Прямые и обратные теоремы теории приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Хатамов, Ахтам
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ташкент
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО
РГБ ОД
■ •• -..г, <пос;
На правах рукописи
ХАТАМОВ Азсгам
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
01.01.01 - математЕгзеский анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
-ТАШКЕНТ - 1994 г.
Работа выполнена на кафедрах математического анализа а функционального анализа математических факультетов Ташкентского и Самаркандского государственных университета
Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,.
член-корреспондент АН Таджикистана, профессор К.Х^БОШАТОВ,
доктор физико-математических наук, профессор М.И.ЙСРА1ШВ,
доктор физико-математических наук Р.ОЙНАРОВ.
Ведущая организация - Институт математики АН Украины.
Завдата состоится «¿8« .ЯЖ^ЯрЯ, 1995 года в ¿4 часов на заседании Специализированного^овета Д 015.17.21 в Институте математики имени В .И .Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Таикент-143, ул.Ф.Ходжаева, 29.
С'диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имени В.И.Романовского АН Республики Узбекистан.
Автореферат разослан " 1994 г.
Ученый секретарь-, специализированного совета доктор физико-математических наук
Ш.А.ХАШШВ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Аххтзязлсо» таны. Прямые и обраггкэ гзоремы, получзвянэ 2
Х311 в 1912 годах ДДзеквоаом а -¿гп ггяяе-
"полаг^гт:-;!!-для-развития кзория прпб^чэнкя духпуй, этл теоремы
"»гргпаях зт-тагеяьнув связь пе^ду елйрсзтаг с"»рг».»адшш-а нудя_________
наилучших цо«ка&иглз:1ь:х лриба;с:«з-Л « озрйо-гяок гладков-га прк-бзетаеках Функций. Тэорсш Д-Дгсксрчв и С.й .Вершхб£ай. ^оталлсс-; в обобщались з различных направлениях. Б рзэугггаге эюго Солее полно раззиха теория разноыерных доланоигагьяых праблягвзий функций одного действительного пере?43а,дэ1,о» зпадахейьно развит» теория равномерных полиномиальных чрпбкцамой $уякцкй многих дейсгз!'~ »«мп^лср?""""-"' на канонических мнозестзах ( напр., на куйга, на га^»«^: • - "«'"инпцкальНКХ
приближений функций. одного И многих лс!!':.^..»^ <«ш„
яыи Н.И.Ахиезера, М.Г.Крейна, Ж.Фавара, С.Ы.Никольского, Ы.П.Корнейчука, А.Ф.Ткмана, В.Х.Дзядыка, С.Б.Стечкана, Ю.А.Брудного, Дж. Л.Уолша, Й.Сичака,.В.П.Бахарвты, Н.А.Лебедева, П.М.Тамразова к других ыатеыатикоз. Но, существенно слабее развита эта теория даа приближения функций многих действительных переменных на множествах более общих видов з равномерной и в интегральных метриках.
. Интенсивные научные исследования по установлению теорем типа Д.Джексона и С.Н.Берзштейна в хворая рациональных приближений начались в 50-е годы по инициативе А,К.Колмогорова' и С.3.158ргвзйзЕ. Важные результаты з этом направленна получены А.АЛ'ончарок, В.П. Долженко, Е.А.Сезаотьяновш, Е.йЛкркой, А.Садуляаевку. В.И.Данченко, В.В.Пеллеро!«, А.А.Пекарсюш ц другяыа авторами. Су^эетвен-ньгл шагоы з развитии прямых теорем теории разномерных рациональ-аах приближений функций одного действительного переменного бшс появление в 1Э64- году работы Д.Ныиаас, о .рациональном прг.олинекий э метрике " пс^огат-и этого результата были получены
больное количество яряиьос тепрен. А э даязпзйчем окончсл^-ц;:: г смысле точности порядка рееуяьаахы баи установлен З./'-Оали:,--;. П.П.Петруиевш, А.П.Булановш, А.А.Пекарским и нэли. Но, их одномерные и многомерные аналоги в интегральных метриках, несмотря да актуальности долгие годы остзалпстз Оказалось, что вх
многомерные аналоги в рагвонеркой мвздргкв справедлив.-: для всякого класса функций. При попытка яовазааельсгва цраак ^еопк! ?з&~ рпи рациональных приближений функций иногах дэйсезкаерсааа-них возникают больший «рудноог'а.саязшшве с шотердоогив сада?п.
Для функций о особенностями или с не больиой гладкостью сплайны являются более естественным и более гибким аппаратом приближения чей полиномы и рациональные функции. Поэтому для некоторых классов функций также актуальны установление оценок для наилучших сплайн-приближений в различных метриках.
Развитие указанных направлений теории аппроксимации стимулируется как внутренними потребностями теории функций, так и потребностями прикладной математики и вычислительной техники. .
Таким образом, возникла необходимость в установлении прямых и обратных теорем типа Д»Джексона и С.Н.Бернштейна теории приближения функций многих действительных переменных посредством алгебраических многочленов" на ограниченных областей достаточно общего вида в различных метриках, теории рациональных приблияений функций одного и многих переменных в интегральных метриках, которые имеют преимущество по сравнению с полиномиальными приближениями, в установлении прямых теорем теории сплайн-приближений функций о? кого действительного переменного в различных метриках. В основное этим вопросам и посвящена данная работа.
Цель работы. Целью диссертационной работы является установление новых прямых и обратных теорем типа Д.Джексона и С.Н.Берн-атейна теории полиномиальных, рациональных и сплайн аппроксииаци£
функций одного и многих переменных из различных функциональных классов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются
новыми. Они состоят в следующем.
1. Установлены точные в смысле порядка малости оценки наилуч-иих совместных полиномиальных приблияений функций многих действн тельных переменных с выпуклыми производными.из класса Липшица н их производных в метриках (0<Р<°°) на ограниченной выпуклой области. . ^
2. Получены точные в смысле порядка малости оценки наилучших совместных полиномиальных приближений в метриках С (1« Р ^ сх
-функций ва так называемых п гладких пространств " и их производи на ограниченной области с ллнщицввой границей.
3. Установлены ыаогочерпш обобщения классических прямых и ос разных теорем и С.Н.Бернатейна для полиномиальных пр: близаапй фушгцнй кесге-: дгйсггазельнш: переменных из просаравск
С.Ц.Никольского и О.В.Бесова на ограниченных миозмствах достаточно общих видOB.
Получены оценки наилучшие рациональных приближений функций одного" пмногих действительны? переданных с выпуклыми производящий в метриках L (О < Р 00) на параллелепипеде. - - - -----------
5. Получены'точные неравенства гапа Бернштейна для произвол::;::: рациональных функций многих действительных,,переиояшг:.
6. Установлены обратные георемы теории рациональных приближений функций ыногкх дейсгвигедшшг переменяю: типа С.Н.Бераа2е-Ь:а для пространств С Л,i.Никольского и О.З-Беосва на ограничзнкш: '-:::<:-*псшзах достаточно обидах видов.
л иалости оценки наплутас:
прнблиаений функции вдаигм •» z^r?4»"»»«« п
выпуклых функций одного переменного класса Liü <£ ( о < " v ;
посредством полиномиальных сплайнов з метриках С zL
( о < Р «»).
Методы исследования. Доказательства оценок сверху з прямых теоремах главы I основаны на применении теоремы В.Н.Коновалова [13 о приближения'«вегочлзнзми функций нногкх переменных о сохранением
дг'^рзадаалззс-разносгаш: сзойсгв» оценок язгегразкного еодгя» неггрерьзкосаи о непгльзс'заниец г-:пуклоотк и принадлежности кл'лес.-; 2гаши» произзоягах по направлении ^ -«арного единичного зкэкто......
приблинаеци::: . устно зле ни в л^ссч^тл'с'лц на ;гс—
пользовании некотор-'ч теопег: в.ткеш'Я, касавшихся про^рэпссп сл.Нккольского, O.B.Sccosa, гладких проегракезь. ¿э игга-зке':-иоогь ьроохран';гз • ■гголшгего я Бесова ах рззких допусх^иих ::.гр.
Д«я уехггюляегда эдэнок сверху з seopeydx v 1 rsazu 2 дрелло-««н новай итерационный метод, являющийся oüvöaeaaeK на аногоиернь.;1 саэ20.~а нагэй раоогк йспозгьзушай результаты § 2 главы Ä, раз-чогеняз адшглцы л оу:гу ранлояальнух дробей одного пери-ценного, и специфику интегральных мегрши ¡¿зю/.% работе £б! г- озех очередь является модификацией с учетом овойстз интегральных натрии итерационного метода наших работ [4-, 53 . А доказательства оценок сверху з хеореиах §у 2 д 3 главы ¿"ооновшг г:?, ппатровшш арибяа-гаюцей рациональной функции на вое« отрезка при пскоцц passoKeKi-J: единицы в сумму разаональЕцг дробей и- рацдовнльннх фзпзкцкй локал,-soro прибднкенпя.
При построении функцгй, реализующих оценки стщ, и доказательстве этих оценок в главах I и Е осуществляется переход он мнонеств общего вида к кубал 51а » оз многомерного приближения к одномерному приблизениа, и далее, ислользуится идея Е.П.Довженко ( 1967 г. ), заключающаяся в той, но если график прибликаемой функции достаточно быстро кояеблнтся на отрезке приблинешш, то график любого полинома или рациональной функции заданного порядка не успевав® за ним последовать и отстанет от него на заметное расстояние на. значительной част этого отрезка, и известные оценки сш!зу для наилучших полиномиальных приблкзений функций вида
X 1X1 в метриках из монографии А .Ф Лимана ( 1960 г.).
При доказательстве обратных теорем глав I и 2 применен метод С.&.Бернштейна, основанный на использовании оценки производных полиномов многих переменных С.М.Никольского ( 1966 г.), оценок рациональных функций многих переменных по полунорме пространств С.Л.Соболева и 0.Вбесова,установленных в диссертации, и оценки производных рациональных функций многих переменных Е.П.Долгенко и В.И.Данченко ( 1977 г. ).
При установлении оценок сверху теорем главы 3 применяется итерационный метод, аналогичный методу нашей работы [8] . А для получения оценок снизу главы 3 предложен новый способ доказатель-, ства, использующий оценку снизу квазинорыЦ-Ж00)
полиномов со старшим коэффициентом равным I, наименее уклоняющихся от нуля по этой квазинорме, доказанной за диссертации~(прй Р«« такую оценку можно извлечь из известного вырааения для нормы в
¿. [-¿>4] полиномов ЕДЛебыиева второго рода ).
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер.- Её результаты могут быть применены з исследованиях по теории функций, проводимых в Московском, Киевском, Ташкентском, Белорусском, Саратовском, Гродненском, Дагестанском, Азербайджанской, Самаркандском университетах, Математическом институте РАН, Институте математики АН РУа., Институте математики УАН. Результаты работы дают вогнокносжь существенно сократить процесс вычисления функций, а в случае аналоговых маиин упростить конструкцию ряда функциональных прео ¡разоважелей.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения
докладывались на первой республиканской конференции молодых ученых и специалистов Узбекистана ( г. Самарканд, 1978 г. ), на Мезг-.дувароднрй конференции по аеории приближения §ушщий ( г» Хкее, 1983 г. ), на Воесовзннх-школах по.аворза_фувкций я праблкаэняй ("г. Саранов, 1238, 1992 гг. ), на Международной созезГско-ягаль— лаской симпозиуме по ивклассичойши л некорректно посгазлопиаг задачам математической физики и анализа ( г. Самарканд, 1990 г. ), на семинаре, руководимо« проф. Е.ПоДодзенао, проф. Е.А.Свзастьязо-зым и доц. Н.С.Вячеславовны ( МГУ, 1977 - 1992 гг. ), аа семинаре-, руководимой чл.-корр. АН Республики Узбекистан, проф. А.С.Садуг-лаевш и проф. Г.Х.Худайбергановыа ( ТаыГУ, УрГУ, 1990 - 1993 г:,,, «а со»:.:::""?) руковод«^;; лрс*, га-Я-Яп5Г7ХЗЛ!вдовым ( С&мГУ, 1983 -1993 гг. ), па семинара, «¿.-«а*;;. Л" """»«»«^ У;;:
.чистая, проф. Ш.А.Ашовым ( ИМАН Республики Узбекистан, г-. .
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введение,
трех глав, дополнения и списка литературы. Яандая глава разбита на параграфы. В дополнении приведены основные обозначения, определения и некоторые утверждения, используемые в диссертации. В списке литературы 122 -наименований. Общий объём диссертации 222
страниц наиинописного текста.
С0ДБР£АКК ?ЛБ01а
Во введении содергпсся крат::аг :'сюрлп "опроса, постанов:::' дач п формулировки результатов Л/Созртги::::,;
3 первой глазе получены то7-п:>;.« з сикзлз порядка .малое.-:: оц*:.;:п наилучших совместных полино":;альнкх пипблта'гкнй фулкшз:'. многих • Дбйагзкгзлъных лврекгниых с вшрлзкв произяолакл из класса типа, функций многих действительных аароисц^л: хз так ндзызастз: " глад:;;::: пространств :: п:: г.ро«я?»плных в метриках (0<Р<£
« оо ), Кро«е этого, заз усраа^з-лчн наоггл-олии» сбоб:-,ан;1Я классических прямых и обратных теорем Д.Дзаксова и д;п наилучших поликониалвпых приближений функций многих действительных л:; :;..:знтп~ кз пространств О.М.Никольского а О.ВЛЗосоза.
сг - открытое кногсезгво г- (Я ( 'I > £). " кза-
зинор1:.':;:оз1!.ккоа проетранотге ясах яямвриаых двлс^аг&аайгначк.'с:
ЙГзапкЧ # ; одаарувгшх г Р - оЯ еггпек: с -г аэкгариой
° d/p ЩИ «f J | {(*/<£*) (o<P< oo),
p.e 4 e y
I|||| ^supvtai{ ¡|СЗС)|:Ж€^} . " T "oo,© (-Q
При 0<Р^аэи через t2)p (&) обозначим изотропное
пространство Соболева функций £ , имеющих на G обобщенные в
смысле Соболева частные несмеаанные производные (D<~(€)4S4)
порядка -С по направлении каждого п. -мерного единичного вектора е и обладающие конечной квазиполунормой
При -к е Ж & сее)-^ обозначает к -а разность от функции J с шагом £ & о по направлении П.-мерного единичного вектора е . При О определим изотропные модули гладкости fc -го порядна
где - множество всех точек таких, что одномерные
замкнутые отрезки [f1-, + -f:£eü полностью легат в G ,
Пусть 0< с( <°°, и целые числа и V удовлетворяет неравенствам 0«V<ü<-fc+V . При 0< Р<?'СО, 0< через ß 01
сбозначдм пространство Бссова ( при <1 * СО пространство Николь-
С»
ского
р) функций pCG") » Д^ которых имеет смысл и конечна квазиполунорма
СУ)
■III с, :,sup{i* СО^Щ *i>o] т р.са ' •
' Дла и MG Л!/ через и $ , обозначим классы
т tl.ti Н,п
всех алгебраических ыю^счлонов и рациональных функций степени
( порядка ) не Выао N пс совокупности - tl переменных соответ-
сменно. Пуста . СО ~ ынояэсгзо зсех национальных йулквдй
/—\ " л
"2 € л i не екэзощих особенностей на кяогосжзз Я С $
- (5) л-п-----------------------------------р
. Н Р ' Р ' ' ? йп
но юзазшолунорме просграпсзза ^ , •.:.
пусь Л^^Щ-г^гв ^Дсе)}, л с^о-
г-« »ч лпи1^ ^«мг'^ряп Я* (&) . при к =
1 * Мы
•» и
" «с *
33
О через ЛОО обозначил многое; которых Ш «К . Положим
В § I первой главы работы доказаны точные з смысле порядка
нплостг оценки лля £ ■ , где (3 ~ ограниченная область
©Г1 • ^ ?
б (Гс>2) с лшшицовой гриницой. Оцогда сверху дан
£ (А(Ю, (?) легко получатся из георегш В.К.Конозелоча [13 «
Поэтому они фактически лрлзадлегат В.Н*Коновалову, За?:;: -ко усчсг нов лены оценка снизу для эгой золггсшщ я кок следсялэ полу^ож
(3)
оценка сила слабой эквивалентное®» для Результата § I
•глявы I пспользуатся при' доказательствах гзерем остальных трох параграфов этой глазы.
Приведем один аа теорем § I первой глеты»
I е.о р е м а 3.1 Л. Пустх & - ограниченная облассь з й (П-^2) с лшшицавой границай10<<^<0:>, Р^ оо, 5=0,1,— (с() .
Тогда при (V —>• оо лмзеы "
С5) а£ 5- сС
Е УН п 00, .
Пусть (3- - ограниченная зшукдая область з 51 (/!*»£). При М = 1 в- - конечный янгарзал или сагмаот Д . Подогам.
да 10
М ({.&):= sap{ llD%PJ :есЯл, lie II при UN
CC&)
C-0
и M (=£,£):= Jj^ || . Через CotlV (S) обозначим мнокество всех
СС6) а
функций | , для которых при каждом И -мерном единичном векторе
е D -f непрерывна ка б" и на непустом пересечении кандой
прямой ¿СйПс областью 6г выпукла ( зверх или вниз ),.и '
Ма\(,&)<со. Пусть М ~cons{>o. Полоним Соли -
ГУ) Г/) 1 я
М При K = consi>o и
СО d
CotlV^ Н обозначает множество всех функций ^ , имеющих
для какдого единичного вектора в € R производную D К Н ^(б), которая выпукла ( вверх или вниз ) на непустом пересечении каждой прямой ¿ей с областью & . Положим при S =0,1,*••, -C+-L
■ Всвду в дальнейшем C,Cit— иСС0^,^.—) , С^-р jBi,•••)»•"
обозначают положительные абсолютные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от указанных параметров соответ-
ственно.
Из теоремы Джексона ( I9II г. ) при любом /Ve/У имеем оценку
Е/Сап^Н CKIAU^ , (i)
сдесь и всюду нижа IАI- длина А . .
Из результата работы К.Г.Иванова ( 1979 г. ) вытекает оценка
' E^CCbn^HW^^C^IAI^"2. (2j
Ы.П.Стояновой ( 1985 г. ) доказано, что для любых /Ve/t/ , d<P<co вшоднено"неравенство
в частности, отсюда име эм оценку * ui.ru 00
» ^
Точность оценок (I), (2), (3) в сшзде порядка малости следует из соотношения ' р ¡ i
e/«*ixi,[-u:i) х if , (4j
справедливого при íe Р со , /V—оо и доказанного
в монографии А.Ф.Тиыана (I960 г.)« Оценки (I) - (3) имеют технически слонные и разные доказательства. Они не пригодны для установления многомерных аналогов этих оценок.-. Для этой цели в работе применяется другой способ доказательства, основанный на использовании теоремы В.Н.Коновалова £1] и доказанной в диссертации оценки интегрального модуля гладкойти производных приближаемой функции г. учетом их выпуклости и принадлежности классу Липшица. Этот спссол яоказатвдьсЕза оказаявя удачным, Г; zc™wrr ттри-
вел к более сильным результатам, чем многомерные аналог:: оцсисг: (I) ~ (3) ( см* шт теорему 4.2.1 ), во-вторых позволил получить оценку нормы приблиганцих полиномов в СОЙ) » независящую от их степени, без которой невозможно было бы установить часть оснозных результатов главы 2 - теоремы I.I.2 и 2.1.2.
Одным из основных результатов главы Г является следующая теорема.
Теорема 4.2.1. Пусть G - ограниченная выпуклая область
в| ¿eZ^ ,&е ñl , К = consigo, тогда при з = oJr.M
и д/—со имеем :
CS)X (J>) i \ -{-d+s (&*)
£„(Ca«vnH (&, Ю)р X f sap Щх
X N р * при СО J
E^(Con/V(G,K))cof%0x
л - при 0-cP-ci .
Если & = 7 - куб в й'1 (П^г ), то оценка £^С&л^ь
= ОCv /V—>-с») следует аз теоремы Д.Ньшана и Г.С.Шапиро (19б4г»)<
Б § 3 главы I в качества объектов аппроксимации рассматриваются
оС
так называомыэ " гладкие пространства " ^р и (Ю , опре-^ деленные .при; о < ^ < 1 0< для открытых множеств £ с й
( п ^ А ) при помочи специальных максимальных функций. Эти прос-. транства введены и.изучены в работе С2Л РД.Девором и Р.К.Шарпли.
В 1986 году Р.А.Дввором и 1-Ы.Юу установлено, что если л ,Р>0,
ю для каждой функции ^еС *(CO.ilП) при /V—*- оо имеет место'оценка
В доказательства этого результата используется свойства специальных максимальных функций, разложение в сушу рациональных дробей относительно разбиения куба £0,1]. на частичные кубы и полиномы локального приближения. Оно технически словно и на наш взгляд но достаточно полно использует свойства функции пространства
С*ао43п).
Приводимые нияе теоремы 1.3.1 и 2.3.1 существенно обобщают и улучшают этот результат при
в частности, при Р = Р' дают точные в смысле порядка малости оценка для
00,0р , где А = Ср(В) ям А = СД&) .
Т е о рема 1.3.1. Пусть & - ограниченная область в 1Я (П& 2 ) с лшшицезой границей, 0< а.<со Я« со ? $ _ ¿ее) Тогда при /V—»-со имеем
Теорема 2.3.1. Пусть б- г ограниченная область в Й (П.^ 2 ) с лшшицевой границе^, о <<*<со, Р-? Р1« оо »«¿-ЛШ/РМ^/Р'^О, 5 =0,1,-".(зе). Тогда при справедлива
оценка * } ^ с ^^ к „ 5-«
И Р р
Эти теоремы устанавливаются при помощи теоремы 3.1.1, некоторых .теорэы вяоаашш работы С23 и лешы 4 § I главы I диссертации.
Пусть 0<с«оо , о<Р5«>,О<9-"««>, и 0- открытое ыноаес-тво в (Н. ( Пространства
сС ' 2С '
<са} (о«*<«0,
" . Р
Е * (<?>{!ег.р(£): 5ир{**Е м *еЛ1}<со}
являются алпроксимационными пространствами, определенными найдуч-шши полиномиальными приближениями, а величинами <* //л:= ]|={?|| +
,0, « **
£ ' ГДа ^ Е *(©:= ПРИО<,<00,
будет квазинормой простран-
Р, ОО . " . ^
ета = ГЗЗ
- ~ " 1 ' _ ..
и теории прии^иглсз ^узяпкй ваяно* значение а«ев2 тогг
ние конструктивной характеристики класса функций в терминах скорости убывания наилучших приблигений. Прямая теорема Д.Джексона ( 1911 г.) и обратная теорема С.Н.Бернштейна ( 1912 г.), уточнен-нан"Ш.1.Валле-Пуссеном (1919 г.), дают следующую конструктивную
характеристику класса п , 0<<*<4) : для того, чтобы
^ с 1л/ п необходимо и достаточно выполнение неравенства
где Е^ Ф - наилучшее приближение фуякции /б
^ и
тригонометрическими полиномами степени не выше /V . С.Н„Бернпгаейнои (1912г.) и Ш.К.Валле-Пуссеном ( 1919 г.) получена аналогичная конструктивная характеристика класса \д/ Н в терминах , удоллехзоряющих условию (5), но заключение обратной теоремы зерна не для всего отрезка » а только на каждом отрезке С (-4,4) , причем С.Н»Бернштейном показано, что па геем отрезке ¡1-1,АЗ заключение обратной теоремы неверно. Причина этого явления заключается в том, что при установлении обратных теорем возникает необходимость в использовании оценки производных алгебраических полиномов, которые в отличии от тригонометрических полиномов, при приблизении точки X к концам отрезка стремятся к бесконечности. Это обстоятельство вынуадазт к строгому отступлению знухри отрезка для доказатадъезза принадлежности I классу
"С
где
. Таная аз ситуация шаат иес-го
для. функций многих действительных неременных из пространств С .М.Никольского и О.В.Бесова, что следует из результатов монографии С.М.Никольского ( 1969, 1977 гг.)-Об описании этих пространств з терминах наилучших приближений, тригонометрическими полиномами и целыми функциями экспоненциального сферического типа, а также из следующих теорем§Л.главы I настоящей работы.
Теорема 1.4.Г. Если 6 - ограниченная область с лшши-
цевой границей в й. (/1^2), то при 0< ос^со, I а Р<?оа) О < имеем непрерывное вложение
Теорема 2.4.1. Если От - ограниченная область в п ( с кусочно-гладкой границей, Ю - любое открытое множес-
тво, компактно вложенное в & ,0<<*<СО,А< то
справедливо непрерывное вложение
Е
• РЛ
В работе доказано предложение 1.4.1, показывающее невозможность •замены множества <2) на & в теореме 2.4.1.
Теоремы 1.4.1 и 2.4.1 дают многомерные аналоги классических прямых и обратных тегрем Д.Джексона и С.Н.БернштеЙна и их обобщения для наилучших полиномиальных' приближений функций многих переменных из пространств С.М.Никольского и О.В.Бесова.
Отметил, что С.Ы.Никольским доказано ( 1970,г.) возможность . охарактеризации пространства Н^С0)(О< л < 00), где & - ограниченная область с гладкой границей в К (М&2), в терминах наилучших приближений алгебраическими,многочленами на кубе Т , содержащем & , функций £е Н*а&) > допускающих продолжение до
функций н* СП.
■ При доказательства теоремы 1.4.1 использованы теорема В.Н.Коновалова I и эквивалентность нормы пространства Вр^СФпри раз-еых допустимых пар (£, V). А доказательство теоремы'2.4.1 основано на применении метода С.Н.Бернштейна.с использовадием оценки >производных алгебраических полиномов С.М.Никольского ( 1966'г.).
Во второй глава диссертации получены оценки наилучших приближений функций одного и и ног « действительных переменных с выпуклыми проязводнымн в равномергоЛ и в интегральных метриках. Установлены точные неравенства типа Ьернатейна для производных рациональных
- функций многих действительных переменных и с их помощью, а также при помощи другого аналогичного неравенства, доказаны обратные те-' оремы типа Бернштейна для наилучших рациональных приближений функций многих действительных переменных, из-пространств С.М.Николь-______
ского и О.В.Бесова.
Посла появления в 1964 году работы Д.Ньюмана о приближении функции 1X1 рациональными функциями в метрике СЕ-£,13 началось интенсивное развитие прямых теорем теории равномерных рациональных приближений функций одного действительного переменного. Особенно это относится к теории равномерных рациональных приблиаений непрерывных выпуклых функций и функций с выпуклой производной. Оказа-----^ '«.? итгдппап ПЯПИПИЯЛЬНШИ лпобями .
ллупя?, чем полиномами гутвпвки. 7й.
что выигрип в скорости рациональных приблигений по сравнению с полиномиальными приблинениями имеет место не для всякого класса функций, показано Е.П.Дол2енко ( 1967 г.).
Далее, возникла необходимость »"установлении аналогичных оценок для наилучших рациональных приближений функций из указанных классов в интегральных метриках. П8рвый результат в этом направлении получен, далее усилен и доведен до неулучшаемой в смысле порядка малости оценки нами [8].
3 связи со сказанным, естественно возникают задачи о получении многомерных аналогов указанных результатов. Большинство хорошо разработанные методы доказательств этих результатов не применимы з случае приближения функций многих переменных из за сложностей, возникающих в связи с многомерностью задачи. Более того, С.З.Нон-глным доказано ( 1984 г.), что -выпуклые функция многих переменных рациональными функциями в разномерной метрике приближаются сколь угодно плохо, тогда как П.П.Петруиевыц и В.А.Поповш установлено-( 1377 г.), что в одномерном случаи скорость наилучших приближений таких функций в равномерной метрике рациональными дробями порядка на выиа /V есть о(л" 'X Поэтому эти задачи сложны и еще мало изучены.
В з I главы 2 предложен новый итерационный метод, являющийся обобщением па многомерный случай метода наыей работы [8] и исполь-зуэдзй результаты § 2 главы I,.разделение единицы в сумму рацио-.нальных дробей одного переменного, а специфику интегральных цат-рак. :,1атод работы [8] в свою очередь является цодийшкацзей с
том специфики интегральных метрик итерационного метода наших работ С4, 5Л. Полученные при помощи этого метода теоремы 1.1.2 -■ 3.1.2, а такяе теорема 4.1.2 об оценке снизу является основными результатами главы 2.
Теорема 1.1.2. Пусть (3 - а-мерный (/Х&2 ) конечный параллелепипед, -Се Ж , 0< Р*?1. Тогда при /У—оо имеем
1/^}с<з,м))рх м-*-'.
Теорема 2.1.2. Если £3 - П^ерный (М^ 2 ) конечный
параллелепипед, £ е 1« Р < со , ^ е то при всех на-
туральных N & справедливо неравенство
л С СМ, р, А) М 0) Л/"^ ~ я .
Теорема 3.1.2. Пусть Д - конечный отрезок,-¿е 2 , 0<Р^оо ( при-£=0,.р* оо). Тогда при са имеем +
Я/Сап^(ЛгМ))рХ .
Оценка снизу в этом соотношении имеет место и при £ - О , Р = 00 Теорема 4.1.2. Для любого открытого ограниченного множества & с 1), любнх-^еХ и существует функция со свойствами *
(1) для любого единичного вектора е в Щ функция У (6)$ выпукла
либо вверх, либо вниз на 6г , удовлетворяет условию Липшица и по модулю не превосходит I на & ; .
(2) для всех 0<Р«« и верна оценка С(пЛ,.
Оценка сверху в зеореме 3.1.2 при -6 =0 подучена ранее наци [19], а при .- П.П.ПетрушевыЦ '(' 1976 г.): Но, ценность теоремы 3:1.2 в том, что в ней получека оценка'снизу при любых Р ,0< при
р= оо эта оценка снизу ранее получена Г.Фройдом ( 1968 - 1970 гг.) - чего до сих пор не било известно ( кроме Р =аэ) - и, как следствие, получена оценка типа слабой эквивалентности для
К(&м$ХА, И)) при 0<Р«Ш ( при -£«0, Рфсо ).
Сравнение неравдаяв (3), (4) и теоремы 4.2.1 с теоремами 1.1.2- 3.1.2 показывает, что рациональные функции существенно лучше
приближают?функции класса Сош± (Д,М) чем полиномы той ке степени и в метрике /-~СА) ара 4 < Р «ю , а функция класса Сопу^О3,М)
при /г > 2 рациональными функциями приближаются о такой жэ ско-
• 0 ...
ростью, что а функции существенно узкого класса Canv Н (2,К)
а)'
( чем класс CotlVn 03.МЬ полиномами той же степени в метрика-------
L (Q.) при О < Р < 00 .
В § 2 главы 2 диссертации показано, что для каждой выпуклой
функции оценку сверху теоремы 3.1.2 при € =0 можно заменить на
о О"2).
3 § 3 главы 2 диссертации получены оценки наилучших равномерных рациональных приближений, учитывающие • модуль непрерывности
П рйиЛйлФбшд».*. •>■»■>■«•■■ ч^ППЦХЙ«
. Еели £ € О < А), то Q([l jnpiI со. (б)
При oL-L этот результат по лучен. ВД.Поповын ( 1976 г.) и при 0<ct<i - ЕЛЛетрушевым ( 1976 г.). В связи с этим результатом возникает вопрос о возможности ухудшения модуля непрерывности функции о сохранением оценки тида (6). А.П^Булановш ( 1978 г.) доказаны оценки, из которых следует, что дая/^Соп/^Д)ЛH¿@)o
Ztn-WOl при ^ = 1 шввт "остр неравенство типа (6) и при сохранение сценки типа (6) незозможши Естественно,
что в подобных задачах важно установить точные в смысле порядка малости оценки. А.П.Буланозу и нам C6J удалось в упомянутой оценке езерху А.ШЗуланова множитель Ьг N заменить на -ín Н , откуда при следует точная в смысле порядка малости оценка наилуч-
ших разномерных рациональных приближений. Этот^результат и составляет содержание теоремы 1.3.2.
Как и в случае полиномиальных приближений, доказательства об-ратптт? теорем георим рациональных приближений пенпзаны на применении неравенств типа Бернитейна для производних рациональных функций. Впервые оценкл такого типа длящей СУ) где 3 = ,
/Vil
получил и применил к установлении обратных теорем А.А.Гончар ( 1955 г.) : при любом Д>0 и Nss-2.
Этот результат был усилен Е.Д.Долженко ( 1962 - 1963 гг.) :
П'И^^^МИсоЛ - (8)
Развивая идею Е.ВДоляенко, Е.А.Севастьянов ( 1973 г.) получил •оценку, обобщающую и усиливающую неравенство (7), 'из которой при
любоы5,//е^,0<Р«<» , и 26$ (У)
следует оценка ' ' ЫЛ
Усиление неравенства (9) и обобщение оценки (8) получен Д.А.Пе-карским ( 1986 г.) : если А/€ /V , 2 е$ О) , ±< Р «> ,5е/1У ,
, -I л» 4
.» . ■
Ему принадлежит и следующая оценка ( 1987 г.) : если /\/£ Д/ ,
■4 -1
(П)
В следующих теоремах § 4 главы 2 оценки (10) и (II) распространяются на рациональные функции многих дейй£витед£йых переменных
Теорема 1.4.2. Если & - ограниченная выпуклая область
П, ....
гЕ (л»2 ,4</>«сх>, и Л€ $
ео имеет место неравенство • *'•.. дгл
Iл/5 //я Нр&. (п)
Теорема 2.4'.'2. 'Если (5- - ограниченная выпуклая область ю справедливо.неравенство '
Iй11 В?.,®* ¡1 м . (13)
Отметим, что теоремы 1.4.2 и 2.4.2 имеют место и в случае замены б- на &0- ограниченное открытое множество в ¡Я (П. ^ 2), каждое пересечение прямого!. в Н с которым состоит из не более те Л) (Я1- фиксировано ) связных компонент, при этом в аеоре-
ме 1.4.2 следует заменить на С('*&)т I
В работе показано, что оценки (12) ( при 4< ) и
(13) ( при {< Р оо, О 1) не имеют место при б> (5 + ^и соответственно.
ру O-WJ-MU!«™. - _ а
Для любого измеримого ограниченного множества Ь е Ш (flSt¿ ),
О < ? -si , О < (5 < (S + неравенство (12) получено Е.П.Долж8нко и В .и .Данченко ( 1977 г.).
При доказательстве неравенств (12) и (13) существенно ислолъ-з—гея неравенства (10) и (II) соответственно.
Опенки (12) я (13) применяются для установления некоторых обратных теорем теорий рациональных аппроксимаций з § 5 глазы 2.
^ у ñ CÍ
« ¿sTI л я - • ^iirîpcïîm^rsuû -нСйзьййвхаа. опвп-
точно тахта как л (&_) , но, липь с той разницей, что
в определении_последнего £ заменяется соответственно на и R - наилучшее приближение £ рациональными
N г /у
функциями комплексного переменного порядка не выше -V с полюсами вне 8 ={2: |Z/<¿}b метрике НМ(В). Пусть H 01 (В) и В * (В) ~
« Р . РЛ
пространство Харди-Соболеза и Харди-Бесова соответственно.
Д. А .Гончаром (1961г.) было доказано, что, если Ее Л созер-сеяное множество положительной меры,-&е2Г , 0«ol< 4 , 5> О и
£б Я " СЕ)» 10 Для любого ¿>.>0 найдется созеошенное мноаес-
т СО,«Э ^ i » ¿
sbqEÇjC£ ,mes(E\Es)<t¡, ¡гакое, что ^elV'^H
З.п.Долненко ( 1966 г".) установлено непрерывное вложение
НдСВ) - : (14)
Позднее В.В,Пеллер( 1980 г.) показал, что
■ R1 СВ) С В *.СВ). {i5>
Так как В± ±(В) 5 Н4 (В) » 110 вложение (15) сильнее чем (14). Ваяный результат в этом направлении получен А.А.Пекарским
( 1984- - 1985 гг.) : если cC>0 ,P€(i,ca) , (5=^+1^ , то
Аналог равенства (16) для отрезка (j =Г—{,17 получен ЯЛ.Пегруаевш ( 1987 г.) : ñ ^ ГСП ~ R ^ Г СП « (17)
Отметим,- что В.В.Пеллар ( 1987 г.) используя результаты ЕЛ.Дыя-кина ( 1981 - 1984 гг.) доказал, что равенства (16) и (17) равносильны; ' -
Приведем еще следующие соотнопения :
KiMW=Z*M<i/ci(B) (COI); (I8)-
ütj^B^). (20)
Влонения,п^э " в (18) и (19) доказаны А.А.Пекарским ( 1985 -1987.гг.). Вложения "q: (18) и (19) одновременно и независимо, получены А.А.Пекарскиа^( 1984"Т.), В'гВ.Пеллером ( 1983 - 1987 гг.) и С.Семмесом ( 1984 г.). А вложение (20) принадлежит ЛЗ.В.Пеллеру ■( 1980 - 1982 гг.). .
Приведем основные результаты § 5 главы 2.
Теорема 1.5.2. Если Q - ограниченная выпуклая область
в (П>2),0«Х<°э ,i<P<$ со , <5 = С<Х+^-1, то при i .
. Л,'сад
а при 6 •>:! для любого £ * 0<£< Л- , и -4< Р<ао имеем
Р
ft01 CG) ç: В л (Gr) с??■>
Р/СISP),<5 ' №
Теорема 1.5.2 верна для .более общего•открытого множества Q- , указанного после формулировки теоремы 2.4.2.
Теорема 2.5.2. Пусть Q- — ограниченное открытое мнояес-тво в Ша (ri>i),0<ot'<00 ,i^.P;Soo,0<i},=sco. Тогда для любых 5>о , 5±>о существует такое замкнутое множество F е
= F(S,£i,<*,f')c& tlrLesJr<C(alrSi,^E, что выполнено вложение |
сгз)
Предложение 3.5.2 диссертации показывает, что в теореме 2*5.2 отбрасывание из ' & множества F сколь угодно малой п-мерной моры Лебега является существенным.
Интересно сопоставить аложения (21), (22) и (23) с вложениями
-dL
R*e(G),0< *<<»,£< bul)
ТВ ^ W ^ Я'^ т ТО < cC < , где G- - cr-
n
раничвнкая область з 21 } о лнпшицезой границей, которые
немедленно следуют из теоремы 1.4.1.
Вло-сенло (21) является многомерны,! аналогам злокения " " з (IS) и (17), a злоЕвнме (22) весьма близко ,к многомерному аналог:; злогвшат " qi" 3 (К) и (17). Вложение (2.1) содержит соотнесение
1. КОТОППО ЯВЛЯйТСЯ
тщг'пмдптзии
считать обобщением результата А.А.Гончара, приведенного перед зло-зением (14).
Доказааельства теорем 1.5.2 и 2.5.2 основаны на применении оценок для производных рациональных функций теоремы 2.4.2 я работы Е.П.Долзенно и В.З.Данченко ( Í977 г.).
3 третьей главе диссертации установлены' точные в смысле порядка малостя свопкя сп«а»г-ЕППрйкеиааииЕ функций с выпукло:; иролззодкой и выпуклых функций класса Lipa (с< т < í 2 р?зло«орной а з интегральных метриках.
"•¡орлЕ сплайн-аппроксикании является закнш и яв1"шеазэт оаз-а-~ г с л распели* теории прибяягвняя флкццй. Салсйпа успояко ::с-зуотсл пол peasiiiBi как георетачесгскх, гак к практических задач.
Среди сялг-Лнов згзнейзка явдявтея полиномиальные сплайки, с::ле~ ¿xrcc ;;ускоз йхогочлекоз. Труды аиериканскозо аагсгатхка ;Ы5нб-.»рга, П0СЗЯГЗНЙК9 йгкроаоайгдаа пра аоамда- гакйх оилайаоа и активная их пропаганда'им, играли заяную роль в развития тпптга :>-гл:-: ':::.VÍÍ"lhob.
'(^JJ.'l) " МКОЗсСТЗО Всех СПЛЗЛЯОЭ 022ЯенК 1Г.
малъного дефекта с произвольными N+1 узлами на отрезке Д Пплозиа
j, 1/г, у^-'П ¡ir-* !f .j : ¿ ¡j- ,;рл Q< ,
•lien
a)
Г-5ройд u B.A.ücno3 ( 1970 í.) доказала, чго, вади
функция i&Conv " H~(A,K) 5 го имеет моею оценка
Основными результатами третьей главы является следующие теоремы.
Теорема 1.4.3. Если' Д - конечный отрезок,"Ж. , М = соп$Ь> о , 0< р«?оэ ( при = О , Р Ф со ), то при Л/—?со имеем . Ш л --¿-г
Щ4* СОПУ1 Сам)} X и . '
Оценка снизу в этом соотношении имеет место и при = О , Р = со.
Теорема 2.4.3. Пусть Д - конечный отрезок, К =СОП$Ь>о, 0<сС<1,0<Р «'аз. Тогда при А/-»- 03 имеем
ыр^а^^е Соли/% "(а, К)} х /V-2.
Оценки сверху теоремы 1.4.3 при /У и теоремы 2.4.3,существенно обобщают результат Г.Фройда и.В.А.Иопова ( см. (24) ).
Сравнения неравенств _(I), (3), (4) с одной стороны, оценки теоремы 3.1.2 и оценки ^6) с другой стороны, с оценками теорем 1.4.3 и 2.4.3 показывают, что полиномиальные сплайны степени '
фиксировано ) с N+1 свободными узлами минимального дефекта дают существенный выигрии в скорости приближения для рассматриваемых в главе 3 классов функций при 1 < Р 00 по сравнению с полиномами степени N , и дают те га скорости приближения, что а рациональные функции порядка /У . Если участь то, что эта сплайны более простые чем полиномы степени N или рациональные функции порядка N , ю из сказанного вытекает,- что сплайны подтверждают своего назначения как лучшего аппарата лриблияэния чем полиномы или рациональные функции для рассматриваемых з главе 3 классов приближаемых функций. ' •
Результаты диссертации опубликованы в работах автора, список
которых приводится ниае. р работе Г 61 автору лринадлеаат леммы 2 а 3»
В заключение хочу выразить глубокую благодарность профессору ИГ7 Евгения Прокофьззячу Доигенко и чл.-корр. АН Республики Узбекистан, профессору Азимбаю Садуллаевичу Садуллаэву за консультации по теме днссзртацил, за постоянную помощь и поддержку.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов В*Н. Приближение кногочлсЕгип функций многих пере__мс1шых с сохранением дпфф5ро1Щиалько-разноеткых свойств // Укр.
маг, пуон. - 1984. - I. 36. - :Й 2. - G. 154 - 159.
2. ое'/оге R.A. and ЗкслрЩ-Я.С. Maximal - ¿uncíLories measuring smoothness // Men. JLmet. Jicüi.Soc.~ 1364» - . 47 V- 47. - й 233. - P. I - 115.
3. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяпионшо пространства, Введение. - Мл Наука, IS80.
Работы автора по томе диссертации
it VomfliirtT Й М л«ггя»аттл1»* *------ — i^tjixi-u" «uü™
наводной // Мат ей. сб. - 1975. - Т. 98(140). - 1Й 2. - С. 268 -279.
5. Хатамов А. О рациональней приближения выпуклых функций класса Lipa // Матен. заметки.'- 1975. - Т. 18. - Иг б С. 845 - 854.
6. Qu-tanov Л. Р. and Haiamov A'.Oti taíianai ap.pzoxLma.iLon af convex. Junctions with, a aiven moda-Cus ok continuity //Anal. Math- 1978. - V. 4. - E 4. - P. 237 - 246,
7. Хатаиов А. О сплайн-аппроксимации функций с выпуклой производной // Цатем. заметки. - 1982. - Т. 31. - й 6. - С. 877 - 887.
8. Haíamov- Л. 0-п appzoximailon. о? Convex functions -Sy. Zaiimai ones ¿n1 Lhtegzai metzLes I¡Anal. Math, - 1984. -У. 10. -tel.- P. 15 - 21.
9. Хатаков A. О приближении функций с выпуклой производной посредством рациональных функций и сплайнов //• В сб.: Тр. líes», конф. по теор. прибл. функ. - Киев, 1983. - М.: Наука, 1987. -С. 78 - 79. •
10. Хатагоз А. О рациональном приближении выпуклых функций многих переменных в интегральных метриках // ДАН УзССР. - 1986. -
te II. - С. 10 - 12.
11. Хатаиов А. Приближение выпуклых функций многих переменных посредством рациональных функций и сплайнов // В об.: Тр. 4-й Саратовской зимно шк. - Саратов, 1988. - Саратов.: Изд-во СГУ, 1990. - Ч. 3. - С. Юб - ICS. "
■12. Хатаиов А. О сплайн-яриблкгении функций // ДАЛ УзССР. - 1989. -Й 7. - С. II - 13.
13. Хатамов А. О еплайн-пряблиаенши функций"// рукопись дел. г УаНШНТй, Кг 1016.- Уз.89. - 24 С. ( Ш Лат., 1989, 9Б144 ).
14. Хатамов А. Эффект о в'оценкё наилучших рациональных'Приближений выпуклых функций в интегральных метриках // Рукопись дел в УзНИИНТИ, Ё 1017. - Уз. 89. - 8 С. ( РК Мат., 1989, 9Б140 ).
15. Хатамов А. Полиномиальные приближения функций многих переменны: классов Соболева // ДАН УзССР. - 1991. -17,- С. 15-18.
16. Хатамов А. О рациональных приближениях выпуклых функций многих переменных в интегральных метриках // Дан УзССР. - 1991." - Е 8
_ - С. 14 - 15.
17. Хатамов А. Прямые и обратные теоремы теории полиномиальных аппроксимаций функций многих переменных // ДАН РУа. - 1992. -
!й 2. - С. II - 13..
18. Хатамоз А. Обратные теоремы теории рациональных аппроксимаций функций многих переменных // ДАН РУз. - 1992. - й 4-5. - С. 18 - 21.
19. Хатамов А. Полиномиальные приближения функций многих переменил " классов Соболева.// Узб. натек, аурн. - 1993. - е I. -
С. 97 - 109.
20. Хатамов А. Прямые и обратные теоремы теории иодиноыяаль.ных аппроксимаций функций многих переменных // Узб. матам, зурн. -1993. - № 4. - С. 66 - 77.
21. Хатамов А. Некоторые обратные теореаы теории рациональных аппроксимаций функций многих переменных // Ыатзы. заметка. - 195
- Т. 54. - Е 8. - С. 132 - 144.
22. Хатамов А. Мяогоызркое неравенство типа Бернптейна для проиэ-
■ водных рациональных функций и обратная теорема теории рациона? ных аппроксимаций // ДАН РУз. - 1993. - Ё 9. - С. 9 - 12.
23. Хатамов А. Полиномиальные и рациональные приближения функций многих переменных с выпуклыми производными в метриках 1
( О < Р ) // Изв. РАН. Сер. ыатем. - 1994. - Г. 58. - Ё I.
- С. 168 - 182.
АННОТАЦИЯ.
диссертация :çap хил функционал сикфларга мансуб бир узгарул-чили за куп узгарузчлли функцияларни купз$адлар, раилонад ¿уп:<: —-ар "за~сг:лайнлар"зосатаспда' з\ О.'Л.БорндгзЛа хиладагз якга тугрл за теокгри теорелал : олиига оагиЕлангац.
Длссэртациянлнг асосий натииалари ^уйидагллард/р :
I. Зосаласи цазарщ; ва Лшшад синфига драила »уп узгару^ч«-t.í фуакцкялар за уларнинг ^осалаларини биргадазда чвгараланган :::\зарл4 солода L р { О < Р-£со") аеедияаларида кул^длар бзлая s л: яхын я^инлаштириалар катталиклари учун качдклак тартиби ааьнослда
WMW'Mt' nVUWtNÙlUÛUl
Z. " йпоолпр ~ дво àïa;ia»Kraa •¿•азодарга .^аравли 37ns-
цлялар за уларнинг ^осилаларини биргаликда чвгараланган Липшиц чегарали со^аларда Lp Р^00) мвтрикаларида куп^адлар билан энг яхии яцинлаитириалар катталиклари учун кичиклик тартиби маъио-сида ашщ базрлар олинган.
3. Д.Днексон ва С.Н.Барнштейн„классик.турри за тескара теоре-иаларинанг куп улчаыли ухшатмалари за уларнинг С.М.Никольский за О.З.Ббспз фазоларчга ь;араили куп ¿эгарузчилк фунхнияларпя ::угт:рп-лзо б;.лз.: чегараладгая етарляча умуаяй туплакларда злг яхал я:^а-хатхалзкяари учун уаумлааиалара гсботланган. ^ссллалзрз ^азари^ бир узгарузчила га куп узгаруьлллл ;улк;;иллАрнл лзраллел^лллэддг Lp (0<Р;$СО) азтрлкадзридь злг я;::::: — ллсллл лгслллаютслалар катталикларянннг оа:<;оласл злллг^л, •'*■• /згарузчллл рационал ¿улкцлллар хоаллалзрл учуя ; . : ч; хлллл.!.' ' лл::-; :;кгслзлл::лар ло;л:лл.1Гс.л.
G, С.л.лллзльснлЛ зз.О.З.Бвсоз фазолара учун чегазалааг^.ч атарлича уцуаий.куришидаги туллаиларда куп узгарузчлли функция,-.. ..л,-.^ . ,л л:;лкл:;л:лрлллар лс^лрллил^ллг СоД.Блсллчелн ■ : : .. . ' ггл:т и;,
7. ^осил'аси бир узгарузчили функцияларни за Lip oL
(0<oí<l) синфига дарами бир узгарузчили rçaaapaiç функцияларни
С Га,-о] за L п [a.v.i( о < Р<») -мвтрикалархза хуп^тгт с-.--.й-.— ;
-.лллл ллг л мл: л:;:!:-л^лтлр.л:лар ланйлллларллллг -......: чарм..
ааьносида анищ бахолари исбптланган-
SUMMARY
The aim of the dissertation is to obtain est? direct and conTerse theorems of the Jackson and Bernstein type of the theory oi polynomial, rational and spline approximations of functions of one and many variables from different functional classes.
The main results of the dissertation are as follows:
1. The exact estimates (in the sense of the order of small-ness) of the best joint polynomial approximations of functions of many real variables with convex derivatives from the lipshitz's
class and their derivatives in I (0 < p < <*> ) metrics on the
p *
bounded convex domain are established.
2. The exact estimates (in the sense of the order of small-ness) of the best Joint polynomial approximations in I p i < <» ) metrics of functions from the so-called "smoothness spaces" and their derivatives on the bounded domain with the Ilpshltz's boundary are obtained,
3. Multidimensional analogs of the Jackson and Bernstein classical direct and converse theorems and their generalisations for the best polynomial approximations of functions of many real variables from the NikolsklJ and Besov spaces on the bounded sets of sufficiently general types are proved.
4. The estimates of the best rational approximations of functions of one and many real'variables with convex derivatives in I (0 < p < 00 ) metrics on the parallelepiped are obtained.
5. The exact Inequalities of the Bernstein type for the derivatives of rational functions of many real •variables are established.
6. The converse theorems of the rational approximations theory of functions of 'one and many real variables of the Bernstein type for the NlkolsklJ and Besov spaces on the bounded sets of sufficiently general types are proved.
7. The exact estimates (In the sense of the order of'small-ness) of the best approximations of functions of one variable with a convex derivative and convex functions of one variable of the lip a (0 < a < 1) class by polynomial splines in the metrics of Cta.b] and Ip[a,b] (0 < p < <») spaces are obtained.
