Задача инициализации в теории дифференциальных и интегродифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОДЕССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСагДАРСТВШНМИ УнИВЕРСИТЕТ ш.Л.Й.МЕЧНИКОВА

На правах рукописи ШОМШОВ Норбобо Ямаикулович

ЗАДАЧА ШШШЛЙЗАШИ В ТЕОРИИ ДИМБРШЩЛЬНЫХ

и штЕгтодаФзззРЕГ^шьнах уравнишй

(01,01,02 - ди^йвронщшльныв урашекия)

,Автореферат диссергации на соискание ученой степени кандадагв физико-математическкх наук.-.

Одесса - Х992

/

/ .

Работа выполнена на кя^одре математического анализа Самар. индского государственного педагогического института шеьа С.Л!:нп.

Научный руководитель •• дохгор физико-математических наук ■члон-корр. АН Республики Узбекистан» профессор А.НЛШТОБ

Официалент оппоненты: •

- доктор фязвкочогвнагйчэскиг. наук профессор 'Г.Г.СТР'.ЕАК

- кандидат Физтао-матоматических наук доцент Т.С.ЯВПРКЮМ

Ведущее учреждение - Российский государственный педагогический университет,

Ращетл состоится *Ь>у* ШОН^Я- 1902 г* В чао,

па эпоодан:ш специализированного совета К 068.24.10 при Одесском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете ям. И.'Л.Мвчникова.

б диссортацйеП можно оэяакомятьоя в библиотеке Одесского государственного унизероигега юи И,И,Мечникова.

Автореферат разослан

(¿б&Я^ 199?. года

Ученый секретарь епацпадкзпроваклого оовета

К 068.24.10 доктор Яляико-математических наук

кротов а.г. .

СЩЛЯ ХЛРЛКТЖСГГКА РЛГОТТ;

Актуальность г е м и. Проблема прогноза пого-а вццвннула задачу' инициализация'. Суть это:"; задачи состоя? в недущем.

При численном интегрировании атмосферных моделей з реию-возникают волны двух типов - волны Россби и гравитационные' элны. Волны Россби связаны с. модлзшшш движениями, и они,как равяло, низкочастотны. Зги волны ваяяы 'для успваяого гздроди-амического прогноза погоды. Гравитационные волны не судёст-енны для прогноза. Они пречеташшог сойой высокочастотные ко-ебания, причем в силу несогласованности начальных полей, а акке неизбежных погрешностей, в них содержащихся, при- числен-о« интегрировании амплитуда гравитационных .волн получается эреально большой. Появление гравитационных высокочастотных олн большой аиплитуды искажает истинное решение и затрудняет, го анализ. ' '

Задача инициализации состоит-в ток, чтобы построил алго- ' итм вкделения ыедленннх: движений1 в подавления'- высокочастотных вяквний» Следует заметить, что нри;э|ом;;рас,скатр;?ваемая,:систе- у, а. является сингулярно возмущенной. -Повтоуу для рзшеяия задачи яициализацпи- естественно использошг^'аскшгототескю методы,- ;

Наиболее элективным методом для.решения; задачи, инициали-ация оказался метод регуляризации, развитый С.А.Ломовыи»

Обычно уравнения атмосферных моделей (уравнения в частных : роизводшя)' с помощью метода Гале'ркина записывают в- спектраль-'^ • {' ой форме, то есть в форме обыкновеннше диф$орвнциальй№:урав- ' . ений. Поэтому задачу инициализации рассматривают для систем :

обыкновенных сингулярно возмущённых дифференциальных уравнении .

В моделях то ори; климата, а тагае в задачах колебаний ъпз-коупругах систем, где учитывается предыстория процесса, гли по-лучаом cncTGt/н сингулярно вознуконных пнгегродис|фервнциальннх уравнений.

Перечисленные выпе задачи прогноза погоди, изменчивости климата я теории колебаний вязко-упругих систем определяют актуальность постанови! и решения задачи инициализации для дифференциальных и гатегродк^еренциальних уравнений.

Цель работ и :

- построите алгоритмов решения задачи инициализации для дифференциальных и ¡ютегродгсМяренциальных уравнений; ' ~

- математическое обоснование предлагаемых алгоритмов инициализации.

Научная новизна результатов ксследийанкя заключается в следущем: построены и обоснованы алгоритмы инициализации для систем л;ш9','Н1К н слаболннеШых систем дйлререн-цяальных уравнений; рассмотрены как задача"Коши, так и краевая задача; построены и обоснованы алгоритмы инициализации для систем янгегродяг'фереиниальних уравнений; дано обобценяе (и обоснование) могода ограниченности производной ка ¡игегроди'Меренци-альньге уравнения.

Практическая ценность результатов исследования: полученные в работе алгоритм» инициализации могут быть использованы в гидродинамических.атносферных моделях ив задачах колебаний вязко-упругих систем. Результаты работу могут быть использованы в ИШ Российской Ali, ВЦ СО РАН, Российском

□

гидрометцентре,

Апробация. Результаты работы долодсбны на семинарах лаборатории вэаишдейотвия атыог'Тюры и океана Гвдрометео-цснтра СССР (рук, А.Н.Филатов), ка^адры оатимального управле-дия Одесского государственного университета.(рук. В.А.Плогпиков) , кафедры математического анализа Санаркандского государственного педагогического института, на конференциях, проводив-пяхся в СамГПИ в 19Е9-1991 годах.

И у б л и я а ц и я. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных статьях, пз них три - в соавторстве.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения, трах глав и списка использованной литературы, Общий объем диссертация - 139 страниц машинописи.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЕАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дана постановка задача инициализации, изложены основные результаты, полученные автором,

Б общем случае задача инициализации сгавигоя следующим образом.

Рассмотрим систему нелинейных сингулярно возмущенных ин-тегродифференциальянх уравнений о быстрыми и медленными переменными: ^

О

эс(0,£ЬсСв , , о< £«/ (В,2)

ГДО ОС С. Rn , LjG- üi-n - СООТЧ9ТСГВ9ИНО П - я tu -мер-UKO пекторп; -тункпдк ., .VÍ^S;®,^)

S ,0C;í/) : заданн в области

g: асе Ъп CRn,y eXi С í?^, ¿£<S fy,

Систему (B.I) будем рассматривать при , T

'■0 п р е д о л е н п е. Задачей-шицгсшгаацж для сингулярно..воэмукенно ? скстем» ;м?сгроди:М,ереиииальнюс уравнений вдда (3.1) на отрсзг.е Qí é íT назовем задачу выбора - начальных услопи!: (3.2), "го ость параметров (рС0(£) . (€"i) такж образов, чтобы рошоние системы (Б.1) гли его асимптотическое разложений с эгтаи начальными данными либо не содержало бистро оедялл^рулг.п в:<раяениИ, либо содержало их с амплитудой поря:; ¡а 0(8") , N>A •

В первой главе, состояпе?; кз трех параграфов, рассмотрена задача анкпшизацкя для дг^ореяеталкизс мнений» Задача копается с г:о:ш::ьл метода осгулятаз-:".'.'".. Строятся ас:ш-лготичоспое репешм. Загс» находим условия, при которых 6i;cr-р;;о колебания подавить с точность?) до , /У z 1 ,Q<£«1

Рассмотри« задачу гапшалгаацнп для следуздеГ; системы

= + J(x)u = h(x) , cíx-a.

где 'A - rim - матркда, U - (Ut Un) .

Предполагается, что спектр {'A^-fccíj- , у■= /,/г матрицы А простой и удовлетворяет условию стабильности, то есть i) , ¿tj , Vocе[о,а]/

о .

7 о

2) ■ (эс) -ф. О

> ® отдельных точках и шюжоотвах

огрозга [о, а] *

3) Я^ Сх) ф о , /= 17п^, Яе Лу (х)

Алгоритм роягаяня задачи инициализации в эгок случае состоит в следующем: если начальные данные выбрать согласно соотношениям

и1 = -Х1(о)$«й , и0--Ж1 (о)к-(с) ,

ГО есть 9СЛК положки

ОО .

МО

го асигатотическоб рошояио задачи СI) -(2) не будет содержать быстрых осциллядпЯ, прячем само асимптотичэсков реионйе при та. ким образом выбранншс начальник условиях будет икать вид оо .

Далее в этой главе рассмотрена слэдуэдая краевая задача: (3) , ,Х€[М]

Пусть'' спектр' матрицы А(х) удовлетворяет условиям

I) , ¿а/ТЗЯ;

, ¿«Лл-«;

2) ^¿(ЗС)^ (сс) , ¿/у ;

3 у Х^фо

Результат состоит в следующем. Введем переменные

о X:

. По негоду регуляризации вводится расширенная функция Для у долучаем краевую задачу /"Л

к=0

¿=1

Решение этой задачи .'гнется в виде ряда

о

9 о

Для определения ^ получаем итерационные задачи:

Решение этих итерационных задач выполняется таким образом, чгобы получающиеся решения не содержали бисгрых осцилля-ций. Для этого полагаем

Теорема Г.4. Зсли краевые условия в задаче (3)-(4) выбраны так, что

гдо " »1/ Л

то асимптотическое решение этой задачи будет сметь вид

Решена такта задача инициализации для систему с быстрыми к «одлоняшк перекешшмй вида:

Щи 3 В Ц1- Л, (*) у +. ММЬ -(6) , > Ыи* {*)]/+В1(х)ь=Я(х)

7719

И*) > *еМ V. у*Ц*.У»-,

'У4*

Если спектр матрица А0(х) удовлетворяет .условия*,? которые; наложены на саз игр матрицы А(х) в предыдущей задаче» но алгоритм решения задачи инициализация для.сиотемы (6) отроется примерно га кии же способом, гак я для задачи (3)-( 4).

Последний параграф первой главы содержит решение задачи

' I •

инициализации для слабо нелинейных систем вица (7)

Подробно излагается решение задачи в безрезонансном случав и указывается, каике изменения нугтно внести в изложение,если в оястс-ие (7) имеется резонано. (В этой случав используется ..операция вложения в смысле регуляризации по С,А,Ломову).

Во второй глава изучается задача инициализации для ингогроди^ренциальньк уравнений ввда {8) £ /(ос),

Ц' • •'' • Л (я) <= /1ХП '-""РВД3 •

На спектр матрицы А(х) накладываются те же условия, что [ в дифференциальном случае (стабильность спектра).

Особенность этой задачи по сравнении с соответствующей [адачей для дисМеронциальнше уравнений состоит в том, что нуж-ю провести процедуру регуляризации интегрального члена в (8),

Регуляризация производится по методу С.А.Ломова. Если даст и регулярнзирующие переменные

[ расширенную (Тункцию ^ (Х/Ь, £) . го для ^ получаем за-:ачу Я Г\ *

£ ^ (осЩ -м^км

- ^

Регуляризация интегрального члена производится на фуякци-х пространства п .'•

Решение задачи инициализации для (8) можно сформулировать I ввде следуэдей теоремы.

Теорема 2.2. Задача инициализации'для системы (8) ыеет решение, если

©о ,. , . .

I

где функщш (х) определяются из еле,пущих интегральных

уравнений

X

-J(X) f-+Çk(£X)fCc)d^ fix)

о

ce

-Л мJW> yfroA - - i""1^

Г'®- —

В качестве иллюстрации рассмотрен пример из теории колебаний вяз ко~у других систем:

f ÍKYÍ.S) (j(s,È)ds

Третья глава посвящена обобпению метода ограничен-— кости производной на системы интегродк^форенциальних уравнений toa (7).

Идея метода состоит в следушем. Пусть U> - решение некоторой рассматриваемой задачи, представимое в виде

Ч> te, i, ¿) - ifc Ш) + <?£ (х, ±)

Тогда производная по i от ifL при i-С будет порядка единицы, то ость -(¡(О . В то же время производная

по { от при i-0 будет порядка , то ость

0 ~®- Поэтому, если бкетро колобллцееся ренение

имеет амплитуду порядка 0(£) , то его производная по I при должна иметь порядок С(Х). Оказывается, если эта про-.изводная имеет порядок С(I) при é-C , то она имеет: тот же-порядок на некотором .конечном интервале.

.Из этих чнтуитишшс рассугдонп;' следует, что если амплп-

с1ч>о

гуда быстрых осцклляций шоот порядок 0(£п) , то на отрезке производная -— должна таеть поря-

док 0( I).

Для интогродгаулоренциальных уравнени!-! вица (8) производится следующая замена пероменних: ^ + «&(*>)

где ф4(з.) есть решение уравнения

ОС о

Тогда (8) примет вид

£ ЛШ $ +5) у,- ££ (ас)

С 9)

Затем эта процедура повторяется для уравнения (9) и т.д. На к -м шаге получим

где 4>к (X) и (ос) находятся из условий

о

Причем начальные условия для (10) будут иметь ввд

и1

Задача инициализации теперь сводится к оценке решения сис-емы £ ГУМ

о

Если выполнены указанные условия на спектр матрицы А И «а <£уНК11Ш1 ■} и /С(ос,Т) , го получит,:, чго

, с^сспЫ

Глава заканчивается пострознием матрицы фундаментальных решений для системы ^

■di о

Знание oroü матрицы позволяет дать другое обоснование метода ограниченности пронззодно".

ОсноЕПие результат диссертации опубликованы в следуюцих работах.

I» '/ломку лов Н.Я., Норкурагов I., Рабимов A.C. Решение задачи инициализации для одного замороженного ингегроди$ферен циольного уравнения'второго порядка с перемелиlmii коэффициентами // Вопроси математического анализа и его приложение: Сб. статей. - Самарканд, 1987. - С.24-27.

2. Ймоихулов .Я. О задаче инициализации для нол;шеплцх ' гагехрода^ерендаальних уравнений // Дифференциальные уравнения и их некоторые приложения: Сб. статей. - Ташкент: ТаиГПИ, 1990. - С.38-41.

3. Ииомкулов Н.Я., ХудаМердиав О. Задача инициализации для одного линей! ого интэгродиЛфоренциалъного уравнения //Зо-просн математического анализа и его приложение: Сб. статей. -Самарканд, .1990 - С.40-44.'

4. Имомнулов II.Я. Задачи стиициалнзацил для систем лиией-; штох'роди^ренпнальтя уравнений. - Дот. -в УзШШТИ. -:5Г5-Уз91 or I9.II.9I.

5, Нормуратов X., Имомнулов Н.'Я. Решение задачи ипициали-jnn для лшэишас сисгем пятегрода^ренцкальньа уравнений -го порядка // ДифТяреициадшнв уравнения с частники тфопз-Шнки: Межвузовски?* сборник. — Л., ISG7.. - С.Э5-103.

Спечатано в Управлении статистики заказ ¡Г' 367 тираж 100