Явные и явно-неявные методы решения жестких нестационарных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

институт вычислительной математики российской академии наук

На правах рукописи УДК 519.6

МЕДОВИКОВ Алексей Арсеньевич

ЯВНЫЕ И ЯВНО-НЕЯВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

москва 1992

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РА!

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. И. ЛЕБЕДЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор САУЛЬЕВ В. К. кандидат физико-математических наук, доцент ЗАБЕЛИН В. В.

Ведущая организация: Институт прикладной матема тики РАН

Защита состоится » ¿-¿/^¿¿^¿^ Р часов и;

у

заседании специализированного совета К.003.47.01 в Институт вычислительной математики РАН по адресу: 117334 Москва, Ле иинский пр., 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт вычислительной математики РАН.

/Г

Автореферат разослан «Л_».

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук С. А. ФИН0ГЕН01

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В математике, физике, химии, биологии, экономике, социологии, медицине, в инженерных расчетах и многих других областях знаний возникают задачи, в которых надо решать нестационарные дифференциальные уравнения. Уже не одну сотню лет ученые занимаются решением систем обыкновенных дифференциальных уравнений и решением нестационарных уравнений в частных производных. К сожалению, для подавляющего большинства таких задач не удается найти точного решения. Поэтому столь же давно, как и сами уравнения, изучаются численные методы их решения.

В диссертации рассматриваются некоторые численные метода решения нестационарных задач, и, в частности, основным объектом нашего исследования будут численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие известные и часто применяющиеся численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, как явный метод Эйлера и схема Кранка-Никлсон, обладают своими положительными и

отрицательными качествами. Например, среда положительных качеств явной схемы Эйлера можно назвать следующиеюни просты при реализации, легко распараллеливаются и требуют относительно небольшой объем памяти. Схема Кранка-Никлсон также имеет свои положительные качества: это ее второй порядок аппроксимации по времени, абсолютная устойчивость, а также свойство сохранения нормы решения для задач с кососимметризуемыми операторами. Эти свойства схем сделали их

довольно популярными при решении нестационарных задач. Однако наряду с положительными качествами эти схемы обладают отрицательными свойствами, которые часто перечеркивают их достоинства, а иногда делают их просто неприменимыми для практических вычислений. Известно, что для численного нахождения решения жесткой системы дифференциальных ■ уравнений явные методы с локально постоянным по времени шагом плохи тем, что для устойчивой реализации их накладываются непомерные ограничения на шаг интегрирования; в схеме Кранка-Никлсон также накладываются ограничения на шаг, поскольку ее асимптотическая устойчивость условна. Существует целый ряд работ, посвященных построению явных схем, для которых средний шаг по времени больше, чем в схеме Эйлера. Здесь следует назвать работы Franklin, Саульева В.К., Юань Чжаодиня, Штеттвра X., Ван-Дер Хоувена, Локуциевского В.О. и Локуциевского О.В., Лебедева В.И., Новикова В.А. и Новикова Е.А. и других авторов. В этих работах рассматриваются вопросы применения многочленов Чебышева, а также других многочленов, обладающих свойством чебышевского эльтернанса, для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения нестационарных задач используются переменные шаги по времени, связанные определенными соотношениями с корнями многочлена Чебышева. В результате получаются схемы первого порядка, в которых средний шаг по времени получается значительно выше, чем в схемах с постоянным шагом. В работах Штеттера X., Ван-Дер Хоувена, Лебедева В.И., Новикова В.А. и Новикова Е.А. и других авторов рассматриваются также методы второго порядка

точности по вромони. Задача построения такого рода методов сводится к построению многочленов, обладающих свойством чебышевского альтернанса на определенном заданном отрезке и аппроксимирующих экспоненту со вторым порядком точности в точке О. Построение таких многочленов - непростая задача. Поэтому одни авторы используют многочлены малых степеней и тем самым ограничивают область их применения. Другие же отказываются от применения "оптимальных" многочленов, тем самым уменьшая средний шаг в этих методах. Поэтому одной из основных проблем, которые необходимо решить, чтобы успешно строить "оптимальные" методы выше первого порядка, является проблема построения многочленов, каждый из которых обладает свойством чебышевского альтернанса на каком-то заданном отрезке и который принимает сам (или его производные) какие-то заданные значения вне этого отрезка. Иногда задачу можно свести к построению могочленов, наименее отклоняющихся от нуля или от заданной функции, с весом. В свою очередь, задача построения многочленов, наименее отклоняющихся от нуля или от функции, также является сложной задачей. Например, методы типа методов Ремеза приводят к плохо обусловленной системе нелинейных уравнений. А это приводит к тому, что часто не удается построить многочлены достаточно больших степеней. Однако, используя предложенный В.И.Лебедевым метод, удается с помощью написанной автором программы конструктивно строить многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля или от заданной функции, с весом, причем степени многочленов практически не ограничены и для большинства весов сходимость только

1-2

увеличивается . с ростом степеней. Благодаря этой программе удалось- построить метода второго порядка со средним шагом по

m

времени т= £ i /ш« 0,8imcou, где сои- шаг по времени в явном 1=1 1

методе Эйлера, а m-число вычислений правой части нестационарной задачи.Таблицы параметров метода приведены в конце работы до , причем это вовсе не предел. Этот метод внедрен в программе DUMKA, написанной В.И. Лебедевым, которая в настоящий момент активно эксплуатируется во многих научных центрах. Приведены также таблицы многочленов, которые требуются для построения явного метода третьего порядка.

Оказывается, что идея переменных шагов может быть реализована также для неявных схем, в частности для схем Кранка-Никлсон. Дело в том, что функция устойчивости в схеме Кранка-Никлсон для жестких задач в области высоких гармоник близка к ±1. Это приводит к тому, что жесткие компоненты практически не уменьшаются по норме. Поэтому: I) асимптотическая устойчивость схемы условна и 2) если в этих схемах адаптированно выбирать шаг в зависимости от гладкости решения, то рекомендуемый (из условия аппроксимации) шаг будет чрезмерно занижен. Асимптотически устойчивые схемы описаны в ряде работ, например, Калиткин H.H. и Ритус И.В. предложили асимптотически устойчивую комплексную схему решения параболических уравнений. Оказывается, что применение переменных шагов по времени, определяемых специальным алгоритмом, позволяет более эффективно использовать для решения жестких задач схему Кранка-Никлсон. В диссертации предлагается метод решения жесткой системы дифференциальных

уравнений на основе схемы Кранка-Никлсон, для которой за счет переменных шагов по времени удается увеличить средний размер шага и при этом сохранить свойство асимптотической устойчивости. Оказывается, что переменные шаги в такого рода схемах следует выбирать в соответствии с корнями дробно-рациональной функции Золотарева, наименее отклоняющейся от нуля на заданном отрезке.

В задачах с кососимметричными операторами норма решения сохраняется с течением времени. Поэтому для таких задач употребляются схемы, сохраняющие норму и в разностном решении. Оказывается, что можно с помощью выбора переменных шагов по времени построить схемы высоких порядков точности, которые обладают свойством сохранения нормы разностного решения.-Дело в том, что схема Кранка-Никлсон обладает свойством сохранения нормы решения и тем самым имеет только фазовую ошибку. Это означает, что она точно аппроксимирует норму решения, однако точное и приближенное решения находятся в фазовом пространстве под некоторым углом <р«0(т3). Оказывается, что использование переменных шагов позволяет уменьшить фазовую ошибку. В главе 1 даются параметры схем, имеющих фазовую ошибку ср~0(т5),0(тт).0(т:9)- для линейных задач, а также параметры 3-х стадийных диагонально неявных схем Рунге-Кутты порядка о(т4) для нелинейных уравнений. Работа этих схем иллюстрируется на примере решения задачи дифракции.

Цель работы состоит в построении численных методов решения нестационарных задач, а также создании комплекса программ для построения многочленов, наименее отклоняющихся от

1-3

нуля, с весом.

Методы исследования. В диссертации используются методы исследования схем Рунге-Кутты, а также результаты теории функций; линейной алгебры и теории численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Разработаны три новых метода решения нестационарных дифференциальных уравнений. Разработан комплекс программ, позволяющих строить многочлены практически любой степени, наименее отклоняющиеся от нуля, а также от заданной функции с весом. С помощью этой программы удалось построить многочлены высоких степеней, которые используются для построения явных методов второго и третьего порядков.

Практическая ценность.Предложенные в диссертации методы можно использовать для решения нестационарных задач. Метод, предложенный в главе I, можно использовать для решения дифференциальных уравнений с большой точностью, в которых сохраняется норма решения. И к разностному решению предъявляется также требование сохранения нормы решения. Метод, предложенный в главе 2, предназначен для решения жестких нестационарных уравнений. Метод, предложенный в главе 3, внедрен в программе DUMKA(автор Лебедев В.И.) и широко применяется для решения систем обыкновешшх дифференциальных уравнений. Описанный в главе 4 комплекс программ BERN предназначен для построения многочленов, наименее отклоняющихся от нуля, а также от функции, с весом в равномерной норме на конечном отрезке. Ее особенность в том, что степень многочлена наименьшего отклонения, который можно

построить с помощью этой программы, практически не ограничена, поэтому ее можно применять для решения задач аппроксимации, когда степень многочлена велика.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах ИВМ РАН, на научных конференциях МФТИ в I988-I99I годах.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена повышению точности схемы Кранка-Никлсон путем специального выбора переменных шагов по времени, а также построению метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности, который сохраняет норму численного решения кососимметричных задач.

В §1 строятся методы 4,6,8-го порядков точности для линейных однородных уравнений du

--= Au . (1)

dt

Используется цикл из нескольких шагов по схеме Кранка-Никлсон, а шаги выбираются так, чтобы разность между точным и приближенным решениями задачи (I) после этой серии шагов была порядка 0(1"), где п=5,7,9.

В §2 на основе найденных в §1 параметров строится метод Рунге-Кутты, сохраняющий норму решения уравнения (I) и имеющий 4-й порядок точности для нелинейных уравнений.

В §3 с помощью методов, описаннох в §1, решается задача дифракции.

Во второй главе рассматривается метод решения жестких

- 8 -

задач на основе схемы Кранка-Никлсон.

В §1 исследуются свойства схомы Кранка-Никлсон.. при решении жестюгх задач. На примере решения линейного однородного уравнения Лд

- = -Аи ,

где. А -самосопряженная положительно определенная матрица и отношение максимального собственного числа К минимальному велико(. Лтах/А-т1п»1), показано, что, несмотря на то, что схема Кранка-Никлсон имеет второй порядок точности по времени и является абсолютно устойчивой, точное решение может существенно отливаться; от приближенного. Это связано со свойствами оператора перехода в этой схеме.

В §2 , показано, что если, при,- решении жестких задач выбирать переменные шаги по.,;времени, то численное решение будет лучше приближать точное решение задачи, причем после серии; из ш особым образом выбираемых шагов т± метод Кранка-Никлсон можно сделать асимптотически

устойчивым.Показано также, что эти шаги связаны с корнями эллиптических функций Якоби и их следует выбирать по формуле!

Тт-1+1= 2(Хт«()п(—- К* СП).Т]))~1. 1=1,...,ш, (2) ' 2п

где т- выбираемая особым образом длина цикла.

В §3 излагается удобный способ выбора параметров (2). В §4 решается задача теплопроводности и сравниваются

метода с постоянным шагом и метод с серией из ш шагов, выбираемых по формулам (2).

Третья глава посвящена явным методам решения жестких задач.

В §1 вводятся основные понятия теории методов Рунге-Кутты. Вводится понятие функции устойчивости, области устойчивости, вещественной области устойчивости и ставится задача построения методов с увеличенной областью устойчивости.

В §2 формулируется явный метод, для которого в §3,§4 и §5 описывается способ выбора параметров, дающий явный метод второго порядка точности с увеличенной вещественной областью устойчивости. Показано, что параметры схемы надо выбирать в соответствии с корнями некоторого многочлена, который в точке 0 обладает свойством:

Q(0)=1 , (Q*(0)2=Q'(0) , (3)

а.отрезок, на котором |0(МКт|$1, где т) - некоторая константа, максимально возможен среди всех многочленов, обладающих свойством (3).

В §4 исследуются свойства таких многочленов. В частности, показано, что катоды, использующие параметры этих многочленов, позволяют делать средний шаг в 0,81т раз больше, чем в явном методе^ Эйлера, где m-число' вычислений'правой части (количество стадий в методе).

В §5 описан рекомендуемый алгоритм выбора . параметров для практических вычислений.'

- 10 -

В §6 содержится сравнение предлагаемого метода второго порядка с переменными шагами по времени и метода первого порядка с переменными шагами по времени на основе чебышовских многочленов.

В главе At §1 описывается алгоритм, который ложит в основе программы построения многочленов, наименее отклоняющихся от нуля или от функции с весом. Описывается также программа BERN, в которой реализуется этот алгоритм.

В $2 приводятся примеры работы программы BERN. В частности, строятся многочлены, которые необходимы для построения явных методов из главы 3, а также многочлены для метода третьего порядка. Таблицы -этих и других полезных многочленов приведены в приложении.

Основные результаты диссертации опубликованы, в следущих работах:

1.Явные методы решения нестационарных задач //Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики.-М., ОВМ АН СССР, 1989.

2.Решение одной "нетрадиционной" задачи //Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. М., ОВМ АН СССР, 1989.

3.00 оптимизации явных методов решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Новые информационные технологии- теория и приложения. 1992.

4.The dynamical model for the age structure of reseaoh etaff by taking the productivity ,fao tor into aooount. //Много-

• - II -

критериальные динамические задачи при неопределенности. 1991 (Совместно с Тереховым А.И.)

б.Схемы Кранка-Никлсон повышенной точности с переменными шагами по времени для решения нестационарных задач с кососимметризуемыми операторами. Принято в печать в Russian Journal of Numerical Апа1ув1в. (Совместно с Лебедевым В.И. и Казаковым А.Н.)