Выделение классов систем дифференциальных уравнений второго и третьего порядков, допускающих лишь алгебраические подвижные особенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

2 У СЕН

белорусский государственный университет

На правах рукописи

Шалик Элла Владимировна

ВЫДЕЛЕНИЕ КЛАССОВ СИСТЕМ ДИФФБРЕНШАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИХ ЛИШЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОДВИЖНЫЕ ОСОБЕННОСТИ

0I.OI.O2 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 93

Работа выполнена на кафедре математического ана^за Минского государственного педагогического института имени д.Ы.Горького. . .

Научннй руководитель - доктор (физико-математических наук,

профессор Яблонский кМ. Офщиалыше оппоненты - доктор фюико-математических наук,

Ведущая организация ~ Гродненский государственная университет

заседазши спащшлиэирсванпого Совета К 066.03.10 в Белорусском

ни, 4; главней корпус, комната 206).

С диссертацией шано ознакомиться в библиотека Белорусского государственного университета.

профессор Кондратеня С.Г, кандидат физико-математических наук, доцент Мататов В.И.

Защита состоится 1393 года в 10 часов на

государственном университета <220080, гД'кпск, проспект Ф.Скори-

Авторсфорат разослан

Учек'й секретарь споцзалязировашого Совета дошит

В.И.Норзззк

ошля хшкгЕкгаиац раеогч

Актуальность та; п. ГТроОлома КЗуЧЭПЛЯ СВОЙСТВ O'T'rs-

дзлоппах дпфЗЕэрэщяалыпг.з урвшзгасл п их системны, пвлпэтсп одной кз осповпих математических задач. Большинство систем /сгЗ-фэрепцяальних уравнений, возЕвнагггп в практика, рацлопаш m ОЕККЯЭТОЛЫЮ кскотлк ФутзсцпЯ И пковт постогпшнв, попроршзтшэ ПИ газлгпртоскяэ коофрздкэЕти. Ракепая тзкпх полинейгаи спстсм пп-ст, как прзпало, подгжэиэ особнэ точка. Исследование хсркстора п копфзгурецет цодвггпих особых точек лзлязтся одпоЗ из состсз-Ш1 частеЗ сшштгеоспсЗ тооркз даЗФэрзнцгаальшх урашэшй. Такта ПООЛОДОВ8ППЯ шшшкэт особошо болмзэ трудности. Еаиэгзпза трзбутзг вопросу существования подгпттглх особых точен, a вря из оаятоп, вопроса. спрэдвдзпяя ех кочзстза, структура ретсстЗ п скрзстости водпетюЭ особсЗ точка, распологянго отшс рвгнгЗ в прсотрпясгвэ.

Начало тэорзл шдкгзшх особых точзк было полог-опо Егрло а Букэ. Затеч гссладовзияя бнп продолжил Пзшэвэ, буксой, D'yri-карэ, Шхерои п др. Во глзогях случоях изучаянэ своДств pcr:or~*i дайорвпцаалшпс урагпэЕЕЗ и сгстсм сводятся к их яяассд-Гтг-пгг? по хсрегстору подксззн особых точек шя к юдодэгоп так клзссоз, особнэ точки которых прэдставдопа оирэдэлмшо'Л шнхгзкг:ссж.'1 харссторлотгаоЯ. Тшстз исслэдоаопзя игао потратить в рзоотоз Н.П.Еругпла, Д.И.Ябловсяого, С.Г.Коадватспя и хр-

Iirropoc к изучила осоСих точек рсгзпзЗ дг^фзрзишшлгхза уравгонса н систем в злимой степени' определяется теп, что tro-. птэ вроцесси фяззкя, вкопомахп, биология, тогшза п др. овпссжз-отся катэкзтзчэсшза тадэляа, среда которых б01ЛЬП00 кэото асгз-мавт юдахл, опЕсавоамиэ даффврэнцяашшга ураЕВокаякя п с::зтэ-

маки.

В диссертационной работе проводятся исследование в •окрестности годешаоя особой течки систем дифференциальных уравнений второго и третьего прорядкоз, которые являются моделями процессов оислоги, генетики и др., а также выделению классов систем второго порядка с однозначными подвижными особыми точками.

Цель работы. Установление существования подвижных особых точек исследуемых систем дифференциальных уравнения второго и третьего порядков и нахождение аналитических представлений реше-'ний систем в окрестности подвижных особых точек.

Выделение классов исследуемых систем второго порядка, рэшэнил которых да содержат многозначных годеютшх особых точек.

Метод исследования. Для рассматриваемых систем дайеренци-альнчх уравнений строятся соответсвукцие им систем диф$еронцн-яльных уравнений Врио и Буке и иследование решений исходных систем в окрестности подвижной особой точки сводится к исследованию реввЕИй систем Врио и Буке в окрестности неподвианой особой точки. В основу выделения систем с однозначными решениями . подокон подход, предложенный Пэнлевэ и Гарнье.

Научвая новизна. Основные результата являются новыми. Найдена аналитические представления решений исследуемых систем в окрестности подвшоных особых точек. Установлены необходимые и достаточные условия существовании таких представлений. Найдены достаточные условия однозначности решений неавтономной скстеми Вольтерра-Лотки и выдедеш массы таких, систем с однозначнвми

Теоретическая и практическая ценность. Разработан метод наделения классов систем Еольтерра-Лотки второго порядка с одно-

4

зпвчтрт"1 ре^эттит. Почучптту услопия суг/зстгсгмппл у

псслэдует/ах систем penomrt, представила в окрестности подкезсЛ особоЗ тонга d виде рядов. Получешше рэзультатн глогут бить попользовала пря изучения некоторых процессов Спологла, исспгспкп, твянзга и др.

На вк^зту сшюсятся следуигие результаты:

1. Доказательство существования подвегзшх особах точек спетом джйврзнциалъшх урагавниЗ Вольтерра-Дотки второго поря.т;'.а в автоноглпом и неавтонетлтсм случаях и сзстока дкффэрзицзагыза уравнений третьего порядка, /тлящейся содолъю процессов гопэтаял.

г. Анататпческнэ представления репэшй в скрестпостз под-tisnna особи точек рассматриваема систем.

3. "отод наделения классов неивтсжетагх систем Вольтзррэ-Лотот второго порядка, репоная которых но содержат мяогозпзчггп подр:™лшх особах точек.

4. Кдзсспфаквцвл паоэтопадшх сястеа Вольтерра-Яотка, рэ~:э-юм воторих яэ содержат гягагозначпнг подпетых особых точек.

Апробация. Оспошшэ результата диссертация докладазастсъ ттз ВсесояЕпоа конференции ТорценоЕскне чтения" в г.Легзшгродэ (1S91 г.), па гаярэспублкканскоЗ копфэрэннот творчзскоЯ кояодогз п БГУ гтл.В. И.Лонгна (1992г.), па свкгэтзрэ "йгМорс^щгальпиэ уровпэния* под руководством А.И.Яблонского.

Публтгсатгь По тепэ дассэртецет опуветсовако 4 паучшп работа, пэрэчэпь которих приведен в конце рэфэрата.

Структура и объем работа. Диссертационная рсбота состоит пэ введения, тр'зх глав, списка литературы и включает 96 страниц : ч-скногасного текста. Список яивратури содэрлге 55 натаэпоЕеппа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается краткая история вопроса, обос-Еоизвавтся актуальность тема диссертации и излагается основана рэзультата работы.

В ларвой главе в §§ 1,2 проводится аналитическое псследова-шзз решений системы Вольтерра-Лотга в ввтоноетом случае с произ-ьолышкз комплексными коефрщиеыта'.ш

= а4г + Ь,!* +

«У V 8 0 }

В окрестности подвееной особой точки а0 (в ищу аютоноиности с2сте?.и подвкзюй особой точкой иожэт бить точка бо=0), где рз-шеия састеми (1) (х(2),у(г)) ¿21] обладают свойством

|х(г;)| + |у(с)| при г-»вс.

Здесь па5деиы возмогшие решении спстекы (1) с указашша свойствам, которые икают вид

у(г) » е z(ß + <p_(z>).

(2)

г до nj( пг - некоторые числа, причем хотя Си одно из юз отрпца-тишоэ, ф((к), <р?(г) - аналитические функции z со свойством 9t(E)—»0, кфк(г)—»0 ври z-+zg (zQ<=o), к=1,2, по крайей коре вдоль пути ь, лакащаго в ограниченном сектора -сso < а < Arg Е < Р < +

Устексвяепо, что условия

Ь2

* о, (Cg-^X^-b^ * о

>ЛШУ0ТСЯ нообзодажги и достаточными для существования у система (1) роаоняй слодукза видов

6

. сха п

х(а) - в (а + YZZ сиг3), и 0=i

о-О

У(в) - »-'(р0+ EU Po3 )s

оо (О, ,0.) а.+Х.о.

х<в) - »-»(оч 5-: a в ),

0,40,-1

(о. ,0.1 0.+л„о„

у(в) « «-'(Р.* 5-:ъ 1 2 в 1 * 8);

(4)

гда а'0'1' - произвольная постоянная;

f оо 1 U л » U « ' Л. и.

г(в) -'в_,|аЛ+ > ! с ' 2 г '(z г) ' ,

atH32=1

., оо (о. ,с„> а. v ст„. у (в) - s~*fß + EZZZ 4 ' В s J(a г1п з) 21,

(5)

(К.о)

гдэ с - произвольная постоянная.

В §3 установлено, что условия b^—«t^, ь ы>-1 яглязтся необходимая н достаточными для того, <5to6:i система о ) п Кфзо-тпостп подсзяюЯ особой точки гсгэла рошогаэ сада

1 . „ .о»

* ОО

3(E) - ¿-'(- ¿ + ZZZ OgZ"),

7(b)* аы (р0ч ¿z: 0ов°).

ü=í

гдэ р - парглэтр, п рзяаппэ гада

(G)

'о

s(s) - гГ1

,'(в)

1 ■ <W V4°!?l

- ç + > : » » .

м f «VV

•u ßc + EZZZb 1 z 3 г , l o.+o„-t j

(7)

ГДЭ po - псрк-этр.

УСДОЕЛЯ Cj—VCS> CjtO, V>-1 ЕеОЙХОДЕЛИ П ДОСТОТОЧЕ1 для

суцестаовашя рагенкЗ вида

lí n

s(2) = z (a0+ Г~: a0zu),

a=t

гко aQ - парк.гэтр, n

у (в) = в-4(Р0+ flZ PqZ0),

0=1

z(») = sr a. + 5-. a «' « В 1 3 2 .

l °1+a2=l j

[i (o >o„> о +a.„0„1

- ~ + ZZZZ ь 2 2 1 ci o1+oz=i J

(9>

где aQ - парвиэтр.

В 54 показано, что если в (2) n2=u=o (n1=v=0), то систему (1) молю проинтегрировать, найдено ее общее решение.

В §§5,6 исследуется вопрос о решениях в окрестности подьиз-iioü особой точки е0 спстег.у Вольтерра-Лотки в кэовтоткхлю:.! слу-чсэ

|§ = ^Ых + b¡(z)xz + c4(z)xy,

= a2(z)y + Ьг(ь)ху + Cz(s)y',

гдо косффвдюнти пзляотсл аналитическими фупкцсжз в в области В4 кияхлзксиоЯ плоскости.

Кэ всох рзаопиЛ csctcku <ю), обладаггзи свойством |з(е)| + |у(в)¡ -»м при г-»20, £Ц&ШЕЦ ТО, которио EJJOET Ё71Д

П

ж (с) = <Z-Z0) 1(a0H?t(z)),

«2 (11) у (В) = (z-80) г(Р0+<Рг(2)).

гдэ п(, п{ - Еэкоторио часла, хотя бн одао из которых отрпца-

'.ольвоо, V. (е), ©„(а) - аналитические функции с со свойством

4 2

9t(z)-»0. <р (в)—»0 при е-»к0 вдоль некоторого пута Ъ.

Доказано, что в области D Q D(, которая определяется усло-

8

ВКЯЖ1

bf(a) ct(z)

bziz) c2<a>

f o, (с^Ы-с^аЖЬ^аЬЪ^а)) * 0, (12)

система (10) Емэет роазппя

схэ

х(в) - (^„Г^су EZ <^(e-a0)°>.

a=i

7(8) = (8-80Г1(Рв+ ¿Z Р0(в-В0)°).

(13)

(b.(a)-b_(a))(c (s)-c(z)) если V Ъ^ы^ы-ь'ыс/ы т ™ляв™я целил патоет-

т&льитг числом. Есля НеЛ2<о, то такое релгаягш едакственпоэ. В'оли ReX,>0, то креме рэшешя*(13) система (10! имеет реяеппо

Х(8) = (в-80) Га + ? ; а 1 2 <м ) 1 z 2),

° О.+О =1 4 ^

1 г (14)

у(В> = (8-во) '(Р0+Е=:Ч ' (*-*0>1 -г].

Если Х2 - целое пологлтельное число, то прл некоторых услоспях

на коеф1"1ш:ептн скстсиа (Ю) Судет икать рекензе вида

. г г*** «О, о, »

х{8)»(а-з,Г*М-: с 4 г (В-30) 1 2 г in г(з-г ) ,

1 а +и„=» '

« - (15)

В §7 доквэсно, что в области DSD,, которая определяется условными

ь,(в)

r®_G^T3)<1' V*> " ъ2(в> =-и5Ь4(а), система (Ю) газет дхбо одаопоредатркчвекоо сешЗство рокошйЗ

9

1 «О,»0!,»

«О - тот+ £= а' эг).

» г

(16)

у(а) - (2-2о)'а1 (р + > : Ь 1 2 1 3 г]

Ь-ОО

гдэ ро - параметр, води Т(г)=~ + 1 не является целым чис-

лом, либо однопаракетрическое семейство решений о параметром р0 вида

*(в) = (*-*«,>"*(- + а0(2-20)°).

,<«) = (2-,0)и (ро + Е^Р^-в,,)0). ослы 5(а) - целое число.

Однопараыетрические семейства решений система (ю) будет клэть в области I) С определяемой условия,«

Не-

^<1, с2(г))<0, с1(2)=-Усг(г).

В §8 рассмотрены некоторые ишчи'рируекые случаи.

В главе приведены примеры, иллюстрируицие теории.

Во второй глава из систем Вольтерра-Дотки с переменными коайкцденташ выделяются системы, решения которых на содераат лаогоэначши подвижных особых точек, и устанавливается их связь с уравнениями пятидесяти классов Прнлвво.

В §1 система уравнений (10) преобразованием независимой пэре,-.генной сводится к системе, в которой , т.е.

Ц + ^ пв)

Ц - + + =г<*)уг.

Система (18) эквивалентна одному дифференциальному уравнению второго порядка

10

х' ' = (1+c2(t))—j— +A(t)xx'+B(-t)x'+D(t)x:3+E(t)x2+P(t)x, (19) где A(t), B(t), D(t), K(t), F(t) определенным образом Енражоятся через ковф&адиепти (18). Исследование этого уравнения позволяло определить пеобходашв и достаточные условия, которые налагаются па коэффициенты сисгеш, для отсутствия у рекешй систем многозначных яодвндных особых точек.

В §2 найдено о достаточных условий однозначности решений систем (18) вря с (t)-1.

В §Э указаш два достаточных условия отсутствия у решений системы (18) многозначных особых точек в случав c2(t)=o.

В §4 при c2(t)-=- i, где m - целое число, большее 1, найдено Ю достаточных условий однозначности решений системы.

Пря какдом из перечисленных условий система (18) сводятся к уравнениям Р-тппа, которые моию проинтегрировать..

В §5 подведены итоги проведенных в главе исследований.

В третьей главе исследуится в окрестности подвижной особой точки репгания системы трех дийюревциалышх уревнений вида

|| = x(i-x-y) + оа,

= у(Х-х-у) + оа, (20)

Ш " - ^(1-20«+У).

Эта система является математической моделью процессов геко-тикп [36). Если з, у, z - численности аллелей особей популящш, то систему (20) можно рассматривать как модель геноткгаческой динамики популяции при определенных условиях на коайяциенты системы.

Аналитическое исследование система (20) позволило найти оэ решения в окрестности подвижной особоЯ точки ( tq-o ) со свойс-

ТБОЫ

шда

|х(1)| + |у(т;)1 + |г(г)| —> <=-о при т:-»^

п.

х(1) = ч (с^-кр^й)), у(ч) = т^а^Ы), Е(-С) = т-Пэ(а3+ф3(г)),

п

О

гдэ п , пг, п3 - некоторые числа, среда которцх хотя Си одно отрицательное; с^ас^лСХоо); <р( (г)—»0, <рг(г)—»о, Ф3(%)~»О при «с-»т0 вдоль некоторого пути Ь.

В §1 рассматривается случай одинаковых начальных условий для х("С), у(т). Когда х(т;)=у (т), система (20) еквивалектна сис-текз двух дифференциальных уравнений

Установлено существование у систеш <22) в окрестности надвижной особой точга решений, разлоаашх в сходящиеся ряда. Система (22) Е.90Т или однопараметраческое семейство роаений, или единственное голоморфное решение вида

= Гх - 2хг + 02,

§§ = (1+г)х - <1-га>в - гхв.

(22)

(гэ)

ослд , пли голоморфное решение

если а^о, или семейство решений с параметром в

о

*<*> - I tÇvl'

f СхЯ t.

k=l

.. (25)

В g2 расслзтрлвпогся случай различных пачолыапс услопгЗ (тс(т)^у(т)). Сястемэ (20) пяэет решение одного из слэдухгтя г:-

k=i

СхО

7(1) = 1~'(Р0+ \ IZ2 (25)

= а * ЕИф^3)1 k; 3 k=i

x(t) = i_1[a0+ \ EZZ <р£1,0>тк].

7d) - t-s!fp0+ 7 £ ^,,0>1к1. (£7)

^ Vя! я 3

»w-^lvèïgqi1-^).

3(t) = i"'(a3+ £11 <P¿3)i k],

k=s

гдэ a3 - nsppt.'OTp.

В §3 пс::азепо,что ослч в спстскэ (20) полонить x(t)+y(T)=0, то 1г,;эат мосто пнтегрпруклий случай. Получено обкеэ рогепэ слс-Teiïi в отсм случае.

В §4 рассматривается некоторые биологические приложения, получениях результатов.

13

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕНЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шалак Э.В., Яблонсюй А.И. Аналитическое есслздоволлз одной спотэш дифференциальных уравнений.//Ред.к. "ДкфЗЕяренц. уравнения".- 1йнск,1991.- Дэп.в ВИНИТИ 03.04.91, II 1509-В91 .-8с.

2. Шахи Э.В. Характер подвижных особах точзк одной спстеш дайэрэкцааяьшк уравнений.//Ред. с. "Ди£орапц. уравнзпяя".-Ьйиак, 1991.- Дап. в ВИНИТИ 08.04.91, И 1503-В91.- 7с.

3. И'шек Э.В. О подыкашх особых точках системы Водьторра-Лоткп в неавтономном случае.//Ыегфвсшубдишзская кокфэрэвцая творческой шлодекя. Тезисы докл.- Минск, 1992.- С. 21^-216.

4. Еаазз: Э.В. Аналитическое исоледосашэ сыстош Вольтерра-Лотки в юавтокошсы случае.//Лшейшо фувгедгопально-дифХерда-цдальшэ соответствия.- ¡¿иск, 1993.- С. 42-49.