Комонотонное приближение периодических функций классов Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

/э САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

> . V УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г. ЧЕРНЫ1ПЕВСКОГО

На правах рукописи

ПЛЕШАКОВ Михаил Геннадьевич

КОМОНОТОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КЛАССОВ СОБОЛЕВА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАТОВ - 1998

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

На правах рукописи

ПЛЕШАКОВ Михаил Геннадьевич

КОМОНОТОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КЛАССОВ СОБОЛЕВА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАТОВ - 1998

Диссертационая работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научные руководители —

Официальные оппоненты—

доктор физико-математических наук профессор

А.А.ПРИВАЛОВ

Ведущая органзация —

доктор физико-математических наук профессор И.А. ШЕВЧУК доктор физико-математических наук профессор С.А. ТЕЛЯКОВСКИЙ доктор физико-математических наук профессор A.C. ШВЕДОВ Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " " о^в-ка 1998г. в 15.30 на заседании Диссертационного Совета К063.74.04 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.Чернышевского по адресу: 410026, г.Саратов, Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 1998г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических нау доцент

П.Ф.Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Получение оценки уклонения при равномерном приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях и в прикладных областях математики получили неравенства типа Джексона-Зигмунда-Стечкина, типа Никольского-Тимана-Дзядыка-Фройда-Теляковского-Брудного, неравенства типа Уитни.

Особый интерес представляет случай, когда приближение является формосохраняющим (Shape-preserving Approximation), т.е. когда аппарат приближения сохраняет некоторые свойства приближаемой функции (монотонность, выпуклость и т.д.) Начало этого направления восходит к работам R.A. DeVore, G.G. Lorentz, D.J. Newman, E. Passow, L. Raymon , J.A. Roulier, O. Shisha, K.L. Zeller, A.C. Шведова опубликованным в 60-х - 70-х годах. В частности, в 1968 году G.G. Lorentz и K.L. Zeller доказали первое неравенство Джексона приближения монотонных функций монотонными алгебраическими многочленами, а в 1977 году R.A. DeVore доказал соответствующее второе неравенство Джексона. В работах D.J. Newman, G.L. Iliev, A.C. Шведова были получены первые "правильные" оценки по приближению кусочно-монотонных функций кусочио-монотонпыми алгебраическими многочленами. В 1969 году G.G. Lorentz и K.L. Zeller построили пример, который показывает, что величина наилучшего монотонного приближения алгебраическими многочленами монотонной функции по порядку вообще говоря "хуже" величины наилучшего приближения без ограничений. В 1979 году A.C. Шведов построил пример, показывающий, что оценка типа Джексона-Стечкина величины приближения монотонной функции монотонными многочленами через модуль непрерывности порядка 3 и выше вообще неверна, в отличие от приближения без ограничений. С тех нор в работах отмеченных авторов, а также R.K. Beatson, J. Gilewicz, D. Leviatan, R.J. Nessel, E. Van Wickeren, X. Wu, X.M. Yu, S.P. Zhou, Г.А Дзюбенко, К.А. Копотуна, B.B. Листопада, И.А. Шевчука вопросы равномерного приближения монотонных и кусочно-монотонных функций комонотон-ными с ними алгебраическими многочленами изучены практически исчерпывающе.

Однако до последнего времени пе были известны результаты по ко-монотонному приближению периодических функций тригонометрическими полиномами за исключением результата G.G. Lorentz и K.L. Zeller 1968 года, касающегося так называемых "колоколообразных" функций. Возможная причина отсутствия этих результатов следующая. Непрерывные периодические монотонные функции суть тождественные постоянные, таким образом речь может идти только о кусочно-монотонных

функциях, но в отличие от монотонного приближения построение общих методов кусочно-монотонного приближения алгебраическими многочленами осуществлено сравнительно недавно. На актуальность изучения периодического случая обратили внимание профессоры C.B. Ко-нягин и В.Б. Демидович. Именно изучению периодического случая и посвящены первые три главы диссертации.

В последней, четвертой главе рассмотрено кусочно-д-монотонное приближение алгебраическими многочленами на отрезке, q > 1; в частности, при ç = 2, кусочно-выпуклое приближение.

Наконец, отметим, что, кале и в приближении без ограничений, в качестве аппарата формосохраняющего приближения используются не только многочлены или полиномы, но также сплайны, фракталы, рациональные функции. Соответствующие исследования проводятся в УрО РАН, СО РАН, других научных центрах мира.

Цель работы.

1. Доказать неравенство Джексона для комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

2. Доказать второе неравенство Джексона для комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

3. Построить контрпример, указывающий, что величина наилучшего комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами по порядку вообще говоря "хуже" величины наилучшего приближения без ограничений.

4. Изучить неравенства типа Джексона и неравенства типа Унтнн для кусочно-д-монотонного приближения непрерывных на отрезке функций алгебраическими многочленами.

Общая методика выполнения исследований. В работе использованы классические методы чебышевской теории приближения функций, метод конденсации A.A. Привалова, методы и идеи коприближения функций алгебраическими многочленами, развитые в работах отмеченных выше авторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивающие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях теории формосохраняющего приближения непрерывных периодических функций тригонометрическими полипомами и непрерывных на отрезке функций алгебраическими многочленами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 8-ой Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1996 г), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Е.Я. Ремеза (Ровно, 1996), на 11-ой Всероссийской конференции " Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики"(Пущино, 1996 г.), на школах по теории функций под руководством С.Б. Стечкина ( Москва, 1995 г., Ми-асс, 1997 г.) а также на семинарах А.Л. Лукашова и А.П. Хромова в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем работы 110 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткий исторический обзор, обсуждаются задачи исследования и формулируются основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена комонотонному неравенству Джексона.

Пусть С - пространство непрерывных 2тг-иериодических действительнозначных функций / с равномерной нормой

Ш=тах|/Сг)|,

хбН

Т„ - пространство тригонометрических полипомов порядка < п, п € К; ¥2й - множество всех наборов У — {?/, }г'е2 точек у,, таких, что

-7Г < Угв < г/2а-1 < • • ■ < 2/1 < 7Г, и для любого целого г

Ш := У«+2а +-2тт.

Всюду далее в главах 1-3 предполагаем, что У 6 при каком-нибудь а ем.

Будем говорить, что функция / 6 Д^(У), если / есть непрерывная 2тг-периодическая функция и / не убывает на [г/;, 1/1-1] , если г нечётное; / не возрастает на [г/,-, »/•;-)], если г чётное.

Основным результатом первой главы является

Теорема 1.1. Пусть У е Если / € Д^(У), то для любого п существует тригонометрический полином тп порядка < п такой, что

гп 6 Д^^У)

||/-т»||<с(*)ы

где c(s) = const, не зависит от f,nuY.

Замечание . Как уже отмечалось, в 1968 году G.G. Lorentz и K.L. Zeller доказали теорему 1.1 для случая колоколообразной функции /, т.е. для случая s = 1 и / - чётная функция.

Вторая глава диссертации посвящена комонотонному второму неравенству Джексона.

В случае, когда функция / € С имеет непрерывную производную /' условие / € Д^(Т) можно дать в более простой форме, а именно : / € Л'1-1 (У), если для всех х g Е выполняется неравенство

/(аЩиа^Ьо.

¿=1

Пусть Wr, г £ N, - класс функций / 6 С, имеющих абсолютно непрерывную г — 1 производную и < 1 п.в. на BL Основной результат главы 2 -

Теорема 2.1. Если / € Д^^(У) П W, то то для любого п существует тригонометрический полином тп порядка < п такой, что

гпеД(1)(У)

и

II f о- II ^ С(Г'У)

где с(г, У) = const, не зависит от fun.

В главе 2 теорема 2.1 доказывается для случая г > 1. В случае г — 1 теорема 2.1 является простым следствием теоремы 1.1. Третья глава диссертации посвящена контрпримерам. В ней, пользуясь идеями G.G. Lorentz, K.L. Zeller и A.C. Шведова а также методом конденсации A.A. Привалова построены контрпримеры, играющие в кусочно-комонотонном приближении тригонометрическими полиномами роль, подобную роли соответствующих контрпримеров G.G. Lorentz, K.L. Zeller и A.C. Шведова для комонотонного приближения алгебраическими многочленами. Обозначим

ВД):= ^ \\f~Tn\\

- величину наилучшего приближения функции /,

- величину наилучшего комонотонного приближения функции / по набору Y.

Основным результатом главы 3 является

Теорема 3.1. Для любого набора Y существует функция f £ д(!)(у) такая, что

E^Xf-Y) lim —„ . „, = сю. n-oo E„(f)

Теорема 3.1 является простым следствием примера 3.3 (см. ниже). В главе 3 построены три контрпримера; первый из них является аналогом хорошо известного контрпримера A.C. Шведова (см. также X. Wu и S.P. Zhou ), а второй и третий - аналогами соответствующих примеров Я. Гилевича, Г.А. Дзюбенко и И.А. Шевчука.

Напомним, к-тым модулем непрерывности называют функцию

**(/;«)= sup II (/; -)11> he [о,i]

Дд(/; х) - конечная разность порядка к с шагом h функции / в точке х.

Пример 3.1. Для любых Y и п существует функция fi(x) fi(x]Y,n) такая, что f\ 6 А^^(У) и

где By — const, зависит только от Y.

Обозначим С'1-' - множество непрерывно дифференцируемых на К функций / € С.

Пример 3.2. Для любых Y и п существует функция f2(x) := k(x;Y,n) такая, что /2 € Д(1)(К) ПС(1) и

где By — const, зависит только от Y.

Пример 3.3. Для любого Y существует функция f(x) := f(x;Y) такая, что

/ел(1)(Г) пс(1)

и

nä?\f-,Y) lim -,-■ ■ . . = оо.

Замечание . Согласно классическому неравенству С.Б. Стечкина для функции / £ С^ справедлива оценка

ад) (V;-), n€N,

п \ п)

которая вкупе с примером 3.3 впечёт теорему 3.1.

В четвёртой главе, в отличие от предыдущих глав, изучается фор-мосохраняющее приближение алгебраическими многочленами функций, заданных на отрезке, то есть непериодических. Другое отличие четвертой главы в том, что здесь рассматривается не кусочно-монотонное, тс есть кусочно-1-монотонное приближение, а кусочно-д-монотонное приближение, где q > 1. В частности, при q = 2, кусочно-выпуклое приближение. Выше уже говорилось, что случай q — 1 ранее был изучеп практически полностью. При этом выяснилось, что при каждых фиксированном к (порядок модуля непрерывности), г (помер производной), s (количество перемен монотонности) неравенство типа Джексона-Зиг-мунда-Стечкина (J) верно тогда и только тогда, когда справедливо соответствующее неравенство Уитни (W), точнее, когда справедливо некоторое высказывание A (Auxiliary), основанное на неравенстве Уитни. Известна гипотеза, что это же явление имеет место и при всех д. В теореме 4.1 дан положительный ответ иа "отрицательную часть гипотезы": если А не верно, то и J не верно. Основной же результат главы - теорема 4.2. В ней для всех s и q доказано или опровергнуто соответствующее высказывание W типа Уитни, а значит и вспомогательное высказывание А. Случай s = 0, то есть случай "чисто" q-монотонного приближения см. в работах А.С. Шведова, И.А. Шевчука.

Поскольку мы перешли от периодического случая к непериодическому, модифицируем обозначения применительно к отрезку. Итак, пусть к G N, (г + 1) £ N, I := [—1,1]; С^0' С пространство непрерывных функций /:! —)■ М, с равномерной нормой

II/H = тах{|/(г)|; х G I}; С<г> := {/ : /<г> € С,г € N}; Рп - пространство алгебраических многочленов степени <п,п G N;

£?„(/):= inf ||/-Рп||.

Для каждого s £ N обозначим через Ys множество наборов Y := {y>}'i=i из s различных точек таких что —1 < ys < ... < у\ < 1.

Пусть Y е Ys, q £ N. Для / £ Ciq) будем писать / е А(,?)(К): если

S

/и)С®) - у») > 0,® ек.

>=1

Для / £ С (не обязательно / £ С^) будем писать / £ Д^(У), если для любого i = 0,... , s и для любого набора из q + 1 точек zjj £ [Vi+i, Vi], j = 0,... , q, справедливо неравенство

(~iy[z0>u... ,zqXJ]> О,

где [zo>t-... , z4ri; /] - разделенная разность порядка q функции / в узлах

Z0,i ■■■ , Zq,i; Уо 1, Уз+1 •■= -1-

Очевидно, когда / £ оба определения множества Л^'(У) совпадают.

Заметим, Д^(У) есть множество кусочно-монотонных на I функций, д(з)(У) есть множество кусочно-выпуклых на I функций. Для У £ Ys обозначим

2&«>(/;У):= inf ||/-Р„||.

р„€Д<«>(У)П!Р„

Для / £ С(г) хорошо известно неравенство Уитни

где ujk(f^;t) есть модуль непрерывности производной /(rV.x) порядка к; с(к,г) = const, зависит только от к и г. Сформулируем шесть высказываний.

Высказывание Пусть к £ N; (г + 1) £ N, s 6 N, q £ N.

Существует некоторая константа В — В(к, г, s, q) со следующими

свойствами. Для любых У £ и / £ р) Д^(У) верно неравенство

V

Высказывание ТУ8(<г)(У). Яустеь ^ £ М, (г + 1) £ М, 8 £ М, ? 6 N и У € Существует некоторая константа В = В(к,г,в,д,У) со следующими свойствами. Для любой / £ (С^ (""] Д^(У) неравенство (4.0.3) верно.

Высказывание Пусть к е N. (г + 1) € М, в £ 14, д € N.

Существует некоторая константа В = В(к, г, 5, </) со следующими

свойствами. Для любых У € У* С У, / £ С<Г>П Д(<г)(У*) справедливо неравенство

яЦг-хСЛУ.) < 1). (4.0.2)

Высказывание а{ч\у). Пусть к е 14, (г + 1) е ГЧ, в € 14, д е N щ У 6 Существует некоторая константа В — В(к,г,з,д,У) со следующими свойствами. Для любого набораУ* С У и / £ С^ (~) неравенство (4-0.2) верно.

Высказывание Пусть к (г + 1) € И, в ё М, д £ Л

Существуют две константы N = г, в, и В = В(к,г,з,д) со следующими свойствами. Для любых У € ¥5, / € (~| и

п > N справедливо неравенство

(4.0.1)

Высказывание ЛЧ\У). Пусть к € ¡4, (г + 1) е ГС, 8 еТЧ, ? £ N и У € Существуют две константы N — №(к, г, в, д,У) и В =

г, я, д,У) со следующими свойствами. Для любых f 6 П Д(9)(У) и п € N неравенство (4-0.1) верно.

Основным результатом главы 4 является

Теорема 4.2. Таблица истинности высказываний А™,

Л(/}(У) и И^(<,)(У) имеет вид г

+ + + + + + + + + + + +

q + s + + + + + + + + + + + +

+ + © © © © © © © Ф ©

+ © © © © © © © © © © ©

+ © © © © © © © © © © ©

Ч + ® © е © ©

+ © е е е

+ + © © е е

+ + + © © © 0

2 + + + + © © 0 © — — — —

1 + + + + + © © © © — — —

0 + + + + + + © © © © — —

1 2 3 ч

где "+" стоит в случаях, когда все четыре высказывания верны;

стоит в случаях, когда высказывания А^ и wi9^ ложны, но высказывания а{ч\У) uWs9\Y) верпы;

"Q" стоит в случаях, когда высказывание Wsq\Y) верно , но все три других высказывания ложны;

стоит в случаях, когда все четыре высказывания ложны. Результаты главы 4 получены совместно с A.B. Шаталиной. Выражаю глубокую благодарность моему первому научному руководителю, покойному профессору Андрею Андреевичу Привалову, а

также моему научному руководителю профессору И.А. Шевчуку. Автор искренне признателен заведующему кафедрой теории функций и приближений доценту А.Л. Лукашову за ценные замечания к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

(1) Плешаков М.Г. Комонотоиное неравенство Джексона, Совр. проблемы теории функций и их приложения, тез. докл. 8-ой Сарат. зимн. школы, Саратов, 1996.

(2) Плешаков М.Г. Оп Comonotone Approximation of Periodic Functions, Теория аппроксимации и численные методы, тез. докл. международной конфер., поев. 100-летию Е.Я. Ремеза, Ровно, 1996.

(3) Плешаков М.Г. О кусочно-монотонном приближении периодических функций тригонометрическими полиномами, Теор. основы и конструирование численных алгоритмов решения задач мат. физики, тез. докл. 11-ой Всеросс. конфер., Пущпно, 1996.

(4) Плешаков М.Г. Кусочно-монотонное приближение непрерывных периодических функций триго7Юметрическими полиномами Деп. в ВИНИТИ 19.11.1997 N 3403-В97.

(5) Pleshakov М., Shatalina A.V., Piecewise Coapproximation and Whitney's Inequality, CPT-95/P.3203. CNRS Lumini, Marseille, France, 1995, 9 pp.

Тираж 100 экз. 1 п.л.