Высокосимметричные подрешетки в кристаллах ромбической сингонии и их проявление в структуре зонных и фононных спектров

Николаева, Елена Владимировна

Высокосимметричные подрешетки в кристаллах ромбической сингонии и их проявление в структуре зонных и фононных спектров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Николаева, Елена Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Кемерово МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Высокосимметричные подрешетки в кристаллах ромбической сингонии и их проявление в структуре зонных и фононных спектров»

Автореферат диссертации на тему "Высокосимметричные подрешетки в кристаллах ромбической сингонии и их проявление в структуре зонных и фононных спектров"

На правах рукописи

Николаева Елена Владимировна

ВЫСОКОСИММЕТРИЧНЫЕ ПОДРЕШЕТКИ В КРИСТАЛЛАХ РОМБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ И ИХ ПРОЯВЛЕНИЕ В СТРУКТУРЕ ЗОННЫХ И ФОНОННЫХ СПЕКТРОВ

Специальность 01.04.07 - «Физика конденсированного состояния»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул 2011

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель науки РФ Погшавной Анатолий Степанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Попов Валерий Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор

'Потерев Валерий Григорьевич

Ведущая организация: ОСП «Сибирский физико-технический институт имени акад. В. Д. Кузнецова Томского государственного университета», г. Томск

Защита состоится «25» мая 2011 г. в 15.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.004.04 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова» по адресу: 656038, г. Барнаул, пр. Ленина, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова».

Автореферат разослан «» апреля 2011 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

т.ж

Романенко В. В.

кандидат физико-математических наук г /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Электронные и колебательные спектры кристаллов. содержащих несколько формульных единиц в элементарной ячейке, имеют, как правило, сложный характер. Кроме того, при феноменологическом описании фононных спектров необходимо вводить достаточно большое число параметров, физический смысл которых не всегда ясен. Но даже при получении численных результатов их интерпретация оказывается не менее сложной задачей из-за обилия электронных и колебательных ветвей. В представленной работе используется метод симметрийного анализа спектров кристаллов, составленных из подрешеток Браю, который позволяет провести качественный анализ спектров без проведения вычислений и интерпретировать некоторые их особенности, если спектры вычислены. Основным последовательно учитываемым фактором при этом анализе является симметрия подрешеток, которая может быть выше симметрии составленной кристаллической решетки. Эта дополнительная симметрия может уменьшить число параметров теории при феноменологическом подходе к моделированию силового взаимодействия, а также позволяет установить некоторые качественные особенности спектров. Трансляционные квазивырождения возникают при условии, если объем примитивной ячейки подрешетки меньше объема примитивной ячейки кристалла, и такие вырождения находятся путем свертывания ветвей спектра подрешетки в зону Бриллюэна (ЗБ) кристалла. Другой тип квазивырождений возникает при условии, если точечная симметрия подрешеток окажется выше точечной симметрии кристалла.

В качестве объектов исследования избраны кристаллы ромбической сингонии, содержащие высокосимметричные подрешетки. Эти кристаллы относятся к трем точечным группам симметрии и 59 пространственным группам (ПГ), соответствующей симметрией обладают многие сложные соединения.

Целью настоящей работы является исследование свойств кристаллических соединений ромбической сингонии с помощью метода подрешеток: выявление высокосимметричных подрешеток, описание проявления имеющейся скрытой симметрии в структуре электронных и колебательных спектров.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Найти матрицы трансляционной совместимости кристаллических решеток ромбической сингонии с подрешетками высших сингонии с учетом схемы их подчинения.

2. Выявить реальные кристаллы ромбической сингонии с подрешетками различного типа Еравэ.

3. Построить трансляционно-совместимые многогранники Дирихле-Вороного (МДВ) и первые ЗБ для кристаллической решетки и подрешеток, получить таблицы сопоставления звезд волновых векторов подрешеток и кристалла.

4. Описать проявление имеющейся скрытой симметрии подрешеток в реальных кристаллах ромбической сиигонии в структуре их электронных и колебательных спектров.

Научная новизна работы. Найдены матрицы совместимости, связывающие векторы элементарных трансляций (ВЭ'Г) кристалла ромбической сиигонии и подрешеток, и условия на их геометрические параметры (пространственные периоды и углы). Выявлены реальные кристаллы ромбической сингонии с ггодрешетками типа отличного от кристаллического. С помощью построенных трансляционно-совместимых первых ЗБ и полученных таблиц сопоставления звезд волновых векторов подрешеток и кристалла обсуждены особенности электронных и колебательных спектров для кристаллов с имеющейся скрытой симметрией.

Практическая значимость заключается в возможности на основе метода подрешеток представлять кристаллические структуры любой сложности в виде совокупности подрешеток Бравэ, выявлять более высокую, чем кристаллическая, симметрию подрешеток, анализировать особенности электронных и колебательных спектров, обусловленные этой более высокой симметрией, в частности, предсказывать наличие в них квазивырождений и других топологических особенностей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Найденные матрицы трансляционной совместимости кристаллических решеток ромбической сингонии и подрешеток высших сингонии, позволяющие моделировать реальные кристаллические структуры, обладающие скрытой симметрией.

2. Выявленные реальные кристаллические соединения ромбической сингонии с подрешетками, обладающими более высокой (скрытой) симметрией, чем кристаллическая, построенные трансляционно-совместимые многогранники Дирихле-Вороного, зоны Бриллюэна, таблицы сопоставления звезд волновых векторов кристалла и подрешеток.

3. Установленные топологические особенности электронных и колебательных спектров типа вырождений и квазивырождений для ряда сложных кристаллических соединений ромбической сингонии.

Достоверность полученных результатов достигается за счет использования надежных и хорошо апробированных методов теории групп. Выводы, сформулированные в данной работе, являются взаимно согласованными и не содержат внутренних противоречий.

Личный вклад автора. В статьях, опубликованных в соавторстве, автору принадлежат результаты, сформулированные в защищаемых положениях и выводах работы. Идея исследования, постановка задач, анализ результатов обсуждались совместно с научным руководителем.

конференциях: Двенадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Новосибирск, 2006), Тринадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Ростов-на-Дону, 2007), XLVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), Четырнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Уфа, 2008), XI Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (Томск, 2008), XI Международной школе-семинаре «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (Барнаул, 2008), Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово-Томск, 2009), ÍV Международной научной конференции «Актуальные проблемы физики твердого тела» (Минск, 2009), Шестнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010), XÍÍ Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (Томск, 2010), 23 Международной конференции по физике конденсированного состояния (Польша, Варшава, 2010), XII Международной школе-семинаре «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (Барнаул, 2010). Всего по теме диссертации опубликовано 20 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 117 наименований. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, работа содержит 18 таблиц и 46 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель диссертационной работы, задачи исследований, описаны научная новизна, практическая значимость и основные защищаемые положения, приведены сведения об их апробации и публикациях, изложена структура диссертации.

В первой главе дан обзор литературных данных по использованию понятия «подрешетка» в различных областях физики твердого тела. При этом смысл данного понятия при решении различных задач оказывается разным. В большинстве случаев подрешетки являются структурами с пониженной симметрией в какой-либо высокосимметричной структуре.

При построении кристалла путем вложения друг в друга трансляционно совместимых подрешеток Бравэ одинаковых или различных сингоний. состоящих из атомов одного сорта, возникает возможность наличия в нем подрешеток с симметрией выше кристаллической.

Подрешетки Бравэ, входящие в единую кристаллическую структуру, (структурные подрешетки) должны удовлетворять условиям трансляционной совместимости с решеткой кристалла, для учета которой введены матрицы совместимости кристаллической решетки и подрешетки, изложен метод их определения. Для нахождения возможных вариантов пространственного раз-

мещения подрешеток приведен метод учета пространственной симметрии кристалла. Описан программный комплекс «5иЬРтс1ег», позволяющий выделять высокосимметричные подрешетки в кристаллах произвольной сингонии и химического состава любой сложности, а также визуализировать их в прямом и обратном кристаллических пространствах.

Вторая глава посвящена описанию структур некоторых кристаллов ромбической сингонии с высокосимметричными подрешетками. Дается описание ромбической сингонии, характеризующейся наличием трех взаимно перпендикулярных особых направлений, вдоль которых проходят оси второго порядка и/или которым перпендикулярны плоскости симметрии. Кристаллы, принадлежащие к данной сингонии, имеют примитивную (Г„), базоцен-трированную (Гд, где (/ = а, Ь или с)), объемноцентрированную (Г*) или гранецентрироваиную (Г/) ячейку Бравэ с параметрами а^Ь^с, а ~ ¡3 — у = 90° (оси второго порядка направлены вдоль ребер ячейки) и относятся к 3 точечным группам симметрии (222, тт2, ттт) и 59 ПГ симметрии. Для данной сингонии было найдено 119 матриц совместимости и условия на геометрические параметры согласно схеме подчинения сингоний, которые представлены в приложении 2 диссертационной работы. Проведен анализ структур некоторых реальных кристаллов ромбической сингонии с точки зрения наличия в них подрешеток разного типа. Рассмотрено восемь различных семейств кристаллов, представителями которых являются Тп4Тез, М^СеТчч, N/^¡N2, СаТЮ3, РЬР2, А1Р84, Ре52, среди которых найдены как точные, так и приближенные высокосимметричные подрешетки. Представлены совмещенные МДВ кристаллической решетки и подрешеток данных кристаллов.

Для иллюстрации представления кристаллов в виде совокупности подрешеток Бравэ разного типа рассмотрим кристаллы со структурой 1п4Те3, М^Ыг, СаТЮ3.

В 1п-.Те3 кристаллическая решетка относится к Г'(, с параметрами: а = 15.6! 9 А, Ь = 12.749 А, с - 4.445 А, а - // = у = 90°; ПГ № 58 (бЦ ). Изострук-турным 1пДе3 является кристалл 1п48е3. Элементарная ячейка имеет 28 атомов: три симметрично неэквивалентных типа атомов теллура, четыре симметрично неэквивалентных типа атомов индия (рис. 1 а). Т.е. в данном случае мы имеем 28 «точных» подрешеток с пространственными периодами, совпадающими с кристаллическими. Однако, если приближенно (с точностью не менее 6 %) переместить все атомы в более симметричные позиции, то 12 Г„ подрешеток Те объединятся в 6 Г* подрешеток, 4 Г„ подрешеток 1п объединятся в 2 Г^ подрешетки, 8 Гс/ подрешеток 1п объединятся в 4 Г^ подрешетки, при этом пространственные периоды всех подрешеток совпадают с кристаллическими, и 4 подрешетки 1п останутся эквивалентны по своему типу и пространственным периодам кристаллической решетке (рис. 16).

Рис. 1. Элементарная ячейка 1щТез: а) точная, б) приближенная

На рис. 2 представлены трансляционно-совместимые МДВ кристалла и подрешеток для кристалла со структурой 1п4Те3, которые соотносятся как 2:1.

Рис. 2. МДВ Тгц'Гез: а) крисгачлической решетки (I) и «приближенных» г° подрешеток Те и 1п 1 (2); б) кристаллической решетки (1) и «приближенных» г„ подрешеток 1п2? 1пЗ (2)

В кристаллическая решетка относится к Г0 с параметрами:

а = 5219 А, Ь = 6.476 А, с = 4.992 А,а-Р = у = 90°; описывается пространственной группой № 33 (С|„) (рис. За). Элементарная ячейка имеет 16 атомов: которые можно отнести к 4 группам: Ое, N1 и N2, каждая из которых состоит из 4 трансляционно неэквивалентных атомов. Т. е. в данном случае мы имеем 16 «точных» Г0 подрешеток Рис 3. а) Элементарная ячейка; б) МДВ с пространственными периодами, кристаллической решетки (1) и «приближен- совпадающими с кристаллически-иых» г; подрешеток N1 (2) г^^ ми. Однако, если приближенно (с

погрешностью не более 5 %) переместить атомы азота N1 в более симметричные позиции, то четыре Г0 под-

решетки N1 объединятся в две Г* подрешетки с пространственными периодами, совпадающими с кристаллическими. На рис. 36 представлены трансля-ционно-совместимые МДВ кристалла и подрешеток, объемы которых соотносятся как 2:1.

В СаТЮз кристаллическая решетка - Г0, параметры кристаллической решетки: а = 5.3881 А, Ь = 5.4471 А, с = 7.6541 А ,а=р = у= 90°, ПГ № 62 ( £>2а ) (рис. 4а). Четыре подрешетки И объединяются в одну Г* подрешетку, при этом пространственный период подрешетки вдоль оси г вдвое меньше соответствующего пространственного периода кристаллической решетки, а периоды вдоль осей х и у совпадают с кристаллическими. Если атомы кальция переместить (с погрешностью не более 3%) в симметричные позиции, то 1) 4 точных Г0 подрешеток Са объединяются в одну подрешетку аналогичную подрешетке ТК Атомы О разделены на два неэквивалентных множества атомов кислорода 01 и 02. Если их (с погрешностью не более 6%) переместить в симметричные позиции, то 12 Г"0 подрешеток О объединятся в три Гд подрешетки: одну 01 и две 02 аналогичные Г^ подрешетке 11; при этом атомы 02 можно сгруппировать в одну Г0 подрешетку с пространственными периодами вдоль всех осей вдвое меньше кристаллических. Объемы МДВ кристаллической решетки, и приближенной Г0 подрешеток в данном случае соотносятся как 8:2:1 соответственно.

Рис. 4. а) Элементарная ячейка; б) МДВ: кристалла (1), Г„ подрешеток И, «приближенных» \са подрешеток Са и О (2) и «приближенной» Г'„ подрешетки О (3) для ромбической

модификации СаТЮз

В третьей главе проанализированы особенности зонных спектров, обусловленные более высокой симметрией подрешеток по сравнению с кристаллической. В начале изложен метод исследования генезиса зонных спектров кристаллов, основанный на анализе симметрии подрешеток.

Проанализируем строение энергетических зон кристалла с позиции зонных состояний подрешеток. Кристаллический потенциал У{(г) представим в форме

= + (1)

где - потенциалы подрешеток, ЛИ/13(г) - потенциал, отвечающий за

гибридизацию подрешеточных состояний. Введем далее векторы обратной решетки кристалла и подрешеток, которые обозначим Ь,(Г/.) и ЬДГЛ) (/,_/ = 1, 2, 3) соответственно.

Поскольку элементарная ячейка кристалла вмещает в себя элементарные ячейки всех подрешеток, объем ее ЗБ меньше либо равен объему ЗБ любой подрешетки, при этом наибольшей оказывается ЗБ подрешетки с наименьшим объемом элементарной ячейки. Из-за трансляционной совместимости всех подрешеток с кристаллической решеткой, их ЗБ могут быть перестроены в ЗБ кристалла. Перестройка векторов ЗБ подрешеток в векторы ЗБ кристалла к/ производится согласно соотношению

(2)

(Ч

где и.(Г |Г5) - целые числа, Ь,{Г/,) - векторы обратной решетки кристалла. При перестройке ЗБ подрешеток в ЗБ кристалла необходимо принять во внимание точечную симметрию, которая может оказаться выше для подрешетки по отношению к кристаллической. В таком случае необходимо провести разложение неприводимых представлений групп симметрии подрешетки по кристаллическим. В итоге устанавливается генезис зонного спектра кристалла из подрешеточных состояний.

Изложенный метод проиллюстрирован на примере кристалла со структурой флюорита, составленного из двух различающихся подрешеток Бравэ, для которого ранее был рассчитан зонный спектр как для самого кристалла в целом, так и для высокосимметричной подрешетки. С помощью построенных совмещенных ЗБ решетки и подрешетки и полученной на их основе таблицы разложения неприводимых звезд волновых векторов подрешетки по кристаллическим показано, как будут сворачиваться зонные ветви подрешетки в ЗБ кристалла.

Далее с помощью описанной методики обсуждены топологические особенности в структуре зонных спектров, обусловленные симметрией подрешеток, некоторых кристаллов ромбической сингонии: 1п45е3, \lgGeN2, СаТЮ3.

Зонный спектр, полные и парциальные плотности состояний кристалла 1п45е3 вычислены в [I] и [2] и представлены на рис. 5. Как видно из рис. 56, нижняя связка валентной зоны в основном сформирована состояниями подрешеток Бе. Пики валентной зоны в интервале энергий от -7 до -4 эВ формируются преимущественно состояниями 1п. Следующий пик валентной зоны в интервале энергий от -4 до 0 эВ формируется в основном состояниями Бе. Далее, как видно из рис. 5б, вклад в зонный спектр в области зоны проводимости вносят как подрешетки 1п. так и подрешетки Бе.

/и X Г У 5 2

Рис. 5. а) Зонная структура 1щ8ез, 6) Полные и парциальные плотности состояний 1щ$ез [1,2]

Для того чтобы рассмотреть поведение зонных ветвей с позиции имеющихся в 1п4$е3 подрешеток, необходимо построить совмещенные ЗБ и составить таблицы сопоставления звезд волновых векторов кристаллической решетки и подрешеток.

На рис. 3 представлены ЗБ кристалла и подрешеток для кристалла со структурой 1п4Те3. Для Г0 кристаллической решетки ЗБ имеет вид прямоугольного параллелепипеда (на рисунке обозначена цифрой 1). ЗБ для «приближенных» Г^ подрешеток - прямая призма, имеющая в основании неправильный шестиугольник (2), а ЗБ «приближенных» Г,'' подрешеток будет иметь вид «искаженного» усеченного октаэдра (2) (под понятием «искаженный» мы имеем ввиду то, что его гранями являются неправильные шестиугольники и прямоугольники). Т.к. пространственные периоды подрешеток, отличных от решетки кристалла, совпадают с кристаллическими, то объем данных ЗБ в 2 раза больше объема ЗБ кристаллической решетки.

Ниже представлены таблицы сопоставления некоторых звезд волновых векторов кристаллической решетки (соответствующих звездам волновых векторов, по которым рассчитан зонный спектр на рис. 5) и подрешеток Г,',7 (табл. 1) и Г,'' (табл. 2) с пространственными периодами, совпадающими с кристаллическими. Точки и линии ЗБ подрешетки помечены штрихами, нижним индексом «О» обозначены конкретные точки на определенной линии ЗБ подрешетки, не соответствующие никаким симметричным точкам в общепринятой классификапни.

Рис. 6. ЗБ 1гЬ(Те3: а) кристаллической решетки (1) и «приближенных» Г" гюдрешеток Те и 1п1 (2); б) кристаллической решетки (1) и «приближенных» г; подрешсток 1п2, 1пЗ (2)

Таблица 1

Разложение неприводимых звезд г^ подрешетки по неприводимым звездам Г„ кристалла

Решетка кристалла I !одрешсгка

Тип звезды Векторы звезды (сд. 2п) Тип звезды Векторы звезды (сд. 2я)

1 2 3 4

Г (0;0;0) Г" (0;0;0)

Г (0;1/Ъ;0)

X (1/(2а);0:0) X' (]/|'2а);0;0)

т (1/(2а);1/Ъ,0)

У (0;1/(2Ь);0) До (0; 1/(2Ь);0)

Ъ (0;0;1/(2с)) Л'„ (0;0;1/(2с))

и (1/(2а);0;1/(2с)) А'о (1/(2а),0:1/(2с))

д (0;цЛ>;0),-1/2<>1<0 Д' (0;2ц/Ъ;0). -1/4<ц<0

Д' (0;2ц/Ь;0),]/4<ц<1/2

д (0;^Ъ;0). 0<ц<1/2 Д' (0;2ц/Ь;0). 0<ц<1/4

Л' (0;2ц/Ь;0"|, -1/2<ц<-1/4

Л (0;0;^с). -1/2<ц<-1/2 Л' (0;0;ц/с). - 1/2<ц<-1 /2+с*/(2Ь'!)

Л' (0:0:д/'с), 1/2<ц< 1/2-1 с'/СЬ")

Л (0;0;,и/с). -1 /2+с'7(21Г)<ц<0 Л' С0;0;цУс), - 1.'2--гс"7(2Ь:!)<м.<0

С' (0; 1 /Ь;р/с), -1/2+с-Ч2Ь-)<1ь<0

А (0:0;ц/с).0<ц<1/2-с7(21г) Л' (0;0;ц/с). 0<ц.<1/2-С"7(2Ь")

с (0;]/Ь;ц/с), 0<^< 1/2-с7(21г)

А (0;0,ц/с), 1/2-с-/(2Ь'!)см<1/2 Л' (0:0;ц/с), 1/2-с"7(2Ь-,')<11<1/2

Л' (0:0;^''с), -1,2-с'7(2Ь~)<ц.<-1/2

у (ц/а;0:0).-1/2<ц<1/2 (ц/а:0:0),-!'2<и<1/2

и* (||/а:!/Ь;0).-!/2<ц<.1/2

Таблица 2

Разложение неприводимых звезд г,; подрешетки по неприводимым звездам Г„ кристалла

Решстчя кристалла Подрешегка

Тип зиезды Век-горы звезды (сд. 2?е) Тип звезды Векторы звезды (ед. 2тс)

Г (0;0;0) Г (0;0;0)

X' (1/а;0;0)

X у (1/(2а);0;0) Е'ч (1/(2а);0;0)

(0;1/(2Ь);0) До (0;1/(2Ь);0)

г (0;0;1/'(2с)) Л'о (0:0;]/(2с))

Б (1/(2а);1/(2Ъ);0) Г (1/(2а);]/(2Ь);0)

и (1/(2а);0;1/(2с)) К' (1/(2а);0;1/(2с))

Л (0;ц/Ь;0), -1/2<|К-1/2+^7(23-) Д' __....... (0;ц/Ь;0), -1/2<(л<-1/2 |-Ь"/(2а-) (0;р/Ь;0), 1 /2<р.< 1 /2+Ь2/(2а~)

Д | (0;ц/Ь;0), -1/2-гЬ3/(2а')<Ц<0 Л' (0;ц/Ь;0), -1/2+Ь'7(2а'!)<^<0

Р' {1/а;ц/Ь;0), - 1/2+Ь7(2а'')<ц<0

Д (0,и/Ь;0), (Х^ЛП-Ъ1/^1) Д" (0; ц/Ь;0), 0<(1<1/2-Ь7(2а")

I-' "".........дт Л' (1/а;(!Д>;0), 0<ц<1/2-Ь';/(2а;')

Л С0;ц/Ь:0). 1/2-Ь"/(2а-)<и<1/2 (0:^Ъ;0), 1/2-Ь'/(?а-')<ц<1/2 (0;(1/Ъ;0), - 1/2-Ь3/(2а-)<и-<-1 /2

Л (0,0;ц/с). -1 /2<^<-1 ,/2+(.-."7(2а"!) Л' (0;0;ц/'с), -]/2<ц<- 1/2+с"7(2а'!)

Л' (0;0,ц/с). 1/2<ц<1/2+с-7(2а3)

Л (0:0,ц/с), -1/2+с-/(2а--)<д<0 Л' с (0:0:ц/с), -1/2-1 с-7(2а")<ц<0 (Ьа;0,ц/с), -1/2+с"7(2а-)<^<0

Л д (0,0;ц/с),0<ц<1/2-г/(2а-') А' \ (0:0;ц/с), 0<й<1/2-с"7С2а2)

_ С _ "л-..... Л- П/а:0;ц/с), 0<ц<.1/2-с"/(2а-)

(0;6;и/с), \12-с21{2л~)<\х< 1/2 (0;0;(1/'с). 1/2-с"7(2а2)<ц<1/2 (0;0;ц/с). - 1/2-Г/(2а')<м<-1/2

у (ц/а;0;0),-1/2<ц<0 Г (2р/а;0;0). -1/4<ц<0

v (2ц/а:0;0), 1/4<ц<|/2

(Уа;0.0),0<ц<1/?. v' (2|1/а;0;0), 0<ц<1/4

Г | (2ц/а;0;0),-1/2<ц<-1/4

Рассмотрим теперь особенности зонных спектров с позиции имеющихся подрешеток. Для подрешеток Бе (рис. 6а, табл. 1) в направлении Л (0,ку,0) в центр ЗБ кристалла попадает точка V ЗБ подрешетки, следовательно, в точке У ЗБ кристалла будет происходить «свертка» зонного спектра подрешетки Бе. Для подрешетки 1п (рис. 66, табл. 2) в центр ЗБ кристалла попадают точки V и X' ЗБ подрешетки, и в точках У и X ЗБ кристалла будет иметь место «свертка» зонного спектра. Достаточно сложная картина наблюдается для направления Г-Х ЗБ кристалла. Для этого направления, в случае как подрешетки Бе, так и 1п, в точке 7, будет иметь место «свертка» зонного спектра, кроме того, в этом направлении возникаю! пересечения с ребрами ЗБ перестроенных подрешеток. то же наблюдается и в направлении Г-У для подрешеток 1п. Точки этих пересечений на рис. 5а представлены пунктирной вертикальной линией.

Итак, в точках X, У, 7. ЗБ кристалла имеет место «свертка» зонных вет-

вей. Наиболее сложные особенности спектра типа пересечений ветвей и квазивырождений - наблюдаются вблизи пунктирных линий на рис. 5а. за счет «переноса» зонных ветвей с различных линий ЗБ подрешеток в соответствии с табл.1 и 2.

Зонная структура вычислялась в рамках локального приближе-

ния теории функционала плотности с использованием сохраняющих норму атомных псевдопотеициалов. генерированных программой P\Vscf с параметрами Педыо-Цангера. Результаты вычислений представлены на рис. 7.

х г гик к у г

Рис. 7. Зонная структура N^¡N2

Согласно нашим расчетам кристаллы М^И? являются непрямозонны-ми, поскольку абсолютный минимум зоны проводимости находится в точке Г, а вершина валентной зоны реализуется на линии Т-Т в точке с координатами (0, 0, 0.7), где расположен абсолютный максимум. Вычисленная ширина запрещенной зоны соединения составляет 4.32 и 4.56 эВ дпя непря-

мой и прямой щели, соответственно. Характерной особенностью строения вершины валентной зоны \4gSiN2 является наличие большого числа локальных максимумов в двух взаимно перпендикулярных направлениях Т-Т и Г-Х, которые будут давать большое число прямых и непрямых переходов из валентной зоны в зону проводимости.

Анализ парциальных вкладов плотности состояний атомов, образующих соединение М£8ПЧ2 (рис. 8), показывает, что нижняя связка валентных зон в интервале энергий от -12 до -16 эВ образована преимущественно из з-состояний атомов аниона (К), имеет грехпиковую структуру, обусловленную наличием в составе Г^81Ы3 двух неэквивалентных атомов N. Наиболее интенсивный пик в этой связке в области -12.5 эВ содержит вклады р-состояний катионов из элементов ГУ группы (81). что характеризуется зр'-гибридизацисй в рассматриваемых соединениях с тетраэдрической координацией атомов. Верхняя полоса валентной зоны от -8 эВ и выше является не-

1 ... р

/Л ! \ * ! «МП

1—'—I—I—I—I—I—■—I—■—г

прерывной и формируется в основном из р-состояний атомов азота. Уровни энергии, имеющие эр3-гибридизованные состояния атомов Б] и >1, расположены в интервале от -8 до -6 эВ. Дно зоны проводимости содержит вклады преимущественно р-состояний катионов и 51, к которым примешиваются вклады состояний аниона N.

На рис. 9 представлены ЗБ кристалла и подрешетки азота ЗБ кристаллической решетки имеет вид прямоугольного параллелепипеда (1), ЗБ для «приближенных» Г^

Рис. 8. Полная и парциальные плотности _______„ „

.. подрешеток азота - «искаженный»

состоянии Меа^Ь „

усеченный октаэдр (2) с объемом в 2

раза больше объема ЗБ кристаллической решетки.

Ниже приведена таблица 3 сопоставления звезд волновых веторов Г„ кристаллической решетки и Гр подрешетки.

Рассмотрим связки валентных зон, которые согласно рис. 8 обусловлены преимущественно под-решеткой азота. Как видно из рис. 9 и табл. 3, в направлении Д (0,ку,0) г раница ЗБ кристалла находится на середине линии (Г-Х'), точка X' ЗБ подрешетки попадает в центр ЗБ кристалла. Следовательно, в точке У ЗБ кристалла будет происходить «свертка» зонного спектра подрешетки, что и можно наблюдать на рис. 7.

Другая ситуация реализуется в направлениях I (кх,0,0) и Л (0,0,к7.). Как видно из рис. 9 и табл. 3, на направление Е переходят как отрезки из плоскости, перпендикулярной (0,ку,0) ЗБ подрешетки, так и лежащие за пределами ЗБ кристалла в направлении (кх,0,0); аналогично на направление Л переходят отрезки из плоскости, перпендикулярной (0,ку,0) ЗБ подрешетки, и лежащие за пределами ЗБ кристалла в направлении (0,0,к2). Таким образом, эти направления пересекает одно из ребер ЗБ подрешетки. Из рис. 7 видно, что

Рис. 9. ЗБ кристаллической решетки (1) и «приближенных» подрешеток N1 (2) М^ЬЬ

именно на пересечении с этой линией (или вблизи нее) находятся наиболее сложные особенности зонного спектра, такие как «квазивырождения», на других же направлениях видно достаточно гладкое поведение ветвей.

Таблица 3

Разложение неприводимых звезд г„ подрешетки по неприводимым звездам кристалла

Решетка кристалла Подрешетка

Тип звезды Векторы звезды (сл. 2л) Тип звезды Векторы звезды (ед, 2л)

1 2 3 4

г (0:0:0) Г (0:0;0)

X' (0;1/Ь;0) Н

X (1/(2а);0;0) (1/(2а;,0;0)

У (0;1/(2Ь):0) До' (0:1/(2Ь):0)

2 (0,0; 1/'(2с)) Л</ (0;0,]/(2с))

Я (1/(2а);1/(2Ь);1/(2с)) Wl (1/(2а);1/(2Ь);1/(2с)) ]

я (1/(2а);1/(2Ь);0) Г (1/(2а);1/(2Ь);0)

т (0;1/(2Ь);1/(2с)) Б1 (0;1/(2Ь);1/(2с))

и (1/(2а);0,1/(2с)) ! Я' ПД2а);0;1/(2с))

д (0;|1/Ь;0): -!/2<ц<0 А' (0;ц/Ь;0), -1/2-'ц<0

Л' (0;^'Ь:0),1/2<к<1

д (0;р/Ь;0), 0<}1<1/2 А' (0;цЛ>;0>,0<ц<1/2

Д' (0:ц/Ь;0),-Кц<-1/2

Л (0;0;ц/с), -1/2<>1<- 1/2+С-/(2Ь2) ■v (0:0;р/с), -1 /2<м<-1 /2+с7/С2Ь")

Л' (0;0;р/с), 1/2<и<1/2;с'/(2!г)

Л (0:0;ц/с), -1/2»-с7(2Ь")<ц<0 Л' (0;0;цУс),-1/2+с-/(2Ь-)<ц<0

О' ! (0;1/Ь:ц/с),-1/2+с^/(2Ь-)<ц<0

А (0;0:р/с), 0<м<1/2-с-/(2Ь") Л' \ (0;0;р/с),0<ц<!/2-с3/(2Ь:!)

О' (0;1/Ъ;ц/с), 0<и<1/2-с"/(2Ь")

Л (0;0;ц/с). 1/2-с"/(2Ь~)<д<1/2 Л' (0;0;ц/с). 1/2-с~/(2Ь''')<и<1/2

Л' (0;0; ц/с). -1 /2-с"/(21г )<ц<-1 /2

у (ц/а;0;0), -1/2<ц.<- ]/2+а-/(2Ь2) I' (р/а;0:0). -1 /2<ц<-1 /2+а''/Г21Г)

X' (11/3,0,0). 1/2<ц<1/2+а-7г21-/!)

I (ц/а;0;0).-1/21а2/(2Ь2)<м<0 v (р/а;0,0). -]/2+а"У(21т:)<ц<0

г (ц/а:!/Ь;0),-1/2-;а-/(2))')<^0

I (ц/а;0;0), О-^/г-а^Ь") т " v (ц./а;0;0);0<|к1/2-а-/(2Ь") (р/а; 1/Ь;0), 0'-;КЬ'2-а:/"(2Ь-)

v (ц/а;0;0), 1/2-л-Д2Ь-')<и< 1/2 Г..... "у" (р/а;0;0), 1/2-а".'(2Ь3)<ц<1/2

г ((1/а;0;0), -1/2-а7(21)"')<р--1/2

В четвертой главе проанализированы особенности фононных спектров, обусловленные более высокой симметрией подрешеток по сравнению с кристаллической. Изложена техника вычислений колебательных спектров кристаллов и их подрешеток.

Структура колебательных спектров кристаллов определяется силами связи между химическими элементами, входящими в их состав, а также массами этих элементов. В случае, если в состав какого либо соединения входят химические элементы, массы которых много меньше остальных, то эти химические элементы б)'дут определять строение самых верхних оптических

ветвей колебательного спектра. Если же, напротив, какой-либо химический элемент обладает массой, намного превышающей массы остальных, тогда этот химический элемент будет преимущественно определять строение акустических ветвей соединений.

В качестве иллюстрации изложенный метод применен к кристаллам кубической сингонии со структурами р-РЬБг с решеткой флюорита и СаТЮз, составленным из подрешеток Бравэ разного типа. Достаточно простой характер фононного спектра таких кристаллов позволяет наглядно увидеть особенности спектров, обусловленные свертыванием фононных ветвей подре-шетки в ЗБ кристалла. Далее с помощью анализа построенных совмещенных ЗБ кристаллической решетки и подрешеток и полученных на их основе таблиц разложения неприводимых звезд волновых векторов подрешетки по кристаллическим некоторые топологические особенности колебательных спектров кристаллов ромбической сингонии обсуждены на примере фононного

спектра 1п4Те3 и предсказаны в кристаллах СаТЮз, РЬР2, 1пР84, РеС2, для которых не имеется численных расчетов.

Низкоэнергетические ветви фононного спектра 1п4Те3 представлены на рис. 10. В элементарной ячейке 1п4Те3 имеется 28 атомов и, следовательно, всего фононных ветвей 84. По этой причине картина спектра чрезвычайно сложна. Рассмотрим поведение фононных ветвей с позиции имеющихся в 1гиТе3 подрешеток, воспользовавшись совмещенными ЗБ решетки и подрешеток, приведенными на рис. 6, и таблицами 1 и 2.

В направлении £ (кх,0,0) фо-нонные ветви оказываются наиболее гладкими. Как видно из рис. 6а границы ЗБ кристалла и «приближенных» Г" подрешеток Те и 1п1, проходящие через точку X совпадают. Следовательно, фононные ветви с преимущественными вкладами в колебания атомов подрешеток Г" не претерпевают свертывания и идентичны с кристаллическими. Для подрешеток Г^' 1п2 и 1пЗ ЗБ полностью охватывают кристаллическую (рис. 56). Точка X ЗБ подрешетки попадает в

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 АЛУ А.

—

-о- Я2,4£,Ег

Рис. 10. Низкоонергетические ветви фононного спектра кристалла И^Те? [3]

центр ЗБ кристалла, в то время как точка с тем же обозначением X кристалла находится на середине расстояния Г'-Х подрешетки (табл. 2). Следовательно, фононные ветви с преимущественным вкладом атомов подрешеток Г^' будут простейшим способом свернуты в ЗБ кристалла, что и обеспечивает относительную гладкость и общую топологию поведения фононных ветвей в направлении

Другая ситуация реализуется в направлении Д (0,ку,0). Как видно из рис. 6а, в этом направлении граница ЗБ кристалла находится на середине расстояния Г-У в подрешетке Г°, точка У ЗБ подрешетки попадает в центр ЗБ кристалла (табл. 1). Это обеспечивает «простейший» тип свертывания фононных ветвей, отвечающих подрешеткам Г°, что проявляется в наличии фононных ветвей с относительно гладким поведением на рис. 10 для направления А. Для подрешеток Г,' в направлении А ситуация с перестройкой ЗБ подрешетки в ЗБ кристалла значительно сложнее. Как видно из табл. 2, на это направление переходят как отрезки из плоскости, перпендикулярной (к>:,0,0) ЗБ подрешетки, так и лежащие за пределами ЗБ кристалла в направлении (0,ку,0). Таким образом, это направление пересекает одно из ребер ЗБ подрешетки (на рис. 10 представлено пунктирной вертикальной линией). Из рис. 10 видно, что именно на пересечении с этой линией (или вблизи нее) находятся наиболее сложные особенности фононных ветвей.

Еще более запу танная ситуация с перестройкой ЗБ подрешеток в ЗБ кристалла реализуется для направления А (0,0,10. Детали этой ситуации устанавливаются на основе рис. 6а, б и табл. 1, 2. На рис. 10 мы пунктирными линиями выделили точки на направлении (0,0,к,), в которых пересекаются перестроенные нижние грани подрешеток Г " и Г.)' - как видно, на пересечении с этими линиями имеются достаточно сложные особенности фононных ветвей. Особенности спектра, расположенные между центром ЗБ и пунктирной линией, обусловлены пересечением фононных ветвей подрешеток, перестроенных из разных граней ЗБ обеих подрешеток, и их расщеплением за счет взаимодействия подрешеток.

В целом сложный характер фононного спектра 1п4Тез может быть объяснен интерференцией фононных волн на внутренних симметричных структурах - подрешетках.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в работе, и сделанные на их основе выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдены матрицы совместимости векторов элементарных трансляций кристаллической решетки ромбической сингонии и подрешеток высших сингоний.

2. Выявлены кристаллы ромбической сингонии с подрешеткам и разного тина Бравэ. При этом показано, что в кристаллах могут быть подрешетки

типа отличного от кристаллического как точные, так и приближенные.

3. Для ряда кристаллов ромбической сингонии построены трансляци-онно-совместимые МДВ и первые ЗБ и составлены таблицы перестройки неприводимых представлений звезд волновых векторов для всех сочетаний данных типов Бравэ кристаллической решетки и подрешетки.

4. В тех направлениях, где границы ЗБ подрешетки и кристалла совпадают, ветви электронных и колебательных спектров с преимущественными вкладами от состояний атомов данной подрешетки не претерпевают свертывания и идентичны с кристаллическими.

5. В тех направлениях, на которых граница ЗБ кристалла приходится на середину соответствующей линии ЗБ подрешетки, ветви электронных и колебательных спектров с преимущественным вкладом атомов данной подрешетки будут простейшим образом свернуты в ЗБ кристалла, что и обеспечивает относительную гладкость и общую топологию поведения зонных или фонопных ветвей.

6. В направлениях, для которых граница ЗБ кристалла лежит в общей точке соответствующей линии ЗБ подрешетки. ветви электронных и колебательных спектров с преимущественным вкладом атомов данной подрешетки перестраиваются в ЗБ кристалла из различных направлений ЗБ подрешетки, что приводит к достаточно сложной картине спектров.

7. Указанные в выводах 4-6 особенности спектров выявлены на примере фононного спектра ln/Te-î, зонных спектров In,4Se3, MgGeN2, MgSiN2, Са-TiCh.

8. Предсказаны некоторые топологические особенности колебательных спектров в кристаллах СаТЮ3, PbF3, InPS4, НеС2, дитя которых не имеется численных расчетов.

Список цитируемой литературы

1. Losovyj, Y а. В. The anisotropic band structure oflayered 1гц8ез (001) / Ya. В. Losovyj, L. Makinistian, P.. A. Albanesi, A. G. Pctukhov, Jing Liu, P. Galiy, O. R. Dveriy, P. A. Dowben /./Journal of applied physics. -2008. - V. 104. - Pp. 083713-1-083713-7.

2. Makinistian, L. Ab initio calculations and ellipsometry measurements of the optical properties of the layered semiconductor ln4Se3 / L. Makinistian, F. A. Albanesi, N. V. Gonzalez Lemus, A. G. Petukhov, D. Schmidt, E. Schubert, Ya. B. Losovyj, P. Galiy, P. A. Dowben // Phys. Rev. B. - 2010. - V. 81, № 7. - Pp. 075217-1-075217-8.

3. Бсрча, Д. M. Динамические параметры и фононньш спектр кристалла IniTc.ï / Д. М. Берна. К. 3. Рущанскии // Физика твердого тела. - 1999. - Т. 41, вып. 10. - С. 1843-1847.

Основные публикации по теме диссертации

Статьи журналов списка ВАК:

1. Николаева, Е. В. Трансляционная совместимость высокосимметричных подрешеток Бравэ в кристаллах ромбической сингонии / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Известия вузов. Физика. - 2008. -Т. 51. -№ 12. - С. 99 (Деп. в ВИНИТИ 28.11.2008, №915-В2008).

2. Николаева, Е. В. Подрешетки в кристаллах со структурой 1п4Тез и особенности их фононных спектров / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Известия вузов. Физика. - 2010. - Т. 53. - № 8. С. 3 - 8.

3. Николаева, Е. В. Высокосимметричные подрешетки в кристаллических модификациях CaTi03 и особенности их электронных и колебательных спектров / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин /7 Известия вузов. Физика. 2010. - Т. 53. - № 12. С. 104 (Деп. в ВИНИТИ 30.08.2010. № 501-В2010).

4. Басалаев, Ю. М. Зонная структура и ее генезис из состояний подрешеток в орторомбическом MgGeNS / Ю. М. Басалаев, П. В. Демушин, Е. В. Николаева, А. В. Силинин // Вестник Московского университета. Серия 3. Астрономия. Физика. - 2011. - № 1. - С. 39 - 43.

Статьи в сборниках трубив

1. Николаева, Е. В. Представление сложных кристаллических структур простого ромбического типа Бравэ в виде совокупности подрешеток разного типа Бравэ / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин /7 Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2008. - Т. 5. - 1. -С. 35 - 40.

2. Николаева, Е. В. Зоны Бриллюэна кристаллов и подрешеток для трех структурных модификаций СаТЮ3 /' Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Актуальные проблемы физики твердого тела: сб. докл. Между нар. науч. коиф., 20 - 23 окт. 2009 г., Минск: в 3 т. - Т. 2. - Минск: Варак-син А. Н.,'2009.- С. 307 - 309.

3. Николаева, К. В. Высокосимметричные подрешетки в а- и Р-фазах кристаллов PbF2 и их влияние на спектры элементарных возбуждений / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Фундаментальные проблемы современного материааоведепия. - 2010. - Т. 6. - № 2. - С. 48 - 54

4. Николаева, Е. В. Подрешетки в кристаллах со структурой кубического перовскита и особенности их фононных спектров /' Е. В. Николаева. А. С. Поплавной, А. В. Силинин //' Вестник Кем]"У. - 2010. - Т. 42. - № 2. -С. 83 - 87.

5. Николаева, Е. В. Зоны Бриллюэна ромбической фазы кристалла SiS; и его подрешеток / Е. В. Николаева, А. В. Силинин // Образование наука, инновации - вклад молодых исследователей: материалы V (XXXVII) Между-нар. науч.- практич. коиф.. Кемеровский государственный университет. -

Кемерово: ИНТ, 2010. - Вып. 11. - Т. 2. - С. 395 - 397.

6. Николаева, Е. В. Пространственное размещение структурных под-решеток в кристаллах со структурой A1PS4 / Е. В. Николаева, А. В. Силинин // Физика твердого тела: сб. материалов XI Российской научной студенческой конференции (13-15 мая 2008 г., Томск). - Томск: Томский государственный университет, 2008. - С. 196 - 198.

7. Николаева, Е. В. Подрешетки в кристаллах MgGeN2 и особенности их спектров элементарных возбуждений / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Физика твердого тела: сб. материалов XII Российской научной студенческой конференции (12-14 мая 2010г., Томск). - Томск: Томский государственный университет, 2010. - С. 183 - 185.

8. Nikolaeva, Е. V. Theory of electronic structures. Sublattices in MgSiN2 crystals and special features of their elementary excitation spectra / E. V. Nikolaeva, A. S. Poplavnoi, A. V. Silinin // 23 General Conference of the Condensed Matter Division of the European Physical Society Conference Digest (3003.09.2010, Warsaw, Poland). - P. 48.

9. Николаева, E. В. Подрешетки в кристаллах MgSiN2 и особенности их спектров элементарных возбуждений / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Сб. тезисов, материалы Шестнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-16, Волгоград): материалы конференции, тезисы докладов. Екатеринбург, Волгоград: Изд-во АСФ России, 2010.-С 135 - 136.

Подписано в печать 13.04.2011 г. Формат 60x84 '/ю . Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Уч.-изд. л. 1,25.

Тираж 110 экз. Заказ № 49._

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». 650043, Кемерово, ул. Красная, 6. Отпечатано па участке оперативной полиграфии Кем!У

2010199720

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Николаева, Елена Владимировна

Введение.

Глава I. Структурные подрешетки в кристаллах.

§ 1. Типы подрешеток в кристаллах.

1.1. Сверхструктуры в теории фазовых переходов.

1.2. Полупроводниковые структуры замещения.

1.3. Сверхрешетки.

1.4. Политипы.

1.5. Подрешетки в целых решетках.

§ 2. Понятие структурных подрешеток.

§ 3. Трансляционная совместимость структурных подрешеток.

§ 4. Пространственная симметрия сложного кристалла, составленного из подрешеток.

§ 5. Программный комплекс «8иЬРтс!ег».

Глава И. Кристаллическая структура и многогранники Дирихле-Вороного кристаллов ромбической сингонии.

§ 1. Ромбическая сингония.

§ 2. Трансляционная совместимость.

§ 3. Структура и многогранники Дирихле-Вороного некоторых кристаллов ромбической сингонии и их подрешеток.

З.ПщТез.

3.2. Т^ве^.

3.3. МвЗ^.

3.4. СаТЮз.

3.5. РЪР2.

3.6. 8182.

3.7. A1PS4.

3.8. FeS2 (марказит).

Глава III. Исследование особенностей зонных спектров кристаллов, обусловленных симметрией их подрешеток.

§ 1. Общее рассмотрение.

§ 2. Зонный спектр кристаллов с решеткой флюорита.

§ 3. Зонный спектр IrbjSes.

§ 4. Зонный спектр MgGeN2.

§ 5. Зонный спектр MgSiN2.

§ 6. Зонный спектр СаТЮ3.

Глава IV. Исследование особенностей фононных спектров кристаллов, обусловленных симметрией их подрешеток.

§ 1. Исследование фононных спектров на основе метода подрешеток.

§ 2. Особенности фононных спектров некоторых кубических кристаллов с подрешетками Бравэ разного типа.

2.1. Фононный спектр ß-PbF2 с решеткой флюорита.

2.2. Фононный спектр кристаллов со структурой кубического перовскита

§ 3. Фононный спектр ЬцТез.

§ 4. Предсказание некоторых особенностей колебательных спектров кристаллов с высокосимметричными подрешетками и существенно различающимися массами входящих в их состав химических элементов

4.1. Кристаллы ромбической модификации типа СаТЮ3.

4.2. Кристаллы ромбической модификации типа РЬБ2.

4.3. ЫР84.

4.4. Fe2C.

Введение диссертация по физике, на тему "Высокосимметричные подрешетки в кристаллах ромбической сингонии и их проявление в структуре зонных и фононных спектров"

Электронные и колебательные спектры кристаллов, содержащих несколько формульных единиц в элементарной ячейке, имеют, как правило, сложный характер. Кроме того, при феноменологическом описании фононных спектров необходимо вводить достаточно большое число параметров, физический смысл которых не всегда ясен. Но даже при получении численных результатов их интерпретация оказывается не менее сложной задачей из-за обилия электронных и колебательных ветвей. В представленной работе используется метод симметрийного анализа спектров кристаллов, составленных из подрешеток Бравэ, который позволяет провести качественный анализ спектров без проведения вычислений и интерпретировать некоторые их особенности, если спектры вычислены. Основным последовательно учитываемым фактором при этом анализе является симметрия подрешеток, которая может быть выше симметрии составленной кристаллической решетки. Эта дополнительная симметрия может уменьшить число параметров теории при феноменологическом подходе к моделированию силового взаимодействия, а также позволяет установить некоторые качественные особенности спектров. Трансляционные квазивырождения возникают при условии, если объем примитивной ячейки подрешетки меньше объема примитивной ячейки кристалла, и такие вырождения находятся путем свертывания ветвей спектра подрешетки в зону Бриллюэна (ЗБ) кристалла. Другой тип квазивырождений возникает при условии, если точечная симметрия подрешеток окажется выше точечной симметрии кристалла.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Найти матрицы трансляционной совместимости кристаллических решеток ромбической сингонии с подрешетками высших сингоний с учетом схемы их подчинения.

2. Выявить реальные кристаллы ромбической сингонии с подрешетками различного типа Бравэ.

4. Описать проявление имеющейся скрытой симметрии подрешеток в реальных кристаллах ромбической сингонии в структуре их электронных и колебательных спектров.

Научная новизна работы. Найдены матрицы совместимости, связывающие векторы элементарных трансляций (ВЭТ) кристалла ромбической сингонии и подрешеток, и условия на их геометрические параметры (пространственные периоды и углы). Выявлены реальные кристаллы ромбической сингонии с подрешетками типа отличного от кристаллического. С помощью построенных трансляционно-совместимых первых ЗБ и полученных таблиц сопоставления звезд волновых векторов подрешеток и кристалла обсуждены особенности электронных и колебательных спектров для кристаллов с имеющейся скрытой симметрией.

Положения, выносимые на защиту:

1. Найденные матрицы трансляционной совместимости кристаллических решеток ромбической сингонии и подрешеток высших сингоний, позволяющие моделировать реальные кристаллические структуры, обладающие скрытой симметрией.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в 4 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах из списка ВАК и 7 статьях в сборниках трудов, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Двенадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Новосибирск, 2006), Тринадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Ростов-на-Дону, 2007), XLVI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), Четырнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Уфа, 2008), XI Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (Томск, 2008), Ж Международной школе-семинаре «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (Барнаул, 2008), Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово-Томск, 2009), IV Международной научной конференции "Актуальные проблемы физики твердого тела" (Минск, 2009), Шестнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010), ХП Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела» (Томск, 2010), 23 Международной конференции по физике конденсированного состояния (Польша, Варшава, 2010), XII Международной школе-семинаре «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах» (Барнаул, 2010). Всего по теме диссертации опубликовано 20 работ.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

Основные результаты и выводы

1. Найдены матрицы совместимости векторов элементарных трансляций , кристаллической решетки ромбической сингонии и подрешеток высших 5 сингонии.

2. Выявлены кристаллы ромбической сингонии. с подрешетками разного типа Бравэ. При этом показано, что в кристаллах могут быть подрешетки типа отличного от кристаллического как точные, так и «приближенные».

3. Для ряда кристаллов ромбической сингонии построены трансляционно-совместимые МДВ и первые ЗБ и составлены таблицы перестройки неприводимых представлений звезд волновых векторов для всех сочетаний данных типов Бравэ кристаллической решетки и подрешетки.

6. В направлениях, для которых граница ЗБ кристалла лежит в общей точке, соответствующей линии ЗБ подрешетки, ветви электронных и колебательных спектров с преимущественным вкладом атомов данной подрешетки перестраиваются в ЗБ кристалла из различных направлений ЗБ подрешетки, что приводит к достаточно сложной картине спектров.

7. Указанные в выводах 4-6 особенности спектров выявлены на примере фононного спектра 1п4Те3, зонных спектров Ьь^ез ТУ^ИМг, СаТЮз.'

8. Предсказаны некоторые топологические особенности колебательных спектров в кристаллах СаТЮз, РЬР2, РеС2, для которых не имеется численных расчетов.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору, Заслуженному деятелю науки РФ Анатолию Степановичу Поплавному за постановку задачи, руководство работой и критическое обсуждение рукописи, соавтору ряда работ, кандидату физико-математических наук Антону Владимировичу Силинину за ценные советы и всестороннее обсуждение работы, доктору физико-математических наук Юрию Михайловичу Басалаеву и соискателю кафедры теоретической физики Павлу Викторовичу Демушину за совместную работу по интересным объектам исследования и обсуждение результатов их зонного строения из состояний подрешеток, а также другим преподавателям кафедр теоретической и общей физики Кемеровского государственного университета за ценные консультации и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Николаева, Елена Владимировна, Кемерово

1. Ландау, J1. Д. К теории фазовых переходов I, II // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1937. - Т. 7, № 1. - С. 1932; №5.-С. 627-632.

2. Лифшиц, Е. М. К теории фазовых переходов второго рода // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1941. — Т. 11, № 2-3. — С. 255-281.

3. Гуфан, Ю. М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. -304 с.

4. Изюмов, Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изюмов, В. Н. Сыромятников. -М.: Наука, 1984. 248 с.

5. Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. -М.: Наука, 1974. 384 с.

6. Штерн, Д. М. Теоретическое предсказание структур ГЦК и ОЦК бинарных упорядоченных фаз / Д. М. Штерн, Э. В. Козлов // Известия вузов СССР. Физика. 1985. - Т. 28, № 6. - С. 26-33.

7. Соловьева, М. И. Теоретическое предсказание структур ГПУ бинарных упорядоченных фаз / М. И. Соловьева, Д. М. Штерн // Известия вузов СССР. Физика. 1990. -Т. 33, № 6. - С. 90-94.

8. Men, В. A. Influence of the Ground State Symmetry on the Qualitative Form of Ordering Phase Diagram / B. A. Men, M. L. Levitan (Katsnelson),

9. A. N. Men // Physica Status Solidi (a). 1983. - V. 77, № 2. - Pp. 455-461.

10. Men, B. A. Analysis of the Ground State of the Solid Solution with Interactions up to k-th Coordination Spheres of the Crystal Lattice /

11. B. A. Men, M. L. Levitan (Katsnelson) // Physica Status Solidi (a). 1984. -V. 85, №1.-Pp. 51-60.

12. Men, B. A. The Ground State Superstructures in Ordered Binary S.C., B.C.C., and F.C.C. Alloys with Pair Interactions up to Third Neighbours / B. A. Men, M. L. Katsnelson//Physica Status Solidi (a). 1985. -V. 87, № 1. -Pp. 94108.

13. Кацнельсон, М. JT. Метод статистико-геометрических подрешеток в теории упорядочения в кристаллах: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.07: защищена 09.12.93 /М. Л. Кацнельсон; УрГУ. Екатеринбург, 1993.- 194 с.

14. Горюнов а, Н. А. Химия алмазоподобных полупроводников. М.: Издательство Ленинградского университета, 1963. - 222 с.

15. Полупроводники А2В4С| J А. С. Борщевский, А. А. Вайполин, Ю. А. Валов, Н. А. Горюнова, Ф: П. Кесаманлы, А. Назаров,

16. B. Д. Прочухан, В. А. Чалдышев; Редакторы Н. А. Горюнова, Ю. А. Валов. М.: Советское радио, 1974. - 376 с.

17. Келдыш, Л. В. О влиянии ультразвука на электронный спектр кристалла // ФТТ. 1962 - Т.4, № 8. - С. 2265-2267.

18. Кастальский, А. А. Новые оптические и электрические эффекты в стоячей световой волне // Письма в ЖЭТФ 1969. - Т. 10, №. 7 - С. 328332.

19. Кастальский, А. А. О новой возможности получения периодической подрешетки в твердом теле // ФТП. 1970. - Т. 4, № 6. - С. 1198-1201.

20. Волков, В. А. Квантовый эффект размеров в пленках переменной толщины / В. А. Волков, Т. Н. Пинскер // ФТТ. 1971. - Т.13, №. 51. C. 1360-1363.

21. Романов, Ю. А. Периодические полупроводниковые структуры из сверхтонких слоев И ФТП. 1971. - Т . 5, №7. - С. 1434-1444.

22. Dohler, G. Н. Electron states in crystals with n-i-p-i superstructure // Phys. Stat. Sol. 1972. -B52. - P. 79-92.

23. Guenais, B. Structural features of MBE grown very short period GaAs-AlAs superlattices / B. Guenais, A. Poudoulec, P. Auvray, M. Baudet, A. Regreny and B. Lambert // Journal of Crystal Growth. 1988. - V.88. - P. 125-134.

24. Isu, Т. Ultrathin-layer (AlAs)«(GaAs)/w superlattices with m — 1,2,3 grown by molecular beam epitaxy / T. Isu, D. Jiang, K. Ploog // Appl. Phys. A. 1987. -V. 43.-P. 75

25. Херман, M. Полупроводниковые сверхрешетки. M.: Мир, 1989. -240 с.

26. Басс, Ф. Г. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками / Ф. Г. Басс, А. А. Булгаков, А. П. Тетервов. — М.: Наука, 1989. 287 с.

27. Полыгалов, Ю. А. Методы вычислений электронной структуры полупроводниковых низко размерных структур / Ю. А. Полыгалов, А. С. Поплавной. АОЗТ «Кузбассвузиздат». Кемерово. — 1995. — 189 с.

28. Ройтбурд, A. JI. Полиморфизм // Физический энциклопедический словарь / Гл. редактор А. М. Прохоров. -М.: Сов. Энциклопедия, 1983. -С. 561-562.

29. Ayalew, Т. SiC Semiconductor Devices Technology, Modeling, and Simulation: PhD Thesis / T. Ayalew; Vienna University of Technology. -Vienna, Austria, 2004.

30. Fisher, G. R. Toward a Unified View of Polytypism in Silicon Carbide / G. R. Fisher, P. Barnes, // Philosophical Magazine. 1990. - V. 61, № 2. -Pp. 217-236.

31. Bechstedt, F. Polytypism and Properties of Silicon Carbide / F. Bechstedt, P. Kackell, A. Zywietz, K. Karch, B. Adolph, K. Tenelsen, J. Furthmuller // Physica Status Solidi (b). 1997. -V. 202, № l. pp. 35-62.

32. Suttrop, W. Hall Effect and Infrared Absorption Measurements on' Nitrogen Donors in 6H-Silicon Carbide / W. Suttrop, G. Pensl, W. J. Choyke, R. Stein, S. Leibenzeder // Journal of Applied Physics. 1992. - V. 72, № 8. -Pp. 3708-3713.

33. Constant, B. Variations in. abundance of known crystalline compounds as a function of lattice constants / B. Constant, P. J> Shlichta // Acta Crystallographica A. -2003. V. 59, № 3. - Pp. 281-282.

34. Donnay, J. D. Crystal Data Determinative Tables I J. D. Donnay, H. M. Ondik; US Department of Commerce, National Bureau of Standards and Joint Committee on Powder Diffraction Standards. 3rd ed. - Washington, DC, USA, 1973. -V. 2. Inorganic Compounds.

35. Janner, A. Integral lattices // Acta Crystallographica A. 2004. - V. 60, №2.-Pp. 198-200.

36. Janner, A. Zones and sublattices of integral lattices // Acta Crystallographica A. 2004. - V. 60, № 6. - Pp. 611-620.

37. De Gelder, R. Remarkable features in lattice-parameter ratios of crystals.

38. Orthorombic, tetragonal and hexagonal crystals / R. de Gelder, A. Janner // Acta Crystallographica B. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 287-295.

39. De Gelder, R. Remarkable features in lattice-parameter ratios of crystals.1.. Monoclinic and triclinic crystals / R. de Gelder, A. Janner // Acta Crystallographica B. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 296-303.

40. Frank, F. C. On Miller-Bravais indices and four-dimensional vectors // Acta Crystallographica. 1965. - V. 18, № 5. - Pp. 862-866.

41. Janner, A. Introduction to a general crystallography // Acta Crystallographica A. 2001. - V. 57, № 4. - Pp. 378-388.

42. Janner, A. De Nive Sexangula Stellata // Acta Crystallographica A. 1997. -V. 53, №5.-Pp. 615-631.

43. Singh, A. A hexagonal phase related to quasicrystalline phases in Zn-Mg-rare-earth system / A. Singh, E. Abe, A.P. Tsai // Philosophical Magazine Letters. 1998. -V. 77, № 2. -Pp. 95-104.

44. Lidin, S. Superstructure Ordering of Intermetallics: B8 Structures in the Pseudo-Cubic Regime // Acta Crystallographica B. 1998. - У. 54, № 2. -Pp. 97-108.

45. Ranganathan, S. Frank's 'cubic' hexagonal phase: an intermetallic cluster compound' as an example / S. Ranganathan, A. Singh, A. P. Tsai // Philosophical Magazine Letters. 2002. - V. 82, № 1. - Pp. 13-19.

46. Conway, J. H. Sphere packings, Lattices and Groups / J. H. Conway, N. J .A. Sloane. Berlin: Springer, 1988.

47. База данных The Cambridge Structure Database. hito ://www. ccdc. cam, ac.uk/products/csd/

48. База данных Protein Data Bank, http://www.pdb.org/

49. База данных Inorganic Crystal Structure Database, http://www.fiz-karlsruhe. de/ecid/Internet/en/DB/icsd/

50. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.

51. Orthorhombic, tetragonal, trigonal and hexagonal- symmetries // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 247-255.

52. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.1.. Pentagonal, heptagonal, octagonal, nonagonal and ondecagonal symmetries // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 256-268.

53. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.

54. I. Complexes with DNA/RNA // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 269-277.

55. Поплавной, А. С. Подрешетки в кристаллах / А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Кристаллография. 2005. - Т. 50, № 5. - С. 782-787.

56. Поплавной, А. С. Симметрия подрешеток и генезис спектров элементарных возбуждений в кристаллах // Материаловедение. 2005. -№9.-с. 2-7.

57. Поплавной, А. С. Кристаллы с подрешетками кубической сингонии и особенности их спектров элементарных возбуждений / А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Известия вузов. Физика. 2006. - Т. 49, № 5. - С. 21-27.

58. Поплавной, А. С. Симметрия фононных спектров в кристаллах с подрешетками // Известия вузов. Физика. — 2008. — Т. 51, № 7. С. 31-38.

59. Басалаев, Ю. М. Генезис энергетических зон из подрешеточных состояний в оксидах и сульфидах щелочно-земельных металлов / Ю. М. Басалаев, Ю. Н. Журавлев, А. В. Кособуцкий, А. С. Поплавной // Физика твердого тела. 2004. - Т. 46, № 5. - С. 826-829.

60. Журавлев, Ю. Н. Генезис энергетических зон из подрешеточных состояний в сульфидах щелочных металлов с решеткой антифлюорита / Ю. Н. Журавлев, А. В. Кособуцкий, А. С. Поплавной // Известия вузов. Физика. 2005. - Т. 48, № 2. - С. 30-34.

61. Журавлев, Ю. Н. Роль подрешеток в формировании химической связи преимущественно ионных кристаллов / Ю. Н. Журавлев, А. С. Поплавной // Журнал структурной химии. 2001. — Т. 42, № 5. - С. 860866.

62. Журавлев, Ю. Н. Роль подрешеток в формировании химической связи ионно-молекулярных кристаллов / Ю. Н. Журавлев, А. С. Поплавной // Журнал структурной химии. 2001. - Т. 42, № 6. - С. 1056-1063.

63. Журавлев, Ю. Н. Распределение валентной электронной плотности в преимущественно ионных кристаллах с различающимися подрешетками Браве / Ю. Н. Журавлев, А. С. Поплавной // Физика твердого тела. -2003.-Т. 45, С. 37-41.

64. Журавлев, Ю. Н. Роль подрешеток в формировании электронной плотности в нитритах металлов / Ю. Н. Журавлев, А. С. Поплавной // Кристаллография. 2002. - Т. 47, № 5. - С. 810-813.

65. Журавлев, Ю. Н. Электронная структура оксидов и сульфидов щелочноземельных металлов / Ю. Н. Журавлев, Ю. М Басалаев, А С Поплавной // Известия вузов. Физика. 2001. - Т. 44, № 4. - С. 5660.

66. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «ЗиЬБтёег» № 2009611937 от 15.04.2009.

67. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела / Н. Ашкрофт, Н. Мермин; редактор М. И. Каганов; перевод с англ. А. С. Михайлова. М.: Мир, 1979. - Т. 1. -399 с.

68. Солодовников, С. Ф. Основные термины и понятия структурной кристаллографии и кристаллохимии: словарь-пособие. — Новосибирск: ИНХ СО РАН, 2005. 115 с.

69. Поплавной, А. С. Подрешетки в кристаллах низкосимметричных сингоний / А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Известия вузов. Физика. -2007. Т. 50, № 4. - С. 55-62.

70. Поклонский, Н. А. Точечные группы симметрии: учеб. пособие. Мн.: БГУ. 2003. - 222 с.

71. Физическое материаловедение в 6 т.: учебник для вузов /Под общей ред. Б. А. Калина. Том 1. Физика твердого тела / Г. Н. Елманов, A. Г. Залужный, В. И. Скрытный, Е. А.Смирнов, В. Н. Яльцев М.: МИФИ, 2007.-636 с.

72. Сережкин, В Н. Кристаллохимические радиусы и, координационные числа атомов: учебное пособие / В. Н. Сережкин, Д. В. Пушкин. — Самара: Изд-во «Самарский университет», 2004. 52 с.

73. Прокаева, М. А. Анализ межмолекулярных взаимодействий в кристаллах с помощью полиэдров Вороного-Дирихле: автореф. на соиск. ученой степ. канд. хим наук: 02.00.01 неорганическая химия / Прокаева Марина Александровна. - Самара. - 22 с.

74. Анашкина, А. А. Специфичность контактов в комплексах белок-ДНК /

75. A. А. Анашкина, Н. Г. Есипова, Е. Н. Кузнецов, В. Г. Туманян // Компьютерные исследования и моделирования. 2009. - Т. 1, № 3. — С. 281-286.

76. Анашкина, А. А. Геометрический анализ ДНК-белковых взаимодействий на основе метода Вороного-Делоне / А. А. Анашкина,

77. B. Г.Туманян, Е. Н. Кузнецов, А. В. Галкин, Н. Г. Есипова // Биофизика. 2008. - Т. 53, № 3. - С. 402-406.

78. Dongol, М. Characterization of ЬцТез Single crystals / М. Dongol; М. М. Nassary, М. К. Gerges, М. A Sebag // Turkish Journal of Physics. 2003. -V. 27.-Pp. 211-218.

79. Берча, Д. М. Динамические параметры и фононный спектр кристалла ТщТез / Д. М. Берча, К. 3. Рущанский // Физика твердого тела. 1999. -Т. 41, вып. 10. - С. 1843-1847.

80. Николаева, Е. В. Подрешетки в кристаллах со структурой* ЬцТез и особенности их фононных спектров / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Известия вузов. Физика. 2010. - Т.53, № 8. - С. 3-8.

81. Whitney, E. D. Preparation of a new ternary lithium silicon nitride, LiSi2N3, and the high-pressure synthesis of magnesium silicon nitride, MgSiN2 / E. D. Whitney, R. F. Giese//J. Inorg. Chem. 1971. - V.10, N5.-Pp.1090-1092.

82. Дубровский, Г. Д. Синтез и некоторые свойства MgSiN2 и MgGeP2 // Авореф. дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н. Политехнический ин-т им. М.И. Калинина, JI.,1973. 24 с.

83. Греков, Ф. Ф. Строение и химическая связь в тройных нитридах типа

84. AUB1VN2 / Ф. Ф. Греков, Г. П. Дубровский, А. М. Зыков // Неорганические материалы. — 1979. Т.15, №11. - С. 1965-1969.

85. Басалаев, Ю. М. Зонная структура и ее генезис из состояний подрешеток в орторомбическом MgGeN2 / Ю. М. Басалаев, П. В. Демушин, Е. В. Николаева, А. В. Силинин // Вестник Московского университета. Серия 3. Астрономия. Физика 2011. -№ 1. - С. 39-43.

86. Лебедев, А. И. Ab initio расчеты фононных спектров в кристаллах перовскитов АТЮ3 (А = Са, Sr, Ва, Ra, Cd, Zn, Mg, Ge, Sn, Pb) // Физикатвердого тела. 2009. - T. 51, № 2. - С. 341-350.

87. Волков, А. А. Мягкие полярные моды и фазовые состояния твердых растворов Са1.хРЬхТЮз / А. А. Воклов, Г. А. Командин, Б. П. Горшунов // Физика твердого тела. 2004. - Т. 46, № 5. - С. 899-912.

88. Николаева, Е. В. Подрешетки в кристаллах со структурой кубического перовскита и особенности их фононных спектров / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Вестник КемГУ. 2010. - Т. 42, № 2. - С. 83-87.

89. Bolcatto, P. G. Electronic structure of MPS4 (M In, Ga, Al, and B) compounds / P. G. Bolcatto, E. A.Garcia, S. J. Sferco //Phys. Rev. B. - 1994. - V. 49, № 24. - Pp. 17432-17435.

90. Николаева, Е. В. Представление кристаллов простого ромбического типа в виде совокупности подрешеток / Е. В. Николаева, А. С. Поплавной, А. В. Силинин // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2008. - Т. 5, №1. - С. 35-40.

91. Галиулин, Р. В. Комбинаторно-симметрийная классификация первых зон Бриллюэна // Кристаллография. 1984. - Т. 29, № 4. - С. 638-642.

92. Ковалев, О. В. Неприводимые и индуцированные представления' и копредставления федоровских групп. Справочное руководство. М.: Наука, 1986.-368 с.

93. Кособуцкий, А. В. Генезис энергетических зон кристаллов из состояний их подрешеток: дис. . канд. физ.-мат. наук: 02.00.04: защищена 13.10.2006: утв. 12.02.2007 / А. В. Кособуцкий; КемГУ. Кемерово, 2006 - 156 с.

94. Jones, R. O. The density functional formalism, its applications and prospects / R. O. Jones, O. Gunnarsson // Rev. Mod. Phys. 1989. - V. 61, № 3. -Pp. 689-746.

95. Baroni S., Dal Corso A., de Gironcoli S., Giannozzi P. http://www.pwscf.org/

96. Волгин, Ю. H. Оптическое поглощение в соединениях ZnGeN2, MgGeN2 и MgSiN2 / Ю. H. Волгин, Ф. Ф. Греков, Г. П. Дубровский, А. М. Зыков, Ю. И. Уханов // Тройные полупроводники AnBIVCv2 и AirBni2CVI4. Кишинев: Штиинца, 1971.

97. Ю.Дубровский, Г. Д. // Авореф.дисс. на соиск уч. ст. к.т.н.

98. Политехнический ин-т им. М.И. Калинина. Л. 1973. lll.Jaffe, J. Е. Theory of the band-gap anomaly in ABC2 chalcopyrite semiconductors / J. E. Jaffe, A. Zunger // Phys. Rev. B. 1984. - V. 29, № 4. -P. 1882-1906.

99. Ueda, К. Study on electronic structure of СаТЮЗ by spectroscopic measurements and energy band calculations / K. Ueda, H. Yanagi, H. Hosono, H. Kawazoe // J. Phys.: Condens. 1999. - Matter 11. - Pp. 35353545.

100. Maradudin, A. A. Symmetry Properties of the Normal Vibrations of a Crystal / A. A. Maradudin, S. H. Vosko // Rev. Mod. Phys. 1968. - V. 40, № 1. -P. 1-37.

101. По1шавной, А. С. Кристаллы с подрешетками и их симметрия в многомерных кристаллических пространствах // Кристаллография. -2006. Т. 49, № Ю. - С. 277-280.

102. Шуберт, К. Кристаллические структуры двухкомпонентных фаз. М.: Металлургия. - 1971. - 536 с.

103. Пб.Херман, М. Полупроводниковые сверхрешетки. -М.: Мир, 1989. -240 с.

104. Кириенко, Т. П. Фононные спектры, плотности частот кристаллов PbF2 и их подрешеток в модели Борна-Майера / Т. П. Кириенко, А. В. Копытов, А. С. Поплавной // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2008. - Т. 5, № 3. - С. 49-51.