Задача о фазовых переходах со специальными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

Михайлов Виктор Сергеевич

ЗАДАЧА О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

специальность 01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре математической физики математике-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор Осмоловский Виктор Георгиевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор Ивочкина Нина Михайловна,

кандидат физико-математических наук, доцент Челкак Сергей Иванович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится "_"_2Л03 г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.232.49 по защитам диссертации на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., дом 28, матсматико-мсхани-ческии факультет СПбГУ. Аудитория 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан "_"_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, профессор

А.А. Архилова

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертация посвящепа изучению математических вопросов равновесия многофазовой упругой среды при наличии специальных ограничений на поле смещений. Многофазовые среды отличаются от однофазовых тем, что под влиянием внешних сил или внутренних напряжений могут скачкообразно менять свои свойства. Каждому состоянию будет соответствовать своя плотность энергии деформации. Мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда таких состояний два. Таким образом, мы будем изучать двухфазовую среду, индексируя каждую из фаз символом + или —. В задаче о равновесии двухфазовой упругой среды неизвестным является не только поле смещений, но и местоположение каждой из фаз, задаваемое при помощи характеристической функции. Таким образом, функционал энергии деформации всей среды будет равен сумме интегралов по множествам, в которых локализованы фазы от плотностей энергии деформации каждой из фаз. Основная трудность, с которой приходится иметь дело при изучении такого рода функционала это то, что в общем случае, (без специальных ограничений на плотности) он может не быть слабо полунепрерывным снизу, и, следовательно, для него могут не существовать состояния равновесия. Для преодоления этой трудности мы будем пользоваться регуляризацией функционала энергии среды при помощи поверхностной энергии границы раздела фаз. Физическая мотивация такого подхода описана в [1]. Возможны другие способы регуляризации функционала энергии. В данной работе исследуется также регуляризация функционала энергии деформации при помощи интеграла от старших производных, такой метод регуляризации использовался в [2]. Интеграл от старших производных рассматривается как штраф на образование границы раздела фаз. Возможен подход, при котором плотность заменяется па ее слабо полунепрерывную снизу регуляризацию, при этом объектом исследования являются минимизирующие последовательности, см. [3]. В [4] используется расширение функционала при которм в качестве предельных точек минимизирующей последовательности можно рассматривать меры Юнга.

Двухфазовая задача, регуляризованпая с помощью площади поверхности границы раздела фаз изучалась в [5]. Целью предлагаемой диссертации является изучение этой же регуляризации при наборе ограничений на поле смещений. С математической точки зрения это приводит к тому, что местоположение фаз и поле смещений перестают быть независимыми аргументами функционала энергии. Примером такого ограничения являются ограничения, возникающие в задаче об образовании абсолютно жесткой фазы [5]. Работа посвящена изучению класса новых ограничений, имеющих механический смысл.

Цель работы. Целыо диссертации является исследование нескольких задач о фазовых перходах в области и на границе области при дополнительных ограничениях на поле смещений и на местоположение одной из фаз. Проводится доказательство существования состояния равновесия и выводятся уравнения равновесия как в слабой форме, так и при дополнительных условиях на гладкость плотностей энергии деформации, поле смещений и границу раздела фаз. С точки зрения механики ограничения на плотности энергии деформации соответствуют геометрически линейной и физически нелинейной упругой среде.

Методика исследований. Основным математическим аппаратом при изучении поставленной задачи являются прямые методы вариационного исчисления. Так же активно используются свойства функций из пространства ВУ (функции с ограниченной вариацией) и множеств Каччогаголи (см. [6]). В работе использовались результаты из теории возмущения оператора (см. [8]).

Научная новизна и значимость работы. Представлепные в диссертации результаты получены в период с 2000 по 2003 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, она дополняет теорию фазовых переходов в механике сплошных сред. Впервые получены теоремы существования и необходимые условия состояния равновесия для задач фазовых переходах при различных условиях связи. Определено пространство функций ограниченной вариации на границе области и исследованы его основные свойства. Часть полученных в диссертации результатов является обобщением результатов для двухфазовой задачи, подробно изученной

в работе [5].

Практическая значимость работы определяется возможностью применения полученных результатов при изучении процессов фазовых переходов в двухфазовых упругих средах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседании кафедры математической физики ма-тематико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано три печатные работы [1], [2], [3]. В совместной с Михайловым A.C. работе [1], автору диссертации принадлежат результаты, касающиеся задачи со специальными ограничениями (§2 Задача со специальными ограничениями, §3 Задача со специальными ограничениями и §5 Пример).

Структура и объем работы. Диссертациога1ая работа, объемом 79 страниц, состоит из четырех глав и списка литературы, содержащего 16 наименований.

Содержание работы

Первая глава содержит основные сведения о работе, краткую информацию об истории вопроса, постановку задач и изложение полученных результатов. Рассмотрим постановку задач. Пусть П (_ Мт — ограниченная область с Лишпицевой границей, вектор-функция и{х) = (и1 (х),..., ит(х)) задана на fi, й — квадратная матрица ее первых производных. Механически это соответствует ситуации, когда упругая среда в недеформированном состоянии занимает область О, а после деформации характеризуется полем смещений всктор-функцисй и. Двухфазовая среда в отличие от однофазовой может в произвольной точке дискретно менять своё состояние. Каждое из этих состояний имеет свои физические свойства, и ему соответствует своя плотность энергии деформации F±{M,u,x). Здесь М £ Rmxm, и G Rm, х ей С Rm. Поэтому двухфазовая среда кроме поля смещений и{х) характеризуется местоположением каждой из фаз дизъюнктными множествами fi±, где U = Ü.

Функционал энергии деформации для двухфазовой среды в задаче о фазовых переходах с гидродинамическими условиями имеет вид

/[«,0+,0_] = J («(¡г), «(ж), г) с1т+ ! Р~ (й{х),и(х),х) <&+<г|5|, 0+ п_

(1)

где 5 = 50+\50 = 00,-\0и, |5| — площадь 5, а а > 0— коэффициент поверхностного натяжения. Кроме того мы будем требовать выполнения дополнительных условий заключающихся в несжимаемости и несмешиваемости фаз и выполнение закона сохранения масс:

<1Ьги = 0, в О. (м,п)=0, на 5,

ЯР+Х(Х) +Р-( 1 - Х(*))] Лх = М, ' (2)

п

здесь п - нормаль к 5, М € (|0|тп1{р+,р_},|0||тах{р+,р_}).

В задаче об образовании несжимаемой фазы мы предположим, что граница области 30 находится в силовом поле, плотность потенциала которого задается функцией /(м,ж), и £ Кт, х £ 50, также предположим, что на части границы Го С 50, ¡Го| > 0 поле смещений фиксировано и(х) = х £ Го, и* £ W£(0,Rт'l), к — 1,2 и что фаза с индексом "+" несжимаема, то есть вышишени равенство

Х(х) <11у и(х) = 0, х е (3)

Здесь х(х) ~ характеристическая функция множества 0+.

Таким образом, функционал энергии двухфазовой среды примет вид

-Г[и,0+,0_] = / (й(х),и(х),х) <1х + J Р~ (й(х),и(х),х) ¿х+ £1+ П_

+ //(«(*), х) <ИГ + <г|5|,

ап

(4)

Для задачи о фазовых переходах на границе области предположим, что 0 - ограниченная область с 50 6 С2. Обозначим через /±(М,м,ж), М £ Ктхт, и £ Кт,х € 50 плотности энергии деформации каждой из фаз, = {¿'гг-3} - матрица касательных

производных, 8' = — n'n^g^-, n - нормаль к Oil. В этой задаче местоположение каждой из фаз будет характеризоваться дизъюнктными множествами S+, S+ U 5L — Oil. Мы также будем требовать равенство нулю нормальной компоненты поля смещений на границе области (и(х),п(х)) = 0, г 6 Oil. Функционал энергии деформации для двухфазовой среды на границе области примет вид

Ч*,Х] = + (1 + (5)

«1

Здесь S - dS+ — dS|Е| - площадь S, a - коэффициент поверхностного натяжения. Мы также будем изучать эту задачу при дополнительном условии несжимаемости фазы с индексом +. То есть будем требовать выполнения следующего условия :

5*и*{х)х(х) =0, же ДО, (6)

здесь х ~ характеристическая функция множества S+.

В случае задач об образовании несжимаемой фазы и задачи с гидродинамическими условиями для описания допустимых полей смещений фиксируем число р 6 (1,4-ос) и определим функции /?(*), /?„(*), t > 0, а{х), х € ÍÍ, * € ДО по правилу:

при тп^р /3{t) = tr, fa (í) = t*

г € [1,тр/(т — р)), я € [1, (то — 1)р/т — р) при т > р, г,з € [1, оо) при т — р,

при т <р /3(f) > 0, fic(t) У 0 — непрерывные монотонно растущие функции, 0 < a(i) е Li(fi), 0 < а0(х) € Li(Sfi).

Символом ¡ • | будем обозначать как модуль векторной или скалярной величины, так и норму матрицы. В дальнейшем будем предполагать, что функции F+(M,u,x), f(u,x) измеримы по совокупности аргументов и удовлетворяют неравенствам

IF^M,«,*)! 5$ <7[|M|*+/J(M)]+e(«), |/(«,*)| < С/%(М)+«о(*)-

(7)

Для описания допустимых полей в задаче о фазовых переходах на границе области определим функции Ь > О, а(х), х € Ш по правилу:

при го > 3 /?(*) = «г,

г 6 [1,2(т - 1 )/(т - 3)) при т > 3,

г е [1,оо) при т = 3,

при т < 3 /?(£) ^ 0—непрерывная

монотонно растущая функция,

О < а(х) е Ьг(Ш).

Предположим, что функции /±(М, и, г) измеримы по совокупности аргументов и удовлетворяют неравенствам

\^(М,и,х)\ ^ С[\М\2 + Д(|и|)] + £*(*). (8)

Для описания допустимых множеств нам потребуется пространство функции ограниченной вариации ВУ(О) (см. [6]). Будем говорить, что функция / е Ь1 (П) имеет ограниченную вариацию, если

I \Df\ = вир //<1Ьг/к1а; J лесД««,«™) 3

О |М<1 11

< оо.

Борелевское множество В С О называется множеством Каччоп-поли, если его характеристическая функция х € ВУ(Щ. Величина /0 |Л>х1 называется периметром множества Е. Легко видеть, что понятие периметра является обобщением понятия площади для 8Е ГШ на негладкий случай.

Для описания допустимых множеств 5+, в четвертой главе мы определили пространство функций ограниченной вариации на границе области.

Определение 1. Пусть / € Ь\{дЩ, будем говорить, что / € ВУ{Щ, если:

[ |1>/| = вир / /(ГЬ* + /Нп'Я) ¿Я < оо.

У Л€С'1(в1>,«'") У

ЯП |ь|<1 О

Здесь Н средняя кривизна поверхности п нормаль к

дС1. Для характеристической функции множества Е хе при таком

определении пространства ВУ(дС1) оказывается, что / |£>х| обоб-

ди

щает понятие периметра границы Е в негладком случае.

Опишем математическую постановку задач. Для задачи об образовании несжимаемой фазы введем множества

= {и е ч?1{п,м.т),и(х) - иЪ(х) = о,а; 6 г0,л:(ж) е ву(П) - х.ф.,

для пары{«, х} выполнено (3)}, = \^(П,Кт)>иОс) = 0,® <= Г0,х(») - х.ф.,

для пары{«,х} выполнено (3)}.

Мы приходим к изучению функционала следующего вида, заданного на множестве (¿1:

/х[и,х] = j[xF+{щv^<x)Цl-x)F~(щu.x))dx+Jf{u,x)dS+(т ^ \Dx\-

а вп п

(9)

Наряду с регуляризацией при помощи площади поверхности границы раздела фаз, мы рассмотрим регуляризацию при помощи интеграла от старших производных. Фиксируем а 6 (0,1). В этом случае функционал энергии деформации, заданный на множестве Яг примет вид

Ыи,х] = 1[хР+(*,и,х)+(1-х)Р-(й,и,х)]<1х+1 /(«,*)<Н?-Нг||«||йг.

П 50

(10)

Для задачи с гидродинамическими условиями перейдем к обобщенной постановке первых из условий (2), именно будем требовать выполнения следующих равенств:

/ и(х)У1(х) ¿х-0 Щх) в С§°(Я),

" ГШ

/х(х)и(х)Щх)ах = 0 Щх) е Сп°°(П). к '

п

Очевидно, что в случае С1 гладкой границы раздела фаз Я выполнение этих условий эквивалентно первым равенствам в (2). Введем

множество

V = х Iи € Wp(í2, К"1), х € ВУ({1) —характерестическая функция,

выполнено (11), /1р+х(ж) + р~{1 - = М\.

а *

Именно его примем за область определения функционала энергии двухфазовой среды с ограничениями гидродинамического типа

*[«,*] = 1[хР+(й,и,х) + (1-х)р-(й,и,х)]Лх + <г {¡Б*]. (12) П (2

Переходя к обобщенной постановке для задачи на границе, будем предполагать, что характеристическая функция множества 5+ принадлежит пространству ВУ(дП). Мы приходим к изучению функционала следующего вида:

Л«.Х] = 1[/+(й,и,х)х(х) I /-(*,«,*)(1 х(«))]<» I «г I \Dx\-

да ва

(13)

Введем множества

= {«,х|« е ,Дт), («,«)|Ш =о}, = {и,х|ме,и^(Ш,дт), («,п)|ш = о,

X € ВУ(д£1)—характерестическая функция, выполнено (6)|,

Тогда х ВУ(дИ) и 2% примем за область определения функционала (13).

Под состоянием равновесия при условии связи будем понимать пару {«,х} из множеств (¿2, и, 2>\ X ВУ(Э^1), доставляющую на этом множестве глобальный минимум соответствующему функционалу (9), (10), (12) или (13).

Во второй главе исследуется задача об образовании несжимаемой фазы. В первой части главы доказываются теоремы существования состояния равновесия для двух регуляризации (9) и (10). Приведем их формулировку.

Теорема 1. Пусть плотности энергии деформации Р^(М,и,х) и плотность потенциала силового f(u,x) поля удовлетворяют следующим условиям:

и) Функции Р^(М,и,х) непрерывны по совокупности переменных М € Кгохт, и € Кт, при почти всех х € Я, измеримы по х при всех М, и; функция f{u,x) непрерывна по и € Кта при почти вссх х € дС1, измерима по х при всех и, и,х), /(и,ж) удовлетворяют неравенствам (7).

b) Производные и,х) существуют при всех М 6 ЦтХт, и С Кт « почти всех х С (I, непрерывны по совокупности переменных М, и при почти всех х, измеримы по х при всех М, и и удовлетворяют оценке

^ СПМГ1 +0(М)1'>,] + а(«)»/*\ где 1/Р+1/У = 1.

c) Справедливы неравенства

/(и,®) > -С"1 АН" - а0(х), где 0 < А < 2»А-1(П,Г).

&) Функции Р±(М,м,ж) выпуклы по компонентам М 6 К.тХт при всех и € Лт « почти всех ж € П.

тогда функционал (9) достигает глобального минимума на множестве ф1.

Здесь А(0,Г) - постоянная в неравенстве Корна.

1{\й\' + \ч\*)<1х +1 |и|"с!5<А(П,Г) I |{[«]|»<1в, в во о

Теорема 2. Пусть Р^(М,и,х), /(«,ж) удовлетворяют условиям пунктов а), с) теоремы 1, тогда функционал энергии (10) на множестве (¿2 достигает наименьшего значения.

Вторая часть второй главы посвящена выводу уравнении равновесия для функционалов (9), (10) на множествах (¿2 при дополнительных условия на гладкость плотностей энергии деформации, потности силового поля, поля смещений и границы раздела фаз. Обозначим через носитель функции х, Г2_ = Г

граница раздела фаз, 5 = (Ю\Го. Через [Л] будем обозначать скачек величины А при переходе через поверхность Г: [Л] = А+ — А-, где А+ —значение величины А при подходе состороны Г2+, а А- — значение той же величины при подходе со стороны

Пусть плотности энергии и, х), плотность потенциала

/(и, г), пара {«/ь,Хк} € (¡к удовлетворяют условиям

(1) функции Р±(М,и,х) дважды непрерывно дифференцируемы по М £ Ктхт, и £ М"\ X £ Кт, функция /(и, ж) — непрерывно дифференцируема по и 6 Кт, х £ Кт;

(2) функция «! дважды, «г ~ четырежды непрерывно дифференцируемы в ,

(3) пара доставляет мимнимум функционалу Д[и,х]>

В этом случае пару назовем регулярной в области С1

критической точкой функционала /¡ь[и,х].

Теорема 3. Пусть пара — регулярная в области О кри-

тическая точка функционала /*[м,х] и пусть для задачи с регуляризацией при помощи старших производных р = 2,4, р ^ 6. Тогда справедливы следующие утверждения. В пунктах (а) и (Ь) первое равенство отностися к случаю к = 1, второе к случаю к — 2.

(а) при х £ {2-й

-О,

¿ж/

(b) существуют функции рк(х) £ такие, что прих £ П+

I — 1,... ,та;

(c) пусть п{х) — нормальное векторное поле к Г, тогда существуют А к € К, такие, что при ас € Г, к = 1,2 выполнено

[(Фк)»,^(г)] = Акп{(1), » = 1,... ,т,

[Ф1]п — аНп, [Фг]п = О,

= ^ - - о* - \к)ЧХа,

(Л) если п(х) - нормальное векторное поле к дС1, то при к = 1

+ (?* ~ + /«. = О, .П3 + /„; = О, X € 5,

кроме того, при к = 1 если поверхность Г пересекает 5, то пересечение возможно лишь под прямым углом;

(е) при х € Го, = «о и при к = 1 если поверхность Г пересекает Го, то пересечение возможно лишь под прямым углом;

(/) при х е дБ = дГо при к — 1 если поверхность Г пересекает 05 = дГо, то пересечение возможно лишь под прямым углом.

В приведенных формулах = ^(и*,«*,«), / =

В третьей главе исследуется задача о фазовых переходах с гидродинамическими ограничениями. В первой части главы доказывается теорема существования. Сформулируем ее.

Теорема 4. Пусть плотности энергии деформации удовлетворяют ограничениям, близким к ограничениям из теоремы 1, тогда фукционал (12) достигает глобального минимума на множестве

и.

Вторая часть третьей главы посвящена выведению условий равновесия. Пусть пара {и, х} доставляет минимум функционалу (12) на множестве II. Обозначим через носитель функции х> = 2 - граница раздела фаз.

Пусть плотности энергии Р^(М,и,х), функция и € и характеристическая функция х £ ВУ(Щ удовлетворяют дополнительным условиям гладкости. В этом случае регулярная в С1 критическая точка функционала энергии двухфазовой среды при условии связи определяется аналогично с тем, как это было сделано для задачи об образовании несжимаемой фазы.

Теорема 5. Пусть пара {и,х} —регулярная в П критическая точка функционала энергии двухфазовой среды при условии связи. Тогда справедливы следующие утверждения

(a) Для х е и х £ П_ существуют функции р±(ж) € С1(П±) такие, что

I = 1,...,т.

(b) Пусть т{х) —касательное к И векторное поле. Тогда

[(Рму («(*), «(*), х)п' {х)т(®)4)] = 0, х £ Е.

(с) Существу em A G R такое, что при х 6 Е [Ф] = <гН I Л,

Ф = + (nV^ - - {-(Fm^uÍ + p)û<).

Завершает третью главу вывод необходимых условий равновесия для плотностей специального вида, имеющих гидродинамический смысл.

В четвертой главе определяется пространство функций с ограниченной вариацией на границе области fíV(OCl) (см. определение 1) и исследуются свойства этого пространства, именно, пространство BV(díl) оказывается банаховым относительно нормы WfWev — ||/!Ui(öfi) + / \Df\ и верен результат о компактности

ОП

вложения BV(d£l) в Iq(ôfï). Устанавливается неравенство Корна на границе области. Эти результаты используются при доказательстве существования состояния равновесия.

Теорема 6. Пусть /± удовлетворяют условиям близким к сформулированным в теореме 1, тогда функционал энергии (13) достигает наименьшего значения на множестве Z\ X BV(dQ) и на множестве Z2-

Список цитированной литературы

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука 1990. 312 с.

2. Kohn V., Müller S. Surface energy and Microstructurc in coherent phase transition. Comm. on Pue and Applied Math. (1994) 405-435

3. Ball J.M., James R.D. Fine mixtures as minimizers of energy. Arch, for Rational Mech. and Analisis. (1987) 13-52.

4. Müller S. Microstructures, phase transition and geometry. MaxPlanck-Institute. Inselstr 22-26, 04103 Leipzig, Germany.

5. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000, 260 с.

6. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир 1989. 240 с.

7. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения one- * ратора div. С.-Пб, 1995.

Список работ по теме диссертации

1. Михайлов A.C., Михайлов B.C. "Фазовые переходы в многофазовых средах." Сб. ПМА, вып. 20. Теория функций и приложения. стр. 120-169, Изд-во: Научная книга, Новосибирск (2000).

2. Михайлов B.C. "Задача о фазовых переходах со специальными ограничениями." Сб. ПМА, вып. 23. Теория функций и приложения, стр.106-125, Изд-во: Научная книга, Новосибирск (2002).

3. Михайлов В. С. "Задача о фазовых переходах на границе области со специальными ограничениями." Сб. ПМА, вып. 26 Нелинейные задачи и теория функций, стр. 161-178, Изд-во Научная книга, Новосибирск (2003).

Подписано к печати 10.09.2003 Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 пл. Тираж 100 экз. Заказ N 3022..

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»15 0 9A

1. Постановка задачи. 2

1.1. Введение.2

1.2. Постановка задач.3

1.3. Формулировка основных результатов.9

2. Задача об образовании несжимаемой фазы. 18

2.1. Постановка задачи.18

2.2. Теорема существования.20

2.3. Вспомогательные утверждения.24

2.4. Необходимые условия экстремума.33

3. Задача о фазовых переходах с гидродинамическими условиями. 43

3.1. Постановка задачи, связь с задачей со свободной поверхностью. . 43

3.2. Теорема существования. .46

3.3. Необходимые условия.49

3.4. Пример.58

4. Задача о фазовых переходах на многообразии. 63

4.1. Вспомогательные утверждения.63

4.2. Постановка задачи и теорема существования без ограничений и с условием несжимаемости.72

1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука 1990. 312 с.

2. Kohn V., Miiller S.Surface energy and Microstructure in coherent phase transition . Comm. on Pue and Applied Math. (1994) 405-435

3. Alberty G., Bouchitte G., Seppecher P. Phase transition with line-tension effect. Arch. Rational Mech. Anal. (1998) 1-46.

4. Ball J.M., James R.D. Fine mixtures as minimizers of energy. Arch, for Rational Mech. and Analisis. (1987) 13-52.

5. Miiller S. Microstructures, phase transition and geometry. Max-Planck-Institute. Inselstr 22-26, 04103 Leipzig, Germany.

6. Ball J.M., James R.D. Proposed experimental test of a theory of fine microstructure and the two-well problem. Phil. Trans. R. Soc. Lond (1992) 338 339-450 Arch, for Rational Mech. and Analisis. (1987) 13-52.

7. Осмоловский В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механике сплошной среды. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000, 260 с.

8. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир 1989. 240 с.

9. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div. С.-Пб, 1995.

10. Miiller S. Microstructures, phase transitions and geometry. Max-Planck-Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften. Liepzig, Preprint-Nr.: 3, 1997.

11. Солонников В.А. Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навъе-Стокса. Труды Мат ин-та АН СССР, 1973, т. 125, с.126-210

12. Ривкинд В .Я. Steady motion of a drop in a stream of vision incompressible fluid. DAN 227 (1971) 1071-1074.

13. Осмоловский В.Г. Необходимые условия экстремума в вариационной задаче о фазовых переходах с неоднородными граничными условиями. Проблемы мат. анализа. Вып. 22.

14. Михайлов B.C. Задача о фазовых переходах со специальными ограничениями Проблемы мат. анализа, 23 (2001), 30-49.

15. Михайлов А.С., Михайлов B.C. "Фазовые переходы в многофазовых средах" Сб. ПМА, вып. 20. Теория функций и приложения, стр. 120-169, Изд-во: Научная книга, Новосибирск (2000).

16. Виридис. П. "Задача о бифуркации с интегральными ограничениями" Автореферат на соикание уч. степ, к.ф.м.н. Санкт-Петербург 2003.