Высокие порядки теории возмущений в классической механике и в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Часть I. ВЫСОКИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ И В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ШЛЯ.

Глава I, Системы с единственным минимумом потенциальной энергии.

§1. Обыкновенный интеграл.

§2. Ангармонический осциллятор.

§3. Скалярная теория поля.• •••».

§4. Суммирование рядов теории возмущений.

Глава 2. Системы с несколькими минимумами потенциальной энергии.

§1. Обыкновенный интеграл.•••••

§2« Ангармонический осциллятор с двумя минимумами.«.

§3. Неабелевы калибровочные теории.

§4. Связь инстантон-антиинстантонных конфигураций с суммированием рядов теории возмущений.

Глава 3. Квантовая электродинамика.

§1. Введение.

§2. Поведение детерминанта оператора Дирака при большом комплексном заряде для определенного класса полей.

§3. Перевальные конфигурации полей.

§4. Асимптотика детерминанта оператора Дирака в комплексной плоскости заряда для полей общего вида.

§5. Ренормалонные диаграммы.».

§6. Асимптотические оценки для диаграмм с фиксированным числом фермионных петель. а)Введение (106); б) Общий формализм (ПО); в)Выбор формы решения (117); г) Разделение переменных для прямого вложения (121); д) Разделение переменных для последовательного вложения (122); е) Численное решение перевальных уравнений (124)

Глава 4. Квазиклассическое разложение в квантовой механике.

§1. Общие свойства квазиклассического разложения.

§2. Аналитическое продолжение по постоянной Планка.

§3. Вычисление изменения вронскиана при аналитическом продолжении. •

§4-. Дисперсионное соотношение по постоянной Планка.141 Часть II.ВЫСОКИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКЕ.

глава 5. Сохраняющие площадь отображения.

§1. Общие свойства двумерных сохраняющих площадь отображений

§2. Матрица монодромии для периодических точек с большим периодом.

§3. Определение формального интеграла.

§4. Вид сингулярности формального интеграла в окрестности периодических точек.I1*

§5. Асимптотика коэффициентов теории возмущений для формального интеграла.

Глава 6. Гамильтоновые системы с несколькими степенями свободы.

§1. Общие свойства модели Хенона-Хейлеса.

§2. Матрица монодромии для долгопериодических точек

§3. Определение дополнительного интеграла.

§4. Сингулярность дополнительного интеграла в окрестности периодических траекторий.

§5. Асимптотические оценки коэффициентов теории возмущений для дополнительного интеграла.

Глава 7. Решение солитоноподобных уравнений.

§1. Понижение порядка солитонных уравнений для определенного класса теорий.

§2. Решение классических уравнений для быстро осциллирующих функций. Определение главного члена асимптотики.

§3. Теория возмущений для уравнения Гамильтона-Якоби

§4. Сшивка с точным решением.

Для большого числа физических задач точное решение в виде комбинации известных (простых) функций или невозможно из-за внутренней сложности, или очень громоздко. При количественном изучении таких систем приходится применять различные приближенные методы как численные, так и аналитические. Среда разнообразных приближенных методов метод теории возмущений по малому параметру является одним из наиболее универсальных, надежных и популярных.

Для применимости этого метода достаточно, чтобы гамильтониан рассматриваемой задачи можно было разбить на две части: н (м-л)* нв(м)+лн1(р,т). ш где И0(рЛ) - невозмущенный гамильтониан,для которого решения уравнений движения считаются известными, АН1 (рЛ^Л) - гамильтониан возмущения, % - 'параметр разложения (константа связи). При Х-* О любая (или почти любая) интересующая нас величина I может быть представлена в виде формального ряда теории возмущений по Л

-- /Ъ

1'Лх I «)

1Ъ п и в каждом конкретном случае можно указать алгоритм последовательного вычисления коэффициентов . (В квантовой теории поля подобный алгоритм носит название правил Фейнмана). Когда константа связи X мала, несколько первых членов этого ряда позволяют получить достаточно точное значение величины I . Одним из лучших примеров такого рода является вычисление аномального магнитного момента электрона в квантовой электродинамике (см. работу [1] и ссылки в ней): эксп. (1159652193^4) • 1(Г12

- 2)те0р.= (Н59652455±43±128) * 10' г12

Первая ошибка в теоретическом значении (¿43) связана с погрешностью численного интегрирования, а вторая (¿128) возникает из-за неточности в определении постоянной тонкой структуры). Однако, если параметр разложения не столь мал как в этом случае и (или) нас интересует очень точное значение искомой величины, возникают задачи о вычислении большого числа коэффициентов теории возмущений и о суммировании всего ряда теории возмущений.

Особое развитие это направление получило в последнее де-сятиление, когда электронно-вычислительные машины сделали возможным вычисление высоких порядков теории возмущений в нетривиальных случаях (см., например, обзор [¿]). Главная трудность при таком подходе состоит в том, что в большинстве интересных задач ряды теории возмущений являются асимптотическими рядами. Это означает, что коэффициенты теории возмущений с ростом а растут быстрее сс^ с любым фиксированным С1 и ряд теории возмущений (2) не определен без задания способа суммирования. (Дополнительные трудности в некоторых теориях возникают из-за

Диссертационная работа посвящена исследованию двух тесно связанных вопросов: при и-» оо в различных типах задач классической механики, квантовой механики и квантовой теории поля. к

I) Нахождению асимптотики коэффициентов теории возмущений I

2)-Изучению методов суммирования рядов теории возмущений в указанных теориях.

Полученные результаты позволяют значительно, иногда более чем на два порядка, расширить область констант связи, в которой теория возмущений дает хорошие результаты.

Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на 7 глав, заключения и приложений. Часть I (главы 1-4) посвящена вычислению высоких порядков теории возмущений в квантовой механике и в квантовой теории поля. Часть П (главы 5-7) посвящена изучению аналогичных вопросов в задачах классической механики .

Для выводы второго соотношения (2.46) заметим, что в этом случае нам необходимо знать асимптотику функций в областях, где они возрастают (см. рис.7) и где асимптотики (2.2) непосредственно не применимы. Согласно обычным правилам ¡68,47] продолжение функции из области, где она убывает, в область, где она. возрастает, необходимо выполнить всеми возможными способами, обходя доступные точки поворота (ср. с вычислением коэффициента надбарьерного отражения в [110,68,47]). Рассмотрим сначала функцию (. Согласно (2.2) она убызг вает в секторе 2, а для вычисления б) нам необходимо знать её поведение в точке ос0 , расположенной выше действительной оси. Существуют три возможности продолжения этой функции в точку ссо :

1) Непосредственное продолжение через отрезок действительной оси.

2) Обход точек остановки ^ и ос1 .

3) Обход точек остановки ^и Учитывая все эти возможности, получаем: где и - это изменение функции О ПРИ обходе по контурам Сл и Сг , охватывающим точки остановки ( и эц ) и ( ^, ) соответственно (см. рис.8а и 86). зг

Так как функция убывает в нижней полуплоскости, величины экспоненциально малы. Аналогичные рассуждения для

С Г функции дают: ь* -ч^А^^та^А) (3,2) где ^з и ^ - это изменение функции ( при обходе по контурам С3 и С^ , указанным на рис.8в и 8г. (как обычно, в равенствах (3.1), (3.2) надо сначала выполнить квазиклассическое разложение функций в квадратных скобках, а затем перейти к пределу Хтоо-»- О ).

Используя (3.1), (3.2), нетрудно получить соотношение (2.46) в котором ^е-тЛо (3.3) где Ш = +

Из (2.4а) и (2.46) следует, что ХХ/ъ(е%)~\)</0(<>-%) (3.4)

Сравнивая (3.4) и (2.4а) с (1.8), находим, что в первом порддке по функция $(£) удовлетворяет следующим соотношениям:

Соотношение (3.5) означает, что функция $(£) при малых £ является аналитической функцией 6 в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси. Для определения скачка на этом разрезе необходимо вычислить величину Л(О . Если уравнение имеет только простые корни и потенциал \/(сО действителен и не имеет особенностей при конечных х , то Кз^-^г и при а.(п

3.6)

Хп эСр <о

Р) Г где а. « ^ ,1=12. г СГ) причем контур с^ () охватывает комплексную точку остановки ос^ и точку остановки С ос^) на действительной оси, а суммирование в (3.6) ведется по всем точкам остановки в нижней полуплоскости. В общем случае, как обычно, в число точек, за которые зацепляется контур интегрирования, надо включать не только точки остановки, но и особые точки потенциала. Из всех вкладов, как мы увидим ниже, надо выбрать такие, для которых модуль показателя в (3.6) наименьший.

Вычислим для примера К Се) для потенциала V("*-)= , где N - четное число. Точками остановки в этом случае являются точки г А/Л/ ,. Ор= (Е) «л^ £ (3.7) где Р = °

Простые вычисления при А/ дают

3.8) где г,-г, г- +

N ь Г (ъ/г*Ш)

В (3.8) удержаны только члены, для которых минимален.

§ 4. Дисперсионное соотношение по постоянной

Планка

Соотношения (3.5) показывают, что функция при является аналитической функцией с разрезом вдоль отрицательной полуоси, причем скачок на разрезе при с-*о известен. Как обычно (см. главу I), для получения асимптотических формул высоких порядков теории возмущений по £ запишем функцию в виде дисперсионного интеграла по £

4.1) где контур интегрирования охватывает отрицательную полуось. Преобразуя подынтегральное выражение, получаем: где =. # £-) есть скачок функции $(£) на разрезе.

Функция (4.2) обладает правильными аналитическими свойствами при малых £ . Разложим её в ряд по & и учтем, что в условие квантования энергии (1.10) вносит вклад только четная часть функции Й (£) • Тогда для п -го члена квазиклассического разложения условия квантования энергии (1.10) получаем:

ОС»

С ^ (4.3)

П Ч- ' 21Г о где К ((г) определено в (3.5).

В принципе эта формула точна, но так как нам известно поведение только при (см. (3.6)), её можно использовать лишь для получения асимптотических формул для СИ(Е) при .

Главный член в в (с-) при указан в (3.6), поэтому:

С?се) (4.3)

Конечно, в этой формуле нужно оставить члены с минимальным

Для потенциала дается формулой

3.8) и где - определено в (3.8).

В таблице 7 приведены результаты сравнения выражения (4.4) с точными значениями О^СИ) , полученными в ¿4б/. Видно, что простая асимптотическая формула (4.4) очень хорошо согласуется с точными значениями ап Щ даже при малых \ь как по величине, так. и по знаку. Отметим также, что (4.4) имеет нули в тех же точках, что и точное выражение.

Несколько слов о суммировании ряда (1.10). Существование дисперсионного соотношения (4.2) показывает, что для суммирования этого ряда применимо обычное преобразование Бореля и его модификации (см. § 4 главы I). Можно ожидать, что учет высоких порядков и правильный метод суммирования приведут к достижению высокой точности квазиклассического разложения даже для низших уровней.

1.Kinoshita T., sapirstein J. llew developments in QED.- Cornell Univ. preprint CLHS-84/617,1984,21p.

2. Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. УФН, 1980,т.130, стр.113-147.

3. Polyakov A.M. Compact gauge fields and the infrared catastrophe.- Phys.Lett.,1975,v.59В,pp.82-84.

4. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations.- Phys. Lett.,1975,v59B,pp.85-87.

5. Dyson P.J. Divergence of perturbation theory in quantum electrodynamics.- Phys.Rev.,1952,v.85,pp.631-632. ô.Peterman A. Renormalization dans les series divergentes.- Helv.Phys.Acta,1953,v.26,pp.291-299.

6. Bender С.M., Wu T.T. Large order behavior of perturbation theory.- Phys.Rev.Lett.,1971,v.27,pp.46l-465. Bender С.M., Wu T.T. Statistical analysis of îeynman diagrams,- Phys.Rev.Le11. ; v.37,pp.117-120.

7. Bender C.M., Wu Т.Т. Anharmonic oscillator II. A study of perturbation theory in large order.- Phys.Rev.D,1973,v.7,pp.1620--1636.

8. Липатов JI.H. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика.- ЖЭТФ, 1977, т.72, стр.411-427.

9. Lam C.S. Behavior of very-high-order perturbation diagrams.-Nuovo Cim.,1968,v.55,pp.258-274.

10. H.Langer J.S. Theory of condensation point.- Ann.Phys.,1967, v.41,pp.108-157.

11. Parisi G. Asymptotic estimates in perturbation theory.- Phys.1.tt.,1977,v.66B,pp.167-169.

12. Bogomolny E.B. Calculation of the Green functions by the coupling constant dispersion relations.- Phys.Lett1977»v.67B,pp.193--194.

13. Simon B. Coupling constant analycity for the anharmonic oscillator.» Ann.Phys.,1970,v.58,pp.76-84.15«Graffi S., Grecchi V., Simon B. Borel summability application to the anharmonic oscillator.- Phys.Lett.,1970,v.32B,pp.631-634.

14. Loeffel J.J., Martin A., Simon В., Wightman A.S. Pade appro-ximants and the anharmonic oscillator.- Phys.Lett.,1969,v.ЗОВ, pp.656-658.

15. Feldman J.S., Osterwalder K. Wightman axioms and mass gap forweakly coupled ( ^ ) quantum field theories.- Ann.Phys.,1976,3v.97,pp.80-135.

16. Avron J., Herbst I., Simon B. Zeeman effect revisited.- Phys. Lett.,1977,V.62A,pp.214-216.

17. Graffi. S., Grecchi V. Borel summability and indeterminacy of Stieltjes moment problem application to anharmonic oscillators. - J.Math.Phys.,1978,v.19,pp.1002-1006.

18. Herbst I.W., Simon B. Stark effect revisited.- Phys. Rev.Lett. 1978,v.41,pp.67-69.

19. Parisi G. The perturbative expansion and the infinite coupling limit.- Phys.Lett.,1977,v.69B,pp.329-331.

20. Bogomolny E.B., Fateyev V.A., Lipatov L.H. Calculation of high orders of perturbation theory in quantum field theory.-Soviet Scientific Reviews. Physical Reviews,1980,v.2,pp.247-393.

21. Crutchfield W.Y. Ho horn of singularities for double well anharmonic oscillator.- Phys.Lett.,1978,v.77B,pp.109-113.

22. Dashen R.F., Hasslancher В., Neveu A. Nonperturbative methods and extended hadron models in field theory. II. Two dimensional models and extended hadrons.- Phys.Rev.D,1974,v.10,pp.4130-4138.

23. Parisi G. Asymptotic estimates in perturbation theory with fermions.- Phys.Lett.,1977,v.66B,pp.375-378.30.1tzykson С., Parisi G., Zuber J.-B. Asymptotic estimates in quantum electrodynamics I.- Phys.Rev.D,1977,v.16,pp.996-1013»

24. Bogomolny E.B., Fateyev V.A. The Dyson instability and asym-totics of the perturbation series in QED.- Phys.Lett.,1978,v.76B, pp.210-212.

25. Hooft G. Can we make sense out of quantum electrodynamics?- Lectures given at the Ettore Majorana International school of subnuclear physics. Erice, Sicily,1977,38p.

26. Lautrup B. On high order estimates in QED.- Phys.Lett.,1977, v.67B,pp.109-111.

27. Parisi G. Singularities of the Borel transform in renormali-zable theories.- Phys.Lett.,1978,v.76B,pp.65-66.

28. Buchvostov A.P., Lipatov L.N. High orders of the perturbation theory in scalar electrodynamics.- Phys.Lett.,1977,v.70B,pp.48--50.

29. Бухвостов А.П., Липатов Л.Н. Асимптотические оценки высоких порядков в скалярной электродинамике.- ЖЭТФ,1977,т.73,стр.1658--1674.

30. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. II Role of the vacuum instability.- Phys. Rev.D,1977,v.15,pp.1558-1564.

31. Itzykson C., Parisi G., Zuber J.-B. Asymptotic estimates in scalar electrodynamics.- Phys.Rev.Lett.,1977,v.38,pp.306-310.

32. Богомольный Е.Б. Высокие порядки квазиклассического разложения в квантовой механике.- ЯФ, 1984, т.40, стр. 915-923.

33. Bender С.М., Olaussen К., Wang P.S. Humerological analysis of the WKB approximation in large order.- Phys.Rev.D,v.16,pp. 1740-1753.

34. Евграфов M.А., Федорюк M.B. Асимптотика решений уравнения w"ôi)-ptetv№-o при в комплексной плоскости г УМН, 1966, т.21, стр.3-50.

35. Пуанкаре А. Избранные труды. Новые методы небесной механики.- М.: Наука, т.1, 1971, 771с.; т.2, 1972, 999с.

36. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.- М.:Мир,1973, -I64c.

37. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.-М.: Наука, 1974, 431с.

38. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1975, 239с.

39. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 302с.

40. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.- М. : Наука, 1984, 528с.

41. Henon М., Heiles С. The applicability of the third integral of motion. Some numerical experiment. Astron. J., 1964,v.69, pp. 73-79.

42. Nonlinear dynamics and the beam-beam interaction, eds. Month M., Herrera J.С. -Am.Inst.Phys. Conf. Proc., 1979, v.57.

43. Биркгоф Г.Д. Динамические системы.- M.-J1.: Гостехиздат, 1941, 238 с.

44. Gustavson F.G. On constructing formal integrals of a Hamil-tonian systems near an equilibrium point.- Astron.J., 1966, v.71, pp.670-686.

45. Богомольный Е.Б. Асимптотические оценки для формального интеграла сохраняющего площадь двумерного резонансного отображения." ЯФ, 1983, т.37, стр.228-241.

46. Bogomolny E.B. Asymptotic estimates for two-dimensional area-preserving mappings.- Physica D, 1984,v.13, pp.281-301.

47. Богомольный Е.Б. Высокие порядки теории возмущений в классической механике.- ЖЭТФ, 1984, т.86, стр.1569-1593.

48. Bogomolny E.B. Higher orders of perturbation theory in classical mechanics.- Proc. of the second inter, workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Kiev 1983.- Harwood acam. publ., 1984, v.3, pp.1201-1209.

49. Богомольный Е.Б. Устойчивость классических решений.- ЯФ, 1976, т.24, стр.861-870.

50. Богомольный Е.Б., Фатеев В.А. Асимптотическое вычисление масс солитонов.— ЯФ, 1983, т.37, стр.228-241.

51. ЪепагсТ. A. Adiabatic invariance to all orders.- Ann.Phys., 1959, v.6, pp.276-283.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.1, Механика.- М.¡Наука, 1973, 207 с.

53. Нейштадт А.И. О точности сохранения адиабатического инвариан та.- ПММ, 1981, т.45, стр. 80-87.

54. Skyrme T.H.R. A unified field theory of mesons and baryons.- Nucl.Phys.,1962,v.31,pp.556-562.

55. Басуев А.Г., Васильев A.H. Способ суммирования ряда теории возмущений в скалярных теориях.- ТМФ, 1974, т.18, стр.181--182.б8Л1ифф Л. Квантовая механика.- М.: ИЛ, 1959 , 476с.

56. Белокуров В.В., Владимиров А.В., Казаков Д.И., Славнов А.А. Ширков Д.В. Ультрафиолетовые асимптотики в присутствии неа-белевых калибровочных полей.- ТМФ, 1974, т.19, стр.149-162.

57. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные, представления функций и теоремы вложения.- М.:Наука, 1975, 480с.

58. Talenti G. Best constant in Sobolev inequality.- Ann.Math. Pure Appl.,1976,v.110,pp.353-372.

59. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976, 311с.

60. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.--М.: Наука, т.II, 1974, 295с.

61. Кубгоппин Ю.А. Поправки к асимптотической формуле для высоких порядков теории возмущений.- ТМФ, 1983, т.57,стр. 363-372.

62. Balian R., Paris! G., Voros A. Discrepancies from asymptotic series and their relation to complex classical trajectories.-Phys.Rev.Lett.,1978,v.41,pp.1141-1144.

63. Shi.rcov D.V. Uon-analyticity on coupling constant and difi-culties of ultraviolet analysis.- Lett. Huovo Cim.,1977,v.18, pp.452-456.

64. Елецкий В.Л., Попов B.C. Суммирование рядов теории возмущений методами Паде и Паде Бореля.- ЯФ, 1978, т.28, стр. II09-II22.

65. Владимиров А.А., Казаков Д.И., Тарасов О.В. О вычислении критических индексов методами квантовой теории поля.- ЖЭТФ, 1979, т.77, стр.1035-1045.

66. Le Guilou J.С., Zinn-Justin J. Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory.- Phys. Rev.Lett.,1977,v.39,pp.95-98.

67. Копсон E.T. Асимптотические разложения.- M.: Мир, 1966, 132 с.

68. Brezin Е., Parisi G., Zinn-Justin J. Perturbation theory at large orders for potential with degenerate minima.- Phys,Rev. D,1977,v.16,pp.408-412.

69. Perring J.K., Skyrme T.H.R. A model unifield field equation. Nucl.Phys.,1962,v.31B,pp.550-563.

70. Bogomolny E.B. Calculation of instanton-antiinstanton contributions in quantum mechanics.- Phys.Lett.,1980,v.91B,pp.430--435.

71. Callan C., Dashen R., Gross D. Toward a theory of the strong interactions.- Phys.Rev.D,1978,v.17,pp.2717-2734.

72. Callan C., Dashen R., Gross D. A theory of hadronic structure.- Phys.Rev.D,1979,v.19,pp.1826-1855.

73. Forster D. On the forces between instantons and antiinstan-tons.- Phys.Lett.,1977,v.66,pp.279-280.

74. Feinberg F.L. Uon-abelian gauge fields and nonrelativistic bound states.- Phys.Rev.Lett.,1977,v.39,pp.316-319.

75. Rajaraman R. Some non-perturbative semi-classical methods in quattum field theory (a pedagogical review).-Phys.Rep.,1975, v.21,pp.227-318.

76. Levine H., Yaffe L.G. Higher order instanton effects.- Phys. Rev.D,1979,v.19,pp.1225-1242.

77. Zinn-Justin J. Multi instanton contributions in quantum mechanics.- Hucl.Phys.B,1981,v.192,pp.125-140.

78. Zinn-Justin J. Multi instanton contributions in quantum mechanics II.- Huel.Phys.B,1983,pp.333-348.

79. Zinn-Justin J. Instanton in quantum mechanics. Numerical evi dence for a conjecture.- J.Math.Phys.,1984,v.25,pp.549-555.

80. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования.- М.: Наука, 1965, 235 с.

81. Fry М.Р. Vacuum energy density in large orders of perturbation theory for the scalar Yukawa field theory.- Phys.Lett., 1978,v.80B,pp.65-67.

82. Schwarz A.S. On symmetric gauge fields.- Comm.Math.Phys., 1977,v.56,pp.79-86.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика.- М.: Наука, 1964, 567 с.

84. Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Мир, 1967, 407с.

85. Aharonov У., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory.- Phys.Rev.,1959,v.115,pp.485-491.

86. Aharonov Y., Bohm D. Further considerations on electromagnetic potentials in the quantum theory.- Phys.Rev.,1961,v.123, pp.1511-1524.

87. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории поля.- М.: Наука, 1975, 335.

88. Adler S. Massless electrodynamics in the one-photon mode approximation.- Phys.Rev.D,1974,v.10,pp.2399-2421.103*Ray D.B., Zinger I.M. R-torsion and laplacian on Riemannian manifolds.- Adv.Math.Phys.,1971,v.2,pp.145-210.

89. Мигдал А.Б. Поляризация вакуума в сильных неоднородных полях.- ЖЭТФ, 1972, т.62, стр.1621-1638.

90. Litwin С. About coupling constant singularities in quantum electrodynamics.- Phys.Lett.,1976,v.80B,pp.236-238.

91. Cvitanovic P., Lautrup В., Pearson R.B. Number and weights of Feynman diagrams.- Phys.Rev.D,1978,v.18,pp.1939-1949.

92. Абрамович M., Стиган H. Справочник по специальным функциям.- M.: Наука, 1979, 830 с.

93. Lautrup В.Е., Peterman A., de Rafael Е. Recent developmentsin the comparison between theory and experiments in quantum electrodyhamics.- Phys.Rep,1972,v.3C,pp.193-259.

94. Lorente M., Gruber В. Classification of semisimple subal-gebras of simple Lie-algebras.- J.Math.Phys.,1972,v.13,pp. 1639-1647.

95. Покровский В.Л., Саввиных С.К., Улинич Ф.Р. Надбаръерное отражение к квазиклассическом приближении.- ЖЭТФ, 1958,т. 34, стр. 1272-1277.

96. Ш.Зигель К.Л. Об интегралах канонических систем.- Матем., 1961, т. 5:2, стр. I03-II7.

97. Зигель К.Л. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия.- Матем., 1961, т.5:2, стр. II8-I28.

98. Зигель К.Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.- Матем., 1961, т.5:2, стр. 129-155.112,Niven I. Irrational numbers.- Math. Ass. of America: Menasha,1956,317p.

99. З.Колмогоров A.H. Общая теория динамических систем и классическая механика.- Матем. конгресс в Амстердаме. М.-Л.: Физ-матгиз, 1961, стр. 187-208.

100. Колмогоров А.Н. 0 сохранении условно периодического движения при малом изменении функции Гамильтона.- Докл. АН СССР, 1954, т.98, стр. 527-530.

101. Арнольд В.И. Малые знаменатели .1. Об отображении окружности на себя.- Изв. АН СССР сер. матем., 1961, т. 25, стр. 21-86.

102. Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамиль-ЮН020Й системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае.- Докл. АН СССР, т.137, стр.255-257.

103. Zinn-Justin J. Strong interactions dynamics with Pade approximants.- Phys.Rep.,1972,v.1С,pp.55-102.

104. Churchill R.C., Pecelli G., Rod D.L. A survey of the He-non-Heiles hamiltonian with applications to related examples.- Lectures notes in physics,1979,v.93,pp.76-136.

105. Cary J.R. Lie transform perturbation theory for Hamilton systems.- Phys.Rep.,1981,v.79,pp.130-159.

106. Eminhizer C.R., Helleman R.H.G., Montroll E.W. On a convergent nonlinear perturbation theory without small denominators.- J.Math.Phys.,1976,v.17,pp.121-140.

107. Giorgilli A. A computer program for integrals of motion.-- Computer Phys.Comm.,1979,v.16,pp.331-343.

108. Shirts B.K., Reinhardt P.W. Approximate constants of motion for classically chaotic vibrational dynamics : vague tori, semiclassical quantization and classical intermolecular energy flow.- J.Chem.Phys.,1982,v.77,pp.5204-5217.

109. Lee T.D. Theory of spontaneous T violation.- Phys.Rev.D,1973,v.8,pp.1226-1239.

110. Тюпкин Ю.С., Фатеев B.A., Шварц А.С. О существовании тяжелых частиц в калибровочных теориях поля.- Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, стр. 91-93.

111. Hielsen H.B.,01esen P. Vortex line models for dual strings, XTucl.Phys. ,1973,V.61B,pp.45-61.

112. Богомольный Е.Б., Ваинштейн А.й. Устойчивость нити в калибровочной абелевой теории.- ЯФ, 1976, т. 23, стр.1111-Ш7.

113. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов.- М.: ИИЛ, 1968, 209 с.

114. Поляков A.M. Спектр частиц в квантовой теории поля.- Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 20, стр. 439-433.

115. Prasad М.К., Sommerfield С.М. Exact classical solutions for 't Hooft monopole and Julia-Zee dyon.- Phys.Rev.Lett., 1975,v.35,pp.760-762.

116. Monopoles in quantum field theory.- Proc. of the monopole meeting, Trieste, Italy,1981. Eds. Graigie N.S., Goddard P., Hahm W.,World Scientific, Singapore,1982,440р.

117. Craven R.E., Trower W.P., Carrigan R.A. Magnetic monopole bibliography 1977-1980.- Preprint Fermilab Pub-81/37,1981,78p.

118. Craven R.E., Trower W.P. Magnetic monopole bibliography 1981-1982.- Preprint Fermilab Pub-82/96,1983,64p.

119. Julia В., Zee A. Poles with both magnetic and electric charges in non-abelian gauge theory.- Phys.Rev.D,1975,v.11, pp.2227-2232.

120. Witten E. Global aspects of current algebra.- ITucl.Phys.,1983,v.223В,рр422-432.

121. V7itten Е. Current algebra, baryons and quark confinement Nucl.Phys.,1983,V.223B,pp.433-444.

122. Ниоиченко В.П. Исследование регулярных решений нелинейных уравнений для некоторых полеьых моделей.-Канд. диссертация, М.: Университет Дружбы народов им. П.Лумумбы, 1981, 109 с.