Составные явные схемы решения параболических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

1 Двухуровневые схемы интерполяционного типа

1.1 Одномерный пример. Сходимость в С.

1.2 Исходное семейство двухуровневых схем

1.3 Вспомогательные полиномы и некоторые неравенства.

1.4 Устойчивость по начальным данным.

1.5 Устойчивость по правой части

1.6 Схемы с чебышевским набором параметров.

2 Схемы итерационного типа

2.1 Исходное семейство явно-неявных схем.

2.2 Устойчивость по начальным данным.

2.3 Устойчивость по правой части

2.4 Выбор параметров схемы.

3 Многоуровневые схемы

3.1 Исходное семейство явных схем.

3.2 Каноническая форма многоуровневых схем.

3.3 Устойчивость по начальным данным.

3.4 Устойчивость по правой части

3.5 Декомпозиция области.

Хорошо известны достоинства и недостатки явных схем численного решения нестационарных краевых задач математической физики. Главным недостатком следует считать чрезмерно жесткое условие устойчивости явных схем с постоянным по времени шагом, из-за которого они практически исключены из вычислительной практики. С другой стороны, при решении сложных задач реализация явных схем несравненно проще неявных, в которых решение приходится, как правило, находить более сложным путем - применяя итерации.

Рассматриваемые в общем комплексе три проблемы: методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка, разностные или вариационно-разностные методы решения нестационарных задач математической физики и методы распараллеливания алгоритмов для многопроцессорных ЭВМ - побуждают вернуться еще раз к исследованию эффективности явных разностных схем, которые в описанной ситуации допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.

Собственно данная диссертация посвящена построению и исследованию нового класса схем, для которых мы используем название "состав-ные"схемы. Хотя для этих схем целесообразнее использовать слово "многоуровневые", но в связи с тем, что в первых двух главах рассматриваются двухуровневые схемы, а многоуровневым посвящена лишь третья глава, то в названии диссертации используется термин составные явные схемы. В этом предисловии мы по традиции приведем некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, конкретизируем цель исследования, а также остановимся на научной новизне результатов. В конце будет сказано несколько слов о структуре диссертации.

Следующие факторы обуславливают актуальность данной тематики. Во-первых, это возрастающая практическая потребность в моделировании процессов химической кинетики, нестационарной диффузии и теплопроводности в реальных объектах. Кроме того, существует ряд задач, которые характеризуются существованием у решения участков типа по-гранслоя и сравнительно больших участков, где решение меняется асимптотически линейно по времени или выходит на стационар. В такого сорта задачах особенность решения реализуется лишь в небольшой области. Именно на такие задачи и ориентированы предложенные в данной работе алгоритмы. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. А явные методы, как уже упоминалось, обладают универсальными возможностями для распараллеливания. При использовании многоуровневых явных схем особенно хорошо проявляется возможность разбиения задачи на последовательность простых подзадач, не зависящих друг от друга, которые одновременно можно решать на нескольких процессорах. В-третьих, алгоритмы должны быть надежными, а для этого необходима теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики. Таким образом, целью работы является построение и исследование новых классов экономичных явных схем.

Теперь кратко остановимся на научной новизне полученных результатов.

В диссертации предлагаются три новых подхода к конструированию явных схем решения краевых параболических задач, а именно, в главе 1 строятся двухуровневые явные схемы интерполяционного типа, в главе 2 - двухуровневые явные схемы итерационного типа и в главе 3 - многоуровневые явные схемы на основе сопряжений, соответствующих задаче Неймана. Ниже мы более подробно остановимся на различиях в этих схемах. В основе каждого из подходов лежит блочное представление оператора сеточной задачи с существенно различными спектральными свойствами блоков.

Для каждой из схем доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и правой части. При этом основным результатом следует считать тот факт, что устойчивость обеспечивается независимыми для каждого из блоков условиями, а при рассмотрении многоуровневых схем условия устойчивости также не зависят и от количества уровней.

Наряду с исследованием устойчивости двухуровневых явных схем с постоянным по времени внутренним шагом в п. 1.6 главы 1 исследованы двухуровневые явные схемы с переменным внутренним шагом, с целью ослабления требования на количество внутренних шагов.

В пункте 1.1 главы 1 на примере одномерного уравнения теплопроводности доказана сходимость в С сеточного решения задачи к точному. В пункте 3.5 главы 3 исследован вопрос об аппроксимации и приведены соответствующие оценки.

И, наконец, несколько слов о структуре диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, а также краткое содержание всех глав. Собственно материалам исследования посвящены главы с первой по третью. Для удобства чтения каждая глава предваряется кратким введением. Заключение содержит список полученных результатов. Список литературы содержит 58 наименований. Ссылки на первоисточники даны во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексными номерами. В диссертации принята сквозная трехиндексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру пункта главы, третий - номеру формулы или утверждения данной главы.

Заключение

В данном пункте мы приведем краткий перечень полученных в диссертации результатов.

В диссертации предложены три новых класса схем для решения краевых параболических задач, а именно: двухуровневые явные схемы интерполяционного типа, двухуровневые явные схемы итерационного типа, многоуровневые явные схемы на основе сопряжений, соответствующих задаче Неймана.

Для каждой из схем доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и правой части, и показано, что условия устойчивости локализуются.

Исследованы двухуровневые явные схемы с переменным внутренним шагом, с целью ослабления требования на количество внутренних шагов.

Для двухуровневых явных схем на примере одномерного уравнения теплопроводности доказана сходимость в С сеточного решения задачи к точному.

Для многоуровневых схем в рамках метода декомпозиции области исследован вопрос об аппроксимации и приведена оценка Я1(П)-нормы погрешности между точным решением и сеточным.

1. Абрашин В.Н., Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. 1. // Дифференц. уравнения,— 1993.- Т. 29, №4 С.673-688.

2. Банушкина П.В. Двухуровневые явные схемы итерационного типа. // Труды конф. молодых ученых. — Новосиб., 2001. — ИВМ и МГ СОРАН С.21-29.

3. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики. // Журн. вычисл. математики и мат. физики.- 1989. Т.29, № 6 - С.902-914.

4. Вабищевич П.Н. О разностных схемах на локально-сгущающихся сетках по времени // Изв. вузов. Математика. — 1995. — № 4, С.22-28.

5. Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с переменными шагами по времени // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. — 1994.4, С.5-11.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

7. Дарьин Н.А., Мажукин В.И., Самарский А.А. Конечно-разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток, динамически связанных с решением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. - Т.28, № 8 - С. 1210-1225.

8. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.

9. Дробышевич В.И. Разностные схемы с различными временными шагами в подобластях для решения многомерных уравнений // Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, № 3 - С.534-542.

10. Дробышевич В.И., Лаевский Ю.М., Яушева JI.B. Алгоритм решения параболических уравнений с различными временными шагами в подобластях. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. — Препринт, № 855.

11. Зельдович Я.Б и др. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.

12. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). — Новосибирск: Новосибирский госуниверситет, 1999.

13. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов решения многомерных параболических уравнений. — Новосибирск: Новосибирский госуниверситет, 1993.

14. Лаевский Ю.М. Проекционно-сеточные методы решения двумерных параболических уравнений. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН, 1987.

15. Лаевский Ю.М. О методах решения сеточных параболических задач, основанных на окаймлении матрицы. // Сиб. мат. журнал — 1998 — Т.39, № 6 С. 1322-1335

16. Лаевский Ю.М., Банушкина П.В. Об устойчивости двухуровневых явных схем // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2001. — Т. 4, N2 1. — С.107-109.

17. Лаевский Ю.М., Банушкина П.В. Составные явные схемы // Сиб. журн. вычисл. матем. 2000. - Т. 3, № 2. - С.165-180.

18. Лаевский Ю.М., Гололобов С.В. Явно-неявные методы декомпозиции области решения параболических уравнений // Сиб. матем. журн. 1995. - Т.36, № 3. - С.590-601.

19. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991. - Вып.8. - С.237-291.

20. Лебедев В.И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений — М.: ОВМ АН СССР, 1987 Препринт, № 177.

21. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах // ЖВМ и МФ. — 1973. Т.13, № 1.

22. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе J J ЖВМ и МФ. 1971. - Т.11, № 2.

23. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных че-бышевских параметров в итерационных методах // ЖВМ и МФ. — 1976. Т. 16, № 4.

24. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. //М.: ИПМ АН СССР, 1984 Препринт, № 98.

25. Матус П.П. Об одном классе разностных схем на составных сетках для нестационарных задач математической физики // Диф. уравнения 1990 - Т.26 № 7 - С.1241-1254.

26. Матус П.П. К вопросу построения разностных схем для многомерных параболических уравнений на адаптивных сетках // Диф. уравнения 1991 - Т.27 № 11 - С.1961-1971.

27. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений второго порядка в подобластях // Диф. уравнения 1993 - Т.29 № 7 - С.700-711.

28. Матус П.П. О разностных схемах на составных сетках для гиперболических уравнений // ЖВМ и МФ 1994 - Т.34 № 6 - С.870-885.

29. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений в подобластях // Диф. уравнения — 1993 Т.29 № 7 - С. 1222-1231.

30. Матус П.П. Об одном классе разностных схем для нестационарных краевых задач математической физики. — Минск: Ин-т математики АН БССР, 1989. Препринт, № 23(373). - С.ЗО.

31. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. — Новосиб.: Наука, Сиб. предприятие РАН, 1997.

32. Оганесян JT.A., Руховец JI.A. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. — Ереван: Изд-во АН Арм.ССР, 1979.

33. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноритский И.Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979.

34. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.

35. Самарский А.А. Теория разностных схем. — 3-е изд. М.: Наука, 1989.

36. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

37. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979.

38. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. О.О. Филиппова. М.: ИПМ АН СССР, 1988.

39. Banushkina P.V. Two level iterative type explicit schemes // Bulletin of tne Novosib. Сотр. Center — Series: Numerical Analysis — 2001. — № 10 C.l-10.

40. Banushkina P.V. The compound explicit schemes // Bulletin of tne Novosib. Сотр. Center — Series: Special Issue — 1999. — C.l-7.

41. Byrne G.D., Hindmarsh A.C. Stiff ODE Solvers: A Review of Current and Coming Attractions // Jour, of Сотр. Physics. — 1987. — V.70 — P.1-62.

42. Davis S., Flaherty J.F. An adaptive finite element method for initial-boundary value problems for partial differential equations // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1982. - V.3 - P.6-27.

43. Drobyshevich V.I., Laevsky Yu.M. An algorithm of solution of parabolic equations with different time-steps in subdomains // Rus. J. Numer. Anal. Math. Model. 1992. - V.7, № 3. - P.205-220.

44. Ewing R.E., Lazarov R.D., Pasciak J.E., Vassilevski P.S. Finite element methods for parabolic problems with time steps variable in space. — Wyoming: Univ. of Wyoming, 1989. Report 1989-05. - P.23.

45. Ewing R.E., Lazarov R.D., Vassilev A.T. Adaptive techniques for dependent problems. // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. — 1992.- V.101 P.113-126.

46. Ewing R.E., Lazarov R.D., Vassilevski P.S. Finite difference schemes on grids with local refinement in time and space for parabolic problems. I: derivation, stability, and error analysis // Computing. — 1990. — V.45.- P.193-215.

47. Ewing R.E., Lazarov R.D. Approximation of parabolic problems on grids locally refined in time and space. // Appl. Numer. Math. — 1994,— V.14.- P.199-211.

48. Ciarlet Ph. The Finite Element Method for Elliptic Problems. North-Holland, 1978.

49. Gropp W.D. Local uniform mesh refinement with movings grids // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1987. - V.8. - P. 292-304.

50. Hedstrom G.W., Rodrique G.H. Adaptive-grid method for time-dependent partial differential equations. // Lect. Notes Math. — 1982.- V.960. P.474-484.

51. Laevsky Yu.M. The use of Lanczos polynomials for solving parabolic equations. // Numerical Methods and Applications. — Sofia: Publishing House of the Bulg. Acad, of Sci., 1989. P.244-249.

52. Laevsky Yu.M., Banushkina P.V. Multilevel explicit schemes and their stability. // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modeling 2001 — V.16, № 3. - C.215-233.

53. Lanczos C. Chebyshev polinomials in the solutions of Large-scale linear systems. — Proc. Assoc. Comput. Mach. — Toronto, 1953. — pp. 124-133

54. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with time-variable steps for solvings stiff systems of Equations. // Sov. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1989. - V.4, № 2.

55. Litvinenko S.A. On the explicit-implicit domain decomposition method without overlapping for parabolic problems // Bull. NCC., Numer. Anal.- 1995. Is.6 ~ P.43-60.

56. Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference schemes on the grids locally-refining in space as well as in time // Advances in Numer. Methods and Applications. — Singapore: World Scientific, 1994. — P. 146-153.

57. Osher S., Sanders R. Numerical approximations to nonlinear conservation laws with locally varying time and space grids. // Math. Comput. 1983. - V.41. - P.321-386.

58. Revilla M.A. Simple time and space adaption in one-dimensional evolutionary partial differential equations. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1986. - V.23. - P.2263-2270.