorishny, A.L. Kataev, and S.A. Larin, Phys. Lett. 259B (1991) 144.

73. L.R. Surguladze and M.A. Samuel, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 5602416(E)],

74. K.G. Chetyrkin, S.G. Gorishny, S.A. Larin, and F.V. Tkachov, Phys. Lett. 132B (1983) 351. (5 loops in q?)

75. S.G. Gorishny, S.A. Larin, and F.V. Tkachov, Phys. Lett. 101A (1984) 120. (5-loop critical exponents)

76. L.V. Avdeev, S.G. Gorishny, A.Y. Kamenschik, and S.A. Larin, Phys. Lett. 117B (1982) 321. (/^-function in Wess-Zumino model)

77. K.G. Chetyrkin, S.G. Gorishny, A.L. Kataev, S.A. Larin, and F.V. Tkachov, Phys. Lett. 116B (1982) 455. (3 loop <r,0, for squarks)

78. Литература к части 2 Теория обобщенных функций

79. L.Schwartz: Theorie des Distributions. Paris: Hermann, 1966.

80. И.М.Гельфанд и Г.Е.Шилов, Обобщенные функции и операции над ними, т. 1. Физматгиз, 1959; Пространства пробных и обобщенных функций, т. 2. Физматгиз, 1958.

81. L.Schwartz: Methodes mathematique pour les sciences physiques. Paris: Hermann, 1961.

82. V.S.Vladimirov: Generalized Functions in Mathematical Physics. Moscow: Mir Publishers, 1979.

83. R.D. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, vol. 1. Springer-Verlag, 1978.1. Обобщенные функции в КТП

84. Н.Н. Боголюбов, Доклады АН СССР. 82 (1952) 217; см. также 33].

85. Н. Epstein and V. Glaser, Ann. Inst. H.Poincare XIX (1973) 211.

86. J.M. Gracia-Bondia and S.Lazzarini, hep-th/0006106;

87. J.M. Gracia-Bondia: Improved Epstein-Glaser renormalization in coordinate space. I. Euclidean framework. Math. Phys. Anal. Geom. 6 (2003) 59-88 hep-th/0202023.

88. Теория евклидовой асимптотической операции Комбинаторика As-операции и вывод вычислительных формул в размерной регуляризации

89. S.G. Gorishny, S.A. Larin, and F.V. Tkachov, The algorithm for OPE coefficient functions in the MS scheme Phys. Lett. 124B (1983) 217. (мнемоническое правило для формул, которые обнаружены в 5] и систематически выведены в [8], [95])

90. G.B. Pivovarov and F.V. Tkachov, preprint INR P-370 (1984) KEK no. 8502210]; см. также [9], [100]

91. G.B. Pivovarov and F.V. Tkachov, preprint INR П-459 (1986) KEK no. 8610360]; см. также [9], [100]

92. G.B. Pivovarov and F.V. Tkachov, in Quarks-86. Proc. Int. Seminar. Tbilisi, USSR. May 1986. VNU Science Press, 1987.

93. F.V. Tkachov, in The X Workshop on High Energy Physics. IHEP, Protvino, July 1987, 1987. NAUKA.

94. G.B. Pivovarov and F.V. Tkachov, Theor.Math.Phys. 77 (1988) 51; см. также 100].

95. G.B. Pivovarov and F.V. Tkachov, Int. J. Mod. Phys. A8 (1993) 2241 hep-ph/9612287].

96. Строгие методы, не зависящие от регуляризации

97. V.V. Vlasov and F.V. Tkachov, R-операция без а-параметров, preprint INR □ -504, 1986.

98. A.N. Kuznetsov and F.V. Tkachov, talk at Quarks-88. Proc. Int. Seminar. Tbilisi, USSR. May 1988.

99. F.V. Tkachov and V.V. Vlasov, Multiloop Feynman diagrams and distribution theory. (I) R-operation for products of singular functions. Preprint McGill-91/03 (1991).

100. F.V. Tkachov and V.V. Vlasov, Multiloop Feynman diagrams and distribution theory. (II) As-operation for products of singular functions. Preprint McGill-91/04(1991).

101. A.N.Kuznetsov and F.V.Tkachov, Multiloop Feynman diagrams and distribution theory. (Ill) UV renormalization in momentum space. Preprint NIKHEF-H/90-17 (1990).

102. A.N. Kuznetsov, F.V. Tkachov, and V.V. Vlasov, Multiloop Feynman diagrams and distribution theory. (IV) Asymptotic expansions of renormalized diagrams. Preprint FERMILAB-PUB-91/346-Т (1991).

103. A.N. Kuznetsov and F.V. Tkachov, R-operation via asymptotic expansions. In Renormalization Group '91. II Int. Conf. Dubna, USSR. 3-6 Sept., 1991. World Sci. (1992).

104. A.N. Kuznetsov, F.V. Tkachov, and V.V. Vlasov, Techniques of distributions in applied quantum field theory. (I) Euclidean As-operation for products of singular functions. Preprint PSU-92/108-T (1992) hep-th/9612037].

105. A.N. Kuznetsov and F.V. Tkachov, Techniques of distributions in perturbative quantum field theory. (II) Applications to theory of Feynman diagrams. Preprint INR-809/93 (1993) hep-th/9612038].

106. Верификация результатов теории As-операции

107. S.G. Gorishny, NucLPhys. B319 (1989) 633.

108. C.H. Llewellyn Smith and J.P. de Vries, Nucl. Phys. B296 (1988) 991.

109. V.A. Smirnov, Comm. Math. Phys. 134 (1990) 109.1. Примыкающие работы

110. E.N. Popov, On subtraction of a class of infrared singularities. Reoperation. Preprint JINR E2-84-569 (1984).

111. G.B. Pivovarov, Gauge identities and renormalization. Preprint INR P-480 (1986).