Представление сложных кристаллических структур совокупностью подрешеток Бравэ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

□ОЗОБ2655 Силинин Антон Владимирович

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР СОВОКУПНОСТЬЮ ПОДРЕШЕТОК БРАВЭ

Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кемерово - 2007

003062655

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» на кафедре теоретической фшики

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Поплавной Анатолий Степанович

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор Козлов Эдуард Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор

Тютерев Валерий Григорьевич

Ведущая организация

ОСП «Сибирскийфизико-технический институт имениакад ВД Кузнецова Том ског о г осу дарстве! тог о университета»

Защита состоится «15» мая 2007 г в 16 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 269 02 в ГОУ ВПО «Томский политехнический университет» по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 30

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке им В А Обручева Томского политехнического университета

Автореферат разослан «13» апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 269 02 доктор физико-математических наук

М В Коровкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы В современном материаловедении в круг исследований вовлекаются все более сложные вещества Это требует создания более эффективных методов исследования кристаллов, соответствующих современной компьютерной технике и прецизионности исследований

В сложных кристаллах в элементарной ячейке содержатся десягки и сотни атомов разного сорта, расчеты их электронной и колебательной струмуры :ради-ционными методами требуют больших вычислительных ресурсов Классические подходы к расчету спектров элементарных возбуждений основаны на преисыв-лении идеального кристалла как бесконечно повторяющейся в пространен«, ые-меетарной ячейки Однако структуру кристалла можно предстаеть и как суперпозицию подрешсток, содержащих трансляционно эквивалентные а)омы одно! о сорта Если первый подход ведет к сложным расчетам для всею крииа I и го второй позволяет исследовать характеристики кристалла с помощью расчсшв соответствующих параметров его подрешеток

Второй подход можно условно назвать мегодом подрешсток Мы од почрс-шеток разработан и применялся рядом авторов для изучения свойс1в проырано-венного распределения электронной плотности кристалла путем проведения расчетов данной плотности кристаллов и их подрешеток, определен ряд новых закономерностей формирования электронной плотности и химическои связи в ионных и ионно-молекулярных кристаллах Разработан также метод моделирования зонных спектров (ЗС) сложных кристаллов в базисе состояний их подрешсток, исспедован генезис энергетических зон из подрещеточных состояний в оксидах и сульфидах щелочно-земельных металлов, а также в сульфидах щелочных металлов с решеткой антифлюорита

Теоретико-групповые исследования ограничиваются рассмотрением симметрии кристалла как целого Представление сложных кристаллических структур совокупностью подрешеток Ьраво позволяет при наличии в структуре высокосимметричных подрешеток, с одной стороны, выявить дополнитепьную, «скрытую» симметрию которая может быть выше симметрии пространственной группы (ПГ) кристалла и проявляется в его физических и физико-химических свойспих, а с другой стороны - упростить расчет некоторых характерно!ик кристаллов, например спектров элеме1ггарных возбуждений, путем расчета данных характеристик для отдельных подрешеток и учета взаимодействия между ними по теории возмущений, что позволяет существенно сэкономить компьютерные мощности Дополнительная симметрия может быть также приближенной Это имеет место тогда когда какая-либо из подрешеток путем малых смещений атомов может быть переведена в более симметричную

Подрешетки Бравэ в кристалле должны быть трансляционно совместимы с решеткой кристалла, что определяется системой матриц с целочисленными элементами, связывающими между собой векторы элементарных трансляций (ВЭТ) подрешеток и кристалла Отсюда возникает задача нахождения условий трансляционной совместимости между всеми сингониями с учетом схемы их подчинения Из условий подчинения набора подрешеток пространственной сим-

метрии для каждой из 230 ПГмогут быть найдены векторы, задающие начала отсчета подрешеток в злемеггтарных ячейках сложных кристаллов

Изучение симметрии обратного пространства позволяет установить генезис спектров элементарных возбуждений из состояний подрешеток При перестройке зон Бриллюэна (ЗБ) подрешеток в ЗБ кристалла возникают вырождения двух т ипов трансляционные, приводящие к свертыванию ветвей спектров, а также вырождения, обусловленные более высокой точечной симметрией подрешеток Эти вырождения снимаются при учете гибридизации подрешеток

Целью настоящей работы является разработка метода представления кристаллических структур совокупностью составляющих их подрешеток одинакового или различающихся типов Бравэ Для этого необходимо разработать кристаллографический метод позвотяющий для заданной трансляционной и пространственной симметрии криыалла найт и все возможные трансляционно совместимые с ней подрешетки и варилиы их взаимного размещения в кристалле, а также разработать метод поиска к крииаллах подрешеток, отличающихся по своему типу Бравэ от кристаллическою, рсалиюпанпый в соответствующем программном обеспечении (ПО)

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи

1 Найти условия трансляционной и пространственной совместимости подрешеток с кристаллической решеткой, матрицы, связывающие ВЭТ кристапа и подрешеток, и вектры смещения подрешеток друг относительно друга

2 Разработать алгоритмы и созда! ь ПО

- позволяющее авюма! ически выделять в сложных кристатлических соединениях подреше!ки Ьравэ в соответствии с принципом их минимального числа,

- программы построения Iрансляционно-совместимых мно1 огранников Дирихле-Вороного и первых ЗЬ

3 Опредетить условия совмещения первых ЗБ кристалла и подрешеток и проанализировать некоторые физические следствия, обусловленные их различием

Научная новизна работы зак ночается в развитии нового метода представления кристаллических структ\р совокупностью составляющих их подрешеток одинаковою или различающегося типов Бравэ, создании соответствующего ПО Разработана техника построения трансляционно-совместимых многогранников Дирихле-Вороного и первых ЗБ для кубических кристаллов и подрешеток, выполнен теоретико-групповой анализ спектров элементарных возбуждений с учетом более высокой по сравнению с кристаллической симметрии подрешеток

Практическая значимость заключается в возможности на основе разработанных методов и ПО представпять кристаллические структуры любой сложности в виде совокупности подрешеток Бравэ, выявлять более высокую, чем кристаллическая, симметрию подрешеток, анализировать особенности физических и фюико-химических свойств соединений, обусловленные этой более высокой симметрией, в частности, предсказывать наличие квазипырождений в спектрах

элементарных возбуждений

Положения, выносимые на защиту

1 Предложенный метод представления сложных кристаллических структур совокупностью подрешеток одинакового или различающихся типов Бравэ позволяет при наличии в структуре высокосимметричных нодрешеюк выявить дополнительную, «скрытую» симметрию, которая может быть выше симме:-рии пространственной группы кристалл и проявляется в ею физических и физико-химических свойствах

2 Найденные матрицы совместимости векторов элементарных трансляции подрешеток с кристаллическими определяют разрешенные при заданной трансляционной симметрии кристалла i еометрические параметры подрешеюк для всех возможных сочетаний 14 решеток Бравэ, а пространственная ipyriria симметрии определяет являющиеся обобщением системы эквивалет пых кристаллографических позиций векторы размещения подрешеток в элсмипариои ячейке криаалла

3 Разработанная техника построения трансляционно-совместимыч Mnoioipan-ников Дирихле-Вороного, зон Бриллюэна кристаллов кубической сиш опии а также теоретико-групповая модель генезиса спектров элементарных возбуждений кристаллов из спектров подрешеток позвотяют предсказывап, тполо-гические особенности спектров элеме1ггарных возбуждений в кристаллах, наличие в них вырождений и квазивырождений

Достоверность полученных результатов достигается за счет использования надежных и хорошо апробированных методов теории групп Разработанное ПО позволило проиллюстрировать работу на целом ряде конкретных кристаллов Выводы, сформулированные в данной работе, являются взаимно согласованными и не содержат внутренних противоречий Полученные резулыагы находятся в соответствии с теорет ическими расчетами других авторов при их наличии

Личный вклад автора Результаты, представленные в защищаемых положениях и выводах, получены лично автором Идея исследования, постановка задач, анализ результатов обсуждались совместно с научным руководителем

Апробация работы Основные результаты работы опубликованы в 2 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах из списка ВАК и 4ыатьях в сборниках докладов международных научных конференций докладывались и обсуждались на следующих конференциях Международной конференции студентов, аспирантов и мочодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003» (Москва, 2001) Всероссийских научных конференциях сгуденгов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003, Москва 2004, Екатеринбург, 2005, Новосибирск, 2006), 31-й апрельской научной конференции студентов и молодых ученых Кем ГУ (Кемерово, 2004) конференции «Химия и химическая технология на рубеже тысячелетий» (Томск, 2004), Международной конференции «Физико-химические процессы в неорганических материалах» (Кемерово, 2004), Итоговой конференции Всероссийского конкурса на лучшие научные работы студентов по естественным техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам (Москва, 2004), Конференции

молодых ученых Форума «Всемирный год физики в Московском университете» (Москва, 2005), VI и VII Молодежных семинарах по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2005, 2006), Международной научной конференции «Актуальные проблемы физики твердого тела» (Минск, 2005), VIII и IX Международных школах-семинарах «Эвотюция дефектных структур в конденсированных средах» (Барнаул, 2005, 2006), Региональной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике (Владивосток,

2005), 10-й конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов (Владивосток,

2006), VII Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (Улан-Удэ, 2006) Полный список публикаций по теме диссертации включает 27 наименований и включен в список литературы диссертации, основные из них приведены в конце автореферата

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 143 наименований Общий объем диссертации составляет 146 страниц, работа содержит 19 таблиц и 24 рисунка

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проведенного исследования определены цели и задачи работы, показаны научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, приведены сведения об их апробации и публикациях, изложена структура диссертации

В первой главе анализируются используемые в настоящее время подходы к описанию симметрии сложных кристаллических структур сверхструктуры в теории фазовых переходов, полупроводниковые кристаллы со сверхструктурами подрешетки в целых решетках, модулированные кристалтические структуры, композиционные кристаллы и суперпространсгвенные группы Показывается оригинальность подхода автора к описанию сложных кристаллических структур, ставятся задачи исследования

В большинстве рассмотренных случаев подрешетки являются структурами с пониженной симметрией в какой-либо высокосимметричной структуре В данной работе метод подрешеток развивается для описания структур сложных кристаллических соединений как совокупности вложенных друг в друга решеток Бравэ одинаковых или различающихся сингоний Чтобы отличать эти подрешетки от различных других, описанных в обзоре, предложено называть их «структурными подрешетками», и в датьнейшем речь будет идти именно о таких подрешетках и в тех случаях, когда термин «структурные» опущен При этом в общем случае не идет речь о какой-либо общей высокосимметричной структуре, наоборот структурные подрешетки могут иметь более высокую симметрию, чем составленный из них кристалл Наличие общей высокосимметричной структуры - как, например, в сложных алмазоподобных полупроводниках - частный случай в представляемой модели В последующих главах изложено детальное развитие этой моде-

ли

Во второй главе изложен метод представления кристаллических структур совокупностью подрешеток одинакового или различающихся типов Бравэ Для учета трансляционной совместимости подрешеток введены матрицы совместимости подрешеток Бравэ, из пожен метод их определения, описано разработанное программное обеспечение для выделения подрешеток в сложных кристаллах кубической и тетрагональной сингоний Приведен метод учета пространственной симметрии кристалла для нахождения возможных вариантов пространственного размещения подрешеток Изложена техника перестройки ЗБ подрешеток в кристаллические и качественного анализа спектров элементарных возбуждений

Значительная часть кристаллов представляют собой совокупность подрешеток одинакового типа Бравэ Простейшими классическими примерами являются кристалчы со структурой каменной соли, составленные из двух гранецентриро-ванных кубических (Г/ ) подрешеток, СбС1, составленные из двух простых кубических (I,.) подрешеток, алмаза и сфалерита, составленные из двух г/ подрешеток и т п

Однако существует достаточно много кристаллических структур, в которых одинаковые подрешетки расположены таким образом, что их совокупность можно рассматривать как подрешегку Бравэ другого типа с более высокой трансляционной симметрией, чем исходные подрешетки и кристалл в целом Такие кристаллы можно рассматривать как состоящие из подрешеток разного типа Бравэ, обладающих различной симметрией Примерами являются кристаллы флюорита и антифлюорита, составленные ш Г/ и подрешеток, куприт, составленный из одной Г/ подрешетки меди и одной Г£' подрешетки кислорода, пирит, составленный из одной Г/ подрешетки железа и восьми Гс подрешеток серы, а также кристаллы скуттерудита, Сг^, Р1з04, СгРе4М13 (гипотетический), рутила, КЭ, Sil.Ii ГЬН;> и т п Приведены примеры топько кубических и тетрагональных кристаллов, существуют еще более многочисленные примеры кристаллов, состав-пенных из подрешеток, отвечающих разным сингониям

Введем ВОТ кристаллической решетки Г/ и подрешетки а,(Гу) и ау(Г0 (г, 7-1,2,3), - и свяжем их между собой с помощью соотношения

а,(Г/) = Х(Г/ |Г\)„а(/(Г\) (1)

/=|

Матрицу (Г/|Г\),У будем называть матрицей совместимости решетки Г/ и подрешетки Чтобы подрешегка была трансляционно совместима с кристаллической решеткой, все элементы (Г/|Г\\, дотжны быть целыми

Мы проанатизировали все типы решеток Браве на предмет выявления всех возможных подрешеток, удовлетворяющих трансляционной симметрии избранной решетки При этом подрешетки могут относиться как к той же сингонии, что и кристаллическая решетка, так и к другим

Введем матрицы /¡(Г,) и Л,,(Г\) следующим образом эти матрицы состоят

из компонент ВО Г решетки и подрсшегки, соответственно, причем первый индекс соответствует номеру вектора, а второй - номеру компоненты этого вектора Тогда из соотношения (1) можно получить выражение для матрицы (Г/|1"\)

(г, |го = л(г,м/'о\), (2)

где '(Г,,) -матрица, обратная Л,(Г\)

Матрицы совместимости подрешеток Бравэ простого (г е не базо-, гране-или объемноцентрированного) типа можно также получить на основе формул, полученных для наинизшей -триклиннои сингонии

В случае сложных низкосимметричных кристаллов поиск подрешеток Бравэ, отличных по типу от кристаллического «вручную» крайне сложен В связи с этим ведется разработка ПО для выделения подрешеток в кристаллах путем анализа их струетурных данных В настоящее время разработана и протестирована программа, осуществляющая поиск подрешеток разного типа Бравэ в кристаллах кубической и тетрагональной сингонии

Матрицы совместимой и позволяют определить только условия для нахождения значений геометрических параметров подрешеток (пространственных периодов и углов) Для полног о описания возможного представления кристалла как совокупное!и подрешеток нужно определить векторы смещения подрешеток дру1 относительно друга, что можно сделать путем учета пространственной симметрии кристалла в уравнении

Аас + тв=с' + £иша1((Г\) а = I, 2, , Л' (3)

I 1

где Иа - а-й точечный элемент ПГсимметрии кристалла, состоящей из А'элементов, та - соответствующая ему нецелочисленная трансляция для нее им морф ной группы, с - вектор смещения начала отсчета подрешетки 01 общего центра кристалла, пш - набор целых чисел соответствующий каждому а-му элементу Г подрешетки, с - совпадает либо с с либо с началом отсчета симметрично эквивалентной подрешетки

При анализе данного соотношения рассмотрим два случая

1) векторы с совпадают с векторами с, [е подрешетка под действием элементов ПГ переходит сама в себя,

2) векторы с отличаются от векторов с, т е подрешетка под действием элементов ПГ переходит в симметрично эквивалентную подрешетку

В первом случае из уравнения (3) определяем векторы смещения с, возможные для заданного сочетания типов Ьравэ решетки и подрешетки в избранной ПГ При этом в несимморфных ПГ возникают дополнительные условия на геометрические параметры подрешеток

Во втором случае из данного уравнения не вытекает никаких ограничений на возможные векторы смещения с. т к для любого вектора с найдутся векторы с', описывающие смещения симметрично эквивалешных подрешеток Следовательно, возможен вариант, когда низкосимметричный кристалл составлен ю подрешеток Бравэ более высоких сингоний, в котором сохраняется высокая трансляци-

очная симметрия подрешеток, а пространственная понижается до ПГ низкосимметричной кристаллической решетки Это возможно, ко1да подрешетки расположены так, что перестают быть эквивалентными друг другу относительно элементов ПГ более высоких сингоний Таким образом, в любой ПГ любой сингонии подрешетки помимо получаемых векторов смещений могут быть размещены также в произвольной общей позиции, но при этом во всех эквивалентных к ней точках должны быть размещены такие же подрешетки

В результате исключения из набора векторов смещения с тех, которым соответствуют точки одной и той же подрешетки, получаем системы точек, по cbocmv виду совпадающие с системой эквивалентных позиций для соответствующей III однако нужно учесть, что полностью они будут совпадать только в частном uiv-чае одинаковых типов Бравэ решетки и подрешетки и равенства их геомефиче-ских параметров

Проанализируем строение энергетических зон кристалла с позиции зонных состоянии подрешеток Кристаллический потенциал I / (г) представим в форме

= + (4)

s

где rs(r)- потенциалы подрешеток, AW^r)- потенциал, отвечающий за гибридизацию подрешеточных состояний Введем векторы обратной решетки кристалла и подрешеток Ь,(Г/) и Ь„(Г/) (i,j = 1 2,3)

Поскольку примитивная ячейка кристалла вмещает в себя примитивные ячейки всех подрешеток, обьем ее ЗВ меньше либо равен объему ЗБ любой иод-решетки при этом наибольшей оказывается ЗБ подрешетки с наименьшим объемом элементарной ячейки Из-за трансляционной совместимости всех подрешеток с кристаллической решеткой их ЗБ могут бьпь перестроены в ЗБ кристалла Перестройка векторов ЗБ подрешеток ks в векторы ЗБ кристалла к/ производится согласно соотношению

к/ =ks +ХМГ/ 1ГОЬ,(Г,) (5)

где п,(Г;|Г,) - целые числа При перестройке ЗЬ подрешеток в ЗБ крис1алла нужно принять во внимание точечную симметрию, которая может оказаться выше для подрешетки по отношению к кристалпической В таком случае необходимо провести разюжение неприводимых представлений ipynn симметрии подрешетки по кристаллическим Это разложение начинается с установления соответствия между неприводимыми звездами представлений подрешеток и кристаллической решетки с использованием соотношения (5), а далее ведется разложение неприводимых представлений групп волновых векторов В итоге устанавливается генезис ЗС кристалла из подрешеточных состояний

Размещение энергетических зон подрешеток в ЗБ кристалла приводит к появлению вырождений двух типов а) трансляционные вырождения, возникающие при свертывании спектров подрешеток, б) вырождения, обусловленные более высокой точечной симметрией подрешеток, если таковая имеется Эти вырождения снимаются при учете гибридизации подрешеточных состояний При слабой гиб-

ридизации подрешеточных состояний хорошим нулевым приближением к ЗС кристалла будет спектр «свернутых» подрешеточных состояний, расщепления в котором можно вычислить по теории возмущений

В третьей главе разработанный метод применен к кристаллам кубической и тетрагональной сингоний со структурами флюорита, антифлюорита, куприта, пирита, скуттерудита, типов Сг38|, Р^О.», СгРе.,Ы13 (гипотетический), куперита, рутила, типов 5|и3, ТЬН2, халькопирита Выполнена перестройка ЗБ подрешеток в кристаллические для кристаллов кубической сингонии и проведен соответствующий качественный анализ строения валентных зон в кристаллах кубической сингонии

В качестве примера рассмотрим различные сочетания решеток и подрешеток трех типов - Гс, Г/, Гс'- в кубических кристаллах и ограничимся рассмотрением кристаллов, построенных из подрешеток двух типов с максимальными пространственными периодами, возможными для данных сочетаний решеток Бравэ Матрицы совместимости для этих случаев представ юны в табл 1, где а - постоянная решетки кристалла, а, - подрешетки

Таблица 1

Матрицы совместимости кристаллической решетки с подрешетками для

Подрешетка

г. Г/ Гс

I 2 3 4

Кристал-лнческая решетка г. а а1 '1 0 0' 0 1 0 0 1, а я, V -11 Г 1-11 1 1 -1, а а% '0 1 Г 1 0 1 ,1 1 0,

г/ а '0 1 Г 1 0 1 1 а я, '1 0 0^ 0 1 0 ч0 0 1, а 2а, ,'2 1 1 1 2 1 Ч1 1 2 \ /

г; а 7а, \ -11 г 1-11 1 1 -1, а 2а, (з -1 -Г -1 3 -1 а я, '10 0" 0 1 0 ,0 0 1

Из требования целочисленности всех элементов матриц совместимости в пяти из девяти возможных сочетаний решеток Бравэ получаем я, = а/я, а в остальных - а, = а/(2п) (п е АО Мы здесь рассматриваем случай максимально возможных пространственных периодов подрешеток (я = I)

Рис 1 ЗБ кристалюв и полрешеток кубической сингонии для различных сочетаний типов решетки Бра-вэ а) Г, решетка и г/ полрешетка 6) Г/ решетка и Г( подрешетка в) Гс решетка и Гс' подрешетка, г) Г(1 решетка и потрешетка д) Г/ решеткам I 1 потрсшетка е) Г<1 решетка и Г/ подрешетка

Таблица 2

Разложение неприводимых звезд Гс подрешетки по неприводимым звездам Г/ кристалла

Решетка кристалла | Подрешетка

Тип Векторы звезды Тип Векторы звезды

звезды (ед 2п!а) звезды (ед 2л¡а)

1 2 3 4

Г (0, 0 0) Г (0,0 0)

Я (1, 1, 1)

X (0. 1,0) X (0, 1 0)

м (1, 1 0)

w (1/2, 1,0) 20 (1/2, 1,0)

ь (1/2 1/2,1/2) До (1/2, 1/2, 1/2)

к (3/4, 3/4, 0) (3/4, 3/4, 0)

и (1/4, 1, 1/4) 8о (1/4, 1, 1/4)

(0 2ц, 0),-1/2<ц<0 Д (0,2ц, 0),-1/2<ц<0

д Т (1,2ц, 1), 0<ц<1/2

(0 2 ц, 0), 0<ц<1/2 д (0,2 ц, 0), 0<ц<1/2

Т (1,2ц, 1),-1/2<ц<0

1 г 3 4

(2ц, 1, 0), -1/4<ц<0 Z (2ц, 1,0),-1/4<ц<0

Z (2ц, 1,0), 1/4<ц<1/2

(2fi, 1,0), 0<ц<1/4 Z (2ц, 1,0), -1/2<ц<-1/4

(2ц, 1,0), 0<ц<1/4

(2ц, 2ц, 0), -3/8<ц<0 Z (2ц, 2ц, 0), -3/8<ц<0

I S (2ц, 2ц, 1), 1/8<ц<1/2

(2ц 2ц 0), 0<ц<3/8 У (2ц, 2ц, 0), 0<ц<3/8

S (2ц, 2ц, 1),-1/2<ц<-1/8

(ц, 1 ц) -1/4<ц<0 S (2ц, 1,2ц),-1/8<ц<0

S V (2ц, 0,2ц), 3/8<ц<1/2

(ц, 1, ц) ()<ц<1/4 S (2ц, 1, 2ц), 0<ц<1/8

V (2ц 0,2ц), -1/2<ц<-3/8

(1/2-2ц, 1/2+2ц 1/2),-1/4<ц<1/4 — —

(ц, ц ц), -1/2<ц<0 л (2ц 2ц. 2ц), -1/4<ц<0

л (2ц, 2ц, 2ц), 1/4<ц<1/2

(ц ц, ц),0<ц<1/2 А (2ц, 2ц, 2ц),-1/2<ц<-1/4

(2ц, 2ц, 2ц). 0<ц<1/4

Представленную технику проиллюстрируем на примере простейших кристаллов с различающимися подреше1ками Брав) к которым относятся фториды щелочноземельных металлов с решеткой флюорита (например, CaF2), оксиды и сульфиды щелочных металлов с решеткой атифлюорита (К^О) Структура флюорита сформирована из дв>х кубических подрешеток анионов и катионов при этом атомы катиона занимают позиции в узлах Г/ подрешетки с периодом а, атомы аниона - в узлах Гс подрешетки с периодом all сдвинутой относительно катионной подрешетки на четверть пространственной диагонали куба Структура am ифлюорита является обратной структуре ф ноорига в смысле взаимной замены анионов и катионов

Обратимся теперь к первым ЗЬ катионной и анионной подрешегок флюорита (см рис 16) Разложение неприводимых звезд волновых векторов подрешетки фтора по неприводимым звездам представлении группы симметрии кристалла флюорита представлено в табл 2 с помощью которой ЗС подрешетки фтора свертывается в ЗБ решетки флюорита и определяются в частности, трансляционные вырождения

Элементарная ячейка флюорита содержит 2 сем ивалентных аниона и 1 двухвалентный катион, число валентных электронов равно 16, и энергетический спектр валентной зоны состоит кз 8 ветвей Валентный ЗС 2-кратно заряженной анионной подрешетки в ЗБ Г, решетки содержит 4 ветви При перестройке ЗБ аниона в ЗБ кристалла в соответствии с рис 16 и табл 2 произойдет удвоение числа валентных ветвей и их двукратное трансляционное вырождение в некоторых симметричных точках

ЗС флюорита, рассчитанный в рамках теории функционала плотности методом псевдопотенциала, представлен на рис 2 Там же изображены ЗС однократно заряженной подрешетки фтора - исходный спектр в ЗБ анионной подре-

Рис 2 Зонные спектры кристалза СаГт и заряженной подрешетки Р1 (значения энергии даны в эВ) На крайнем правом рисунке изображен зонный спектр подрешетки Г* в ЗБ Г( подрешетки фтора на среднем рисунке изображен зонный спектр потрешетки р' в ЗБ кристалла СаГ2 в результате свертки

шетки и свернутый спектр в результате помещения подрешетки фтора в кристаллические решетку кристалла Как видно из рис 2, свернутый ЗС заряженной подрешетки фтора повторяет все особенности кристаллического ЗС в области валентной зоны Двукратное вырождение в точках Е и X, возникшее при свертывании снимается по теории возмущений Без учета свертывания ЗС анионной под-реше1ки особенности топологической структуры ЗС кристалла кажутся просто случайными Таким образом, проделанный анализ ЗС флюорита с позиции под-решеток качественно подтверждается резучьтатами вычислений для кристаллической решетки

В кристаътах антифлюорита элемерггарная ячейка содержит 2 одновалентных катиона и 1 шестивалентный анион, число ватентных электронов равно 8, валентных зон - 4 В этих кристаллах ЗБ подрешетки аниона совпадает с ЗБ кристалла поэтому из подобно! о анализа следует, что валентная зона антифлюорита имеет строение, аналогичное валетным зонам кристаллов с решеткой №С1 Энергетические зоны катиона находятся в зоне проводимости, и там имеет место и\ квазивырождение за счет свертывания ЗС Гс катионной подрешетки в ЗБ Г/ решетки Расчеты ЗС подрешеток антифлюорита находятся в соответствии с этими выводами

Аналогично анализируется генезис ЗС кристаллов куприта В четвертой главе рассмотрены подрешетки в кристаллах триклинной и моноклиннои сингоний Представлены соответствующие матрицы совместимости, проанализированы варианты пространственного размещения подрешеток для всех ПГ данных сингоний Показана связь векторов смещения подрешеток с системам и эквивалентных позиций кристалла

Элементы матрицы совместимости для случая, когда кристаллическая решетка и подрешетка относятся к триклинной сингонии, имеют вид

аи = а/а,,

a¡2 = or,, = а„ = О,

Ь ( \

а2, -—(cos/-sin/ctg/J, а.

а, =

bsmy b.

а„ = —

_ (cosar-cos/?cos/)ctg/ cos/J -cosa, cos/,

cos p-----X

sin/ sin / sin/

1-cos a-cos /?-cos2 / + 2 cos arcos/? cos/

1-cos a -cos p -cos" /, + 2 cos a, cos/?, cos /,

=---(cos a - cos P cos у - (cos or, - cos /?, cos /,) x

i, sin /sin /,

--------

1 - cos" a - cos" p - cos у+ 2 cosar cos P cos у 1 - cos2 ar, -cos2 P, -cos2 /, + 2cosar, cosp, cos/, J'

csin/, J 1 -cos2 a-cos" /?-cos" / + 2 cos or cos/? cos/

(6)

c, sin / у I - cos" a, - cos" /?, - cos /, + 2 cos or, cos /?, cos/,

где a, A, c, a, P, у - геометрические параметры решетки, аналогичные параметры подрешетки имеют индекс s При трансляпионно совместимых подрешетках все элементы матрицы принимают целые значения, следовательно, составляем уравнения и находим возможные значения некоторых геометрических параметров подрешетки

■a/k,bs = —, sin2 у + f cos у +

1 /V l kb

tg?, ="

tgv

-, i дс к le /V, m e Z

(7)

1 +

kbcosy

Аналитически удается найти юпько 3 из 6 i сомегрических параметров подрешетки

В кристаллах триклиннон сингонии существует всего две ПГ С1 и СВ

первой группе имеется только единичный элемет, во второй к нему добавляется инверсия, поэтому в первой группе нет никаких дополнительных условий на пространственное размещение подрешеток, по вюрой группе нужно рассмотреть два случая, когда векторы с совпадают с векторами с и противоположный В первом случае (3) приводит к следующему виду вектора с

c = («,all+w2 +w1a,3)/2, (8)

откуда следует, что в ПГ С,1 векторы смещения подрешегок могут быть направлены в точки, соответствующие центрам ребер, граней или объемов составляющих подрешетку элементарных ячеек, если бы вершина одной из них совпадала с общим началом отсчета кристалла

Второй случай допускает вариант составления триклиннои кристаллической решетки из подрешеток Бравэ более высоких сингоний При этом сохраняется высокая трансляционная симметрия, но пространственная симметрия понижаек_я до одной из двух триклинных ПГ Это возможно, когда подрешетки расположены так, что перестают быть эквивалентными друг другу относительно точечных моментов ПГ более высоких сингоний Проведенный анализ триклинных кристаллов из базы данных Inorganic Crystal Structure Database ver 2 01 (23 04 1996) выявил 80 кристапов, имеющих трансляционную симметрию более высоких сиш о-ний

Для примера приведем кристаллы FeSj hNiS^, водной из своих фаз крииал-лизующиеся в ПГ С1, полностью теряющей точечную симметрию, но сохраняющей трансляционную симметрию Tt решетки Бравэ При этом данные cipyKiypw можно рассматривать как слабо искаженную структуру пирита, т к отклонения координат атомов аниона в триклинной фазе от соответствующих координат в фазе пирита составляют не более 0 7 % от постоянной решетки, а атомов катионов - не бопее 0,4 %.

Кристаллические формы соединения FeSi представляют ботьшой интерес с точки зрения метода подрешеток Известны три фазы данного соединения кубическая (пирит) ромбическая (марказит) и триклинная В каждой из них кристаллическую структуру можно представить совокупностью подрешеток Бравэ разного типа причем в триклиннои фазе они сохраняют свою высокую транспяцион-ную симметрию, теряя точечную

В кристаллах моноклинной сингонии имеется два 1ипа решетки Брав) простая (Г„) и базоцентрированная (Г*) - следовательно, существует четыре варианта сочетания подрешеток В качестве примера приведем случай, когда в моноклинном простом криста те можно выделить подрешетку того же типа, но отличающуюся своими параметрами решетки

/

\

0

(Г„,|Гт) =

с cos Р (j tgj3 ^ 0

0 , а^а/к, bs=b/l,

с sin j3

a, I tgP,

с, sin Р,

кс cos р

, где к, /, т е N,ne Z (9)

Далее были найдены возможные варианты пространственного размещения под-решеток в кристаллах моноклинной сингонии

В результате проверки полученного набора векторов смещения с на предмет принадлежности одной и той же подрешетке точек, определяемых разными векторами с, и исключения соответствующих векторов получим представленный в табл 5 и 6 набор векторов смещения для подрешеток Гт и Г* в симморфной ПГ

3

Таблица 5

Набор векторов смещения подрешетки Гт, вставленной в решетку того же типа с ПГ С\

Вектор смещения с Символ системы эквивалентных позиций

разложенный по координатам разложенный по векторам элементарных трансляций подрешетки

(0,^,0) Т*2 а

Qc, cosp^c^c.sinp, j су 1 уа2+-а3 Ь

1 ^ с

Г 1 1 о 1 о 1 — а. + — с. cosp., с„, — с, sin В. V2 2 v 2 ) 1 с 1 2а,+Та2+-а3 а

Данные системы точек по своему виду совпадают с системой эквивалентных позиций для ПГ С]2, однако нужно учесть, что полностью они будут совпадать только в частном случае равенства геометрических параметров решетки и подрешетки (к ~ I = т = 1, п - 0) В остальных же случаях они сходны топько внешне

Таблица 6

Набор векторов смещения подрешетки Г^,, вставленной в решетку Гт с ПГ С\

Вектор смещения с Символ системы эквивалентных позиций

разложенный по координатам разложенный по векторам элементарных трансляций подрешетки

(0, с,, 0) а

собР^С^С, вшр^ с, 1 —а-> -1—ат Ь 2 2 3 Ь

Здесь «пропали» системы эквивалентных позиций с и с/, т к с входит в сис-

тему точек Г* подрешетки, помещенной п Ь, а й - и а Таким образом, Г* подре-шетку, помещенную в систему эквивалентных позиций а или Ь, можно рассматривать как совокупность двух Г„, подрешеток, помещенных в а и й либо бис, соответственно

В несимморфной ПГ С\ будут получаться следующие результаты

1 подрешетка Г„, в данном случае векторы смещения с имеют тот же вид, что и в ПГ с дополнительным условием / = 2д (д е Л/), поэтому набор векторов смещения будет эквивалентен набору для подрешетки данного типа в ПГ

С;

2 подрешетка Г* здесь отличие от векторов смещения с в Г1Г С]г состоит в добавлении к компоненте сх величины -/а,/4

Сопоставление с системами эквивалентных позиций не было проведено, т к в данной ПГ имеется только общая позиция, что не подтверждается нашими вычислениям и

В заключении кратко сформулированы основные полученные в работе результаты и сделанные на их основе выводы, а также возможные направления дальнейших исследований

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Развит метод представления сложных кристаллических структур совокупностью подрешеток Бравэ, позволяющий, с одной стороны, выявить имеющуюся в кристаллах дополнительную, «скрытую» симметрию, которая может быть выше симметрии пространственной группы кристалла при наличии в структуре высокосимметричных подрешеток и проявляющуюся в его физических и физико-химических свойствах, а с другой стороны - упростить расчет некоторых характеристик кристаллов, например, спектров элементарных возбуждении, путем расчета данных характеристик для отдельных подрешеток и учета взаимодействия между ними по теории возмущений, что позвопяет существенно сэкономить компьютерные мощности

2 Разработан кристаллографический метод, позволяющий для заданной трансляционной (14 типов решетки Бравэ) и пространственной (230 пространственных групп) симметрии кристалла найти все возможные транспяционно совместимые с ней подрешетки, а также варианты их взаимного размещения в

• кристалле

3 Найдены матрицы совместимости ВОТ подрешеток с кристаллическими, из которых опредетены разрешенные при заданной трансляционной симметрии кристалла геометрические параметры подрешеток (пространственные периоды а, Ь, с и углы а, (3, у) для всех возможных сочетаний 14 решеток Бравэ

4 Из условий подчинения набора подрешеток пространственной симметрии кристалла найдены векторы, задающие начала отсчета подрешеток в элементарных ячейках с южных кристаллов для кристаллов триклинной и моно-

клинной сингоний, а также дополнительные условия на геометрические параметры подрешеюк, возникающие в несимморфных пространственных группах

5 Разработан метод поиска в сложных кристаллах подрешеток, отличающихся по своему типу Бравэ от кристаллического, реализованный в соответствующем Г10, позволяющем автоматически выделять в сложных кристаллических соединениях кубической и тетрагональной сингоний подрешетки Бравэ в соответствии с принципом минимального числа подрешеток для случаев, когда геометрические параметры элеметгтарной ячейки и координаты атомов в ней заданы численно

6 В кристаллах кубической сингонии установлен генезис спектров элементарных возбуждений т состояний подрешеток, относящихся к простому, гране-центрированпом\ и обьемноцентрированному кубическим типам Бравэ, построены совмещенные первые ЗБ и составлены таблицы перестройки ЗС для всех сочетаний данных гипов Ьравэ в кристаллической решетке и подрешетке При перестройке ЗЬ подрешеток в ЗБ кристалла возникают трансляционные вырождения, приводящие к свертыванию ветвей спектров Эти вырождения снимаются при учете гибридизации подрешеток

7 Получена связь векторов смешения подрешеток друг относительно друга с системами эквивалентных позиций пространственных групп Установлено, что потучаемые в рамках развтлот о подхода наборы векторов смещения подрешеток являются более общим случаем по отношению к кристаллографическим системам эквивалентных позиции и переходят в них при совпадении типов Бравэ и равенстве I еометрических параметров решетки и подрешетки как частный случай Показано при каком пространственном размещении транс -ляционно менее симметричных подрешеток их можно объединить в трансля-ционно более симметричную подрешетку

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Поплавной, А С Подрешетки в кристаллах /АС Поплавной, А В Силинин // К р иста т тог рафия -2005 - 1 50 №5 - С 782-787

2 Поплавной АС Кристаллы с подрешетками кубической сингонии и особенности их спектров элементарных возбуждений / АС Поплавной А В Силинин//Известия вузов Физика -2006 -7 49,№5 -С 21-27

3 Поплавной, А С Зоны Бриллюэна подрешеток в некоторых кристалтах кубической и тетрагональной сиш оний /АС Поплавной А В Силинин // Фундаментальные проблемы современного материаловедения - 2005 - Т 2, № I

С 131-134

4 Поплавной, АС, Подрешетки в низкосимметричных кристаллах / АС Поплавной, А В Силинин // Фундаментальные проблемы современного материаловедения -2006 -'I 3, № 1 -С 89-91

5 Кособуцкий, А В Генезис зонных спектров кристаллов с подрешетками кубической сингонии / А В Кособуцкий, АС Потавной, А [3 Силинин // Актуальные пробтемы физики т вердот о тела Сб докл Междунар науч конф / Гл

редактор ИМ Олехнович - Минск Изд це1ггр БГУ, 2005 - Т 2 - С 233235

6 Поплавной, А С Геометрия кристалла в модели подрешеток /АС Поплавной, А В Силинин // Физико-химические процессы в неорганических материалах Доклады Девятой международной конф , поев 50-летию Кемеровско1 о государственного университета / Отв редактор ЭП Суровой, КемГУ -Кемерово Кузбассвузюдат, 2004 - Т 2 - С 461-464

7 Кособуцкий, А В Классификация спектров элементарных возбуждении сложных кристаллов на основе состояний их подрешеток / А В Кособуцкии АС Поплавной, А В Силинин//Вестник КемГУ -2006 -№2 -С 74-78

8 Силинин, А В Программное обеспечение для выделения подрешегок в сложных кристаллах кубической и тетрагональной сишоний / А В Силинин В А Тарасов // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий Материалы VII Всероссийской научно-техничсскои конференции / Гл редактор В В Найханов, Восточно-Сибирский I ос удары -венный технологический университет - Улан-Удэ Издательство ВСГТУ 2006 - Т 2 - С 469-472

9 Кособуцкии, А В Метод подрешеток и генезис энергет ических зон в кристаллах со структурами флюорита и антифлюорита / А В Кособуцкий, А С Поплавной А В Силинин // Сборник материалов конференции «Химия и химическая технология на рубеже тысячелетий» - Томск, 2004 - С 186-187

10 Силинин А В Генезис зонных спектров кристаллов кубической сингонии из зонных спектров подрешеток с различающимся типом решетки Ьравэ // Сборник материалов Конференции молодых ученых Форума «Всемирный год физики в Московском университете» -Москва, 2005 -С 58-60

11 Силинин А В Фазовые переходы и метод подрешеток // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоно-сов-2003» Секция «Физика» Сборник тезисов / Физический факутьтег Московского I осударственного университета им МВ Ломоносова -М Физический факультет МГУ, 2003 -С 254

12 Ляшков ПС Исследование симметрии подрешеток и ее проявления в физи-ко-хим ических свойствах кристаллов / П С Ляшков, А В Силинин, А В Кособуцкии В Н Дворовенко// Федеральная итоговая научно-техническая конференция «Всероссийского конкурса на лучшие научные работы студентов по естественным, техническим наукам (проекты в области высоких технологий) и инновационным научно-образовательным проектам» Материалы отоговой конференции / Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) - М МИЭМ,2004 -С 347-350

13 Ляшков, ПС Исследование симме!рии подрешегок и ее проявления в физико-химических свойствах кристаллов / П С Ляшков, А В Силинин, А В Кособуцкий, В Н Дворовенко // Всероссийский конкурс среди учащейся молодежи высших учебных заведений Российской Федерации на лучшие научные работы по естественным наукам Тезисы научных работ / Саратовский государственный технический университет -Саратов СГТУ, 2004 -С 106-107

14Силинин, А В Подрешегки в кристаллах // Девятая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых Тезисы доктадов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студентов -физиков России - Екатеринбург-Красноярск издательство АСФ России, 2003 -Ч 1-С 110-111 15 Силинин, А В Матрицы связи подрешеток тетрагональной сингонии // Сборник тезисов Десятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых Тезисы докладов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студентов-физиков России - Екатеринбург-Красноярск юдатечьство АСФ России, 2004 - Т 1 - С 96-98 16Ляшков, ПС Применение метода подрешеток в кристаллах со структурой халькопирита /ПС Ляшков, А В Силинин // Сборник тезисов Десятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых Тезисы докладов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студентов-физиков России - Екатеринбург-Красноярск издательство АСФ России, 2004 - Т 1 -С 71-72

17 Силинин, А В Зоны Бриллюэна подрешеток в некоторых кристаллах кубической сингонии // Сборник тезисов Одиннадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых Тезисы докладов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студе нтов-физиков России - Екатеринбург издательство АСФ России, 2005 - С 129-130 18Ерукаева, ЕВ Выделение подрешеток в бинарных и тройных кубических кристаллических соединениях / ЕВ Ерукаева А В Силинин, ПС Ключников // Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск) Материалы конференции, тезисы докладов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студентов-физиков и молодых ученых России - Новосибирск Новосибирский государственный университет, 2006 -С 105-106 19Сатучин, РР Алгоритм построения трансляционно-совмесгимых многогранников Дирихле-Вороного подрешеток в кристалте / Р Р Сагучин А В Силинин //Двенадцатая всероссийская научная конференция студенгов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск) Материалы конференции тезисы докладов / Редактор А Г Арапов Ассоциация студентов-физиков и моло-дыхученых России - Новосибирск Новосибирский государственный универ-стггет, 2006 - С 165-166

20 Силинин, А В Трансляционно совместимые многогранники Дирихле-Вороного подрешеток в кристаллах кубической сингонии // Двенадцатая всероссийская научная конференция студентов-физиков и мотодых ученых (ВНКСФ-12, Новосибирск) Материалы конференции, тезисы докладов / Редактор А Г Арапов, Ассоциация студентов-физиков и молодых ученых России - Новосибирск Новосибирский государственный университет, 2006 -С 169-170

21 Силинин, А В Программное обеспечение для выдетения подрешеток в сложных кристаллах кубической сингонии / А В Силинин, В А Тарасов // VI Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния ве-

щества Тезисы докладов / Институт физики металлов УрО РАН - Екатеринбург ИФМ УрО РАН, 2005 -С 58

22 Ерукаева, ЕВ Подрешетки в различных кристаллических модификациях FeS^ / Е.В Ерукаева, А В Силинин // VI Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества Тезисы докладов / Институт физики металлов УрО РАН -Екатеринбург ИФМ УрО РАН, 2005 -С 59-60

23 Ерукаева, ЕВ Выдетение подрешеток в кристаллических соединениях тетрагональной сингонии / ЕВ Ерукаева, А В Силинин // VII Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества Тезисы докладов / Институт физики металлов УрО РАН - Екатеринбург ИФМ УрО РАН, 2006 -С 26-27

24 Силинин, А В Зоны Бриллюэна подрешеток в кристаллах кубической сингонии /АВ Силинин РР Сатучин//Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по физике Тезисы докладов - Владивосток Издательство Дальневосточного университета, 2005 -С 4243

25 Кособуцкий А В Генезис зонных спектров кристаллов со структурой флюорита, антифлюорита и куприта / А В Кособуцкий, А В Силинин//Конференция аспирантов и молодых ученых Труды X конференции по физике полупроводниковых, диэлектрических и магнитных материалов / Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН - Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2006 -С 159-163

26 Силинин, А В Подрешетки в ромбических кристаллических системах // Сборник трудов молодых ученых Кемеровского государственного университета, посвященный 30-летию Кемеровского государственного университета / Отв редактор Ю А Захаров, Кемеровский госуниверситет - Кемерово Полиграф, 2004 -С 192-194

27 Силинин, А В Матрицы связи решеток кубической с подрешетками других сингоний // Сборник трудов студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета, посвященный 50-летию Кемеровского государственного университета / Отв редактор Ю А Захаров, Кем ГУ - Кемерово Полиграф, 2004 -Т 2 - С 221-223

Подписано к печати « и » апреля 2007 г Формат 60x84 1/16 Печать офсетная Бумага белая Уел печ л 1,5 Тираж 125 экз Заказ №34/^47

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» 650043, Кемерово, ул Красная, 6

Отпечатано в т ипографии издательства «Кузбассвузиздат» 650043, Кемерово ул Ермака, 7

Введение.

Глава I. Подрешетки в кристаллах.

§ 1. Сверхструктуры в теории фазовых переходов.

§ 2. Полупроводниковые кристаллы со сверхструктурами.

2.1. Полупроводниковые структуры замещения (на примере алмазоподобных полупроводников).

2.2. Политипы.

2.3. Сверхрешетки.

§ 3.Подрешетки в целых решетках.

§ 4. Модулированные кристаллические структуры, композиционные кристаллы и суперпространственные группы.

§ 2. Матрицы совместимости подрешеток.50

§ 3.Определение матриц совместимости.51

§ 4. Программное обеспечение для выделения подрешеток в сложных кристаллах на примере кубической и тетрагональной сингоний.54

§ 5.Учет пространственной симметрии.57

§ 6. Перестройка зон Бриллюэна подрешеток в кристаллические, качественный анализ спектров элементарных возбуждений.60

Основные результаты и выводы

1. Развит метод представления сложных кристаллических структур совокупностью подрешеток Бравэ, позволяющий, с одной стороны, выявить имеющуюся в кристаллах дополнительную, «скрытую» симметрию, которая может быть выше симметрии пространственной группы кристалла при наличии в структуре высокосимметричных подрешеток и проявляющуюся в его физических и физико-химических свойствах, а с другой стороны - упростить расчет некоторых характеристик кристаллов, например, спектров элементарных возбуждений, путем расчета данных характеристик для отдельных подрешеток и учета взаимодействия между ними по теории возмущений, что позволяет существенно сэкономить компьютерные мощности.

2. Разработан кристаллографический метод, позволяющий для заданной трансляционной (14 типов решетки Бравэ) и пространственной (230 пространственных групп) симметрии кристалла найти все возможные трансляционно совместимые с ней подрешетки, а также варианты их взаимного размещения в кристалле.

3. Найдены матрицы совместимости ВЭТ подрешеток с кристаллическими, из которых определены разрешенные при заданной трансляционной симметрии кристалла геометрические параметры подрешеток (пространственные периоды а, Ь, с и углы а, (3, у) для всех возможных сочетаний 14 решеток Бравэ.

4. Из условий подчинения набора подрешеток пространственной симметрии кристалла найдены векторы, задающие начала отсчета подрешеток в элементарных ячейках сложных кристаллов, для кристаллов триклинной и моноклинной сингоний, а также дополнительные условия на геометрические параметры подрешеток, возникающие в несимморфных пространственных группах.

5. Разработан метод поиска в сложных кристаллах подрешеток, отличающихся по своему типу Бравэ от кристаллического, реализованный в соответствующем ПО, позволяющем автоматически выделять в сложных кристаллических соединениях кубической и тетрагональной сингоний подрешетки Бравэ в соответствии с принципом минимального числа подрешеток для случаев, когда геометрические параметры элементарной ячейки и координаты атомов в ней заданы численно.

6. В кристаллах кубической сингонии установлен генезис спектров элементарных возбуждений из состояний подрешеток, относящихся к простому, гранецентрированному и объемноцентрированному кубическим типам Бравэ, построены совмещенные первые ЗБ и составлены таблицы перестройки зонных спектров для всех сочетаний данных типов Бравэ в кристаллической решетке и подрешетке. При перестройке ЗБ подрешеток в ЗБ кристалла возникают трансляционные вырождения, приводящие к свертыванию ветвей спектров. Эти вырождения снимаются при учете гибридизации подрешеток.

7. Получена связь векторов смещения подрешеток друг относительно друга с системами эквивалентных позиций пространственных групп. Установлено, что получаемые в рамках развитого подхода наборы векторов смещения подрешеток являются более общим случаем по отношению к кристаллографическим системам эквивалентных позиций и переходят в них при совпадении типов Бравэ и равенстве геометрических параметров решетки и подрешетки как частный случай. Показано, при каком пространственном размещении трансляционно менее симметричных подрешеток их можно объединить в трансляционно более симметричную подрешетку.

Направления дальнейших исследований

1. Доработка алгоритмов и имеющегося ПО по выделению подрешеток в кристаллах для анализа кристаллов любых сингоний.

2. Расчет векторов смещения подрешеток различного типа Бравэ в кристаллах для всех 230 пространственных групп, составление соответствующего справочника, сопоставление с наборами кристаллографических позиций соответствующих пространственных групп как частными случаями при совпадении типа Бравэ подрешетки с кристаллическим и равенстве параметров кристаллической решетки и подрешетки.

3. Построение совмещенных кристаллических и подрешеточных первых ЗБ для всех возможных сочетаний типов Бравэ и соответствующих геометрических параметров решетки в соответствии с комбинаторно-симметрийной классификацией первых ЗБ, разработка соответстсвующего ПО, получение таблиц разложения неприводимых звезд подрешетки по неприводимым звездам кристалла для всех указанных сочетаний.

4. Разработка методики расчета матриц совместимости подрешеток для случая, когда подрешетки повернуты друг относительно друга произвольным образом, определение возможных с точки зрения трансляционной совместимости взаимных ориентаций для различных сочетаний подрешеток всех 14 типов решетки Бравэ, и определение их взаимного пространственного разположения в кристалле для всех 230 пространственных групп.

5. Анализ с позиций структурных подрешеток магнитной симметрии кристаллов.

6. Исследование фазовых переходов в кристаллах с точки зрения эволюции составляющих кристаллические фазы структурных подрешеток, их типов и взаимного расположения.

7. Изучение явления наличия резких пиков на графиках зависимости частоты встречаемости кристаллов от соотношения параметров их решетки, представление «пиковых» структур совокупностью составляющих их структурных подрешеток, разработка теории, объясняющей наблюдаемую зависимость.

8. Представление модулированных кристаллических структур и композиционных кристаллов совокупностью составляющих их структурных подрешеток, разработка метода анализа их спектров элементарных возбуждений с позиций подрешеток и предсказания их качественной структуры путем расчета соответствующих спектров для отдельных подрешеток и учета взаимодействия между ними по теории возмущений.

9. Исследование зависимости физических и физико-химических свойств кристаллических структур от составляющих их структурных подрешеток, их типа и взаимного расположения, поиск рядов кристаллических структур, в которых соответствующие их свойства поставлены в зависимость от их структурной симметрии при прочих равных условиях, установление соответствующей закономерности, классификация кристаллических структур с точки зрения данной закономерности, предсказание новых кристаллических структур и их физических и физико-химических свойств на основе «пустых» мест в классификации.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору, Заслуженному деятелю науки РФ Анатолию Степановичу Поплавному за постановку задачи, руководство работой и критическое обсуждение рукописи, кандидату физико-математических наук Алексею Владимировичу Кособуцкому за ряд интересных совместных работ по генезису спектров элементарных возбуждений из состояний подрешеток в кристаллах кубической сингонии на основе разработанного в настоящей работе метода представления сложных кристаллических структур совокупностью совместимых подрешеток Бравэ, аспиранту Виктору Алексеевичу Тарасову за реализацию в ПО разработанных алгоритмов выделения структурных подрешеток в кристаллах кубической и тетрагональной сингоний, студентам Елене Владимировне Ерукаевой и Павлу Сергеевичу Ключникову за помощь в тестировании данного ПО и поиске на его основе кристаллических структур с подрешетками различающегося типа Бравэ среди кристаллов кубической и тетрагональной сингоний, а также другим преподавателям кафедры теоретической физики Кемеровского государственного университета за ценные консультации и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Журавлев, Ю.Н. Роль подрешеток в формировании химической связи преимущественно ионных кристаллов / Ю.Н. Журавлев, А.С. Поплавной // Журнал структурной химии. - 2001. - Т. 42, № 5. - С. 860-866.

2. Журавлев, Ю.Н. Роль подрешеток в формировании химической связи ионно-молекулярных кристаллов / Ю.Н. Журавлев, А.С. Поплавной // Журнал структурной химии. 2001. - Т. 42, № 6. - С. 1056-1063.

3. Кособуцкий, А.В. Моделирование зонных спектров сложных кристаллов в базисе состояний их подрешеток / А.В. Кособуцкий, А.С. Поплавной // Известия вузов. Физика. 2006. - Т. 49, № 7. - С. 81-86.

4. Басалаев, Ю.М. Генезис энергетических зон из подрешеточных состояний в оксидах и сульфидах щелочно-земельных металлов / Ю.М. Басалаев, Ю.Н. Журавлев, А.В. Кособуцкий, А.С. Поплавной // Физика твердого тела. 2004. - Т. 46, № 5. - С. 826-829.

5. Журавлев, Ю.Н. Генезис энергетических зон из подрешеточных состояний в сульфидах щелочных металлов с решеткой антифлюорита / Ю.Н. Журавлев, А.В. Кособуцкий, А.С. Поплавной // Известия вузов. Физика. 2005. - Т. 48, № 2. - С. 30-34.

6. Ландау, Л.Д. К теории фазовых переходов I, II // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1937. - Т. 7, № 1. - С. 1932; №5.-С. 627-632.

7. Лифшиц, Е.М. К теории фазовых переходов второго рода // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1941. - Т. 11, № 2-3. -С. 255-281.

8. Гуфан, Ю.М. Структурные фазовые переходы. М.: Наука, 1982. -304 с.

9. Изюмов, Ю.А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю.А. Изюмов, В.Н. Сыромятников. М.: Наука, 1984. - 248 с.

10. Хачатурян, А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. М.: Наука, 1974. - 384 с.

11. Штерн, Д.М. Теоретическое предсказание структур ГЦК и ОЦК бинарных упорядоченных фаз / Д.М. Штерн, Э.В. Козлов // Известия вузов СССР. Физика. 1985. - Т. 28, № 6. - С. 26-33.

12. Соловьева, М.И. Теоретическое предсказание структур ГПУ бинарных упорядоченных фаз / М.И. Соловьева, Д.М. Штерн // Известия вузов СССР. Физика. 1990. -Т. 33, № 6. - С. 90-94.

13. Kanamori, J. Magnetization Process in an Ising Spin System // Progress in Theoretical Physics. 1966. - V. 35, № 1. - Pp. 16-35.

14. Van Dick, D. An Existency Domain for Substitutional^ Disordered Binary Systems / D. Van Dick, R. de Ridder, S. Amelinckx // Physica Status Solidi (a). 1980. - V. 59, № 2. - Pp. 513-530.

15. De Ridder R. Ground States and Structures in Ordered Binary B.C.C., F.C.C. and P.C. Systems with First and Second Neighbour Interactions / R. de Ridder, D. Van Dyck, S. Amelinckx // Physica Status Solidi (a). -1980. -V. 61, № l.-Pp. 231-250.

16. Men, B.A. Influence of the Ground State Symmetry on the Qualitative Form of Ordering Phase Diagram / B.A. Men, M.L. Levitan (Katsnelson),

17. A.N. Men // Physica Status Solidi (a). 1983. - V. 77, № 2. - Pp. 455-461.

18. Men, B.A. Analysis of the Ground State of the Solid Solution with Interactions up to k-th Coordination Spheres of the Crystal Lattice /

19. B.A. Men, M.L. Levitan (Katsnelson) // Physica Status Solidi (a). 1984. -V. 85,№ l.-Pp. 51-60.

20. Men, B.A. The Ground State Superstructures in Ordered Binary S.C., B.C.C., and F.C.C. Alloys with Pair Interactions up to Third Neighbours / B.A. Men, M.L. Katsnelson // Physica Status Solidi (a). 1985. - V. 87, № 1. - Pp. 94108.

21. Кацнельсон, M.JI. Метод статистико-геометрических подрешеток в теории упорядочения в кристаллах: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.04.07: защищена 09.12.93 / M.JI. Кацнельсон; УрГУ. Екатеринбург, 1993.- 194 с.

22. Лариков, Л.Н. Диффузионные процессы в упорядоченных сплавах / Л.Н. Лариков, В.В. Гейченко, В.М. Фальченко. Киев: Наукова думка, 1975.-214 с.

23. Evarestov, R.A. Use of the Large Unit Cell Approach for Generating Special Points of the Brillouin Zone / R.A. Evarestov, V.P. Smirnov // Physica Status Solidi (b). 1980. - V. 99, № 2. - Pp. 463-470.

24. Landau, D.P. Phase Transition on the Ising Square Lattice with Next-nearest-neighbour Interactions // Physical Review B. 1980. - V. 21, № 3. -Pp. 1285-1297.

25. Herrmann, HJ. Stability of Tricritical Points in a Three Dimensional Next-nearest-neighbour Ising Model. A Monte-Carlo Simulation / H.J. Herrmann, D.P. Landau // Physical Review B. 1993. - V. 48, № 1. - Pp. 238-244.

26. Горюнова, H.A. Химия алмазоподобных полупроводников. M.: Издательство Ленинградского университета, 1963. - 222 с.

27. Горюнова, Н.А. Сложные алмазоподобные полупроводники. М.: Советское радио, 1968. - 268 с.

28. Полупроводники А2В4С2 / А.С. Борщевский, А.А. Вайполин, Ю.А. Валов, НА. Горюнова, Ф.П. Кесаманлы, А. Назаров, В.Д. Прочухан, В.А. Чалдышев; Редакторы Н.А. Горюнова, Ю.А. Валов. М.: Советское радио, 1974. - 376 с.

29. Медведева, З.С. Халькогениды элементов ШБ подгруппы периодической системы. М.: Наука, 1968. - 216 с.

30. Folberth, O.G. New Ternary semiconducting phosphides MgGeP2, CuSi2P3 and CuGe2P3 / O.G. Folberth, H. Pfister // Acta Crystallographies — 1961. — V. 14, №4.-Pp. 325-326.

31. Левин, А.А. Распределение заряда и основные особенности структуры2 6 3 5валентной зоны в соединениях А В и А В с решеткой вюртцита / А.А. Левин, Я.К. Сыркин, Е.М. Дяткина // Журнал структурной химии. -1967. Т. 8, № 6. - С. 1064-1070.

32. Вайполин, А.А. Получение и свойства ZnSnAs2 / А.А. Вайполин, Ф.П. Кесаманлы, Ю.В. Рудь // Неорганические материалы. 1967. - Т. 3, №6.-С. 974-980.

33. Цзян Бин-си. Соединение ZnGeAs2, исследование его физическо-химических свойств и взаимодействия с германием: дис. . канд. физ.-мат. наук / Бин-си Цзян; ЛГУ им. А.А. Жданова. Ленинград, 1963. -147 с.

34. Вайполин, А.А. Термический анализ CdSnAs2 / А.А. Вайполин, Н.М. Коржак // Физика. Доклады на XXIII научной конференции: Материалы конф.; ЛИСИ. Ленинград: Изд. ЛИСИ, 1965. - С. 47-48.

35. Тычина, И.И. Свойства полупроводникового соединения CdGeP2 в кристаллическом и стеклообразном состоянии / И.И. Тычина,

36. B.Г. Федотов, И.М. Иванова // Химическая связь в полупроводниках: Сб. науч. тр. / Редактор Н.Н. Сирота. Минск: Наука и техника, 1969.1. C. 334-338.

37. Pfister, Н. Kristallstruktur von ZnSnAs2 // Acta Crystallographica. 1963. -V. 16, №2.-P. 153.

38. Лошакова, Г.В. Получение и некоторые свойства полупроводниковых соединений ZnSnP2 и CdSnP2 / Г.В. Лошакова, Р.Л. Плечко, А.А. Вайполин и др. // Неорганические материалы. 1966. - Т. 2, № 11.-С. 1966-1969.

39. Вайполин, А.А. Некоторые аспекты химии алмазоподобных соединенийтипа А2В4С2 / А.А. Вайполин, Э.О. Османов, Д.Н. Третьяков // Неорганические материалы. 1967. - Т. 3, № 2. - С. 260-266.

40. Ройтбурд, А.Л. Полиморфизм // Физический энциклопедический словарь / Гл. редактор A.M. Прохоров. М.: Сов. Энциклопедия, 1983. - С. 561562.

41. Ayalew, Т. SiC Semiconductor Devices Technology, Modeling, and Simulation: PhD Thesis / T. Ayalew; Vienna University of Technology. -Vienna, Austria, 2004.

42. Fisher, G.R. Toward a Unified View of Polytypism in Silicon Carbide / G.R. Fisher, P. Barnes, // Philosophical Magazine. 1990. - V. 61, № 2. -Pp. 217-236.

43. Bechstedt, F. Polytypism and Properties of Silicon Carbide / F. Bechstedt, P. Kackell, A. Zywietz, K. Karch, B. Adolph, K. Tenelsen, J. Furthmuller // Physica Status Solidi (b). 1997. - V. 202, № 1. - Pp. 35-62.

44. Suttrop, W. Hall Effect and Infrared Absorption Measurements on Nitrogen Donors in 6H-Silicon Carbide / W. Suttrop, G. Pensl, W. J. Choyke, R. Stein, S. Leibenzeder // Journal of Applied Physics. 1992. - V. 72, №8. -Pp. 3708-3713.

45. Zetterling C.M. Process Technology for Silicon Carbide Devices // EMIS processing series; INSPEC, IEE. UK, 2002. -№ 2.

46. Полыгалов, Ю.И. Методы вычислений электронной структуры полупроводниковых низкоразмерных структур: учебное пособие / Ю.И. Полыгалов, А.С. Поплавной; КемГУ. Кемерово: Кемеровский государственный университет, 1995. - 189 с.

47. Gobel, Е.О. Fabrication and optical properties of semiconductor quantum wells and superlattices / E.O. Gobel, K. Ploog // Progress in Quantum Electronics. 1990. - V. 14, № 4. - Pp. 289-356.

48. Mailhiot, С. Strained-layer semiconductor superlattices / C. Mailhiot, D.L. Smith // Solid State and Materials Science. 1990. - V. 16, № 2. -Pp. 131-160.

49. Guenais, B. Structural features of MBE grown very short period GaAs-AlAs superlattices / B. Guenalis, A. Pondoulec, P. Auvray, M. Bandet, A. Regreny, B. Lambert // Journal of Crystal Growth. 1988. - V. 88, № 1. - Pp. 125134.

50. Isu, T. Ultrathin-layer (AlAs)OT(GaAs)m superlattices with m = 1,2,3 grown by molecular beam epitaxy / T. Isu, De-Sheng Jiang, K. Ploog // Applied Physics A. 1987. - V. 43, № 1. - Pp. 75-79.

51. Smith, D.L. Strain-generated electric fields in 111. growth axis strained-layer superlattices // Solid State Communications. 1986. - V. 57, № 12. -Pp. 919-921.

52. O'Really, E.P. Valence band engineering in strained-layer structures // Semiconductor Science and Technology. 1989. - V. 4, № 3. - Pp. 121-137.

53. Lu, Y.-T. Valley-mixing effects in short-period superlattices / Y.-T. Lu, L.J. Sham // Physical Review B. 1989. - V. 40, № 8. - Pp. 5567-5578.

54. Херман, M. Полупроводниковые сверхрешетки. M.: Мир, 1989. - 240 с.

55. Barker, A.S. Study of zone-folding effects on phonons in alternating monolayers of GaAs-AlAs / A.S. Barker, J.L. Merz, A.C. Gossard // Physical Review B. 1978. - V. 17, № 8. - Pp. 3181-1396.

56. Feldman, D.W. Phonon dispersion curves by Raman scattering in SiC polytypes 3C, 4H, 6H, 15R and 21R / D.W. Feldman, J.H. Parker, W.J. Choyke, L. Patrick // Physical Review. 1968. - V. 173, № 3. -Pp. 787-793.

57. Constant, В. Variations in abundance of known crystalline compounds as a function of lattice constants / B. Constant, P.J. Shlichta // Acta Crystallographica A. 2003. - V. 59, № 3. - Pp. 281-282.

58. Donnay, J.D. Crystal Data Determinative Tables / J.D. Donnay, H.M. Ondik; US Department of Commerce, National Bureau of Standards and Joint Committee on Powder Diffraction Standards. 3rd ed. - Washington, DC, USA, 1973. - V. 2. Inorganic Compounds.

59. Janner, A. Integral lattices // Acta Crystallographica A. 2004. - V. 60, №2.-Pp. 198-200.

60. Janner, A. Zones and sublattices of integral lattices // Acta Crystallographica A. 2004. - V. 60, № 6. - Pp. 611-620.

61. De Gelder, R. Remarkable features in lattice-parameter ratios of crystals.

62. Orthorombic, tetragonal and hexagonal crystals / R. de Gelder, A. Janner // Acta Crystallographica B. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 287-295.

63. De Gelder, R. Remarkable features in lattice-parameter ratios of crystals.1.. Monoclinic and triclinic crystals / R. de Gelder, A. Janner // Acta Crystallographica B. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 296-303.

64. Frank, F.C. On Miller-Bravais indices and four-dimensional vectors // Acta Crystallographica. 1965. - V. 18., № 5. - Pp. 862-866.

65. Janner, A. Introduction to a general crystallography // Acta Crystallographica A. 2001. - V. 57, № 4. - Pp. 378-388.

66. Janner, A. De Nive Sexangula Stellata // Acta Crystallographica A. 1997. -V. 53, №5.-Pp. 615-631.

67. Singh, A. A hexagonal phase related to quasicrystalline phases in Zn-Mg-rare-earth system / A. Singh, E. Abe, A.P. Tsai // Philosophical Magazine Letters. 1998. - V. 77, № 2. - Pp. 95-104.

68. Lidin, S. Superstructure Ordering of Intermetallics: B8 Structures in the Pseudo-Cubic Regime // Acta Crystallographica B. 1998. - V. 54, № 2. -Pp. 97-108.

69. Ranganathan, S. Frank's 'cubic' hexagonal phase: an intermetallic cluster compound as an example / S. Ranganathan, A. Singh, A.P. Tsai // Philosophical Magazine Letters. 2002. - V. 82, № 1. - Pp. 13-19.

70. Conway, J.H. Sphere packings, Lattices and Groups / J.H. Conway, N.J.A. Sloane. Berlin: Springer, 1988.

71. База данных The Cambridge Structure Database. http ://www.ccdc.cam .ac. uk/products/csd/

72. База данных Protein Data Bank, http://www.pdb.org/

73. База данных Inorganic Crystal Structure Database, http://www.fiz-karlsruhe.de/ecid/Internet/en/DB/icsd/

74. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.

75. Orthorhombic, tetragonal, trigonal and hexagonal symmetries // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 247-255.

76. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.1.. Pentagonal, heptagonal, octagonal, nonagonal and ondecagonal symmetries // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 256-268.

77. Janner, A. Strongly correlated structure of axial-symmetric proteins.

78. I. Complexes with DNA/RNA // Acta Crystallographica D. 2005. - V. 61, № 3. - Pp. 269-277.

79. Janner, A. Symmetry of periodically distorted crystals / A. Janner, T. Janssen // Physical Review B. 1977. - V. 15, № 2. - Pp. 643-658.

80. Buerger, M.J. Crystal-structure analysis. New York: Wiley, 1960. - P. 55.

81. De Wolff, P.M. The Pseudo-Symmetry of Modulated Crystal Structures // Acta Crystallographica A. 1974. - V. 30, № 6. - Pp. 777-785.

82. Longuet-Higgins, H.C. The symmetry groups of non-rigid molecules // Molecular Physics. 1963. - V. 6, № 5. - Pp. 445-460.

83. Hougen, J.T. A group-theoretical treatment of electronic, vibrational, torsional and rotational motions in the dimethyl acetylene molecule // Canadian Journal ofPhysics.-1964.-V. 42,№ 10.-P. 1920-1937.

84. Dubbeldam, G.C. The average crystal structure of y-Na2C03 / G.C. Dubbeldam, P.M. de Wolff// Acta Crystallographica B. 1969. - V. 25, № 12.-Pp. 2665-2667.

85. Van Aalst, W. The modulated structure of y-Na2C03 in a harmonic approximation / W. van Aalst, J. den Hollander, J.A.M. Peterse, P.M. de Wolff// Acta Crystallographica B. 1976. - V. 32, № 1. - P. 47-58.

86. Janssen, T. On the lattice dynamics of incommensurate crystal phases // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1979. - V. 12, № 24. - Pp. 53815392.

87. Bruce, A.D. The theory of structurally incommensurate systems. III. The fluctuation spectrum of incommensurate phases / A.D. Bruce, R. A. Cowley // Journal of Physics C: Solid State Physics. 1978. - V. 11, № 17. - P. 36093630.

88. Dvorak, V. Infrared and Raman activity of soft modes in the incommensurate structure / V. Dvorak, J. Petzelt // Journal of Physics C: Solid State Physics. -1978.-V. 11, №23.-P. 4827-4835.

89. Walker, M.B. The harmonic lattice vibtations of a one-dimensional incommensurate lattice // Canadian Journal of Physics. 1978. - V. 56, № l.-P. 127-138.

90. Bak, P. Symmetry of modulated phases in tetrathiafulvalene-tetracyanoquinodimethane (TTF-TCNQ): Four- and five-dimensional superspace groups / P. Bak, T. Janssen // Physical Review B. 1978. - V. 17, №2.-P. 436-439.

91. Janner, A. Symmetry of Incommensurate Crystal Phases. I. Commensurate Basic Structures / A. Janner, T. Janssen // Acta Crystallographica A. 1980. -V. 36, №3.-Pp. 399-408.

92. Janner, A. Symmetry of Incommensurate Crystal Phases. II. Incommensurate Basic Structures / A. Janner, T. Janssen // Acta Crystallographica A. 1980. -V. 36, № 3. - Pp. 408-415.

93. De Wolff, P.M. The Superspace Groups for Incommensurate Crystal Structures with One-Dimensional Modulation / P.M. de Wolff, T. Janssen, A. Janner // Acta Crystallographica A. 1981. - V. 37, № 5. - Pp. 625-636.

94. Janner, A. Bravais classes for incommensurate crystal phases / A. Janner, T.Janssen, P.M. de Wolff// Acta Crystallographica A. 1983. - V. 39, №5.-Pp. 658-666.

95. Janner, A. Wyckoff positions used for the classification of Bravais classes of modulated crystals / A. Janner, T. Janssen, P.M. de Wolff // Acta Crystallographica A. 1983. - V. 39, № 5. - Pp. 667-670.

96. Janner, A. Determination of the Bravais Class for a Number of Incommensurate Crystals / A. Janner, T. Janssen // Acta Crystallographica A. 1983. - V. 39, № 5. - Pp. 671-678.

97. Kato, K. Strukturverfeinerung des Kompositkristalls im mehrdimensionalen Raum // Acta Crystallographica B. 1990. - V. 46, № 1. - Pp. 39-44.

98. Onoda, M. Structure of the Incommensurate Composite Crystal (PbSVi2VS2 / M. Onoda, K. Kato, Y. Gotoh, Y. Oosawa // Acta Crystallographica B. -1990. V. 46, № 4. - Pp. 487-492.

99. Yamamoto, A. Determination of Composite Crystal Structures and Superspace Groups // Acta Crystallographica A. 1993. - V. 49, № 6. -Pp. 831-846.

100. Yamamoto, A. Unified Setting and Symbols of Superspace Groups for Composite Crystals // Acta Crystallographica A. 1992. - V. 48, № 4. -Pp. 476-483.

101. Lifshitz, R. The Symmetry of Composite Crystals / R. Lifshitz, N.D. Mermin // Aperiodic'94, An International Conference on Aperiodic Crystals / Editors G. Chapuis, W. Paciorek. Singapore: World Scientific, 1995. - Pp. 82-86.

102. Rokhsar, D. The two-dimensional quasicrystallographic space groups with rotational symmetries less than 23-fold / D. Rokhsar, D. Wright, N.D. Mermin // Acta Crystallographica A. 1988. - V. 44, № 2. - Pp. 197211.

103. Rokhsar, D. Scale equivalence of quasicrystallographic space groups / D. Rokhsar, D. Wright, N.D. Mermin // Physical Review B. 1988. - V. 37, № 14.-Pp. 8145-8149.

104. Van Smaalen, S. Superspace-group approach to the modulated structure of the inorganic misfit layer compound (LaS)u4NbS2 // Journal of Physics: Condensed Matter. 1991. - V. 3, № 10. - Pp. 1247-1263.

105. Ю5.Поплавной, А.С. Симметрия подрешеток и генезис спектров элементарных возбуждений в кристаллах // Материаловедение. 2005. -№9.-С. 2-7.

106. Юб.Журавлев, Ю.Н. Распределение валентной электронной плотности в преимущественно ионных кристаллах с различающимися подрешетками Браве / Ю.Н. Журавлев, А.С. Поплавной // Физика твердого тела. -2003.-Т. 45, № 1.-С. 37-41.

107. Ю7.Журавлев, Ю.Н. Роль подрешеток в формировании электронной плотности в нитритах металлов / Ю.Н. Журавлев, А.С. Поплавной // Кристаллография. 2002. - Т. 47, № 5. - С. 810-813.

108. Журавлев, Ю.Н. Электронная структура оксидов и сульфидов щелочноземельных металлов / Ю.Н. Журавлев, Ю.М. Басалаев, А.С. Поплавной // Известия вузов. Физика. 2001. - Т. 44, № 4. - С. 5660.

109. Поплавной, А.С. Подрешетки в кристаллах / А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Кристаллография. 2005. - Т. 50, № 5. - С. 782-787.

110. Poplavnoi, A.S. Sublattices in Crystals / A.S. Poplavnoi, A.V. Silinin // Crystallography Reports. 2005. - V. 50, № 5. - Pp. 721-726.

111. Эварестов, P.А. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела / Р.А. Эварестов, В.П. Смирнов. Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1987. - 375 с.

112. База данных Crystal Lattice Structures, http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/

113. Силинин, А.В. Программное обеспечение для выделения подрешеток в сложных кристаллах кубической и тетрагональной сингоний /

114. A.В. Силинин, В.А. Тарасов // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: Материалы VII Всероссийской научно-технической конференции / Гл. редактор

115. B.В. Найханов; Восточно-Сибирский государственный технологический университет. Улан-Удэ: Издательство ВСГТУ, 2006. - Т. 2. - С. 469472.

116. Поплавной, А.С. Зоны Бриллюэна подрешеток в некоторых кристаллах кубической и тетрагональной сингоний / А.С. Поплавной, А.В. Силинин

117. Фундаментальные проблемы современного материаловедения.2005.-Т. 2, № 1. С. 131-134.

118. Ковалев, О.В. Неприводимые и индуцированные представления и копредставления федоровских групп: Справочное руководство. М.: Наука.-1986.-368 с.

119. Кособуцкий, А.В. Классификация спектров элементарных возбуждений сложных кристаллов на основе состояний их подрешеток / А.В. Кособуцкий, А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Вестник КемГУ. -2006.-№2.-С. 74-78.

120. Галиулин, Р.В. Комбинаторно-симметрийная классификация первых зон Бриллюэна // Кристаллография. 1984. - Т. 29, № 4. - С. 638-642.

121. Чалдышев, В.А. К вопросу о структуре валентной зоны соединений типа халькопирита / В.А. Чалдышев, Г.Ф. Караваев // Известия вузов СССР. Физика. 1963. - Т. 6, № 5. - С. 103-105.

122. Караваев, Г.Ф. Исследование энергетического спектра электронов в полупроводниковых соединениях с решеткой халькопирита по теории возмущений / Г.Ф. Караваев, А.С. Поплавной // Физика твердого тела. -1966. Т. 8, № 7. - С. 2143-2148.

123. Поплавной, А.С. Кристаллы с подрешетками кубической сингонии и особенности их спектров элементарных возбуждений / А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Известия вузов. Физика. 2006. - Т. 49, № 5. - С. 21-27.

124. Poplavnoi, A.S. Crystals with sublattices belonging to the cubic system and special features of their elementary excitation spectra / A.S. Poplavnoi, A.V. Silinin // Russian Physics Journal. 2006. - V. 49, № 5. - Pp. 475-481.

125. Кособуцкий, А.В. Генезис энергетических зон кристаллов из состояний их подрешеток: дис. . канд. физ.-мат. наук: 02.00.04: защищена 13.10.2006: утв. 12.02.2007 / А.В. Кособуцкий; КемГУ. Кемерово,2006.- 156 с.

126. Кособуцкий, А.В. Метод подрешеток и генезис энергетических зон в кристаллах со структурами флюорита и антифлюорита /

127. А.В. Кособуцкий, А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Сборник материалов конференции «Химия и химическая технология на рубеже тысячелетий». Томск, 2004. - С. 186-187.

128. Filippetti, A. Coexistence of ionic and metallic bonding in noble-metal oxides / A. Filippetti, V. Fiorentini // Physical Review B. 2005. - V. 72, № 3. -P. 035128.

129. Поплавной, A.C., Подрешетки в низкосимметричных кристаллах / А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2006. - Т. 3, № 1. - С. 89-91.

130. Поплавной, А.С. Подрешетки в кристаллах низкосимметричных сингоний / А.С. Поплавной, А.В. Силинин // Известия вузов. Физика. -2007. Т. 50, № 4-5 (принята к печати).

131. Poplavnoi, A.S. Sublattices in low symmetrical crystals / A.S. Poplavnoi, A.V. Silinin // Russian Physics Journal. 2007. - V. 50, № 4-5 (принята к печати).