Задача о фазовых переходах для многофазовых сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1. Постановка задачи. 2

1.1. Введение.2

1.2. Постановка задачи.3

1.3. Формулировка основных результатов.5

1.4. Меры Юнга, квазивыпуклые функции и приближенные решения. . 11

2. Прямые методы вариационного исчисления в задаче о фазовых переходах при прямом способе учета энергии границы раздела фаз. 14

2.1. Теорема существования состояния равновесия многофазовой упругой среды. 14

2.2. Задача с близкими плотностями. 18

2.3. Задача с нулевым коэффициентом поверхностного натяжения и предельное поведение состояний равновесия. 28

2.4. Задача с параметрами. 34

3. Прямые методы вариационного исчисления в задаче о фазовых переходах при косвенном способе учета энергии границы раздела фаз. 43

3.1. Теорема существования состояния равновесия многофазовой упругой среды. 43

3.2. Оценка снизу нормы состояния равновесия. 54

3.3. Задача с нулевым коэффициентом а и предельное поведение состояний равновесия. 56

3.4. Задача с параметрами. 58

4. Необходимые условия равновесия. 62

4.1. Уравнения равновесия.62

4.2. Вычисление второй вариации.71

5. Фазовые переходы для многоямных потенциалов. 77

5.1. Прямой способ учета энергии границы раздела фаз.77

5.2. Косвенный способ учета энергии границы раздела фаз.80

5.3. Задача с нулевым коэффициентом а.81

В диссертации изучаются математические аспекты задачи о равновесии многофазовой упругой среды. Известно, что многофазовые среды характеризуются тем, что их свойства под действием внутренних напряжений или под влиянием или изменением внешних условий (например, температуры) могут скачкообразно изменяться. Когда число таких состояний среды конечно, каждому из них соответствует своя плотность энергии деформации, а всей среде - функционал энергии деформации, равный интегралу от плотности. Состояние многофазовой среды определяется не только полем смещений, но и местоположением каждой из фаз, поэтому искомыми величинами являются как поле смещений, так и характеристические функции множеств, занимаемых каждой фазой. Нужно отметить, что указанный функционал энергии деформации многофазовой упругой среды не является выпуклым и, следовательно, для него могут не существовать состояния равновесия. Существует несколько способов регуляризации функционала энергии, один из них связан с учетом поверхностной энергии. Такой подход с позиции механики очевиден, поскольку появление новых фаз можно представить себе как возникновение большого числа малых зародышей с очень большой суммарной площадью границы, что порождает большие поверхностные энергии даже при незначительном коэффициенте поверхностного натяжения. Важность учета поверхностной энергии отмечена в [1]. В работе использована именно эта регуляризация. Возможны и другие способы регуляризации функционала энергии. Например, с помощью за-мены плотности на ее слабо полунепрерывную снизу регуляризацию, после чего предметом исследования становятся минимизирующие последовательности нере-гуляризованного функционала, которые слабо сходятся к состоянию равновесия регуляризованного. Такой способ исследовался в работах Г.А. Серегина [2, 3], Ball J.M., James R.D [4], Kohn R.V. [5] и других авторов. Еще возможен способ, когда рассматривается расширение функционала, позволяющее использовать меры Юнга в качестве предельных точек минимизирующих последовательностей (см. например [6]).

Пусть П С К™ — ограниченная область с Липшицевой границей, вектор-функция и(х) = (и1 (ж),., ит{х)) задана на П, а й — квадратная матрица ее первых производных. Физически это соответствует ситуации, когда упругая среда в неде-формированном состоянии занимает область О, а после деформации характеризуется полем смещений — вектор-функцией и. В дальнейшем будем рассматривать лишь поля смещений, равные нулю на границе области П. Но многофазовая среда в отличие от однофазовой может в произвольной точке дискретно менять своё состояние. Каждое из этих состояний имеет свои физические свойства, и ему соответствует своя плотность энергии деформации ГТ(М, и, х), т = 1,., где с], — количество всевозможных состояний среды. Здесь М £ КтХт, и 6 х Е П С К™. Поэтому многофазовая среда кроме поля смещений и(х) характеризуется местоположением каждой из фаз — попарно дизъюнктными множествамиФункционал энергии деформации для многофазовой (о? ^ 2) среды имеет видгде 5м = ¿ШДсШ, — площадь а <тд > 0— коэффициент поверхностного натяжения, соответствующий среде с индексом ¡л, ¡л = 1,., й.

Для описания допустимых полей смещений фиксируем число р 6 (1, оо) и опре1.2. Постановка задачи.dCtT, где IJ Пт = О.

Т —1(1.1)делим функции /3(£), ^ > 0, и а(х), х <Е О,, по следующему правилу:V т > р, где г 6 [1, тр/(т — р)), /?(£) = Г т = р, где г £ [1, сх>), т < р,о ^ е ^(П),где - непрерывная монотонно растущая неотрицательная функция. Знаком [ • | будем обозначать как модуль векторной или скалярной величины, так и норму матрицы.

Наложим ограничение на функцию х = [х1 • ■ • > Х'1), означающее закон сохранения массыгде параметры рт > О играют роль плотностей множеств flT, т — 1,. число М € min {рт}, max {рг}] и играет роль массы.т=1.,d T=l,.,dПод состоянием равновесил при условии связи будем понимать пару {ü, £} из множества (1.6), доставляющую на этом множестве глобальный минимум функционалу (1.5).

Состояние равновесия будем называть однофазовым, если какая-то из функций ХТ(х) равна единице при почти всех х £ il и многофазовым — в противном случае.

1.3. Формулировка основных результатов.

Замечание 1.3.1. В случае р\ — р2 =. = множество 3? совпадает со множеством и теорема 2.1.1 дает результат о достижении глобального минимума функционала 1[и,х] на всем множествеЗамечание 1.3.2. Для задач теории упругости условие е) может оказаться слишком обременительным. Более типичным ограничением на плотности энергии является следующее предположениев') Справедливо неравенство, ( м + м*р \РТ(М,и,х) ^ С'1 ( —^- -Р\и\р\ -а{х), 0 <р<(11(П),где (¿(£1) —константа в неравенстве Корнай + й*1 ёх <М") IосЬЕ, ие W*(П,Rm).

При замене условия в) на б') теорема 2.1.1 остается справедливой, поскольку условие в') обеспечивает коэрцитивность функционала энергии.

Так же во второй главе изучаются состояния равновесия многофазовых сред с близкими плотностями энергии. Близость плотностей означает, что их разность ведет себя лучше, чем каждая плотность в отдельности, а именно, удовлетворяет условию\Ф1(М,щх)\ < С[\М\р + Р(\и\) + а(х)}^ (1.7)при некоторых q > гп и С > 0.

Во втором параграфе главы доказывается, что при выполнении условия (1.7) любое состояние равновесия однофазовых сред с плотностями для какого-то т = 1,., о? на множестве является локальным минимумом функционала энергии многофазовой среды на множестве Ш. Здесь же анализируется связь контактной задачи теории упругости с задачей о равновесии многофазовой среды. Доказывается, что если у контактной задачи существует решение, то оно будет являться локальным минимумом функционала (1.5) относительно произвольныхомалых возмущений поля смещений в пространстве К"1) и малых в пространстве Ь1^) возмущений характеристических функций фаз без искажения первоначальной границы раздела.

В этом же параграфе дается оценка снизу объема ненулевой фазы в многофазовом состоянии равновесия.

Теорема 2.2.4. Пусть существуют такие q > т и ^ > О, что для состояния равновесия {и, х} функционала 1[и^х\ на множестве функция Ф£(й, й,х) Е и\\Ф^й,и,х)\\щп)<7- (1.8)Тогда, если пара {й,х} лвляется многофазовым состоянием равновесия, то по крайней мере для трех ненулевых фаз (в том случае если состояние равновесия более чем двухфазовое) и для двух, если двухфазовое, верны оценки снизу на объем этих фаз:где =аВ качестве замечания можно сказать, что этот результат для двухфазовых и трехфазовых состояний равновесия означает оценку снизу объема наименьшей фазы, а в общей ситуации, оценивает какие-то три из ненулевых, не обязательно наименьшие.

В следующем параграфе изучается задача с нулевыми коэффициентами поверхностного натяжения и предельное поведение состояний равновесия. Доказывается, что если разность плотностей энергии не зависит от матрицы М, т.е. если и, х) = Фх), то у функционала 1о[и, х] существует состояние равновесия на множествеЯ0 = {{«,*} : ие^Пх-^1,-^'),1 ■> (1.9)где хт — Х-Ф- и Е Хт = 1 ПРИ п-в х € О г •т=1 -1Множество отличается от 5? тем, что функции хт Уже не обязаны иметь ограниченную вариацию. На вопрос, как задача с малыми коэффициентами поверхностного натяжения приближает задачу на минимум для функционала /о[гг,х] дает следующая теорема.

Получается, что функционал (1.5) зависит от двух векторных параметров — (А, ¿г). За [/< обозначим те из них, при которых у функционала (1.5) нет многофазовых состояний равновесия, а есть только однофазовые. Ответ на вопрос, как выглядит множество U< дает следующая теорема.

В третьей главе рассмотрен другой способ регуляризации функционала Jo, а именно изучается функционал= + (1.11)где Н = W R"1) П W¿(fi, Rra), а Е1 э о > 0.

В первом параграфе доказана теорема о существовании состояния равновесия указанного функционала как при наличии ограничения на характеристические функции — закона сохранения массы (условия (1.6)), так и при его отсутствии. Во втором параграфе дается оценка снизу нормы состояния равновесия в случае, когда плотности энергии удовлетворяют дополнительному условию1=1 (1-12)fn Е Lq'"(Ü), = 1, 91 = 1.

В этом случае для глобального минимума функционала (3.1) верна оценка снизуонормы ненулевого поля смещения в пространстве Соболева Wp(íi,Km).

В следующих параграфах этой главы рассмотрены задачи с нулевым коэффициентом сг, рассмотрено предельное поведение состоянии равновесия с малым коэффициентом а и задача с дополнительными параметрами. Полученные результаты вполне аналогичны результатам для первого способа регуляризации, и одну из главных ролей в этом играет оценка снизу нормы "ненулевого состояния равновесия". (В первом случае это был объем фазы, а во-втором это поле смещения).

В четвертой главе получены необходимые условия экстремума как в слабой форме (в виде интегрального тождества), так и в виде классических уравнений равновесия и условий на свободной поверхности (при дополнительных требованиях на гладкость поля смещений и границу раздела фаз).

Пусть £ = (<90х и д0,2 и • За п(х) при х £ £ обозначим внешнююнормаль к области с меньшим индексом т. Через Н(х) обозначим среднюю кривизну £ в направлении п(х), а через [А] будем обозначать скачок величины А в направлении п при переходе через поверхность £.

Теорема 4.1.2. Пусть пара {й,£} — критическая точка функционала (1.5). Тогда(а) При х £ ПТ(1.13)(Ъ) При £ ф 0[Рмц{й{х),й(х),х)п3{х)) = 0, х Е £,(1.14)(с) Существует число А 6 К. такое, что[0\п = {ст)Нп + [р}Хп при х € £,(1.15)где (а) = о> + а С задается равенством= РТ{ЧХ), й(х),х)5ц - РТМ (й(х),й(х),х)й1Хк{х).(Н) Если Г = дпт П Г) <Ш„ ф 0, то(1.16)Как видно из формулировки, в условии (с) присутствует так называемый множитель Лагранжа (Л), появившийся из-за ограничения (1.6), а условие (с1) является условием на углы пересечения границ раздел фаз в "тройных" точках.

Во втором параграфе этой главы вычисляется вторая вариация функционала (1.5) относительно определенного класса возмущений границы раздела фаз.

1.4. Меры Юнга, квазивыпуклые функции и приближенные решения.

Этот параграф является обзорным, в нем собраны краткие ссведения о других способах регуляризации функционала энергии и ссылки на посвященную этим вопросам литературу.

Меры Юнга были введены Юнгом в 30-х годах для решения одной задачи оптимального управления, не имеющей классического решения. Идея состояля в замене функций, принимающих значение на (компактном) множестве К на функцию, принимающее значение на пространстве вероятностных мер над К.

Пусть п е м.т, К е К1 — компактное множество. Обозначим через М.(К) и Р(К) пространство зарядов и пространство вероятностных мер соответственно. Известно, что М.{К) является сопряженным к пространству всех непрерывных функций С {К).

Определение 1.4.1. Мерой Юнга назовем отображение V : Л —Т'(К), измеримое б слабой топологии (отображение х —У / Рди(х) измеримо для всех функцийР е С (К)).

Расширить область определения функционала энергии многофазовой среды и использовать меры Юнга в качестве предельных точек позволяет следующая теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть ад,- : О —У К — последовательность измеримых функций. Тогда существует подпоследовательность Wik и мера Юнга и : О, —у Т(К) такие, что для всех Р € С(К)6 ^(я) = J Р^(х). (1.20)кБудем говорить, что в этом случае последовательность и){к порождает меру Юнга и, а саму меру и — порожденной. Очевидно, что стационарная последовательность т{х) порождает элементарную меру ь{х) = 8(ги(х)), где 8— функция Дирака (вероятностная мера, сосредоточенная в точке го(х) Е К).

Таким образом, если про некоторый функционал фногофазовой среды, например1[и] = у Р(й) ¿х, Р{М) = тт{^(М),., Р^М)}, (1.21)пизвестно, что минимизирующая последовательность щ обладает свойством, что щ(х) 6 К, то согласно 1.20О, КИз последнего тождества видно, что мера Юнга может быть рассмотрена как обобщенное решение задачи на минимум.

Существует еще один способ регуляризации невыпуклого функционала (1.21), с помощью квазивыпуклой оболочки.

Определение 1.4.2. Функция Р : К.т)<т —>• К. называется квазивыпуклой, если для любой функции <р € Кт) и для любого М 6 Ц£тХг,гР(М + Ву)<1х ^ IЕсли в (1.21) стоит квазивыпуклая функция Р, то функционал 1[и] будет слабо полунепрерывен снизу на своей области определения. Если же функция Р не квазивыпукла, то ее можно заменить на квазивыпуклую оболочку Р — функцию Р. Тогда всякая минимизирующая последовательность функционала (1.21) будет слабо сходиться к состоянию равновесия регуляризованного функционала.

Связь мер Юнга с квазивыпуклыми функциями дает следующая теорема [9].

Теорема 1.4.2. Мера Юнга г/ : П ->• ^(ЕтХт); порождена последовательностью тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:a) вирр и{х) ограничен равномерно по х £ П,b) (г^и(х)) = Бд, д (П,Шт),c) и{х))) ^ {Р, и(х)) для всех квазивыпуклых функций Р.

Теорема дает явное описание тех мер Юнга, на которых достигается минимум функционала (1.21).

Похожие результаты верны для мер Юнга, порожденных последовательностями функций из ^^¿(П,»771) [10], [И].

Глава 2.

Прямые методы вариационного исчисления в задаче о фазовых переходах при прямом способе учета энергии границы раздела фаз.

2.1. Теорема существования состояния равновесия многофазовой упругой среды.

Лемма 2.1.3. Пусть выполняются условия о), б). Если для последовательности функций {ип(х), Хп(х)} из множества (1.9)уурI \оХппри п -4- оо, то 1[ип,Хп] 00 •Доказательство. Согласно условию а) функционал 1[и, х] корректно определен на множестве (1.9). Пользуясь условием в) и неравенством Фридрихса, для всех {и,х} из множества (1.9) получаем следующие неравенства:1[и,х]^С1а\й\><1х-рЛи\р<Ь)- / ас1х -{- а / |£>х|п п п а (2 1)w¿ аТак как р < то из последней оценки следует требуемое утверждение.□Обратимся теперь к самой теореме существования состояния равновесия для вариационной задачи теории упругости многофазовой среды.

Теорема 2.1.1. Пусть плотности энергии Fт(M,гí,ж) т=1,.,й удовлетворяют условиям а) —г). Тогда функционал энергии (1.5) на множестве (1.6) достигает наименьшего значения.

Доказательство. Пусть последовательность функций {ип, Хп} из множества (1.6) является минимизирующей для функционала (1.5), т.е.

1[ип,Хп] ->• Ы 1[и, х] при п у оо,где инфимум берется по множеству (1.6). Из леммы 2.1.3 следует, что+ 10**1 ^ кф ад.\ип\\ о ЛУ1"роВ силу рефлексивности пространства Wp(fi,Rm) и леммы 2.1.1 существует такая подпоследовательность uni, Хп', что при п' —> соип. Ч- û е W¿(Q,Rm) слабо в Wp(fi, Rm), Хп' * Хт € ВУ(О) при почти всех ж € П.

Замечание 2.1.2. Для задач теории упругости условие в) может оказаться слишком обременительным. Более типичным ограничением на плотности энергии является следующее предположениее') Справедливо неравенствоFT(M,u,x) > С"1м + м*2где /i(fi) —константа в неравенстве Корнаи + и*-р\и\р )-а(х), 0 <р<1л1{П),J \u\pdx <П Q№ JР оdx, ueWl(ü,Rm).

При замене условия в) на в') теорема 2.1.1 остается справедливой, поскольку условие б') обеспечивает коэрцитивность функционала энергии.

2.2. Задача с близкими плотностями.

В этом параграфе исследуются свойства состояний равновесия функционалов энергии деформации многофазовой упругой среды с близкими плотностями энергии при <тг > 0, т = 1,. й. Все рассуждения главным образом полагаются на изопе-риметрическое неравенство, формулировка которого приведена ниже.

Лемма 2.2.1. Существует положительная константа к = к{И) такая, чтодля всех х € ВУ(П) — характеристических функций с /х(х) ¿х ^ П/2 справедпливо неравенство11х||&п))/т ^ \DX\- (2-2)аРоль однофазовых состояний равновесия. Обозначим через 1Т[и] функционалы энергии однофазовой среды] = I FT(Ü, и, х) dx, и е Rm),Г\иас плотностями FT соостветственно. Предположим, что на функциях ür £ Wp(ii, R™) функционалы /т достигают наименьшего значения:Г[йг] = Ы Г[и\.

Рассмотрим пары функций {йт,Хт}, где Хт = К ПРИ Tilx — Эти парылежат в множестве (1.9) и для нихги = 1[й\%). 18Целью пункта является нахождение достаточных условий на плотности энергии Рт, при выполнении которых пары функций {йт, х>} будут доставлять локальный минимум функционалу 1[и, х] на множестве (1.9). Для этого используем очевидное представление1[щХ) = 1ТМ + ¡Х^)ФЦй, и, х) <1х а / \Dx\iа а (2.3)Ф£(М, и, х) = ^(М, и, х) - Рт(М,и,х).в котором по повторяющимся индексам ¡л подразумевается суммирование.

Теорема 2.2.1. Пусть плотности энергии достаточно близки, т.е. удовлетворяют условию\Ф1(М,и,х)\ < С[\М\? + {3(\ч\) + а(х)}^ (2.4)при некоторых д>т «С> 0. Тогда пары {йТ,Хт} являются локальными минимумами функционала 1[и,х] на множестве (1.9).

Назовем эту функцию решением контактной задачи. Тогда пара {йх,х} лежит в множестве (1.9). Будем доказывать, что она является локальным минимумом функционала 1[и, х] относительно определенного класса возмущений. Поскольку при хт = 1 эта задача уже рассматривалась, будем изучать случай хй Ф 1? р. = 1,., Заметим, что при выполнении условий а)-г) контактная задача разрешима, т.к. соответствующая плотность энергии деформации= мегхт, пег, х^п,Т = 1

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука 1990. 312 с.

2. Серегин Г.А. Единственность решений некоторых вариационных задач теории фазового равновесия в твердых телах. Проблемы математического анализа. Вып. 15, СПб. 1995. с.220-240.

3. Серегин Г. А. О единственности и регулярности обобщенных решений вариационных задач фазового равновесия в твердых телах. Докл. РАН. 1997. Т. 357. N6. с.734-736.

4. Ball J.M., James R.D. Fine phase mixture as minimizers of energy. Arch. Rational Mech. Anal. 1987. Vol. 100. p.13-52.

5. Kohn R.V. The relaxation of a double-well energy. Contin. Mech. Thermodyn. 1991. Vol.3, p.981-1000.

6. Ball J.M., James R.D. Proposed experimental tests of a theory of fine microstructure and the two-well problem Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1992. Vol.338, p.389-450.

7. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000, 260 с.

8. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир 1989. 240 с.

9. Kinderlehrer D., Pedragal P. Characterization of Young mesures generated by gradient. Arc. Rat. Mech. Anal. 115, 329-365, 1991.

10. Kinderlehrer D., Pedragal P. Weak convergence of integrands and the Young mesure representation. SIAM J.Math. Anal., 1994.

11. I. Fonseca, S.Muller,P. Pedragal. Analisys of concentration and oscilation effects generated by gradient. SIAM J.Math. Anal., 1994.

12. Осмоловский В.Г. Кучер В.А. Вычисление второй вариации для функционала энергии двухфазовой среды. Новосибирск, Проблемы мат. анализа, т.22, стр. 41-73, 2001

13. Михайлов A.C., Михайлов B.C. "Фазовые переходы в многофазовых средах" Сб. ПМА, вып. 20. Теория функций и приложения, стр. 120-169, Изд-во: Научная книга, Новосибирск (2000).