Неравенства типа Бернштейна-Никольского и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Математический Институт Российской Академии Наук

РГБ ОД имени В.А. Стеклова

:;1 7 ФЕВ V и

Т. .* _ * На правах рукописи

' -------- - УЖ 517.9 _

ХА ЗУЙ БАНГ

НЕРАВЕНСТВА ТИПА БЕРНШТЕЙНА * НИКОЛЬСКОГО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

(01.01.01 - матс-маті?*!**'кий анализ)

Афтореферят диссертации на соискание ученой степени

доктори фи зи ко - матом а гических наук

Москва 1994

3абота выполнена в Ханойском институте математики и Московском энергетическом институте .

Официальные оппоненты: член - корреспондент РАН, доктор физико- математичесі

наук, профессор О.В. БЕСОВ,

доктор физико - математических наук, профессор Г.( БАЛАШОВА,

доктор физико - математических наук, профессор В.у КОНДРАТЬЕВ.

Ведущая организация^^нститх^мат^мад^си и механики Уральского отд. РАН.

Защита состоится “------” ------ 199—. г. в 14.00 часов на заседанп

специализированного совета Д. 002.38.03 в Математическом институте им. В.А. Стек/ РАИ по адресу: 117333, г. Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического институт лм. В.А. Стеклова РАН.

Я С^еЛ . ST

Автореферат разослан “-------" — 199— г.

Учёный секретарь специализированного совета, доктор физико - математических наук

A.C. Холе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория функций многих вещественных переменных - одно из тех направлений математики, по которым русские ученые традиционно занимали и занимают ведущие позиции. Эта теория сформировалась недавно. Специфические же задачи для функция многих переменных,'связанные, по существу, с наличием нескольких пере-в менных и не имеющие прямого аналога в теории функция одного переменного,-стали., возникать и систематически,изучаться лишь в тридцать!" годы нашей" столетия. Первые исследования были выполнены С.Л. Соболевым и его учениками В.И. Кондрашовым и

В.П. Ильиным. Сюда относится прежде всего изучение связей свойств ¿* нкции и ее следов на многообразиях различного числа измерения и в разных метрик;-, с. т.е. того, что стало назыэаться теоремам:; в южения. Большой вклад э создание это?’ нолой области математики внесли работы С.М. Никольского и его школы. Следует * гметить также имг'чл випмых > г? ^пй области таких как Л.Д. Кудрявцев, Л.К Слободецкий ,

О.В. Бесов, П.Л. У.'.Ьл тто*»; и и. ЛгЫ>рл,т{, С.Н , К У., г^ломсин, В.А. Солон-

ников, С.Б. Стечкин, В.М. Тихомиров, В.И. Ьуренко», З.Г. »'.А. Н.М.

Кокилашвилк, хМ..Л. Гольдман, Г. Тркбель. Э. Гальярдо, Л. Ниренберг, Лж. Петре, Д.Р. Адамс и др.

Качественно новый и большой цикл работ С.Л\. Никольского и его шкоты по изучению классов функций многих переменных связан с полученными им неравенствами для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа, которые называются теперь во всем мире ‘‘неравенствами Никольского”,“неравенством Бернштейна

-Никольского”. Эти неравенства особое лначение в ланной диссертации. Опишем

неравенство Бернштейна - Никольского дтч целых функций экспоненциального типа (для тригонометрических .<ногочлеИ'1В они .шнсынаются аналогичным брлзом):

Пусть ?' -- - V( . . . //„ ; г Я - V ■ . - - : , С с, --- г. - ■ г} у, £ Н. /

1.. и 1 < {> < :х. Обозначим через IVГ пространство зеех :;елых функций

экспоненциального типа : , которые как функции от действительного ' принадлежат к Л; Я" '. Пусть /! с ) £ *1(>/ и пусть через \ обозначается ее £. норма. Тогда

для нее справедливо неравенство;

!1 8,.< :! и,., п)

Это неравенство при л =1 и р = эс доказано С.Н. Бернштейном. В об : t»si зиде (I) оно было доказано С.М. Никольским.

Неравенства Бернштейна - Никольского и их варианты привликали внимание многих

математиков таких как С.Н. Бернштейн, С.М. Никольский , И.И. Ибрагимов, Н.И. Ахиезер, Б.Я. Левин, П.И. Лизоркии, Н.К. Ft ар и. A.'t1 Тиман, Г. Трибель. М..З. 5>..рколайко, В.И. Овчинников, Е.А. Горин, Б.И. Буренков и Д*1.Л. Гольдман. Б.Е. Майоров. г\. (r-nlb'h . R..1. Nessel. W. Trebels. K. Sch< t'ri. Нгуен Тхи Тхь«у Хоа, автоо и др. Сходные неравенства

для целых функций экспоненциального типа, ограниченных на R", рассматривались также в работах Л. Хёрм»ндера , G. Wihij' >. Г. C'iviu. P.L. Butzrr. R.I. Nessel. \\ . Trebels И др.

Неравенство Бернштейна - Никольского, наряду с неравенствами Никольского играют важную роль в теориях вложения, приближения и в различных приложениях. Отметим, что целые функции экспоненциального 'типа, ограниченные на действительном пространстве R”, имеют свойства, весьма аналогичные соответствующим свойствам тригонометрических полиномов.В то время как тригонометрические полиномы являются хорошим средством приближения периодических функций , целые функции экспоненциального типа могут служить средством приближения непериодических функций, заданных на л-мерном пространстве.

Из теоремы Пэли - Винера - Шварца с.-,', дует, что

где Д„ = {£ £ Я” :| ^ ¡< = 1....= /(О* преобразование Фурье

функции /(у). Следовательно, неравенства Бернштейна - Никольского (и Никольского) показывают тесную связь между свойствами функции и носителем ее преобразования Фурье.

Будем называть ьиррР/ спектром функции /(.г > и обозначим его через яр(/).

Естественно возникает вопрос о неравенстве Бернштепна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в некотором произвольном компакте К. Здесь имеются некоторые результаты П.11. Лизоркина н Г. Трибеля, однако полный ответ неизвестен.

Подчеркнем,что при изучении неравенств типа Бернштейна- Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте возникают существенные трудности, связанные прежде всего с отсутствием традиционных методов исследования.

Необходимость и естественность изучения неравенств типа Бернштейна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте видны также при изучении пространств Соболева бесконечного порядка. Напомним его определение для случая С = Я”:

Пусть о0 > 0 - произвольная числовая последовательность и 1 < р. г < ос. Тогда класс всех функций вещественных переменных .;ч.........! ,,, имеющих конечную норму

называется пространством Соболева бесконечного порядка. Пространства Соболева бесконечного порядка возникающие при изучении линейных и нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с коэффициентами степенного роста, были введены Ю.А. Дубинским к 1975. Теория пространств Соболева бесконечного порядка,

ОС

как естественное но качественно иное продолжение теории пространств Соболева конечного порядка, была построена и изучена Ю.А. Дубииским, Г.С. Балашовой , Чан Дык Ваном,

Л.И. Клен иной , Ю.А. Коняевым, А .Я. Кобиловьш, С.Р. Умаровым, А.Н. Агаджановым, автором и др., которые рассматривали следующие вопросы: нетривиальность, теория следов, связь с краевыми задачами, теоремы вложения, геометрические свойства и др.

__ При изучении нелинейных дифференциальных уравнения бесконечного порядка с коэффициентами произвольного роста возникает необходимость рассмотрения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка. Пространства Соболева--' Орлича бесконечного порядка были введены и изучены Маи Лык Наном, а затем им, автором, Нгуен Ньы Доаном, Ле Ван Хапом и др.

Как видно из определения, при изучении пространств Соболева бесконечного порядка и смежных вопросов, необходимо охарактеризовать поведение последовательности норм производных }[ D:,f ¡|/(. | о |> 0. В частности, требуется иметь неравенства типа Бернштейна - Никольского для функции с произвольным спектром.

:t!v неравенство Никольского: Пусть 1 < р < q < сю. Тогда

!!f ¡‘t ü /',-■* t-J

для тригонометрических полиномов вида т i т п

tmi-C) = ]Г +-----1-J„X„)) ,

)1-~тI = ^ „

И ' • " -

ll/l!., П,/,'",/''ü/l!,. (3)

i=l

для целых функций экспоненциального ТИПИ п.

Для тригонометрических полиномов одного переменного аналогичные результаты получены G. Szcgo и A. 2ус,тшк1 и для частного случая q = го D. Лпск^оа. В многочисленных работах ИЛЬ Ибрагимова, Л.С. Джафарова, Д.И. .Чамедханова, Б.А. Римченко,

Н.М. Сабзиева, Л.Ф. Тимана, Р. Несседя и Дж. Вилмса, эти неравенства (2), (3) улучшены и обобщены.

Аналогичные нерниенс! ва в весовых метриках и обобщенных лебеговских пространствах рассматривались в приведенных работах И.И. Ибрагимова, A.C. Джафпрояа, Пж.И. Мамедханова, Б.А. Римченко и Г. Трибеля . Подобные оценки для алгебраических полиномов на компактных множествах изучались в работах М.И. Ганзбурга, Г.К. Дебеда, G. Szego и A. Zygmuud, М.Ф. Тимана, Дж. И, Мамедханова. Неравенства типа Никольского, связанны: с ортогональными системами функций изучались в работах D. Jnrkson, R.J. Хеь>о1, Г»’..]. Wilmcs, С*. \\нтнп. \. Okuyama, А.Ф. Тимана, В.И. Буренкова, C. Мягкой.

Р. Ncvai. V. Totik. Р. Nevai, Ci. Preud. X^uyen Нон и др.

Неравенства Никольского для симметричных пространств рассматривались в работах

В.А. Родина, М.И. Ганзбурга, В.И. Овчинникова и М.З. Берколайко.

Дальнейшие углубления в изучении неравенств Никольского и Бернштейна-Нихольскогс такие как перенесение их на более общие нормы (а именно, нормы Люксембурга или Орлича, часто встречающиеся в изучении нелинейных дифференциальных уравнений ) или уточнение, естественны и важны. Необходимость таких углублений ясна также при изучении теории пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка и нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Следует отметить, что теория функциональных пространств бесконечного порядка отличается от теории пространств конечного порядка хотя бы уже тем, что фактически здесь речь идет о бесконечно дифференцируемых функциях. В частности, совершенно нетривиален вопрос о существовании нелулеэого элемента функциональных пространств бесконечного порядка (т.е. вопрос о нетривиальное™), положительный ответ на него играет решающую роль в теории краевых задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Задача о нахождении решений краевых задач для уравнений бесконечного порядка содержательна, если соответствующие энергетические пространства нетривиальны.

Как известно, в теории краевых задач для уравнений с частными производными (в особенности, нелинейных задач) важную роль играют теоремы вложения классических пространств Соболева. Точно так же (и даже в большей степени) при исследовании краевых задач для уравнений бесконечного порядка существенны теоремы вложения и компактного вложения пространств Соболева бесконечного порядка.

Изучим следующее вложение

И-~К.р,г}(С) (4)

Ю.А. Дубинским доказаны необз£6Д1йм6е'ЧТ Достаточное условия вложения и компактного вложения (4) (как специальный случай вложения абстрактного предела банаховых пространств). Эти условия получены в терминологии асимптотического поведения норм операторов вложения : Л\- —► V*,,, в процессе к —► со,т —♦ оо. К

сожалению, в настоящее время общие методы точного вычисления норм этих операторов неизвестны, поэтому, наряду с общими функциональными критериями, существенное значение приобретают условия, имеющие алгебраический характер и являющиеся достаточными для вложения и компактного (4). В частности, важно найти условия вложения, зависящие от параметров а0,6д,р,г пространств П70С{аЛ,р,?•}((?), И/'00{&0,р,г}(Ст), от функций характеристики этих пространств, ...

Теоремы вложения пространств Соболева бесконечного порядка рассматривались й работах Ю.А. Дубинского, Г.С. Балашовой , автора и Динь Зунга.

Отметим, что теория нелинейных краевых задач в случае уравнений конечного порядка была построена в 60-х гг., причем значительлно ранее были уже хорошо изучены в работах С.М. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, Ж.Л. Лионса свойства функций из энергетических

пространств, которым принадлежат решения рассматриваемых задач. В случае же уравнений бесконечного порядка теория соответствующих функциональных пространств получила развитие только в последние годы и, на наш взгляд, представляет самостоы-ательнып интерес.

При изучении теорем вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка необходимо рассмотреть неравенство Колмогорова для нормы Орлича..Напомним теперь неравенство Колмогорова: Пусть I - некоторый интервал в Н1, а функция вместе

с всеми производными рк)\.г\. к — 1..........п ограничена на I и /{п~1Ц.г) удовлетворяет

липшицевому условию. Положим

^„і/. Л . ¿- = 0Л....п .

I

А.П, К"ч»"їгпоов ставил вопрос о нахождении необходимого и достаточного условия, иаложсяног" на и И ........./' ^ того, чі "•"■"-•’■повала функция ¡(х ) такая, что

/и- = ,"*(/• Л • *' = 0.1....п

я решил это вопрос для случая I — ( — х:. х:) и трех чисел ^о-/и. V,,- А именно

П ^ /“•>» »1 — і

Пк < С„.кРо

где

Сп к = А.

Кх — - У^!-1 . 2;» — Іі‘~‘ >/ четноі.

' ;> = І . >>!

Кі ~ — '^Г' 1/(2/» — 1 ■ I нечетно!

Затем Е. Стейну удалось перенести это неравенство /для - нормы) на случая L„ -нормы (1 < р < оо и причем, с такими же константами).

Неравенства типа

г > ч •; х- г * ■ i А I ,• 1 ih 1 — \

где 0 < к < п, А > 0. 1 < p. q,r < со играют важную роль в математическом анализе. Такие неравенства изучали многие математики такие как Г. Харди, Дж. Литтлвуд, Е.

Ландау, Ж. Адамар . Б,С. Надь, А. Родоп. С.Б. Стечкин, Л.В. Тайков, В.В. Арестов, В.М. Тихомиров, Г.Г. .Чагарил - Ильяеа, В.Н. Гзбушин, Н.П. Купцов, А.П. Буслаев, А.П. Ма-тории, В.И. Бердышев, Нгуен Тхи Тхьеу Xoj, Е.М Smu I.J. S< li<н'игх'l-ц, A. CV/iviii-ti;i. Z. Ditzinn. H. Guidler. .1. GobUtfin. -I. G<>1< breiu, E. Hil'r. M. W. Certain, T.G. Kurt/,

Н X. Boyadzicv, и для ?/-мерного случая - В.П. Ильин, В.А. Солокников, Г.С. Балашова, L. Xirenberg, E. Gagliartlo. Dinb D1111& и др.

Таким образом, необходима и естественна задача обобщения неравенства Колмогорова на случай произвольной нормы Орлича.

В последние годы активным средством исследования уравнения в частных произвол* ных стала теория псевдодифференциальных операторов (п.д. операторов). Эта теория, основу которой составляет алгебра п.д. операторов в различных пространствах основных и обобщенных функция, может рассматриваться, в частности, как операторное исчисление, являющееся развитием и обобщением классического исчисления Фурье и его различных вариантов.

Теории п.д. операторов в настоящее время посвящена значительная литература. Первые результаты Дж. Дж. Кона и Л. Ниренберга и Л. Хермаидера составляют основы теории п.д. операторов, которую сегодня можно назвать классической.

Существенные приложения и дальнейшее развитие этой теории даны в работах М.С. Аграновича, Л.Р. Волевича, В.В. Грушина, Дж. Дюстермаата и Л. Хёрмандера, Ю.В. Егорова, X. Кумано-го, Л. Ниренберга и Ф. Трева, O.A. Олейник и Е.В. Радкевича, М. Теялора, .Ч.А. Шубина. X. Трибеля и многих других авторов.

Следует подчеркнуть, что э приведенных работах теории п.д. операторов относятся к случаю операторов, символы которых .4(./\ £ - суть гладкие функции, определенные по £ в полном евклидовом пространстве R". Однако, как показывают примеры краевых задач математической физики, возникает необходимость изучения п.д. операторов, символы которых имеют особенности и, следовательно, не являются гладкими функциями, определенными для всех значений £ 6 R". Теория таких п.д. операторов введена и изучена в работах Ю. А. Дубинского. Этой теории посвящены также работы Чан Дык Вана, Чинь Нгок-Миня, Динь Нхо Хао, автора и др.

Естественная и очень важная следующая задача: Зная символ п.д. оператора, нужно дать различные свойства самого оператора.

Далее, как известно, одной из центральных теорем гармонического анализа является теорема Пэли - Винера - Шварца, которая в частности, вместе с теоремой о носителях играет важную роль в теории линейных уравнений в частных производных.

Теоремы Пэли - Винера - Шварца явно характеризуют фурье - образы некоторого класса распределений (или функций) с носителем, содержащимся в некотором компакте А С R". Они дают нам прямые соотношения между ростом рассматриваемых функция и яосителем их преобразования Фурье. Теорема Пэли - Винера * Шварца и ее варианты привлекали внимание многих математиков таких как Р.Е.А.К. Пэли, Н. Винер, М. Планшерель , Г. Полиа, Л. Шварц, Л. Хёрмандер , Г. Бъёрк, Ф. Трев, М. Рид, Б. Саймон, Г. Комацу, К. Ромию, Г. Трибель, Р.В. Браон, Р. Мэйз, Б.А. Тэйлор и др. В известных работах выпуклость множества К всегда предполагается.

Другой причиной изучения теоремы Пэли - Винера - Шварца является ее приложение

О

к теория дифференциальных уравнения: Пусть, например, О - некоторое компактное множество в Н" и Р(£) - некоторый полином. Рассмотрим разрешимость дифференциального уравнения

Р(В)Ь. = ^ (о)

- - в пространстве ¿'(С}) распределений с компактным носителем, содержащимся в О, где дифференциальный оператор Р\ получается из Р{£) заменой —* —'згг-7 ~ !.••• ./>•

Используя преобразование. Фурье, получим эквивалентное уравнение ......~ • —-------.

' • Ь «

а пространстве Р( £*{(})), где Гд = у - преобразование Фурье функции у.

Ясно, что целая функция экспоненциального типа ^5) должна делиться на иоляном Р[*). Следоьлге'[ьио. чтобы решить уравнение {.') простым алгебраическим уравнением

1. - .г-1:й.с1/Г{')|.

нам надо проверить условие

Л(^ = /ис'/Р^1 е Р1£\0)) .

И поэтому, надо охарактеризовать Г{£'\0}), т.е. получить теорему Пэли - Винера -Шварца.

В своем первоначальном виде теорема Пэли - Винера дает характер функций одного комплексного переменного, получающихся как преобразование Фурье функций из £ _■! Я * > с компактными носителями. Ье а - мерный случай формулируется Планшерелем и Полна Затем Л. Шварцу удалось освободил ься от условия принадлежности к В таком зи..е теорема более остес- ¿енка и полезна.

Теорема Пэли - Винера * Шварца, которая характеризует фурье - образы распределения с компактным Еюс.пелем, сол -катимся в параллелепипеде А-. принадлежи'; Л. Шварцу. А в общем случае, когда параллепипед А, заменяется произвольным выпуклым компактным множеством А принадлежит Л. Уёрмандеру.

Кстественно и необходимо рассмотреть теорему Пэли - Минера - Шварца для случая, когда А неаыпукло.

Цель работы В пянноП работе в основном мы будем решать доставленньи-

\а;;лчп А. нмеико,

1) Дальнейшее изучение неравенств Бернштейна - Никольского и Никольского.

2) Характеристика поведения последовательности норм производных рункпии в ,*ан исимости от ее спектра.

5) 1Ь>чеЕше геометрии спектра функций из пространств Орлича.

-1) Изучение свойств пгевдодифференциальных операторов э зависимости от их символа.

5) Решение классической проблемы о характере фурье-образа пространства распределений с носителем, содержащемся в произвольно зафиксированном компакте.

6)Получение алгебраических условий вложения и компактного вложения пространств Соболева бесконечного порядка.

7) Получение неравенства типа Колмогорова - Стейна для нормы Орлича,

8) Изучение теории пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории функция и функционального анализа (в частности, пространства Орлича, обобщенные функции, преобразование Фурье,псевдодифференциальные операторы;теоремы о мультипликаторах) преобразование и регуляризация рядов и методы теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты находятся в одном узком направлении, показывающем тесную связь между свойствами функций и их спектром. Они выражаются через неравенства типа Бернштейна - Никольского, неравенства Никольского, спектральный радиус п.д. операторов, теорг-мы Пэл и - Винера - Шварца для функций с необязательно выпуклым спектром,... Эти результаты широко применяются в изучении пространств Соболева и Соболева - Орличг бесконечного порядка.

Сформулируем основные из полученных автором результатов:

1. Установлен один результат, который является дополнением к изучению неравен-стна Бернштейна - Никольского. Доказано, что неравенство Бернштейна - Никольского полностью характеризует пространство Показано, что естественно ожидаеммое

неравенство Бернштейна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте неверно в общем случае.

2 Установлені некоторые неравенства типа Бернштейна - Никольского для функций с произвольным спектром. Эти неравенства выражаются б виде асимптотического поведения последовательности Lv - норм производных функции. Доказан один результат, который полностью характеризует поведение последовательности ¡¡¿}°/||?, .о > Ö в зависимости oTsjH.y .

3. Доказаны аналогичные результаты для тригонометрических полиномов.

4. Введены некоторые понятия мажорации функций Юнга, при которых устанавливаются неравенства Никольского для норм Люксембурга и для функций с произвольным спектром.

5. Дан анализ геометрии спектра функций пространства Орлича Оказы-

вается , что функции Юнга распадаются на две групы, при которых спектры функций соответствующих пространств Орлича имеют совсем различные геометрии. Полученный анализ имеет самостоятельный интерес и применяется в дальнейшем.

С. Введена одна алгебра псевдодифференциальных операторов, действующих инвариантно и непрерывно в пространстве и обнаружено, что для любого элемента .4(jD)

этой алгебры, всегда существует следующий предел

d} = lim і A’"iD)f ]^т

ПІ — -x

$

для любой / £ ЯЯд'Ф • Назовем этот предел точечным спектральным радиусом п.д. оператора Л(П) и вычислим супремумом модуля символа оператора Л(0) на носителе преобразования Фурье функции /. Рассмотрена также разрешимость п.д. уравнений .

'7: Вычислен спектральный радиус п.д. операторов данной алгебры.

8. Решена классическая проблема-'о' характере фурье_- образа пространства распределения с носителем, содержащимся а произвольном компакте, т.е.} доказана теорема. Пэли - Винера - Шварца для случая произвольного компакта А . Полученные результаты являются неравенствами типа Бернштейна для целых функций экспоненциального типа, которые как функции от действительного переменного не обязательно являнггся суммируемыми.

9. Поскольку условия проверка только что угточянугого результата очень сложны.

Поэтому введены некоторые специальные множества, которые необязательно выпуклы, и дока^кзаттм теорему В««рпа - Шварца для этих множеств.

10. Доказаны необходимее :у«~р»то*шос ¿итлзтт* «тн«н»>Н4*йа1а?г*Г!* "«ффеоенциальных операторов бесконечного порядка в пространстве распределения с комтт^^тным шэсите.ч^ч

11. Установлены, новым методом, некоторые легко проверяемые и достаточно точные алгебраические условия вложения и компактного вложения пространств Соболева бесконечного порядка для случая )> = 1. Некоторые результаты, полученные автором, являются более точными чем соответствующие результаты предыдующих авторов. Следует отметить, что случаи 1<г<осиг = эс (непредельный и предельный) являются различными и в каждом случае требуется специальный подход.

12. Доказано неравенство Колмогорова (с такими же константами как в известном неравенстве Колмогорова) для произвольной нормы Орлича и применяется этот результат для установления теорем вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

13. Доказаны критерии нетривиальности классов, пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка в полном евклизове пространстве.

14. Охарактеризован запас функция пространства Соболева - Орлича бесконечного порядка з термине спектра.

15. Доказаны необходимое и достаточное условие инвариантности и непрерывности координатных преобразований в пространствах Соболева - Орлича бесконечного порядка.

16. Доказано, что любое пространство Соболева - Орлича бесконечного порядка в ограниченно?! области с локально лнпшицеаогт границей сепарабельно, что невозможно для пространств конечного порядка. Это показывает существенное различие между пространствами конечного и бесконечного порядков.

Достоверность результатов* Все результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм, следствий и строго доказаны.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней продолжено изучение известных неравенств Бернштейна - Никольского и Никольского, проведена оценка норм производных функции в зависимости от ее спектра и изучена геометрия спектра функций из пространств Орлича. Представленные

результаты имеют самостоятельный интерес и применяются з изучении теорем »ложения и других вопросов теории пространств Соболева - Орлича. Получены легко проверяемые алгебраические условия вложения и компактного вложения пространств Соболева и Соболева - Орлича бесконечного порядка.Эти результаты используются при решении нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Решение классической проблемы о характере фурье-образа пространства распределений с носителем, содержащимся б произвольно зафиксированном компакте имеет применения в решении дифференциальных уравнений. Показанное известное неравенство Колмогорова - Стейна для произвольной нормы Орлича может быть использовано а различных вопросах. Таким образом, полученные результаты имеют практическое применение и это показано в самой работе.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: регулярно, начиная с 1982 года, на научных семинарах Ханойского института математики (рук. проф. Чан Дых Вав), на научных семинарах МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. акад. РАН СМ. Никольский, член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцев, член-ксрр. РАН О.В. Бесов), МЭИ (рук. акад. МАН ВШ Ю.А. Дубинский), Софиаского университета (рук. проф. Мори-мото), Тшукубаского университета (рук. проф. Т. Мурамату), Токиоского университета (рук. проф. Комацу), на Международных математических конгрессах 21СМ-90. ЮМ-94, на 3-ем коллоквиуме по анализу (Берне 1994), на Международной конференции по прикладному анализу (Ханой 1993) и др..

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Некоторые результаты данной диссертации изложены также в работах, принятых к публикации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав, разбитых в общей сложности на 17 параграфов и списка актируемой литературы из 260 наименований. Общий объем работы составляет 269 страниц текста. Номерация утверждения троЯная: номер главы, номер параграфа, номер утверждения.

Автор выражает глубокую благодарность профессорам Чан Дык Вану и Ю.А. Дубин-скому за поддержку и влияние на формирование своих математических интересов. С доброй памятью выражаю благодарность профессору Ю.Ф. Коробейнику, у которого много научился со студенческого времени.

Эта работа поддержана Национальным центром науки и технологии Вьетнама. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена общая характеристика работы, краткий обзор литературы, примыкающей к тематике диссертации, а также сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1. Неравенства типа Бернштейна - Никольского

§ 1.1. О неравенстве Бернштейна - Никольского.

В этом параграфе мы докажем некоторые результаты, прямо связанные с неравенством

Бернштейна - Никольского, - -------------------___

Пусть 1 < р < гс. V — 1 ¡'I . .. 1/„ ¡. и} > 0. / ~ 1.п а }\ .г) 6 '■ Тогда......- — .

!! 0ПЛ„< "г*П /II,.- а>1). (1-1.1)

Постоянная 1,а в (1.1.1) (при каждом фиксированном мультииндексе о > 0) является точной. В то же время при каждой фиксированной функции [ ? <^^1, имеем следующее:

Теорема 1.1.1. Пусть 1 < р < ос. и} > 0,] •=? 1.......п, } £ Ж*,, и /( /■) р 0. Тогда

¡им * ';; гг/ " '11 *>'

;л|—>: 1

Равенство (1.1.2) может быть неверным при р — эс.

Рассмотрим неравенство Бернштейна - Никольского для производной по направлению:

Пусть а = (а 1,... . а„) в В" есть произвольный единичный вектор. Обозначим через

• ■( х—' 0 /

А,/(•'■) = г^.г) ~ у (л*

“ 0-Г,

производную от / в точке г по направлению Положим

/'V ; = ''р ' ,г‘ ■

Тоеда имеет место следующее неравенство Бернштейна - Никольского для производной по направлению:

Теорема 1.1,2. Пусть 1 ;> ^ х г €. ¡Г. ,■ Я" ) и -Ь,1/ с х. Тогда им**ет «ссто

неравенство

£),/'%< 1• •/'' II f\\r, . (1.1.11)

где постоянная ) является точной .

Теорема 1.1.3. Пусть 1 < р < х и О’"/(.г) £ = 0,1--- Тогда всегда

существует следующий предел

<// = ¡пн О1" /'

причем

,1}- = гт1 = ' 6 •

Из Теорем 1.1.3 и 1.1.1 имеем следующее представление: Пусть 1 < ;/ < оо,/ € L,,(R' I к о/ < со. Тогда

||Я"7 ||/ И,,,»» = 1,2...

О < <Л,„ < 1. lim Л,1/’" = 1

И/ “'ОО

И .

lim А„, = О

- »71—'ОС

при 1 < р < 00.

Теорема 1.1.4. Пусть 1 < р < х и D'n/(.r) € ¿;,(R!).i)> = 0,1,... Тогда всегда существует следующий предел

нш ||^'7н;/"',

ж—сс ’

причем

"Ч‘ I а< ! •

ie-.pt/)

где здесь /)„(/) может быть равным бесконечности.

Теорема 1.1.5. Пусть 1 < р < oc. f £ и /»«(/) < зс. Тогда имеет мест»

неравенство

lim >h.A.nr‘" |; D'"f |1,,= 0 . (1.1.12)

III —“5С

Равенство (1.1.12) может быть неверным если ¡< = ос.

Далее, естественно возникает вопрос о существовании какой - нибудь функции / </ ЗЛ„,, для которой справедливы все неравенства (1.1.1). Оказывается, что ответ отрицателен. Иначе говоря, неравенство Бернштейна - Никольского полностью характеризует пространство А именно,

Теорема 1.1.6. Пусть / € S'. Тогда / 6 ©î„;, тогда и только тогда, когда существует такая постоянная С = C(.f), что

II £>'7 II,< . о > о.

Для проверки принадлежности функции / пространству ЯЯ„,„ следующая теорема • является более удобной:

Теорема 1.1.7. Пусть / 6 S'. Тогда / € тогда и только тогда, когда выполняется

следующее неравенство

ïîm ()/-“ || D" f 1)7,)1 /,<т* < 1. (1.1.13)

Н—»

во выражении (1.1.13). Оказывается, что для справедливости Теоремы 1.1.6, величина

1/ | а | не может быть заменена любой другой величиной 1/ | ex | i(oc), где 0 < и

Наконец, дадим одно замечание о неравенстве Бернштейна - Никольского. Множество всех целых функций экспоненциального сферического типа г, которые как функции

* дейстзительного .г £ принадлежат к ), обозначим через Б

Из равенства Парсеваля ясно, что

гглт* / с 5 ШТт->. По аналогии с неравенством Бернштейна - Никольского, естественно 303?г??ха*т воииос о СПрлЗ^.‘?Г?!?^мГГИ {!.! Н} "ЛЯ пооизвольного 1 < Р < X.

Интересно, ЧТО ОНО неверно Э общем СЛ^ЧйС, 410 различие мсжг.у Д*УМ« Ча<, ¿..

встречающимися в анализе Фурье случаями спектра: параллелепипед и шар.

Установим в этом параграфе некоторые неравенства типа Бернштейна - Никольского для функций с произвольным спектром. Эти неравенства выражаются в зиде асимптотического поведения последовательности £;, - норм производных функции. Характеризуется поведение последовательности ,!)"/!!„ л ^ 0 9 зависимости от *1)1 /).

Теорема 1.2.1. Пусть Г - некоторое неограниченное семейство мультииндексов, 1 ;£ /» ' зс и такая функция /і : * Е что её обобщенные производные О^гі-с) ~ ¿¡.[Н" \

для всех п 6 /. Тогда имеет место следующее неравенство

для произвольной точки £ с Чр1 / )• Причем постоянная 1 в неравенстве (1.2.1) янляется точкой.

Далее, пусть 1 < р < .х:. * £ 1;,(Я" > и чх / ограничен. Тогда £) ' *\.г ■ 8 ) для

всех су > 0. Ставится вопрос о характеризации поведения последовательности 0‘\[

, а > 0. Следующий результат дает полный ответ на этот вопрос:

Теорема 1.2.2. Пусть 0 ^ .м ^ тс./ ^ Я' П и нр(/) ограничен. Тогда псегда

имеет место следующее равенство

í(a) —» оо при | о I—* х

А/ ,-■< г2 ¡i /

§1.2. Неравенства типа Бернштейна - Никольского.

і.

<1.2.(і)

№р(Л

О для некоторого мультииидекса о. Как мы показали, если хир | £“ |= 0. то £>"/(■' ) = И

яр!/)

для именно такого о. Для получения (1.2.6) условимся, что 0/0 = 1.) Равенство (1.2.6)

i€sp(/)

спектра sp(/) имеют значение для поведения последовательности jj D" / ||,,.п > 0.

Замечание 1.2.2. Пусть }{s) 6 С’“'(R" ) и Д.г) jé 0. Тогда из критерия Мандельбройта

- Банга - Лелонга о неквазианалитическом классе следует, что

Этот результат характеризует поведение последовательности норм производных бесконечно дифференцируемых финитных функций. Следовательно, Теорема 1.2.2 характеризует поведение последовательности норм производных функций другого класса -класса целых функций экспоненциального типа.

Теорема 1.2.3. Пусть К - произвольное компактное множество в И" и 1 1 р < Тогда для любого ( > 0 существует такая постоянная С,, что

Замечание 1.2.3. Равенство (1.2.6) неверно, если sp(/) неограничен. Однако, если

неограниченным по остальным переменным, то можно доказать следующее:

Теорема 1.2.4. Пусть 1 < р < ос,/ 6 £,,({}”) и нр(/) является ограниченным по переменным £1,... ,£щ (1 < гп < п). Тогда имеет место следующее равенство

Замечание 1.2.5. Пусть 1 < р < ос, Р(£) - произвольный полином с постоянными коэффициентами и К - произвольный компакт в И”. Заменяя —> —¡д/д(}, получим

геометрию носителя преобразования Фурье функции/(j ). (Возможно, что sup j f" |=

показывает, что последовательноть || Dn / ||J/^.o > 0 имеет одинаковое поведение с последовательностью sup | £“ о >0. Следовательно только “граничные” точки

для всех Q > 0 и / € Мкр, где

={/€!,,(R”) : sp(/) С Л'}.

мы знаем, что sp(/) ограничен по переменным ........im(l £ ni < ’>) и может быть

13!—ОО

Ит ( || D0.f (I,, / sup и*|)1/И=1. ’ —fgsilin

££*р(/1

дифференциальный оператор Р{ D). Тогда хотя незерно з общем случае следующее естественно ожидаемое неравенство

\\P(D)f\\? < (ьир|Л;)|)1!Л!я i 1.2.36)

_ _ к

для всех функций j 6 однако, справедлива следующая теорема:_____________

Теорема 1.2.5. Пусть 0 < р < ос, j\ .г ~ Ljt{ R'1 j ° S'. Р’ £'> - произвольный полином с константными коэффициентами и sp(/ ограничен. Тогда всегда существует предел

Л, = ■

причем,

ГIf = sup ]P(i)| .

Пример 1.2.1. Пусть Р(ч) = Л, U < ¡> < ос, j с 1 и огратгг-н Тогда ¿з

Теоремы 1.2.5 вытекает, что всегда существует предел

lim ||Л"' Щ)/'" = мц) ii'j.

.р(/>

Теорема 1.2.6. Пусть А - произвольное компактное множество в R“ ,1 < < эс и /*(; i

- произвольный полином с комплексными коэффициентами . Тогда для любого «*;>•) существует такая постоянная С.. что

\\pn,{D)f\\}, < с : -г

для всех /» > 0 и / € ЭД/ч>

Рассмотрим теперь Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 для более общего случая. А именно, пусть / некоторое семейство мул ьти индексов м = 1 о I.. ..i>w~Z!L.t£ < X) и /(./■)- такая

измеримая функция, что ее обобщенные производные D:t fi г I принадлежат Lr _ I R" I д.-ч зсех п, а I. Будем изучать поведение последовательности , а 6 / в связи с мх ; .

Необходимость такого рассмотрения ясна из определения общего пространств Соболева бесконечного порядка.

Теорема 1.2.7. Пусть 1 < рп < сю и /( j*) - такая измеримая функция, что ее обобщенная производная Daf(x) принадлежит 6 I- Тогда

I/) lim ••£?7!U,/|r'-,;" 11 П2..Г.>

¡1,1 — 'С

для зсякоп точки f 5 чр(/).

Если sp(/) ограничен, тогда имеется следующий более сильный результат:

Теорем« 1.2.8. Пусть 1 < < ос и /(I - такая измеримая функция, что ее производная Daf(x) принадлежит (.и 6 / и sp(/) ограничен. Тогда

(Л ¡¡Ш (I!#“/!./.,./1П)1Л"' > 1- (1.2.59 I

¡а|~ а. *р(Я

Неравенство (1.2.59) не может быть замененным равенством в общем случае.

Замечание 1.2.8. Теоремы 1.2.7 - 1.2.8 также верны при 0 < < ос.

§ 1.3. Неравенства типа Бернштейна - Никольского для периодических функций .

Методом разложения рассматриваемых функций в ряд Фурье, можем доказать, что верны все соответствующие результаты ( кроме равенств (1.1.2) и (1.1.12) ) параграфов

1.1, 1.2 для периодических функций .

Пусть Т" - и - мерный тор. Обозначим через £,,(Т'') пространство периодических функций периода 2~ по каждой переменной таких, что

IlMllj! = I < ос.

Сформулируем, например, один результат, который показывает отличие между случаями

С? = R" и G = Г":

Теорема 1.3.3. Пусть </(j ) ф 0.1 < />„ < oc.Du<j 6 ¿,,и(Т").« € / и кр(</) ограничен. Тогда

Пш (|!Р"у|1]#,„ м.р \к" |)'/н = 1.

!“1—xV ¿e^p(s) '

где к € Z+.

Замечание 1.3.2. Возникает вопрос о справедливости последнего равенства для случая о < Ра < ОС. К сожалению, оно неверно в общем случае.

Глава 2. Некоторые неравенства для норм Люксембурга

В данной главе будем изучать некоторые свойства функций пространств Орлича L<t>(R" ) .

или Хф(Тп).

§2.1. Неравенство Никольского для норм Люксембурга

В этом параграфе мы попытаемся установить неравенство Никольского для норм Люксембурга. Трудность этой задачи объясняется хотя бы тем, что нам трудно сравнивать (в явном виде) функции Юнга.

Пусть Ф(і) : [0,+х>) —► [0,+сс] - произвольная функция Юнга, т.е., Ф(0) = О, Ф(/) ф О и Ф(і) выпукла.

Тогда £$( в) становится банаховым пространством и называется пространством Орлича, есля его элементов определяется формулой

Пространства Лебега являются частными случаями пространств Орлича, причем,

II • 11(Ф) = :1 ■ 11/. если 1 < р < тс и Ф|?| = !''■ и ■ . !,ф, = !! . Ц;*, если Ф(М = О при

0<К1иФ(?) = х при ? > 1 .

Пусть ;' = (!'].•■• > 0 и Ф| М - произвольная функция Юнга- Тогда сутеетнуст

такая константа С < х;, что

Обозначим через точную константу з неравенстве (2.1.3).

Дадим теперь одно понятие явной мажорации функция Юнга, которое требуется при установлении неравенства Никольского для норм Люксембурга.

Определение 2.1.1. Функция .-1(?) : [0. +ос) — 0.4-оо] называется квазивьшуклоп

Далее, пусть (3 - некоторая область в Я" или тор Т‘. Через Ь^(С) будем обозначать совокупность всех функций и(х), удовлетворяющих условию

• для всех измеримых функции г(.г) таких, что р(и.ф) < где

\ I пт.

Норма Орлича || . ¡¡ф эквивалентна следующей норме Люксембурга

il/lk <ОД+ . V/ € .

где С можно положить равной

inf {|М|(ф) : 15 Є С^{Н" I,<s — 1 в некоторой окрестности Д„ ) .

если

А( \t) S -\.4( 11 . 0 і Л < 1 . - > 0 .

С2.1.4)

Ясно, что все функции Юнга являются квазивыпуклыми.

Квазивыпуклая функция A(t) называется тривиальной, если .4( 1 i = -t-ос для вгсх <>0.

Очевидно из определения, что если .4( 1 ) есть нетривиальная квазивыпуклая функция

то

. liai.-l(f) = ü. (2.1.0)

I—о

Определение 2.1.2.. Пусть Ф(<). Ф(<)~ функции Юага. Будем говорить, что Ф( t ) мажорирует Ф(<), если существует нетривиальная квазивыпуклая функция Ai 11 такая, что

Ф(<)< Ф(Д(0) , * >0. (2.1.С)

Пример 2.1.1. Пусть 1 < ¡1 < <у < оо и Ф(£) = /’^(i) = V.t > 0. Тогда

Ф(<) = (?»/'')'' = . i > 0 .

Следовательно Ф(<) мажорирует Ф(<) (здесь .4(1) —

Теорем« 2.1.1.. Пусть Ф(г) мажорирует Ф(7 )• Тогда

A(Cvip) ,

С*|/Ф

И/Ин

-4'Л

для всех / 6 где Л{г.) удовлетворяет (2.1.6).

Замечание 2.1.1. Если мы знаем только, что

ll/Ik < С||Я1(Ф, - /€Ши ,

то из доказательства Теоремы 2.1.1 следует, что

II/IU) < ^ и/й,*,

для всех / € ГО1„ф. Тогда из свойства (2.1.4) легко видеть, что

.4(С„ф) ^ -4(C)

С уф С

ибо С„ф < С.

Следствие 2.1.1. Пусть 1 < ]’ <q < ос. Тогда имеем

ll/ll, <(2я(^-^),/*)*/,_11Л1,, Ü/IU < (((f)"^1

(2.1.7)

(2.1.12)

(2.1.13)

для всех / 6 Шур-

Замечание 2.1.2. Выясним теперь немножко о точности константы Л{Си^ )/Си<ъ в неравенстве (2,1.7). Для этого рассмотрим случая Ф(£) = , Ф(^) = , 1 5? Р < V < °°*

Заметим сначала, что известные константы неравенства Никольского

ДЛЯ всех / Є ИЛИ

1//—1/-/Ц

т,

(2.1. М)

(•2.1.15)

где - наименьшее целое число, больше либо равное /"2 , не всегда точны (хотя точны в смысле порядка). Оказывается, что константа, стояния в неравенстве (2.1.12), может быть меньшей чем соответствующая константа в неравенстве (2.1.1-1) в некоторых частных глучячх, я кипеч’ы»;«, ^¿_л:г:г.гт г* «»па^ристве (2.1.13) совпадает с той же в (2.1.15).

Определение 2.1.3. Пусть Ф(£), (г; — функции 10¿а*» что Фи) С- елг^о

мажорирует Ф(<), если существуют нетривиальная квазивыпуклая функция Д(£) и число С* > С такие, что

Ф(/) < Ф(.4(/)) . О < Г < С" .

Имеем следующий более сильные результаты:

Теорема 2.1.2. Пусть Ф(/) С„ф~ слабо мажорирует Ф(/). Тогда верно неравенство

(2.1.7) .

Теорема 2.1.3. Пусть С/ч'<|> - ела По мажорирует Ф(М- Тогда

С:

ДЛЯ всех / 6 931 Дф, где С'/К'ф И 9Л Дф ОПреДеЛЯЮТСЯ прл замене —> ]\ .

Аналогично можем доказать следующий более точный результат:

Теорема 2.1.4. Пусть Ф(£) С/ф ~ слабо мажорирует ), ] 6 {Ип ) и *\А) ) ограничен.

Тогда

.........-КС'/*)

і!іФ'

Ci

1/1!.

2.1. Ні)

где С/ф = ||/||оо/||/||(Ф).

Заметим, что два последние результаты являются неравенствами Никольского для функций с произвольным спектром и константа, стоящая в (2.1.16) прямо зависит от самой функции (а не от класса).

Для получения дальнейших неравенств Никольского, мы введем понятие порядка кка-зивыпуклой функции -4(<): .

Определение 2.1.3. Пусть С > 0. Назовем супремум всех чисел р > 0 таких, что

Л(ХС)<УА[С) •

для всех 0 < А < 1. С— порядком квазивыпуклой функции Л(^) и обозначим его через огс! А.

Ясно, что огс! А > 1 и Л(АС) < \™лаА{С) для всех 0 < А < 1.

Теорема2.1.5. ПустьФ(#) Суф—слабо мажорирует Ф^)-/ 6 ¿ф(Г?” ) и кр(/) ограничен. Тогда

||/||,Ф) < су**" 11/11^0 - (2.1.181

где Ф)(0 = Ф(¿ог<1 "4) и огс1.4 есть С/ф - порядок функции А(<).

Получены аналогичные результаты для тригонометрических полиномов.

§2.2. Неравенства типа Бернштейна - Никольского для норм Орлича

В этом параграфе мы изучим, в основном, некоторые свойства целых функций экспоненциального типа, сужения на Я" которых принадлежат к пространству Орлича /,.),(П" ) (или £ф(Т")).

Лемма 2.2.1. Пусть Ф(/) - произвольная функция Юнга. Тогда имеют место следующие непрерывные вложения

С ОТ„Ф С ЙЯ^ . (2.2.2)

Лемма 2.2.2. Пусть Ф(<) > 0 для 1 > 0. Тогда

Пт /(.г) = 0 (2.2.5)

М—^ .

для всех / 6 Миф.

Замечание 2.2.1. В случае, когда Ф^t) — < со, Лемма 2.2.2 доказана М.

Плаишерелом и Г. Полиа другим методом. Лемма 2.2.2 неверна если существует такая

точка > 0, что Ф(20) = 0 ибо в этом случае содержит все постоянные функции .

Изучим теперь спектр функций пространства Орлича Этот анализ имеет

самостоятельный интерес и требуется в дальнейшем.

Теорема 2.2.1. Пусть Ф(/) > 0 для ( > 0, / 6 £ф(И’’),/(./■) ф 0 и (,п £ Н" -произвольная точка. Тогда распределение Р/ не может быть сосредоточенным на гиперплоскостях £у = = 1,..., га.

Следствие 2.2.1. Пусть Ф(?) > О,/ > 0,/ € £ф(В"),/(.г) ^ О и £° 6 яр(/). Тогда существует последовательность точек спектра зр(/) с ненулевыми компонентами,

сходящихся к £°.

Следствие 2,2.2г Пусть Ф(*) > 0, £ £ф(Я" ). /(.г) ^ 0 и € -ч1»(/) ~ произвольная

точка. Тогда любое ограничение распределения /(О на любую окрестность (" также не может быть сосредоточенным на гиперплоскостях £, = — 1....N.

Замечание 2.2.2. Предположение Ф(7) >0./ > 0 в утверждении Теоремы 2.2.1 нельзя СНЯТЬ, Ибо, В ПрОТЛВНОМ СЛучае, £ф(В") СОДерЖИТ ВСе ПОСТОЯННЫе фуНКЦИИ И Я]>( _/ ) — {0} если /(.г) УГОНЯТ..

Замечание 2.2.3. Пусть 1 < ¡> < х./(.г) 6 Ь]1{Н"). и/(.г) 0 0. Тогда, в силу Тео-^им 2.2.1, распределение /({) не может быть сосредоточенным на гиперплоскостям £; ~ г'.;. i — 1,гя* >- еь!в 'точка. В то же время, /({) может быть

сосредоточенным на сфере.

Можно доказать, что все соответствующие результаты Главы 1 (кроме равенств (1.1.2) и

(1.1.12)) остаются верными при замене нормы Лебега произвольной нормы Люксембурга

(или Орлича). Однако здесь, из-за произвольности роста функции Юнга, сложность увеличивается и требуется , во многих местах, другой метод исследования. Соответствующие равенства (1.1.2) и (1.1.12) неверны если существует такая точка /„ > (I, что *(*„) = 0. '

Сформулируем, например, некоторые результаты:

Теорем** 2.2.2. Пусть - произвольная функция Юнга, / (.г) £ L4.fR") и ь}>{ / )

ограничен. Тогда

Ши |]|Л>'‘/)!ф/ ^*1р '<<! 1- (2.2. КП

Замечание 2.2.5. Теорема 2.2.2 верна и для случаев дробных производных. Равенство

(2.2.13) неверно в случае, когда ~р( /) неограничен. Однако, для одно-мерного случая имеется более сильный результат, метод доказательства которого существенно отличается от прежнего:

Теорема 2.2.3. Пусть 0 - ¡п0 < ??>] ••• - некоторая последовательность целых

чисел, Ф(/| - произвольная функция Юнга и Ои>к ]{.! ' 6 0.1. .• Тогда всегда

существует предел

= Ши ||и"'‘/||(7;,’,к.

к—-ос ' 1

причем,

,!} ~ а{ = : £ 6 .-¡>(/)} •

Отметим наконец, что все результаты Главы I для случая 0 < /> < 1 не содержатся » этой главе.

Глава 3. Существование точечного спектрального радиуса псевдодифференцнальных операторов

§3.1. Точечный спектральный радиус псевдоднфференциальных операторов.

Пусть Е - некоторая нормированная комплексная алгебра, т.е., алгебра Е над полем

С, снабженная нормой || . || такой , что

ИИ < IMIIMI

для любых Ху у € Е. Тогда, как известно, для каждого элемента х Є Е, всегда существует предел limrn—»oo ||л-'т||1^т, который называется спектральным радиусом элемент»

х. ' ' “

Пусть Ф(^) - произвольная функция Юнга и К - некоторое компактное множество п R” . Обозначим через

ЯЯл'ф = {/(•'■) Є : suppi7'/ С А’} .

Тогда 97tд'ф , снабженное нормой Люксембурга, является банаховым пространством.

Пусть G - некоторая область в Ru и Є Z+. Обозначим через И'*т,•>{£▼) пространство Соболева. Для <$ Є R, положим

Щ.) = {/ є S' :|| / II, „= { [ «1+ ! £ |-Г ! F/Ю I2 Щ'Г* < оо}.

•/R'1

В дальнейшем будем опускать R" в обозначениях и предполагать, что > ///2. Далее, обозначим через ЩК, а) класс всех функций </(ч)> определенных в различных окрестностях компакта К таких, что И0п(ч) с Я(.) для некоторой , зависящей от «(£)> функции ■Ж) 6 Cq°(Rm), которая равна единице в некоторой окрестности компакта А.

Пусть п({) 6 H(I\yS). Тогда псевдодиффенциальный оператор A(D),имеющий символ а(£), определяется следующим образом:

A(D)f = F~lvaFf, f Є тКФ. (3.1.1)

где Ф(() - такая функция в C^(R“), что va Є и Ф = 1 в некоторой окрестности компакта К, и F~xyaFf определяется следующим равенством :

F~\’aFf(x) = F-'(4H>)* fij)= [ (Г-'фа)(у)/{.г-!і),Іу,

J R»

которое имеет смысл ибо F~l(va) Є L\ и / Є Lx.

Выражение (3.1.1) не зависит от выбора функции 0(0-

оо

Замечание 3.1.1. Положим I =■ если * € Z+ , и // = [.s] 4- 1 если л $ Z+. Тогда W*.2(G"! С #(Л\*), и в частности, C*(G) С Н{1\, л), для произвольной окрестности 6 компакта А’.

Лемма 3.1.2. Для произвольной функции Юнга Ф(7), имеет место следующее непрерывное вложение ' -..... - -

'ЛЯ, С ЯЯдф. 3-3.2)

где,

ЭЯд> = {/U ; в i : -suppF/ С А'} .1 < р < ос.

Теорема 3.1.1. Пусть iili1 £ Н 7v. Тогда п.д. оператор A{D) инвариантно и непрерывно действует в £07д*ф.

Замечание 3.1.2. Уелоии« с rnp > > г//2, является существенным

так как, как показано Г. 1риГ>глем. с.) ¡дсгтгует Функция <¿(£5 z Ич\.^и2 i. ьлииц*« не является Фурье - мультипликатором для 9Л/Ч, (для любого 1 < р < -х /, г,;с А -произвольный куб в R".

Совокупность всех п.д. операторов с символами, принадлежащими к Н{К. >), образует алгебру операторов изоморфную алгебре всех функций в if (А. ). Этот изоморфизм определяется соответствием A{D) «(£•• При этом

a-4(D) 4- iB{D) ) -f ¿МО-

A D B\D ' ~ l •В маетности, если также принадлежит к i/iA. м, то оператор B[D\ ~ 1, 1(0),

имеющий символ /;{£> ~ есть обратный оператор к оператору .4(D), где / -

единичный оператор.

Обозначим через 9Л]ч-ф пространство линейных непрерывных функционалов над ¿Ш Далее, пусть <ч(£) с Определим п.д. оператор A( — D), действующийв прос-

транстве ЯЙ/ч-ф следующим образом •

< Л( — D)li{ т). ¿(т) >=< hl.г). A{Dy*p{s) >.

где // £ 9Ji д ф и г" 6 ЯЛ д ф . Тогла. ъ си л у Теоремы 3.1.1. 4(, — D \ действует инвариантно

И непрерывно В ЯЛд-ф.

Теорема 3.1.2. Пусть а{£) и «“*(£) 6 #(А\.ч). Тогда, Vh(x) 6 ®?аф (соотв., 9Л/чФ), уравнение

.4{Z))ii(.rJ = !а.г\ (coots. , .4'“D)t;(.t) = имеет единственое решение

»(^) = е (соотв- > “<•'•)= 4(-Д)/'^€ ОТАф)-

Приведем теперь главный результат этой главы о существовании точечного спектрального радиуса п.д. операторов. В дальнейшем будем предполагать, что к = + 1

и а(0 6 #(А‘, к).

Теорема 3.1.3. Пусть û(i) € Н ( К, k)nf 6 ОТ д'ф . Тогда всегда существует следующий предел

¿,= Urn ¡I Am[D)f ЦУ"'.

J»J—-ОС.

причем

df = sup I a(0 I .

«e»p(/l

§3.2. Вычисление спектрального радиус а п.д. операторов.

Вычислим теперь спектральный радиус п.д. операторов .

Теорема 3.2.1. Пусть а(£) g Н(К. к) . Тогда

гц= Ши ||Л"'(0) i|1/m<sup|a(0|. (3.2.1)

m-со д-

И г ^ = sup|n(£)| тогда и только тогда, когда существуют функция / £ и точка

К

£° 6SP(/) такие, что |л(£° '! = sup|a(£)j.

К

Теорема 3.2.2. Пусть <Д;) в Н(К. к). Тогда

'л = sl4>{Mi)S '• Î 6 (J SP(/)}•

/6 ЗЯк*

Замечание 3.2.1. Видно, что спектральный радиус оператора Л(2)| есть супремум всех его точечных спектральных радиусов.

§3.3. Случай 0 < р < 1.

Рассмотрены аналогичные вопросы для квазибанаховых пространств.т.е. для случал О < р < 1. Оказывается , что все соответствующие результаты пунктов §3.1, *¡3.2 верны для этого случая.

Глава 4. Теоремы тина Пэли - Винера - Шварца

В этой главе изучим теоремы Пэли - Винера - Шварца для случаев, когда К может быть невыпуклым. Совсем другим методом исследования удалось установить теорему Пэли

- Винера - Шварца для случая произвольного компакта К. Однако, в этом случае, как ожидается, условия проверки принадлежности к F(£'(K)) очень сложны. Поэтому на

следующем этапе мы введем некоторые специальные множества, которые необязательно выпуклы, и докажем теорему Пэли - Винера - Шварца для этих множеств. Полученные рез>-£ътаты являются новыми неравенствами типа Бернштейна для целы* функций экспоненциального тип«, которые кик функции от действительного переменного ПО обязательно являются суммируемыми. Применяются также результаты Глав 1-2 для получения других теорем типа Пэли - Винера - Шварца. Рассмотрим также некоторые свойства дифференциальных операторов бесконечного порядка в пространствах распределений -'компактным носителем.

§4.1. Случай произвольного компакта.

Пуст» Л - компакт в R" и f > 0. Обозначим через /*,<►> множество всех

точек - ^ С” l V. до /к..

Теорем* 4.1.1. Пусть К - некоторое произвольное компактное множество в И". Ьсли и € Е ' (К) то для любого t > 0 существует такая постоянная О < -с, что

|Р(—.D)i)(//)[ < 0(1-г //|)л мц> ¡-3-J.il

для всех <7 € R” и всех ПОЛИНОМОВ P(£l.

Обратно, если (4.1.1) выполняется для некоторой R" ) - функция и И/) то u( t;\ янлм> ется преобразованием Фурье некоторого распределения из f'\h к

Далее. :^усть À - некоторый компакт. Обозначим через

С? К | = {„ ~ C'^i Ry' ' vuрj)С A'j

Имеет место следующая:

Теорем» 4.1.3. Пусть А - произвольное компактное подмножество H RT\ Тогда ч{^ I ( СЦ°{К) тогда и только тогда, когда для любых ;. О существует такая константа

С\ чтг

:Р( ~D if/( r/t ^ С\ Л Î - п\ ' Mi), '^г'1 (4.1.Ш

для всех т;£ Rn и всех полиномов Р(£).

Отметин, что Теоремы 4.1.1 и 4.1.3 остаются верными если мы потребуем лишь , что

все Р(£' - полиномы с вещественными коэффициентами.

§4.2. Случай специальных компактов.

В этом параграфе мы введем некоторые специальные классы компактных множеств, которые необязательно выпуклы и докажем Теоремы Пэли - Винера - Шварца для этих множеств.

Пусть 0 < Л0 < ос, а 6 Z+- Обозначим через G{At,} множество всех точек £ € Я" таких, что

i е |< Aft , Of > 0 ,

т.е.,

(?{А0}= fjiieR" :|£"|<л,}.

о>И

Определение 4.2.1. Назовем G{A^} множеством, порождающимся числовой последовательностью {А0}.

Ясно, что С?{Л0} замкнуто, {t’i£j ,..., гп£н ) 6 (^{А^} если £ € С{А„}. I 1< 1J

1,..., п и

G{A„} = G{ sup |f|}.

{А„ J

Множество (?{Aa} компактно, если, например, А„ < oc.Vft > 0.

Заметим, что (?{А„} может быть невыпуклым. Например, пусть п = 2 и

Л(1.л = 21-^1 . V,.j€Z+.

Тогда

G{A(.,;J} = {(.'■■/;) 6 R- :| *и |< 1.1 .г |< 2,1 и\< 2}.

которое называется крестом параболы.

Пусть К С Rw - некоторое множество. Положим

¡/(К) = 6'{sui> I С |} ■

к

Тогда, всегда Л* С у(Л’).

Определение 4.2.2. Пусть К С R". Будем говорить, что множество К обладает // -свойством, если К — у( Л). Назовем <у( КI — у — оболочкой множества К.

Ясно, что любое множество, порождающееся числовой последовательностью G {А.,} обладает д - свойством.

Лемма 4.2.1. Пусть I - некоторое семейство индексов и Я, = у (А, ),/£/. Тогда П^Л, также обладает д - свойством.

Леммд 4.2.2. Каждое симметричное выпуклое компактное множество обладает у -свойством.

Теорема 4.2.1. Пусть компакт К обладает у - свойством. Если и - распределение; порядка Л с носителем в А’, то для любого 6 > 0 существует такая константа О, что

I Оай(ч) 1< 0,(1+ I ц ¡)‘v SUIJI е I , V), г R".<i > О , (4.2.-I)

А'Л

где

_ _ Л*л = {j- -Ь i : ,г £ К. \ !/ \< Л}.

Обратно, всякая бесконечно дифференцируемая функция i/ на R", удовлетворяющая

оценке вида (4.2.4.). представляет собой преобразование Фурье некоторого распределения-' - -.....-

ь с носителем, содержащимся в К.

Теорема 4.2.2. Пусть компакт К обладает </ - свойством. Тогда £ С^[1\ ) тогда

и только тогда, когда для любых X.f П существует такая константа С*д,л, что

! С л ¿д 1т , i, ” ' ■-:ц> С‘ ■ ^!/ с > II i -1.2.!4 i

' /ч'л

Определение 4.2.3. iiyci„ ПС) ' 1>гт:гтлг»мп полином и число *• > о. í¿o-¿u^wi Q(Р.г)= {£ Г R'- : |P(0¡ < <■} .

Тогда Q(P. г) может быть некомпактным.

Теорема 4.2.3. Пусть полином Р(£) и число /• > 0 такие, что Q{P.r) компактно. Если распределение v £ £'A(Q(P. г)), то для любого Л > 0 существует число Сt такое,

что

Р"' ■ — Т)"*' ' ’ < С л 1 - ¡Ч{Г <чН1 . m > о.// е R" - Ы.2.19)

Обратно, если (4.2.19) выполняется для некоторой i * функции n[i¡) то <и i

является преобразованием Фурье некоторого распределения из t'iCJlP./ М.

Теорема 4.2.4, Пусть полином Р\ ‘ i и число . 0 такие, что Q\ Р. i i компактно. 'Го ла ■QiP.i h тогда и только тогда, когда для любых Л.»4 -- С) существует таким константа С\что

р '■[_ Г) - С . : - I, Г 4 -П], \Pi: )!'"

для всех Г( £ R" и вс*»* гм > 0.

Введем теперь некоторые классы специальных множеств, которые содержат п себе нее выпуклые компактные множества, и докажем теорем} Пэли - Винера - Шварца дли этих множеств.

Для всякого компактного подмножества Е в R” через chE обозначается его замкнутая выпуклая оболочка.

Пусть т > 1. Обозначим через Vu, - семелство всех полиномов порядка < гп с вещественными коэффициентами.

Определение 4.2.4. Для всякого компактного множества К в R1' обозначим через

chm (К) = {£ € R1' : |Píí)i < snp |P(í )| VP € Vm }

ieh

и нозовем его т - выпуклой оболочкой множества А”.

Ясно, что К С chm{K).

Определение 4.2.5. Будем говорить, что компактное множество А" п> — выпукло, если К = chm(K).

Ясны следующие свойства:

Лемма 4.2.3. Для любого компактного множества А’ С Я"

' c/i,(A‘) Э <•//•_>( А') э --О А'

Лемма 4.2.4. Пусть I - некоторое семейство индексов, ;н > 1 и все А"у./ 6 / т -

выпуклы. Тогда П А, также m - выпукло. t€/

Лемма 4.2.5. Пусть К - выпуклое компактное множество в R". Тогда ch,n{K) =- А* для всякого т > 1.

Лемма4.2.6. Имеем гД|(Л ) = ch(K) для любого компактного подмножества К в R" .

Теорема 4.2.5. Пусть компактное множестэо Л* ///— выпукло. Если и £ 5'4 (Л*), т»

для любого S > 0 существует ЧИСЛО Cf, < такое что

\Pk(-D),'a,,)\ <C,(l + ';/¡)v su.» |Р(_-)|1 (4.2.32!

:S A',.,,

для всех А- > 1,P(0 6 P,„ и // £ R".

Обратно, если (4.2.32) выполняется для некоторой C^R") - функции a{i¡\ то является преобразованием Фурье некоторого распределения из £'( А’).

Теорема 4.2.6. Пусть компактное множество Л" ш— выпукло. Тогда «If) £ I

тогда и только тогда, когда для любых Л . О >0 существует такая константа С'л.л, что

lPVD)f,(v)| < C.V...11 + \'i\rx sup \p[z)\k

для всех P({) € Vm,i¡ 6 R" и всех í' > 1.

Далее, обозначим через V'm — семейство всех полиномов порядка < //t с комплексными коэффициентами и для компактного подмножества А’ в R" положим

cchm(А’) = {Í 6 R" • |P(Í)| < ,up|P(í)| VP 6 Р;„} •

r€A'

Будем говорить, что А’ с.т— выпукло, если п7*„,(А") = А”. Тогда легко видеть, что все доказанные леммы (кроме Леммы 4.2.6) для ¡i),„(К) остаются верными для rhh,„(А ). Все полученные теоремы остаются верными при замене Рш —> Р,'„.

§4.4. О дифференциальных операторах бесконечного порядка в пространстве

-- Пусть {ла }j- некоторая последовательность комплексных чисел. Обозначим через t -F'tR" ) пространство вссх распределениП с компактным носителем. _

Положим

.4(1») =

о >п

и рассмотрим разрешимость уравнения

AiD\h = / <4,1.11

в пространстве £*.

При рассмотрении na3pcLü*i«u^¿j. ур-г::?”м« (4 4.11 невольно возникает вопрос об изучении A{D)h. Иначе говоря, u¿.v. ¿^ужпг ттонят»* пействке Á\D)!. зтя пробны** функции >р € С°°(Ни). Первое что приходит в голову, это выражение

< AlD)h.¿ >=< h. У^(-1 > .

о ><l

однако ряд —l)*°^rtí)rV(J')í вообще говоря, расходится. Следовательно, нам не.об-

о>0

ХОДИМО определить < A(D)h.y > другим способом. Предложим здесь один из возможных подходов:

Определение 4.4.1. Под A\D\'h будем понимать слабый предел последовательности

У a,,D(i h. Л — :х. т.е., если последовательность \

V . Л' - X ' 1.1.1?»

ifi !< \

СХОДИТСЯ В &{£' .i ¡ К некоторому элементу I/ ~ £', то обозначим <у = A* D)h.

НаПдемтеперьусловиенапоследовательность -jí;,, } для того, чтобы последовательность (4.4.2) сходилась в <7(5', £) для всех )/ € £'-

Доказано, что для того, чтобы последовательность (4.4.2) сходилась р rri£\t ) длч всех h € Г, необходимо чтобы ч,,С являлась целой функцией. И если *} £ ¿' есть

о>0

слабый предел последовательности У] -D'1 . Л’ —^ ос, то ,-U í l/i( () = r/( í) € R"• И

И<Л'

тогда уже имеет смысл записать

A\D)h = У' <j„D" h . h 6 £'

ибо А|ц)Мч) есть делая функция, хотя, вполне возможно, У~ »,,£)"/) не принадлежит к

»>11

£'.

Теорема 4.4.1. Пусть .4(0 - целая функция. Тогда для того, чтобы Л{0) действоиал инвариантно в 5', необходимо и достаточно, чтобы существовали тела С, Л/,/' < такие, что

|Л(с)| <С( 1 + |.-|)мех-р(г|1т--|) ,:еС" , (4.4.3)

где г = х + ¡у, 1ш^ = у - мнимая часть.

Далее, пусть К - некоторое компактное множество в Я'*. Найдем теперь условие на целую функцию .4(0 для того, чтобы .4(0^0 в Р[£’(Л')] для всех )) 6 £’(Л'). Оказывается, что если А(0) есть дифференциальный оператор бесконечного порядка, то А{0) не может действовать инвариантно в £'(/0. А именно, имеем

Теорема 4.4.2. Пусть .4(0 - целая функция и К - некоторое компактное множество в Я“. Тогда для того, чтобы .4(0^0 £ А')} для всех к 6 £'(К)Г необходимо (и достаточно если К выпукло), чтобы .4(0 являлась многочленом.

Глава 5. Теоремы вложения пространств Соболева бесконечного порядка

В этой главе, используя новый метод, мы установим некоторые легко проверяемый и достаточно точные алгебраические условия вложения и компактного вложения пространств Соболева бесконечного порядка для случая а = 1. При этом, для установления условий вложения, результаты Глав 1-2 оказываются очень полезными. Некоторые результаты, полученные автором, являются более точными, чем соотвецтвующне результаты предыдуютцих авторов.

Следует отметить, что случаи 1 < Г < "X и г = ос (непредельный и предельный) являются различными и в каждом случае требуется специальный подход.

^ 5.1. Непредельный случай 1 < г < х.

5.1.1. Вспомогательные результаты о числовых последовательностях.

Пусть 0 < (1„.н = 0,1,... — произвольная числовая последовательность, содержащая бесконечную подпоследовательность положительных элементов. Обозначаем через семейство всех неотрицательных невозрастающих последовательностей {.г„ } таких,

что

х

1){аЛ11,< = «„.<■„ < оо.

и =0

Ясно, что всегда нетривиально. Аналогично введем и изучим вложение

. (ОЛЛ)

Теорема 5Л.1. Вложение (5Л.1) имеет место тогда и только тогда, когда выполняется

-- и ^м:р(]ГО. (£Ч) - X . (5.1.2)

л=н ;=с - ----- _____

причем константу вложения можно положить равной М.

Теорема 5.1.2. Для того, чтобы имело место включение 1:^ С необходимо и

достаточно, чтобы выполнялось условие (5.1.21.

Далее, обозначим через семейство всех .неотрицательных неубывающих последовательностей {^, } таких, что

Аналогично введем /¡(Т' и изучим следующее вложение

/СС/-Г-. '5.14)

ОС

Ясно, что нетривиально тогда и только тогда, когда «:* < эс. В дальнейшем будем

А=и

считать, что Ь нетривиально.

Теорема 5.1.3. Вложение (5.1.4) имеет месть тогда и только тогда, когда выполнж*тги следующее условие

I < х- .

причем константу вложения можно положить равной М. Полезен следующий результат о преобразовании рядов: Лемма 5.1.1, Пусть 0 £ а,,. О £ т, £ ./ . ’‘ “ 0.1.... Тогда

к-1

и=0 к-0

•х

где а}. = 0.1... .

¡=к

Теорем» 5.1.4. Включение С имеет место тогда и только тогда, когда ныпол-няется условие (5.1.5).

5.Х.2. Теоремы вложения для случая С? = Я.

Для простоты обозначения, положим

II • !1р = II - Им«)- =

Будем изучать

Н-ос

Теорема 5.1.6. Пусть Да < ос и существует такое число На < А, что

п и

М = *ир( Т'М*)/( У' «і-А*) < оо .

к—М *=0

Тогда имеет место (5.1.8) с константой вложения Л/1^'.

Следствие 5.1.1. Пусть Я„ < зс и

»» //

*и1>{£ы£)/(1>^) <<*■

Тогда имеет место вложение (5.1.8).

Теорема А2. Пусть І?,3 < гс и выполнено неравенство

"X М

£^:;/(У>я!П < =с.

//=«» ¿=<>

Тогда имеет место вложение (5.1.8).

Теорема АЗ. Пусть /?., = х и выполнено неравенство

У>,мП>(г.. ‘ю]

Тогда имеет место вложение (5.1.8).

Замечание 5.1.1. Ю.А. Дубинским доказаны теоремы А2, АЗ для случая г - , результаты легко переносятся на случай г ф р.

Замечание 5.1.2. Следствие 5.1.1 точнее, чем Теорема А2.

Теорема 5.1.7. Пусть 0 < Л„ < зо и существует такое число 0 < Л Я„, что

V = аіц,( £ А,Л*)/( ик\к) < со .

(5.1.8)

0.1.11)

5.1.М)

5.1.20)

5.1.21)

Эти

Тогда имеет место вложение (5.1.8) с константой вложения ~(Л1 +

' и = 0

Теорема 5.1.8гПусть /?..-= эса существует такое число 0 < Л, что

Топа имеет место пложенир /5.1.8) с константой вложения ~{М — — ^ ' '

Следствие 5.1.2. Пусть Ли -- ч I'.

(•' 5 .11 ■

11/>И

Тогда имеет место вложение (5.1.8).

Замечание 5.1.3. Нам не удалось окончательно сравнять условия вложения (5.1.21} и (5.1.31). Приведен пример, при котором (5.1.31) выполняется, в то время как (5.1.211 ист. Более того, если последовательность {</,,} быстро убывает, например, ч,,^.) _ •'*

0. Тогда (5.1.31) становится критерием вложения (5.1.8).

Надем теперь необходимое условие вложения: Пусть />=/• = 2. Тогда Ю.А. Дубииским доказано, что

V.. Г V' •' . х .

ест-. критерий вложения (5.1Л| Главным • •нструмгнтом доказательства -^ого Факт« является равенство Парсеваля. •* оторое неволчсжно применить в случае ¡> + I

Теорема 5.1.9. Из справедливости вложен.'* {5.1.?; следует (5.1.32].

5.1.3. Случай периодических функций < (■- - . \.

Обозначим через \У'Х" \\ч„. У)\ Г ) Пространство всех 2~ - периодически V функции

таких, что

• = ^ -11=0

если 1 < ?■ < X и

¡¡¡/¡¡¡...т = мн>-/„: ^

если г = ос.

Ясно, что И' . рл }(Т I состоит из бес> онечно дифференцируемых функций. Рассмотрим следующее вложение:

Пространство И I} I Т; бесконечномерно тогда и только тогда, когда

Нш «)/" = 0. (5.1.:Ю)

I» —ОС

В дальнейшем будем предполагать, что условие (5.1.39) выполняется ибо, в противном случае, условие 1а С А является критерием вложения (5.1.38), где

%

/„ = {*•£ г+: < ?с}

если г < ос и

/(I = {А* € 1.+ : < гс}

если г = ос.

Теорема 5.1.11. Пусть существует такое число Л > 0, что

X X

М =М1[>( ^ 1п\к); У" !1к\к) <

ЙТ,

Тогда имеет место вложение (5.1.38), причем константу вложения можно положить раиной

В отличие от глучая О = Я, вложение (5.1.35) может быть компактным.

Теорема 5,1.13* Пусть существует число Л • I) такое, что

_1йп = '->•

Тогда вложение (5.1.38) компактно.

Доказаны также теоремы вложения пространств Соболева бесконечного порядка финитных функций или функций . определенных на полуоси.

§ 5.2, Предельный случай г = сс.

5.2.1. Вспомогательные результаты о числовых последовательностях.

Пусть 0 < аПлн = 0,1,... — произвольная числовая последовательность, содержащая бесконечную подпоследовательность положительных элементов. Обозначим чороп семейство всех неотрицательных неубывающих последовательностей {.г„ | таких,

что

II г!1.. »4”'< 30 •

н>1>

ГДГ-. НМ'.ОМНИМ. СИМВОЛ {.”>.2.}] ОЗНаЧмсЬ что С) шествует постоянна? ' М 'Х' Такая. ЧТО--.

|1{) -, Я1/. < .U.'li.!■„ }(!„

для всех С ¡1^.

Очевидно, что //^ нетривиально тогда и только тогда, когда snp«- < В дальж-Пшем

При изучении ^ЛОЖеНИЯ (5.2.1) будку ПреДПОЛЯГйТЬ. ЧТО О Н€'ТрГ.ЕИа ТЬНО. Б>лем ''Читать. ЧТО 7, = ГЭС.

) 1п^1иЖИМ

Лемма 5.2.1. Пусть 0 < .г„ < '"„-м- 11 11 0. Тогда

-- ! .

= -U}i (' ) ■ „ . I.*'.’

».>11 »>11

Теорема 5.2.1. Для того, чтобы С-/'*4 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось с.'^пуютее условие:

Теорема 5.2.2. Вкл:-оченче ■ ' 7 и.мее'т место "тгда и то.1ьк>. тогда, когда выпол-

няется \с."оьи( î5.2.3f

ДлЛгК обозначим через /. 1(Х семейство ВСеЛ неотрицательных иеьозрйстаюшич Ни' .1 <■-доьательностер • ? \ таких, что

И 1’; •• I и- ~ МЧ‘ а ‘‘ ! " ' ^

I) >«

Ясно. что ьсегЛй нетривиально. Лнало: .viho введем / ,ч и и.> - чу, v бложрнио

К ~i-t • '■■■•"

Обозначим

il-'' — îuiu {и~,] : 0 £ ;ïï £ п К »»>().

Тогда lu“ < «•", к;0.

Лемма 5.2.2. Пусть Ü £ i „41 < и 0. Тогда имкет место тождество

supn„j-„ = sup(ii’“ )_1.г„ = Mi]>imax{u,„ : 0 £ 1» £ ; t 1./ .

п>0 »>() а >и

Теорема 5.2.3. Для того, чтобы имело место вложение (5.2.5), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие

тах{Ь„. : 0 < т < п}

sup ------------—-----—у < оо . (5.2.G)

„>и maxjrt,,, : 0 < т < и)

Теорема 5.2.4. Включение A С справедливо тогда и только тогда, когда выполняется условие (5.2.6).

Приступим теперь к изучению условий вложения пространств Соболева бес конечного

порядка. Доказаны все соответствующие результаты параграфа 5.1 для нашего случая.

Приведем здесть некоторые результаты и только для случая G = R.

5.2.2. Теоремы вложения для случая G — R.

Чтобы tF°°{a„,p. xj}(R) действительно являлось пространством (а не фактор -пространством) будем считать, что о.„ ф 0, Тогда Н'^ [ч„.р. ос }(R) является банаховым пространством.

Рассмотрим теперь следующее вложение:

H'^{i/„./a^:}iR) x}lR) .

Теорема 5.2.8. Пусть R„ < х; и существует такое число R,, < Л < :х, что , ишх{/),„Л"' : 0 < ш < „}

Л/ = глц> ------------------------г . ;о.2.1(М

„ >,j тпх{а,„Л'а *0 < п> < п \

Тогда имеет место вложение (5.2.8) с константой вложения Л/.

Теорема 5.2.9. Пусть R„ = ос и существует такое число Л < ос, что

sup{Ь,„Л"*:•■(/> п) ,ro,m

М = .чцр --------------------- < X . (-I.J.liJ)

.ч1ф{«(„Л"' : 'и > к)

Тогда имеет место вложение (5.2.8) с константоЯ £ iiiaxfj/. -~щах&„Л"}.

1 ' i I я о * 1

Глава 6. Теоремы вложения и некоторые специальные свойства пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

§6.1. Неравенство Колмогорова для нормы Орлича н Теоремы вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

При решении линейных я нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с коэффициентами произвольного роста (не обязательно полиномиального) пол-

никает необходимость изучения теорем вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

11а основании результатов Главы 2 и методов доказательства, разработанных в Глане 5, можем доказать, что все результаты Главы 5 остаются верными в нашем случае, если для рассматриваемой нормы Орлича справедливо неравенство Колмогорова.

Доказана в этом параграфе справедливость нераненства Колмогорова для произвольной нормы Орлича.

Теорема 6.1.1. Пусть и > 2. *1 (/) - произвольная функция Юнга, и /(./') и ее обобщенная производная /(,"м принадлежат к Тогда Є ¿ф(Я| для всех 0 V /. - //,

причем

!!/,<г,!!ф <с(,„г./іі;--Мі/1,0ііф • І'І.І

где С*А- „ - іа.Чіїи ’•ГГТЛ,!У,'М» определенны»- і* *ииЄІ і ІГ Г. Г Г !!<лрГЧ »»лигТПР Ко^іій4>і

Замечание 6.1.1. Для получения Теоремы 6.1.1 мы существенно развили идею К. Стейна, предложенную для доказательства неравенства Колмогорова при 1 ^ V х * Здесь в силу произвольности функции Юнга, п; -гмый аналог не получился так как К. СтейН ИСПОЛЬЗОВаЛ СВОЙСТВО НеПрерЫВНОСТН В Це.йОМ Ь},— НОрМЫ (1 < ]> < ОС'), которое не верно в нашем случае.

Доказано неравенство Колмогорова для периодических функций :

Теорема 6.1.2. Лысть >. 2. Ф;? - произвольная функция Юнга, и /(.»') и ге обобщенная производная / ) принадлежат к Л,»,■ Т ). Тогда г І С-_ £ф( І I для пс'*ч

О < /; < //, причем

/'к - С\ „ ’ Г1 ^ .

где Ск и * постоянные, определяемые как выше.

•^6.2. Дальнейшие вопросы теории пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

6.2.1. Нетрнвнальность классов Соболева - Орлнча

При изучении дифференциальных }равнений бесконечною поря;.ка с прогмпп-а.нымн нелинейностями возникает вопрос о нетривиалъности пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка, решение которого играет решающую роль в разрешимости таких задач.

В этом параграфе и в следующем мы применим резуль аты Глав 1-2 для изучения к ^тривиальности классов, пространств Соболева - Орлича бег конечного порядка и полном евклидово пространстве.

Пусть 7- некоторый неограниченный набор мульти индексов Ф,, (/,). Є I - произвол міме

функции Юнга. Тогда

1У~£{Фа,!Г} = {/(.г) € 5': £>(1Г/, Ф„) < со}

о€/

называется классом Соболева - Орлича бесконечного порядка, где И"/{.г.) - обобщенная производная порядка а функции /(.г), и

р(д.Ф)- [ Ф(| гу(.г) |)Л-.

Будем говорить, что класс И’ОС£{Ф0, Кг*} является нетривиальным, если в нем сущпст* вует хотя бы одна функция /(.г) ф 0.

Найдем условия нетривиальное™ 1ГСС£{Ф,|,Я"}. В дальнейшем будем предполагать, что 0 £ I и Фо(0 > 0 при / > 0, ибо, в противном случае, Г?"} содержит все

ненулевые константы.

Теорема 6.2.1. Для того, чтобы 1ГС*'£{ФГ>.Н,‘} был нетривиальным необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа С.ц > 0, что

' Ф„(0/'^) < :х;. (О.’.М»

,ч6/

6.2.2. Нетрккиальность пространств Соболева - Орлича .

Определим теперь пространство Соболева - Орлича бесконечного порядка

ТГ°°1{ФП.Н"} = {/(.Г) 6 5':^ II Вп} ||<ф11,< со}.

-.6/

где || . |||ф) - норма Люксембурга.

Найдем теперь условие нетривиалъности ТГ’й£{Фц,Н'1}. Предположим, что 0 £ / и Ф0(<) > 0,< > 0, ибо в противном случае И’'х'£{Фа, Я11} всегда нетривиально.

Теорема 6.2.2. Пространство И{Ф(,. Я" } нетривиально тогда и только тогда, когда выполнено условие (6.2.1).

6.2.3. Запас функций пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

Определение 6.2.1. Пусть выполнено условие (6.2.1). Обозначим через Ст’ф объединение всех точек £ £ Я“ таких, что

У Ф.,(<?{ *ир |.гп|) < ос . (0.2.!))

¿Г/ гег;<

для некоторых области 6'< Э ( и числа С с < ос. Ясно, что (7,|> открыто, непуст» и симметрично относительно всех осей координат.

Следующие результаты характеризуют запас функций W'*' L {Ф„. R" } в термине сж*к* тра:

— - -Теорема 6.2.3» Пусть выполнено условие (6.2.1) Тогда

Г~‘ 'С,' 6'„ .. 1ГЛ 1,Ф . Я" ’

И И ^ L { Ф„ . R" ) не содержит ПИ ианоп функции ). если ‘■О'фрг,' \(V.|. I ^ И и

д € Cf íR" ).

Теорема 6.2.4. Пусть выполнено >словие (6.2.11. Пространство И Ф„ . R" } содержит все функции / 6 - , Я 1 С -]» 1 ■ с ґ’ф. НО ílf* содержит НИ ОДНОЙ ФУНКЦИИ ч I / lili" і с sP(í?) П (Н"\£?ф ; Ф 0. Более того, если Ф,,(М > U.í > О при некотором <> 1 У. то мн«’і i« i¡V'\u*', - w «.17. 'т:~вгг. ;; с И"* Г Последний факт неяермі и про.

ТИЬНОМ CjiV 4«С.

Замечание 6.2.2. Показано, что при )> > 2, утверждение ‘•'РІ//) П (Н"\С’ф ) ■ И может быть неверным, если для любого f‘ 6 1 существует число iit > О такое, что с1*,,(/., і П. При ?/ = 1 имеем более сильный результат .

Теорема 6.2.5. Пусть выполнено условие (G.2.2). Тогда всегда имеем

spt <i} П (R' \(7ф) = W

для любой </ с И "L Ф„,.г.!

Теорема С.2.6. Пусть выполнено \с:лоиие lb.li.lf. Тогда

с,. Ubi-'/' " •='

';6.3. О преобразованиях координат и пространствах бесконечного порядка.

В этом параграфе мы установим необходимое и достаточное условие инварнлмтлогти и непрерывности т»т>ост*йших координатных преобразования в пространствах Соболева - Орличн бесконечного порядка. СфорМ)’ЛИру^АІ один результат для: Пуг-l. \

(А^,.... Л„). ф О. , — I.......V. Положим

Т\{/) = /(А о .г) ~ ./{А|..... Ан .*■„ ).

Тогда справедлива

Теорема 6.3.1. Дія того, чтобы оператор 7\ являлось непрерывным отобрнж<чик‘м из 11 { Ф,,. R7' ; в И £{ФҐ,. R" }, необходх їмо и достаточно, чтобы выполнялось

следующее условие:

sup I A'1 j< ос. Í (> -і П

О €/

§ SA. О сепарабельности пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.

Пусть Ф(£) - произвольная функция Юнга, G С R" - произвольная ограниченная область и гп > 0. Рассмотрим пространство Соболева - Орлича порядка т:

Ш"Ч{Ф,G: = {/ е 5* :|| Daf Ц(Ф,С)< 00,1 « |< т}.

Тогда, как известно, WmL{$.G} сепарабельно тогда и только тогда, когда f ) удовлет-аоряет Дг - условию вблизи бесконечности, т.е. существуют числа К, М < ос такие, что: Ф(2/) < Ix <Ht), t > М.

Ясно, что \Уж£{Фа, G] является банаховым пространством с нормой ||j ■ [|jc, где С?

- произвольная область в R"

Оказывается, что любое пространство Соболева-Орлича бесконечного порядка в ограниченной области с локально лнпшацеаоп границей Н'’с’°£{Фа,(л} сепарабельно, что показывает существенное различие между пространствами конечного и бесконечного порядков.

ПУБЛИКАЦИЯ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

!. Нетривнальность классов а пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка на прямой // Мат. заметки, 1936, .Y-3, т. 39, с. 453 - 459.

2. О некоторых теоремах вложения пространств периодических функций бесконечного порядка // Мат. заметки, 1488, т. 43, Л 4, с. Г>09 - 517.

3. О теоремах вложения пространств Соболева бесконечного порядка // Мат. сб., 198S. г. Ш (178), .VI, с. 115 - 127.

4. Нелинейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка в неограниченных областях // ДАН СССР, 1959, т. 305. Л 1. с . *18 - 51 (В соавт. с Чзн Дык Ваном).

5. Критерии нетривиальное-!-;: классов, пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка в полном евклидове пространстве // Сябир. мат. жур., 1990, т. 31, -VI, с. 208 -213.

Г. А property of infinitely diierentiable fu::< fions // Proc. Amer. Math.. Soc., 1990. v.

I OS. .VI. p. 73-76.

Imbedding theorems for Si ralev ¡¡¡.'aces of inimité order // Acta. Math. Viet.. 19S9. v.

14. .VI, p. 17-27.

S. (with Tran Due Van and Corenflo R.) Ou Sobolev - Orlicz spaces of infinite order for a full Euclidean space // Au-dysis 1991. v. 11. p. 07 - SI.

0. (with Morimoto M. ) On r;.e Benwein - Xikolskii inequality // Tokyo Jour, of Math., 1991. v. 14, .VI, p. 231 - '2-33.

10. Remarks on a property of infinitely differentiable functions. // Bull. Polish Akad. Sri..

1993. v. 40. ¿V3, p. 197 - COG. '

11. (with Morimoto M.) The ?equence of Luxemburg norms of derivatives // Tokyo Jour, of .Math., Z994. v. 17, A’l. p. 141 - 147.

12. Functions with bounded srectrum 1 / Proe. Axner. Math. Soc., v. 112. 1904.