Выпуклые приближения функций многодейственных переменных алгебраическими многочелнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

?ГЙ ОД

ш 133*1

I

НАЦИОНАЛЬНА АКлДБМШ НАУК УКРАЙШ ШСТВТУТ МАТЕМАТИКИ

На яр&яах pysúVMcy

ВУДНИС Васяяь ^агорозич

ковипукле Hab лижвтая ФУНКЩЙ багатьох. тйстщ.ттмих -АЛГЕБРА1ЧНИМИ многочленами

01.01.01 — матоматашиа шишЬ

Автореферат дпссртаЯЯГ вк ofipOyrva atesoro ступгпд кандидат* фиааоыатаматачггах nays

Кшв — 1994

Дисортац1ею е рукопис.

Робота Ешконана у вЬядШ -георН функцШ 1нституту математики . НАК Укра1ни.

Еауковий керйник: доктор ф!зико-математкчних наук

шювшв в.м.

0ф1ц№1 опононти: доктор ф1зико-ыатеыатичш5Х наук, профзсор ЕАБЕНКО В.®. кандидат ф1зико-матоматичтас наук НАЗАРЕНКО В.О. Пров1дай установа: Ка1воький ун£верситет Ш. Та] аса

Шевчанка.

t

Захист в1дбудэться "'Т-е-рб^ 1994 р. 'о_£^года1 на аас1даш! спец1ал1зовано1 рада ' при 1нстотут1

, математики НАН Укра1ни за адресов: 252601, Ни1в 4, ГШ, вул. Терещенк1всыса, 3.

. 3 дасэртац1еш коша ознайомитись у 01бл1отец1 -институту.

¿втореЗираг роз1слаяий " " |7уо-£игл"' 1994 р.

Вчаяий секретер спец1ал1зоЕано1 ради доктор ф1зико-матеыатичних наук

&—ГУСАК. Д. В.

ЗАТАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОГИ Актуальн!сть теми.

Першим досл1джэнням, яке мокьа в!даести до тематики конаСлижешш, мокна вважати роботу П.Л.Чебииова , в як!й побудовано монотонний многочлен ) = х" + о^-1 Оу, х « к1, що найменше в!дхиля-

еться в!д нуля в матриц! с([-1,1}).

Позначимо через Дк, к « и, множину функц1й í « с<{-1,11) таких, що а£г(х) > 0 для вс!х 1х. х кШ с t-I.Il, 11 ? О. Величину Е<к)(!):= 1п! • , к - Рн1с<г-т 1П. N « г!

називають найкращим К - конаОлиженням Г на в!др!зку t-I.il в р!вном!р-н!й матриц! алгебра1чними многочленами. Величина

називаетьоя наЯкрадим ивбликеннпм 1 на в!др!гку 1-1,11 в р1вном!рн1й матриц! влгебрв1чнлми многочленам. Число називають величиною

найкращого немонотонного, а число - величиною найкращого кови-

пуклого наближення на в!др!зку £-1,11 в р!вном!рн!й матриц! алгебра 1ч-ними многочленами.

Для Е^Ш мае м!сце аналог теореми К.ВеЯершграса: ^ ({) о, при п —* оо, вотаневлений Г.Г-Лоренцом. Г.Г.Лорэяц ! К.Л.Целлэр побудували приклад функцИ I « Лк,1с <а и, тако!, шо . 11ш Е<к)<Г>/ Я » «,

п—ча "

тому задача про оц!нку взли<. ли найкращого к - нонаближення не вводить

ся, взагол! какучи, до оадач! про оц1нку найкрящого р1Еном1рного шкг'м

кэння. Кезважакгш на цэ, вечи для Г « А*' довели справедливость тако! 1г?р1вноот1:

Е^Ш -Ш, t-I.ll), И« ш,

да М > 0 нэ залетать в!д N i f. Мае м!сцэ 1 01льш загальна aepimictb для f «Л

E<k)<f) <HOJa(i, I/N, 1-1,13), H«w, (I)

s яко!, очевидно, випливае нер!вн1сгь:

E*k)(f) < М I/N cuf I/N, t-I.Il), New, . (2) де M > О нэ залэзкить в1д M 1 S. Нер1ввоот1 (1) J (2) встановлен! в роботах Г.Г.Лоренца <<2) для k « I), Р.Л.Де Вора ((I) для к = I), -P.K.BItcohb ((Я) для К в 01), о.С.Шведова ((I) да 1с««). Зазначимо, що о.С.Шведов дов!в нер!вя1сгь (I) даш 1нтегральншс метрик. Р.А.Дэ Бор i н.М.Ю одержали уточнения нер!вност1 (2) для f «

. , I ч

|f(ar)-pH(f,a;)| < М ш2[ Г,—— .1-1,1) J, №Я»,:Ы-3,13, (3)

де pH(f) «Л1 - монотонно нёспадаюч! шюгочлэни, а М > О не залазить р1д н, i i i. 3 цхеI HeplBHocrl, очевидно, вишвшае иар1вн1оть:

vf -"д2 I

|iW-pH(T,x)| ^ М (¿.,[1,-—— ,[-1,13 ]» II в ш,зге [-1,13,

яка.була вотановлена Р.Б1тсовом . В1дм1тимо таков, Що в робот!

Р.А.Де Вора 1 К.М.Ю встановлепо б1льш точну. н!ж (3), оц!нку:

, vf - Xs v

|/<.г)-рн(1,г)| < М u2[ Г,—— ,[-1Д3 J, Н в t-1,11.

F.А.Де Вор Дов1в, що яйцо i « А1 П cr([-I,l)),г « N, то

i М Гг ш, (1(г),1/Н, С—Г »II), New,

де М > О не залетать в!д N t f.

Няй51льш вагальюм.з роаультаИв, як! стосуютъся комонотонного наближення нэперэрвно диферешЦйовних i монотонно неспадаючих. на в!д-рГзку функц!Й t А1 п 'с'1-' (f-i,1]), е теорема, вотановлена 1.0.Шев-«>ком :

ксгнулхм + ^г-1-1'11)' <4>

х « 1-1,1], да Ри(Г) « Л1 - нзспадйюч! многочлвни, г « ш, кем, N » г'+ к ~ I. аМ>Онэ залвхить в!д И, Г 11.

Э нер!вносг1 (к), очевидно, випливае нер!вн!сть:

II - Рм(1)1С(г-1,11) * м 1ГГ <у1.1ли-1,1)) (б)

длл комонотониого н8&1шж9ння на в!др!зку [-1,11.

С.Ыан1я (учвнь Г.О.Шевчука), вшсористовуючи 1деГ 1 модиф1кац1ю Т0хн1чнга: заооб1в, запропоноввних його науковим кер!вником, встановив аналог наведано! теореми для ковипуклого наближэння випуклих функц1й Г « А2 П с1-1,13). В1н дов!в нер!вност1 (4) 1 (б) щ». умовах, що рн<Г) « А2 - випукл! нногочлени, гви,гг«1, к«и,Нв1м,Юг + к - I.

В багатовим!рному випадку задач! конаблишння функцШ с досить пало дсол1дк0ними 1 нем в!домий лише один результат з ковипуклого нэ-блняання функцй багатьох зм1ших алгебра1таими многочленами. Це -вотановлепа О.С.Швэдовим наступна теорема.

Т В О Р В И А (О.С.Швэдов). Якщо га « м, щ >. I 1 бга с о?"1 -Компактов випукло т!ло, I: «"-»к1 - неперврвна I випукла на «га функпДя, то 1снуё поол!довН1сть рн(Г) « рн(кт), N « и, випуклих на о™ алгебра*чяих многоплен1в таких, то

- ^(СЛс^) < М и,«*. 1/К, 8°).: (6)

дэ М > 0 не эалежить в!д N 1 Г.

3 ц1е! теорэш випливае, но для кожпо! эвмкнено! облает! 5™-с «Е41. 15> I, I кокпо! фугосцн i « С1 («та),пепер9рвно дафрре!п(морпог ] еипукло! па Е™, можна гобудувати посл1довн1сть. «лгеОра Тчши многочлз • 'Яв ри(Х) а !р(Г(1Рт), N « такох випуклих на 'як! наблияають Г 3

»

швидк1стю 0(N_1). На питания, чи мокна наблизити 01лып глада! випукл! функци випуклими многочленами з б1лыюга швидк!стю, теорема О.О.Шведова в!дпов!д! не дае. Зокрема, Оуло нев!домо, чи можна наблизити ви-пуклу на круз! в2 с к2 функц!в в клаоу с2(в2) 1 нав!ть таку, що Т{х) =0, 1«<вг, випуклими алгеОра!чними многочленами 1з швидк!-стю 0(N~2).

В дан1й робот! розглядаеться задача про ковшукле наближення многочленами випуклих функц!й багатьох д!йсних зм1ниих 1 вивчаеться питания про можлив!сть покращення оц!нки (6). Доводиться, що нер!в-нють !6) моша суттево уточнити в ситуац!!, коли ®® - область з гладкою границею, а випукл! функц!! задоволышють деяк! обмекення.

Мота робота. Для дафервнЩйовшх, ado г!лыси иеперервнях на шпуклих областях в кт s гладкою межею випуклих функц!Й розробити ногода набллкешш випуклими алгобраТчшпга многочленами 1 отриматн оц1шш найкращих наблиаень у р!вном!рн!й матриц! б!лыа точн!, His е!дом1.

Наукова новизна та практична ц!нн!сть. В дасертацН отрнман! так! результата:

- для клас1в шпуклих дв!ч! дифэренц!йоюшх на випукл!й облает! функция, як! перотворюються в нуль на II мек!, побудован! випукл! шгаго-■1Л?ни рн, то зб!гаються до функц! I !з швидк!стю ГГ2;

- для кляс!й M.Bt'ft лифврерцШовтх строго вйпуклих на випукл!й облает! '.iv'HKiiJP побудовчн! випукл! шогочлени pfJ, що зб!гаються до функцII !з мт'идк'стп ц~2; , '

л.5я гласив нрп?рервних строго випуклих на випукл 1й облает! функц!й 1 nooyr.onsHf иногочлени pfJ(.f),mo з<5!гаготься до f !з гавидк!стю «2(Г,1Г1)+ < bfr-ik. гГ'), лп w, t о> - модул! яеперервзюст! в1дпов!дао першого 1

s

другого порядк!в. î

Апробац!я робота. Основн! результата робсти Сули викладен! î' обговорен!

- на сем!нар! з теорИ функц!й при 1нститут! математики HAH Укра-ïmi ( кер!вник - доктор ф!зико-ыатематичних наук, профэсор ОЛ.Степе-нець);-

- на М!шародн!Я конферендН, присвячен!й пам'ят! акздем!ка М.П.Кравчука (Ки1в - Луцьк, 22 - 28 верэс. 1992 р.);

- на м!жвуз!вському сш!нар! з Teopiï функц!й при Дн1пропетров-ському державному ун!верситат! (кер!вкшси - докторп ф!зико-матемагич-них наук, професор В.П.МотортшЯ 1 профэсор В.Ф.Бабенко).

Публ!кэц!!. По тем! дисертацИ опубликовано три робота, список

яких паводено в к!нц! дасертацИ.

Структура i об'ем робота. Дисэртоц1я складаеться з вступу, доох

розд!л!в ! списку л!тератури, який вгЛцуе 25 найменузань i стсно-

ВПТЬ 7П CTOpÎHKII маиЕНопксу.

КОРОТКИЙ 3MICT POBOTIi

Наведено потр!бн! означения t сформулзоемо основп! результат«.

Нехай с™ с кга - вХдкрита в жга мношша, Г: с-"1-»?:1 - je яка функц!я,

х « <ьт, е е к™, - одкштотя вектор. Величина

l'(.r):= lim t"1(fU + et) - t(x)) 0 t - о

иазиваеться по11дном пергпого порядку за напрягаем о в точц! х ФункцН

I, якщо 1снуе окИпнта'гршшця виразу в прав!й частин!. Ягацо пра дэлкому \ > О одпов:та!рняй ок!я (х -,Лэ, х + Л,э) налагать ®п, в коаь-

iti.'t точц! у л (х - Яа, х + Ае) îcirye îjy) î îcnye CKtmoiaia гртвтп

t" (x):= 11m t"1(i'(x + et) - Г (x)), 0 t - о

то пя величина иазиваеться пох!дною другого порядку за яапрямком е

в т0чц1 х фушцИ Г,

о, т

В роздш I розглядаються класи дв!ч1 дифервнц!йовншс

випуклих функцМ, визнач.ених на випуклих обшкених областях ст с кш,

ю > I, з гладкою мекею а с™, що мае ск!нченну кривизну, 1 як! перетва-рюються в нуль на меж! облает!.

Означеная 1.1.X. Якщо «т- в1дкрита в т > I, множина,

то 1 « (в™), якщо 1 е недарервною функц!ею на с®, 1 для кокного единичного вектора в « кв 1 будь-якого в!др!зку (х',х*1 с с™, паралель ного е, пох1даа 1е першого порядку за налрямком е е абсолютно неперер-вною функЩею на (х',х"3, а для пох1дно! другого порядку за налрямком в е ск1нчвншв величине

И!«2!®®) виР ШР еаа в^Р I ю е«кт. Сх'.х*)««® х « (х'.х"]

Оеначеипя ГЛ.2. Якщо' «Р- оСмакенв 1 випукла область

в (к™, ш > I, то будемо вважати, що фунмЦя I (с1™), якщо X е ее-

пйрврвпою I випуклою на 5ю, Г « ы* (сю) 1 на ив«1 я ът ператворюеться в куль' £{х) в о, x « о

Основниы результатом роздЬлу I е наступив теорема. Т в о р е и в 1.2.1. Якщо обметана 1 випукла область с™ в к™,

ю > I, мае гладку мэву л ст, то для кокно! фуякцИ I « (Рп) гонуе посл!довн1сть р^Ш « Р„(®т), Н т и1, випуклих на о1" алгебраГчних многочлен1в таких, «о 1 *

> Рн<*>1с(с">) де М не звлокить в!д И 1 .чае вш'ляд

М - ц (Ifl^jg-, + lil^/^ln^ l^(a,jtf)(y>l).

де u, » Lti«™) > О ш заложить в!д Г, а Г (у) - поИдна по нормал1

ew(J/>

0<a)(l/) до о ст в точц! у в а ст. '

Принципов у роль для доведения тэореми в!д!грае наступна лема.

Л о ы а I.2.I. Якщо обмэжена 1 випукла область в Rra,m > I, мае

о„ _

гладку мену a сга, то для кожно! фппсцП 1сг (с"1) 1снуе неперарвна i вш1укла па кш функц!я g така, що g(x) в t(x), х в g™, i для кожного единичного вектора е в конного .т в с™, 1 для кожного Я: 0 < А. < 4 М£та) вшсонуеться шр!вп1сть:

Хв) - 2g(x) + в(х Ао)| 4 UXZ, де М^™) - деяке число, яке заложить в!д 5™, а М не залэхить в!д х, е, X I мае вигляд

и - Ц «Ш^ 4 ,i|,>><„>(уШ'

де u. = u(£™) > 0 на залезкить в!д Г, а 1 (у) - пох!дна по нормал!

е (у) х ^ d" в точц! у « о <Р.

В роздШ 2 розглядаються класи v2 (5™) дв!ч! дифдренцХйошшх i w® (с1") неперврвпих строго випуклих функцШ, як! моауть не переТворкь вться в нуль на мая! облает!.

Означения 2.1.1. Яйцо обмежена i випукла область в r?, m > I, то I « v2 .(ф™), шщо f е неперервною 1-випуклою функц!ею на 5я1, t « ы2 (с1") 1 1снуе Н0 > 0 такэ, що для кокного одишчного вектора э « Rn, кожного в!др1зку U*,х"] с 5й такого, що 1х',х') паралель ний до е, майасе для вс!х т « 1х',х") виконуеться нер!вп!сть

8

f>> > мо.

Одним з вакливнх результат^ розд!лу 2 е наотупна теорема. Теорема 2.3.1. Яйцо с™- обмелена 1 випукла область в кш, m > I, з гладкою макаю, то для кокно! функцН 1 « v2 (с1") 1снуе noont-довн!сть випукпих на с™ алгебраГчних многочлен^ p„(i) « i>M(Rm). New1, таких, mo

|f - Рн^>1с(с») < м дв и т залегать в!д N t мае виг ляд

м - Ц <mw2(c») + ( sup Jijc/gn,)8 е«жю.|е|=1

де ц = Hi«"1) > 0 на залэхить В1Д f, a MQ - стала, яка входить до означения класу v2 (с®).

На баз! utel теореми, за рахунок зглажування функцМ I > (с™), як1, взагал! какучи, не е диференЩйовними, доводиться наступна теорема, яка е основним результатом розд!лу 2.

Теорема 2.3.2. Яюцо с1"- обмежена i випуклз область в к®, m > I, з гладко» межею, то для кожно! функцН i в (в"1) icвуе поол!-довн!сть випуклих на с™ алгебраГчних многочлеШв рмШ « ?>к(«т), К<ин1, таких, що

Ji - PH(i)|C(«m> « М IT1, б"5) + <4 (t, Г\ «") ).

де M >' 0 не залегать в!д Н, MQ 1 f, в М0 - стала, яка входить до очна-чення класу («"). >

Ключову роль для доведения met теорем« в1д1грають дв! наступиf

лемй,

Л е u a 2.3.2. Якшо ф™- обмежеяе 1 випукла отпасть в ¡р'\ а, ■_> I,

з гладкой мекэв, то для колю" фуккци г « v* 1снуе негарврвш í випукла на к® функц!я g така, ар g(x) в f (х), ю«®, I для кожного оданачного вектора е е коетого я в к® такого, щр р(х, 5°) < pt«™), i кошэго X: О < X < М«®) вшгануеться нер!вн1сть |g(x - Хэ) - 2g(x) + в(г * хе>| « И (V+ p(i, в™))2, де Ы Ев залэшть в!д х, в I X, р(гс, - евкл&ова в1дстань в1д х до с®, t при цьсиу ;.. нае нягляд -И ■ Ji (|Г'ыг(£°) + < в"? lOc(S»)>' Ц?»*

® О«®®, |0| =1

дэ м, = {i(©°) > о нэ залошть в!д Г,- а й0 - стада, яка входить до озна-чеотя класу («").

Лена 2.3.3* Яиао в®,- обмотана I внпукла область в к®, m > I, з гладков кета®, то для koshdI ®гнкц11 í ® v® (5a) 1 шпюго С: 0<б< « «(Б11) 1снуе вепврервва t вапукла на ег® фд-шаШ ^ така, що

If - ge |c(gmy < И «a,(Í, С, ©»> + tf <í. в. С®) Mq-1),

1 при цьому для Kozscro единичного взктора е,« ir®, коетого ieí*i ксжного Я: Q í )i í í(g®) шконуеться нэр1вв1сть

де Ы > О не залегать в!д х, х, в, в, Ы0 í Г, а И0 - стажа, яка входить до означенна класу (5е1).

Основа! результата дасертацН опублЬсован! в вастуших роботах:

1. Будшк В.Г. Ковнпуююе прябладаниэ на круто функций многочленами// Ряда Фурье: теория z прилоаения. - Киев: Ив-т иатеиатакн

АН УкраИШ, 1992. - С. 4 - 9.

2. Вудник В .Т.' О приближении выпуклых на'круге функций выпуклы-

т алгебраическими многочленами// Твзи мЬгаародао! конференцИ, при-свячвяо! пам'ят! акадаыЛка Ы.ПЛравчуна (Ки1в - Луцьк, 22 - 28 верес.

1992 р.). - Кий - Дуцьк, ГЭ92. - С. 25.

3. Буда1к В.Г. Про ковкпукле наблихеши нзперервних на круз! фуккц1й алгебра 1чшш многочленами// Препринт 93.45, Ки1в: 1н-т ыа-темаша АН йфаЛзн. - 1993. - 20 о.

Щда. до друку £ 0$. 94 . вормат 60«84/16. Пда1р друк. Офс.друк. Ум. друк. арк. 0,7. Ум. фарбо-в!дб. 0,7. Обл.-вид.арк. 0,45. Тирах 100 пр. Зам. Безколтовно.

Подготовлено 1 в!ддруковано в 1нститут1 математики АН УкраХш 252601 Ки!в 4, ГСП, вул. Тер9!цеш1вськ8. 3