Задача Бицадзе-Самарского для аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правам рукописи

Задача Бицадзе-Самарского

для аналитических функций

Специальность! 01.01.02« - дифференциальные

уравнения

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени кандидата фпзпгсо- математических наук

Владимир 1998

Работа выполнена на кафедре алгебры Владимирского государствен ного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор А. П. Солдатом

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Ю.А. Алхутов, кандидат физико-математических наук, доцент В. Б. Васильев

Ведущая организация — Московски!! авиационный

инсгнтут

Защита диссертации состоится .................. 1096 г. в ........ часов на

заседании диссертационного совета К.313.31.01 при Влзднмирскон государственном педагогической университете по адресу: 600024, Владимир, пр-т Строителей, 11, ауд. 236.

С даесертацпаП мокко ознакомиться б библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослал...................... Ш6 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном кед&гопзческоьз университет« кандидат физико-математпчеашх наук, доцент

С.Е. Степанов

Общая характеристика работы.

Актуальность работа:.

Новые постановки ?лл1!птнчсскнх задач с нелокальными краевыми условиями, которые возникают, например, в теории плазмы были сформулированы в работе Л.В.Бнцадзе, Л.Л.Самарского [1].

Различные варианты и обобщения эллиптически;: задач с нелокальными краевыми условиями рассматривала, о работах Л.В.Бицадзе, А. А.Самарского, Д.Г.Гордсзнани. Т.Ш.Кальменова, Я.А.РоНтберпг, Л.Л.Схубачевсхого, А.П.Солдатова н друге:; авторов.

В работах А.Л.Схубачсвсксго эллиптические задачи с нслокалыш-

аласса.Всс три класс» задач рассматривались А.Л.Схубачесскин, им был развит едины.-; истод исслсцопаяия разрешкместа я описана гхевм-птотнна решен;:!! вблизи границы для всех трех классов.

Следует отметить и некоторые другие работы по исследованию з.г-линтических задач с нелокальными краевыми условиями.Так например,классы единственности решений задач изучались В.М.Еорок • и М.А.Перельманом. А.А.Дезин, а в последствии его ученики, рассматривали теорию дифференциальных операторов с краевыми условиями,связывающими значения искомой функции и ее производных.

Эллиптические задач;; с красными условиями,содержащими интегралы от искомой функции и ос производных возникают при исследовании днффузорных процессов.

В монографии А.П.Солдатова [2] изучается так называемая общая краевая зздача,которая является вообще говоря нелокальной и рассма-трнвется она в рамках весового пространства Гсльдера Я^д, где ц показатель, а Д = (А, )" — весовой порядок. Для этой задачи получены теоремы нетеровости, гладкости и ассимптотикн, а также изучены вопросы ее решения.К общей красной задаче приводятся многие известные краевые задачи теории функций.

Цель работы.

В рамках подхода [2] изучается задача с краевыми условиями типа Бицадзо-Самарского для аналитических функций со сдвигом внутрь области и концами, совпадающими с угловыми точками области.

Общая методика исследования.

В диссертации используют методы теории нетеровых операторов, теории функций комплексного переменного и функционального анализа.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты;

1. Сформулированы и доказаны теоремы нетеровости задачи типа Бицадзе-Самарского, получена формула индекса. Исследованы нули концевого символа задачи. Сформулирована соответствующая однородная союзная задача. Получены условия разрешимости.

2. Дала классификация задачи в зависимости от геометрии сдви-га,проведен сравнительный анализ различных случаев задачи.

3. При некоторых ограничениях на коэффициенты в краевых условиях описаны в явном виде множества нулей концевого символа и подсчитан индекс для различных случаев задач.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты,полученные в диссертации носят теоретически!! характер.Они могут быть использованы для исследования краевых задач теории функции и их приложении.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на конференции по дифференциальным уравнениям в Сухуми (Сухуми, 1987), на конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям математической физике и специальным функциям в Самаре (Самара, 1092), на научном семинаре под руководством профессора А.И.Солдатова в Новгородской государственном университете (Новгород, 1995), на научном семинаре под руководством профессора В.В.Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете (Владимир, 1995, 1998),

Публикации автора.

Содержание диссертации отражено в работах автора [з!-[6].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих девять параграфов,списка литературы из 36 наименований, включая работы автора Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста

Содержание работы

Введение содержит краткий обзор работ, посвященных исследованию краевых задач теории функций, а также описание основных результатов,полученных в диссертации.

Глава 1 состоит из двух параграфов.В первом параграфе приводится определение функционального пространства Я„,д, в котором рассмаг тривается задача, а также дается постановка задачи.

Постановка задачи.

Пусть О односвязная область,ограниченная простым кусочно-гладким контуром Г .Контур Г ориентирован положительно по отио-™с!1!!!с " сбл^ст" ~ ,т.е. прм обходе гго п чтп« ияпплплрпии область О остается слева.Гладкие дуги,составляющие контур Г .занумеруем Гц Г,,..., Г. в направлении обхода,а их концы соответственно П. »"з. •■• I т* .Зададим диффеоморфизм а дуга Г, внутрь области О, причем концы Г0 = «(Гг) совпадают с угловыми точками контура Г ,

Рассмотрим следующую задачу Я . Н айти аналитическую в области Ю функцию Ф(*) по граничному условию

Пе[сг(0* + (*)-<г,(1)ф(«(0Н = 4(0,1 ег„ ..

к«[О(*)* + (0] - Фи), ( € г \ IV к '

Задачу (1) будем рассматривать в весовом пространстве Гельдера П„А = Я„,д(£Г;т1,г3,...,г„), где О </У < 1, А = (Ах, Л 3,..Л „), А, € Л . Оно определяется как совокупность функций ф(г), представимых в виде ф(г) = ф0(г)ПГ1(г - г,)*'"'', где ф0(г) Я„ -непрерывна, Мту) = 0, > = 1,2,...,п, относительно нормы = \ф0\а, это пространство банахово. Если А = то Я,.,д совпадает с множеством {ф € ИЙ(о)гф(т^ = О, ) = 1,2...,п}. Функции ф(г) принадлежат ЛГ^.л имеют степенную особенность порядка Ау в окрестности соответствующих концевых точек. В дальнейшем полагаем, что дуги Г, и функции С7(<), г € Г,, / = 1,2, ...п принадлежат, соответственно, Я'+1 и Ям+, с некоторым с > о.

В случае, когда <30(0 = о задача (3) переходит в классическую задачу Римапа-Гильберта, исчерпывающее изложение которой можно найти, например, в монографиях Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахова и других. При О0(0 4 0 задача (1) относится к типу Бицадэе-Сампрското [1].

Задачу (1) отнесем к нормальному тину,которое заключается в выполнении условия: G5(t) ^ 0, t е Г,, G(r, ± 0) 4 3 = 1,2, ...,п, где 0,(() сужение функции G на соответствующие дуги.

Так как в краевые условия задачи Л входит диффеоморфизм а, то отдельный параграф посвящен классификации задачи (1) в зависимости от геометрии сдвига. Пусть т, - а(т,), т„ = а(г3) концы ориентированно« дуги Г0, считая п её началом, а тт -концом. Дуга Г0 делит область D на две компоненты Dlt ü-¡, границы которых обозначим ÔZ>i и àDj, соответственно. Пусть дуга Г0 = ^ тхтг содержится в ¿Ш,, тогда по отношению к компоненте D2 рассмотрим два случая.-

1. Дуга Го ориентирована положительно ( т.е. оставляет D3 слева ).

2. Дуга Г0 имеет отрицательную ориентацию.

В случае 1 задачу (1) назовём "задачей с прямым сдвигом" и закрепим за ней обозначение Л+ . В случае 2 задачу (1) назовем "задачей с обратным сдвигом" и обозначать её будем Л~ .

Каждая из задач Я+ и Л" включает в себя три варианта взаимного расположения дуг Г0 и Г, :

случай А - дуги Г0 u'r¡ имеют два общих конца, случай В - дуги Г0 и Г! имеет один общий конец, случай С - дуги Г0 и Тх не имеют общих концов. Следует отметить, что в случае I! контур Г содержит не менее трех дуг, а в случае С - не менее четырех. Так как в случае В у дуг Г0 и Г, общим может быть конец тх или т2, поэтому этот случай разделен на два - Bi и В}, соответственно.

Положение дуги Г0 внутри области D оказывает влияние и на весовые порядки. Для задачи /¡+ :в случае А на X, ограничений нет, в случае BxiBî) А, = А, (А3 = Ат) и в случае С А! = А,,А3 = Am,l > m > 2. Для задачи Я" : в случае А А, = Л, , в случае В,(Ла) А, = а, = А, (А] = А3 = А„ ), в случае С Ai = А(. А3 = A„,m > I > 2.

В ыалой окрестности концевых точек область D распадается на криволинейные сектора. Величины растворов внутренних секторов области D с вершинами rj обозначим Û,, j ^ l, m . Так как дуга Г0 делит соответствующие сектора на две части, то величины их растворов обозна--чим 6i и ó'¡,j = l,m,т.е 6, - в\ + й/',у = i,m . Условимся считать, что сектор величиной расположен в В,, а сектор величиной в'. - в Dit j = Í,m .В дальнейшем предполагаем, что 0 < < 2= 1,2, ...,n .

Во второй главе сформулированы основные результаты для задачи П.. В параграфе 3 доказывается критерий иетерсвсста для задачи Н*

Для формулировки основного результата для задачи Л+ введем кон-девой символ, который определим как набор целых функций *>(<), а также вспомогательные функции х°(<), которые имеют вид: 1) в случае А

з, (0 »

ехр(2»в>0 " а) I 1( + + 6> | «'(ту) 1« еХр(.г?;С) - « 1,2; ¿у -ехр(21ЙУ0.> = 3,4,..., п

( (1 -

1 1 - ехр(21(?у<},У =г. 3,4,..., п.

- »«лЛЬ'Д^/'П ; ^ I Г

2) в случае 0!

«у(С) =

• хр(2|0,О - а, | <у'(п) «Р(«"(в{ + 2в")0 + + »« |в'(п) |С е«р(»в,'С)-е|.Л - >»

-ехр(2.б30)(^т — ехр(2.0„<)),> = т, - ехр(2.^(),У ^ 1,2,т.

(1 -ехр^ОЮ -ехр(2«<0).> = 1, (1 -ехр(2.СС))(1 -ехр(2<0)(1 -«Р(2»С3С)),; - т,

1 -ехр(И9¿0,3 4 1.2,т

3) в случае В2

*Ж>

ехр(2,й30 " »1 | «'Ы |С +

+ | «'(г,) |с ехр(«*;0—= 2, -ехр(2|0,<))(«/, -ехр(2М,0),У = -ехр(2.'9уО.; 4 1.2,/

о

X . =

(1 -ехр(2«;<))(1 -е*р(2ЭД).> = 2,

(1 -ехр(2|0;О)(1 -ехр(2»ГС))(1 ~ ехр(2.£?,О),> = 1 -*хр(2.'0;О,> 4 1.2,1

4) в случае С

*ло «

(di -ехр(2«-0аО)(^т -exp(2i-0mC)),j = m, (dt - exp^iô, <))(<*, -exp(2.ô,0),.> = l, dj -exp{2 iûjOJ ^ 1,2,1, m

-ï-

0 -ежр(М'яО№ -ехр(2<0)(1 -exp(2t0af)).i = »».

{1 -exp(2iÔÎ<)){l -ехр(2.Й,"0)(1 -«p(2if?lC))l; = i,

1 — exp(2iÔ,(),j ^ 1,2,l,m

Коэффициенты aj,bj,cj,dj определяются коэффициентами G(t) и Q0(t) краевых условий (1).

Пусть S/(() равно кратности нулей функций i,(u) в точке и = С. если г, (С) = о и л,«) равно нулю в противном случае. Тогда имеет ыесто следующая

Теорелш S. i. Задана (I) нетерова в пространстве тогда и

только тогда, когда она нормального типа и выполнены условия

гу (О 4 0 т прямой Re < = А, (2)

При выполнении условий (£) индекс задачи дается формулой

œ = Юг + sa j + 2 (3)

где полагаем

1 *

»г =--E&rgG(i)|r,,

од

\i»l Sy(C)l-.-i«/ jel V IJ

е > 0 л!ало так, что в полосе {—с,о} нет кулей функций ,

суммирование во вторш слагаемом ведется по всем точкам в полосе {А,;—г}, знав "+"берется в случае, когда А, < —е , знак в противном случае.

В параграфе 4 доказывается критерий иетеровости для задачи Я" . Также как и случае задачи Я+ , вводим концевой символ, который определим как набор целых функций г,«), а также вспомогательные функции е°(() , которые имеют вид ;

S

1 ) в случае А

(•xp(3«0i() - а, I в'(гя) |С ехр(«(0; + 29")С) + + 4, |в'Ы |( •»píifl'jO-c,) МО = (ехр(2,ЪО - «a I |( exp(i(*i + 2*а")С)+

+ hl»'ír,)l< expWO -c3)J = 2,

dy - exp(2¿0,<).¿ = 3,4,...,n

¡ (1 - ежр(2,Г10)(1 - e»p(2ieJ'C))(l ~ exp^O) = | (l-e»p(«9?0).i = 2,

1 1 — exp(2í0,C), i = 3,4,...,n

оЛ n r.nv4M fl,

[ (-exp(2.^0 + а, I <*'(r2) «p(i(í; + MÎ)0 +

. , j («'(rOl'wpKO + ei)

" ] (d, - exp(2¿0,<))(d3 -e«p(3»íaO).J - ' l d, -«p(2i(?jC),j ^ 1,3, i

í (1 - вхр(2«в'1С))(1 - exp(2i0"C))(l - ezp(2tÔ30) = (1 -e*p(2¿fl{C))(l -exp(2<'C)),J = l 1 — exp(2t'0jC),/ 4 1,2,1

3) в случае

«,(0 =

(-e*p(3iía<) + a, I o,'(n) |c «*p(«(0; + 2<K)+ + i3|a'(r1)|{ exp(,ôiC) + c3) (d, -exp(2¿0lC))(dra -exp(2»0„()),i = m d, - ехр(2.ауС),;' ^ 1,2, m

( (1 - а*р(2.'в;0)(1 - exp(2«0;'O)(l - ехр(2.0гО) *J « ( (1 -ехР(2<0)(1 -exp(2¿C0).J = m, I I -ехр(2.'0,О.У ¥ 1.2, m

4) в случае С

í (dj -exp(2.Ô3<))(dm -exp(2¿0ra<)),j = m,

хДО s I (d, -ехр(2.'0,О)(<Л -e*p(a«i0).i -I dj - exp(2¿0yO.J 1.2,/, m

(1 -ехр(2«е;<))(1 -exp(2<C))(l -«p(2«,C)).i = ш) = (1 -crP(2iC0)(l -«P(2<C))(1 -ехр(2.Й30).У =

. 1 -exp(2«'0,<),/ f!l,2,l,m

Тогда имеет место следующая

Теорема 4. 1. Задача R~ нетерооа в пространстве Н,,ш\ тогда и только тогда, когда она нормального типа и выполнены условия (t). При выполнении условий (£) индекс задачи дается формулой (3).

Как показывают теоремы 3.1 и 4.1 условие нетеровости задачи R тесно связано с нулями функций концевого символа, поэтому парграф 5 посвящен исследованию нулей этих функций.

Обозначим Д-(А,) проекцию на вещественную ось множества точек>-* ytijt таких, что г,-(С) = 0 на прямой Re С = А, . В параграфе 5 описывается структура этого множества и доказывается следующая

Теорема S. 1. Задача (1) нетерова в пространстве Н^х тогда и только тогда, когда она нормального типа и выполнены условия:

(А;) ¿МАЛ (4)

ни при каком значении t. При выполнении условий (4) индекс задачи дается формулой (3),

В параграфе б сформулирована соответствующая однородная союзная задача Рассматривается эта задача в союзном пространстве, которое определяется

(Я*,*У = Я«;-А-1-

Для формулировки союзной однородной задачи введем следующие обозначения: G(t) | dy |= CT'WI, «о(0 =| fi'(t) | G„(fi(i))0~*(р(г)), е = а-\

В пространстве {Ilh.\)' рассматривается следующая задача, которую назовем союзной

Re[G(t)* + (i)] = 0,tery, j =1,2.......

+ - »'(0 = o, ¿er0.

Тогда имеет место следующая.

Теорема 6. i.(i') Задача (1) нетерова в пространстве НИ1х тогда и только тогда , когда она нормального типа и выполнены условия (4), т. е.

(*,) t А<АУ),

ни при каких значениях t.

(и) Соответствующая однородная союзная задача имеет вид (5). Задачи (1) и (S) нетеровы в пространствах и (Я„.л)', соответственно. Индексы задач s um' противоположны по знаку. Задача (1) разреши.'.',а тогда и только тогда, когда выполнены условия

£ / ¿(0I«a(Ö(t)« + (0)M = O.

где i> (t) пробегает решения однородной союзной задачи. ¡Три выполнении этих условий индекс задачи дается формулой

а = k - k\

где к и к' число линейно-независил1ых решений задач (1) и (5), соответственно.

Глава 3 содержит три параграфа. Результаты , полученные в теоремах 3. i и 4. 1, для функций концевого символа задач Я" и Л~ , показывают, что х, (С) зависят от геометрии сдвига а . Поэтому в параграфе 7 выясняется эта зависимость. С этой целью введем следующие обозначения.- Л/, = {г,; }, А/а - {»(n); а(га)} . Особую роль будет играть множество М = Л/х П Л/3 .

Как следуег из теорем 3. 1 и 4. 1 функции концевого символа задач Я+ и Я" представляют комбинацию функций двух видов, хоторые здесь обозначим

u(r;0 = d — exp(2i'0£), т fc М,

w(r; О = erp(2 iff С) - а|а'(г)|с ехр(Ц6' + 2*")0+

. +4|а'(г)|сехр(.0'С))+ с, г

Обозначив g = GG-1 , h = GüG~l , введем функции Рг = g(r -0)з(г + 0) , Rr = д(т - 0)s(r + 0) , Qt = g(r + О)Л(г) , Q¡Г = у(г - О)Л(т) ,

F* = д{т + 0)Цт), F~ - ff(r —b)h{r), тогда коэффициенты о(т), i(r), c(r), d(r) определяются следующим образом. Для задачи R*

1) в случае А, М = {г, ¡ г3},

c(r) = Рг,т ем, rf(r) = Pr,r £ Ai, U AÍJ.

2) в случае B,Af = {т0} ,г0 = т, в случае ßi , т0 = г, в случае В3

<• \ / Мг°)'то = т>> ,/ ч / Л,Мг0),гв = п. = I Мго.то = г3, ~ I prth(r0),r0 = r3,

c(r) = Fro, d(r) = r ¿ r0,r € Ai1,

J(r) = Pr,r g Л/j U M¡.

3) в случае С, А/ = 0

( /\,,г ел^ил/з

~ I Рг„г £

Для задачи Л" :

1) в случае А, М = {п; г3}

¿(г) = рГ.г £ А*! им,.

2) п случае В, М = {г0} ,г0 = г, в случае £»1 , г0 = г3 в случае £3

- { ^'г - г '

V ГТ1 ,Го = г2, V У»,. го - Ъ,

(Рт,Т 4 Г0,Г € А/1 Л,,т 4 с*(го),г € ЛГ3,

£ АГ.ил/,.

3) в случае С, Л/ = 0

¿(r) =

P^T €Mj Rrtr = or(r,), Rr,r = or(r3), Pr,r £ A/,Uüa.

Введем вспомогательную функцию

ue(rsO = 1 - exp(2«ÖC),

тогда имеет место

Теорема 7.1. Задана Я нетерова в пространстве ühiy тогда и только тогда, когда она нормального типа и выполнены условия

j u(rîC)î*0,r fEJtf, R* * ' МО, 1 ш(г;<) ф 0,г Uli' 1 '

При выполнении условий (6) индекс задачи дается формулой

S3 = £Ер + ES» + 1,

где полагаемы

1 *

гаг =--£ arg 0(i) |Г<,

* ;в1

u°(riC) riU u°(nO/

Как известно, условие нетеровости задачи R тесно связано с нулями функций концевого символа г,«). Из результатов параграфа 5 следует, что описать множество нулей функций концевого смывала s общем случае произвольных коэффициентов G(t), Oa(t) н величин — внутренних углов области D довольно затруднительно. В явном виде удается описать лишь структуру множества нулей функций Д ( А>). Однако, При УСЛОВИЯХ:

]) Функции G(i) и G0(t) действительные u G(t)Göl(0 = îd, где d > 0.

2) Внутренние углы области £>\Г0 равны, а дуга Г0 делит соответствующие углы на равные части.

удается в явном вида описать Л (А,) и вычислить индекс задачи Я . Поэтому параграфы 8 и 9 посвящены рассмотрению частных случаев задач 11* и Л" со специально заданными условиями (7). В этих параграфам формулируются и доказываются аналга теории 3.1 к 4.1, соотзотстсек-но, для случаев А, В, С задач и Я~ , в явном виде опксываетсл множество нулей концевого символа и вычисляется индекс.

Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору А. П. Солдатозу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях эллиптических краевых задач. // ДАН СССР, 1989, т. 186, N 4, с. 739-740.

[2] Содцатов А.П. Краевые задачи теории функций в областях с кусочно - гладкой границей. Тбилиси.,Изд - во Тбилисского университета, 1991.

Публикации автора по тзме диссертации»

[3] Сидорова И.В. Об одной задаче Бицадзе - Самарского для аналитических функций. // Дифференциальные н интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции. Тезисы докладов, Самара, 1992, 231-232.

[4] Сидорова И.В. Об одной задаче теории функций со сдвигом. //Тезисы дозладоз учредительной конференции Российской ассоциации " Женщины - математики Москва - Суздаль, 3993.

[5] Сидорова 31. В. Об одной задаче теории функций со сдвигом внутрь области. //Деп. ВИНИТИ, 09.07.93, N 1Ö35-B 93.

lo] Сидорова II.В. Об одной задаче типа Бицадзе - Самарского для аналитических функций. //Изв.вузов.Математика, 1995, N 3 (399),

30-56.

ЗАДАЧА БИЦАДЗЕ-САМАРСЛОГО ДЛЯ АНАЛИГИЧЕСШ ШЭДИИ

Подписано к печати S3.05.96

___Заказ jyjLz$£_______________

Отпечатав "а ротапринте ВГПУ Владимир, пр-т Строителей, II-A

Усл.п.л. 0,9 Уч.изд.л. 1,0

г

Формат 60x84 I/I6

Тираж IC3 экз. .„> . . j_____