Рациональные приближения непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЗЩЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ

ФУНКЦИЙ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ.

§ I. Леммы.

§ 2. Оценка приближения произвольной непрерывной выпуклой функции сверху.

§ 3. О точности полученной оценки

ГЛАВА П. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМ МОДУЛЕМ

НЕПРЕРЫВНОСТИ.

§ I. Доказательство теоремы 3.

§ 2, Доказательство теорем 4 и 4а

ГЛАВА Ш РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ С КОНЕЧНЫМ ПОЛНЫМ

ИЗМЕНЕНИЕМ.

§ I. Построение разложения единицы в сумму рациональных функций.

§ 2. Основная лемма.

§ 3. Оценка сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным изменением

§ 4. О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим $ 5. Следствия. $ 6. Рациональные приближения кусочно выпуклых функций. $ 7. О разложении единицы в сумму рациональных функций многих переменных

Работа посвящена оценкам для наименьших равномерных заслонений выпуклых функций и функций с ограниченным изменение от рациональных функций.

Введем обозначения. Пусть j^(OC) - действительная непрерывная функция, заданная на отрезке А—[й,S] действительной оси, и R(x)~ рациональная функция от X , несократимая запись которой есть р p-t где CL^ и S^ - действительные числа; причем Ct^ и отличны от нуля. Число fi^TJTlCiW^pyty}называется степенью (порядком) рациональной функции R CZ) .

Через Z?^ Д] =ff] будем обозначать наименьшее уклонение непрерывной функции , DCS А , от рациональных функций степени не выше fl в чебышевской метрике С (А) :

R [fj^infifnax Ifcv-Rw)]}, где R пробегает все рациональные функции степени не выше fl . Беря здесь infimiiiV не по всем рациональным функциям R , а только по действительнозначным алгебраическим полиномам степени получим определение Еп Д] = Еп [f] - наименьшего уклонения функции на отрезке А от полиномов степени не выше fl . Очевидно всегда Rn [Еп [f] .

Задачи оравномерном приближении функции на отрезке посредством полиномов и рациональных функций были поставлены одновременно. Это было сделано Пафнутием Львовичем Чебышевым в мемуаре [I] , опубликованном в 1859 г. (см. [ij , стр. 152-236 , [2J , стр. 199-291). С тех пор равномерные приближения называют также че(-бышевскими приближениями. Одним из основных результатов, изложенных в этом мемуаре было доказательство теоремы о единственности рациональной функции наилучшего приближения. Отсюда, в частности, вытекает единственность полинома наилучшего приближения для рассматриваемой непрерывной функции.

В 1877 году Е.И.Золотарев в мемуаре [3] получил замечательные результаты, касающиеся рациональных приближений. В частности, им была поставлена и решена задача (см. [3],1У задача) , которая может быть сформулирована следующим образом: из всех несократимых дробей данной степени найти ту, которая наименее уклоняется от функции SlCjtl Ос- на множестве Д(<!) — =[-l,-d] U , где ^ - заданное число, , и найти величину этого уклонения. В частности, им было найдено точное выражение для Rn [$Ijn X J Л (6)] : г /(Ч)' > (D где ft РР h/21-i у/Л , /1-/1

Ж - полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем -Я , $П И - эллиптическая функция с модулем Л (см. [з] и [15] стр.

В 1884 году П.Л.Чебышев опубликовал краткую заметку £4] , а в 1889 году подробную статью "О приближениях квадратного корня переменной через простые дроби" ( [5] ). Задача, рассматриваемая П.Л.Чебышевым в этой работе, может быть сведена к задаче о приближении Sfl^tlSt , Хе Д(Ю, решенную Е.И. Золотаревым в [3] (см. Гб] , стр. 410 ). Как указывает Н.И. Ахиезер [б] , результаты статей П.Л. Чебышева и Е.И.Золотарева получили применение в теории электрических фильтров в работах В.Кауэра ( [7] и [8] ).

Вообще же задача о приближении функции $jCjtl на А (§), как и задача о приближении функции 1%) на jr^jiJ является одной из узловых в теории рациональных приближений. В дальнейшем этими задачами и, в частности, уточнением неравенств для Rn [Sri^ft А(Д)] и Rn O^C'-MJJ занимались многие авторы (см. Ахиезер [9J-[12] , £13],стр. 73-76, 319-320 , [14Jстр. 158-159 , [15] ,Д.Ньюман fl6] , А.А.Гончар [17-20] , А.П.Буланов [75] , /138] , Н.С.Вячеславов [ИЗ- 115^и др.) Хотя, как уже отмечалось, Е.И.Золотаревым было получено точное выражение для /?п Л (£)] (см* (I))» пользоваться им при больших Ц было весьма затруднительно. Грубо приближенные, но зато очень простые и удобные для применений оценки этой величины получил Д.Ньюман в 1964 г. С помощью -этих оценок он получил неравенства j exp{'9ifn}< Rn [isel, КШ* Щ

2)

В 1967 году А.А.Гончар показал, что более точные оценки можно извлечь из упомянутого результата Е.И. Золотарева. Последние результаты здесь принадлежат А.А.Гончару (слабая эквивалентность для R^lSlCjfl^&CS)]) и Н.С.Вячеславову (слабые эквивалентности для наименьших функций вида в метриках Lf $ = ) .

После того, как Вейерштрасс ( [24J , Г 25 J ) в 1885 году доказал, что En[f]—*0 при 17—ъ**3 для произвольной непрерывной функции f(0£) , ХЕА » встал вопрос о связи между скоростью убывания величины Еп [f] и свойствами функции. Один из способов исследования этого вопроса содержится в доказательстве теоремы Вейеритрасса, предложенном Лебегом (см. [26] и [27 J; стр. 72 ). Любую непрерывную на отрезке [aj'j функцию f'(OC) Лебег сначала приближал Н -звенной кусочно-линейной функцией L^(ОС) (вписывая в кривую ij = fl -звенную ломанную с уравнением ^ — L^COC) ). Записывая, далее, L (.ОС) в виде 17

3) tr J К где (Z<C ^ <r flfg1" < ^ ), он сводил исходную задачу к задаче о приближении/на Д . Эта задача, в свою очередь, сводится к приближению /х/ на отрезке[-J/-1] . (О приближении на [-1,/J полиномами см. работы f28j-[33] ).

В начале 20-го века вопросам о приближении функций полиномами были посвящены многие работы Лебега, Валле-Пуссена, Д.Джексона и С.Н.Бернштейна ( [26] -[30J , [33] , [34] ). Из этих работ, в частности, выяснилось, что скорость убывания

Bn [fj Л ] при п —» -ч» существенно зависит от модуля непрерывности приближаемой функции -fCOC), ос <= Л , именно по теореме Джексона

4) где и (4,f)-iup [if (ОС) - f(p |, эс, у ей,} х-р ± J}

В дальнейшем теория приближений полиномами продолжала развиваться быстрее, чем теория приближения рациональными функциями. Однако, многие вопросы, решенные для полиномиальных приближений, ждали ответа и для приближений рациональными функциями.

В конце 50-х и начале 60-х годов теория рациональных приближений функций действительного переменного резко ускорило свое развитие благодаря результатам А.А.Гончара и Е.П.Должен-ко, устанавливающим связь между скоростью убывания/? [Аа]и свойствами функции что хотя никакая не обеспечивает каких-либо дифференциальных свойств функции j- в наперед заданной точке ОС в А , все же достаточно . высокая скорость этого убывания обеспечивает наличие у функции j- некоторых локальных гладкостных свойств почти в каждой точке ОС^Л ; при этом исключительное множество точек, вообще говоря, зависит от функции ^ . Например, им показано, что если Rn CfjA] не превосходит С-П 1 ^

- модуль непрерывности скорость убывания вообще говоря,

С/ = то f (ос)существует почти всюду на Д ( [35J, fa oi $

1955 г.); если же /?пй] < С tl " » к - целое неотрицательное, 0<Ы ±4 , то сужения функции на некоторые множества по мере сколь угодно близкие к ^ , имеют непрерывную Ь -ю производную, удовлетворяющую условию Липшица-Гёяьдера порядка("57^ 1959 г., доказательство см. в [58J ). В этих условиях нельзя взять никакое J4^/?

Позже Е.П.Долженко ( [59] , I960 г., доказательство см. в [36J ) обнаружил, что определенная скорость убывания Rn [fi д] обеспечивает наличие у функции ^ таких ее свойств в целом, как конечность полного изменения V(-f)» конечность ее ср - вариации, оо абсолютная непрерывность. Например, из условия ^ [^a J < 00

Р п-1 следует абсолютная непрерывность функции 4 , а значит и конечность ее полного изменения; условие это является неулучшаеыым.

За последние годы существенные результаты по теории рациональных приближений функций действительного переменного были получены А.А.Гончаром, Е.П.Долженко, П.Сюс и П.Тураном ,Г.Фройдом, И. Сабадошом, А.Абдугаппаровым, Е.А.Севастьяновым, В.А.Поповым, В.Н. Гусаком, К.Н.Дунгу 9 А.Хатамовым, Н.С.Вячеславовым, В.П.Данченко, П.П.Петрушевым, А.А.Пекарским, С.Ташевым, Е.А.Ровбой,А-Р.К.Рамаза-новым, А.К.Рамазановым, и др.

Что касается зависимости между En[f~}9 то история здесь такова.

После того, как были построены функции^* (А.А.Гончар [35] , 1955 г.), для которых ->• 0 сколь угодно медленно, а [jJj О сколь угодно быстро, возникла гипотеза о том, что и всегда, если не есть полином, то Rn [f] = с (Еп [f]) (п —s- ®<?) .С появлением неравенств Д.Ньюмана (2) вера в эту гипотезу укрепилась. Однако в 1967 г. было показано (Е.П.Долженко [37] ), что имеются непрерывные функции ^ , для которых gJf]~Egl.Wy0>

При этом функция j может иметь модуль непрерывности наперед заданного порядка 60(£) , т.е. и вообще иметь любую наперед заданную гладкость вплоть до аналитичности во всей плоскости 2 =

Таким образом, кроме тривиального соотношения /?л [f]6 [f'] и утверждения, что RQ [f] и Еп ff J—>0одновременно, других связей между ними нет,даже, если привлечь такую традиционную характеристику как модуль непрерывности. В связи с этим отпала необходимость искать оценку для Гулишь через модуль непрерывности функции , поскольку имеются неулучшаемые оценки для Е [f] типа неравенства Джексона (4). Этот результат показал также, что если мы хоуим для /^TfJ получить оценки по порядку лучше, чем оценки для Еп [f] , то нужно выделять классы функций ^ посредством каких-то функциональных свойств, не находивших применение в теории полиномиальных приближений.

Еще до появления этой работы были получены первые оценки для приближения непрерывных функций, обладающих такими функс циональными свойствами как выпуклость j и конечность полного изменения j- . Относительно выпуклых функций класса Lip 1 это были результаты П.Сюс и П.Турана( [38j 1965 г.), относительно функций с конечным полным изменением - результаты Е.П. Долженко и А.А.Абдушппарова (доклад Е.П.Долженко на конгрессе математиков в Москве в 1966 году [49 ] ; результат был также доложен на семинаре по теории функций в МГУ в конце 1965 года) и Г.Фройда ( (1I8J , 1966 г.) Были также построены примеры, показывающие, что одна лишь конечность полного изменения непрерывной функции -j' не гарантирует какую-либо фиксированную скорость убывания /?л [f ] к нулю. Простой пример монотонной и абсолютно непрерывной функции ^ , для которой Rn Tf J стремятся к нулю произвольно медленно, построил Е.П.Долженко (см. об этом в работе А.А.Гончара [60] на стр. 335-336). Исходя из скорости роста функций в фиксированной внутренней точке отрезка, А.А.Гончар ( [17J и [60] ) построил непрерывную "шкалу препятствий", которая характеризует скорость рациональных приближений этих функций. В эту шкалу, в частности, вклады: вается оценка снизу для наилучших равномерных рациональных приближений таких канонических функций как, например,

О, ; или

В 1969 году автор fl35J обнаружил, что выпуклость непрерывной функции уже сама по себе, без каких-либо дополнительных условий на j- гарантирует определенную скорость убывания

Rn [f;A] к нулю. В последовавших за этим работах А.Абдугаппарова, А.Хатамова, В.А.Попова, П.П.Петрушева, А.А. Пекарского, А.П.Буланова и др. это направление исследований развивалось. В работах[I37J и f 142] автор показал, что знание модуля непрерывности выпуклой функции позволяет существенно улучшить оценку для J • 0™етим, что полученные

Р(0С) = И неравенства для Rn [f^A] существенно сильнее, чем неулучшаемое неравенство для Ev if)А] » полученное при тех же условиях на

Эта диссертация посвящена неравенствам для Rn [f^A] в случае выпуклых непрерывных функций J (гл. I и П) и в случае функций с конечным полным изменением (гл. Ш). Дальнейшая история вопроса излагается ниже параллельно с результатами диссертации.

Основное содержание работы сформулировано в шести теоремах. В первой главе доказывался теореиы I и 2 об оценках Д-Pffjcoo,-ветственно сверху и снизу в случае непрерывных выпуклых функций + без учета величин их модулей непрерывности СО (dt f). Отметим, что теоремы I и 2 приводились в кандидатской диссертации автора,защищенной в 1971 Г. Во второй главе доказываются теоремы 3 и 4 об оценках Rn [fj соответственно сверху и снизу, но уже в случае выпуклых функций с заданным модулем непрерывности. Эта глава является существенным развитием первой главы.

В главе Ш в основных теоремах 5 и 6 даются оценки Rn [f] также соответственно сверху и снизу для функций -f с ограниченным полным изменением и с заднным модулем непрерывности.

В теореме 7 дается оценка для Rn [f,A ] в случае "склеенных" в частности f кусочно-выпуклых функций -р ; теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7.

В каждой главе доказаны две теоремы, которые решают по существу один вопрос: каков показатель степени Л в оценке f где iWpTtrnum берется по всем функциям из рассматриваемого там класса.

Остановимся несколько подробнее на содержании каждой главы.

В § I гл. I доказывается ряд лемм и две вспомогательные теоремы (теорема А и теорема В), используемых на протяжении всей работы. Существенное внимание здесь уделено равномерному приближению функций bl J Л 'X на симметричной паре отрезков [-ij-dJiJ [($,{] ==&($) (см. теорему А). Отметим, что оценки, содержащиеся в некоторых леммах этого параграфа, можно было бы извлечь из упомянутых результатов Е.И.Золотарева [3J , однако конструкция Д.Ньюмана дает более простой путь для получения соответствующих неравенств. Основной результат этого параграфа теорема В, на которой основано доказательство теоремы б гл. Ш.

В 1964 году, используя представление Лебега (3) и неравенства Ньюмана (2), П.Сюс и П.Туран [38] показали, что если непрерывная функция j'(OC) выпукла на [-1,1] , то для ее приближения на любом отрезке [-i+£^ i~8j при любом положительном <? < i справедлива оценка я„Г(п?/Ю> (6) где не зависит от fl . Полиномы в этих условиях дают лишь

С другой стороны, Д.Ньюман привел пример выпуклой и удовлетворяющей условию Липшица Lip l на отрезке А функции ^ , для которой n 1 nfon этот результат приводится в [38] ).

Как известно, всякая непрерывная и выпуклая на отрезке функция j(0C) является абсолютно непрерывной на Л , удовлетворяет условию Липшица г pi на любом отрезке

0*1?* j * шеет почти всюду вторую производную и является "плохой" разве лишь на концах отрезка А . Эти свойства и приведенный только что результат могли указывать на возможную справедливость неравенств типа

Rnlf,A]4CriArc .с другой стороны, А.А.Гончар построил (см. [17 J , неравенство (24)) такие кусочно-выпуклые непрерывные функции f , для которых R [ f ] стремятся к нулю сколь угодно медленно. Это говорило в пользу возможного существования непрерывных выпуклых функций ^ , которые приближаются рациональными функциями сколь угодно медленно. На самом деле имеет место компромиссная ситуация:

Теорема I. Для любой выпуклой непрерывной функции fOC)t

ЭсеД ,

-п П J лп

V|J -ft 7 ' ' ' (7) где С - абсолютная постояннаяМ(f) = fr?QOC{lfOC)$Се .

Следует обратить внимание на то, что в оценке (7) ни прямо, ни косвенно не участвует модуль непрерывности СО (fyf) Теоремы такого типа в теории приближений ранее не встречались; для полиномиальных приближений такие теоремы вообще невозможны, что следует из неравенства Стечкина (см. [39 J , неравенство (2.5) на стр. 613 , и в работе С.Б.Стечкина [40] теорему 8).

После опубликования этого результата в U35J он уточнялся (П.П.Петрушев [47] , А.Хатамов [41] ).

Недавно В.А.Попов и П.П.Петрушев [42] показали, что в условиях теоремы I ^ —Oft—• чт0 дальнейшее уточнении невозможно, вытекает из следующей теоремы:

Теорема2. Для любой положительной последовательности у

0 существует выпуклая непрерывная функция j (ОС) , Хе[В,{] » Для которой

WJ> \ к * для некоторой последовательности f2- J***0 Р35] . А

Во второй главе приводятся оценки наименьших уклонений для выпуклых функций с учетом величины их модуля непрерывности СО . Упомянутый выше результат П.Сюс. и П.Турана (6) можно сформулировать еще так: если функция^ выпукла и удовлетворяет условию Липшица на отрезке Л , то

Rn[fhC(f)

Znn

6)

А.А.Абдугаппаров [43 ] показал, что если выпуклая функция fetipot , Q<ol±i , то впп мы -^ 3 у * t i • И

В работе ff37j было получено неравенство

RjfhC^znf {аы+м&ьфп-ед., (8> где С - абсолютная постоянная, выпуклая функция ^ имеет модуль непрерывности СО ($, f) £ СО (S)} М = НПО ОС | ^(ОС) I • В частности, если » Q^-ol^i , то

-гл., (9) а если Co(fij-f')^ (^jr) » т0 из ^ следует, что

10)

Неравенство (8) дало для выпуклой feLipot , , окончательный показатель степени у 11- двойку. Если модуль непрерывности"очень плох", то, как следует из теоремы 2, нельзя надеяться на то,что rjfl=iP(i/nM), хотя бы при каком -нибудь £,70 , так что для таких функций [f J имеет, грубо говоря, порядок i/Tl и не лучше. Для "плохих" же модулей непрерывности оценка (8) не является окончательной в смысле величины показателя степени hi . В частности, не является окончательным показатель степени 3/2 в оценке (10).

В теореме 3 гл. П неравенство (8) уточняется следующим образом[1421 :

R пах [соЮвгЩуП-ьз,., {П) а в теореме 4 показывается, что неравенство (II) нельзя далее уточнять, если пренебречь множителями порядка вп?Т1 , где постоянная. Из теоремы 3 в частности следует, что неравенство вида RnlfUC(f)^ » справедливое по (6) для выпуклых функций feLipl , распространяется не только на выпуклые функции из Гельдеровских классов Л^ЦрЫ , о/УО но и на выпуклые функции с довольно "плохими" модулями непрерывности - такими, как OO(Sjf)* Именно, если j- выпукла и принадлежит классу

2пЧг Па

LipсК при некотором ol~70 , то Rn[f]-C(f) с другой стороны, как еще в 1964 году показал Д.Ньюман (этот результат в работе [38] ), существуют выпуклые функции класса 1

Lip Lip Ы (0<оМ £) , для которых Rn Ц]>—— Если же | выпукла и Со jj* , то

7~Z~ ; с другой стороны, из теоремы 4 следует существование при каждом положительном rf-l такой выпуклой функции у , что СО (Jj-f) не превосходит (^fi —^ ^ , a R [f]>n'~rm °4<l , и а Г/-1.

RJf]>-zpr (12) при 4 для некоторой последовательности fl*=*fl Sr <?© . 0 к

Оценка (9) уточнялась за счет понижения степени логарифмического множителя (А.Абдугаппаров [44] , В.А.Попов [45] , А.Хатамов [41] , [46] ) и в настоящее время показано, что в ней ftvfl можно опустить (Р.П.Петрушев [47] ).

Автор и А.Хатамов [ 76J заменили в оценке (II) множитель IfL^fl множителем in :

R max (6-а)<г"±е<ё-а L в

Отсюда получаем для -Р из класса выпуклых функций с модулями i. V ^ п Q непрерывности О) (6; (£п jr) неравенство /?я [f] 6 C(f)f2

11 в 2,3.,,. ) точное в смысле порядка по fl (см. неравенство (12)).

А.А.Гончар в 1974 году установил, что для аналитической на (о, а функции f(г)= (ln± )-*t,0. справедливы неравенства

1Гшуй7\ 4 Rn Wп Тс) 9 « -— ; г(Щ)+г п п П где £ - любое

В теореме 4а доказывается неравенство а

В случае эта оценка без доказательства приводится в работе А.А.Пекарского [117J .

Функция ^ , 0 , имеет модуль непрерывности и выпукла кверху на . Несмотря на то, что эта функция еще и аналитична на (Q,i] > приближается она рациональными функциями почти с той же скоростью, что и любая выпуклая на [0,1] функция с модулем непрерывности СО-j-') < (fift^) ^

О Г для которой теорема 3 дает оценку /? [jl ] £ С ^ см. также неравенство (Па)). ^

В главе Ш изучаются рациональные приближения непрерывных функций с конечным полным изменением. Этому вопросу посвящены тео ремы 5 и б и следствия из них.

Пусть непрерывная функция -f(.0C) , Х£ А » имеет конечное полное изменение Y(f) и модуль непрерывности СО f) . А.А.Абдугаппаров и Е.П.Долженко (доклад Е.П.Долженко на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году) получили оценку для Rn [f J через и V(-f) , а также через CJCtfjf) и ф- вариациюl^CfJ функции j (определение Ф - вариации см. в работе [д!] ). Из их результатов следует, что если feLipo/ • olyQ , V(f) < ^ » то

13) а если f имеет модуль j j1 е непрерывности СО f) - ~ J рО и V(f)<*° , то r [jhccfH ** п = • см)

Оценки (13) и (14) независимо и в том же 1966году получил Г.Фройд [118] .

Заметим, что при получении этих результатов названные здесь авторы существенно использовали представление Лебега (I) и результат Д.Ньюмана (3),

Следующая теорема содержит эти результаты (в классе функций с конечным полным изменением), и в случае"не слишком хороших" модулей непрерывности, например таких, как со (6) - 4) ^iJyQ существенно усиливает оценку упомянутых авторов. Ниже со*и,) = inf(<f:b><:j9f)>si}.

Теорема 5. Пусть , хе Л » имеет модуль непрерывности 60 (S) f) и конечное полное изменение. Тогда а, (15) И

IkRJf] i lk^/?n[f])l где С не зависит от fi .

Теорема 6. Для любой функции типа модуля непрерывности С0(д) и любой последовательности £пм Q существует функция с конечным полным изменением и модулем непрерывности 60 (S} -f) £ СО (d) такая, что enna'(l?n[f])\ П для некоторой последовательности номеров Ц ^fi^oo с = mui 7 0) [139].

В качестве следствий из этих теорем приведем оценки для Rn ff ] в двух конкретных случаях СО (-f).

Следствие I. Если fcoc) , xs№,i]y имеет конечное полное изменение и удовлетворяет условию Lip oL при некотором g^S то с с другой стороны, для любой последовательности 0 и любого положительного о/ < { существует функция f(X) (а <= [0, {] J) из класса Lip ol j имеющая конечное полное изменение, для которой о т х- ^^ для некоторой последовательности П — Ц,/100 . к

Следствие 2. Если j'(OC) , [й, {] > имеет конечное полное изменение и модуль непрерывности Од C^-f)^ (tyi — j , то ср. с (14)), с другой стороны, для любой последовательности 0 существует функция -f (OC) [Q,i] ) с конечным v j полным изменением и модулем непрерывности 60 -f ) ^ (Cfi — для которой

Rn[f*l>£nni+r <и» для некоторой последовательности fl — fl^ у7 00 .

Заметим, что недавно независимо П.П.Петрушев [50J и А.А Пекарский

51] уточнили неравенства (13) и (17), заменив в неравенстве (13) множитель l>tt~fl множителем flyi fl , а в неравенстве (17) множитель Eflfl единицей. Эти уточненные неравенства уже практически неулучшаемы, как это видно из (16) и (18).

Помимо основных теорем 5 и 6 в этой главе доказаны теоремы 7 и 7а о приближении "склеенных" функций (теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7). Доказательство их, как и основной теоремы 5 опирается на лемму 3.1. о разложении единицы в сумму рациональных функций. Приведем лишь следствия из этих теорем

Следствие из теоремы 7. Пусть (0С)} ОС G [fy $ кусочно выпуклая функция и пусть и(б,0< ct(enff, тогда К

Ш^в?)' f""in(PS)> (19) где С^ и Cg положительны и не зависят От ft .

Заметим, что оценка (19) являетсянеулучшаемой, если пренебречь логарифмическим множителем (СпИ)^ » так как для ^ , эт0 показывает неравенство А.А.Гончара (см. [18] )

Если же ^7% » то легко строится пример просто выпуклой и непрерывной на [О, I] функции j L ip 1 , приближение которой

Следствиеиз теоремы 7а. Пусть функция f Ос) от Jf переменных X = (Otj ? VCP 0,0 ^непрерывна на Jf- мерном многограннике Q^ и пусть 0N разбит на многогранники , U £ , на каждом из которых Объявляется линейной функцией. Тогда

Rnif,BN]<Cexp(-cW)) где С и С положительны и не зависят от Ш, .

В заключение отметим, что полученные в работе оценки сверху для наименьших рациональных уклонений функций из определенных классов (см. Теоремы 1,3 и 5) с точностью до логарифмических множителей являются неулучшаемыш(см. теоремы 2,4 и 6 соответственно).

Пользуясь случаем, хочу выразить здесь мою искреннюю благодарность Е.П.Долженко, оказавшему существенно®, влияние на мою работу. Хочу также искренне поблагодарить С.Б.Стечкина, неоднократные беседы с которым в лечение 1980-81 гг. способствовали улучшению этой рукописи, в частности, сокращению, доказательств теорем I и 3, по сравнению с опубликованными ранее.

Результаты, изложенные в этой диссертации, в большей или меньшей степени были использованы в работах других авторов [41] - [51] , Г77] - [П5] , [125] - [134] .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [135- 144] и по мере их появления докладывались на семинарах по теории функций в МГУ, на международных конференциях по теории аппроксимаций в Калуге (1975г.), в Благоевграде (1977 г.) в Варне (1981г.), а также на всесоюзных школах по теории функций в Махачкале (1969г.), в Баку (1977г.) и в Саратове (1982 г.).